交易成本、监管、地理位置、证券合约等各不相同的公司和投资者可能希望除了本地做市商之外，还希望彼此进行交易，以降低风险。投资者寻求交易数量u和价格p。为了确定这些值，我们使用了[6]中的部分均衡价格量（PEPQ）的概念，并假设一对（p*, u*) ∈ Ris a PEPQ提供*∈ argmaxu∈R{uA（xA- p*u、 ∑A+uh）}\\argmaxu∈R{uB（xB+p*u、 ∑B- 呃）}，其中ua和uba是投资者的价值函数。因此，PEPQ可确保最佳行动时的双边清算。对于指数效用，分析简化，因为（4.7）意味着（p*, u*)是PEPQ供应商*∈ argmaxu∈RupI，A（u，∑A）- p*u\\argmaxu∈Rp*u- upI，B(-u、 ∑B）.确定局部组合风险容限1/βi：=1/γi+1/αifor i∈ {A，B}。利用[6，定理5.8]，我们得出以下结论：命题5.1。假设4.1适用于两个市场。如果βA（∑A+∑A）- βB（∑B＋∑B）不是常数，存在唯一的PEPQ（p*, u*). 事实上*= argmaxu∈R{upI，Au∑A+ upI，B-u∑B},价格影响下的最优投资、需求和套利21和（5.1）p*=Ehhe公司-βA（∑A+∑A+u*h） iEhe公司-βA（∑A+∑A+u*h） i=Ehhe-βB（∑B+∑B-u*h） iEhe公司-βB（∑B+∑B-u*h） i.换句话说，部分均衡价格p*是两个大型投资者的边际价值，当其禀赋包括均衡数量u*. 根据命题4.4，均衡价格不一定是无套利的，因为在某些情况下，均衡价格不在[h（u*), h（u*)], 对两位投资者而言。这种推理源于对有限套利的讨论。特别是，如果h与投资者A的禀赋负相关，与投资者B的禀赋正相关，则u*由于对冲收益，将为正值。

另一方面，两个市场中现有做市商的库存可能会导致A市场h的差异价格相对较高，B市场的差异价格相对较低。即使这些价格不在非套利范围内，对冲的互惠效应也会迫使投资者转向交易的另一个方向。以下示例强化了这一点。示例5.2。对于i∈ {A，B}，我们再次考虑示例2.4、3.10和4.8的Bachelier模型。i的差异估值（4.7）收益率∈ {A，B}pI，iu∑i= -βiZTuyt+2（fit+git）年初至今。根据命题5.1，唯一平衡量isu*=RT公司βB（fBt+gBt）- βA（脂肪+gAt）ytdt（βA+βB）RTytytdt。均衡价格isp*= -ΓZTfAt+gAt+fBt+gBtytdt；Γ=αA+αB+γA+γB，因此Γ是总风险承受能力。很明显，p没有理由*成为定义4.2意义上的唯一（针对各个市场）无套利价格。特别是，如果捐赠∑ij表示i=A，B；如果βi、i=A、B都接近于0，则j=0、1相差很大，平衡量很大。这意味着两位投资者在与各自的做市商交易时都不会利用套利。这与没有价格影响的细分市场模型不同，在这种模型中，投资者既创造套利机会，又相互利用套利机会：参见[45，46]。5.1. 大量的部分平衡量。我们在第4.2节中看到，投资者（其风险规避是固定的）将在未定权益h中内生性持有大量头寸，前提是a）市场制造商风险规避γ≈ 0和b）交易价格p不是唯一的p∞(0). 目前，weshow在两种风格化但具有代表性的情况下内生出现上述情况。

