其他参数为α=1.64和γ=100。资产投资M，由于更大的多元化，导致对风险的低估，见图3强制在市场上运营的金融机构在其风险预测预期方案中采用更大的记忆，这始终会对市场稳定性产生稳定影响。毫不奇怪，增加ω意味着考虑更多关于系统的信息，渐近收敛到定点平衡。然而，较大的内存意味着对风险新闻的反应较慢。从微观审慎的角度来看，这似乎毫无意义，因为如果只有一家或几家金融机构采用asit，当所有机构的行为都相似时，asit在动态稳定性方面就变得方便了。因此，我们的分析表明，适当的金融政策对于促进系统性行为是必要的，这种行为倾向于在更多信息的驱动下进行平稳调整，而不是在新闻的驱动下做出过度反应。4.4. 一维分析。极限n下简化模型的动力学→ ∞ 由λt的以下一维映射控制，λt=f（λt-1.ω, α, γ, Σ) =ωλt-1+ (1 - ω) α1+2λt-1.- 1γ - λt-1+ 1Σ1.-λt-1.-1γ-（4.3）式中λ∈ [1，γ+1）和∑= 画→∞nσ是投资组合决策慢时间尺度下的特殊噪声方差，见等式2.19。在附录A中，我们展示了如何分析计算总回报的方差PNQ=1rt-1+q/n极限n→ ∞ 获得等式4.3。显式形式的映射f为系统的动力学行为提供了有价值的分析见解。地图的固定点，即λ*= f（λ*; ω, α, γ, Σ), 对应于f（λ）时的渐近平衡*; ω, α, γ, Σ) 位于单位圆内。

当f（λ*; ω, α, γ, Σ) 命中值-1，出现倍周期分岔。图6的左图显示了线性变换x下的地图形状≡λ-1γ，作为ω的函数。请注意，固定点的值不取决于ω，而最大值是ω的递减函数。此外，ω值*此时，到非平稳发生的转变对应于ω的值，此时f的最大值等于γ+1（或当我们重新缩放图6中的不变区间时的单位值）。有趣的是，当特殊噪声的外部方差低于阈值时，倍周期级联到混沌的复杂行为可能会发生。在图6的右侧面板中，我们显示了ω和ω*作为的函数√Σ. 当我们接近阈值（黑色虚线）时，ω和ω*趋于一致，两个值都变得任意低。高于阈值时，不会打破固定点平衡。描述ω，ω的曲线*, 阈值将参数空间划分为具有特定动力学特性的区域，见图6。ω0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08λ±Δλ102030405060708确定性骨架n=3600n=10000图7。根据第5.1.5小节中所述的扰动分析获得的不同n值，杠杆作为ω函数的分岔图和图4.2中确定骨架周围的扰动。两个一般时间尺度第4节的结果是在渐近极限n下得到的→ ∞ 对应于金融机构在其资本结构中持续按市值计价的情况。事实上，在交易操作中存在着几种类型的摩擦，这些摩擦阻碍了持续的市值计价。研究通过动力系统方法获得的结果在有限时如何变化是很有趣的。

从政策角度来看，这对应于调查摩擦（例如交易税）对金融系统稳定性的作用。5.1. 扰动分析。对于较大但有限的n，协方差矩阵f的估计量∑围绕协方差矩阵x∑。风险估计中的这些波动会影响关于平均和多元化的投资组合决策，因此也会影响金融系统的动态。在这里，我们想调查风险估计中的波动对金融系统确定性框架的影响程度。下面，我们提出一个分析论点来回答这个问题。然后，在第5.2小节中，我们通过将分析结果与模型简化版本的蒙特卡罗模拟进行比较来证明这一点。资产回报动态由等式2.18的VAR过程控制。通过估计t- 1和t当n不确定时，金融机构可以获得VAR（1）过程的外生成分，即残差{i、 s，fs}i=1，。。。，Ms=t-1+k/n，k=1,2，。。。，n、 在投资组合再平衡的时间尺度上，特质风险和系统风险的估计量是残差的已实现方差，^σ=n- 1nXk=1i、 t型-1+k/ni=1。。。，M，σf=n- 1nXk=1ft-1+k/n.（5.1）由于假设残差为i.i.d.和正态，因此数量（n-1)^σ/σ和（n-1） σf/σffolowa卡方分布χn-1带n-1个自由度，90%置信区间^σ,fisδ^σ,f≡σ,fn公司- 1[（χn-1)-1(0.95) - （χn-1)-1(0.05)]. （5.2）我们使用该置信区间作为风险估计中的风险度量。让我们注意到，当n变为单位时，它变为零，这在模型模拟中得到了数值证实。波动从数学角度来看，过程2.18相当于收益内生成分的过程，见方程2.11。

