当恐慌使你失明时：系统性风险的混乱路径

2022-6-10 01:52:06

当恐慌让你失明时：系统性风险的混乱路线皮耶罗·马扎里西1、2、法布里齐奥·利洛和斯特凡诺·马尔米亚塔斯特。我们提出了一个分析模型来研究预期反馈和重叠投资组合对金融系统系统稳定性的作用。在【Corsi等人，2016年】的基础上，我们建立了一组金融机构模型，这些金融机构具有风险价值资本要求，并投资于风险资产组合，其价格随时间随机变化，并由金融机构的交易决策内生驱动。假设他们使用风险的自适应期望，我们证明了系统的演化是由一个慢-快随机动力系统描述的，可以在某些区域进行分析研究。该模型显示了风险预期如何在决定金融系统的系统稳定性方面发挥核心作用，以及错误的风险预期如何导致恐慌导致的资产负债表减少或过度乐观的扩张。具体而言，当投资者目光短浅，无法估计风险时，系统的定点均衡会打破杠杆周期，财务变量会出现分岔级联，最终导致混乱。我们讨论了在存在适应性风险预期的情况下，金融政策的作用以及一些市场摩擦的影响，如多元化成本和金融交易税，以确定系统的稳定性。1、简介借款是在金融市场运营的金融机构业务的一个重要方面，因为有可能通过保证金购买来杠杆化投资回报。最近的实证文献【Adrian和Shin，2010年】完美地描述了这一方面，即市场上最大投资者的杠杆管理。但财务杠杆与风险直接相关。

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2022-6-10 01:52:09

正如最近几篇论文所指出的那样【Brunnermeier和Pedersen，2009年，Geanakoplos，2010年，Aymanns和Farmer，2015年，Corsi等人，2016年】，财务杠杆可能是推动市场资产价格内生涨跌的最重要引擎。监管机构试图通过对金融机构施加一些限制来限制杠杆使用的加剧，以使金融系统更加稳健，更能抵御冲击。风险价值（VaR）约束可能是最流行的约束，但最近几年，相继出台的巴塞尔法规也提出了其他更复杂的约束。所有监管机构的约束要求对投资的风险以及金融回报极端事件之间的依赖性进行估计。因此，资本要求约束和风险/依赖性预期在决定金融市场的系统稳定性方面起着至关重要的作用。一方面，正如许多论文所记录的（例如，参见【Adrian和Shin，2010】），VaR capitalrequirements，作为其他风险约束，可能会导致一种反常的需求函数：为了实现杠杆率目标，金融机构会在资产价格下跌时出售更多资产，而在资产价格上涨时出售更多资产。因此，按市值计价且风险值受限的金融机构将对其投资组合中的资产价格产生积极的反馈影响。在许多金融机构被迫遵循类似风险管理规则的市场中，由非流动资产组成的投资组合的协调再平衡会产生反馈效应，这取决于杠杆和多元化的程度。因此，虽然投资的多元化可以降低投资组合风险，但也存在明显的重叠（即。

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2022-6-10 01:52:12

正如《零售溢出效应》（Greenwood et al.，2015）所记录的那样，许多金融机构投资组合的相似性反而会破坏市场稳定，增加其对价格冲击的敏感性。另一方面，任何资本要求的实施取决于金融机构对投资组合中资产风险的预期及其统计依赖性。因此，有大量关于风险和依赖性估计的文献【Tsay，2005年，（1）意大利比萨斯库拉师范高等学校（2）意大利博洛尼亚大学数学系，电子邮件地址：piero】。mazzarisi@sns.it，皮耶罗。mazzarisi@unibo.it，fabrizio。lillo@unibo.it，斯特凡诺。marmi@sns.it.Date：2018年7月23日。关键词和短语。系统性风险、前瞻性预期、杠杆周期、金融创新、金融政策、自回归动力学、随机动力系统。Hommes et al.，2007年，Heemeijer et al.，2009年，Bao et al.，2013年），其中许多都是基于最近一段时间内的近期价格历史。估计窗口长度的选择至关重要，因为在选择长估计窗口以提高统计显著性和选择短窗口以获取更及时的风险度量之间存在权衡。在金融动荡时期，非平稳效应更有可能发生，投资者可能更喜欢使用短期估计窗口。由于金融机构为了满足资本要求而做出的交易决定取决于估计的风险，因此在存在非流动资产的情况下，风险估计窗口的长度可能会影响价格的动态特性。由于目标杠杆作用，除上述一种反馈效应外，这还会产生第二种反馈效应。在本文中，我们提出了一个金融系统的分析模型，其中存在两种反馈机制。

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2022-6-10 01:52:15

在【Corsi等人，2016年】的基础上，一系列投资于风险和非流动资产组合的金融机构（银行）遵循目标杠杆战略，以满足风险价值资本要求。对投资资产风险的估计，以及由此产生的杠杆率，都是定期更新的，银行使用一种向后看的预期方案，该方案考虑过去时间窗口中的价格回报来构建估计。这两种反馈机制通过价格动态进行耦合，一方面用于按市值计价投资组合并估计风险和相关性，另一方面受到金融机构交易活动的内在影响。有趣的是，上述两种反馈机制作用于不同的时间尺度。在我们的模型中，杠杆目标的时间尺度短于金融机构更新其风险预期的时间尺度。这种时间尺度的分离在我们的建模中至关重要。由于与风险预期更新相关的慢变量随时间演化为与杠杆目标相关的快变量平均值的函数，因此我们的模型可以铸造为一个离散时间慢-快动态系统。两个时间尺度之间的比率是决定数学建模类型的关键参数。我们表明，当这一比率趋于确定时，即金融机构持续按市场计价，动态由确定性地图描述。用于形成风险预期的窗口在确定系统稳定性和杠杆周期方面起着核心作用。当投资者相对于过去的资产价格历史变得更加短视时，就会出现这种情况，即这种记忆会小于给定的阈值。

