随机存储问题的模拟方法：一种统计方法

2022-6-9 21:14:03

另一种不同的方法是将总体存储问题视为切换问题的连续集合，并根据It当前的库存水平进行索引。然后，人们可以通过离散库存I来减少到一定数量的一维切换问题，然后并行解决这些问题，并在I方向上使用相互极化【7，30】。另一种方法是通过将（P，I）域划分为子域，在多变量集中联合查看随机风险因子P和库存I，无论是全局的（4，30），还是局部的（9，37）。这在[25，26]中得到了进一步扩展，他还将控制c纳入状态，以处理库存动态具有进一步外部冲击的问题。为了处理未知状态分布，作者建议对反向过程进行多次迭代，以提高解的质量。除RMC外，其他基于蒙特卡罗的替代方案包括Van Ackooijand Warin[36]最近提出的应用随机对偶动态规划和使用二项式或多项式树的马尔可夫决策过程方法[5，17]。RMC估值算法可分为三个子问题：o条件期望值/连续值的近似；o评估最佳控制。o路径值的估计。在存储设置中，大多数模型都考虑离散的存储模式，因此最优控制仅是连续值的最大值（通常通过蛮力比较获得）。

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2022-6-9 21:14:06

至于条件期望，在RMC的保护伞下，文献中流行三种主要方法来近似它：立即回归蒙特卡罗（RNMC）[7、8、10、27、30、37、35]，随后回归蒙特卡罗（RLMC）[4、12、23、24、31]和控制随机化（CR）[25、26]。路径值的计算可以基于一步前瞻（在[35]中引入的所谓TvR模式），利用Egloff在一系列论文[15，16]中提出的部分轨迹的w步前瞻，或Longsta off和Schwartz[27]引入的完整[t，t]轨迹。贡献在本文中，我们从统计学习的角度对随机存储问题进行了统一的处理。我们将基于仿真的动态规划方法重新定义为机器学习任务的迭代序列。在其基本层次上，任务对应于近似值函数，由时间步长参数t索引。等效地，任务可以被视为学习基础q值或最优反馈控制ct，这两种观点都是有用的。从机器学习的角度来看，存储模型被视为一个随机模拟器，它会产生有噪声的路径观测，目的是通过明智地选择要运行的模拟来恢复潜在平均行为，即条件期望。该框架自然强调计算复杂性，并提供了一个容纳各种近似技术的抽象模块化模板。事实上，我们的模板涉及三个主要部分：（i）确定运行哪种模拟的实验设计；（ii）条件期望的近似技术；（iii）恢复最优反馈控制的优化步骤。虽然这些子问题在其他地方得到了不同的处理，但据我们所知，我们是第一个在此背景下完全模块化和提炼它们的人。

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2022-6-9 21:14:09

特别是，强调RMC方法的设计方面，直到最近才在[18，28]中提到。我们借用了第一作者在[28]中介绍的美国选项设计框架，据我们所知，这是第一篇探索存储问题背景下的实验设计的文章。我们表明，现有的存储问题回归蒙特卡罗建议都与此模板非常吻合，而且我们的设置建议了各种进一步的改进。具体而言，我们解决了以下3个增强：（A）新的模拟设计，包括空间填充和各种自适应版本；（B）用于学习值函数的非参数回归架构，如高斯过程回归；（C）不同RMC Ingredintscross时间步的混合方法，甚至在联合-（P，I）和离散库存方案之间交替使用。我们强调我们模板的后一种混合匹配功能，它允许在后退递归过程中，当t发生变化时，直接使用不同的方法，无论是确定性的还是适应性的。我们展示了这样一种可能性，解决了非光滑终端条件。混合和匹配子例程对于在广泛的软件库中实现特别有吸引力。所开发的动态仿真算法适用于范围广泛的随机存储设置，在状态变量和潜在状态动力学维度上具有可扩展性。Weillustrate DEA与4个不同的扩展案例研究。前三个案例研究考虑了天然气储存设施的评估，从福赛斯和陈（11）首次引入的标准基准开始。然后扩展此基准以增加切换成本（使控制机制成为状态的一部分），并考虑同时优化两个存储设施（导致3D状态空间）。

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2022-6-9 21:14:12

最后但并非最不重要的一点是，我们考虑了一个与微电网管理截然不同的示例，该示例解决了调度备用发电机的最佳方法，以平衡间歇性可再生电源和有限电池。我们的发展与最近关于最优止损的文献平行，特别是在Bermudan期权定价的背景下，已经提出并研究了大量的策略[28]。众所周知，就计算方法而言，存储问题，尤其是离散控制的存储问题，是“本质上”最优停止。尽管如此，各自的知识转移并非微不足道，我们在此讨论的各个数值算法之间仍存在实质性差距。因此，本文将最优停止技术“提升”到随机存储的设置（即最优切换），并可以看作是朝着进一步随机控制问题（如最优脉冲或连续控制）的类似处理迈出的一步。论文的其余部分组织如下。第2节描述了经典的存储问题及其解决方案的关键要素。第3节描述了将回归蒙特卡罗的求解步骤模块化为一系列统计学习任务的算法。第4节讨论了高斯过程回归的数学和文献中在存储问题背景下使用的其他流行回归方法。在第5节中，我们介绍了不同的设计备选方案，如空间填充、自适应和动态，以利用空间信息，并利用分批设计有效实施非参数回归方法（尤其是高斯过程回归）。第6节和第7节分别介绍了气体储存和微电网管理的数值说明。