如【Corsi等人，2016】所示，它可以在M+1独立AR（1）过程中分解。式2.18的残差是与M+1 AR（1）过程相关的残差的简单线性组合。在估算公式4.1中的协方差矩阵时，根据附录A中的公式获得，见公式。A、 5、A.6、A.16。投资组合决策直接受风险估计中的影响。通过公式4.2的分析应用，并使用∑≡ nσ和∑f≡ nσf，我们得到杠杆变化的范围取决于Δ^σ,f、 也就是说，当n为有限时，相对于骨架动力学，杠杆率的90%置信区间Δλ。图7显示了当n是有限的时，确定性骨架及其周围的函数。当n较大时，系统的动力学演化非常接近其骨架。通过降低n的值，函数变得越来越重要。经验上，我们观察到Δλ与n成反比。然而，至少对于2周期循环，当nis的阶数为O（10）或更大时，动力学模型的性质是守恒的。注意，这里介绍的方法不能应用于混沌动力学。在动态系统理论中，当混沌发生时，由于不再存在广义平衡点（如稳定的固定点或周期轨道），因此不可能通过平衡点周围的线性化来描述系统，参见【Eckmann和Ruelle，1985】。因此，当确定性骨架是混沌的时，这种基于广义平衡摄动的分析论证不能应用。5.2. 数值结果。在本小节中，我们以数字方式研究有限公司的模型。为了便于处理，我们通过考虑一家金融机构投资于一项风险资产，将重点放在原始模型的简化版本上。

在简化模型中，我们失去了与投资组合多元化相关的方面。反过来，很容易将数值模拟结果与前面小节的理论结果进行比较，如下所示。最后，通过简化模型的这种方法更清楚地关注了n在金融系统系统稳定性中的作用。在数值模拟中，我们假设银行正确地感知到资产价格的自回归动态以及通过估计观测收益的AR（1）过程获得的方差^σ，见等式2.19。我们考虑了风险预期中的大内存（ω=0.4）情况下的隐含性，确定性框架是一个定点平衡。从解析近似的角度来看，2周期循环的情况是等效的。在图8中，我们显示了金融杠杆Δλ的波动，这是风险估计值波动的结果。我们将解析近似（黑点）与蒙特卡罗模拟（蓝点）进行比较。通过公式5.2获得分析近似值，其中M=1风险投资。在数值上，我们通过以下方式获得^Δλ。我们模拟了低速快速随机动力系统的简化版本。然后，我们在初始瞬态通过后收集数据。因此，我们得到了与模拟路径{λt}t=0，…，相关的经验概率分布^Fλ，。。。，T、 与通过解析近似获得的Δλ一致，我们确定^Δλ为90%浓度区间^Δλ=^F-1λ(0.95) -^F-1λ(0.05). （5.3）当n＞10时，理论预测与数值结果一致。讨论：交易成本。在最近有关杠杆周期的文献中，没有分析投资组合决策和杠杆目标的两种不同尺度的可能性。

