保险损失的极值依赖和空间风险度量

2022-6-9 23:00:30

特别是，我们规定了不同情况下的空间差异率，这对保险业很有价值。关键词：极端风速；保险最大稳定随机场的幂；再保险；空间分布；空间风险度量及其公理；风损坏。数学学科分类（2000）：60F05；60G60；60G70；91B30.1简介温带气旋（如欧洲风暴）和热带气旋构成了社会的主要风险，从1999年12月洛萨和马丁风暴在欧洲（140人死亡，损失约190亿美元）以及在许多加勒比岛屿和洛里达部分地区的后果可以看出，2017年9月飓风Irma（至少134人死亡，损失超过678亿美元）。准确评估这一风险对民政部门和保险业至关重要。考虑到环境极端事件的空间性质，科赫（2017、2019）引入了空间风险度量的新概念，明确了空间的贡献，并允许在风险度量中考虑成本场的空间依赖性。与经典风险度量∏相关并由成本随机场C（例如，模拟风暴造成的损害造成的成本）引起的空间风险度量是在不同地理区域将∏应用于C的标准化积分所产生的空间函数。Koch（2017、2019）还提出了一套公理化描述，至少在∏和C的某些条件下，诱导空间风险度量的值预计如何随空间变量变化。据我们所知，科赫（2017、2019）的论文是第一篇在风险分布于地理区域的空间背景下建立风险度量理论的文章。

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kedemingshi

2022-6-9 23:00:33

这一理论对保险业很有意义，因为它可以量化空间差异率。本论文的主要目的之一是应用空间风险度量的概念和相关公理来分析极端风速造成的损失风险。我们使用最大稳定随机场（例如，de Haan，1984；de Haan and Ferreira，2006；Davison et al.，2012）对极端风速进行建模，这特别适合于对给定变量在空间中所有点的时间最大值进行建模，因为它们构成了唯一可能的非退化极限场，即经过适当重新缩放的点方向最大值*EPFL，数学研究所，EPFL SB MATH MATH-GE，MA B1 457（马萨诸塞州巴蒂门特），瑞士洛桑1015号8站。苏黎世ETH（数学系，风险实验室）。电子邮件：erwan。koch@epfl.随机字段的中文相关副本（例如，de Haan，1984）。此外，我们考虑幂律损伤函数D（z）=（z/c）β，z>0，对于β∈ N \\{0}和c>0，特别适合于风力危害。我们的成本场模型源自D对最大稳定场的应用。虽然通过物理参数（分别为风荷载和风动能耗散率）证明了功率β等于2或3的有效成本，但已经表明，考虑保险成本时，它们可能会高得多。例如，Prahl et al.（2012）发现德国住宅建筑的指数从8到12不等，并认为如此大的指数源于保险合同中的免赔额。因此，本文的一个重要方面将是研究空间依赖性和风险如何随权力而演变。首先，我们深入研究了Brown-Resnick-max stablerandom油田的幂相关结构。

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2022-6-9 23:00:36

这一部分包含了Brown-Resnick油田的新理论结果，因此，与任何风险相关的考虑因素无关，极值社区可能会感兴趣。此外，我们使用控制年最大风速的广义极值（GEV）分布参数的典型值进行了数值研究，结果表明，两个站点的损伤之间的相关性基本上不取决于损伤功率的值。这对保险公司来说是一个有用的消息，因为这种力量的可能价值范围很大。然后，我们研究了由一些最大稳定随机场（主要是Brown-Resnick场）的幂引起的几个空间风险度量。利用第一部分，我们从理论上研究了与方差相关的空间风险度量以及由此类成本引起的空间风险度量。这一分析得到了数值研究的补充，其中，我们再次考察了幂β值的影响。此外，我们还表明，在通常能够满足极端风造成损失风险的条件下，与几个经典风险度量相关的空间风险度量以及由一些最大稳定场的幂导出的空间风险度量满足（至少部分）Koch（20172019）中引入的公理。除其他外，我们知道在经典风险度量为方差、风险值（VaR）和预期缺口（ES）的情况下，空间差异率。所得结果可能对保险业有有用的启示，在整个研究过程中，我们与具体的精算实践保持着密切的联系。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们简要介绍了空间风险度量的概念以及科赫（2017、2019）引入的相应公理集。

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kedemingshi

2022-6-9 23:00:39

此外，我们还详细说明了作为所考虑的空间风险度量示例基础的成本场模型；我们特别回顾了有关风损伤函数的文献，并简要介绍了最大稳定场。第3节研究了Brown–Resnick随机场幂的相关结构。在第4节中，我们研究了由这些成本场引起的一些空间风险度量。最后，第5节提供了一个简短的总结以及一些观点。在本文中，属于RDD的元素≥ 1用粗体符号表示，而在更一般的空格中用普通字体表示。此外，ν表示Rd和N中的Lebesgue测度*= N \\{0}。最后，d=AND→ 分别表示等式和收敛不分布。对于随机场，分布必须理解为所有有限维分布的集合。2空间风险测度和成本场模型2.1空间风险测度和相应公理let A是rw的所有紧子集的集合，具有正Lebesgue测度和A的所有凸素集合。用C表示几乎确定（A.s.）局部可积样本路径上的所有实值和可测随机场的集合。每个领域都描述了特定类别事件在给定时间段内产生的经济或保险成本，例如[0，TL]。在下文中，TL被认为是固定的，并不是为了符号的简单性而出现的。每种类型的事件（如欧洲风暴或飓风）将在下面被命名为危险。设L为充分概率空间上定义的所有实值随机变量的集合。风险度量是somefunction∏：L→ 在本文中，R和将被称为经典风险度量，以避免与空间风险度量混淆。

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2022-6-9 23:00:43

一个经典的风险度量∏被认为是定律不变的，如果，对于所有X∈ 五十、 π（X）仅取决于X的分布。在本文中，当应用于随机领域时，形容词“可测量”表示“联合可测量”。Koch（2017、2019）引入了归一化的空间聚集损失函数，定义为asLN（A，C）=ν（A）ZAC（x）ν（dx），A∈ A、 C类∈ C、（1）将空间的贡献和危险的贡献分开。数量LN（A，C）表示区域A上每个地面单元因危险而产生的经济或保险损失，其成本可以用成本场C建模。科赫（2017，2019）引入的空间风险度量R∏定义为∏（A，C）=∏（LN（A，C）），A∈ A、 C类∈ C、其中∏是一个经典的风险度量。这一概念明确了空间在风险度量中的贡献，对于许多有用的风险度量∏，如方差、VaR和ES，使人们能够（至少）考虑C领域的部分空间依赖结构。对于给定的∏和C∈ C、数量R∏（·，C）被称为与∏相关的空间风险度量，并由C引起。LN（A，C）的分布仅取决于A和C的有限维分布（Koch，2019，Theorem1）。因此，对于固定的a，如果∏是定律不变的，那么R∏（a，C）只取决于C的有限维分布。现在，让∏成为经典的风险度量，C∈ C固定，对于∈ A、让巴登离开它的重心。科赫（2017、2019）为与∏相关的空间风险度量定义了以下公理，并由C、R∏（·，C）归纳得出：1。平移下的空间不变性：适用于所有v∈ 兰特A∈ A、 R∏（A+v，C）=R∏（A，C），其中+v表示由向量v.2平移的区域A。空间次可加性：对于所有A，A∈ A、 R∏（A∪ A、 C）≤ min{R∏（A，C），R∏（A，C）}。3.