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何人来此

2022-6-9 21:14:15

最后，第8节得出结论。2问题描述一个存储问题的例子是随机风险因素和一个库存状态变量的存在。风险因素具有自主动态性，而库存由运营商通过存储策略（完全）控制；因此，后一种动态是内生的。我们考虑的存储问题的第二个特征是其切换特性：控制器操作包括直接切换存储模式。反过来，储存制度又会推动库存的动态变化。根据设置，状态要么是控制变量，要么是系统状态的一部分。为了使我们的演示更具体，我们将重点放在具有随机价格的经典存储问题上。也就是说，有两个主要的状态变量：ptan和It。Pt公司∈ R+表示存储商品的价格；它∈ [0，Imax]是库存级别。我们在离散为有限网格0=T的时间间隔[0，T]上表示存储动态不确定时间。tk…<tK=T，因此tK=kt=TK。对于价格，我们假设形式Ptk+1=Ptk+b（tk，Ptk）的外生马尔可夫动力学t+σ（tk，Ptk）Wtk，（1）其中(Wt）是外源性i.i.d.随机冲击。对于本文的其余部分，我们将Wtk公司~N（0，√t）表示布朗运动动力学；任何其他（依赖时间的）冲击也可以直接利用。我们用Ftk表示价格过程直到时间tk生成的σ-代数，并用F=（Ftk）表示相应的过滤。库存水平ItfollowsItk+1=Itk+a（ctk）t、（2）其中ctkis为库存控制，表示贮存注入c>0、提取c<0或保持c=0的速率。控制与存储状态mtk相关联。

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2022-6-9 21:14:19

我们假设mtk有三种状态∈ J：={+1，-1，0}分别表示注入、退出和不执行任何操作。状态和控制由联合状态确定：mtk+1=M（tk，Ptk，Itk，mtk），（3）ctk（mtk+1）=C（tk，Ptk，Itk，mtk；mtk+1）（4）注意，上述形式意味着在每个时间步tk和状态（Ptk，Itk，mtk）时，控制员点击她的下一个状态mtk+1，然后确定她的控制ctk（mtk+1）。它还直接将控制限制为马尔可夫反馈形式，使政策（ctk、mtk+1）（Ftk）适应。因此，（Ptk、Itk、mtk）是一个马尔可夫过程，适用于价格过滤（Ftk）。设π（P，c）为当价格为P和k（i，j）时，使用控制c获得的瞬时利润率≥ 0是从状态i切换到j的切换成本。然后是π（Ptk，mtk，mtk+1）：=π（Ptk，ctk（mtk+1））t型-K（mtk，mtk+1）是一个时间步[tk，tk+1]中赚取的净利润。为了表示控制器在[tk，t]上沿Ptk=Ptk:tk指定的路径的累积利润，以及选定的区域序列mtk：=（mtk：tk）（因此控制ctk：=（ctk：tk）），我们使用v（tk，Ptk，Itk，mtk）：=K-1Xs=ke-r（ts-tk）π（Pts、mts、mts+1）+e-r（T-tk）W（PT，IT），（5）其中r≥ 0是折扣率，W（P，I）是合同到期时的最终条件（通常涉及最终库存I）。注意，它是根据mtkusing（2）递归确定的。控制员的目标是最大限度地提高折扣预期利润[tk，T]V（tk，P，I，m）=supmtkEhv（tk，Ptk，Itk，mtk）Ptk=P，Itk=I，mtk=mi，（6）根据Its∈ [Imin，Imax]s、（7）问题（6）属于随机最优控制，满足动态规划原理。

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kedemingshi

2022-6-9 21:14:22

即V（tk，Ptk，Itk，mtk）=最大值∈JEhπ（Ptk、mtk、m）+e-r电视（tk+1、Ptk+1、Itk+1、m）Ptki，（8）当期望值超过随机变量Ptk+1时，因为库存Itk+1完全由Itk和[tk，tk+1]上选择的制度m决定。注意，由于库存约束，一些制度可能不适用于不同的初始条件，因此形式上最大值（8）超过J=J（tk，Ptk，Itk，mtk） {+1, -1, 0}. 例如，如果库存为零，则排除Itk=0进一步取款，J（tk，Ptk，0，mtk）={0，1}。这些限制甚至可能取决于时间或价格，例如在水电管理方面。备注1。在我们的主要设置中，给定随机状态和状态，控制的选择是预先确定的。更一般地说，在该制度的条件下，可能会有一组可接受的控制sa（tk，mtk+1），添加一个额外的优化子步骤。例如，我们可能有A（tk，+1）=（0，cmax（Itk）]和A（tk，-1） =[cmin（Itk），0），其中cmin是最大提取率，Cmax是最大注射率。当| A |>1时，优化问题（8）要求首先找到最佳状态mtk+1，然后找到最佳控制ctk（mtk+1）本制度允许的。然后，原始情况对应于A是一个单态，可以解释为A上的一个微不足道的优化，例如，由于bang-bang结构。抽象地说，如果必要的话，我们可以始终编写包含内部优化器的ECTK（mtk+1）=C（tk，Ptk，Itk，mtk；mtk+1）。2.1解决方案结构由于马尔可夫结构，在每个时间步Tk和状态（Ptk、Itk、mtk），控制器将其下一个状态mtk+1（因此控制ctk（mtk+1））m*（t，P，I，m）=arg maxj∈J{π（P，m，j）+q（t，P，I+a（ct（j））t、 j）}（9），其中q（tk，P，I，m）：=Ee-rtV（tk+1，Ptk+1，I，m）Ptk=P.