我们坚信，这一方面值得更多关注，因为它与关于税收在金融系统性风险中的作用的讨论直接相关【Matheson，2012年，Masciandaro和Passarelli，2013年】。我们可以将n解释为金融交易税（如托宾税）和其他贸易摩擦的直接衡量标准。事实上，n与市场上交易业务的数量有关，因为它等于银行为了使资产负债表接近所需的资本结构而进行的平衡业务的数量。明显的高交易税减少了金融机构的运营数量。在我们的分析中，我们研究了在简化模型中杠杆周期的幅度如何依赖于n。在图8中，我们将Δλ表示为n的函数。该图显示了蒙特卡罗模拟的结果，每个点是通过对T=2000的50多个系统动力学实现进行平均得到的。我们展示了两个不同ω值的所得结果。ω=0.4的情况与确定性框架中的定点平衡有关，而ω=0.08的情况对应于两个周期的循环。从VAR（1）过程估计的角度来看，模型变量λt-1，公吨-1附录A中的公式对应于VAR（1）过程的参数，Φt-方程式2.18中。类似于残差方差^σ和^σf，在估计Φt的理想过程中-1，我们依次得到估计量bΦt-1在置信区间内。为了简单起见，我们通过假设真实值上的拾取分布来进行平均场近似。Δλ是通过对λ和σ的等式4.2进行微分得到的,f、 n102103104105Δλ0102030405060数值模拟ω=0.08两周期周期的渐近振幅Monte Carlo模拟ω=0.4解析近似图8。90%置信区间Δλ，见等式。

5.3，对于ω的两个不同值，作为n的函数：ω=0.4（蓝点）和ω=0.08（红点）。在N=M=1的情况下，通过等式5.2获得的ω=0.4的理论预测由黑点表示。在简化模型的蒙特卡罗模拟中，对于每个n值，我们平均50个种子，以获得^Δλ的考虑值，误差条表示数据的标准偏差。其他模型参数为：γ=100，α=1.64，∑= 0.05，T=2000。当n 1我们恢复确定性骨架，如前一节所示。在这个极限下，在定点平衡的情况下，Δλ趋于零，因为振荡趋于消失。当确定性骨架对应于2周期周期时，Δλ的渐近值对应于分叉2周期轨道的幅值。当n 1，平均周期的模拟振幅和理论振幅都趋于一致，这进一步证明了前面介绍的分析近似值的一致性。在这两种情况下，我们都可以注意到杠杆周期的幅度是n的递减函数。这一推论是，当n很小时，杠杆波动往往与价格波动的相关性更大。因此，目标杠杆率的增加反映了资产规模的增加，同时也反映了对低风险的认识。然而，由于该银行没有按市值计价，但已大幅提高了目标杠杆率，当价格出现外源性冲击时，金融杠杆率随之出现恐慌性下降。相反，当n较大且银行在资本结构中按市值计价时，金融系统往往接近其确定性框架。

在执行点均衡的情况下，杠杆周期往往会因为准确的风险预测而消失，至少从长远来看是这样。此外，当风险预期中采用的记忆较小且确定性骨架对应于2周期轨道时，杠杆周期的振幅对于较大的n较小。此外，在这种情况下，可以很容易地识别动力学的周期结构，例如在已实现方差的自相关函数中。这些信息可以有效地用于改进风险估计。我们的结果表明，通过消除交易摩擦，允许资本结构按市值计价，以降低杠杆周期的幅度，从而使金融系统更接近定点均衡。6、结论在本文中，我们研究了风险前瞻性预期对投资组合决策的影响，以及对金融系统稳定性的影响。为此，我们开发了一个模型，该模型成为一个缓慢快速的随机动力系统，描述了风险投资和银行资产的二部金融网络的演化。这种风格化金融市场的主要特征是：（i）金融机构以VaR约束的形式拥有资本要求，并遵循标准的市值计价和风险管理规则；（ii）资产流动性不足；（iii）投资组合重叠所介导的间接风险传染；（iv）通过过去价格观察的统计模型进行的回顾性预期。在渐近确定性极限下，我们能够分析研究金融系统的定点均衡以及系统稳定性的破坏是如何发生的。

