做市监管的最优做市费

2022-6-10 02:09:34

市场做市商监管的最佳做市费*2019年11月27日摘要我们解决了交易所设置适当的maketake费用以吸引其平台流动性的机制设计问题。利用委托代理方法，我们以准显式的形式给出了做市商的最优薪酬方案。该合约主要取决于做市商的库存轨迹和资产的波动性。我们还提供做市商应显示的最佳报价。我们公式的简单性使我们能够详细分析有交换的最优契约与无契约的情形相比的影响。我们特别表明，它提高了流动性，降低了投资者的交易成本。我们将研究扩展到对称交易所的寡头垄断，并研究这种共同代理政策对系统的影响。关键词：买卖费用、做市商、金融监管、高频交易、委托代理问题、随机控制。1引言由于金融市场的分裂，交易所如今处于竞争中。传统的国际交易所受到其他交易场所的挑战，参见*这项工作得益于监管、金融风险、金融和可持续发展的主席分析和模型的财政支持。Omar El Euch和Mathieu Rosenbaumg非常感谢ERC赠款679836 Staqamof的财政支持。Nizar Touzi感谢ERC赠款321111 RoFiRM的财政支持。Thibaut Mastrolia感谢ANR PACMAN的财政支持。作者还感谢巴斯·沃克的相关评论。[19]. 因此，他们必须找到创新的方式来吸引平台上的流动性。

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2022-6-10 02:09:37

一种解决方案是使用创客收费系统，这是一种允许他们以不对称方式收取流动性供给和流动性消费的规则。许多交易所（如纳斯达克、泛欧交易所、BATS Chi-X…）使用的最专业的设置，isof当然会补贴前者，同时对后者征税。在实践中，这意味着将费用回扣与已执行的限额订单相关联，并为市场订单应用交易成本。近几年来，制造费用的话题一直备受争议。Make takefees政策被视为一个主要促进因素，有助于出现一种旨在收取费用回扣的新型市场庄家：高频交易者。正如美国证券交易委员会（Securities and exchange commission）在[31]中指出的那样：“高度自动化的交易系统和流动性回扣帮助建立了一种新型专业流动性提供商的商业模式，它不同于更传统的交易专家和场外做市商。”对高频交易员成为新的流动性提供者的担忧是双重的。首先，他们的存在意味着速度较慢的交易者再也无法访问限额指令簿，或者只有在高频交易者不希望支持流动性的不利情况下才能访问限额指令簿。这导致了对高频做市商的第二种经典批评：他们往往在压力时期离开市场，有关高频做市商活动的详细调查，请参见[4、24、25、28]。从学术角度来看，关于“制造-获取”费用结构及其对市场福利的影响的研究大多是实证性的，或者是在相当程式化的模型中进行的。[2]中提出并在[6]中发展的一个有趣的理论是，有偿交易实际上对交易成本没有影响，因为有偿买卖价差不应取决于有偿交易政策。

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2022-6-10 02:09:40

这一结果与[20，22]中的经验结果一致。尽管如此，这些作品清楚地表明，许多重要的交易参数，如深度、交易量或价格影响，确实取决于收购费用结构，另见【14】。此外，Make take fees schedule的中立性观点在[12]中也有所缓和，作者在理论上表明，如果勾号大小不等于零，Make take fees可能会增加市场福利，另见[5]。更重要的是，上述结果是在易于处理但相对简单的离散时间模型中获得的，人们可能希望重新审视这些模型，以更接近市场现实。在这项工作中，我们的目标是提供一个定量和可操作的答案，以回答相关的制作-拍摄费用问题。为此，我们采取交易所（或监管机构）的立场，旨在吸引流动性。该交易所正在寻找最佳的获利策略，以帮助做市商实现效用最大化。换言之，它希望与市场标记者设计一个最优合约，以创造一种增加流动性的激励。我们解决了交易所面临的问题，我们不考虑更复杂的全球社会福利问题。然而，我们认为，增加流动性（交易所的目标）应该有利于所有代理人的福利，这在我们的实证结果中得到了证实。据我们所知，这篇论文是第一篇在现实的连续时间框架内解决“制造-接受”费用问题的论文。作为第一步，我们考虑非分散市场中的单一做市商，例如许多固定收益市场，这些市场代表着世界上一些最具流动性的资产。