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可人4

2022-6-9 21:14:27

（10）从概念上讲，我们有一个从值函数V到所选m的映射*和c*, 编码asm*: （t，P，I，m）7→ J、连续值q、值函数V和控制映射m的显式依赖性*在制度上，m是转换成本K（mtk，mtk+1）的结果，其缺席将导致需要解决的低维问题，见备注3。相反，方程式（6）提供了价值函数的表示，作为基于最优政策m的未来收益的条件预期*. 因此，任何估计值^m：（t，P，I，m）7→ Jof控制图自然地导出值函数的相应估计值^V。具体而言，^m产生动力学^Itk+1=^Itk+actk（^mtk+1（t，P，I，^mtk））t、进而可用于样本外正向模拟，^V（0，P，I，m）=E“K-1Xs=1e-rtsπ（Pts，^mts，^mts+1）+e-rTW（PT，^IT）#。虽然上面没有明确显示^Its，但它是推动^mts+1的关键因素（t、Pts、^Its、^mts）。图1显示了天然气储存设施的（Pt）轨迹和（^It）的几个对应部门，并通过其初始库存I（视为外部参数）对其进行了索引，从而说明了这种双重联系（更多详细信息，请参见第6.1节）。一个有趣的观察结果是，时间t库存对I=I的依赖性相当弱，即库存水平在初始“瞬态”时间段后合并：时间t库存=I。请注意，由于控件是指定的反馈形式，一旦^Iit=^Iitwe有^mits=^mits，库存路径将永远保持在一起。该图还说明了“低买高卖”的基本准则：当Ptis低时，控制库存^为高（并不断增加），当Ptis高时，^为低（并不断缩小）。因此，我们看到围绕最小和最大存储级别Imin、Imax的^Ita聚类，这表明有限存储容量施加的强大约束。

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可人4

2022-6-9 21:14:30

为了可视化估计的最佳价格0.5 1 1.5 2 2.5 32468100 0.5 1.5 2 2.5 3时间（年）050100015002000库存图1：顶部面板：在（24）中对数均值回归过程后商品价格（Pt）的给定轨迹。下面板：受控库存的相应轨迹^Itstartingat^I∈ {0, 500, 1000, 2000}. 该图与第6.1节使用PR-1D解决方案的储气库示例相关。政策^m，图2a绘制了控制图（P，I）7→ ^m（t，P，I）在固定的时间步长t，即- 对于第6.1节中的储气示例，t=0.3年。状态空间分为三个区域：当P较高时，最佳提取：^m=-1.如果P较低，注入^m=+1为最佳；在中间，或者如果库存非常大，最好什么都不做^m=0。通常，该图是通过计算当前库存I并将^m作为P的函数来解释的。然后，我们可以根据注入/退出边界Binj（I，t）和Bwdr（I，t）：Binj（I，t）：=sup{Pt:^m（t，Pt，I）=+1}，Bwdr（I，t）：=inf{Pt:^m（t，Pt，I）=-1}. （11）由于注入价格较低，Binj（I，t）代表最高价格，而注入（^m（t，Pt，I）=+1）是最佳策略。类似地，Bwdr（I，t）表示最低价格，其中提取（^m（t，Pt，I）=-1）是最佳策略。区间[Binj（I，t），Bwdr（I，t）]是无作用区。这些边界绘制为T的函数- 图2b中三种不同库存水平下的t。

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2022-6-9 21:14:33

一个突出的特征是边界层- t型→ 0，其中政策主要由终端罚款W（P，I）而非直接利润因素驱动。在本例中，由于“曲棍球棒”惩罚W（PT，IT），迫使控制器以库存水平I=1000为目标，如T- t型→ 0时，注射成为I<1000的最佳策略，与价格无关，而退出则成为I>1000的最佳策略（无行动区域有效消失）。相反，对于大T-t、边界t 7→ Binj（I，t）和t 7→ Bwdr（I，t）本质上是时间平稳的。最后，图2c显示了价值函数^V（0，P，I）作为价格和库存坐标中的二维曲面。正如之前的研究所指出的，对于固定价格P，我们观察到价值和库存之间存在线性关系。然而，作为P的函数，V（0，·，I）在低库存水平下呈非线性递减，在大库存水平下呈非线性递增。（a）对照map0 0.05 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.05 1.2到期时间（年）23456789101112定价WDR（1000，t）Binj（1000，t）Bwdr（500，t）Binj（500，t）Bwdr（1500，t）Binj（1500，t）（b）产品/注入。边界（c）值函数图2：左面板：t=2.7年时控制图^m（t，P，I）的快照。中间：注射BINJ（I，·）和退出Bwdr（I，·）边界作为I的时间函数∈ {500, 1000, 1500}.右：t=0时的值函数^V（0，P，I）。结果通过常规设计和PR-1D回归得到。3动态仿真算法我们考虑的数值算法为（10）中的连续值提供近似值，表示为^q（·）。然后，我们通过反向归纳ontk得到V（·）的递归解。即，从已知的终端条件v（T，PT，IT，m）=q（tK，PtK，ItK，m）=W（PT，IT）开始m、我们应用反向归纳法估计^q（tk，·，·，·，·），作为k=k- 1到k=0。