本文的主要结果是对所考虑的金融系统可能的动态结果及其与市场条件的关系进行了分析分类，这些关系由预期记忆ω表示，由α定义的风险价值概率，以及多元化成本c。我们展示了金融系统如何通过倍周期分岔打破固定点平衡，这决定了杠杆周期的出现。此外，我们还表明，金融系统的动力学在一定范围内是混沌的，据我们所知，本文是混沌动力学在这种背景下出现的首次分析证明。最近的一些文献，例如【Aymanns和Farmer，2015年】，通过数值论证论证了金融系统系统风险模型中存在混沌吸引子。然后，【Choi和Douady，2012年】提出了一个新的不稳定指标，其目标是捕捉金融机构在动荡时期现金流的混乱动态，【Castellacci和Choi，2014年】以类似的目标模拟了欧元区危机的金融传染。最后，我们研究了该模型的动态结果，以回答以下问题：（1）系统的稳定性如何依赖于银行形成的风险预期？我们的答案是，在所有其他条件相同的情况下，预期形成过程中的记忆ω越大，金融系统动力学就越稳定。（2） 对财务杠杆的约束有多重要？在我们的分析中，我们表明，对于n的任何值，α都存在一个临界点，它定义了从固定点平衡到周期演化的“过渡”。

因此，对金融杠杆进行更严格的监管始终可以稳定市场。（3） 引入新金融工具的后果是什么？我们发现，拥有大量资产投资的市场需要更大的记忆来形成动态均衡的风险预期。事实上，大量的金融工具降低了银行的风险感知，因为投资组合多样化程度更高，随之而来的是金融杠杆率的增加。银行投资组合的重叠与杠杆目标的价格影响的综合效应使系统更加不稳定。（4） 从系统风险的角度来看，市场摩擦的作用是什么？从微观角度来看，降低多元化成本（这里用c表示）可能是积极的，但由于银行投资组合的相似性，可能会导致反馈效应的协调，从而触发从稳定动态向不稳定动态的转变。相反，我们的分析表明，降低交易成本和消除所有交易摩擦可能会促使金融投资者在其资本结构中采取按市值计价的策略，即控制参数n的较大值。

在我们的模型中，这代表了资产负债表的控制策略，其结果是降低杠杆周期的幅度。一个将导致这项工作进一步发展的具有挑战性的问题是，放松投资资产和/或金融机构的同质性假设，并在风险预期形成过程中引入不同的时间范围。致谢我们感谢富尔维奥·科尔西（Fulvio Corsi）的有益讨论，我们也感谢米兰第18届量化金融研讨会（18thWorkshop in Quantitative Finance）和布达佩斯欧洲政治经济发展协会（European Association for Evolutional Political Economy）29周年会议与会者的建议。最后，我们感谢联合信贷银行研发集团通过斯库拉高等师范学院的“动力学和信息理论研究所”提供的财政支持。参考文献【Adrian和Shin，2010】Adrian，T.，&Shin，H.S.（2010）。流动性和杠杆。《金融中介杂志》，19（3），418-437。【Adrian和Shin，2014】Adrian，T.，&Shin，H.S.（2013）。顺周期杠杆和风险价值。《金融研究评论》，27（2），373-403。【Aymanns等人，2016年】Aymanns，C.、Caccioli，F.、Farmer，J.D.、Tan，V.W.（2016年）。驯服巴塞尔杠杆周期。《金融稳定杂志》，27263-277。【Aymanns和Farmer，2015】Aymanns，C.，&Farmer，J.D.（2015）。杠杆周期的动态。《经济动力与控制杂志》，第50期，第155-179页。【Bao等人，2013年】Bao，T.，Duffy，J.，&Hommes，C.（2013年）。学习、预测和优化：一项实验研究。《欧洲经济评论》，61186-204。【Bauwens等人，2006年】Bauwens，L.，Laurent，S.，&Rombouts，J.V.（2006年）。多元GARCH模型：综述。《应用计量经济学杂志》，21（1），79-109。【Bhattacharya和Majumdar，2003年】Bhattacharya，R.，&Majumdar，M.（2003年）。

