考虑由T个子网络（类型）组成的金融网络，该子网络应满足以下一维弹性条件： > 0存在z> 0，这样对于所有z∈ （0，z) 和α∈ 它保持住了 > EW+，αW-,αPPoi公司W-,αz= C- 1.1{A=α}. （5.2）注意，该条件意味着E[W+，αP（Poi（W-,αz）≥ C） | A=α]<0，对于所有z小值，因此，根据定理4.2，它实际上意味着子系统的弹性。在[20]中，明确的资本要求（即C | a=α依赖于W的公式-,α| A=α）是针对帕累托分布权重（通常在实际网络中观察到）的情况推导的，确保（5.2）。现在进一步假设存在一个常数K<∞ 使得W±，β| A=α≤ KW±，α| A=α几乎可以肯定，（5.3）对于所有α6=β∈ [T]，即机构与子网外机构建立联系的趋势受到其与子网内机构建立联系的趋势的常数倍数的限制。特别是，如果外部权重从上方绑定，而内部权重从下方绑定，则会出现这种情况。将W±，β| A=α替换为KW±，α| A=α只会降低系统的弹性（如果权重增加，链接数量会增加，从而增加每个机构的总风险敞口）。Henceset▄W±，β▄A=α=KW±，α▄A=α，对于α6=β和▄W±，α▄A=α=W±，α▄A=α。现在定义v∈ R[T]×[T]+乘以vα，β=K1{α6=β}，α，β∈ [T]。然后我们推导出e“~W+，αXβ∈[T]vα，β▄W-,β!PPoiXγ∈[T]~W-,γzα，γ！=C- 1.1{A=α}#=E“W+，αW-,α（1+K（T- 1） ）PPoiW-,αzα，α+KXγ6=αzα，γ！！=C- 1.1{A=α}#<（1+K（T- 1)) = vα，α（1+K（T- 1)),对于zα，α+KPγ6=αzα，γ<z, andE“~W+，αXβ∈[T]vβ，βИW-,β!PPoiXγ∈[T]~W-,γzβ，γ！=C- 1.1{A=β}#=E“KW+，βW-,β（1+K（T- 1） ）PPoiW-,βzβ，β+KXγ6=βzβ，γ！！=C- 1.1{A=β}#<K（1+K（T- 1)) = vα，β（1+K（T- 1)),对于α6=β和zβ，β+KPγ6=βzβ，γ<z.

如果我们现在选择 < （1+K（T- 1))-1，则▄fα，β（δv）：=E“▄W+，αPPoiδXγ∈[T]~W-,γvβ，γ！≥ C1{A=β}#- δvα，β<0，所有δ>0足够小。因此它保持z*≤ limδ→0+δv=0，因此S={0}。我们可以应用定理4.2，得出组合系统仍然具有弹性。因此，从监管角度来看，施加（5.2）所述的资本要求，并限制（5.3）意义上不同子系统之间的联系就足够了。在前两个例子中，我们重点讨论了多类型网络的（非）弹性。为简单起见，我们假设所有边都具有相同的曝光（R=1）。然而，我们模型的另一个有趣的特点是，它允许风险敞口取决于债权人和借方银行的类型。以下示例表明，与之前的风险敞口仅取决于债权银行的规模/程度/类型的模型相比，这确实会产生巨大差异。它考虑了两个非常相似的金融系统，它们唯一的区别在于，在一个系统中，风险敞口取决于债权人和债务人的类型，而在另一个系统中，风险敞口仅取决于债权银行的类型。因此，第一个系统将被证明是无弹性的，而第二个系统是有弹性的。示例5.3。考虑大小为2的网络≤ n∈ 其中（渐近）p=1/3的所有银行都有类型1，剩余的1- p=2/3的银行有类型2。也就是说，T=2。进一步假设对于每对顶点（i，j）∈ [n] 从i到j的边缘应以4/n的概率出现。类型1的两排之间的边缘应具有曝光2和所有其他边缘曝光1。也就是说，如果αi=1，那么w±，2,1i=w±，1,2i=2和w±，1,1i=w±，2,2i=0。如果αi=2，则w±，1,1i=w±，1,2i=2，w±，2,1i=w±，2,2i=0。

最后，所有银行的资本应为2.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.40.00.51.01.5z1z2S0z*（a）0.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.40.00.51.01.5Z12（b）图7：分别具有（a）邻域相关风险敞口（b）邻域独立风险敞口的系统的函数f（z）（蓝色）和f（z，z）（橙色）根集图。然后，与示例5.1类似，最初的八维系统减少了tof（z，z）=2pPPoi（2z）+2Poi（2z）≥ 2.- z、 f（z，z）=2（1- p） pPoi（2（z+z））≥ 2.- z、 参见图7（a）中fand f根集的图示。该图已经显示了z*6=0，因此根据定理4.7，无弹性。也适用于z，z→ 0，我们可以计算fz（z，z）=4pPPoi（2z）+2Poi（2z）∈ {0, 1}- 1.→ 4p- 1=>0，这严格证明了1型子网络以及整个系统是非弹性的（参见示例5.1）。从数值上可以得出z*≈ （0.601，1.153）和g（z*) ≈ 0.877. 为了检验这一预测，我们对大小为n=10、初始违约概率为10的金融网络进行了10次模拟-3、在只有5.32%的模拟中，我们观察到了弹性，即模拟的最终违约率低于3%。所有剩余模拟的最终违约率均在[85.65%，89.73%]以内，因此属于非惯性性质。对后者进行平均后，最终平均违约率为87.71%。现在考虑以下修改后的网络：不是将风险敞口2分配给两个1类银行之间的所有链接，而是将风险敞口1分配给所有其他链接，这次将风险敞口2以概率p分配给任何前往1类银行的边（所有其他边都分配有风险敞口1）。也就是说，我们保留了网络的骨架，但我们重新分配风险敞口，使其只依赖债权银行，而不依赖借方银行。

风险敞口为2的边缘银行总数保持不变（请注意，在第一个网络中，1类银行占1类银行所有借方银行中p的比例）。这可以通过为所有i指定以下新顶点权重来实现：w+，1,1i=w+，2,1i=2∈ [n] 。此外，如果αi=1，则-,1,1i=w-,1,2i=2（1- p） 和w-,2,1i=w-,2,2i=2p。所有其他顶点权重应保持不变。然后，新系统简化为以下两个函数，其根集如图7（b）所示：f（z，z）=2pPPoi（2（1- p） （z+z））+2Poi（2p（z+z））≥ 2.- z、 f（z，z）=2（1- p） pPoi（2（z+z））≥ 2.- 图7（b）显示，fis的根集向左移动，现在开始于f的根集之上。因此，我们已经可以预期S={0}，并且新系统具有弹性。也更加严格，如z，z→ 0，我们得出fz（z，z）=4p（1- p） pPoi（2（1- p） （z+z）+2Poi（2p（z+z））=1+ 4便士Poi（2（1- p） （z+z））+2Poi（2p（z+z））∈ {0, 1}- 1.→ 4p- 1 = -,fz（z，z）=4p（1- p） pPoi（2（1- p） （z+z）+2Poi（2p（z+z））=1+ 4便士Poi（2（1- p） （z+z））+2Poi（2p（z+z））∈ {0, 1}→ 4p=，fz（z，z）=4（1- p） pPoi（2（z+z））=1→ 0,fz（z，z）=4（1- p） pPoi（2（z+z））=1- 1.→ -因此，方向导数Dvf（0）和Dvf（0）存在于每v∈ RV+。然后选择示例v=（v，v）=（1，1），使Dvf（0）=-1/9和Dvf（0）=-根据引理3.3，我们由此导出z*= 0，因此S={0}。这允许我们应用定理4.2，因此修改后的系统确实具有弹性。同样，这可以通过数值验证。在与前一次模拟相同的框架上，但在如上所述的随机风险敞口情况下，模拟的最终违约分数现在都在区间[0.11%，0.63%]内，平均为0.20%。

