请注意，（21）和（35）中报告的计算减少到：U（q）：=bq·X|`|≤(R)qeαJ-βDb`，| q |≤ \'q，用于-q≤ q≤ q、 我们首先计算eαJ-βD=Xk≥0（αJ- βD）kk=Xk公司≥0公里！kXj=0千焦αj(-β） k级-j`2（k-j） JjAs Jj·b`=Pjp=0日本b类`-j+2p和bq·bq=1I{q=q}，这提供了bq·eαj-βDb`=Xk≥0公里！kXj=0千焦αj(-β） k级-j`2（k-j） jXp=0日本1I{`-j+2p=q}=Xk≥0kXj=0jXp=0αj(-β`）k-jp！（k）- j） 哦！（j）- p） 哦！1I{`-j+2p=q}=Xp≥0Xj≥pαjp！（j）- p） 哦！e-β\'1I{`=q+j-2p}=Xp≥0Xj≥0αj+pp！je-β\'1I{`=q+j-p} 我们最终得出结论，u（q）=Xp≥0Xj≥0αj+pp！je-β（q+j-p） 1I{| q+j-p|≤\'\'q}，表示| q |≤ (R)q.A.4所有F停止时间τ的动态规划原理和表示，其值为[t，t]和任何u∈ Aτ，we定义jt（τ，u）=Euτh-e-γRTτ（uaudNau+ubudNbu+QudSu）e-γξi和Jτ，T=（JT（τ，u））u∈Aτ，其中Aτ表示A对[τ，T]的控制的限制。做市商的持续效用定义为所有F-停止时间τbyVτ=ess supu∈AτJT（τ，u）。引理A.3。设τ为F-停止时间，其值为[t，t]。然后，存在一个非递减序列（un）n∈Nin Aτ，使得Vτ=limn→+∞↑ JT（τ，un）。证据对于τ中的u和u，定义u=u1I{JT（τ，u）≥JT（τ，u）}+u1I{JT（τ，u）<JT（τ，u）}。然后^u∈ Aτ，通过定义^u，我们得到了JT（τ，^u）≥ 最大值（JT（τ，u），JT（τ，u））。这表明Jτ直接向上，所需结果来自于[27，命题VI.I.I p121]。引理A.4。让t∈ [0，T]和τ是F-停止时间，其值在[T，T]中。那么，Vt=ess supδ∈AEδ-γRτt（δu·dNu+QudSu）Vτi.证明。我们遵循[7，命题6.2的证明]中的相同论点。表示所需等式的右侧。首先，根据塔的特性，Vt=ess supδ∈AEδ-γRτt（δu·dNu+QudSu）Eδτh-e-γ（RTτ（δu·dNu+QudSu）+ξ）Ⅱ。对于所有δ∈ A、 商lδTLδτ不依赖于时间τ之前δ的值。

那么，EΔτh-e-γ（RTτ（δu·dNu+QudSu）+ξ）i=Eτ-LδTLδτe-γ（RTτ（δu·dNu+QudSu）+ξ）≤ ess supu∈AτEuτh-e-γ（RTτ（uu·dNu+QudSu）+ξ）i=Vτ，从（4）开始，注意对于任何δ∈ A、 条件期望Eδτ仅取决于δ对[τ，T]的限制。因此，定义Euτ时，u没有歧义∈ Aτ。这意味着Vt≤接下来我们证明了逆不等式。Letδ∈ A和u∈ Aτ。我们定义（δτu）u=δu0≤u<τ+uuτ≤u≤T、 然后δτu ∈ A和VT≥ Eδτut-e-γRτt（δu·dNu+QudSu）+RTτ（uu·dNu+QudSu）e-γξ= Eδτuthe-γRτt（δu·dNu+QudSu）Eδτuτh- e-γRTτ（uu·dNu+QudSu）e-γξii。（39）根据Bayes公式，并注意到LδτuTLδτuτ=LuTLuτ，我们得到δτuτh-e-γRTτ（uu·dNu+QudSu）e-γξi=Eτ“LδτuTLδτuτ-e-γRTτ（uu·dNu+QudSu）e-γξ#= JT（τ，u）。