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2022-6-10 01:52:18

我们的模型预测，当记忆进一步减少并低于第二个小阈值时，金融系统的确定性动力学将变得混乱。当两个时间尺度之间的比率为有限时，一个随机的慢-快动力系统描述该系统。即使这在数学上很难研究，但由于混沌和随机动力学的联合作用，我们通过分析论证和数值模拟表明，主要动力学特性保持不变。因此，我们能够将所考虑的金融系统的可能动态结果描述为用于形成预期的记忆窗口的函数、风险价值的尾部参数、可用于投资的资产类别数量、两个时间尺度之间的比率（与市场摩擦的存在相关），以及决定金融创新水平的参数。我们展示了当这些参数中的任何一个发生变化时，金融系统如何通过周期双分岔打破定点平衡，以及金融系统的动力学如何在某些参数区域内发生非固有混沌。这些参数中的每一个都至少部分由监管机构控制，因此我们的模型能够为增强金融稳定性提供政策建议，如本文末尾所述。相关文献。

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2022-6-10 01:52:22

我们的论文旨在结合多个文献流：（i）对按市值计价会计规则和VaR约束引起的投资组合平衡的分析【Adrian和Shin，2010，Adrian和Shin，2014】；（ii）关于强制执行资本要求对金融机构行为的影响及其可能的顺周期效应的调查【Danielsson等人，2004年，Danielsson等人，2012a，Tasca和Battiston，2013年，Adrian和Shin，2014年，Corsi等人，2016年】；特别是，我们通过研究顺周期对资产价格和风险预期的影响如何影响杠杆和多元化的投资组合决策，推广了Corsi等人的模型；（iii）关于不良销售及其对金融机构资产负债表的影响的文献，因为投资组合之间的重叠【Cont和Wagalath，2013年，Caccioli等人，2014年】；（iv）关于金融系统中预期反馈作用的研究【Hommes，1994，Hommes，2000，Farmer等人，2012，Hommes，2013】；特别是，我们的论文侧重于【Kuehn，2011年】研究了由连续时间慢-快系统的数学框架形成的风险预期的作用。一篇关于Trandom动力系统的综述【Bhattacharya和Majumdar，2003年】。

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2022-6-10 01:52:25

平均原理可以被视为遍历定理的扩展：我们所关注的情况，即确定性动力系统与随机动力系统耦合，例如在【Dolgopyat，2004，Dolgopyat，2005，Kifer，2014】中讨论了这种情况。使用过去对投资价格观察的统计模型；（v）最后，我们的论文为动力系统理论在金融市场系统性风险问题中的应用提供了文献[Choi和Douady，2012，Castellacci和Choi，2014]，特别是，研究杠杆周期的动态及其与金融监管的关系【Brunnermeier和Pedersen，2009年，Geanakoplos，2010年，Poledna等人，2014年，Aymanns和Farmer，2015年，Aymanns等人，2016年，Halling等人，2016年】。概述本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们简要回顾了代表我们研究背景的【Corsi等人，2016】模型。然后，我们介绍了具有后向风险预期的模型。在第3节中，我们简要总结了论文【Corsi等人，2016年】的结果，该结果代表了我们模型的极限情况，没有向后看的预期。在第4节中，我们分析了该模型的动态特性及其对金融市场的政策影响，在该模型完全分析的极限下。这个极限对应于研究慢-快随机动力系统的确定性骨架。在第5节中，我们提出了一个分析论证，将所得结果也扩展到随机框架中，并通过数值模拟对模型进行了更多的深入了解，并讨论了税收对金融系统性风险的作用。第6节包含一些结论。2、具有预期反馈的金融系统我们建立了一个由杠杆金融机构投资于某些风险集合组成的金融市场模型。

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2022-6-10 01:52:28

金融机构，这里称为银行，以VaR约束的形式提出资本要求，并面临形成投资组合的多元化成本。我们从风险间接传染的角度研究金融市场的系统性风险。在存在投资流动性不足的情况下，损失和不良销售通过对其投资组合的共同投资在金融机构之间间接传播。采用的框架是【Corsi等人，2016年】中介绍的框架，其中作者对投资资产和银行的两部分工作进行了建模。为了形成投资组合，每家银行都会解决一个优化问题，同时确定杠杆和多元化的最佳价值。确定财务杠杆的最佳水平与VaR约束的完整性相关。因此，杠杆和多元化的投资组合决策取决于银行对风险的预期。【Corsi等人，2016年】对预期形成过程不可知，因为回报和风险的预期是由外部参数描述的。因此，不存在与不断变化的银行预期相关的动态。在这里，我们明确介绍了风险预期的形成过程，其中银行根据过去的价格变动估计其投资组合在持有期内的风险【Hommes，2009年】。在我们的模型中，我们引入了一个简单的过程来处理由一个与期望记忆相关的参数表征的后向期望。预期反馈机制在投资组合决策中引入了一个动态因素：根据市场价格的演变，银行对风险的感知会发生变化，相应地，关于杠杆和多元化的投资组合决策也会发生变化。