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2022-6-9 23:00:46

序的渐近空间齐性-γ, γ ≥ 0：对于所有A∈ Ac，R∏（λA，C）=λ→∞K（A，C）+K（A，C）λγ+oλγ,式中，λA是通过应用于中心bAand比λ>0的A同质体而获得的面积，k（·，C）：Ac→ R、 K（·，C）：Ac→ R{0}是依赖于C的函数。引入空间反单调公理也是合理的：对于所有A，A∈ A、 A A.=>R∏（A，C）≤ R∏（A，C）。后者相当于空间次可加性公理。这些公理与空间风险度量属性有关，而与成本分布无关，后者是固定的。如科赫（2017、2019）所示，至少在成本场C和一些经典风险度量∏的某些条件下，它们似乎是自然的，是有意义的。空间次可加性公理定性地指出了空间多样性。如果一家保险公司对严格的不平等现象感到满意，那么最好是在这两个地区承保，而不是只在其中一个地区承保。序的渐近空间齐性定理-γ量化了面积变宽时的空间差异率。因此，了解γ可能对保险业有价值。有关这些概念的更多详细信息及其对实际精算实践的价值，请参阅Koch（2019），第2.1节和第2.2.2.2节极端风速的成本场模型。在本文中，我们假设成本为保险成本。科赫（2017）第2.3节中引入的一般成本场模型由{C（x）}x定义∈R={E（x）D（Z（x））}x∈R、其中{E（x）}x∈Ris暴露场，D损伤函数和{Z（x）}x∈R环境变量产生风险的随机场。此处，假设成本是由一种独特的风危害（例如风暴、飓风、龙卷风）造成的，其特征是[0，TL]，Z]期间风速极值的随机场。

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kedemingshi

2022-6-9 23:00:49

应用损害函数D到Z得出每个地点的保险成本比率，乘以风险敞口，得出相应的保险成本。为了本文的目的，我们选择暴露一致等于统一。我们考虑，对于β∈ N*c>0时，损伤函数D（z）=（z/c）β，z∈ R、这非常适合风的情况。基于物理因素，预计特定结构的总成本将随着最大风速的平方或立方而增加。事实上，风荷载和风动能耗散率分别与风速的二次方和三次方成正比。对于正方形，参见Simiu和Scanlan（1996），方程（4.7.1），（8.1.1）和（8.1.8）以及以下方程（4.1.20）的解释。关于三次方，请参见Lamb和Frydendahl（1991年，第2章，第7页），其中风速的立方出现在严重性指数中，以及Emanuel（2005年）。在Powell和Reinhold（2007）对论文的讨论中，Kantha（2008）指出，agiven结构的风损伤必须与风所做功的速率（而不是所施加的力）成比例，因此强烈支持立方体而非正方形。除了关于正方形还是立方体更适合总成本的争论之外，过去二十年的几项研究发现，在考虑保险成本时，幂律的指数要高得多。例如，Prahl等人（2012年）发现，德国住宅建筑的保险损失（局部损坏功能）的赔付率从8到12不等。Prahl等人。

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2022-6-9 23:00:52

（2015）辩称，如果总成本遵循三次定律，但只有当该成本超过正阈值时，保险合同才生效（例如，在具有免赔额的合同的情况下），则保险公司的最终成本为幂律类型，但具有更高的指数。我们使用模拟检查了这一说法，并观察到结果指数取决于阈值（未显示）。一些作者（如Klawa和Ulbrich，2003；Pinto et al.，2007；Donat et al.，2011）甚至在保险损失的情况下，也使用了三次关系，他们用上述物理论点证明了这一关系的合理性。然而，他们将三次方应用于风速值和风分布的高百分位之间的差异，而不是有效风速；如Prahl等人（2015年，附录A3）所示，这相当于对有效风速施加更高的功率。由于损伤函数中右指数的各种可能值（尤其取决于免赔额的值），在本文中，我们将考虑β=1，在不丧失一般性的情况下，我们取c=1，这与我们为风险敞口选择的值一致。注意，文献中有时也会遇到指数损伤函数（例如，Huang等人，2001年；Prettenthaleret等人，2012年）；我们在此不考虑此类功能。此外，我们认为Z是一个最大稳定的随机场，因此Zβ属于C，即可测量且具有a.s.局部可积样本路径。后一个属性是满足的，例如，只要Z是可测量的，并且函数x 7→ EZ（x）β是局部可积的（Koch，2019，命题1）。最常见的情况是，Z将是Brown-Resnick随机区（具有适当的边距）；见下文。

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2022-6-9 23:00:55

如Huserand Davidson（2014年，第2.3节）所述，除了是点方向最大值的非常自然的模型外，最大稳定场还为个别观测的极端值提供了适当的模型。我们有时会假设Z有标准的Fréchet边距；具有此类边缘的最大稳定油田被认为是简单的，并将在上标中用“（s）”表示。RDN上任何简单的最大稳定随机场Z都可以写成（例如，de Haan，1984）asnZ（s）（x）ox∈Rdd公司=(∞_i=1{UiYi（x）}）x∈Rd，（2）其中（Ui）i≥1是（0，∞) 带强度函数u-2ν（du）和theYi，i≥ 1，是随机场{Y（x）}x的独立复制∈Rd这样，对于所有x∈ Rd，E[Y（x）]=1。场Y不是唯一的，被称为Z（s）的光谱随机场。相反，任何形式（2）的随机场都是一个简单的最大稳定场。现在，让（Ui，Ci）i≥1泊松点过程的点位于（0，∞) x Rdwith intensity function u-2ν（du）×ν（dc）。独立，让fi，i≥ 1，在满足RDE的条件下，是一些非负随机函数f的独立复制RRdf（x）ν（dx）= 1、然后，混合运动极大值（M3）随机场{Z（s）（x）}x∈研发部=(∞_i=1{Uifi（x- Ci）}）x∈Rd（3）是一个平稳且简单的最大稳定场。方程式（2）和（3）在实践中很有用，因为它们能够建立最大稳定油田的参数模型，其中一些简要介绍如下。设{ε（x）}x∈Rdbe是具有任何相关函数的平稳标准高斯随机场。设{W（x）}x∈Rdbe是一个中心高斯随机场，具有平稳增量和变异函数γW，{Y（x）}x∈Rdbe由Y（x）=exp（W（x）定义- Var（W（x））/2，其中Var表示方差。