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可人4

2022-6-9 21:14:36

递归构造确保在步骤tkwe知道连续函数^q（tk+1，·，·，·，·），因此可以找到^m（tk+1，P，I，m），如（9）所示。然后取^V（tk，P，I，m）=π（P，m，^mtk+1）+^q（tk+1，P，I+a（c（^mtk））t、 ^mtk+1）（12）并通过学习^q（tk，·）作为e的条件期望来完成归纳步骤-rt^V（tk+1，·）。备注2。在上面，我们将连续值视为一步aheadvalue函数的条件期望，与原始的[35]方案相匹配。更一般地，我们可以使用最佳制度选择m展开动态规划方程（8）*tk+1和相应的控制装置c*TK适用于任何w≥ 1 asV（tk，Ptk，Itk，mtk）=E[π（Ptk、mtk、m*tk+1）+q（tk，Ptk，Itk+1，m*tk+1）Ptk]=Ehπ（Ptk、mtk、m*tk+1）+e-rtπ（Ptk+1，m*tk+1，m*tk+2）+e-rtq（tk+1，Ptk+1，I*tk+2，m*tk+2）Ptki…=Ehvk：k+w（π，q）（Ptk，Itk，mtk）Ptk、Itk、m*tki（13）在路径增益Vk方面：k+w（π，q）（Ptk，Itk，mtk）：=k+w-1Xs=ke-r（s）-k）tπ（Pts、mts、m*ts+1）+e-rw公司tq（tk+w、Ptk+w、Itk+w+1、mtk+w+1）。（14）类似地，连续值q（tk，Ptk，Itk+1，mtk+1）可以写为q（tk，Ptk，Itk+1，mtk+1）=Ehvk+1：k+w（π，q）（Ptk+1，Itk+1，mtk+1）| Ptk，Itk，mtki。（15）（15）中的部分路径构造可以追溯到[15，16]。它包括西西里斯·范罗伊（TvR）算法（其中w=1）和朗斯塔夫·施瓦茨（CLS）算法（其中w=K）- k- 1、在本文的其余部分，我们将x w=1，并使用vk的短符号：k+1（π，q）（Ptk，Itk，mtk）作为vk（Ptk，Itk，mtk）或仅作为vk。基于模拟的框架依赖于生成路径特性vk+1（Ptk+1，Itk+1，mtk+1），并通过蒙特卡罗近似将连续函数^q（tk，·）恢复为（15）中的预期值。也就是说，我们的目标是使用回归过程将vk+1投影到近似空间HK上：ˇq（tk，·）：=arg minhtk∈Hkkhtk公司- vk+1k。

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2022-6-9 21:14:39

（16）作为规范设置，Hk=span（φ，…，φR）是由基函数φi生成的线性空间，因此近似值ˇq（tk，·）=PRi=1βiφi（·）通过其系数向量β来描述。为了估计β，我们基于模拟设计Dk：=（Pntk，Intk+1）Nn=1和相应的实现路径值vnk+1，n=1，…，来解决离散优化问题，N从（Pntk，Intk+1，mtk+1）开始的轨迹：^q（tk，·，·，mtk+1）=arg minhtk∈HkNXn=1 | htk（Pntk，Intk+1）-vntk+1 |。（17）因此，^q是投影^q的经验近似值，具有相应的有限样本误差。特别是，根据Dk上的温和条件，我们有^q→ _q.传统上（17）是通过为外部（价格）过程生成N条全局路径（Pnt）来实现的，该路径从t=0开始直到成熟度t，然后永久存储在内存中，用于整个反向归纳，引入了大量开销。算法1将其替换为设计DK和相关的单步轨迹（Pnt:t+1，Int+1）。备注3。在没有转换成本K（i，j）的情况下≡ 0i、回归问题的维数可以从3降到2。事实上，由于库存过程受到完全控制，持续值仅取决于库存和制度（Itk，mtk），通过下一步库存Itk+1=Itk+a（c（mtk））t、类似地，值函数与当前状态V（tk、Ptk、Itk）无关。然后，我们使用（Ptk，Itk+1）生成的投影子空间编写EQ（tk，Ptk，Itk+1）。当存在转换成本时，在回归过程中可能会出现相同的减少，但当前制度MtKre是状态的一部分，因为它会影响延续值q，因此不会实现总体维度节约。

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能者818

2022-6-9 21:14:42

实际上，这是通过为每个∈ J如（17）所示。为了应用（17），我们还需要计算任意未来状态（PNT、Ints、MNT）下的连续值，s>k对应于预测之前的^q（ts，·，·，·，·）。这两种操作拟合和预测是统计近似程序的主要工作。上述程序生成估计的连续值^q（tk，·，·，·，·，·），对应的最佳状态^m（tk+1，·，·，·，·，·）匹配（9），从而生成控制c（^m）。最后，通过生成样本路径（Pn0:t，^In0:t，mn0:t），t=0，P，I，m时的值函数V（0，P，I，m）在样本外不近似，其中路径库存^I基于刚刚估计的最优控制图^m，参见图1。因此，^V（0，P，I，m）=NPNn=1v0:T（π，^q）（0，Pn，In，^mn），其中v0:T（π，^q）（0，Pn，In，^mn）是使用每个样本路径的^m估计的总累计贴现利润。由于策略^m必然是次优的，因此^V（0，·）是真V的下界，模化最后一次平均中使用的nTrajelector的蒙特卡罗误差。备注4。请注意，最终估计值在形式上是样本外模拟Pn0:T和样本内模拟（Pnt:T+1）的函数。为了便于比较不同的方法，我们尽可能使用“测试”情景数据库（Pn0:T），通过该数据库，我们可以直接评估在价格过程的给定样本路径上获得的不同控制/累计收入。动态仿真算法1（DEA）提供了解决存储问题的总体模板。