因此，该系统确实具有弹性。虽然示例5.3过于简单，无法对真实的金融网络进行建模，但它仍然表明，依赖交易对手的风险敞口可能会对系统的稳定性产生重大影响。然而，一般来说，它们也可能增加系统的稳定性。6证明在本节中，我们将在第3节和第4节中提供结果的证明。定理3.4将分两步证明。在这一点上，基本思想与[19]相似，但在相当多的步骤中，必须使用新的方法，我们将特别详细地讨论它们。我们使用符号[a，b]：=\\（r，α，β）∈V{z∈ RV：ar，α，β≤ zr，α，β≤ br，α，β}对于由RVin中的向量a和b跨越的长方体，如下所示。进一步，让ζ∈ RV+，0由ζr，α，β定义：=E[W+，r，α1{A=β}]。6.1引理3.2的证明和3.3引理3.2的证明。最小节理根^z的存在性∈ [0，ζ]由KnasterTarski固定点定理确定。现在我们构造一个联合根S'z≤^z表示^z=(R)z∈ S、 特别是：对于所有（r，α，β），它保持fr，α，β（^z）=0∈ V，然后fr，α，β（z）≤ 0 forall^z≥ z∈ RV+，0使得zr，α，β=^zr，α，β通过引理3.1中fr，α，β的单调性。然后考虑以下顺序（zn）n∈N RV+，0：oz=0oz=（z1,1,1，0，…，0），其中z1,1,1≥ 0是可能的最小值，因此f1,1,1（z）=0。由于f1,1,1连续，f1,1,1（0），可以通过中间值定理找到这样的z1,1,1≥ 0和f1,1,1（^z1,1,1，0，…，0）≤ 通过引理3.1，它保持sfr，α，β（z）≥ fr，α，β（0）≥ 0表示所有（1，1，1）6=（r，α，β）∈ 五、特别是z∈ S、 oz=z+（0，z1,1,2，0，…，0），其中z1,1,2≥ 0是f1,1,2（z）=0的最小值。同样，由于f1,1,2连续，f1,1,2（z），可以通过中间值定理找到z1,1,2≥ 0和f1,1,2（z+（0，^z1,1,2，0，…，0））≤ 0

自z起∈ S、 byLemma 3.1然后保存fr、α、β（z）≥ fr，α，β（z）≥ 0表示所有（1，1，2）6=（r，α，β）∈ 五、特别是z∈ S、 ozi，i∈ {3，…，RT}，类似地，只改变相应的坐标zRT+1=zRT+（z1,1,1RT+1- z1,1,1RT，0，0），其中z1,1,1RT+1≥ z1,1,1是最小值，使得f1,1,1（zRT+1）=0，这同样可以通过中间值定理实现。特别是，它仍然保持z1,1,1RT+1≤ ^z1,1,1。与之前一样，zRT+1∈ S、 o继续zi，i≥ RT+2。序列（zn）n∈以这种方式构造的Nconstructed具有以下属性：它在每个坐标中都不递减，并且（zn）n∈N S、 此外，它在[0，^z]内有界。因此，通过单调收敛，zn的每个坐标收敛，因此z=limn→∞Zn存在。现在假设有（r，α，β）∈ 使fr，α，β（(R)z）>0。通过fr，α，β的连续性，然后也是fr，α，β（zn）> 对于某些 > 0和n足够大。然而，这与序列（zn）n的构造相矛盾∈Nsince fr，α，β（zn）=0，在每个RT-th步骤中。因此fr，α，β（(R)z）≤ 0表示所有（r，α，β）∈ 五、也是'z∈ S、 然而，由于这是一个封闭集。因此fr，α，β（(R)z）≥ 0表示所有（r，α，β）∈ 这表明z是所有函数fr，α，β，（r，α，β）的联合根∈ 五、现在来证明z*∈ 它是所有函数fr，α，β，（r，α，β）的联合根∈ V：首先为每个 > 0：秒() :=\\（r，α，β）∈V{z∈ RV+，0:fr，α，β（z）≥ -}进一步表示为S() S中0的连接组件(). 通过与^zabove相同的过程，我们现在得出存在一个最小（组件）点^z() ∈ S() 这样fr，α，β（^z()) = - 对于所有（r，α，β）∈ 五、很明显，^z() 在中未减少 （组件）因此▄z：=lim→0+^z() 存在（我们将显示▄z=z*事实上）。现在通过S的单调性(), 我们推导出^z（δ）∈ S（δ） S() 对于所有δ≤ .

SinceS公司() 是一个闭集，因此必须保持▄z=limδ→0+^z（δ）∈ S() 对于所有人 > 0，特别是z∈T>0秒(). 此外，通过fr，α，β的连续性，（r，α，β）∈ V，我们推导出t>0秒() T>0秒()  S、 此外，T>0秒() 是Hausdorff空间Rv中一系列连通紧集的交点，因此它本身就是一个连通紧集。因为它进一步包含0，所以我们可以得出结论>0秒()  因此，砂z∈ S、 我们现在要展示z≤任意z的z分量∈ S、 这清楚地证明了▄z=z*. 因此，有必要显示 [0，^z()]. 然后z≤^z() 和z≤ lim公司→0+^z() =~z.Hencesame，S6 [0，^z()]. 通过Swe FIND'z的连通性∈ Swith？zr，α，β≤ ^zr，α，β() 对于所有（r，α，β）∈ V和至少一个坐标的等式。W、 让这个坐标为（1，1，1）。通过f1,1,1相对于zr，α，β的单调性，对于每个（r，α，β）6=（1，1，1），我们得出f1,1,1（(R)z）≤ f1,1,1（^z()) = -.然而，我们也假设∈ 砂，因此f1,1,1（(R)z）≥ 0，矛盾。最后，我们得到fr，α，β（z*) = fr，α，β（~z）=lim→0+fr，α，β（^z()) = lim公司→0+(-) = 0，fr，α，β的连续性。因此z*实际上是所有函数fr，α，β，（r，α，β）的联合根∈ 五、引理3.3的证明。请注意，有必要构建序列（zn）n∈N RV+使LIMN→∞zn=(R)z和fr，α，β（zn）<0（r，α，β）∈ V，n∈ N、 根据fr的单调性，引理3.1中的αβ得出z*≤ z，因此z*≤？z.如果条件1。我们很满意→∞nfr，α，β\'z+n-1伏= Dvfr，α，β（(R)z）<0，因此我们可以选择zn：=(R)z+n-1伏。如果条件2。值得注意的是，Fubini的n>-1we衍生FR，α，β\'z+nv=锌- vr，α，β+Xr∈[R] E“W+，R，αXβ∈【T】vr，β，βW-,r、 β！1{A=β}×PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γ\'zs，β，γ+δvs，β，γ!∈{C- rC- 1}!#!dδ≤ -n-1(1 - κ） vr、α、β和lim supn→∞nfr，α，β\'z+n-1伏≤ (1 - κ） vr，α，β<0。