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2022-6-9 23:00:58

因此，在本文中，平稳性指的是严格平稳性。（2）用Y定义的Z（s）场称为与变差函数γW相关的Brown-Resnick随机场（Brown和Resnick，1977；Kabluchko等人，2009）。它是平稳的，其分布仅取决于变异函数（Kabluchko et al.，2009，定理2和命题11）。W（x）=σε（x），σ>0的特殊情况会导致所谓的几何高斯随机场（如Davison et al.，2012）。现在，如果Z（s）如（3）所示，f是平均值为0且协方差矩阵为正的d变量高斯随机向量的密度，则称为协方差矩阵为∑的史密斯随机场（Smith，1990）。Schlather模型（Schlather，2002）来自takingY（x）=√2πε（x）in（2）。最后，当采用（3）f（y）=hbI{kyk<Rb}，y时，出现了管模型（Ancona Navarrete and Tawn（2002）和Koch（2017）的初步版本∈ R、其中Rb>0且hb=1/（πRb）。Brown-Resnick油田常用的变异函数为γW（x）=（kxk/κ）ψ，x∈ Rd，（4）其中κ>0和ψ∈ （0，2）分别是范围和平滑度参数。（4）的等效参数化为γW（x）=mkxkψ，其中m>0，ψ∈ （0，2）。如果对于所有x∈ Rd，γW（x）仅依赖于kxk，其中k.k表示欧氏范数。在这种情况下，我们将单变量函数γW，u:[0，∞) → [0, ∞) 这样，对于所有x∈ Rd，γW（x）=γW，u（kxk）。在下文中，我们将主要关注Brown–Resnick random油田，其中包括Smith random油田。事实上，具有协方差矩阵的Smith场∑对应于与变差函数γW（x）=x∑相关的Brown-Resnick场-1x，x∈ Rd，（5）其中指定换位；例如，参见Huser和Davidson（2013）。

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2022-6-9 23:01:02

（5）中的变异函数也可以写成kxk∑，其中k·k∑是与矩阵∑诱导的内积相关的范数-1、二元极值系数函数Θ（如Schlather和Tawn，2003），这是一个众所周知的最大稳定域空间相关性的度量，满足所有u>0，PZ（s）（x）≤ u、 Z（s）（x）≤ u=经验值(-Θ（x，x）/u），x，x∈ Rd，其中{Z（s）（x）}x∈Rdis simple最大稳定。在实际应用中，最大稳定场并不简单，而是具有位置、规模和形状参数η的GEV单变量边际分布∈ R、 τ>0和ξ∈ R、如果{Z（x）}x∈Ris是具有此类GEV参数的最大稳定场，我们可以写Ez（x）=(η - τ/ξ）+τZ（s）（x）ξ/ξ，ξ6=0，η+τlog（Z（s）（x）），ξ=0，（6）其中{Z（s）（x）}x∈Rdis simple最大稳定。最后，请注意，其他作者在极值框架内考虑了与（1）类似的数量，但没有成本场，也没有将其作为开发空间风险度量概念的工具。例如，Coles and Tawn（1996）使用最大稳定场的归一化空间积分对所谓的面雨量进行建模，Ferreira et al.（2012）研究了最大稳定场最大吸引域中连续随机场紧凑区域上积分的尾部特性，Dombry和Ribatet（2015）建议使用场地的空间积分来确定帕累托场地的阈值超标。3 Brown-Resnick场幂的相关性和对Windextremes的应用3.1理论文献中介绍了最大稳定随机场的几种依赖性度量：极端系数（例如Schlather和Tawn，2003），F-madogram（Cooley et al.，2006）和λmadogram（Naveau et al.，2009），以及许多其他。在这里，我们提出了一种新的空间相关性度量，即最大稳定场和非最大稳定场本身的幂的相关性。

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2022-6-9 23:01:05

更准确地说，让{Z（x）}x∈Rbe具有GEV参数η的最大稳定随机场∈ R、 τ>0，ξ6=0，和β∈ N*使得βξ<1/2，我们关注于β，η，τ，ξ（x，x）=CorrZ（x）β，Z（x）β, x、 x个∈ R、（7）考虑该数量的主要动机在于，它可以被视为风造成损害的空间依赖性的度量（见第2.2节），因此对于精算实践来说是富有成效的。这也可能有助于从理论上理解最大稳定场，并有助于研究第4.1节中与方差相关的空间风险度量。尽管存在缺点，但相关性通常只用于金融/保险行业，这使得其研究从实践角度来看很有用。此外，当我们考虑已经模拟极端事件的随机变量之间的相关性时，关于它不能正确捕捉极端依赖性的批评在某种程度上是无关紧要的。本节的目的是研究Brown-Resnick随机油田的Dβ、η、τ、ξ。由于损伤功率β的可能值范围很广，其对β的敏感性也将被考虑在内。Brown–Resnick油田是当前可用的最大稳定模型中最合适（如果不是最合适的）的模型之一，至少对于环境数据而言是如此（例如，Davison et al.，2012，第7.4节，以降雨为例）。值得注意的是，它允许现实的实现，以及当距离变细时的独立性。从（6）中，我们知道，任何具有一般GEV利润的最大稳定油田都可以表示为简单最大稳定油田的函数。因此，我们首先考虑简单的最大稳定场，因为它们更容易处理。下面的引理是直接引理，因此省略了证明。引理1。Letβ∈ R和Z（s）是遵循标准Fréchet分布的随机变量。