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A、 2，我们得到等式2.19中的方差表达式。在极限n内→ ∞, 是φn→ 0和nφn→ 0，因为|φ|<1。然后是方差inEq的公式。4.3.多变量情况：VAR（1）。让我们关注等式2.18中描述的VAR（1）过程，其中内生成分遵循等式2.11中的VAR（1）过程。让我们假设n 1表示可分析性。在投资组合再平衡的时间尺度上，即，可以分析计算与内生成分相关的方差和协方差（见【Corsi et al.，2016】）。当=t时- 1+k/n，k=1，2。。。，n、 它是v ar[ei，s]=-~λ(γ-λ）（m（γ（m- 1)-~λ) + 2 -λmM-λM）××m（σ(~λ- γ（M- 1） ）+σf（￠λ- γ（M- 1） ））++2m（M（σ(γ-~λ) -λσf）- γσ)++M（M（σ(~λ- γ） +λσf）+γσ),（A.5）Cov【ei、s、ej、s】=-~λ(γ-λ）（m（γ（m- 1)-~λ) + 2 -λmM-λM）××m（σf（|λ- γ（M- 1)) - γ（M- 2)σ)+-2m（∧Mσf+γσ) + M（∧Mσf+γσ),（A.6）我们将超额杠杆定义为∧≡ λ - 1并且为了符号的简单性，我们不使用时间索引t标记λ和m- 因此，在重新平衡投资组合方差和收益协方差的时间尺度上，ri，s，areV ar[ri，s]=σ+ σf+V ar[ei，s]≡ θ（A.7）Cov[ri，s，rj，s]=σf+Cov[ei，s，ej，s]≡ ψ、 （A.8）分别。投资组合决策时间尺度上收益的方差和协方差，即Ri，t≡Pnk=1ri，t-1+k/n，areV ar[Ri，t]=E[（Ri，t）]=nE[Ri，s]+2（n- 1） E【ri、sri、s-1/n]+2（n- 2） E【ri、sri、s-2/n]+。。。Cov【Ri，t，Rj，t】=E【Ri，tRj，t】=nE【Ri，srj，s】+2（n- 1） E【ri、srj、s-1/n]+2（n- 2） E【ri、srj、s-2/n]+。。。，j 6=i由于t- 1和t.通过定义θk≡ E【ri、sri、s-k/n]和ψk≡ E【ri、srj、s-当j 6=i时，前面的公式读取为asV ar[Ri，t]=nθ+2nnXk=1θk- 2nXk=1kθk（A.9）Cov[Ri，t，Rj，t]=nψ+2nXk=1ψk- 2nXk=1kψk。

（A.10）以一元情况的类似方式，通过递归应用等式2.18中的VAR（1）过程并取期望值，我们得到了两个方程组，其解为termsPnk=1θk，Pnk=1kθk，Pnk=1ψkandPnk=1kψkin Eqs的解析表达式。A、 9和A.10。为了便于注释，让我们定义≡λ - 1γm（A.11）β≡λ - 1γ毫米- 1米- 1（A.12），使式2.18中的自回归系数矩阵读数为Φ=（Д- β） I+β1，其中I是身份矩阵，1是条目等于1的矩阵。可以验证Θ≡Pnk=1θkandψ≡Pnk=1ψk表示下列线性方程组的解，（（1- φ)Θ- β（M）- 1） ψ=Дθ+β（M- 1) ψ-β Θ+ (1 - （Д+β（M- 2） ））ψ=βθ+（Д+β（M-2） ψ，（A.13），其中我们假设θn 1和ψn 1、当n 1，见【Tsay，2005年】。同样，Θ≡Pnk=1kθkandψ≡Pnk=1kψq是下列线性方程组的解，（（1- φ)Θ- β（M- 1） ψ=ДΘ+β（M- 1) Ψ-β Θ+ (1 - （Д+β（M- 2） ））ψ=βΘ+（Д+β（M-2） ）ψ，（A.14），其中我们假设θn 1，nθn 1，ψn 1和nψn n时为1 1、根据我们对风险投资统计等价性的假设，协方差矩阵是一个对角线项相等的矩阵，即∑d+∑u≡ V ar[Ri，t]i、 和其他对角线相同，即∑u≡ Cov【Ri，t，Rj，t】i 6=j。因此，对于n 1式2.18中投资组合决策时间尺度下回报的协方差矩阵为∑=∑dI+∑u1（A.15），其中（∑d=n(θ- ψ) + 2(Θ- Ψ) -n（Θ）- Ψ)\'∑u=nψ+ 2Ψ-nψ（A.16）为简单起见，我们假设资产回报率以平均值为中心。通过代入等式的公式。A、 5、A.6、A.7和A.8在等式A.16中，协方差矩阵是显式得到的。最大似然估计。