因此选择zn：=(R)z+n-再次为1v。6.2有限权重主要结果的证明在本节中，我们考虑一种特殊情况，即顶点权重wr、α、β和大写字母C仅取有限集中的值。要将其形式化，请考虑以下定义：定义6.1（有限正则顶点序列）。由（w）表示的正则顶点序列-,r、 如果存在J，则称α，w+，r，α，c，α∈ N和（▄w-,1,1j，w+、R、Tj）∈ R2RT+，0，j∈ [J] ，以及cmax∈ 确保所有n∈ N和i∈ [n] ，存在j=j（n，i）∈ [J] 使得w±，r，αi（n）=▄w±，r，αjand ci（n）∈ [cmax]∪ {0, ∞}.也就是说，在一个单位系统中，所有单位的集合被划分为T J（cmax+2）集合。特别是，在这种情况下，所有权重w±，r，α都是由某个常量w从上方限定的∈ R+，因此通过支配收敛，我们可以计算fr，α，β的偏导数：fr，α，βzr，α，β（^z）=-δr，rδα，αδβ，β+δβ，αE“W+，r，αW-,r、 β1{A=β}×PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ！∈ {C- rC- 1}!#,其中δa，b：=1{a=b}。因此对于任何向量v∈ RV，fr，α，β的方向导数，在方向v中由以下连续表达式给出：Dvfr，α，β（^z）=-vr，α，β+Xr∈[R] E“W+，R，αXβ∈【T】vr，β，βW-,r、 β！1{A=β}×PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ！∈ {C- rC- 1}!#然后，我们可以证明网络中最终违约分数的以下渐近结果。提案6.2。考虑一个由一元正则顶点序列描述的金融系统，并将^z设为函数{fr，α，β}（r，α，β）的最小联合根∈五、 那么它就是N-1 | Dn |≥ g（^z）+op（1）。如果另外存在v∈ RV+使Dvfr，α，β（^z）<0 forall（r，α，β）∈ V，然后n-1 | Dn |=g（^z）+op（1）。参见图2（a）中的示例∈ RV+分别存在于图2（b）中，但不存在。下面的定理6.3也将分析后一种类型的系统。证据

我们从证明下限开始：正如在[19]和[20]中，我们切换到一个顺序违约传染过程。其想法是收集违约机构，而不是一次将其全部披露（如（2.2）所示），而是在每一个时间段内统一随机选择一个违约机构≥ 1并将其暴露给其邻居（绘制边）。使用基本假设，在默认过程中，有必要跟踪以下集合和数量：Uα（t）：={i∈ [n] ：αi=α，且i为默认值，但在时间t}，Sαj，m，l（t）：=ni时未暴露∈ [n] ：αi=α，w±，r，βi=~w±，r，βj，ci=m，i在时间上的总暴露量为l，uα（t）：=| uα（t）|，cαj，m，l（t）：=Sαj，m，l（t）, wr，α，β（t）：=Xi∈Uβ（t）w+，r，αi。Let h（t）：=（Uα（t），cαj，m，l（t），wr，α，β（t））和h（t）=（h（s））s≤t、 对于足够大的n，使得所有pri，j<R-1（可能按基本权重），系统在时间t isE的预期演变cαj，m，l（t+1）- cαj，m，l（t）H（t）=Pβ∈[T]uβ（T）Xβ∈【T】十五∈Uβ（t）Xr∈[右]xi∈Sαj，m，l-r（t）w+，r，αvw-,r、 β英寸-xi∈Sαj，m，l（t）w+，r，αvw-,r、 β英寸=Xr公司∈[R] Pβ∈[T]wr，α，β（T）~w-,r、 βjPβ∈[T]uβ（T）cαj，m，l-r（t）- cαj，m，l（t）n.E[uα（t+1）- uα（t）| H（t）]=-uα（t）Pβ∈uβ（T）+Xj，mXr∈[R] Pβ∈[T]wr，α，β（T）~w-,r、 βjPβ∈[T]uβ（T）m-1Xl=米-rcαj，m，l（t）n，Ehwr，α，β（t+1）- wr，α，β（t）H（t）i=-wr，α，β（t）Pγ∈uγ（T）+Xj，mw+，r，αjXs∈[R] Pγ∈[T]ws，β，γ（T）~w-,s、 γjPγ∈[T]uγ（T）m-1Xl=米-右侧的表达式都是uα（t）、wr、α、β（t）、cαj、m、l（t）和asPβ的Lipschitz函数∈uβ（T）的界远离零。Wormaldtheorem【39】中的所有剩余条件可以通过与【19】中类似的方法进行检查。

因此，我们可以一致地近似-1cαj，m，l（t）=γαj，m，l（n-1t）+op（1），（6.1）n-1uα（t）=να（n-1t）+op（1），（6.2）n-1wr，α，β（t）=ur，α，β（n-1t）+op（1），（6.3），其中函数γαj，m，l（τ），να（τ）和ur，α，β（τ）定义为dτγαj，m，l（τ）=Xr的唯一解∈[R] Pβ∈[T]ur，α，β（τ）~w-,r、 βjPβ∈[T]νβ（τ）γαj，m，l-r（τ）- γαj，m，l（τ）, （6.4）ddτνα（τ）=-να（τ）Pβ∈[T]νβ（τ）+Xj，mXr∈[R] Pβ∈[T]ur，α，β（τ）~w-,r、 βjPβ∈[T]νβ（τ）m-1Xl=米-rγαj，m，l（τ），（6.5）ddτur，α，β（τ）=-ur，α，β（τ）Pγ∈[T]νγ（τ）+Xj，mw+，r，αjXs∈[R] Pγ∈[T]us，α，γ（τ）~w-,s、 γjPγ∈[T]νγ（τ）m-1Xl=米-rγαj，m，l（τ）。（6.6）近似值（6.1）-（6.3）对于t/n<τ：=inf{τ∈ R+，0:Pβ∈[T]νβ（τ）=0}。对于zr，α，β（τ）：=RτuR，α，β（s）/Pγ∈（6.4）-（6.6）的隐式解由γαj，m，l（τ）=P（W±，r，α=~W±，r，αj，C=m，A=α）PXs给出∈[R] sPoiXβ∈[T]~w-,s、 βjzs，α，β（τ）！=l！，να（τ）=E“PXs∈[R] sPoiXβ∈【T】W-,s、 βzs，α，β（τ）！≥ C1{A=α}#-Zτνα（s）Pβ∈[T]νβ（s），ur，α，β（τ）=E“W+，r，αPXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ（τ）！≥ C1{A=β}#- zr，α，β（τ）。特别是，请注意pα∈[T]να（τ）=g（z（τ））- τ和ur，α，β（τ）=fr，α，β（z（τ））。因此，对于τ<^τ，它保持fr，α，β（z（τ））=n-1wr，α，β（bτnc）+op（1）≥ 0+op（1）并让n→ ∞, 它遵循fr、α、β（z（τ））≥ 通过z（τ）的连续性，z（0）=0，因此z（τ）∈ S、 此外，fr，α，β（z（τ））=ur，α，β（τ）=n-1wr，α，β（bτnc）+op（1）≤ n-1wuβ（bτnc）+op（1）=wνβ（τ）+op（1）和as n→ ∞, fr，α，β（z（τ））≤ wνβ（τ）。Asτ→ ^τ，Pβ∈[T]νβ（τ）→ 0，因此通过z（τ）的连续性，fr，α，β（z（^τ））=0表示所有（r，α，β）∈ 五、再次通过z（τ）的连续性和S的闭合性，我们得出z（^τ）≥^z.特别是g（^z）≤ g（z（^τ））=limτ→^τg（z（τ））=limτ→^τXα∈[T]να（τ）+τ=^τ。（6.7）因此，我们只需显示^t/n≥ ^τ+op（1），以证明定理的第一部分，其中^t表示pα的第一次∈[T]uα（T）=0。定义Xn：=（b^τnc∧^t）/n- ^τ.则^t/n≥ ^τ+Xn。