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2022-6-9 23:01:08

那么（Z（s））β有一个有限的一阶矩当且仅当（i ff）β<1和一个有限的二阶矩i ffβ<1/2。此外，E[（Z（s））β]=Γ（1- β），其中Γ表示伽马函数。对于β，β<1/2，我们引入了由g（s）β，β（h）定义的函数g（s）β，β=Γ(1 - β- β），如果h=0，Z∞θβhC（θ，h）C（θ，h）β+β-2Γ(2 - β- β） +C（θ，h）C（θ，h）β+β-1Γ(1 - β- β） iν（dθ），如果h>0，（8），其中，对于θ，h>0，C（θ，h）=Φh+对数（θ）h+θΦh类-对数（θ）h,C（θ，h）=Φh+对数（θ）h+hφh+对数（θ）h-hθφh类-对数（θ）h×θΦh类-对数（θ）h+hθφh类-对数（θ）h-hθφh+对数（θ）h,C（θ，h）=hθh类-对数（θ）hφh+对数（θ）h+hθh+对数（θ）hφh类-对数（θ）h,Φ和φ分别表示标准高斯分布和密度函数。我们用Cov表示协方差。下面的结果将有助于我们推导Dβ，η，τ，ξ的表达式。定理1。设{Z（s）（x）}x∈Rbe与变异函数γW相关的简单布朗-雷斯尼克随机场。然后，对于所有x，x∈ Randβ，β<1/2，我们有COVZ（s）（x）β，Z（s）（x）β= g（s）β，βpγW（x- x）- Γ(1 - β)Γ(1 - β). （9）证明。设β，β<1/2和x∈ R、首先，我们展示了x=x=x的情况下的结果。因为Z是简单的最大稳定的，所以它遵循引理1 thatCovZ（s）（x）β，Z（s）（x）β= Γ(1 - β- β) - Γ(1 - β)Γ(1 - β） =g（s）β，β（0）- Γ(1 - β)Γ(1 - β），其生成（9）为γW（0）=0。现在，我们证明了在x，xare是R的不同向量的情况下的结果。我们有ehz（s）（x）βZ（s）（x）βi=Z∞Z∞zβzβl（z，z）ν（dz）ν（dz），其中l表示布朗-雷斯尼克油田z（s）（x和x处）的双变量密度。为了利用多元极值分布的半径/角度分解，我们将变量zz公司=uθu=ψ（u，θ）ψ（u，θ）= ψ（u，θ）。相应的雅可比矩阵为writenjψ（u，θ）=1 0θu,它的行列式是det（Jψ（u，θ））=u。

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2022-6-9 23:01:11

因此，引入ga（z，z）=zβzβl（z，z），z，z>0，我们得到了ehz（s）（x）βz（s）（x）βi=z∞Z∞a（z，z）ν（dz）ν（dz）=z zψ-1((0,∞))a（ψ（u，θ））det（Jψ（u，θ））ν（du）ν（dθ）=Z∞Z∞uβθβuβl（u，θu）uν（du）ν（dθ）=Z∞Z∞uβ+β+1θβl（u，θu）ν（du）ν（dθ）。（10）设hS=p（x- x） ∑-1（x- x） =kx- xk∑。Padoan等人（2010）中的方程式（4）给出了Smith随机场（x和x处）的双变量密度满足，对于z，z>0，lS（z，z）=exp-Φ（w）z-Φ（v）z×Φ（w）z+φ（w）hz-φ（v）hzz×Φ（v）z+φ（v）hz-φ（w）hzz+vφ（w）hzz+wφ（v）hzz, （11）其中W=hS+对数（z/z）hS和v=hS-对数（z/z）hS。已知二元分布函数（在x，x∈ R）替换kx时，与变差函数γ相关的Brown–Resnick随机场与具有协方差矩阵∑的Smith随机场相同- xk∑带pγW（x- x）；比较Huser和Davidson（2013）中的方程式（1）和Padoan等人（2010）中的方程式（3）。因此，与（11）右侧给出的变异函数γWis相关的棕色-雷斯尼克油田的双变量密度（x和x处）用h=pγW（x）替换为hs- x）。因此，对于任何z，θ>0，l（z，θz）=exp-zΦh+对数（θ）h+θΦh类-对数（θ）h×zΦh+对数（θ）h+hφh+对数（θ）h-hθφh类-对数（θ）h×θΦh类-对数（θ）h+hθφh类-对数（θ）h-hθφh+对数（θ）h+zhθh类-对数（θ）hφh+对数（θ）h+hθh+对数（θ）hφh类-对数（θ）h= 经验值-C（θ，h）zC（θ，h）z+C（θ，h）z. （12）我们用fsf表示形状和比例参数为1且sf>0的Fréchet分布，即如果X~ Fsf，P（X≤ x） =经验值(-平方英尺/平方英尺），x>0。

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2022-6-9 23:01:15

使用（10）和（12）以及X的密度~ Fsfis writenlf（x）=sf/xexp(-sf/x），我们得到了hz（s）（x）βZ（s）（x）βi=Z∞θβZ∞uβ+β+1exp-C（θ，h）uC（θ，h）u+C（θ，h）uν（du）ν（dθ）=Z∞C（θ，h）θβZ∞uβ+β-3exp公司-C（θ，h）uν（du）ν（dθ）+Z∞C（θ，h）θβZ∞uβ+β-2经验-C（θ，h）uν（du）ν（dθ）=Z∞C（θ，h）θβZ∞uβ+β-1出口-C（θ，h）uν（du）ν（dθ）+Z∞C（θ，h）θβZ∞uβ+βuexp-C（θ，h）uν（du）ν（dθ）=Z∞C（θ，h）C（θ，h）θβμβ+β-1.FC（θ，h）ν（dθ）+Z∞C（θ，h）C（θ，h）θβμβ+βFC（θ，h）ν（dθ），（13），其中uk（F）表示以F为分布的随机变量的第k阶矩。立即可以看到uk（Fsf）=skfΓ（1- k），与（13）结合，得出结果。我们现在的目标是研究我们的空间相关性度量Dβ，η，τ，ξ。我们从定理1得到的下一个结果是朝着这个方向迈出的重要一步。定理2。设x，x∈ 兰德{Z（x）}x∈Rbe a Brown–Resnick油田，GEV参数ηi∈ R、 τi>0，ξi6=0，在xi，i=1，2。此外，让βi∈ N*使得βiξi<1/2，i=1，2。那么，我们有COVZ（x）β，Z（x）β=βXk=0βXk=0Bk，β，η，τ，ξ，k，β，η，τ，ξg（s）（β-k） ξ，（β-k） ξpγW（x- x）-βXk=0βXk=0Bk，β，η，τ，ξ，k，β，η，τ，ξ（1- [β- k] ξ）Γ（1）- [β- k] ξ），其中bk，β，η，τ，ξ，k，β，η，τ，ξ=βkη-τξkτξβ-kβkη-τξkτξβ-k、证明。利用（6）和二项式定理，我们得到了COVZ（x）β，Z（x）β=βXk=0βXk=0βkη-τξkτξβ-kβkη-τξkτξβ-k×CovZ（s）（x）（β-k） ξ，Z（s）（x）（β-k） ξ,直接得到定理1的结果。下面是定理2的直接结果。推论1。在与定理2相同的假设下，但η=η=η，τ=τ=τ，ξ=ξ=ξ，β=β=β，我们得到了Z（x）β，Z（x）β= gβ，η，τ，ξpγW（x- x）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξΓ（1-[β-k] ξ）Γ（1）-[β-k] ξ）（14）和VarZ（0）β=βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ{Γ（1- ξ[2β - k- k] （）- Γ(1 - [β -k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）}，（15）其中bk，k，β，η，τ，ξ=βkβkη -τξk+kτξ2β-（k+k）和gβ，η，τ，ξ（h）=βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξg（s）（β-k） ξ，（β-k） ξ（h）。

