主算法和MLMC-FST测试的程序和设置我们为我们的测试提供了一个简短的程序，表1-8显示了我们的选项和模型参数。5.1.1. 主要算法1。针对不同的网格分辨率和路径数，执行直接和低估值器的NTRIALS。计算平均价格及其标准差。o对于赫斯顿模型，报告来自有限差异方案的参考价格。2、对于每个NTRIAL，使用直接估计器的系数，计算OEB。通过对每个网格点进行平均，获得平均OEB对于赫斯顿模型，报告来自有限差异方案的参考OEB对于多维赫斯顿模型，仅报告平均OEB的某些切片。5.1.2. MLMC-FST液位测试1。对于每个级别l∈ {l，…，ln}，计算EPl（S）- P（S）超过Ntrials。数量P（S）对应于以相对高的分辨率NS，t求解的条件PDE的解。对于每个级别l∈ {l，…，ln}，计算V[Yl（S）]=Eh（Yl（S）- E【Yl（S）】个国际标准。3、每级l∈ {l，…，ln}，测量计算Ntrials上的Cl，E[Cl]的预期CPU时间。方法基函数SMC（S（i））m·（S（j））n·（v（k））p·（v（l））qfor1≤ i、 j≤ dS，1≤ k、 l≤ DV和h（S（1），S（dS））r，m，n，p，q，r∈ NLSMC/PDE（v（i））n·（v（j））mfor 1≤ i、 j≤ dv，n，m∈ 表1：两种方法的基础选择。

我们用Db表示所使用的基函数的总数，并用deg表示基函数的最高幂。模型类型Payofft K运动频率Heston h（S）=（K- S） +1个10吨/12毫米水柱h（S（1），S（2））=K- 最大值（S（1），S（2））+1 10 T/12表2：百慕大期权设置Sr Svκθηρ0.02 10 0.15 5 0.16 0.9 0.1表3：用于赫斯顿模型的参数S（1）v（1）κθηS（2）v（2）κθη0.025 10 0.45 1.52 0.45 0.4 10 0.3 1.3 0.30 0.43[ρi，j]=1ρS，SρS，vρS，vρS，S1ρS，vρS，vρv，Sρv，S1ρv，vρv，Sρv，v=1 0.2 -0.3-0.150.2 1 -0.11-0.35-0.3-0.11 1 0.2-0.15-0.35 0.2 1表4：用于多维Heston模型、lNS、tNtrials等的参数，21 000表5：我们的MLMC-FST测试中使用的参数SNSNVNTVMINMax1 000 000 0 1 0 53表6：用于显式有限差分方法的参数。边界条件如Ikonen和Toivanen（2008）所述。NS型模型，vBasis DegreeHeston 500 000 3mdHeston 500 000 4表7：使用LSMC的每个模型使用的路径数和基数。使用Nstep=1 000的Euler离散化时间步长l N（l）vN（l）SHeston/mdHeston 0 10 000 2 Heston/mdHeston 1 1 1 000 2 Heston/mdHeston 2 100 2，2，2模型类型基准度Heston 3（log S（i）/S（i））min（log S（i）/S（i））max-3表8:MLMC、FST和LSMC-PDE算法的基础设置。N（2）SCOR的多个值响应将呈现的不同试验。这些设置应用于赫斯顿模型和多维赫斯顿模型。N（2）分。