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2022-6-10 01:52:31

由于资产价格随时间随机演变，投资组合的市场价值会发生变化。同时，假设负债规模保持不变，则杠杆率的外生变化与投资组合的方向相反，即如果价格上涨，财务杠杆率就会下降。根据经验发现【Adrian和Shin，2010年，Adrian和Shin，2014年】，银行通过定期重新平衡投资组合来积极管理其资产负债表，以使杠杆率达到其最佳水平或目标值。与投资组合再平衡相关的时间尺度是银行将杠杆率恢复到目标值所花费的时间。资产负债表调整的频率决定了银行在投资组合持有期间的市值调整情况。在我们的模型中，我们将投资组合决策动态的时间尺度定义为单位时间尺度，n是银行在单一持有期内为杠杆目标重新平衡其投资组合的次数。因此，与投资组合再平衡相关的时间尺度为1/n。在有限投资的流动性存在的情况下，资产交易内在地驱动价格的动态。由于价格历史记录用于形成风险预期，因此创建了一个耦合portfoliodecisions和价格动态的反馈。下面，我们简要回顾了【Corsi等人，2016年】的模型。然后，我们将描述我们的模型。2.1. 【Corsi等人，2016年】的基线模型。该系统由N家金融机构（银行）组成，通过投资其中的M种可用风险资产创建投资组合。在下文中，我们采用了预期资产回报仍然是价格动态的外生因素。这与金融机构作为基本面交易者的观点一致。图1：。

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2022-6-10 01:52:33

描述金融系统的慢-快动态模型的计时。将风险投资标记为i、j、k、。a、b、c等银行。。假设所有金融机构都是等价的，即它们拥有相同的初始股本和相同的资本要求，它们解决相同的投资组合问题，并且在形成风险预期时使用相同的方案。这当然是一个简化的假设，以实现分析的可处理性。然而，【Corsi等人，2016年】表明异质性如何对模型的结果没有重大影响。我们假设银行在统一长度的时间间隔内更新其风险预期，并据此做出有关杠杆和投资组合多元化的新决策（见图1）。在时间间隔（t，t+1）中，（t∈ Z），银行重新平衡其投资组合以达到杠杆率目标，但不改变风险预期。再平衡发生在（t，t+1）内的n个时间子区间，即{t+n，t+n，t+n，…，t+nn≡ t+1}。nis是与投资组合再平衡相关的时间尺度（图1中的红色轴），而单位价值是与投资组合决策相关的时间尺度（图1中的黑色轴）。显然，n∈ N \\{0}。如下文所述，【Corsi等人，2016年】考虑了消除风险预期形成的内生过程的情况，即在不考虑价格动态的情况下进行投资组合决策。这相当于在具有外部风险预期的情况下只优化一次投资组合，投资组合再平衡的过程随后进行，而不会改变最佳杠杆的价值。投资组合决策。每个金融机构在t时的权益由Et=at给出-Lt，其中Lt（At）表示银行在时间t的负债（资产）。

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2022-6-10 01:52:36

为简单起见，银行不面临资金限制，只要满足VaR约束，他们可以根据需要决定增加或减少负债。最后，RLI是负债方面的每美元平均利息支出，财务杠杆率为λt=AtEt。【Corsi等人，2016年】认为这是一个简化的环境，每家银行都可以确定杠杆和多元化的最佳价值。由于所有风险投资在统计上都是事先等价的，金融机构采用了一种简单的投资策略，即通过从m个可用投资资产集合中随机选择m个风险投资，形成一个加权相等的投资组合。因此，在存在多元化成本的情况下，银行必须找到投资资产的最佳数量，见【Constantinides，1986年】。多元化成本代表了阻碍各机构实现其投资组合完全多元化的所有信息和基础设施成本。银行还选择杠杆λt的最佳值，以VaR约束V aR×At6 Et为界。通过假设收益分布的函数形状，V aR是投资组合σp的预期持有期波动率的α-倍数，即ασp。在下面的数值实验中，如果我们假设正态分布的投资组合回报，则与PV aR=5%相关的VaR分位数由α=1.64给出。由于投资是等价的，u是持有期内的预期回报，那么金融机构的净利润率是u- rL。最后，金融机构正确地认识到，每项风险投资都包含一个特殊的（多样化）风险成分和一个系统的（不可分散的）风险成分，即。