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2022-6-9 23:01:18

（16）我们的依赖度量Dβ，η，τ，ξ由（14）和（15）的右侧的比率给出。为了得出关于Dβ、η、τ、ξ的有用结论，我们研究了（16）中定义的函数gβ、η、τ、ξ的行为。为此，我们首先需要以下结果。提案1。对于随机向量X=（X，X），其分布函数表示为FX，X。LetX=（X，X）和Y=（Y，Y）是具有相同边距的随机向量。然后，对于所有z，z>0，我们有fx，X（z，z）<FY，Y（z，z==> Cov（f（X），f（X））<Cov（f（Y），f（Y）），对于所有严格递增函数f：（0，∞) → R和f：（0，∞) → R、假设存在协方差。证据该证明的部分灵感来自Dhaene和Goovaerts（1996）中定理1的证明。Letf：（0，∞) → R和f：（0，∞) → R是严格递增函数。假设，对于所有z，z>0，FX，X（z，z）<FY，Y（z，z）。（17）我们有p（f（X）≤ z、 f（X）≤ z） =P十、≤ f-1（z），X≤ f-1（z）因此，对于所有z，z>0，f-1（z），f-1（z）>0，从（17）可以看出，对于所有z，z>0，P（f（X）≤ z、 f（X）≤ z） <P（f（Y）≤ z、 f（Y）≤ z）。（18）由于X和Y具有相同的分布，并且X和Y也是如此，我们推导出f（X）d=f（Y）和f（X）d=f（Y）。（19）对于随机变量X，我们用FXits分布函数表示。利用（18），（19）和引理1 inDhaene和Goovaerts（1996），我们得到了COV（f（X），f（X））=Z∞Z∞Ff（X），f（X）（u，v）- Ff（X）（u）Ff（X）（v））ν（duν（dv）<Z∞Z∞Ff（Y），f（Y）（u，v）- Ff（Y）（u）Ff（Y）（v））ν（duν（dv）=Cov（f（Y），f（Y））。此后，我们可以显示以下将在下面使用的技术结果。提案2。对于所有η∈ R、 τ>0，ξ6=0和β∈ N*因此，βξ<1/2，（16）中定义的函数gβ，η，τ，ξ严格递减。证据设{Z（s）（x）}x∈Rbe协方差矩阵为∑的简单Smith随机场，这是一个与变差函数γW（x）=kxk∑相关的Brown-Resnick随机场。设x，y∈ R

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2022-6-9 23:01:21

Smith（1990）中的方程式（3.1）给出，对于所有z，z>0，P（z（s）（x）≤ z、 z（s）（y）≤ z） =经验值-zΦh+hlogzz公司-zΦh+hlogzz公司,其中h=ky- xk∑。我们立即获得P（Z（s）（x）≤ z、 z（s）（y）≤ z）h=经验值-zΦh+hlogzz公司-zΦh+hlogzz公司T、（20）其中=-z-对数（z/z）hφh+对数（z/z）h-z+对数（z/z）hφh类-对数（z/z）h.对于所有z，z>0，我们引入y=z/z，这是正的。我们有t=z-zz公司-对数（z/z）hφh+对数（z/z）h-+对数（z/z）hφh类-对数（z/z）h=z-y-对数（y）hφh+对数（y）h-+对数（y）hφh类-对数（y）h=√2πzexp-h类-对数（y）2h-y-对数（y）hy-1/2-+对数（y）hy1/2= -y1/2√2πzexp-h类-对数（y）2h,这是负面的。因此，（20）给出，对于所有x，y∈ 随机z，z>0，P（Z（s）（x）≤ z、 z（s）（y）≤ z）/h<0。（21）让我们考虑h>h>0和x，x，x，x∈ Rsuch thath=kx- xk∑和h=kx- xk∑。（22）从（21）可以看出，对于所有z，z>0，FZ（s）（x），z（s）（x）（z，z）<FZ（s）（x），z（s）（x）（z，z）。由于Z（s）是简单最大稳定的，我们有FZ（s）（x）=FZ（s）（x）和FZ（s）（x）=FZ（s）（x）。现在，当τ>0时，对于ξ6=0，函数f：（0，∞) → Rz 7→(η - τ/ξ）+τzξ/ξβ严格增加。因此，lettingZ（x）=η -τξ+τξZ（s）（x）ξ，x∈ R、提案1 yieldsCovZ（x）β，Z（x）β< Cov公司Z（x）β，Z（x）β. （23）此外，我们从（14）中知道，对于所有x，y∈ RSatizing ky公司-xk∑=h，CovZ（x）β，Z（y）β= gβ，η，τ，ξ（h）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）。（24）最后，（22）、（23）和（24）的组合给出了gβ，η，τ，ξ（h）<gβ，η，τ，ξ（h），显示了结果。以下两个命题特别给出了函数gβ，η，τ，ξ在0和at附近的行为∞.提案3。对于所有η∈ R、 τ>0，ξ6=0和β∈ N*使得βξ<1/2，（16）中定义的函数gβ，η，τ，ξ满足极限→0gβ，η，τ，ξ（h）=βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- ξ[2β - k- k] ）（25），并且在[0，∞).证据设{Z（x）}x∈Rbe协方差矩阵∑=I的史密斯随机场，其中ii是维度2中的恒等矩阵，GEV参数η、τ和ξ。