因此，不等式（39）变为Vt≥ Eδτute-γRτt（δu·dNu+QudSu）JT（τ，u）, 通过使用Gain-Bayes公式并注意到lδτuτLδτut=LδτLδt，我们有vt≥EthLδτuTe-γRτt（δu·dNu+QudSu）JT（τ，u）iLδτut=Et“EτhLδτuTLδτuτLδτuτLδτute-γRτt（δu·dNu+QudSu）JT（τ，u）i#=Et“EτhLδτuTLδτuτiLδτuτLδτute-γRτt（δu·dNu+QudSu）JT（τ，u）#=EtLδτuτLδτute-γRτt（δu·dNu+QudSu）JT（τ，u）= Eδ-γRτt（δu·dNu+QudSu）JT（τ，u）i。因为前面的不等式适用于所有u∈ Aτ我们从单调收敛定理和引理A.3中推导出存在一个序列（un）n∈Nin Aτ使vt≥ 画→+∞↑ Eδ-γRτt（δu·dNu+QudSu）JT（τ，un）i=Eδte-γRτt（δu·dNu+QudSu）limn→+∞↑ JT（τ，un）= Eδ-γRτt（δu·dNu+QudSu）Vτi，从而得出证明结论。定理3.1（i）的证明我们分几个步骤进行。第1步。对于δ∈ A、 根据引理A.4的动态规划原理，过程Uδt：=Vte-γRt（δaudNau+δbudNbu+QudSu），t∈ [0，T]定义了一个Pδ-supermartingalforallδ∈ A、 通过标准分析，我们可以在其c\'adl\'ag版本中考虑它（通过沿着理性采取正确的限制）。

通过Doob-Meyer分解，我们写出了uδt=Mδt- Aδ，ct- Aδ，dt，（40），其中Mδ是一个Pδ-鞅，Aδ=Aδ，c+Aδ，是一个可积的非递减可预测过程，使得Aδ，c=Aδ，d=0，具有路径连续分量Aδ，c，和一个分段常数可预测过程Aδ，d。通过鞅表示定理，在Pδ下，见引理A.1，我们得到Mδt=V+ZteZδr.dχr-ZteZδ，arλ（δar）1I{Qr>-\'\'q}dr-ZteZδ，brλ（δbr）1I{Qr<q}dr，（41）可预测过程zδ=（eZδ，S，eZδ，a，eZδ，b），其中我们回忆起χ=（S，Na，Nb）。第2步。我们证明了V是一个负过程。事实上，由于δ的一致有界性∈ A、 我们证明了lδTLδt≥ αt，t=e-kδ∞σ（NaT-Nat+NbT-Nbt）-2Ae-kcσ（ekδ∞σ+1）（T-t） >0，（42），这意味着Vt≤ E-αt，Te-γδ∞（NaT-Nat+NbT-Nbt）+RTtQudSue-γξ< 0、步骤3。设Y为Vt定义的过程=-e-γYT适用于所有t∈ [0，T]。由于Aδ，disa可预测点过程和（Na，Nb）的跳跃在P下是完全不可访问的停止时间，我们得到了[Na，Aδ，d]=0和[Nb，Aδ，d]=0 A.s，见[18]中的命题I.2.24。利用It^o公式，我们从（40）和（41）中得到了thatYT=ξ，dYt=ZatdNat+ZbtdNbt+ZStdSt- dIt公司- deAdt，其中Za、Zb、ZS、I、ead与δ无关，因为它们可以表示为ZitdNit=注意，Eδ[UδT]=JT（0，δ）>-∞ 利用H¨older不等式和（7）以及Na和Nb强度的一致性。因此，过程Uδ是可积的。鉴于所考虑的合同类别，我们知道委托人提出的合同应确保代理人至少存在一个最优的买卖价差，用￠δ表示。