此外，对于 > 0和n足够大，使得^τ- b^τnc/n≤ , 我们获得了) = P（^τ）-^t/n>) ≤ PXα∈[T]να（^T/n）>最小τ∈[0,^τ-]Xα∈[T]να（τ），^T/n<^τ！，使用pα的连续性∈[T]να（τ）。让我们现在（Yn）n∈确认Pα∈[T]uα（T）/n- να（吨/吨）≤ Ynand Yn=op（1）（存在（Yn）n∈根据（6.2）确定。SincePα∈[T]uα（^T）=0，我们得出p（| Xn |>) ≤ PYn>最小τ∈[0,^τ-]Xα∈[T]να（τ）！→ 0，作为n→ ∞.为了证明第二部分，我们首先要证明v的存在意味着实际上z（^τ）=^z。为此，假设z（^τ）6=^z。然后存在（r，α，β）∈ V和δ>0，使得zr，α，β（^τ）>^zr，α，β+δvr，α，β。在不丧失一般性的情况下，假设zr，α，β（τ）是达到^zr，α，β+δvr，α，β的第一个坐标，即存在τδ∈ [0，^τ]使得z（τδ）≤^z+δv成分w和zr，α，β（τδ）=^zr，α，β+δvr，α，β。但通过Dvfr，α，β（^z）<0和Dvfr，α，β（z）的连续性，我们得出δ>0足够小，以至于0>fr，α，β（^z+δv）≥ fr，α，β（z（τδ）），其中我们使用引理3.1中fr，α，β的单调性。这与fr，α，β（z（τ））相矛盾≥ 0表示所有τ∈ [0，^τ]，因此必须保持z（^τ）=^z。特别是，g（^z）=^τ（参见（6.7））。以下困难在于，系统仅由函数γαj、m、l（τ）、να（τ）和ur、α、β（τ）描述，只要τ<^τ，第一次是pα∈[T]να（τ）=0。然而，Wormald\'stheorem没有在^τ时或之后对系统做出任何声明。因此，想法如下：我们让τ是ur，α，β（τ）的第一次≤ vr，α，β 对于所有（r，α，β）∈ V并选择序列(n） n个∈N R+这样n→ 0作为n→ ∞. 然后，我们将第一个bτ与之前一样考虑级联过程nnc步骤，我们证明了剩余违约数Rndividedby n收敛到0的概率为n→ ∞.

特别是，这将表明n-1 | Dn |=n-1^t=n-1（bτnnc+Rn）≤ τn+n-1Rn≤ ^τ+op（1）=g（^z）+op（1）。为了显示n-1Rn=op（1），我们将按（2.2）中的顺序逐轮披露违约银行，即我们披露银行inSα∈[T]Uα（bτnnc）立即等等。然而，对于所有r，W+，r，αi=0的银行∈ [R] 和α∈ 不会感染任何新银行。因此，我们只需要考虑具有PR的银行∈[R] Pα∈在以下情况下，w+，r，αi>0。由于我们处于初级环境，这意味着存在w>0这样的∈[R] Pα∈[T]w+，r，αi≥ WF适用于所有银行。考虑到总输出权重为零的银行，只会导致Rn的额外有界因子。对于步骤bτ中的每个溶剂组nnc违约有两种可能的方式：要么对违约银行的风险敞口大于步骤bτ的剩余资本nnc（银行直接违约）或至少有两个违约银行的风险敞口加起来大于剩余资本（银行间接违约）。因此，对于α∈ [T]和l≥ 1我们定义了以下集合：Dαl=Dαl（τn） ={i∈ [n] ：αi=α，且i在步骤bτ后的第l轮中直接默认nnc}Iαl=Iαl（τn） ={i∈ [n] ：αi=α，且i在步骤bτ后的第l轮间接默认nnc}进一步，设Tαl=Dα∪ Iα。尤其是Rn=Pα∈【T】Pl≥1 | Tαl（τn） |。此外，以下数量将发挥重要作用：Dr，α，βl=Xi∈Dβlw+，r，αi，Ir，α，βl=Xi∈Iβlw+，r，αI和Tr，α，βl=Xi∈Tβlw+，r，αi，l≥ 1，（r，α，β）∈ VWe现在再次利用Dvfr，α，β（^z）<0的假设（r，α，β）∈ 五、也可以说，由于权重是假定的，因此表达式Dvfr，α，β（z）在z中是连续的。此外，z（τ）在τ中是连续的。因此用于 > 0足够小（即z（τ) 接近^z），它保持s0>Dvfr，α，β（z（τ))=Xr公司∈[R] E“W+，R，αXβ∈【T】vr，β，βW-,r、 β！×PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ（τ)!∈ {C- r

C- 1}!1{A=β}#- vr，α，β=Xj，mw+，r，αjXr∈[R] Xβ∈【T】vr，β，β▄w-,r、 βj！rXs=1γβj，m，m-s（τ) - vr，α，β。因此，我们可以发现c<1，这样对于所有（r，α，β）∈ V它保持sxj，mw+，r，αjXr∈[R] Xβ∈【T】vr，β，β▄w-,r、 βj！rXs=1γβj，m，m-s（τ) ≤ cvr，α，β。通过（6.1）和可能略微增加的c，我们得出了xj，mw+，r，αjXr∈[R] Xβ∈【T】vr，β，β▄w-,r、 βj！rXs=1cβj，m，m-s（bτnc）n≤ aσ（h（bτ）上的cvr，α，βnc））-可测量集Ohm确认limn→∞P(Ohmn） =每 > 0、进一步定义τ和（6.3），我们可以选择Ohm以这样的方式-1wr，α，β（bτnc）≤ 2.vr，α，β保持不变Ohm对于所有（r，α，β）∈ 五、然后我们可以计算Ohmnn型-1EhDr，α，βh（bτnc）i≤Xj，mw+，r，αjm-1Xl=0cβj，m，l（bτnc）nXβ∈【T】十五∈Uβ（bτnc）RXr=m-lwr，+，βvw-,r、 βjn≤ 2.Xj，mw+，r，αjm-1Xl=0cβj，m，l（bτnc）nXβ∈[T]RXr=m-lvr，β，βИw-,r、 βj≤ 2.cvr，α，β，n-1Hir，α，βh（bτnc）i≤ n-1Xj，毫米-1Xl=0Xi∈Sβj，m，l（bτnc）wXβ∈【T】十五∈Uβ（bτnc）RXr=m-lwr，+，βvw-,r、 β英寸！≤ wXβ∈[T]RXr=0wr，β，β（bτnc）西北！≤ C,式中，C：=4T（R+1）wkvk∞. 特别是 > 0足够小，我们发现c∈ (0, 1 - c） 使c≤ 2.cvr，α，β表示所有（r，α，β）∈ V，因此开启Ohmnit认为N-1HTR，α，βh（bτnc）i=n-1EhDr，α，βh（bτnc）i+n-1Hir，α，βh（bτnc）i≤ 2.（c+c）vr，α，β。然后设c：=c+c∈ (0, 1). 我们继续归纳：假设Ohmnit适用于l≥ 1这n-1HTR，α，βlh（bτnc）i≤ 2.clvr，α，β。