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2022-6-9 23:01:25

通过Z的平稳性，场Zβ是静止的。此外，当βξ<1/2时，我们从引理1知道Zβ有一个有限的二阶矩。因此，Zβ是二阶平稳的。此外，由于Smith随机场是样本连续的，因此立即证明Zβ是样本连续的，因此，使用与命题1 inKoch等人（2019）中证明相同的参数，它在二次平均值中是连续的。因此，场Zβ的协方差函数在原点处是连续的。这意味着，使用（14），thatlimx→0千伏Z（0）β，Z（x）β= 林克斯→0gβ，η，τ，ξ（kxk）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）= 风险值Z（0）β,再加上（15），得到（25）。这很容易让limh→0gβ，η，τ，ξ（h）=gβ，η，τ，ξ（0），这意味着gβ，η，τ，ξ在h=0时是连续的。gβ、η、τ、ξ在任何h>0时的连续性来自于这样一个事实，即二阶平稳场的协方差函数只能在原点处不连续。提案4。对于所有η∈ R、 τ>0，ξ6=0和β∈ N*使得βξ<1/2，（16）中定义的函数gβ，η，τ，ξ满足极限→∞gβ，η，τ，ξ（h）=βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）。（26）证明。设{Z（x）}x∈Rbe协方差矩阵∑=I，GEV参数η、τ和ξ的史密斯随机场。如定理6的证明所示，Zβ满足中心极限定理（见第4.2节）。这意味着（见第4.2节）ZRCov公司Z（0）β，Z（x）βν（dx）<∞,使用（14），thatZRgβ，η，τ，ξ（kxk）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）ν（dx）<∞.由于gβ，η，τ，ξ是严格递减的，这必然意味着limH→∞gβ，η，τ，ξ（h）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）= 0，即（26）。在本节中，我们假设ξ6=0，但如下一个命题所示，通过让ξ在上述表达式中趋向于0，可以很容易地恢复ξ=0的情况。提案5。

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mingdashike22

2022-6-9 23:01:28

Letη∈ R、 τ>0，ξ6=0，定义ξ（x）=η+τ（Z（s）（x）ξ- 1） /ξ和Z（x）=η+τlog（Z（s）（x）），x∈ R、其中Z（s）是一个简单的最大稳定随机场。Letβ∈ N*使得存在满足2βξ（1+ε）<1的ε>0。那么，我们有，对于所有x，x∈ R、 limξ→0千伏Zξ（x）β，Zξ（x）β= Cov公司Z（x）β，Z（x）β.证据对于i=1，2，Zξ（xi）遵循参数η、τ和ξ的GEV，我们表示其密度为byf。对于ξ<0，我们很容易得到E[| Zξ（xi）|α]<∞ 对于任何α>0，对于ξ>0，我们对于所有α>0E[| Zξ（xi）|α]=Zη-τ/ξ| x |αf（x）ν（dx）+Z∞xαf（x）ν（dx）。很容易看出，第一个积分是有限的，第二个积分存在的唯一可能问题是∞. 我们有∞xαexp-[1+ξ（x- η)/τ]-1/ξ[1+ξ（x- η)/τ]-1/ξ-1ν（dx）=Zhη+τ（z-ξ- 1） /ξiαexp(-z） ν（dz），其中我们使用变量z的变化=[1+ξ（x- η)/τ]-1/ξ. As[η+τ（z-ξ- 1)/ξ] ~ξ→0τz-ξ/ξ，前一个积分是有限的，前提是αξ<1，通过假设E[| Zξ（xi）β| 1+ε]<∞. 现在，letYξ=Zξ（x）βZξ（x）β，ξ6=0，Y=Z（x）βZ（x）β。通过Cauchy-Schwarz不等式，Eh | Yξ| 1+εi≤rEh | Zξ（x）| 2β（1+ε）irEh | Zξ（x）| 2β（1+ε）i，由此得出E[| Yξ| 1+ε]<∞. 从Billingsley（1999，p.31）可以看出，（Zξ（x））ξ，（Zξ（x））ξ和（Yξ）ξ对于ξ在0附近是一致可积的。众所周知，Zξ（xi）d→ Z（xi），i=1，2，这意味着通过连续映射理论Zξ（xi）βd→ Z（xi）β。此外，对于任何z，z∈ R、 P赫兹（秒）（x）- 1i/ξ≤ z、赫兹（秒）（x）- 1i/ξ≤ z= PZ（s）（x）≤ （1+ξz）1/ξ，z（s）（x）≤ （1+ξz）1/ξ= 经验值-五、[1+ξz]1/ξ，[1+ξz]1/ξ,andP公司对数Z（s）（x）≤ z、对数z（s）（x）≤ z= 经验值(-V（exp（z），exp（z）），其中V是（z（s）（x），z（s）（x））的指数函数。

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2022-6-9 23:01:32

因此，limξ→0便士赫兹（秒）（x）- 1i/ξ≤ z、赫兹（秒）（x）- 1i/ξ≤ z= P对数Z（s）（x）≤ z、对数z（s）（x）≤ z,因此赫兹（秒）（x）- 1i/ξ，hZ（s）（x）- 1i/ξd→对数Z（s）（x），对数Z（s）（x）.因此，连续映射定理产生（Zξ（x）β，Zξ（x）β）d→ （Z（x）β，Z（x）β），因此，再次应用Yξd→ Y、最后，Billingsley（1999）中的定理3.5得出limξ→0E（Zξ（xi））=E（Z（xi）），i=1，2和limξ→0E（Yξ）=E（Y）。结果马上就出来了。使用类似的参数，我们可以证明limξ→0Var（Zξ（xi）β=Var（Z（xi）β，i=1，2，对于任何x，x∈ R、 limξ→0更正Zξ（x）β，Zξ（x）β= 更正Z（x）β，Z（x）β.3.2应用Dβ、η、τ、ξ（x，x）的表达取决于x和x通过γW（x- x）仅限；因此，我们在以下符号中使用Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x））。下面，我们研究了Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x））关于β和欧氏距离kx- xk表示不同的变异函数。由于变差函数是一个非负条件负定义函数，因此Berg等人（1984年，第4章，第3节，命题3.3）得出d（x，x）=pγW（x- x），x，x∈ R、定义指标。对于许多常见的各向同性变差函数模型γW，γW（x-x）是kx的严格递增函数-xk，这意味着by（14）和命题2，Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x））是kx的严格递减函数- xk；这种与距离的相关性降低似乎很自然。此外，（14）、（15）和（25）给出thatlimx-x个→0Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x））=1。现在，引入B={x∈ R： kxk=1}，对于函数f fromRto R，limkhk→∞f（h）=∞ 必须理解为limh→∞infu公司∈B{f（hu）}=∞. 使用（14）和（26），我们推断，假设limkx-xk公司→∞γW（x- x） =∞, 那个limkx-xk公司→∞Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x））=0。此外，γWto的增加速度越快，Dβ，η，τ，ξ（γW（x）的收敛速度越快-x））到0。