因此，Uδ是一个Pδ-鞅，根据Doob正则化结果，我们知道我们可以找到Uδtunder Pδ的c\'adl\'ag版本。因此，VTL允许在Pδ下使用c ` adl ` ag版本，并且由于所有测量Pδ的δ∈ A是等效的，Uδt表示c\'adl\'ag版本。d【Y，Ni】t，i∈ {a，b}，ZStσdt=dhYt，Stit，ead Y的可预测纯跳跃。此外，It^o的公式yieldsZat=-γ测井（1+eZδ，atUδt-) - δat，Zbt=-γ测井（1+eZδ，btUδt-) - δbt，ZSt=-eZδ，btγUδt-- Qt-,andIt=Zth（δr，Zr，Qr）dr-γUδrdAδ，cr,eAdt=γXs≤tlog1.-Aδ，dtUδt-,h（δ，z，q）=h（δ，z，q）-γσ（zs）。特别是，Neandaδ，d之间的最后一个关系表明在=-Aδ，dtUδt-≥ 0与δ无关∈ A.回想一下，Uδ<0。在随后的步骤中，我们认为Z=（ZS，Za，Zb）∈ Z、 andAδ，dt=-Xs型≤tUδs-as=0，（因此eadt=0），It=ZtH（Zr，Qr）dr，t∈ [0，T]，（43），其中H（z，q）=H（z，q）-γσ（zs）。第4步。自VT=-1，注意0=supδ∈AEδ[UδT]- V=supδ∈AEδ[UδT- MδT]=γsupδ∈AEhLδTZTUδr-目录- h（δr，Zr，Qr）dr+darγi、 （44）此外，由于控制是一致有界的，我们有uδt≤ -βt：=Vte-γδ∞（Nat-Na+Nbt-Nb）-γRtQrdSr<0。（45）那么，由于Aδ，d≥ 0，Uδ≤ 0和dIt- h（δt，Zt，Qt）≥ 0，由（44）和不等式（42）和（45）得出，0≤ supδ∈AEhα0，TZT-βr-目录- h（δr，Zr，Qr）dr+darγi=-Ehα0，TZTβr-目录- H（Zr，Qr）dr+darγi、 Asα0，TRTβr-目录- H（Zr，Qr）dr）≥ 0和α0，TRTβrdar≥ 0，这意味着（43）。第5步。我们现在证明Z∈ Z通过显示supδ∈阿苏普特∈[0，T]Eδ[E-γ（p+1）Yt]<∞ 对于某些p>0。（46）利用H¨older不等式和条件（7）以及Na和Nb强度的有界性，我们得到了supδ∈AEδ[| UδT | p+1]<∞ 对于某些p>0。Hencesupδ∈阿苏普特∈[0，T]Eδ[| UδT | p+1]=supδ∈AEδ[| UδT | p+1]<∞,因为Uδ是负的Pδ-上鞅。

这导致了（46）使用H¨older不等式，Na和Nb强度的一致有界性，e-γY=UδeγR·（δaudNau+δbudNbu+QudSu）。第6步。我们最终证明了表示的唯一性。Let（Y，Z），（Y，Z）∈ R×Zbe，ξ=YY，ZT=YY，ZT。通过遵循定理3.1（ii）的验证论点，我们通过考虑做市商的持续效用值，得出等式YY，Zt=YY，Zt- 经验值(-γYY，Zt）=- 经验值(-γYY，Zt）=ess supδ∈AEδt[-e-γ（PLδT- PLδt+ξ）]，t∈ [0，T]。这反过来意味着ZitdNit=ZitdNit=d[YY，Z，Ni]t，i∈ {a，b}，和ZStσdt=ZStσdt=dhY，Sit，t∈ [0，T]。因此（Y，Z）=（Y，Z）。A、 5定理4.2的证明定理4.2的主要结果的证明需要以下技术结果。我们注意到，这是需要（7）中第一个可积条件的地方。引理A.5。让Z∈ Z、 存在C>0和ε>0，以支持∈[0，T]E^δ（Y^Y，ZT）[KZt | 1+ε]≤ C、 证明。我们再次使用符号KZt：=e-η（c（Nat+Nbt）-Y0，Zt），t∈ [0，T]，对于所有Z∈ Z、 Letp>1。利用H¨older不等式和Na、Nb强度的一致有界性，我们推导出存在C>0，使得E^δ（Y，ZT）[KZt | p]≤ CE[（e-γY0，Zt）-pηγ]pp，任何p>p。