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2022-6-9 21:14:45

之所以选择该术语，是因为该算法允许用户随时间改变投影空间HK和模拟设计DK，因此它是“动态的”；以及“模拟”，以反映统计学习视角，其目标是近似或模拟连续值q（t，·）。其总体复杂性为O（KN）。相对于现有文献，DEA增加了以下工具：o可能包括跨时间步tk的不同回归空间HK；o一般模拟设计Dk，同样可能随时间步而变化；o消除了在内存中存储全局价格路径的要求，而是“在线”模拟新路径，即在每个时间步。这还允许在时间步长tk改变模拟数nk。（17）的另一种选择是在投影期间用作状态变量（Ptk+1，Itk+1），然后算法1：动态仿真算法（DEA）-O（KN）数据：K（时间步），（Nk）（每步仿真预算）1生成设计DK-1，m：=（PDK-1，mK-1，IDK-1，mK），尺寸为NK-1每米∈ J、 2生成一步路径Pn、DK-1，mK-17→ Pn，DK-1，对于n=1，…，mk，NK公司-1和m∈ J3终端条件：vnK，m← W（Pn，DK-1，mK，In，DK-1，mK）对于n=1，NK公司-1和m∈ k=k时为J4- 1.m为1 do5∈ J do6^q（k，·，·，m）← arg minhk公司∈HkPNkn=1 | hk（Pn、Dk、mk、In、Dk、mk+1）-vnk+1，m | 7生成设计Dk-1，m：=（PDk-1，mk-1，IDk-1，mk），尺寸为Nk-1每米∈ J8生成一步路径Pn、Dk-1，mk-17→ Pn，Dk-1，对于n=1，…，mk，Nk公司-19 end10表示n=1。

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2022-6-9 21:14:50

，Nk-1和m∈ J do11米← arg最大值∈J{π（Pn，Dk-1，mk，m，j）+^q（k，Pn，Dk-1，mk，In，Dk-1，mk+a（ck（j））t、 j）}12 vnk，m← π（Pn，Dk-1，mk，m，m）+e-rt^q（k，Pn，Dk-1，mk，In，Dk-1，mk+a（ck（m））t、 m）13端14端15返回{q（k，·，·，m）}k-1k=1，m∈j分析条件期望：^q（tk，P，I，m）=E“arg minhtk+1∈Hk+1NXn=1 | htk+1（Pntk+1，Intk+1）-vnk+1|Ptk=P，Itk+1=I#。（18）这被称为后回归蒙特卡罗（RLMC），并降低了估计的^q中的方差【31】。然而，对条件期望的闭式表达式的要求通常不使用RLMC和非参数近似空间。以下两个部分提供了DEA中两个主要步骤的菜单：选择近似空间HK和设计Dk。注意，这些可以在tk中混合和匹配。总的来说，这两个步骤对应于一个机器学习任务：给定一个随机模拟器（在给定初始条件（t，P，I，m）的情况下返回一步前的结果），我们希望学习输入输出关系，即预测任何（样本内或新的样本外）输入的预期响应。因此，在该语言中，DEA是一个（递归的）学习任务序列，性能度量由最终答案的质量（0，·，·，·，·，·）给出。最后，我们在本节结束时对算法的另一个属性进行了评论，即前瞻参数wwhich，我们在这项工作中没有探讨它。4近似空间在本节中，我们确定给定的时间步长tk，并考虑将连续值q（tk，P，I，m）近似为函数htk（P，I）的问题。下面我们一般使用x=（Pntk，Intk+1）Nn=1和y=（vnk+1）Nn=1来表示回归过程中使用的数据集。我们注意到，虽然完整的状态空间通常是（P，I，m），但由于m是一个因子变量（而不是r值），它是离散处理的，即。

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2022-6-9 21:14:53

对于m的每个级别，构造一个单独的近似值^h（·，m）∈ J（因此，在典型存储设置中有三个单独的近似值）。当不存在转换成本且连续值的维数仅为2时，后一个问题就没有意义了。统计假设是，投入产出关系由yn=h（xn）+σξ描述，其中ξ~ N（0，1），（19），其中h∈ hk是要学习的未知函数，σξ是噪声。在我们的案例中，噪声是由于（Ptk+1）相对于Ptk的随机冲击引起的，这导致实现的路径效应相对于平均连续值的变化。经典回归框架是一个线性模型，其中hk是由一些基函数（φi）跨越的向量空间。然后，在一般x*由回归系数β：h（x）控制*) =~βT~φ（x*). 然后，关键的挑战是指定基函数φi，因为固有近似误差（即真实q（tk，·）和Hk之间的距离）强烈影响解的质量。因此，文献中探索了各种回归方法，例如，全局多项式回归[4，7，10]，径向基函数[30]，支持向量回归[29]，核回归[26]，神经网络[19]和分段线性回归[37]。受最近百慕大期权研究[28]的启发，下面我们还介绍了高斯过程（GP）回归在解决存储问题中的应用。据我们所知，我们是第一篇在这种情况下使用GPs的论文。4.1二元分段近似继Longstaff-Schwartz关于百慕大期权定价的开创性工作【27】之后，研究人员还将多项式回归（PR）用于存储问题【4、7、10】。