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2022-6-10 01:52:39

投资i的预期方差为σi，t=∑u，t+∑d，t，其中第一（二）项表示系统因素（特质噪声）的预期方差。在下文中，我们使用hat，例如b∑u，t，来表示使用过去的观测值形成的方差估计。相反，未标记的符号表示期望；例如，∑u是时间t时系统风险在时间t+1时的预期值。mtassets投资组合的预期方差为σp，t=∑d，tmt+∑u，t.（2.1），如【Corsi等人，2016】所示，投资组合优化问题为最大λt，mtλt（u- rL）- cmts。t、 ασp，tλt6 1（2.2），其中c衡量每项投资的多元化成本。隐式形式的解ismt=λtp∑d，tsα2cu- rLσp，t（2.3）λt=ασp，t.（2.4）给定∑d，tand∑u，t，方程2.3和2.4中只有一个自变量。事实上，它是≡ mt（λt；∑d，t，∑u，t）=∑d，tαλt- ∑u，t（2.5），其中λ是下列四次方程的唯一正实解，∑d，tαu - rL2cλt！-1.-αλt- ∑u，t= 0.（2.6）投资组合再平衡。正如【Adrian和Shin，2010年】的经验所示，采用目标杠杆的金融机构调整其资产和负债，而不是筹集或重新分配股本。这意味着，随着时间的推移，股权会因银行盈利和亏损而发生变化，但并未得到有效管理。与【Corsi等人，2016年】类似，我们将区间（t，t+1）内长度为1/n的时间步中风险投资i的回报动态建模为两个分量之和：ri，t+k/n=εi，t+k/n+ei，t+（k-1） /n，k=1，2。。。，n、（2.7）请注意，这里的时间尺度是最快的，因此我们使用分数时间标签来表示投资组合再平衡发生时t和t+1之间的时间。

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mingdashike22

2022-6-10 01:52:43

外源组分εi，t+k/n=u+ft+k/n+i、 t+k/nis表示预期回报的漂移项加上所有风险投资的系统市场因子ft+k/n和噪声项之和i、 t+k/n呈现特质创新。在不丧失一般性的情况下，噪声项和系统因子都是高斯分布的，即。i、 t+k/n~ N（0，σ) 和ft+k/n~ N（0，σf）k=1，2。。。，n、内源性成分ei，t+（k-1） /依赖于投资组合再平衡产生的风险投资i需求的价格影响。给定目标杠杆率，当资产价格上涨时，资产价值和权益都会增加，因为负债保持不变，因此杠杆率会下降。因此，为了保持杠杆率与目标值相等，银行通过增加负债和使用借入资金购买新资产来管理资产负债表。在资产流动性不足的情况下，购买或出售资产以达到杠杆目标将改变其价格。用数学术语表示，一般分数时间s=t+k/n，k=1，2。。。，n通用银行a的所需资产规模，a*a、 s=λtEa，s，银行a通过交易数量来重新平衡投资组合。可以证明公式2.6中λt只有一个正实解∈ 可行参数空间中的R+，即α>0，c∈ [0, 1], u - rL>0，∑d，t，∑u，t>0。当资产价格下降时，该符号会简单地恢复。例如。

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2022-6-10 01:52:45

如果pro fit等于δA，则A+δAE+δA<AE。根据风险投资的统计等效性假设，资产规模的增量在投资组合中的资产上均匀分布【Greenwood等人，2015年】。这是所需资产规模与当前资产规模之间的差异，Ra，s=A*a、 s-Aa，s，由以下公式得出Ra，s=A*a、 s- Aa，s=λtEa，s- A.*a、 s-1/n（1+rpa，s）==λt（Ea，s-1/n+rpa，sA*a、 s-1/n）- A.*a、 s-1/n（1+rpa，s）==（λt- 1） A*a、 s-1/nrpa，s（2.8），其中rpa，是银行a在s时的投资组合回报。等式2.8显示投资组合中的任何收益或损失（a*a、 s-1/nrpa）将导致资产规模的变化，并由财务杠杆放大。所有银行在s时进行的投资组合再平衡的影响将影响s+1/n时的资产价格。s时风险投资i的总需求将是在其投资组合中选择投资i的银行的个人需求之和，Di，s=NXa=1Ii∈金额Ra，s.（2.9），其中Ii∈ais是一个指标函数，当投资i在机构a的投资组合中时，取值1，否则取0。[Corsi等人，2016]表明该数量可以写成di，s=（λt）- 1） A*s-1/nmtNMri，s+mt- 1米- 1Xk6=irk，s.通过假设交易量中的价格影响是线性的，【Corsi等人，2016年】对内生成分asei建模，s=γDi，sCi，s（2.10），其中γ是衡量投资流动性的参数，Ci，s≡PNa=1Ii∈aA公司*a、 s-1/n代表时间s时投资i的资本化。与风险投资的统计等效假设一致，我们假设每项投资都具有相同的流动性参数γ。【Corsi等人，2016年】获得内生成分向量=Φtrs=Φt（es）的以下向量自回归（VAR）动力学-1/n+εs），s=t+k/n，k=1，2。。。，n（2.11），其中Φt=（λt- 1)γmtmtmt-1米-1.mtmt公司-1米-1mtmt-1米-1公吨。

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2022-6-10 01:52:49

. .mtmt公司-1米-1.mtmt公司-1米-1mtmt-1米-1.mt公司. （2.12）注意Φt≡ Φ（λt，∑d，t，∑u，t），因为mt≡ mt（λt，∑d，t，∑u，t），根据公式2.5。公式2.11中的VAR（1）过程确定了公式2.7中的回报过程，并完全确定了我们的模型在t和t+1.2.2之间的快速动态。形成风险预期。在这里，我们通过指定银行如何在公式2.6中形成风险预期来做出投资组合决策，从而概括了【Corsi et al.，2016】的模型。一些实证和实验研究，例如【Hommes，2009，Bao et al.，2013】，表明金融机构使用过去价格观察的统计模型来预测未来，即所谓的后向预期。在这里，我们介绍了一个类似的预期方案，该方案利用过去观察到的价格信息预测未来的风险。风险评估。在每个投资组合决策时间t，银行估计t之间风险投资的协方差矩阵- 1和t，即b∑t=dV ar【Ri，t】dCov【Ri，t，Rj，t】··dCov【Ri，t，Rj，t】……·····（2.13）其中，i 6=j的dv ar[Ri，t]和dcov[Ri，t，Rj，t]是在投资组合决策的时间尺度上汇总的资产回报的方差和协方差的最大似然估计量，即Ri，t≡Pnk=1ri，t-1+k/n。我们假设银行根据向量自回归过程VAR（1）正确地感知到收益动态变化，见等式。2.7、2.11和2.12以及资产投资的统计等效性。因此，可以对b∑t施加对称条件，即协方差矩阵的对角分量彼此相等，并且对对角分量也是相同的。