类型0.95·SS1.05·SRun时间（s）Direct 1.6747（0.0011）1.4541（0.0012）1.2598（0.0013）7 Low 1.6746（0.0013）1.4540（0.0015）1.2597（0.0016）6 Direct 1.6739（0.0013）1.4534（0.0014）1.2591（0.0015）7 Low 1.6738（0.0012）1.4532（0.0013）1.2588（0.0014）6 Direct 1.6735（0.0011）1.4530（0.0013）1.2586（0.0014）7低1.6735（0.0014）1.4529（0.0016）1.2585（0.0017）6表9：产生的ATM和非ATM赫斯顿模型LSMC-PDE的价格估计。我们显示了各种S的（S，v）结果∈ S和a固定v参考价格分别为0.95·S、S、1.05·Sare 1.6712、1.4507和1.2565。括号中的值对应于标准偏差。估计类型（S，v）运行时（S）Direct 1.4494（0.0020）47Low 1.4487（0.0023）38表10：使用LSMC算法的赫斯顿模型的ATM价格估计结果。从差异中获得的参考值为1.4507。括号中的值对应于标准偏差。斜率类型估计值Rα2.12 0.9993β4.16 0.9989γ0.30 0.9409表11：赫斯顿模型MLMC-FST测试的结果值。参数α、β、γ对应于对数偏差、方差和成本的斜率。N（2）sEst类型（S（1），S（2））运行时间（S）Direct 1.1853（0.0055）67Low 1.1852（0.0049）43Direct 1.1834（0.0055）102Low 1.1833（0.0049）64Direct 1.1836（0.0057）177Low 1.1830（0.0060）105N（2）sEst类型（0.95·S（1），S（2））（1.05·S（1），S（2））（S（1），0.95·S（2））（S（1），1.05·S（2））直接1.2526（0.0056）1.1209（0.0054）1.2846（0.0056）1.0931（0.0054）低1.2525（0.0050）1.1208（0.0049）1.2845（0.0050）1.0940（0.0048）直接1.2506（0.0055）1.1191（0.0054）1.2826（0.0056）1.0914（0.0054）低1.2506（0.0050）1.1190（0 0049）1.2825（0.0050）1.0913（0.0048）Direct 1.2508（0.0058）1.1194（0.0057）1.2828（0.0058）1.0916（0.0056）Low 1.2502（0.0061）1.1187（0.0059）1.2821（0.0061）1.0910（0.0059）表12：LSMC-PDE的ATM和非ATM价格估算结果。

我们显示了各种S的（S，v）结果∈ S和固定v。括号中的值对应于标准偏差。估计类型（S，v）运行时间（S）Direct 1.2121（0.0016）83Low 1.1765（0.0018）73表13：LSMC算法的ATM价格统计结果。括号中的值对应于标准偏差。斜率类型估计值Rα2.03 0.9995β2.63 0.9640γ1.65 0.9785表14：多维Heston模型MLMC-FST测试的结果值。参数α、β、γ对应于对数偏差、方差和成本的斜率。5.2. 结果讨论我们对上述两个示例的结果进行了讨论。我们首先为每个模型提供示例特定注释，然后提供适用于这两个示例的注释。5.2.1. Heston模型我们对该问题的参数选择来自Ikonen和Toivanen（2008），r值较低，无风险利率较高，到期日较高。我们的不同之处还在于，我们重视百慕大人的选择，而不是美国人的选择。根据图B.3，我们可以看到混合算法的误差出现在保持和锻炼区域的界面上，它能够在所有锻炼日期接近真实边界。一致性源于运动值和连续值的比较被分解为每个S的横截面比较集合∈ 如第2节所述。在时间n，对于每个∈ S、 我们对函数CNn（S，v）有一个估计，它在v中单调递增。我们的目标是定位点v*∈ R使CN（S，v*) = h（S），由于h（S）是一个确定性常数，因此计算起来很简单。然而，我们确实在确定v时看到了一些噪音*在CN（S，·）中由于随机性而进行的试验。从图B.4中，我们可以看出，并非所有行使日期的LSMC边界都特别准确，在以后的日期更准确。

这是由于错误的累积，随着时间的推移而递归移动，并且缺乏在较早的练习日期存在的路径。如表9和表10所示，与参考值相比，混合算法能够更好地估计零时间价格。我们价格的准确性源于我们的最佳练习边界（OEB）的质量。我们注意到，直接估计量和低估计量彼此非常接近，并建议在这种情况下，低估计量是有点冗余的。完整的LSMC算法还提供了价格的直接估计，该价格也接近低估计值，但是，正如参考值所证明的那样，该价格偏低。由于LSMC-PDE算法的低估计值高于LSMC算法的低估计值，因此从定义上讲，它更好。我们还注意到，混合算法为其他∈ S和固定v，而不是LSMC中的单个点。非ATM价格估值与ATM估值质量相同。对于运行时间，我们发现，无论选择N（2）S，运行时间都保持不变，这意味着在N（2）处求解的N（2）v=100条件偏微分方程的权重大大超过了在N（0）S，N（1）S下所做的功。我们还看到，与低估计量相比，直接估计量需要额外的一秒钟，这大致意味着多网格PDE阶段占用了大约86%的运行时间。最后，通过有限差分法和LSMC-PDE算法得出的价格存在一些差异，大多位于小数点后三位。这种差异可能是由于路径离散化、时间零点价格插值和空间离散化引入的偏差造成的。值得注意的是，PDE方法最适合此2d示例，因为它具有较低的复杂性。