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2022-6-9 23:01:35

这些结果与我们的预期一致。我们现在深入研究了Dβ，η，τ，ξ（γW（x- x））关于kx- xk和β，用于GEV参数η、τ和ξ的固定值。由于我们希望我们的研究与实践紧密联系，在那本书中，“非消极”一词被用来表示“有条件的非消极”。选择这些GEV参数的合理值。Ceppi et al.（2008）将广义帕累托分布（GPD）拟合到瑞士的现场观测中，获得了形状参数ξ，范围为-0.2到0。Della Marta et al.（2007）对欧洲风暴期间的GPD至ERA-40再分析数据进行了验证，还发现了负的形状参数，其值介于-0.1和-大多数陆地区域为0.3；参见图4.15。更一般而言，许多研究指出ξ通常略为负，这意味着风速最大值的分布有一个确定的右端点；当得到一个正值时，它永远不会离0太远。在欧洲年最大值的情况下，位置参数η的经典值介于25和30 m.s之间-1标度参数τ的通常值范围为2.5至3.5 m.s-1、例如，考虑到荷兰35个气象站的年最大风速，Ribatet（2013）获得的趋势面截距约为27 m.s-1对于η和3.25 m.s-1对于τ。我们考虑了法国上空从1.5o至4o经度和47.75o至49.25o纬度（基本上以巴黎为中心）。将GEV与这些数据的年最大值拟合，77个网格点上计算的平均估计值η=25.72 m.s-1，τ=2.50 m.s-1和ξ=-0.14.

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2022-6-9 23:01:38

由于这些不同的结果，我们使用η=30、τ=3和ξ=-0.2表示简化；以下描述的结果在质量上保持相同，但这些参数的值不同。g（s）β，β表达式中出现的积分（见（8））没有闭合形式，因此需要数值近似。为此，我们使用相对精度为3×10的自适应求积-此外，我们选择了变差函数（4），其中κ=1，ψ=0.5，1，1.5，2。对于风速最大值，平滑度参数ψ的值介于0.25和1.1之间似乎是合理的；e、 g，Ribatet（2013）获得了0.24（0.02），Einmahl et al.（2016）在类似数据上发现了0.40（0.02），而我们在上述区域得到了1.06（0.07），在覆盖德国鲁尔的区域得到了0.81（0.06）（括号内的数字表示标准偏差）。这种差异可能是因为再分析往往比现场观测更平滑。在我们的研究中，选择范围κ=1不会导致任何普遍性损失，因为如果κ与1不同，适当的曲线图将与下面相同，x轴上的值乘以κ。在实际情况下，当然应该取κ的真实值。从（5）中，我们知道情况ψ=2对应于∑=I的史密斯场。最后，情况ψ=1和ψ=1.5介于前面两个设置之间。根据上面的讨论，图1显示，随着欧几里德距离的增加，Dβ、η、τ、ξ从1减小到0，ψ值越大，速率越高。尤其是，Smith油田的下降速度比所有Brown-Resnick油田的下降速度都快，ψ<2，如果ψ的真实值接近0.5甚至1，使用Smith模型会导致严重低估损伤之间的相关性。

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2022-6-9 23:01:41

对于ψ=0.5（未显示），Dβ、η、τ、ξ小于0.01所需的最小欧氏距离约为1000，而对于ψ=2，则约为6。此外，有趣的是，对于给定的欧几里德距离，Dβ、η、τ、ξ随幂β以凹的方式略微增加，但基本上是恒定的，这表明我们的依赖度量对β的值只略微敏感。除了对最大稳定场的理解具有潜在的洞察力外，这一发现对实际实践也很有价值，因为这意味着极端风速造成的损害之间的相关性基本上是相同的，无论功率值如何。考虑（7）的扩展也是有意义的，其中相关损伤功率在X处为β，在X处为β，β和β不一定相等，如定理2所示。行为与我们刚才描述的（未显示）非常相似。特别是，对于给定的距离，这些值对组合（β，β）不太敏感。对于固定的β，相关性首先随β增大，然后随β减小，但随着β增大至12，达到最大值的β值增加至12。此外，β值越高，对β的敏感性越高。方差相对于距离的演化与相关性相似，但由于协方差的非标准化性质，与β（或刚刚提到的扩展中的组合（β，β））的灵敏度要大得多。4最大稳定场幂引起的空间风险度量及其对风极值的应用在本节中，我们研究了成本场{C（x）}x引起的空间风险度量的一些示例∈R=nZ（x）βox∈R、（27）其中{Z（x）}x∈Ris是一个属于C的最大稳定随机场，具有GEV参数η∈ R、 τ>0，ξ6=0，功率β∈ N*满足βξ<1/2或βξ<1。

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2022-6-9 23:01:44

通常，Z将是Brown-Resnick随机场。00.20.40.60.81距离功率相关性00.20.40.60.81距离功率相关性00.20.40.60.81距离功率相关性00.20.40.60.81距离功率相关性图1：Dβ的演变，30,3，-0.2（γW（x- x））相对于距离kx- xk和功率β。Brown–Resnick油田的变异函数为γW（x）=kxkψ，x∈ R左上、右上、左下和右下面板分别对应ψ=0.5、1、1.5和2。如前所述，我们与混凝土应用密切相关，以防极端风速造成损失。我们将使用以下引理。引理2。设{Z（x）}x∈Rbe具有GEV参数η的可测最大稳定随机场∈ R、 τ>0，ξ6=0。Letβ∈ N*使得βξ<1。然后，随机场Zβ属于C证明。场Zβ显然是可测量的。此外，由于Z具有相同的单变量边际分布，函数x 7→ E[| Z（x）β|]是常数，因此是局部可积的。因此，命题1 inKoch（2019）得出Zβ具有a.s.局部可积样本路径。设{Z（x）}x∈Randβ与引理2中的一样。我们考虑{C（x）}x场∈R=Z（x）βx个∈Rand与预期相关的空间风险度量R（A，C）=E[LN（A，C）]，A∈ A、很明显，C是可测量的。此外，由于它具有相同的单变量边际分布且βξ<1，因此它具有恒定的期望，并且对于任何x∈ R、 E[| C（x）|]=E[| C（0）|]<∞. 因此，Koch（2019）中的定理3给出了∈ A、 R（A，C）=E[C（0）]，且R（·，C）满足空间不变性、欠平移和空间次可加性公理。假设E[C（0）]6=0，则也得出R（·，C）满足0阶渐近空间齐性的定理，其中K（A，C）=0，K（A，C）=E[C（0）]，A∈ Ac.利用（6）、二项式定理和引理1，我们得到[C（0）]=βXk=0βkη -τξkτξβ-kΓ（1- [β - k] ξ）。