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2022-6-10 01:52:52

它是b∑t=b∑d，tI+b∑u，t1（2.14），其中I是单位矩阵，1是M×M矩阵，其条目等于1，b∑d，t=dV ar[Ri，t]-dCov[Ri，t，Rj，t]和B∑u，t=dCov[Ri，t，Rj，t]i、 j=1。。。，M、 i 6=j。我们没有明确利用收益方差和协方差的最大似然估计来获得下一节的结果。然而，我们在附录A中展示了如何获得完整性的明确公式。这里，让我们强调b∑d，tandb∑u，只有快速变量rt的函数-1+k/n，k=0，1，2。。。，n、即（b∑d，t≡b∑d，t（{ri，t-1+k/n}i=1，。。。，Mk=0,1，。。。，n） b∑u，t≡b∑u，t（{ri，t-1+k/n}i=1，。。。，Mk=0,1，。。。，n）。风险预期。一旦银行估计了风险投资的协方差矩阵，它们就形成了协方差矩阵的两个独立量的风险预期，即∑d，tand∑u，t。我们假设协方差矩阵中某个元素在时间t的银行预期是之前采用的对同一元素的预期与当前估计的加权和，即（∑ωd，t=ω∑d，t-1+ (1 - ω） b∑d，t∑ωu，t=ω∑ωu，t-1+ (1 - ω） b∑u，t（2.15），其中ω∈ [0，1]是期望方案的记忆参数。公式2.15也被称为适应性预期【Hommes，2013年】。通过迭代公式2.15，我们可以将适应性预期写为过去观察到的风险的指数加权移动平均值（EWMA），即∑ω·，t=（1- ω)∞Xk=0ωkb∑·，t-k=（1- ω)∞Xk=0e-kτb∑·，t-k（2.16），其中τ=（lnω）-1对应适应性期望的“有效”记忆。极限ω→ 0+对应于天真的风险预期，即没有记忆（τ→ 0). 通过增加ω，期望方案的有效记忆τ增加。2.3. 期望反馈系统。

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2022-6-10 01:52:55

通过总结我们模型的构建模块，金融系统的动态由一个离散时间的慢-快随机动态系统来描述，该系统由以下方程描述：，∑ωd，tαu-rL2cλt-1.-αλt- ∑ωu，t= 0∑ωd，t=ω∑ωd，t-1+ (1 - ω） b∑d，t∑ωu，t=ω∑ωu，t-1+ (1 - ω） b∑u，t（2.17）rs=εs+Φ（λt-1，∑ωd，t-1，∑ωu，t-1）卢比-1/ns=t- 1+k/n，k=1，2。。。，n（2.18），其中b∑d，tandb∑u，皮重是在投资组合决策的时间尺度上聚合的（可分散的）方差和收益协方差的最大似然估计量，可按照附录A中的解释获得，见等式A.19。等式2.17描述了银行投资组合决策的动态，即由慢变量λt、∑ωd、t和∑u、t描述的动态的慢分量。等式2.18描述了风险投资的价格演变，即由快变量ri、s描述的动态的快分量。模型必须满足平稳性条件，即自回归过程的协方差平稳性，即λ<γ+1。根据构造，它也是λ>1和0 6 m 6 m。总结动力学的主要步骤：（i）时间t的投资组合决策-1根据风险预期确定杠杆的价值，见等式。2.17和（ii）影响-1和t，因为自回归系数Φ（λt-1，∑ωd，t-1，∑ωu，t-1），返回过程，请参见等式。2.18;为便于注释，我们认为资产回报率以平均值为中心。当矩阵Φ的最大特征值小于1时，等式2.18中的VAR（1）过程是协方差平稳的，这相当于假设λt<γ+1，如【Corsi等人，2016年】所示。（iii）在时间t，银行通过使用过去的价格观察值b∑d，t（{rt）来估计资产风险-1+k/n}k=1,2，。。。，n） andb∑u，t（{rt-1+k/n}k=1,2，。。。，n）。