此示例用于演示LSMC-PDE算法在完全可观察环境中的性能。5.2.2. 多维赫斯顿模型由于我们的OEB是四维物体，它们无法完全观察到；因此，我们展示了电子商务的v形切片，因为我们对它们的外观有一些直觉。在图B.5、B.6、B.7中，我们显示了三种类型的切片v=θ，v=θ，即“中央切片”，以及另外两种副中心切片。为简洁起见，我们仅显示最后、中间和第一次练习日期。总的来说，混合算法和LSMC算法在100次试验中确定区域的精度相当。然而，我们注意到，LSMC-PDE算法产生的边界与标准赫斯顿模型中的边界有很大不同。在查看表12、13中的价格估计时，我们发现混合算法产生的较低估计值通常较低，因此我们更倾向于相信混合算法产生的OEB。就价格估计而言，LSMC-PDE的直接估计量和低估计量的紧密性再次表明，低估计量有些冗余。在这种情况下，对于LSMC，直接估计量比低估计量高；表明回归方案引入的偏差程度相对较高。我们还注意到，对于混合算法，我们能够得到准确的非ATM价格估计。这表明LSMC边界在许多地方一直是错误的。观察运行时，我们发现，与标准Heston模型不同，在分辨率N（2）下求解的偏微分方程在运行时有显著变化。此外，对于直接估计器，我们发现PDE阶段通常占用大约63%的运行时间，这表明与standardHeston模型相比，回归成本有所增加。5.2.3.

总的来说，MLMC方案的选择是为了简单和保守，因此没有像之前提到的那样进行优化。从我们的结果中产生的一个问题是混合算法是否更有效。对于赫斯顿模型，我们看到混合算法在时间零价格和OEB方面提供了显著的方差减少，特别是考虑到LSMC允许更大的计算预算。然而，有趣的是，尽管价格的标准差彼此相对接近，OEBs forLSMC“似乎”比混合算法“噪音”大得多，尽管这是基于主观检验。对于多维赫斯顿模型，我们注意到，对于可比较的计算预算，混合算法的价格方差更高，尽管它们的边界具有非常相似的噪声水平。这再次表明两个估计对象的方差存在脱节。另一方面，重要的是要注意，对于混合算法，我们获得了所有∈ 而不仅仅是ATMpoint，如标准LSMC。有这些S的价格∈ S还允许我们计算 和选项的Γ，无需任何额外的模拟。因此，混合算法比标准LSMC提供了更多的信息。此外，如前所述，混合算法提供的信息在边界质量和偏差方面往往更准确。接下来，我们转向MLMC-FST测试。根据表11和14以及图C.8至C.13，GMLT表明，由于α>min（β，γ）和β>γ，因此可以达到最佳复杂性。也就是说，存在一个级别集合和路径分配，这样可以获得成本为O（ε）的RMSE为O（ε-2） （达到一定的时间步长分辨率）。这同样适用于我们的单周期计算，与entirehybrid算法无关。

当我们从2d示例移动到4d示例时，我们看到用α测量的跨级别精度保持不变。另一方面，方差和成本显著增加，因为我们增加了波动过程的数量和S的维度。这些结果表明，在dS=3，dv=3类似物的情况下，我们可能无法通过GMLT得出最佳复杂性，尽管我们将此调查留到未来的研究中。使用Matlab 2016在3.60 GHz Intel Xeon CPU上测量所有运行时间。对于表9至表13中的结果，通过重复以下过程三次来测量所有运行时间：清除内存、运行算法和测量运行时间。然后将报告的运行时间取为三个时间中的最大值。结论通过将条件偏微分方程与Tsitsiklis和Van Roy（2001）的LSMC方法相结合，我们开发了一种算法，在中维问题的SV模型背景下改进了传统的LSMC方法。混合算法还提供了超越低维问题的PDE方法的扩展，代价是方差和半全局解。从理论角度来看，我们使用几何参数证明了几乎确定的收敛性，并且需要对基础、回归矩阵和Payoff函数进行一些修改。证明也高度依赖于模型的可分性。未来对算法理论性质的研究应该寻找一种更自然的假设证明，并根据SV模型的类型进行更深入的研究。另一个重要的观点是，证明是针对算法的一种程式化形式，其中S是连续的，而不是点的有限网格。似乎更合适的证明是假设条件期望的性质，将其视为条件模型的数值解。