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2022-6-10 02:09:43

接下来我们考虑多重对称交换的情况。20世纪70年代，经济学中出现了激励理论，以模拟金融代理人如何将输出过程的管理交给另一个代理人。让我们回顾一下米尔莱斯（Mirrlees）[26]和霍姆斯特罗姆（Holmstrom）[15]的开创性著作中关于委托代理问题的形式主义。委托人的目标是与代理人签订合同，该代理人负责管理影响委托人财富的输出过程。委托人无法直接控制输出过程，因为她无法决定代理人所做的工作。在我们的情况下，委托人是交易所，代理人是做市商，收益与做市商提供的流动性质量相对应（基本上是做市商提出的买卖价差的大小），输出过程是平台上的交易流，合同取决于已实现的交易流。几篇经济学论文通过将这类问题确定为双方之间的斯塔克伯格均衡来研究这类问题。更准确地说，由于委托人无法控制代理人的工作，她预计他会对给定的报酬做出最佳反应。我们遵循【16】中提出的文学流。然后，在[30]中，作者将此问题转化为一个随机控制问题，该问题在[8]中使用后向随机微分方程理论得到了进一步发展。相关文献另见【9】。本文给出了交易所与做市商之间最优合约和做市商最优报价的准显式表达式。最优合约本质上取决于做市商的库存轨迹和市场的波动性。

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2022-6-10 02:09:46

这些简单的公式使我们能够详细分析与[3，13]中没有合同的情况相比，有交易所的最优合同对市场福利的影响。我们表明，这样的合约会降低价差，降低投资者的交易成本。我们还建议将这项工作扩展到对称交易所的寡头垄断，目的是雇用一个单一的市场标记。我们特别证明了交易所存在唯一的马尔可夫对称纳什均衡。本文的组织结构如下。第2节介绍了我们的建模方法。特别是，我们定义了做市商和交易所的优化框架。在第3节中，我们计算做市商对给定合同的最佳响应。第4节设计了最优合约，我们在这里解决了交易所的问题。然后，在第5节中，我们评估了交易所与做市商进行最优交易对市场质量的益处。在第6节中，我们将我们的研究扩展到对称交换的不对称性。最后，在Anapendix中收集了有用的技术结果，以及提供不同解决方案的所谓第一最佳案例（见附录A.7）。2模型我们的出发点是Avellaneda和Stoikov的开创性工作[3]。我们的目标是推导最优做市商收取费用，以便根据[3]的最优做市商模型，监测做市商在平台上的行为。2.1可收缩和可观测变量lt>0为最终水平时间，OhmC从[0，T]到R的连续函数集，Ohmd从[0，T]到N的分段常数c\'adl\'ag函数集，以及Ohm = Ohmc×(Ohmd）与相应的Borel代数F。

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2022-6-10 02:09:49

可观测状态为规范过程（χt）t∈[0，T]=（St，Nat，Nbt）T∈可测空间的[0，T](Ohm, F）：St（ω）：=s（t），Nat（ω）：=na（t），Nbt（ω）：=nb（t），对于所有t∈ [0，T]，ω=（s，na，nb）∈ Ohm,标准完成过滤F=（Ft）t∈[0，T]=（Fct （Fdt）2） t型∈[0，T]。交易活动减少为单一风险资产，其可观察有效价格定义为：St：=S+σWt，t∈ [0，T]，（1）对于某些布朗运动W，初始价格S>0，常数波动率σ>0。市场制造商选择δ波段δ表示的流程，以便于公开定价。在实践中，有效价格可以被视为资产的中间价格，参见【29，11】。可用的出价和要价：Pbt：=St- δbt和Pat：=St+δat，t∈ [0，T]。买卖市场订单的到达由一个计数过程（Nb，Na）和单位跳跃来建模，因此每次只能出现一个市场订单。我们介绍做市商的库存流程Q:Qt：=Nbt- Nat公司∈ N∩- \'q，\'q, t型∈ [0，T]，其中Nb=Na=0，如[13]所示，我们施加临界绝对库存∈ N以上，做市商停止询价或报价。设c>0为交易所收取的费用，见下文第2.3节。为了消除公布价格对交易到达过程（Nb、Na）的影响，相应的强度过程取决于交易价格与有效价格的偏离，即。