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可人4

2022-6-10 01:52:58

然后，（iv）银行形成新的风险预期∑ωd，tand∑ωu，t，和（v）在时间t做出新的投资组合决策。一维设置。接下来，我们还研究了通过考虑一家银行和一项风险投资得到的模型的简化版本。在此设置中，价格动态受式2.7中的自动回归过程控制，N=M=1。我们将时间s的投资回报称为RSA，并将其方差称为使用观察值{rt-1+k/n}k=1,2，。。。，nas^σt。在这种情况下，我们失去了与多元化相关的方面，投资组合问题减少到根据风险价值约束找到杠杆的最佳值，即最大λtλt（u- rL）s.t.ασωtλt6，其中σω是投资的预期波动率。然后，控制投资组合决策的方程是λt=（ασωt）-1带（σωt）=ω（σωt-1)+ (1 - ω） ^σt。我们可以将模型动力学的慢分量简化为表示动态变量λt一维映射的单个方程。简化模型的具体说明如下：，λt=ωλt-1+ (1 - ω） αdV arPnk=1rt-1+k/n-卢比=s+λt-1.-1γrs-1/ns=t- 1+k/n，k=1，2。。。，n（2.19），其中dV ar“nXk=1rt-1+k/n#=1+2^φt-1(1 -^φnt-1)1 -^φt-1.- 2（n^φt-1.- n- 1） φn+1t-1+φt-1n（1-^φt-1)!n^σ1.-^φt-1是在一般n>1的投资组合决策的时间尺度上聚合的收益方差的最大似然估计量，其中φt为-1=Pnk=1rt-1+k/nrt-1+（k-1） /nPnk=1rt-1+（k-1） /n^σ=Pnk=1（rt-1+k/n-^φt-1rt-1+（k-1） /n）自回归系数φt的最大似然估计量-1.≡λt-1.-1γ和特质噪声σ的方差AR（1）过程。在等式中。

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2022-6-10 01:53:01

2.19 AR（1）过程的协方差平稳性等效于条件λ∈ [1，γ+1）。由于慢变量在时间上的演化取决于快变量的平均值，即随机自回归过程的方差AR（1），这是一个慢-快随机动力系统。在这种情况下，我们还可以考虑n=1的情况，即投资组合决策的时间尺度与投资组合再平衡的时间尺度一致。在附录B中，我们表明，这种情况与[Aymanns and Farmer，2015]中提出的情况相似，并且，在进一步假设资产价格动态的情况下，这两个模型是一致的。在下文中，我们将考虑三种情况外部风险预期。在第一种情况下，我们考虑了论文【Corsi等人，2016年】中研究的外部风险预期，因此我们仅总结此处获得的主要结果。o慢-快随机动力学的渐近确定性极限。第二种情况是极限n→ ∞, i、 e.投资组合在t- 1和t。在该极限下，模型变得可分析处理两种通用时间尺度。最后是有限n的情况，为了简单起见，我们考虑了慢-快随机动力系统的简化版本。我们将给出一些数值结果。3、外生风险预期首先，将投资组合决策视为完全外生的，因为预期的多样性和系统性风险是不依赖于过去资产价格动态的外生参数。这意味着在公式2.17中删除预期形成过程，因此，只考虑动态的快速部分，而不更新风险估计。

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2022-6-10 01:53:04

由于该案例已经在【Corsi等人，2016年】中进行了研究，因此我们在此不再详细考虑，而是总结了研究结果。作者展示了银行投资组合优化约束的变化（如多元化成本的变化或微观审慎政策的变化）是如何内在驱动银行资产负债表、资产价格和系统性风险的动态的。具体而言，通过提高多元化水平，从而放松VaR约束，减少多元化成本，使金融机构能够提高最佳杠杆率，同时也增加了金融机构投资组合之间的重叠程度和相关性。这增加了回报动态中的反馈效应，反过来又增加了投资风险，并可能导致市场价格急剧增长（泡沫）和暴跌（崩溃）。作者提供了投资价格和资产负债表动态之间的多元反馈效应的完整分析量化，这些反馈效应是在资产流动性不足的情况下由投资组合平衡引起的，并说明了结果如何在很大程度上取决于等式2.18中过程的最大特征值。从数学角度来看，当Φ的最大特征值大于1时，价格动态会从平稳性转变为非平稳性，它描述了具有外部风险预期的金融系统的动态不稳定性。此外，作者表明，银行规模的异质性不会对同质情况下获得的分析结果产生重大影响。

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2022-6-10 01:53:07

相反，银行规模的异质性使金融系统比同质情况更不稳定，因为异质情况下的最大特征值比同质情况下的大，使系统更接近平稳和非平稳动态之间的过渡。4、慢-快随机动力学的渐近确定性极限我们现在关注极限n→ ∞ 这使得我们能够以一种全面分析的方式来处理问题。因为CEN代表金融机构重新平衡其投资组合的次数，它是衡量它们在资本结构中与市场挂钩的程度。渐近极限n→ ∞ 相当于考虑所有金融机构在其资本结构中持续按市值计价。对于aVaR受限的金融机构，这意味着资产规模等于相对于投资市值的预期头寸，从而使金融杠杆率等于其在投资组合持有期间的目标。非常积极的投资组合管理意味着频繁的金融市场交易，因此只有在没有或只有非常低的交易成本和其他交易摩擦的情况下才能完成。因此，我们可以解释极限n→ ∞ 作为一个没有贸易摩擦的理想市场。在此极限下，对于收益Ri，t，b∑tP，协方差矩阵的估计量b∑t以概率收敛到协方差矩阵∑-→e∑=e∑d（λt-1，∑ωd，t-1，∑ωu，t-1, Σ, ∑f）I+e∑u（λt-1，∑ωd，t-1，∑ωu，t-1, Σ, ∑f）1（4.1），其中∑和∑fare特质噪声的方差i、因子fs中的sand分别在投资组合决策的时间尺度上聚合，即。