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2022-6-9 23:01:47

（28）与预期相关的空间风险度量并不重要，因为根据富比尼定理，它们没有考虑成本场C的空间依赖性。在下文中，我们详细研究了与方差相关的一些空间风险度量。然后，我们提供了a的LN（λa，C）分布的一个基于中心极限的近似值∈ A和λ足够大。最后，我们分析了一些与VaR和ES相关的空间风险度量。有关方差、VaR和ES作为经典风险度量的各自优缺点的讨论，请读者参考Koch（2019年，第3节）。4.1与方差相关的空间风险度量我们关注R（·，C）=Var（LN（·，C）），前提是它是有限的，其中C在（27）中给出。我们首先详细研究了函数λ7→ 特定区域A的R（λA，C）∈ A、除其他外，我们推导出了r（λA，C），λ>0的有用表达式，这可能对保险业具有实际意义，并将允许我们证明特定配置中的空间次可加性公理。其次，我们在Z域上提供条件，使得R（·，C）满足（至少）第2.1.4.1.1节R（λA，C），λ>0Let{Z（x）}x研究中提出的部分公理∈Rbe具有GEV参数η的可测最大稳定随机场∈ R、 τ>0，ξ6=0。此外，让β∈ N*使得βξ<1/2和{C（x）}x∈R={Z（x）β}x∈R、引理2得出C∈ 从引理1很容易得出，对于所有∈ A、 supx公司∈A{EC（x）} < ∞. 因此，使用定理4 inKoch（2019），我们得出∈ A和λ>0，R（λA，C）=λ[ν（A）]ZλAZλACovZ（x）β，Z（y）βν（dx）ν（dy）。（29）因此，利用Cov的表达Z（x）β，Z（y）β从（14）中获得，我们推导了当Z是具有各向同性变差函数的Brown–Resnick随机场，且区域A是圆盘或正方形时，R（λA，C）的表达式。

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2022-6-9 23:01:51

在整篇文章中，圆盘和正方形分别指具有正半径的闭合圆盘和具有正侧面的（闭合）正方形。下一章给出了相应的结果。定理3。设{Z（x）}x∈Rbe与各向同性变差函数γww相关的可测量Brown-Resnick随机场，对应的单变量函数为γW，uA，且具有GEV参数η∈ R、 τ>0，ξ6=0。Letβ∈ N*使得βξ<1/2和{C（x）}x∈R={Z（x）β}x∈R、然后：1。设A是半径为R的圆盘。对于所有λ>0，我们有R（λA，C）=-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）+Z2Rh=0fd（h，R）gβ，η，τ，ξqγW，u（λh）ν（dh），（30），其中fd是独立且均匀分布在A上的两点之间的欧氏距离密度，给定h∈ [0，2R]，byfd（h，R）=2hRπarccosh2R-hπRr1-h4R！。设A是一个边为R的正方形。对于所有λ>0，我们有R（λA，C）=-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）+锆√h=0fs（h，R）gβ，η，τ，ξqγW，u（λh）ν（dh），其中fs是在A上独立且均匀分布的两点之间的欧氏距离的密度，写为asfs（h，R）=2πhR-8小时+2小时，小时∈ [0，R]，- 2.- b+3√b- 1+b+1√b-1+2圆弧2.-bb型-b√1.-(2-b） /b2小时，小时∈ [右，右√2] ，b=h/R证明。使用（14），我们得到，对于x，x∈ R、 Cov公司Z（x）β，Z（x）β= gβ，η，τ，ξqγW，u（kx- xk）-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）。结果来自（29）和类似的论点，如科赫（2017）的推论1的证明。设命题5中的Zξ和Zas，以及{C（x）}x∈R={Zξ（x）β}x∈R、利用Cauchy–Schwarz不等式，我们可以很容易地应用Lebesgue支配的收敛定理来证明thatlimξ→0R（λA，C）=λ[ν（A）]ZλAZλACovZ（x）β，Z（y）βν（dx）ν（dy）。因此，通过让ξ趋向于0，再次恢复ξ=0的情况。以下定理涉及R的极限λA，Zβasλ→ ∞.定理4。

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2022-6-9 23:01:54

设Z、β和C如定理3所示，并进一步假设γW、uis是可测量且满足极限的→∞γW，u（h）=∞. （31）那么，对于所有A，都是半径为R的圆盘或边为R的正方形，limλ→∞R（λA，C）=0。证据当A是磁盘时，我们显示结果；正方形的参数是相同的。由于h是[0，2R]上的连续函数，它是有界的。根据命题2-4，gβ，η，τ，ξ也是有界的，因此存在U>0，这样，对于所有h≥ 0且λ>0，| fd（h，R）gβ，η，τ，ξ（pγW，u（λh））|≤ U、此外，fd和gβ、η、τ、ξ是连续的，因此是可测量的，它通过γW、uthat的可测量性得出，对于所有λ>0，函数h 7→ fd（h，R）gβ，η，τ，ξ（pγW，u（λh））是可测量的。因此，根据Lebesgue的支配收敛定理，事实上fd是一个密度和（31），limλ→∞Z2Rh=0fd（h，R）gβ，η，τ，ξqγW，u（λh）ν（dh）=Z2Rh=0fd（h，R）limλ→∞gβ，η，τ，ξqγW，u（λh）ν（dh）=limλ→∞gβ，η，τ，ξ（λ）。（32）最后，结合（26）、（30）和（32），我们得到limλ→∞R（λA，C）=-βXk=0βXk=0Bk，k，β，η，τ，ξ（1- [β - k] ξ）Γ（1）- [β - k] ξ）+limλ→∞gβ，η，τ，ξ（λ）=0。设Z和C如定理3所示。如果功能h 7→ γW，u（h）严格递增（分别递增），那么命题2意味着，对于所有h>0，函数λ7→ gβ，η，τ，ξ（pγW，u（λh））严格减小（分别减小）。因此，从定理3可以得出λ7→ 对于A是圆盘或正方形，R（λA，C）严格递减（分别递减）；因此，存在空间差异。此外，如果γW，uis是可测量且满足的（31），则定理4要求这种空间差异是总的，必须从limλ→∞R（λA，C）=0。定理3对保险业很有意义，因为它允许公司计算λ的值，从而使R（λa，C）等于期望的低方差水平。

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