如第4节所述，一个主要问题是量化收敛速度，这本质上要求将中心极限定理类型的结果作为一个组成部分。为了获得这个结果，我们的分离技术似乎不会继续下去，因此可能再次需要对条件期望函数进行更复杂的处理。我们在第4节中的处理基本上假设了CLTholds。通过量化与回归方案相关的误差，可以量化整个算法的复杂性；未来工作的主题。此外，如前所述，需要为算法的MLMC部分找到最佳分配方案，并证明在此方案下的收敛性。还有一个问题是开发基于对偶的高偏差估计量，如Rogers（2002）和Haughand Kogan（2004）。这样的估计将使我们能够为我们的时间零价格形成适当的置信区间。关于计算灵敏度，如前所述，详情可参见Farahany（2018）；人们还可以发现双赫斯顿模型（Christo Offersen et al.（2009））的应用，这是一种具有跳跃的均值回复商品模型，以及条件偏微分方程的具体推导。7、参考书目Agarwal，A.、S.Juneja和R.Sircar（2016）。随机波动下的美式期权：控制变量、到期随机化和多尺度渐近性。量化金融16（1），17–30。Ait Sahlia，F.，M.Goswami和S.Guha（2010）。随机波动下的美式期权定价：一种有效的数值方法。计算管理科学7（2），171–187。Aliprantis，C.和K.Border（2006年）。有限维分析：搭便车指南。斯普林格。Ang，X.X.（2013）。PDE/蒙特卡罗混合方法是在高维系统下定价的有效方法。牛津大学硕士论文。Belomestny，D.（2011年）。

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美式期权定价与套期保值：一种简单的基于模拟的方法。《计算金融杂志》13（4），95。附录A.形式算法描述附录A.1。LSMC-PDE算法算法1 LSMC-PDE：练习边界和直接估计器1：模拟vt2的N条路径：对于N=M：2 do3：如果N==M，则4：设置Vn（si，v）=hn（si） 对于i=1。。。，NdSs5：结束if 初始化PDE解算器的边界6：对于j=1：N do7：计算EVn（Sn，vjn）| Sn-1=si，[vj]nn-1. 对于i=1。。。，NdSs8：结束9：对于i=1：NdSsdo10：回归{e-rtE公司Vn（Sn，vjn）| Sn-1=si，[vj]nn-1.}Nj=1至{φm（v）}dBm=1 获得[安-1（si）]NdSsi=111：设置Cn-1（si，v）=an-1（si）·φ（v）12：结束 获取维数为NdSs×dB13的矩阵：Set Vn-1（si，v）=最大值（hn-1（si），中国-1（si，v）） 对于i=1。。。，NdSs14：结束15：对于j=1：N do16：计算e-rtEhV（S，vj）| S=si，[vj]i 对于i=1。。。，NdSs17：结束18：设置Vh，0（si，v）=最大值h（si），NPNi=1e-rtE公司V（S，vi）| S=si，[vi] 对于i=1。。。，NdSs公司 时间零点价格的高估计值19：对于i=1，…，返回Vh，0（si，v）。。。，NDS附录A.2。MLMC/多重网格我们提供了在时间间隔【tn，tn+1】上计算an（S）的指南，以保持插值数量最小。