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2022-6-10 02:09:52

c+δit，i∈ {b，a}，如下所示：λi，δt：=λ（δit）1I{εiQt>-\'\'q}，i∈ {b，a}，（εb，εa）=(-1，1），λ（x）：=Ae-k（x+c）σ，（2）对于一些固定的正常数A和k，依赖于波动率参数σ，以再现每单位时间的平均交易数量是利差和波动率之间比率的递减函数这一典型事实，请参见【10、21、33】。我们的规范变量是S、Na和Nb，合同只允许依赖于这些量的系数：这是我们的三个可收缩变量。这实际上是非常合理的：有效价格是任何市场参与者使用的数量，无论其选择的代理是中间价、最后交易价格还是某个成交量加权价格。NAN和Nbencode流程对市场订单的到达进行编码，从而对实际交易进行编码，这些交易清楚地记录在任何交易所中，并可访问tomost参与者。因此，合同将根据标准、不可辩驳和易于确定的财务变量进行设计。请注意，这里的利差δa和δb可以被市场接受者观察到，但不可收缩。从交易所的角度来看，在合同中引入价差变量是不合理的。首先，引号通常不会以与语句相同的精度进行记录，因为它们的演变频率要高得多，有时可能达到毫秒级。其次，报价通常不会导致交易，而且很可能难以证明基于没有有形对手的企业价格对代理商征税或补贴是合理的。

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2022-6-10 02:09:55

最后，基于报价的合同肯定会鼓励高频交易者尝试利用合同中可能存在的漏洞，例如使用非常高的订单取消率，导致可能的市场中断，有关高频交易者行为的研究，请参见[1，24]。2.2容许控制和做市商问题容许控制A的集合是所有可预测过程δ=（δA，δb）一致以δ为界的集合∞, 一些足够大的正常数将在稍后固定。控制δ相当于控制市场订单的到达强度，因为它是价差的决定性函数。以这种方式看待做市商优化问题，我们发现强度与标准principalagent问题中的漂移起着非常相同的作用，在标准principalagent问题中，agent控制着扩散过程的漂移，这种漂移不受委托人的影响，见【30，8】。我们建模的一个特殊特征是，由于其与扩散的联系，强度是可观察的（尽管不可收缩）。然而，在某种意义上，价差是一个艺术变量，使我们能够了解市场现实（做市商在实践中可以获得价差，但不能了解市场接受者到达的程度）。

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2022-6-10 02:09:58

每个控制过程δ诱导–做市商盈利和亏损过程：PLδt：=Xδt+QtSt，其中Xδt：=ZtPardNar-ZTPBRNDBR，t∈ [0，T]，（3）作为现金流Xδ和库存风险qs之和，以及概率测度Pδ，其中S由（1）驱动，andeNi，δT：=Nit-Ztλi，δrdr，t∈ [0，T]，i∈ {b，a}，是鞅。然后，Pδ由密度dPδdP定义FT=LδT，由[3]中的Dol\'eans-Dade指数得出，为了简单起见，我们假设做市商使用有效价格S鞅dLδT=LδT估计其库存风险-Pi=b，a1I{εiQt->-\'\'q}λ（δit）-AAdeNi，0t，即（εb，εa）=(-1，1），Lδt：=expXi=b，aZt1I{εiQr->-\'\'q}hlogλ（δir）AdNir- （λ（δir）- A） dri，t∈ [0，T]。（4）特别是，所有概率测度Pδ都是等价的。因此，我们使用符号A。几乎可以肯定，没有歧义。我们将用概率测度Pδ写出关于f的条件期望的Eδt。交易所旨在鼓励做市商减少利差，以增强平台上的市场流动性。这是通过设置由FT可测量随机变量ξ定义的激励合同条款来实现的。换句话说，补偿ξ可能取决于可收缩变量Na、NB和S的整个路径。鉴于这一额外收入，做市商的目标由效用最大化问题VMM（ξ）：=supδ定义∈AJMM（δ，ξ），其中JMM（δ，ξ）：=Eδh- e-γ（ξ+PLδT）i（5）=Eδh- e-γ（ξ+RTδatdNat+δbtdNbt+QtdSt）i.这里，γ>0是CARA做市商的绝对风险规避参数。对于每个补偿ξ，我们将在下面证明存在唯一的最优响应^δ（ξ）=（^δb（ξ），^δa（ξ））∈ 市场标记的A，即VMM（ξ）=JMM^δ(ξ), ξ.备注2.1。