然后我们推导Ohmnthatn公司-1EhDr，α，βl+1h（bτnc）i=n-1Xj，毫米-1Xl=0Xi∈Sβj，m，l（bτnc）w+，r，αiP我∈ Dβl+1h（bτnc）≤Xj，mw+，r，αjm-1Xl=0cβj，m，l（bτnc）nEXβ∈【T】十五∈TβlRXr=m-lwr，+，βvw-,r、 βjnh（bτnc）=Xj，mw+，r，αjm-1Xl=0cβj，m，l（bτnc）nXβ∈[T]RXr=m-长宽-,r、 βjn-1HTR，β，βlh（bτnc）i≤ 2.clXj，mw+，r，αjXr∈[R] Xβ∈【T】vr，β，β▄w-,r、 βj！rXs=1cβj，m，m-s（bτnc）n≤ 2.clcvr，α，β，n-1 Hir，α，βl+1h（bτnc）i=n-1Xj，毫米-1Xl=0Xi∈Sβj，m，l（bτnc）w+，r，αiP我∈ Iβl+1h（bτnc）≤Xj，mw+，r，αjm-1Xl=0cβj，m，l（bτnc）nXβ∈[T]RXr=m-长宽-,r、 βjn-1HTR，β，βlh（bτnc）i×Xβ∈[T]RXr=m-长宽-,r、 βjn-1Xk≤lEhTr，β，βkh（bτnc）i≤ w2.T（R+1）wclvr，β，β2.T（R+1）wXk≤lckvr，β，β！≤ Ccl1- c现在选择 > 0足够小，以至于-c≤ 2.cvr，α，β，并得出结论Ohmnn型-HTR，α，βl+1h（bτnc）i=n-1EhDr，α，βl+1h（bτnc）i+n-1 Hir，α，βl+1h（bτnc）i≤ 2.cl+1vr，α，β，n-1Xα∈[T]Xl码≥1E[| Tαl | | h（bτnc）]≤ n-1Xα∈[T]Xl码≥1E“Xi∈TαlPr∈[R] Pγ∈[T]w+，r，γiwh（bτnc）#=w-1n-1Xr∈[R] Xα，γ∈[T]Xl码≥1E级Tr，γ，αlh（bτnc）≤ 2.w-1（R+1）T1- ckvk公司∞.现在再考虑一下顺序(n） n个∈Nfrom before and let, δ>0任意。对于n largeenough来说n≤ , 我们推导（使用倒数第二步中的马尔可夫不等式）Pn-1Rn≥ δ≤ Pn编号-1Xα∈[T]Xl码≥1 | Tαl（τ)| ≥ δ!≤ E“δ-1n-1Xα∈[T]Xl码≥1E级|Tαl（τ)|h（bτnc）#≤ 2.δ-1瓦-1（R+1）T1- ckvk公司∞+ (1 - P(Ohmn） ）。选择 如果足够小，n足够大，这个量就会变得任意小。因此，n-1Rn=op（1），这完成了上述证明。定理6.3。考虑一个由基本正则顶点序列和let^z和z描述的金融系统*是最小的响应。Sof函数{fr，α，β}（r，α，β）中的最大联合根∈五、 Theng（^z）+op（1）≤ n-1 | Dn |≤ g（z*) + op（1）。

特别是，如果^z=z*, 然后n-1 | Dn |=g（^z）+op（1）。定理6.3证明的想法是对金融系统施加进一步的小冲击，从而使命题6.2中的第二个陈述变得适用。也就是说，我们以概率独立地删除系统中的每个有偿付能力的银行 > 0表示fr、α、β、g、^z和z的分析*通过fr，α，β, g级,^z() 分别为z*(). 也就是fr，α，β（z） =EW+，r，α1{A=β}- zr，α，β+ (1 - )fr，α，β（z），g（z） = + (1 - )g（z）。我们可以在下面假设E[W+，r，α1{A=β}]>0，因此fr，α，β（z） >所有z的fr，α，β（z），否则fr，α，β（z）=-我们可以在证明中省略（r，α，β）-成分。下面的引理描述了z*() 对于小型:引理6.4。函数z*: R+，0→ RV+，0在每个组件中是右连续且单调递增的。特别是导数（z*)() Lebesgue几乎每 > 0和z*() - z*≥R（z）*)（ξ） dξ分量。证据对于每个z∈ 沙 > 0表示fr、α、β（z）≥ fr，α，β（z）≥ 0，因此S S(), 在哪里() 表示额外休克病例的SFO类似物。特别是z*∈ S()因此z*≤ z*() 组件方面。相同的参数显示z*() ≤ z*() 对于任何≤ 因此z*() 在每个分量中都是单调递增的。特别是lim→0+z*() 存在和lim→0+z*() ∈T>0秒(). 现在让δ>0。fr，α，β的BY连续性（z） 关于 z表示fr，α，β（z）≥ fr，α，β（z）- δ用于 在紧集[0，ζ]中，z足够小且全部为z。因此对于z∈T>0秒(), 我们得到fr，α，β（z）≥ -每δ>0和soT的δ>0秒()  S、 然而，sinceT>0秒() 是Hausdorff空间RV中一系列连通紧集的交点，它本身就是一个连通紧集。自0以后∈T>0秒(), 我们由此得出>0秒() = S、 就是lim→0+z*() ∈ 砂，因此lim→0+z*() = z*.