在公式2.18中估算VAR（1）过程的理想程序中，即rs=Φrs-1/n+εs，s=t- 1+k/n，k=1，2。。。，n、 （A.17）我们可以得到∑dand∑u的最大似然估计量，即b∑dandb∑u。在等式A.17中，εs~ N（0，∑ε）s=t- 1+k/n，k=1。。。，n其中∑ε=σI+σf1和σ, σf>0且Φ=（Д）- β） I+β1，等式中定义了Д和β。A、 11和A.12。根据t- 1和t，VAR（1）过程isP[rt]的可能性-1+1/n，rt-1+2/n。。。，rt | rt-1] =nYk=1P[rt-1+k/n | rt-1+（k-1） /n]=nYk=1N（Φrt-1+（k-1） /n，∑ε），因为收益的条件分布是多元高斯分布。因此，对数似然isL（Φ，∑ε）=-nlog∑ε|-nXk=1（rt-1+k/n- Φrt-1+（k-1） /n）|∑-1ε（rt-1+k/n- Φrt-1+（k-1） /n）（A.18）和参数的最大似然估计量，即^Д、^β、^σ和^σf，可作为以下方程组的解获得L（Д，β，σ,σf）φ= 0L（Д，β，σ,σf）β= 0L（Д，β，σ,σf）σ= 0L（Д，β，σ,σf）σf=0。让我们注意到，参数的最大似然估计量只是观测到的快速变量{rt的函数-1+k/n}k=0,1,2，。。。，n、 即^Д≡ ^Д（{rt-1+k/n}k=0,1,2，。。。，n） ，^β≡^β（{rt-1+k/n}k=0,1,2，。。。，n） ，^σ≡ ^σ（{rt-1+k/n}k=0,1,2，。。。，n） 和σf≡ ^σf（{rt-1+k/n}k=0,1,2，。。。，n） 。然后，根据以下时间序列分析的标准结果，参见【Tsay，2005】，（^θ-^ψ）I+^ψ1≡∞Xk=0bΦkb∑ε（bΦk）|其中b∑ε=σI+σf1和bΦ=（φ）-^β）I+^β1，我们能够在快速时间尺度上计算方差和协方差的最大似然估计，即^θ≡dV-ar[ri，s]和^ψ≡dCov[ri，s，rj，s]，j 6=i。因此，通过计算≡ Θ(^θ,^ψ, ^φ,^β),^Ψ≡ Ψ(^θ,^ψ, ^φ,^β),^Θ≡ Θ（^θ、^ψ、^Д、^β）和^ψ≡ ψ（^θ，^ψ，^Д，^β），等式中收益动态的（可分散的）方差和协方差的最大似然估计量。

A、 17在慢时间尺度上聚合的是b∑d=n(^θ-^ψ) + 2(^Θ-^Ψ) -n（^Θ）-^Ψ)b∑u=n^ψ+ 2^Ψ-n^ψ.（A.19）渐近极限n→ ∞. 在极限n内→ ∞ 方程式A.16中的最后一项可以忽略不计。然而，术语n（（θ- ψ) + 2(Θ- ψ）和n（ψ+2ψ）在n因有限∑而变为有限时保持有限= 画→∞nσ和∑f=limn→∞nσf.By定义Θ≡ Σ+∑f-~λm（∑）(~λ- γ（M- 1） ）+∑f（∧λ- γ（M- 1） ）+2m（M（∑）(γ-~λ) -λ∑f）- γΣ) + M（M∑）(~λ- γ） +λ∑f）+γ∑)(γ-λ）（m（γ（m- 1)-~λ) + 2 -λmM-λM），（A.20）ψ≡ ∑f-~λm（∑f（|λ- γ（M- 1)) - γ（M- 2)Σ) - 2m（∧M∑f+γ∑）) + M（∧M∑f+γ∑）)(γ-λ）（m（γ（m- 1)-~λ) + 2 -λmM-渐近极限n中的λM，（A.21）→ ∞, 它是（e∑d=Θ）- ψ+2（Дβ（M-2)+φ-φ-β（M-1))(Θ-ψ）+βΘ+β（M-1)Ψ-（M）-2)Ψ(1+β-^1）（β（M-1)+φ-1） e∑u=ψ+2-βΘ+（Дβ（M-2)+φ-φ-β（M-1） +Дβ（M-2))Ψ(1+β-^1）（β（M-1)+φ-1).（A.22）0 50 100 150 200 250 300At/A001020银行资产0 50 100 150 200 250 300Et/A000.250.5股本0 50 100 150 200 250 300λT204060目标杠杆图9。n=1时简化模型的数值模拟。顶部面板：按初始价值A计算的资产规模的演变。中间面板：股权的演变。下图：财务杠杆的动态。我们在T=300的时间窗口中模拟模型。其他模型参数为：γ=40，α=1.64，u- rL=0.08，σ= 0.04, ω = 0.9.因此，通过替换方程式。A、 式A.22中的20和A.21以及自∧起≡λt-1，公吨-1.≡ mt公司-1（λt-1，∑d，t-1，∑u，t-1） 根据式2.5，我们得到了式4.1中∑dande∑uin的显式解析表达式。附录B.单时间尺度在我们考虑简化模型的情况n=1时，即银行以相同的投资组合再平衡频率更新风险预期。