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2022-6-10 02:10:01

当没有激励报酬ξ=0时，效用最大化问题（5）归结为Avellanda&Stoikov[3，13]最优做市问题。2.3交易所最优合约问题交易所对市场中发生的每个市场订单收取c>0的固定费用，然后在T时收取总收入c（NaT+NbT）- ξ. 合同ξ的选择取决于效用最大化问题：=supξ∈CE^δ（ξ）h- e-η（c（NaT+NbT）-ξ） i，（6）参见[18]中的定理III.3.11；δ的一致有界性保证了Lδ是鞅，参见[32]。在实践中，一些交易所在固定费用中增加了与交易现金金额成比例的部分。我们的分析可以扩展到更详细的费用表。我们选择constantfee是出于诱导的简单性，这对于推导准显式解至关重要。此外，我们将看到，在使用最优合约时，交易所在某种程度上与c的价值无关，见第4.2.3节。其中η>0是交易所的绝对风险规避参数，可接受合同集C是满足参与约束VMM（ξ）的所有合同的集合≥ R、其中，保留水平R<0可能成为无契约的效用水平，以及可积性条件：supδ∈AEδheηξi<∞ 和supδ∈AEδhe-γξi<∞, 对于某些η>η，γ>γ。

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2022-6-10 02:10:04

（7）由于Na和Nb是强度有界的点过程，而库存过程Q有界，因此从H¨older不等式的简单应用可以看出，问题（5）和（6）中的预期都是有限的。在本文中，我们假设参与水平R是允许合同集非空的：C=nξ，FT可测量，因此VMM（ξ）≥ R和（7）满足6=.3解决做市商问题我们从解决做市商面临任意合同的问题开始ξ∈ C由交易所提出。3.1做市商对（δ，z，q）的最优响应∈ [-δ∞, δ∞]×R×Z，δ=（δa，δb）和Z=（zS，za，zb），我们定义（δ，Z，q）：=Xi=b，a1- e-γ（zi+δi）γλ（δi）1I{εiq>-\'q}和H（z，q）：=sup |δa|∨|δb|≤δ∞h（δ，z，q）。（εb，εa）=(-1, 1). 对于任意常数Y∈ R和可预测过程z=（ZS，Za，Zb），带rt|ZSt |+| H（Zt，Qt）|dt<∞, 我们介绍了过程yy，Zt=Y+ZtZardNar+zbrndbr+ZSrdSr+γσ（ZSr+Qr）- H（Zr，Qr）dr，（8），我们用Z表示所有这些过程Z的集合，使得（7）中的第一个可积条件满足ξ=Y0，ZTandsupδ∈阿苏普特∈[0，T]Eδ[E-γY0，Zt]<∞, 对于某些γ>γ。（9）显然，Z 6= 因为它包含所有有界的可预测过程和 Ξ :=YY，ZT:Y∈ R、 Z∈ Z、和VMM（YY，ZT）≥ R.下一个结果表明，这些集合实际上是相等的，并确定了市场创造价值和相应的最佳响应。为了证明这些集合的相等性，我们将问题归结为表示任何合同ξ的问题∈ Cξ=YY，zt表示某些（Y，Z）∈ R×Z，在文献中称为后向随机微分方程问题。我们避免使用此术语，因为我们的分析不需要本文献的任何结果。定理3.1。（i）任何合同ξ∈ 对于某些（Y，Z），C有唯一的表示形式ξ=YY，ZT∈ R×Z。

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2022-6-10 02:10:07

特别是，C=Ξ。（ii）根据本声明，做市商效用价值为VMMξ= -e-γY，所以Ξ=nYY，ZT:Z∈ Z、和Y≥^Yo，^Y：=-γ测井(-R），具有以下最优买卖策略^δit（ξ）=（青春痘），i∈ {b，a}，其中（z）：=(-δ∞) ∨n- z+γ测井1+σγko∧ δ∞. （10）第A.4节报告了第（i）部分的证明，并按照桑尼科夫（Sannikov）[30]的方法，通过使用做市商的动态连续效用过程获得。定理3.1（ii）的证明设ξ=YY，zt为（Y，Z）∈ R×Z.我们首先证明了jmm（δ，ξ）≤ -e-γy对于所有δ∈ A、表示Yt：=YY，Zt+Pi=A，bRtδitdNit+QtdSt。设置hδ：=h（δ，.），它遵循it^o的公式thatde-γYt=γe-γYt-h类- （Qt+ZSt）dSt-Xi=b，a1- e-γ（Zit+δit）γdeNi，δt+H- hδt（Zt，Qt）dti，意味着-γ是Pδ-局部子鞅。根据条件（9），Na和Nb的强度一致有界性和H¨older不等式（e-γYt）t∈[0，T]是统一整数。利用Doob-Meyer分解定理，我们得出R·γe-γYt--（Qt+ZSt）dSt-Pi=b，a1-e-γ（Zit+δit）γdeNi，δt, 是鞅。由此得出jmm（δ，ξ）=Eδ-e-γYT= -e-γY-EδhZTγE-γYtH（Zt，Qt）-h（δt，Zt，Qt）dti公司≤ -e-γY。另一方面，当且仅当δ被选为哈密顿量H（dt×dP）的最大值时，等式在最后一个不等式中成立-a、 e.），从而得出（10）给出的唯一最大化子^δ（ξ），然后导出JMM（^δ（ξ），ξ）=-e-γY。这就完成了VMM（ξ）=-e-γy具有最佳响应^δ（ξ）。4设计最优合同4.1以风险中性交易为例。为了理解最优合约的形状，我们首先研究了交易所为风险中性的情况，对应于η为0的极限，我们通过显式计算得出最优补偿。在当前设置中，weset q=+∞, 从而放宽了对库存的有界限制。