同样的论点表明limh→0+z*( + h） =z*() 预演 > 0，从而证明z的右连续性*().然后，单调函数导数的一个经典结果（例如参见[38，定理7.21]）得出（z）的存在性*)几乎到处都是andz*() - z*≥ 林氏→0-z*( + h）- 林氏→0+z*（h）≥Z（z）*)（ξ） dξ。定理6.3的证明。如上所述，为了将此一般设置减少到提案6.2中的特殊情况，我们对系统应用了额外的小冲击。也就是说，如果我们能找到向量v() ∈ R+使Dv()fr，α，β（^z()) < 0表示所有（r，α，β）∈ V，然后应用命题6.2，我们得出最终违约分数n-1 | Dn |在额外受冲击的系统中n-1 | Dn |≤ g级（^z()) + op（1）≤ g级（z）*()) + op（1）≤  + g（z*()) + op（1）。因此，对于任意δ>0和 = （δ） >0足够小，我们导出n-1 | Dn |- g（z*) > δ≤ Pn-1 | Dn |- ( + g（z*()) > δ/2→ 0，作为n→ ∞和thusn-1 | Dn |≤ g（z*) + op（1）。让我们证明向量v的存在性(): 通过引理6.4，我们知道（z*)() 几乎无处不在（z）*)（ξ） dξ≤ z*() - z*< ∞. 通过可积性，我们可以找到一个序列(n） n个∈N （0，1）使得n→ 0作为n→ ∞ 对于每个nit保持（z*)(n） <-1n（ζζ）- z*- δ1）成分，其中0<δ<ζr，α，β- （z）*)r、 α，β表示所有（r，α，β）∈ V和1=（1，…，1）∈RV+。这个界限可以用相同的对于每个部件，考虑集水坑（r、α、β）∈V（（z*)r、 α，β）（ξ）仍然是可积的。0=fr，α，β（z）*()) = (1 - )fr，α，β（z*()) + EW+，r，α1{A=β}- （z）*)r、 α，β(),然后我们推导出ddfr，α，β（z*())=n=-(1 - n）ζr，α，β- （z）*)r、 α，β(n）+n1型- ndd公司（z）*)r、 α，β()=n<-1.- nζr，α，β- （z）*)r、 α，β(n）- ndd公司（z）*)r、 α，β()=n< -1.- n（z）*)r、 α，β+δ- （z）*)r、 α，β(n）< 0对于足够大的n（z*)r、 α，β(n） <（z*)r、 α，β+δ。

然而，另一方面，ddfr，α，β（z*())=n=Dv(n） fr，α，β（z*(n） （）≥ Dv(n） fr，α，βn（z*(n） ），其中v(n） ：=（z*)(n） 。因此，Dv(n） fr，α，βn（z*(n） ）<0。事实上，它也认为VR，α，β(n）≥ 林氏→0E“W+，r，α1{A=β}PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γ（z*)s、 β，γ(n+h）！<C#≥ E“W+，r，α1{A=β}PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γζs，β，γ！<C！#>0，使用fr，α，βn（z*(n） ）=fr，α，βn+h（z*(n+h））=0。因此，如果^z(n） =z*(n） 。否则，请注意以下事项：对于每个δ>0，它保持fr、α、βn（^z(n+δ）<fr，α，βn+δ（^z(n+δ））=0。通过fr，α，β的单调性从引理3.1，我们导出z*(n）≤^z(n+δ）≤ z*(n+δ）。亨塞斯δ→ 0，使用该z*(n+δ）→ z*(n） 通过引理6.4，我们得出结论(n+δ）→ z*(n） asδ→ 因此，我们推导出当δn>0足够小时，它保持Dv(n） fr，α，βn+δn（^z(n+δn））<0，通过Dvfr，α，β的连续性（z） w.r.t。 因此，将命题6.2应用于金融系统n+δnand选择向量v(n） 对于方向导数。6.3定理3.4的证明在上一节中，我们推导出了最终默认细分的显式渐近表达式。如果在我们的模型中，我们仅从有限集合中选择顶点权重。虽然这为大型金融网络的行为提供了第一个重要的视角，但无法通过有界顶点权重对真实金融网络的重尾梯度分布进行建模。

因此，定理3.4将定理6.3扩展到一般（非单位）正则顶点序列的情况。本节其余部分的概述如下：我们希望通过两个基本顶点序列来近似一般规则顶点序列，其中一个描述的系统默认值较少，另一个描述的系统默认值较多。为此，我们首先构造相应的极限分布函数{FAk}k∈n相关{FBk}k∈Nand然后利用定理6.3研究基本系统。让D∞:=R[R]×[T]+，0×N×[T]和for（r，α，β）∈ V，（z，x，y，`，m）∈ RV+，0×D∞, lethr，α，β（z，x，y，`，m）：=yr，αψ\'xγ∈[T]x1，γz1，β，γ，Xγ∈[T]xR，γzR，β，γ！1{m=β}，h（z，x，y，`，m）：=xβ∈[T]ψ\'Xγ∈[T]x1，γz1，β，γ，Xγ∈[T]xR，γzR，β，γ！1{m=β}，其中与ψ`（x，…，xR）之前一样：=P（Pr∈[R] rPoi（xr）≥ `). 注意，虽然D∞不包含R[R]×[T]+，0×{∞}×[T]，它认为fr，α，β（z）=RD∞hr，α，β（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）-zr、α、β和g（z）=RD∞h（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m），用于定义2.3中给出的权重、资本和类型的极限分布。这是因为ψ∞（x，…，xR）=0。Lethen Z：=[0，ζζ]和H：={H}∪S（r，α，β）∈V{hr，α，β}。作为F的第一个近似值，我们选择离散化sFaj（x，y，`，m）：=Fdjxej，djyej，`，m, FBj（x，y，`，m）：=Fbjxcj，bjycj，`，m对于j∈ N、 其中，d·e和b·c应按部件应用。即序列{FAj}j∈Nand{FBj}j∈Napproximate F分别从上方和下方开始，随着j的增加，近似值变得更加精确。自每小时∈ H在z、x和y上是连续的，很容易得到（参见[19]）对于每个k∈ 存在足够大的jk，使得对于所有j≥ jkit持有ZDkh（z，x，y，`，m）dFA，Bj（x，y，`，m）-ZDkh（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）≤ k-1同时适用于所有z∈ Z、 其中Dk：={（x，y，`，m）：xr，α≤ k、 年，α≤ k、 `≤ k} D∞.

Wedenote FAk：=fajk和FBk：=fbjk，如下所示。通过构造，分布函数FA、bk清楚地对应于离散权重序列，这些离散权重序列可以通过分别向上和向下调整权重从原始规则顶点序列获得。然而，FA、Bk（潜在）仍然将质量分配给实际的许多权重和大写字母。对于FAk的情况，我们可以通过设置FAk（x，y，`，m）：=（FAk（x∧ k、 y型∧ k、 `∧ k、 m），如果`<∞,1，否则，其中·∧ k表示k处的成分截断。也就是说，如果系统中某家银行的资本或其中一个权重超过k（我们在下文中称该银行为大型银行），那么在FAk描述的近似金融系统中，该银行的权重均设置为0，其资本增加至∞ （参考[19]对近似顶点序列的严格定义）。请注意，每个银行的类型保持不变。显然，这进一步减少了系统中的违约，因为如果我们将原始系统与初始近似系统耦合，那么最终违约分数n-1.DAk公司n由n随机支配-1 | Dn |适用于所有k∈ N、 如果我们想将完全相同的想法也应用于FBk，我们需要将大型银行的所有权重设置为∞, 定义一个基本的规则顶点序列是不可能的。尽管如此，仍有可能调整大型银行的权重和资本，使其达到一定数量的值，从而使初始近似系统中的最终违约率随机占主导地位-1 | Dn |。为此，设γβk：=RDck1{m=β}dF（x，y，`，m），其中Dck：=D∞\\Dk、andwr、α、βk：=γβk-1RDckyr，α1{m=β}dF（x，y，`，m）≥ 2k，如果γβk>0,2k，如果γβk=0。然后让FBkbe由FBkon Dk给出。通过这个定义，我们知道它为每个β保持FBk（k，…，k，β）=F（k，…，k，β∈ 因此P（A=β，C<∞) - P（ABk=β，CBk<∞) = γβk。