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2022-6-10 01:53:10

Σ= 画→∞nσ, ∑f=limn→∞nσf.e∑dande∑uca可以利用【Corsi et al.，2016】中的结果进行分析计算，其表达式在附录a的等式a.22中。用等式4.1的协方差矩阵替换估计器，投资组合动态由三维确定性图描述，其隐式形式为：∑ωd，t-1.αu-rL2cλt-1.-αλt- ∑ωu，t-1.= 0∑ωd，t=ω∑ωd，t-1+ (1 - ω） e∑d（λt-1，∑ωd，t-1，∑ωu，t-1, Σ, ∑f）∑ωu，t=ω∑ωu，t-1+ (1 - ω） e∑u（λt-1，∑ωd，t-1，∑ωu，t-1, Σ, ∑f）。（4.2）式4.2的映射是通过去除随机性来源获得的金融模型的所谓确定性框架。4.1. 金融系统的确定性框架。我们通过研究等式4.2中的映射，通过动力系统方法在渐近极限下分析模型。表1显示了用于说明模型主要特性的参数值。通过查看图2顶部面板中的分岔图，可以全面了解骨架动力学。映射的分岔图显示了瞬态时间作为参数的函数经过后的长期动力学。对于我们的模型，我们可以使用极限n中的分歧参数→ ∞, 投资组合再平衡的时间尺度，即，变为零以及σ和σf，但∑= 画→∞nσ和∑f=limn→∞nσf定义。注释说明价值总投资数量60N银行数量30u- RL银行净息差0.08γ资产流动性100√Σportfoliodecisions0.03q∑f∑时标的外源性特质波动率在投资组合决策的时间尺度上，系统因素的外部波动率之间的比率，即∑f和∑0.1每家银行的初始资产规模100e每家银行的初始权益aλc分散成本w.r.t.初始权益E0.1α分位数PV aR1.64λ，∑ωd，0，∑ωu，0在域1中随机出现。

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2022-6-10 01:53:13

模型的仿真参数。我们分析中最重要的参数是ω、c和α。我们将在下面指定ω，而如果在随后的图中没有不同的规定，则α和c的设置如表所示。由于我们研究长期运行动力学，初始条件并不相关。10-210-1λt020406080100ω10-210-1∧-0.4-0.200.2图2。顶部面板：与λt相关的分叉图，用于等式4.2的解析映射，作为记忆ω的函数。底部面板：与分岔图相关的最大Lyapunov指数∧。∧通过轨道法数值获得【Wolf等人，1985年】。要么是记忆参数ω，要么是VaR参数α，要么是分散成本c。稍后，我们将展示依赖于α和c的模型动态，以对政策含义有更多的了解。图2的顶部面板显示了作为ω函数的分岔图。降低记忆参数，会出现倍周期级联混沌。换言之，金融系统的确定性框架显示出越来越复杂的周期，周期越来越长，直到出现混沌。混沌行为的特征是与之相关的正Lyapunov指数。图2的底部面板显示了估计的李雅普诺夫指数∧作为ω的函数，以及∧的正值，小ω表示存在确定性混沌。注意，图2中ω的单位是投资组合决策的时间尺度的倒数，见等式2.16。通过使用投资组合再平衡的时间尺度作为单位，时间尺度变为▄ω=ωn。例如，如果银行以每日频率重新平衡其投资组合，但投资组合决策每月进行一次，则每日时间尺度的记忆参数▄ω=0.97对应于τ的有效记忆≈ 33天。

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2022-6-10 01:53:16

每月时间尺度上记忆参数的对应值为ω≈ 0.4.因此，分岔图中对应于周期或混沌的ω的小值与接近1的ω值相关。我们可以通过考虑，当内存足够大时，银行会从过去的历史中学习，至少从长期来看，银行会对未来的风险做出准确的预测，从而理解图2中的行为。因此，大内存可以稳定金融系统，有关杠杆和多元化的投资组合决策达到固定点平衡。当ω降低到给定阈值以下时，记忆较短的风险预期通过诱导周期二打破定点平衡。事实上，做空有可能导致投资组合持有量因恐慌而下降，反映出杠杆率和多元化的突然下降。当采用的财务杠杆和银行投资组合之间的重叠较高时，投资组合再平衡的价格影响会显著增加观察到的风险。风险预期中的记忆不足往往会高估未来风险，从而导致银行突然减少头寸。因此，杠杆和多元化突然减少。相反的情况是，由于之前高估的风险，杠杆率和多元化很小。这两个周期的特点是预期和实现投资组合的灵活性不匹配，杠杆周期反映了银行感知风险和“真实”风险之间的不匹配。当记忆进一步减少时，我们的模型预测了更大周期的周期，并最终预测了无氧动力学。注意，周期和混沌杠杆周期的振幅都会随着ω的减小而增大。当ω>ω时*, λ在[1，γ+1）范围内振荡，并保证返回的协方差平稳性，而当ω<ω时*该过程变得非平稳。