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2022-6-9 21:14:56

r次全局多项式逼近htk=Piβiφi，具有（r+1）（r/2+1）基函数，取φi（P，i）=Pα（i）iα（i），其中基函数的总阶数为α+α≤ r、例如，全局二次近似（r=2）有6个基函数{1，P，P，I，I，P·I}，而三次PR有10个基函数。我们的实验表明，由于对延拓值形状的严格限制以及由此产生的误差反向传播，PR通常会导致较差的性能。一种流行的替代方法是使用基于（P，I）空间划分的分段近似，限制为[min1≤n≤NPnti，最大值1≤n≤NPnti]×[Imin，Imax]，进入M=MP×多角子域Di，i，i=1，2，MP；i=1，2，惯性矩。然后，我们考虑{φi，ig}形式的基函数，支持度限制为Di，i。例如，我们可以采用分段线性近似，即g=1，2，3，φi，i（P，i）=1（P，i）∈Di，iφi，i（P，i）=P·1（P，i）∈Di，iφi，i（P，i）=i·1（P，i）∈总的来说，我们需要估计3MP系数。还可以添加更高阶的项，例如交叉项P·I或二次项P，I。分段回归提供了一种分而治之的优势，通过跨Di，I的循环进行整体拟合；在每种情况下，仅选择一小部分数据来学习一些系数。这减少了回归子步的总体工作量，并允许并行处理。相对于PR，分段回归对拟合连续值的任意形状也更“稳健”。它们的主要缺点是子域边界上^q的内在不连续性，需要指定MP，mian，然后构造矩形子域Di，i。

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2022-6-9 21:14:59

我们参考文献[37]中的一些自适应构造，包括等权重和等网格。4.1.1分段连续近似另一种方法是通过线性插值构造一维连续的分段近似。例如，将内生库存变量离散化为MI+1水平I，I，IMI，我们在P中为每个级别设置了一个独立的阶数MPmonomial，即优化^hj（P）：=Piβijφi（P），j=0，MI，给出总（MI+1）mP回归系数。（相反，我们也可以建立一个分段线性模型，在P维中包含多个子域。）任意I的最终插值预测∈ （Ij，Ij+1）则逐段定义为bhtk（P，I）：=δ（I）^hj（P）+（1- δ（I））^hj+1（P），（20），其中δ（I）=I-IjIj+1-Ij。4.2局部多项式回归（黄土）局部回归通过构造一个非参数函数，解决每个预测点的优化问题，最大限度地减少了对基函数选择的担忧。给定一个数据集{x，y}（作为提醒，x≡ （P，I）在本节中是二维的），使用x处的黄土进行预测*是h（x*) =Pri=1βi（x*)φi（x*) 其中局部系数βi（x*) 由加权最小二乘回归~β（x）确定*) = arg最小值~β∈RrNNXn=1κ（x*, xn）hyn-~βT~φ（xn）i.（21）权函数κ（x*, x）∈ [0，1]通过接近x的输入为yn提供更多权重*, 类似于tokernel回归。因为每个x都需要单独的优化*, 作出预测（21）的复杂性为O（NN）。[26]在采矿实物期权的背景下实施，Loesss通过一种“滑动技巧”得到增强，该技巧将复杂性降低到O（（N+N）log N）。4.3高斯过程回归（GPR）GPR与黄土非常相似，因为预测h（x*) 是采样输出y的加权平均值。

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能者818

2022-6-9 21:15:02

基本关系h:x 7→ y被视为阿高斯随机场的一种实现，即{h（xi）}Ni=1是来自多元高斯分布的样本，平均值{m（xi）}Ni=1，协方差函数{κ（xi，xj）}Ni，j=1。在文献中的许多选项中，可以说最流行的是平方指数核，κ（xi，xj）=σfexp-（xi）- xj）T∑-1（xi）- xj）,其中，∑是对角矩阵。传统上，矩阵的对角元素∑被称为长度尺度参数，σfas被称为信号方差。它们通常一起被称为超高参数。长度比例参数决定了相应尺寸表面的平滑度，而σf则决定了波动的幅度。在图2c中，我们观察到，对于固定价格，连续值函数在库存维度上是线性的，在价格维度上具有非线性行为。GPR通过其尺度参数捕捉到这种差异，对于库存而言，尺度参数“大”（相关性衰减缓慢，曲率很小），对于价格维度而言，尺度参数“小”（快速相关性衰减允许P的波动）。通过似然最大化估计超参数。对于先前的平均值，我们取m（x）=β，其中β与其他超参数一起学习。对于任何站点x*, h（x*) 是一个随机变量，其条件分布{x，y}为：h（x*)|y~ Nm（x*) + H*H-1（y- m（x）），H**（十）*) -H*（十）*)H-1小时*（十）*)T（22）其中N×N矩阵协方差矩阵H和N×1向量H*（十）*) areH公司：=κ（x，x）κ（x，x）。κ（x，xN）κ（x，x）κ（x，x）。κ（x，xN）。。。。。。。。。。。。κ（xN，x）κ（xN，x）。κ（xN，xN）, H*（十）*)电话：=κ（x*, x） κ（x*, x）。。。κ（x*, xN）, H**（十）*) = κ（x*, x个*),（23）式中，κ（xi，xj）=κ（xi，xj）+σ。