当时间尺度相同时，预期形成过程会减少，以模拟IGARCH型模型中的方差【Engle和Bollerslev，1986年】，σt=ωσt-1+ (1 - ω） 具有记忆参数ω的rt（B.1）。这种方法与RiskMetrics方法类似，见【Longerstaey和Spencer，1996年】，正如【Bauwens等人，2006年】所强调的，尽管简单，但这种模型通常被实践者采用，每日数据的衰减系数ω等于0.94，每月数据的衰减系数ω等于0.97。方程式规定的模型。2.19等式B.1中的预期形成过程与【Aymanns和Farmer，2015年】中所述的过程接近，这对价格动态产生了影响。Aymanns和Farmeras认为，股权价值是固定的，市场上只有一个投资者，因此≡ pt=λTe和pt交易风险投资的价格。通过进一步假设返回为log differencert=logptpt-1通过用λtE代替价格，得到了一个二维动力系统。根据这一进一步的假设，这两个模型是一致的。图9显示了n=1的简化模型的银行资产、股权和财务杠杆的模拟动态。我们注意到，目标杠杆价值的波动与股权价值的波动密切相关。权益价值的变化反映了价格的变动。资产规模的演变使其财务杠杆与其目标价值相等。

所以，价格的兴衰是由杠杆周期驱动的，而杠杆周期又由风险感知决定。作为金融系统动态不稳定性的指标，我们考虑杠杆周期幅度的一个维度测量，特别是模型模拟中目标杠杆的标准偏差σλ除以其平均值μλ。在图10中，我们显示了杠杆振荡的归一化振幅，它是变参数α和记忆参数ω的函数。正如预期的那样，严格的资本约束（大α）和预测风险的大内存（大ω）稳定了金融系统的动态。因此，增加α和ω之后会出现较小的杠杆振荡，因此，这里的动力学将股票数量归一化为1。杠杆周期振幅σλ/uλω0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9α11.21.41.61.822.22.42.62.830.511.522.533.54图10。杠杆周期的振幅与α和ω的关系。作为杠杆周期振幅的度量，我们使用数据的标准偏差σλ除以平均值μλ。我们用σ运行T=1000的简化模型= 通过改变α，0.05和γ=40∈ [1，3]和ω∈ (0, 1). 对于图中的每个点（ω，α），我们平均50多个种子，以获得σλ|||λ的考虑值。金融系统接近定点均衡。α和ω的参数空间可大致划分为两个区域。小值α的不稳定区域，其中强振荡独立于风险预期记忆而发生；大值α的相对稳定区域，其中系数σλ||||λ较小。在这个区域，较大的内存往往会稳定系统。最后，让我们注意到，在不稳定区域，ω的财务杠杆波动消失→ 1.-.

我们并不完全理解为什么我们会观察到这一点，但我们认为其原因是风险预期的惯性非常高，从而扭转了杠杆波动。