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2022-6-10 01:53:19

因此，ω*对应于模型动力学从平稳到非平稳的变化。在图3的左面板中，我们显示了ω的等高线图*作为特质方差平方根的函数√Σ和总投资额M。较大的是√Σ, ω的值越小*: 这意味着较大的外部风险会降低财务杠杆的价值，因为存在风险价值约束，因此，杠杆目标的反馈效应。更令人惊讶的是，ω的值*随着M的增加，即引入金融创新和新工具，要求投资者在形成风险预期方面有更大的记忆，以保持系统处于平稳平衡。事实上，大量的可用资产投资会导致风险低估，因为投资组合的变化较大，随之而来的是财务杠杆的增加。然后，银行投资组合重叠与杠杆目标价格影响的综合效应使金融系统更加不稳定。4.2. 分歧分析。通过倍周期分岔或flip分岔打破固定点平衡（例如，参见【Crawford，1991】）。在ω作为分岔参数的情况下，我们将发生倍周期分岔的记忆参数值称为ω。分岔类型可以通过研究与等式4.2映射相关的雅可比矩阵来分析。该图描述了一个三维动力系统，但雅可比矩阵的一个特征值相同为零，这表明方程4.2中与期望形成过程相关的两个方程在展开式的一阶不是独立的。正特征值描述了与这些方程的独立分量相关的特征空间。

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2022-6-10 01:53:22

该特征空间中的动力学以一个固定点为特征，因为对应的特征值位于所有ω的单位圆内。第三个特征值为负。图3的右面板显示了作为ω函数的雅可比矩阵的非消失特征值。当负特征值达到临界值时-1对于ω=ω，发生倍周期分岔。之后，动力学吸引子不再是执行点，出现了一个描述2周期周期的新解。新的解决方案是公式4.2映射的执行点，迭代两次。以自相似的方式，倍周期分岔重复在这种金融系统动力学研究的分析方法中，杠杆和风险预期的范围是{λ，∑ωd，∑ωu}∈ [1，γ+1）×R+×R+。特别是杠杆的界限相当于等式2.18过程的平稳性条件。√∑0.025 0.026 0.027 0.028 0.029 0.03 0.031M203040506070800.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.045ω10-310-210-1eigenvalues-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.2ω图3。左面板：ω的等高线图*（即ω的值，在该值处发生向非平稳性的转变）作为√Σ投资数量M。此处∑f=0，其他参数如表1所示。右面板：ofEq映射的雅可比矩阵的特征值。4.2作为ω的函数和表1中规定的参数。γ80 90 100 110 120 130ω200.020.040.060.080.10.120.140.16α1 1.2 1.4 1.6 1.8 2ω200.050.10.150.20.25α1.5 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55λ*0102030405060708090100α1.5 1.51 1.52 1.53 1.54λ*0102030405060708090100ω=0ω=10-3图4。顶部面板：：对应于第一周期双分岔的分岔参数ω，作为资产市场流动性γ（左）和PV aR分位数α（右）的函数。底部面板：方程式4.2中分析映射的定点分析。

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2022-6-10 01:53:25

黑点代表有吸引力的稳定点（固定点或周期2的稳定周期），而红点代表不稳定的固定点。左下角面板：具有非零内存的自适应期望（ω=10-3). 右下角的面板：以零内存（ω=0）为特征的NaiveExpections。但对于迭代映射，会导致倍周期级联到混沌。这种现象非常普遍，通过研究logistic图【1976年5月】首次发现，并在【Feigenbaum，1978年】中进行了描述。我们还通过分析ω值作为其他模型参数的函数来研究金融系统的稳定性。在图4的左上面板中，我们显示了α1.4 1.5 1.6 1.7λt20406080100c0.04 0.06 0.08 0.1MT0102030405060图5之间的关系。左图：与λt相关的分叉图，用于分析映射4.2 asaα的函数。ω设置为0.1。右面板：MTA的分叉图是分流成本c的函数。ω设置为0.1。ω值和流动性参数γ。风险投资的市场流动性越大，与预期反馈相关的影响就越不重要。因此，市场流动性越大，金融系统的动态就越稳定。直观地说，当以财务杠杆为目标的投资组合再平衡的价格影响对投资价格没有显著影响时，波动性和投资组合不会产生太大影响。流动性市场更加稳定，因为市场参与者战略的内生影响对风险的影响较小【Danielsson等人，2012a，Danielsson等人，2012b】。最后请注意，由于ω等过渡值取决于流动性，因此流动性的突然变化可能会推动市场从稳定状态变为不稳定状态。在图4的右上面板中，我们显示了α和ω之间的关系。

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2022-6-10 01:53:28

这种下降的行为表明，当风险价值不那么严格时，如果代理用于构建预期的内存更长，金融市场就会变得动态稳定。在图4的底部面板中，我们展示了方程4.2中分析映射在第一个分岔点附近的定点分析。我们比较了等式2.15中描述的风险适应性预期与天真预期的情况，即零记忆的情况（等式2.15中ω=0）。左下方的面板显示了当内存不同于零时，变量λ的地图稳定点（黑点），即等式4.2中地图的固定点或周期轨道，即迭代两次的地图的固定点。当分岔参数α降低到决定倍周期分岔的阈值以下时，出现两次迭代的映射的新解，映射的固定点变得不稳定（红点）。这种行为适用于任何与零不同的ω。图4右下角的面板显示了天真的风险预期。在分岔点处，两次迭代的映射不存在解。然而，固定点不再具有吸引力。在这种情况下，系统的动力学是周期性的，但其特征是振幅随时间增加。因此，当金融机构在风险预测中表现幼稚时，打破定点均衡对应着金融系统从平稳动态向非平稳动态的转变。4.3. 政策影响。从金融政策的角度来看，我们的结果可以总结如下：降低VaR参数，从而允许较不严格的资本约束，使金融系统更加不稳定。

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