因此，E^δ（Y^Y，ZT）[KZt | p]≤ C1+Eh（e）-γY0，Zt）-pηγi= C1+E“- supδ∈AEδth- e-γ（Y0，ZT+P LδT-P Lδt）i-pηγ#！。利用Jensen不等式和H¨older不等式，我们推导出任意p>pthatE^δ（Y^Y，ZT）[KZt | p]≤ C1+Esupδ∈AEδt[epη（Y0，ZT+P Lδt-P Lδt）]≤ C1+Ehsupδ∈AEδt[epηY0，ZT]i.通过使用动态规划原理，类似于引理a.4的证明，注意到eJ（u，δ）=Eδτ[epηY0，ZT]u∈Aτ直接向上，我们得到e^δ（Y^Y，ZT）[KZt | p]≤ C1+supδ∈AEδhepηY0，ZTi.通过设置ε=η-η、 如果我们取p=1+ε，那么p=p+ε和p=p+ε，我们得到^δ（Y，ZT）[KZt | 1+ε]≤ C1+supδ∈AEδheηY0，ZTi.从Z的定义（涉及（7）中的第一个可积条件），我们得到e^δ（Y^Y，ZT）[KZt | 1+ε]≤ C、 t型∈ [0，T]，C=C1+supδ∈AEδheηY0，ZTi< +∞.定理4.2的证明为了证明定理，我们验证了（20）中引入的函数在（0，Q）处与约化交换问题（13）的值函数一致，最大值在最优控制^Z处达到。函数v是负有界的，并且具有有界梯度。此外，由于δ∞≥ ∞,因此，v是交换约化问题的HJB方程（14）的解，见引理a.2。

对于Z∈ Z、 表示KZT=e-ηc（Nat-Na+Nbt-Nb）-Y0，Zt, t型∈ [0，T]。通过直接应用It^o公式电视从HJB方程中得到满足v，我们看到v（t，Qt）KZt= KZt公司-（hZt- Ht）dt+ηv（t，Qt）ZstdSt+Xi=a，bv（t，Qt-+ Qt）e-η（c-青春痘）- v（t，Qt-)deN^δ（Y^Y，Z），it, （47）其中，使用（15）的符号和后续方程式，Ht：=HEQt，v（t，Qt），v（t，Qt+1），v（t，Qt- 1),hZt：=他Qt，v（t，Qt），ZSt）+1I{Qt>-\'q}他v（t，Qt），v（t，Qt- 1） ，Zat+1I{Qt<\'q}hEv（t，Qt），v（t，Qt+1），Zbt.利用v有界和KZis一致可积的事实，参见Lemma。5，我们明白了v（t，Qt）KZtt型∈[0，T]是P^δ（Y^Y，ZT）-上鞅，根据Doob-Meyer分解定理，（47）中的局部鞅项是真鞅。Hencev（0，Q）=E^δ（Y^Y，ZT）hv（T，QT）KZT+ZTKZt（Ht- hZt）dti≥ E^δ（Y^Y，ZT）v（T，QT）KZT= E^δ（Y^Y，ZT）[-KZT]，根据边界条件v（T，）=-1、Z的任意性∈ Z、 这提供了低质量v（0，Q）≥ supZ公司∈ZE^δ（Y^Y，ZT）[-KZT]=vE。另一方面，考虑由（16）中的反馈控制^Z诱导的约化交换问题的最大化子^Z。由于^Z有界，因此^Z∈ Z、 此外，h^Z- H=0，根据定义，因此最后一个参数得出等式v（0，Q）=E^δ（Y^Y，^ZT）- K^ZT公司, 而不是不平等。这表明v（0，Q）=vE，即（13）的约化交换问题，具有最优控制^Z。从定理3.1中，造市商的相应最优做市商响应由（10）给出，ξ=Y^Y，^ZT。此外，条件（17）暗示|- Zit+γ对数（1+σkk）|≤ δ∞, i=a，b。因此，最佳效果可减少至（24）。A、 6定理6.1的证明分为两步。首先，我们证明了问题（29）存在一个对称的马尔可夫纳什均衡。