因此，我们可以将质量γβkt分配给点（0，wk，0，β）。也就是说，如果β型大型银行最初拥有固定资本，则其近似资本设置为0（初始默认值），其in权重设置为0，其out权重设置为wr、α、βk（对于近似顶点序列的严格定义，请参见[19]）。与以前一样，它们的类型没有改变。最后，我们指定剩余质量P（A=β，C=∞) 到点（0，0，∞, β） 对于每个β∈ [T]。通过建设，所有大型银行最初都会在近似的金融系统中违约。此外，与原始系统相比，小型银行的所有权重都有所增加。显示近似系统中出现的默认值比原始系统中出现的默认值多（即-1.DBk公司n随机支配n-1 | Dn |），只剩下每个小时∈ [R] 大型银行相对于各类型α的总R-out权重∈ 近似系统中的[T]比原始系统中的大。但大型银行相对于α型的总r-out权重由nxβ给出∈[T]wr，α，βkγβk+op（1）= 近似系统中的2nZDckyr，αdF（x，y，`，m）（1+op（1）），而对于原始系统，它是nzdckyr，αdF（x，y，`，m）（1+op（1））。因此，对于每个小银行，我∈ [n] 在原始系统中，来自大型银行的传入r边的数量由近似系统中的相应数量随机支配（有关更多详细信息，请参见[19]）。特别是，i对大型银行集合的总敞口（传入边的加权和）是随机占优的。这显示了以下内容：引理6.5。考虑一个正则顶点序列，让序列{FAk}和{FBk}如上所述构造。进一步出租DAk公司nandDBk公司nbe基本近似系统中最终违约银行的集合。

然后使用 表示随机支配，它认为n-1.DAk公司n n-1 | Dn | n-1.DBk公司n.因此，我们对最终违约分数n进行了限定-1 | Dn |从下方和上方使用基本近似值。我们现在想用定理6.3计算这些近似系统的精确最终默认分数。允许fA，黑色r、 α，β（z）=ZD∞hr，α，β（z，x，y，`，m）dFA，Bk（x，y，`，m）- zr，α，β，gA，Bk（z）=ZD∞h（z，x，y，`，m）dFA，Bk（x，y，`，m）fr，α，β和g的相应类似物。进一步，用^zAkand（z）表示*)Akresp公司。^zBkand（z*)bk所有函数的最小和最大联合根fAk公司r、 α、β分别为。fBk公司r、 α，β，（r，α，β）∈ 五、然后，我们将这些量与原始系统进行比较，得出以下结果：引理6.6。它保存lim infk→∞gAk公司^zAk≥ g（^z）和lim supk→∞gBk公司（z）*)黑色≤ g（z*).证据首先注意，对于所有z∈ Z和h∈ H保持不变ZDkh（z，x，y，`，m）dFA，Bk（x，y，`，m）-ZDkh（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）=ZDkh（z，x，y，`，m）dFA，Bk（x，y，`，m）-ZDkh（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）≤ k-1.→ 0，作为k→ ∞.自进一步发展以来→ 0和rdckyr，β1{m=α}dF→ 0，作为k→ ∞, 每小时∈ H以被积函数1或yr为界，β1{m=α}，它对所有z一致成立∈ Z和h∈ H thatRDckhdF公司→ 0。加上rdckhdfak=0，这意味着zd∞h（z，x，y，`，m）dFAk（x，y，`，m）-ZD公司∞h（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）=o（1）（6.8），对于所有z∈ Z和h∈ H、 对于{FBk}k∈N、 我们还需要考虑术语rdckh（z，x，y，`，m）dFBk（x，y，`，m）。ThusZDckdFBk（x，y，`，m）=xα∈γαk，ZDckyr，β1{m=α}dFBk（x，y，`，m）=wr，α，βkγαk。所有这些量在k时趋于0→ ∞ （注意，如果γαk>0，则wr，α，βkγαk=2RDckyr，β1{m=α}dF）。由于每个功能h∈ H以上面的一个（无穷多个）被积函数为界，这意味着RDCKH（z，x，y，`，m）dFBk（x，y，`，m）→ 0，作为k→ ∞, 对所有z一致∈ Z和H∈ H

因此，我们可以得出结论，对于所有z∈ Z和h∈ H、 ZD公司∞h（z，x，y，`，m）dFBk（x，y，`，m）-ZD公司∞h（z，x，y，`，m）dF（x，y，`，m）=o（1）。（6.9）我们现在来看第一句话的证明：让 > 0和定义:=\\（r，α，β）∈V{z∈ RV+，0:fr，α，β（z）∈ [0, ]}.进一步让z∈ RV+，0由zr，α，β定义:= infz公司∈Dzr，α，β，（r，α，β）∈ 五、然后特别是z≤^z组件自^z起∈ D. 此外，z在组件方面明显增加 →0。因此，极限▄z：=lim→0z≤^z存在。现在请注意，对于固定值（r，α，β）∈ V，z的副定义, 我们发现一个序列（zn）n∈N D这样limn→∞zr，α，βn=zr，α，β和锌≥ z组件方面。利用D上fr，α，β的单调性和一致连续性, 然后我们得到fr，α，β（z) ≤ fr，α，β（z1,1,1n，…，zr，α，β, . . . , zR，T，Tn）=fr，α，β（zn）+o（n）≤  + o（n），因此fr，α，β（z) ≤ . 同样，通过fr，α，β的连续性，我们得到fr，α，β（~z）=lim→0fr，α，β（z) ≤lim公司→0 = 在引理3.2的证明中，将^z替换为^z，我们现在得到了一个jointroot'z的存在性≤所有函数fr，α，β，（r，α，β）的z∈ 五、由于^z是最小的关节根定义，因此^z=^z。现在注意，对于足够大的k，通过（6.8），我们得出（fAk）r，α，β（z）≥ fr，α，β（z）-  对于所有z∈ Z、 此外，通过FAk的构造，它认为（FAk）r，α，β（Z）≤ fr，α，β（z）。特别是，我们可以得出结论，^zAk∈ Dk足够大，因此^zAk≥ z. 因此，对于每个 > 0乘以（6.8）我们导出lim infk→∞gAk（^zAk）≥ 利姆→∞gAk（z) =g（z). 最后，利用g和lim的连续性→0z=^z，我们得到第一个声明：lim infk→∞gAk（^zAk）≥ g（^z）如果现在在定理6.3 z的证明中*() 是附加冲击系统的最大联合根，我们通过（6.9）推导得出，对于足够大的k，它能保持fBk公司r、 α，β（z*()) ≤ fr，α，β（z*())/2<0表示所有（r、α、β）∈ V，因此（z*)黑色≤ z*() 组件方面。（假设E[W+，r，α1{A=β}]>0表示所有（r，α，β）∈ 使fr，α，β（z*()) < 0