首先，当一个投资者在索赔中拥有大量头寸时，其次，当每个市场都有大量做市商时。22 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulose示例5.3。投资者B在大额索赔制度下，做市商接近风险中性。假设γA，γB→ 0，带∑A，∑B固定。投资者A没有禀赋，而投资者B有禀赋`/γBh，`6=0，因此她处于大额索赔制度中。均衡定价公式（5.1）规定了top*=E他-γAαAγA+αA（∑A+u*h）Ee-γAαAγA+αA（∑A+u*h）=E他-γBαBγB+αB∑B+`γB-u*h类Ee-γBαBγB+αB∑B+`γB-u*h类.设γA，γB→ 0并假设γA/γB→ δ ∈ (0, ∞). 如果p*→ p∞（0）=E【h】那么B的方程式必然意味着u*≈ `/γB。然而，通过考虑A的方程，这反过来意味着p*= E他-`δh/Ee-`δh6=E【h】。因此，必须是p*不限于p∞（0），并且A的内部出现大量头寸。事实上，很容易看到u*≈ `/（γA+γB）。示例5.4。大量做市商。这个例子强调，在存在价格影响的情况下，即使大型投资者的初始捐赠不包含任何索赔头寸，索赔上的大额（均衡）头寸也可能出现。如备注4.9所示，我们假设每n个做市商中有n个做市商具有风险规避γi和禀赋∑i（在每个本地市场中∈ {A，B}）。我们让每个大投资者都有固定的捐赠，事实上，在不丧失一般性的情况下（在本例中），将∑i=0。此处，（5.1）规格顶部*=E“he-γAαAγA/n+αA∑A+u*nnh公司#Ee-γAαAγA/n+αA∑A+u*nnh公司=E“he-γBαBγB/n+αB∑B-u*nnh公司#Ee-γBαBγB/n+αB∑B-u*nnh公司.现在，假设最佳位置由n控制，其中| u*n |/n→ 0、作为n↑ ∞, 这意味着他-γA∑AiEhe-γA∑Ai=Ehhe-γB∑别合-γB∑Bi。因此，我们看到，除非在上述等式成立的非常特殊的情况下，较大的位置将“自发地”（即。

当两个大投资者都没有提前持有h的头寸时）随着做市商数量的增加而出现。附录A.引理2.3的证明。从[8，定理3.2]和[10，定理4.9]我们知道，在假设2.2下，所有局部有界可预测策略Q的增益过程都得到了很好的定义。仍然需要得到（2.2）中V的显式表达式。使用[8，10]的符号表示（v，x，q）∈ (0, ∞) ×R×Rdand（u、y、q）∈ (-∞, 0) × (0, ∞) ×rddefine∑（x，q）：=∑+x+qψ，r（v，x）：=-ve公司-γx，价格影响下的最优投资、需求和套利23Ft（v，x，q）：=Er（v，∑（x，q）英尺和Gt（u，y，q）：=supv>0infx∈R（uv+xy- Ft（v，x，q））。直接计算yieldsFt（v，x，q）=-ve公司-γxNt（q）；Gt（u，y，q）=yγ对数Nt（q）-u.（A.1）根据【10，方程式（3.19）和（4.16）】的术语，我们定义了做市商预期的效用过程{Ut}t≤Tby Ut=Ut（v，x，q）=(/v） t的Ft（v，x，q）≤ T从（2.1）和（A.1）中，我们很容易得出，Ut将求解t的有效随机微分方程dUt/Ut=Ht（Qt）dbtf≤ T，它允许显式强解ut=UEZ·Hs（Qs）dBst；U=E-e-γΣ= -N（0），提供Q∈ AP I.继续并轻微滥用符号，[10，等式（4.19）]意味着增益过程Vt（Q）是Vt（Q）=-Gt（Ut，1，0）=-γ测井Nt（0）-Ut（Q）;= -γ测井Nt（0）N（0）+γZtHs（Qs）dBs-2γZt | Hs（Qs）| ds。现在，从（2.1）我们知道Nt（0）/N（0）=ER·Hs（0）dBst、 这意味着vt（Q）=γZt（Hs（Qs）- Hs（0））dBs-2γZt|Hs（Qs）|- |Hs（0）|ds。后一个表达式与（2.2）一致，从而完成了证明。命题3.7的证明。根据命题3.5，必须显示▄uC（0；∑）和▄u（0；∑）取（3.10）中的值。从（3.4）、（3.6）中，FTis（A.2）上（唯一）鞅测度Qtoep的密度eZT=dQdePFT=dQdPFT×dPdePFT=Ee-αΣE【E】-γ∑eα∑-γΣ.回想命题3.5，p=-α/γ和q：=p/（p- 1) = α/(α + γ).