然后，我们证明了该纳什均衡在对称纳什均衡中是唯一的。对称马尔可夫纳什均衡的存在性。我们用v表示（32）的光滑解或等价的（33）。注意，定理6.1中定义的ζ是t，Qt的确定函数。用Kζt表示为任何ζ定义的过程∈ Z byKζt：=eηRTPi=a，b（ζit-cN）dNit+ζStdSt+[^HS（Qt，ζS，0t，ζSt）-Pi=a，b^Hi（Qt，ζi，0t，ζit）dt公司,^Hi（q，~z，z）=Hi（z+（N- 1） z，q）-N- 1NHi（Nz，q）。（48）注意dkζt=ηKζtζStdSt+Xi=a，bKζt-（eη（ζit-中国）- 1） dNit+ηKζt^HS（Qt，ζS，0t，ζSt）-Xi=a，b^Hi（Qt，ζi，0t，ζit）+ησ|ζSt|dt。应用伊藤公式，我们得到了（v（t，Qt）Kζt）=Kζttv（t，Qt）dt+Kζtηv（t，Qt）^HS（Qt，ζS，0（Qt），ζSt）-Xi=a，b^Hi（Qt，ζi，0t，ζit）+ησ|ζSt |）dt+ηKζtv（t，Qt）ζStdSt+Kζt-Xi=a，b（v（t，Qt+Qt）- v（t，Qt））eη（ζit-cN）dNit=Kζttv（t，Qt）+ηv（t，Qt）Fζtdt+ηKζtv（t，Qt）ζStdSt+Kζt-Xi=a，b（v（t，Qt+Qt）- v（t，Qt））eη（ζit-cN）dNit，其中Fζt=FS（t，Qt，ζSt）+F（t，Qt，v（t，Qt），v（t，Qt+1），ζbt）1Qt<Q+F（t，Qt，v（t，Qt），v（t，Qt- 1） ，ζat）1Qt>-Q、 由于v满足HJB方程（32），我们推断E^δ（ζ+（N-1)ζ)[-KζT]≤ v（0，Q），等于ζS=ζS，0和ζi=ζi，0。一般对称纳什均衡集的唯一性。我们现在证明，如果存在对称的纳什均衡，它是唯一的，并由（36）定义的马尔可夫均衡ξ给出。对于一般ζ，设ξ的特征为（30）。我们考虑任何给定ξ的交换的动态值函数，由另一个固定，由Vt（ξ）表示，并根据备注6.1由Vt（ξ）=eη^Yess supζ定义∈ZE^δ（ζ+（N-1） ζ）th- e-ηRTtPi=a，b（中国）-ζir）dNir-RTtζSrdSr-RTt^HSr（ζSr）-Pi=a，b^Hir（ζir）dri、 ^HSr（z）=^HSr（Qr，ζS，0r，z）和^Hir（z）=^Hir（Qr，ζi，0r，z）。通过使用类似于a.4的DPP，我们证明了（Vt（ξ）Kζt）t∈[0，T]是Pζ+（N-1） ζ-超鞅。

因此，在其他人选择ζ的情况下，鞅条件提供了代表性交易所发挥的最佳ζ。通过使用Doob-Meyer分解，鞅的性质可归结为以下问题的解BSDEdRt=UStdSt+Xi=a，Builtdfnit- Ft（Ut，Qt）dt，RT=0（49），其中Ft（u，q）：=supζS-^HSt（ζS）-ση|ζS- 美国|）+Xi=a，bsupζi^Hit（ζi）- λi，ζt用户界面+1- e-η（ui-ζi+cN）η,λi，ζt=λ（^δ）（ζi+（N- 1） ζi，0））。我们直接推导出最大化子ζS，？t=-γ（N- 1） η+γζS，0t-γη+γQt-ηη+γUSt，ζi，？t=Uit+cN+ηlogk（k+σ（γ- η） ）（k+ση）（k+σγ）+UtKηk+ση.