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mingdashike22

2022-6-10 02:10:10

根据定理3.1，交换问题简化为ve=supY≥^YsupZ∈ZE^δ（YY，ZT）hc（NaT+NbT）- YY，ZTi=supZ∈ZE^δ（Y^Y，ZT）hc（NaT+NbT）- Y^Y，ZTi，（11）带^δit=（Zit），t∈ [0，T]，i∈ {a，b}，其中，由于（10）给出的做市商最优响应^δ（YY，ZT）不依赖于目标函数在Y中递减的Yso，在Y上实现了最大化。定理4.1。考虑风险中性交换情况η&0，并假设δ∞≥σk-σk+σγ+γ测井（1+σγk）- c、那么交换问题（11）的最优契约是：^ξ=^Y+c（NaT+NbT）-ZTQrdSr-σTk+σγ，（12）具有最佳做市商效应：δat（ξ）=δbt（ξ）=σk-σk+σγ+γ测井（1+σγk）- c、证明。通过设置▄c=c+σk+σγ，注意e^δ（Y^Y，ZT）hcXi=b，aNiT-Y^Y，ZTi=E^δ（Y^Y，ZT）hZTXi=b，aλ（^δit）（~c-Zit）dt-^Y-ZT公司γσ（ZSr+Qr）dri，所以（11）中的优化器由ZS给出，？r=-Qr、Za、，？r=Zb，？r=▄c-σk.注意，（12）给出的最优合约强调做市商的支付与交易所的支付之间通过termRTQrdSr进行的风险转移。4.2指数风险规避交换定理3.1，并求解关于Y的最大值≥^Yas在前面的小节中，交换问题（6）归结为vE=eη^YvE，其中vE：=supZ∈ZE^δ（Y^Y，ZT）h- e-ηc（NaT+NbT）-Y0，ZTi。

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2022-6-10 02:10:13

（13） 4.2.1简化交换问题的HJB方程我们对控制问题vEof（13）的方法是推导相应HJB方程的解v，并通过随机控制中的标准验证参数来证明建议的解v与值函数vE一致。根据标准动态规划方法，（13）的HJB方程为tv（t，q）+HEq、 v（t，q），v（t，q+1），v（t，q- 1)= 0，q∈ {-\'q，···，\'q}，t∈ [0，T），（14），带边界条件vt=t=-1，使用哈密顿量HE：[-‘q，’q】×(-∞, 0]→ R： HE（q，y，y+，y-) = HE（q，y）+1I{q>-\'q}他（y，y-) + 1I{q<\'q}HE（y，y+，（15）and HE（q，y）=supzs∈RhE（q，y，zs），hE（q，y，zs）=ησyγ（zs+q）+ηzs,HE（y，y）=supζ∈RhE（y，y，ζ）和hE（y，y，ζ）=λ(ζ)hyeη（ζ-c）- y1 + η1 - e-γ(ζ+(ζ))γi、根据下面的引理A.2，HEare的最大化子^z=（^zs，^za，^zb）由：^zs（t，q）=-γγ+ηq，^za（t，q）=^ζv（t，q），v（t，q- 1), ^zb（t，q）=^ζv（t，q），v（t，q+1）, （16） ^ζ（y，y）=ζ+ηlogyy年, ζ=c+ηlog1.-σγη（k+σγ）（k+ση）.这里，δ∞非常大，因此引理A.2的条件（38）始终满足，即δ∞≥ C∞+η支持∈[0，T]supq∈[-\'q，\'q-1]日志v（t，q）v（t，q+1）, （17）带C∞引理A.2中给出，我们将检验我们的验证论点，即HJB方程的候选解将验证它。再次使用引理A.2中的计算报告，我们将HJB方程（14）改写为tv（t，q）+γησ2（γ+η）qv（t，q）-Cv（t，q）h1I{q>-\'\'q}v（t，q）v（t，q- 1)kση+1I{q<\'q}v（t，q）v（t，q+1）kσηi=0，（18），边界条件为vt=t=-1，其中常数Cis由C=C（σγk，σηk）给出，其中C（α，β）：=Aβ（1+α）-α1.-αβ(1 + α)(1 + β)1+β.受【13】的启发，我们现在主要观察到，通过引入u：=(-五）-kση。