直接计算显示（A.3）eZqT=Ee-αΣE【E】-γΣ]!αα+γe-β（∑+∑）e-αΣ.因此，Eehzqti<∞ 根据初始财富eγ×0=1的电力效用的标准完全市场对偶理论（c.f.[34]，[29，引理5]），我们通过显式计算得到u（0，∑）=αγee-αΣpeEheZqTi1-p= -Ee-γΣ-αγ×Ehe-β（∑+∑）iαβ。至于^π，最优性的一阶条件是（A.4）XT（^π）eZT=eZqT×eEheZqTi公司-1.24 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos对于给定策略π（x=0），回忆起（2.5）中的对数财富过程。使用（3.4）、（3.9）、（A.2）和（A.3），将（A.4）中右侧的对数减少到zt（^Иt- Ht（0））（dBt- Ht（0）dt）-ZT |^Иt- Ht（0）| dt。从这里可以清楚地看到^π=^Д- H（0）。假设3.6表示^π∈ AC，完成证明。命题4.4的证明。我们首先证明关于定义4.3的陈述。为此，fixu>0，p∈ R和Q∈ AP I.设置W（Q）=向上+VT（Q）- 呃还有noteEeγ（uh+W（Q））E[Eγuh]=EγupEeγVT（Q）E[Eγuh]≤eγupE[eγuh]=eγu（p-h（u）），其中使用不等式（2.2）。因此，如果p≤ h（u）则满足定义4.3中的（a）部分。如果p>h（u），我们观察Q∈ AP Ifrom（4.1）W（Q）=向上+VT（Q）- uh=u（p- h（u）），因此p不符合定义4.3的（a）部分。这给出了上限。对于下限，现在设置▄W（Q）=-上升+垂直速度（Q）+嗯。我们有γ(-uh+~W（Q））即-γuh]=e-γupEeγVT（Q）E【E】-γuh]≤e-γupE[e-γuh]=e-γu（p-h（u））。因此，如果p≥ h（u），则p满足定义4.3中的（b）部分。如果p<h（u），我们观察Q∈ AP Ifrom（4.1）带-h替换hW（Q）=-up+VT（Q）+uh=u(-p+h（u）），因此p不满足定义4.3的（b）部分。

这给出了定义4.3的结果的下限。对于项目i），我们注意到，如果p在定义4.2的意义上是无套利的，那么对于所有u>0的情况，p在定义4.3的意义上是无套利的，因此对于所有u>0的情况，我们必须-γulogEhe公司-γuhi≤ p≤γulogEheγuhi.H¨older不等式表明，上面左侧的函数在u>0时递减，右侧的函数在u时递增。此外，根据支配收敛定理，极限asu↓ 这些函数中的0都是E[h]。因此，在定义4.3的意义上，对于所有u>0的情况，E[h]是无套利的。还有，因为对于所有Q∈ AP I，EeγVT（Q）≤ 1，我们看到E[h]在u=0时也是（真空）无套利的。最后，根据定义4.3的对称性，我们可以看到，E【h】也是定义4.2意义上的唯一自由价格，即使u<0。命题4.7的证明。利用提案3.7和大型投资者捐赠∑+uh，我们看到(-聚氨基甲酸酯；∑+uh）=-eαpuEe-γΣ-αγ×Ehe-β（∑+∑+uh）iαβ。价格影响下的最优投资、需求和套利25因此，优化问题是最小化EPU+βlogEhe公司-β（∑+∑+uh）i,超过u∈ R、 在给定的可积性假设下，上述函数在u中是光滑且严格凸的。最优性的一阶条件是（4.5），并且（4.5）的右侧变为h（分别为h），u变为∞ （分别为。-∞) 如【47】所示。参考文献【1】V.V.Acharya、L.A.Lochstoer和T.Ramadorai，《套利和对冲的限制：商品市场的证据》，金融经济学杂志，109（2013），第441-465页。[2] A.Admati和P.Pfleiderer，《日内模式理论：成交量和价格变化》，《金融研究评论》，1（1988），第3-40页。[3] M.Aitken、G.Garvey和P.Swan，《经纪人如何促进竞争性证券市场中长期客户的交易》，《商业杂志》，68（1995），第1-33页。[4] M。

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