由于ζ被假定为对称的纳什均衡，我们从定义6.1中得出，ζS，0和ζi，0必须唯一确定为qt和UtbyζS的函数，0t=-γη+NγQt-ηη+NγUSt，和ζi，0t=Uit+cN+ηlogk（k+σ（γ- η） ）（k+ση）（k+σγ）+UtKηk+ση.因此，我们注意到BSDE（49）是马尔可夫的。与此BSDE相关的积分-偏微分方程仍需求解（32），我们知道存在v（t，q）给出的连续解。因此，我们推断，如果存在对称纳什均衡，则它在定义6.2的意义上是马尔可夫均衡，证明的第一步表明它是唯一的。A、 7第一最佳交换问题在本节中，我们分析交换的第一最佳问题。在这种情况下，交易所在其参与约束下，以最优方式选择合同ξ和市场制造商的最优买卖公告策略。引入拉格朗日乘数λ>0来惩罚该约束，我们将第一个最佳交换值函数简化为无约束问题：VF B=infλ>0supξ∈C、 δ∈AEPδ- e-η（c（NaT-NbT）-ξ)- λe-γ（ξ+XT+QTST）- λR,C=nξ，FT可测量，以使（7）满足要求。我们首先通过计算λ，δ来计算ξ的上确界。

ξise中的一阶条件-η（c（NaT-NbT）-ξ?λ） =λγηe-γ（ξ？λ+XT+QTST），表示ξ？λ=η + γ对数（λγη）- γ（XT+QTST）+ηc（NaT+NbT）.替换这个表达式，我们看到vf B=infλ>0supδ∈AEPδ- λη+γηe-γ（ξ？λ+XT+QTST）- λR= infλ>0supδ∈AEPδ- λη + γηηλγγη+γe-γηγ+η（XT+QTST+c（NaT+NbT））- λR= infλ>0λη + γηηλγγη+γeV- R, EV=supδ∈AEPδ- e-γηγ+η（XT+QTST+c（NaT+NbT））.在与λ无关的情况下，我们得到了最佳拉格朗日乘子λ=ηγeVR公司1+ηγ，我们推导出最优的第一个最佳契约：ξ？=ξ?λ*=η + γ对数（λ？γη）- γ（XT+QTST）+ηc（NaT+NbT）.我们最终解决了这个问题。注意，根据（4）和（2）给出的Pδ的定义，通过设置|Δ：=δ+c，我们得到ev=sup|Δ∈AEPδ-c- e-Γ（XT+QTST）, Γ=γηγ+η，其中ΓA的定义类似于有界δ的A∞+ c、 然后我们将其简化为[3，13]的框架，以便通过δit=-c+Γlog（1+σΓk）+σklogeuF B（t，Qt-)euF B（t，Qt-+ εi）, 我∈ {b，a}，（εa，εb）=(-1, 1).式中，euF Bis是线性微分方程euF B的唯一解t=t=1，标准箱B（t，q）- FCF B，FCF B（q，euF B（t，q），euF B（t，q+1），euF B（t，q- 1） ）=0，（50），常数CF B=σΓkandfCF B=A1+σΓk-（1+σΓk），因此vf B（0，0）=eVF B，其中euF B=(-evF B）-kση。由于PDE（50）的解与（19）的解不同，我们推断，在第一个最佳情况下，交易所的价值函数与第二个最佳模型中的价值函数不一致。感谢泛欧交易所的Ang’elique Begrand、Luxi Chen和Laurent Fournier提供的有益意见。参考文献【1】F.Abergel、C.-A.Lehalle和M.Rosenbaum。了解高频交易的利害关系。《交易杂志》，9（4）：49–732014。[2] J.J.Angel、L.E.Harris和C.S.Spatt。21世纪的股权交易。《金融季刊》，1（01）：1–532011年。[3] M.Avellanda和S。

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