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2022-6-10 02:10:16

通过直接替换，我们得到以下线性微分方程Ut=t=1，和tu（t，q）-FC，C（q，u（t，q），u（t，q+1），u（t，q-1））=0，t<t，| q |≤ \'q，（19）Fm，m（q，y，y，y）：=mqy- m级y1I{q<\'q}+y1I{q>-\'\'q}, C： =kγησ2（γ+η），C：=kCση。该方程可以用R2'q+1表示-值函数u（t）=u（t，q）q∈{-\'q，。。。，仅变量t的\'q}，作为线性常微分方程tu=-Bu，其中B=-质量控制。。。。。。。。。C-CqC。。。。。。。。。C-C'q← 第q行是一个三对角矩阵，带有标记线-\'q，\'q.用bq表示R2\'q+1的向量，除位置q外，其余均为零，即bq，j=1I{j=q}表示j∈ {-\'q，\'q}，and 1=P\'qq=-(R)qbq。那么，这个常微分方程有一个唯一的解u（t）=e（t-t） B1，因此u（t，q）=bq·e（t-t） B1和v（t，q）=-bq·e（T-t） B类-σηk.（20）在下一节中，我们将证明HJB方程（14）的解v与约化交换问题（13）的值函数相吻合，具有（16）中给出的最优控制^z（t，q），从而得出最优契约Y^Y，^Zt与^Zt=^z（t，Qt-).让我们注意到，我们可以提供上述函数u的更明确表达式：u（t，q）=Xp≥0[C（T- t） ]pp！Xj公司≥0[C（T- t） ]jj！e-C（T-t）（q+j-p） 1I{| q+j-p|≤\'\'q}，（21）关于纳什均衡中N个对称交换的更一般情况，请参见附录A.3。我们通过函数u的一种（还有一种）替代表示来结束本节，这便于推导一些有用的属性。提案4.1。将u和v定义为（20）。函数u可以表示为asu（t，q）=EheRTt(-C（Qt，qs）+λs+λs）dsi，其中Qt，qs=q+Rstd（Nu- Nu）和（N，N）是强度（λs，λs）=C（1I{Qs）的二维点过程-<\'\'q}，1I{Qs->-\'\'q}）。特别是，我们有e-C？qT≤ u≤ e2CT和条件（17）在δ∞≥ ∞:= C∞+σk（2C+C'q）T.（22）证明。请注意，u是一个光滑有界函数。

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2022-6-10 02:10:19

表示f（x）=-Cx+C（1I{x>-\'q}+1I{x<\'q}），Ms=eRstf（Qt，qu）duu（s，Qt，qs），t≤ s≤ T现在我们证明M是鞅，因此u（t，q）=Mt=E[Mt]=Ee-RTtf（Qt，qs）ds, 作为u（T，）=为了证明M是阿马丁格尔，我们用It^o的公式计算出=u（s，Qt，qs）f（Qt，qs）+tu（s、Qt、qs）ds+Cu（s、Qt、qs-+ 1) - u（s、Qt、qs-)dNs+Cu（s、Qt、qs-- 1) - u（s、Qt、qs-)dNs。因为u是（19）的解，所以我们得到dms=Cu（s、Qt、qs-+ 1) - u（s、Qt、qs-)dMs+Cu（s、Qt、qs-- 1) - u（s、Qt、qs-)dMs，其中（M，M）=（N-R·λsds，N-R·∧sds）是鞅。M的鞅性质现在来源于u的有界性，因为它可以通过表达式（20）进行验证。最后，界| Qt，qs |≤ “‘q’直接导出u的公布界限，当（22）满足时，这又意味着条件（17），因为v=-u-σηk.4.2.2主要结果我们现在验证上一节推导的函数v是交易所的价值函数，具有（16）中给出的最优反馈控制（^zs、^za、^zb），从而确定交易所向做市商提出的唯一最优合约。定理4.2。假设δ∞≥ ∞, 具有∞由（22）给出，由（20）定义u和v。然后交换问题（6）的最优合约由^ξ=^Y+ZT^ZardNar+^zbrndbr+^ZSrdSr给出+γσ^ZSr+Qr- H^Zr，Qrdr，（23）带^ZSr=^zs（r，Qr-),^Zar=^za（r，Qr-), 和^Zbr=^zb（r，Qr-) 如（16）所述。市场制造商的最佳效益由^δat=^δat（^ξ）=-^Zat+γlog（1+σγk），^δbt=^δbt（^ξ）=-^Zbt+γlog（1+σγk）。（24）备注4.1。请注意，在我们的模型中，交易所观察市场庄家设定的价差。然而，如上所述，差价不能成为合同的一部分。因此，在做市商参与约束下，定理4.2中的第二个最佳交易问题与交易所可以在合同ξ中使用观察买卖政策δ的第一个最佳交易问题不一致。