考虑到L级的系数矩阵an+1（S），我们将执行以下操作。算法2 LSMC-PDE：下估计器1：模拟Nv，vt2的2路径：对于j=1。。。，Nv，2do3：对于n=M：2 do4：如果n==M，则5：设置Vjn（si，vjM）=hn（si） 对于i=1。。。，NdSs6：结束if7：计算Ujn-1（si）=e-rtE[Vn（Sn，vjn）| Sn-1=si，[vi]nn-1] 8：设置Vjn-1（si）=Ujn-1（si）IΓn（si，vjn-1） +h（si）IΓcn（si，vjn-1)  对于i=1。。。，NdSs9：结束10：设置Vjl，0（si）=e-rtE[V（S，vj）| S=si，[vi]nn-1]  对于i=1。。。，NdSs11：结束12：设置Vl，0（si）=Nv，2PNv，2j=1Vjl，0（si） 对于i=1。。。，NdSs13：对于i=1，…，返回Vl，0（si，v）。。。，NdSsAlgorithm 3用于an 1的MLMC/多重网格：对于l=0：l- 1 do2：将+1（S）从分辨率级别L内插到级别L。3：结束4：对于L=L- 1：0 do5：对于j=1：Nvldo6：为要在分辨率l和l+1下求解的PDE生成边界条件。 需要在网格级别l，l+1.7使用an（S）计算矩阵an（S）·φ（vjn）：通过数值PDE技术计算Pj，ln（S）和Pj，l+1n（S）。8： 结束9：计算VLPNVLJ=1φ（vj，ln）Pj，ln（S）和NVLPNVLJ=1φ（vj，ln）Pj，l+1n（S）10：将两者插值到网格级别L11：计算VLPNVLJ=1φ（vj，ln）Pj，l+1n（S）- Pj，ln（S）12： end for对标高0重复上述步骤，并计算在网格标高L上定义的an，如（22）所示。附录B.最佳练习边界图B.2：通过有限差分获得的参考边界。黑色区域表示练习区，白色区域表示等待区。图B.3：对应于N（2）S=2的LSMC-PDE算法的差异边界。黄色区域表示概率1的正确性，蓝色区域表示概率1的不正确性。图B.4:LSMC算法的差异边界。

黄色区域表示概率1的正确性，蓝色区域表示概率1的不正确性。图B.5：v=θ，v=θ时的边界切片。黄色区域表示持有概率为1，蓝色区域表示行使概率为1。上图和下图分别对应于LSMC-PDE和LSMC。LSMC-PDE的解决方案为N（2）S=2。图B.6：v=0.5·θ，v=θ时的边界切片。黄色区域表示持有概率为1，蓝色区域表示行使概率为1。上图和下图分别对应于LSMC-PDE和LSMC。LSMC-PDE的分辨率为N（2）S=2。图B.7：v=θ，v=1.5·θ时的边界切片。黄色区域表示持有概率为1，蓝色区域表示行使概率为1。上图和下图分别对应于LSMC-PDE和LSMC。LSMC-PDE的分辨率为N（2）S=2。附录C.MLMC-FST测试图5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9分辨率级别-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5log2 | E[Pl-P]|图C.8：每个分辨率级别的偏差。曲线图的斜率表示为α。6.5 7 7.5 8.5 9分辨率级别-30-28-26-24-22-20-18-16log2 V【Pl-Pl-1】图C.9：每个分辨率级别的差异。曲线图的斜率表示为β。6 6.5 7 7.5 8 8.5 9分辨率级别-12.8-12.6-12.4-12.2-12-11.8-11.6log2 E【Cl】图C.10：每个分辨率级别的预期成本。曲线图的斜率为γ。图C.11：赫斯顿模型各层级的偏差、差异和预期成本。蓝点代表估计值，红线代表最佳分辨率线。5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9分辨率水平-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5log2 | E【Pl-P】|图C.12：每个分辨率水平的偏差。

曲线图的斜率表示为α。6.5 7 7.5 8.5 9分辨率级别-27-26-25-24-23-22-21-20-19-18log2 V【Pl-Pl-1】图C.13：每个分辨率级别的差异。曲线图的斜率表示为β6 6.5 7 7.5 8 8.5 9分辨率级别-11-10-9-8-7-6-5-4log2 E【Cl】图C.14：每个分辨率级别的预期成本。曲线图的斜率为γ。图C.15：多维赫斯顿模型各层面的偏差、方差和预期成本。蓝点代表估计值，红线代表最佳效果线。