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2022-6-9 21:15:05

因此，在x处的预测*is^h（x*) = m（x*)+H*（十）*)H-1（y-m（x））和后验GP方差s（x*) := H**（十）*)-H*（十）*)H-1小时*（十）*)t提供此预测的不确定性度量（类似于标准误差）。GPR一般具有O（N+NN）复杂性，类似于内核回归。GPR通常表现得非常好，但对于N而言，其成本过高 1000、备注5。有一个广泛的GP生态系统，允许对所描述的GPR进行多次扩展；特别相关的方面包括更高级的m（·）先验平均值规范；其他核家族κ（·，·）；能够处理状态相关仿真噪声σ（·）的异方差模型；选择GP超参数的进一步技术；的分段模型允许空间非平稳协方差。由于我们的重点是说明性的演示，而不是寻找性能最佳的方法（这必然取决于问题），因此我们将注意力限制在基本的GP方法上，并提供现成的实现。5模拟设计算法1的第二个核心部分涉及设计Dk。与回归子问题一样，该模板为用户在给定模拟预算的情况下选择DK提供了很大的自由度，并提供了许多可行的方法。我们确定了潜在设计的四个相关方面：jointvs。产品自适应与空间填充；确定性与随机性；独特而不重复。最后但并非最不重要的是，我们讨论了设计尺寸N。为了设置舞台，让我们总结一下“常规”设计【4、7、30】。传统上，解决存储问题的设计依赖于全局路径与库存离散化的混合。在价格维度中，它包括为价格过程选择NP初始条件Ptattime和抽样n=1，NPpaths Pntk+1遵循条件密度p（tk+1，.| tk，Ptk），直到终止日期T。

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2022-6-9 21:15:08

结果集合（Pntk）用于每个tk处的设计“网格”。对于内生库存维度，I被离散为NIlevels：Il=l我I=Imax-伊曼尼-1，l=0，1，镍-1、总体设计DKN=NPNIsites，构造为Cartesianproduct{Ptk，Ptk，…，PNPtk}×{I，I，…，INI-1}. 在我们的术语中，这是一种产品设计，在P中是自适应和随机的，在I中是空间填充和确定性的，并且没有复制。其形状便于第4.1.1节的分段连续回归方案，该方案分别处理P和I坐标。同时，这种D可以被视为联合（P，I）域中的一个站点云，并与二元回归方案一起使用。为了总结模拟设计的范围，我们使用了一个简单的术语。产品设计标识为DP×DI，而接头设计用单个符号表示。必要时可使用下标来确定各自设计的尺寸。不同的设计类型由不同的字母标识。例如，我们将G用于网格设计，将P用于基于密度的“概率”设计。因此，上述常规设计得到了labelledas P×G.5.1空间填充设计，以实现学习（P，I）7的目标→ q（tk，P，I，m）我们需要探索整个输入域的连续值。实现这一点的一个简单机制是展开设计场地以填充空间。网格设计，使用网格大小统一选择设计场地, 上文所述的传统方法就是此类填空序列的一个例子。空间填充可以是确定性的，也可以是随机的。对于确定性情况，除了上述网格G之外，还可以使用各种准蒙特卡罗（QMC）序列，例如，Sobol序列S。

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2022-6-9 21:15:11

Sobol序列在维度d>1时很有用，在维度d>1时，它们可以产生任意大小N的d变量空间填充设计，而网格仅限于大小NP×NI的矩形构造。从理论上讲，QMC序列也可以保证对特定矩形域提供良好的“统一”覆盖。我们试验了以下两种设置：o由于我们只有一个外生变量P，我们在每个时间步长tk，k=0，…，采用了一个一维Sobol序列，大小N限制为[Pmin，Pmax]，K、然后，我们将inventorydimension离散为{I，I，…，INI}，类似于传统设计，最终D是产品×G。或者，我们从受限域[Pmin，Pmax]×[Imin，Imax]上的二维Sobol序列S={Pn，In}Nn=1生成N个设计位点。随机空间填充设计的一个例子是Pntk~ Unif（Pmin，Pmax）i.i.d.由于均匀样本倾向于聚类，因此有方差减少的版本，如拉丁超立方体样本（LHS）。在二维中，LHS设计将输入空间划分为矩形阵列，并确保每一行和每一列正好有一个设计站点。请注意，如果跨时间步使用相同的确定性空间填充方法，则设计Dtk≡ D在tk中变得相同。这可能会从回归模式中产生“混叠”效应，即由于重复回归和各自的误差反向传播，在（Pn，In）周围产生近似伪影。更改或随机化Dtkacross-tk是一种补救方法，通常作为实现默认值首选。