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2022-6-10 02:10:22

相应的计算报告见下文附录A.7。4.2.3讨论和解释制定最佳合同的过程具有自然的解释。根据命题4.1，我们可以得到（至少对于大型库存）^Zi=ξ+ηlog的直觉u（t，Qt-)u（t，Qt-- εi）~|q|→+∞ξ+εiηCkQt-, 我∈ {a，b}，（25）回顾（εb，εa）=(-1, 1). 下面的图4在时间t=0时证实了这一点（因为^Zband^za分别与最优买卖价差相反）。事实上，在【13，第4节】和【3，第3.2节】中的数值模拟和渐近展开中，任何时候都可以看到这一点，其中考虑了与我们相同类型的偏微分方程。因此，当库存高度正时，交易所会向做市商提供激励，以吸引买市订单，阻止做市商更多地卖出市场订单，反之亦然。积分可以理解为风险分担术语。更准确地说，RTQRDSR对应于投资风险QtSt的价格驱动部分。因此，交易所支持该风险的γγ+η比例，以便做市商在有库存的情况下保持合理的报价。请注意，对于高度规避风险的交易所，即η%∞,ZT^ZardNar+^zbrndbr≈ c（NaT+NbT），^ZSr≈ 0，表示交易所将总费用转移给做市商。这就是所谓的抛售效应，因为交易所将所有利益委托给做市商。到目前为止，我们一直关注制造商部分的报价问题，因为我们认为报价成本c是固定的。然而，我们的方法也使我们能够建议交换c的相关值。

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2022-6-10 02:10:25

实际上，我们看到，当采取适当行动时，交易所将固定的买方费用c的总额转移给做市商。因此，它与c的值无关，因为它的最优效用函数vE=v（0，Q）与买方成本无关，见（18）。然而，c在做市商提供的最佳利差中起着重要作用-2c+σklogu（t，Qt-)u（t，Qt-- 1） u（t，Qt-+ 1)-η对数1.-σγη（k+σγ）（k+ση）+γ对数（1+σγk）。此外，从数值计算或渐近发展（25），我们注意到u（t，q）u（t，q-1）对于任何t和q，u（t，q+1）都接近于单位。因此，如果例如ExchangeTarget的价差接近一个刻度（有关最佳刻度大小和价差的详细信息，请参见[10，17]），则可以通过设置C来获得≈ -打上钩-η对数1.-σγη（k+σγ）（k+ση）+γ对数（1+σγk）。当σγ/k足够小时，该方程可降低toc≈σk-打上钩（26）这是设置接受者固定费用c的一个特别简单的公式，因为参数σ和k可以根据市场数据轻松估计。我们看到，波动率越高，买方成本应该越大。k的减少也是很自然的：如果k很大，当价差变大时，流动性会迅速消失，这意味着市场接受者对相对于有效价格的额外成本很敏感。因此，接受者的代价是，我们要感谢一位匿名裁判提出了这种解释。如图2所示，如果交易所想要维持合理的市场秩序，u不依赖费用c.small。5交易所对市场质量的影响在本节中，我们将我们的设置与没有交易所对做市活动的激励政策的情况进行比较，这与[3，13]中考虑的最优做市问题相对应。我们将[3]中的结果作为调查的基准，以强调激励政策对市场质量的影响。