否则，我们可以在所有证明中省略坐标zr，α，β，因为所有关节根的（r，α，β）-坐标将为0。）再由（6.9）导出lim supk→∞gBk公司（z）*)黑色≤ 利姆→∞gBk（z*()) = g（z*()) 和byletting → 0，lim supk→∞gBk公司（z）*)黑色≤ g（z*).定理3.4的证明。允许 > 通过引理6.5，我们得到n-1 | Dn |- g（^z）<-≤ Pn-1.DAk公司n- g（^z）<-.进一步，通过引理6.6，对于足够大的k，我们得到gAk（^zAk）>g（^z）- /2和hencePn-1 | Dn |- g（^z）<-≤ Pn-1.DAk公司n- gAk（^zAk）<-/2..将定理6.3应用于基本系统，如n→ ∞ 我们导出Pn-1 | Dn |- g（^z< -) → 0，这显示了定理的第一部分。类似地，对于第二部分，通过引理6.5Pn-1 | Dn |- g（z*) > ≤ Pn-1.DBk公司n- g（z*) > 通过引理6.6，对于足够大的k，它认为gBk（（z*)Bk）<克（z*) + /因此，应用定理6.3得出n-1 | Dn |- g（z*) > ≤ Pn-1.DBk公司n- gBk（（z*)黑色）>→ 0，作为n→ ∞.6.4定理4.2第4节的证明。Letγ∈ （0，1）和定义（fγ）r，α，β（z）：=（1- γ） fr，α，β（z）+γζr，α，β- z.进一步，设Sγ：=T（r，α，β）∈V{z∈ RV+，0：（fγ）r，α，β（z）≥ 0}，并用Sγ表示Sγ中包含0的最大连通分量。最后，定义z*（γ） by（z*)r、 α，β（γ）：=supz∈Sγzr，α，β。通过引理6.4的证明，我们知道z*(γ) → 0，为γ→ 0，因此g（z*(γ)) → 0，使用g的连续性。现在选择γ>0，使g（z）足够小*(γ)) ≤ /3和δ>0足够小，使得（fM）r，α，β（z）<（fγ）r，α，β（z）对于所有0≤ z≤ ζ分量和P（M=0）<δ。然后特别是（z*)M≤ z*（γ） 和g（（z*)M）≤ g（z*(γ)) ≤ /如果我们现在可能减少δ，那么δ≤ /3，然后根据定理3.4，我们推导出了冲击系统n中违约银行的最终分数-1 | DMn |该w.h.p.n-1 | DMn |≤ gM（（z*)M） +/3.≤ g（（z*)M） +2个/3.≤ .引理4.6的证明。

让我们(, 一） 表示S的最大连通子集(, 一） ：=\\（r，α，β）∈Vnz公司∈ RV+，0:fr，α，β（z）≥ -1{（r，α，β）∈ 一} o包含0。然后将引理3.2的证明Sin替换为S(, 一） ，我们得到了最小（分量）点^z的存在性(, （一）∈ RV+，0使fr，α，β（^z(, 一） ）=- 对于（r，α，β）∈ Iand frα，β（^z(, 一） ）=0表示（r，α，β）∈ 特别是^z(, （一）∈ S(, 一） 。让我们不要(, 一） ：=\\（r，α，β）∈Vnz公司∈ RV+，0:fr，α，β（z）≤ -1{（r，α，β）∈ 一} o.那么很明显是^z(, （一）∈ T型(, 一） 。此外，为了证明^z的存在(, 一） 我们可以使用任何上界z∈ T型(, 一） ，这表明^z(, （一）≤ z分量。尤其是^z(, 一） ismonotone输入 因此，z（I）：=lim→0+^z(, 一） 存在。现在让我来“z”∈ T（I）任意。然后存在一个序列（zk）k∈N RV+，0，fr，α，β（zk）<0，用于（r，α，β）∈ I分别为fr、α、β（zk）≤ 0表示（r，α，β）∈ V\\I使limk→∞zk=(R)z。根据I的完整性，我们可以找到k> 0，使fr，α，β（zk）≤ -k1{（r，α，β）∈ 一} 对于任何（r，α，β）∈ V和k∈ N、 特别是zk∈ T型(k、 I）因此zk≥^z(k、 （一）≥z.为k→ ∞,因此，我们可以得出以下结论▄z≤“z”表示任何“z”∈ T（I）和▄z≤ z（一）。另一方面，z（I）∈ 定义T（I），因此z（I）=z（I）。最后，注意z（I）=lim→0+^z(, （一）∈T>0秒(, 一） =S，其中最后一个等式从t开始>0秒(, （一） S和that>0秒(, 一） 必须是一个包含0的连接集，因为S(, 一） 是包含0的连接紧集链。定理4.7的证明。设^zm表示事后冲击系统的^z类似物。然后fr，α，β（^zM）+E“W+，r，αPXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γ（^zM）s，β，γ！≤ C- 1.1{A=β}1{M=0}#=（fM）r，α，β（^zM）=0，因此fr，α，β（^zM）≤ 当且仅当E[W+，r，α1{A=β}1{M=0}]=0时，等于0。定义Now := - 最大值（r，α，β）∈Ifr，α，β（^zM）>0，因此^zM∈ T型(, 一） ，其中T(, 一） 如Lemma 4.6的证明。

在^z的施工中(, 一） （见引理4.6），然后我们可以使用上界^zm并获得^z(, （一）≤^zM因此^zM≥ z（一）。至今δ：=gM（^zM）- g（z（I））≥ 总经理（z（I））- g（z（I））=Xβ∈[T]E“PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ（I）！≤ C- 1.1{A=β}1{M=0}#>0，我们可以应用定理3.4得出limn→∞Pn-1 | DMn |<g（z（I））= 画→∞Pn-1 | DMn |<gM（^zM）- δ= 0，因此n-1 | DMn |≥ 现在假设z（I）6=0。因为z（I）是函数fr，α，β，（r，α，β）的联合根∈ 然后，我们推导出存在（r，α，β）∈ V使得e“W+，r，αPXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ（I）！≥ C1{A=β}#=zr，α，β（I）>0和henceE“PXs∈[R] sPoiXγ∈【T】W-,s、 γzs，β，γ（I）！≥ C1{A=β}#>0。特别地，g（z（I））>0。引理4.8的证明。由引理4.6明确z（~V）≤ z*. 现在假设z（≈V） z*. 然后对于一些（r，α，β）∈V它必须保持zr，α，β（PV）<（z*)r、 α，β，通过在引理4.6的顶部构造z（~V），我们可以发现 > 0，使zr，α，β（~V）≤ ^zr，α，β(,V）<（z*)r、 α，β。现在由z的定义*和S的连通性，我们发现Sz≤^z(,V）使得▄zr，α，β=^zr，α，β(,V）。但fr，α，β（~z）≤ fr，α，β（^z(,V））=- < 0，与z相矛盾∈ S、 参考文献【1】P.Aghion、G.-M.Angeletos、A.Banerjee和K。马诺瓦。波动与增长：信贷约束与投资构成。《货币经济学杂志》，57（3）：246–2652010。[2] I.Alves、S.Ferrari、P.Franchini、J.-C.Heam、P.Jurca、S.Lang field、S.Laviola、F.Liedorp、A.S\'anchez、S.Tavolaro和G.Vuillemey。欧洲银行间市场的结构和弹性。ESRB临时论文系列，（3），2013年。[3] H.Amini、R.Cont和A.Minca。金融网络中的沟通弹性。MathematicalFinance，26（2）：329–365，2016年。[4] K.Aoki、G.Benigno和N.Kiyotaki。调整资本账户自由化。预印本，2010年。[5] M.J.Artis和M.Ho Off mann。

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