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2022-6-9 21:15:14

空间填充设计的另一个问题是需要指定边界框【Pmin，Pmax】×【Imin，Imax】——这在I中很容易，但在P维度中并不明显，因为PTI是无界的。5.2自适应设计与旨在覆盖输入空间（并以全局L（Leb）近似误差为统计目标）的空间填充设计相比，自适应设计试图利用手头问题的特定结构。他们的出发点是观察到^vd的质量取决于沿受控路径（Pntk，^Intk）正确预测存储行为。关于系统状态分布的信息已经在传统方法中得到利用，该方法使用分布式概率设计进行DP。类似地，[30]在I中使用了非均匀离散化，以获得更多更接近Iminand Imax的网格点。上述讨论激发了更一般的适应性设计，旨在将DTA的形状匹配到建议密度p（·）（p和I为双变量或单变量）。例如，随机联合概率设计样本来自（P，^I）的二元分布。另一种方法是使用各自的边际密度构建概率产品设计P×P，采用PNTK~ pP（tk，·）和库存Intk~ pI（tk，·）。还可以通过量化建议密度p（类似于数值求积方法）来构建确定性自适应设计，以返回带有NPsites的离散表示。概率设计确保更好地估计（Pn0:T，^In0:T）轨迹最可能出现的区域中的连续函数。备注6。构建内生变量^itk的分布pI（tk，·）需要一些远见。

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2022-6-9 21:15:17

一种策略是使用模拟预算的一小部分，使用传统/空间填充设计创建策略，并在此策略上运行正向模拟，将正向模拟的结果保存为创建最优控制图设计的联合分布代理。5.3分批设计GPR和黄土等非参数技术通常会提高精度，但会增加回归开销。事实上，对于这两种方法，复杂度至少是站点数量N的二次方，这可能会对N造成阻碍克服这一障碍的一个解决方案是使用复制，即重复使用同一设计站点进行多个模拟。因此，虽然有数千个不同的设计站点相当于模拟预算N，但我们只选择了几百个不同的站点NSA，并从每个设计站点生成Nb：=N/NSPATH。形式上，这意味着我们区分了N个初始条件（Pntk，Intk）Nn=1，用于模拟路径延拓值和唯一的设计站点Ns N构成设计D。后者可以是任何类型、空间填充、自适应等。给定设计场地（Pntk，Intk+1）Nsn=1，我们绘制Nbdraws Pn，（m）tk+1，并评估相应的路径延拓值v（m）k+1（Pn，（m）tk+1，Intk+1），m=1，注意。对于基于核的技术，如GPA和黄土，则可以使用预平均值，即首先评估经验平均值：(R)vnk+1（Pntk，Intk+1）=NbNbXm=1v（m）k+1，跨越Nbreplicates。然后将得到的回归数据集（Pntk、Intk+1、？vnk+1）Nsn=1输入回归方程，以估计连续函数。除了减少回归所花费的总时间（可以很容易地达到几个数量级），分批设计还具有在每个设计地点减少模拟方差'v的优势，从而提高信噪比。

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2022-6-9 21:15:20

虽然复制设计是次优的（在最大化统计近似质量方面），但在实践中，对于大N（通常为几十万），精确性损失很小，并且超过了保证的计算收益。除了在每个站点使用固定数量的复制品的统一批处理方法外，还可以在切换边界周围使用更多复制品的自适应批处理（即Nbas站点特定），以获得更好的精度[6]。5.4动态设计DEA让我们能够在不同的时间步轻松地组合不同的设计。例如，可以改变分步模拟预算，使用更大的接近成熟度的N来有效地捕捉连续函数中终端条件的影响，然后使用更小的预算。一些回归方法可能在计算上很昂贵，但更“精确”（GPR），而其他方法可能不太“精确”，但计算效率很高（多项式回归）。明智地将两者结合起来，可以节省时间，而不会造成太多的损失。我们用两个插图来结束本节。在图3中，我们展示了四种具有代表性的设计：2D S中的Sobol空间填充序列、2D L中的LHS、联合概率P和常规设计P×G。这些也将在下面的数值示例中使用。虽然Sobol序列以对称模式填充输入空间，但LHS是随机的。联合概率设计模拟了状态变量（Pt，^It）的分布，将大多数站点放在库存Imin、Imax和价格平均值附近的边界。请注意，这种设计非常“激进”，并且没有探索足够的输入空间，这会使回归估计变得不稳健。因此，在以下数值示例中，我们将概率设计（通过统计混合）与其他类型混合。

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kedemingshi

2022-6-9 21:15:24

最后，传统设计将库存离散化，同时保持价格维度的自适应分布。2 4 6 8 10 12价格02004000600800100012001400108002000库存（a）2 d Sobol QMC序列2 4 6 8 10价格02004000600800100012001600108002000库存（b）2 d LHS设计L2 6 8 10价格02004000600800100012001600108002000库存（c）联合概率设计P2 4 6 10 12价格02004000600800100012001600108002000库存（d）常规产品设计P×G图3：插图不同的模拟设计D。在所有情况下，我们取N=500个设计点。接下来，在图4中，我们显示了回归和设计对连续值函数和相应控制图的影响。左侧面板比较了成熟度t=t之前最后一步的GP-2D和PR-2D的连续值函数-t、我们观察到，PR-2D与GP-2D相比表现不佳，后者几乎完全符合“曲棍球棒”的处罚。此外，由于I中的分段回归，1D回归具有“非光滑”切换边界。这在图的中间面板中很明显，其中控制图显示I处的跳跃∈{500，1000，1500}，库存的中间离散化水平（我们使用NI=5I=500）。当NI增加时，这种行为变得不那么突出。图的右面板显示了PR-1D的两个控制图，分别为LHS和常规设计。

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