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2022-6-10 02:10:28

我们将此案例称为中性交易案例。让我们首先回顾一下[3，13]中的结果。做市商的最优控制由δaandeδbare表示，作为库存qtbeyeδit=σklog的函数eu（t，Qt-)eu（t，Qt-- εi）+γlog（1+σγk），i∈ {b，a}，（εb，εa）=(-1，1），其中eu是线性微分方程eu的唯一解t=t=1和标准箱（t，q）- FfC，fC（q，eu（t，q），eu（t，q+1），eu（t，q- 1））=0，t<t，| q |≤ \'q，EC=σγkandeC=A（1+σγk）-（1+σγk）。在我们的例子中，从定理4.2获得的最佳引号^δaand^δBare满足∈ {b，a}，和（εb，εa）=(-1，1）：^δit=σklogu（t，Qt-)u（t，Qt-- εi）+γ测井（1+σγk）- c-η对数1.-σγη（k+σγ）（k+ση）.其中u是线性方程（19）的解。数值实验表明，当q变大时，u和eu迅速减小到零，导致v+（t，q）=log的计算不稳定u（t，q+1）u（t，q）, ev+（t，q）=对数eu（t，q+1）eu（t，q）, q∈ {-\'q，···，\'q- 1} ，这在最佳引号的表达式中至关重要。为了避免这种数值困难，我们指出v+和ev+是以下积分微分方程v的解+t=t=0和tv+（t，q）+FC，C（q，v+（t，q），v+（t，q+1），v-（t，q+1））=0，（27）ev+t=t=0和tev+（t，q）+FfC，fC（q，ev+（t，q），ev+（t，q+1），ev+（t，q- 1））=0，（28），其中（εb，εa）=(-1，1），Fα，β（q，y，y+，y-) = α（2q+1）- βXi∈{a，b}εieεiv+（t，q-εi）1I{εiq<\'q-1}- εieεiv+（t，q）。因此，我们将经典有限差分方案应用于（27）和（28）。在以下数字说明中，本着【13，第6节】的精神，我们对波动率σ=0.3的资产取T=600s。s-1/2（除非另有规定）。市场订单根据强度（2）驱动，A=1.5s-1和k=0.3s-1/2. 我们假设做市商的阈值库存为“q=50个单位”，并将其风险规避参数设置为γ=0.01。

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2022-6-10 02:10:31

当η=1时，交易所更倾向于规避风险。最后，我们假设买方成本c=0.5滴答。5.1交易所对利差和市场流动性的影响我们首先比较最佳收缩时获得的最佳利差δa+δbat时间0与无收缩时获得的最佳利差δa+eδB。图1绘制了不同初始库存值Q的最佳价差∈ {-\'q，···，\'q}。图1：有/无交易所激励政策的最优初始利差比较。我们在图1中观察到，初始价差在很大程度上不取决于初始库存（因为考虑的时间间隔[0，T]不是太小），它被简化为做市商和交易所之间的最优合同。这并不奇怪，因为在我们的案例中，交易所旨在通过向做市商提出激励合同，从而减少差价，从而增加市场订单流量。实际上，这种现象发生在整个交易期间[0，T]。为了看到这一点，我们生成了一个标记，即买方成本是根据标准（26）选择的。我们预计最佳利差将缩小到一个刻度。还要注意，这里的刻度只是一个单位，而不是真正的市场参数。5000条市场情景路径，并计算初始库存Q=0时[0，T]的平均价差。结果如图2所示。图2:95%置信区间的[0，T]平均利差，有/无激励。由于在交易所的激励政策下，交易期间的利差更为紧密，因此市场订单的到达强度更为重要，因此市场流动性更高，如图3所示。图3:95%置信区间下[0，T]的平均订单流量，有/无激励。现在，我们在图4中分别考虑投标方和询价方。

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2022-6-10 02:10:35

我们看到，当投资额为正且非常大时，^δaan和δaar为负，这意味着做市商准备以低于有效价格的价格出售，以吸引市场订单并降低库存风险。相反，如果库存为负值且非常大，在这两种情况下，其询价都远远高于有效价格，以提示买方市场订单的到来。然而，由于在我们的案例中，每次市场订单到达时，汇率都会对做市商进行报酬，因此我们得到，合约^δais的ask价差小于eδa。价差的出价部分有一个对称的结论。图4：有/无激励政策的最优买卖价差。我们现在来看看波动性对利差的影响。在（23）中获得的最优契约通过^ZS项诱导了库存风险分担现象。因此，当波动性增加时，有/无激励政策的情况下的利差差异变得不那么重要，见图5，其中我们考虑了当交易所对做市商的不同波动值的激励政策下的初始库存设置为零时，两种情况之间的最优初始利差。图5：有激励和无激励情况下的初始最优利差差异。5.2对交易所和做市商损益的影响我们假设Q=0。回想一下，（3）中定义的损益δ表示做市商在给定策略δ下损益（P&L）的交易部分。在我们的案例中，做市商在时间t的基础总损益表现最佳，用损益表示？t、 is：PL？t=PL^δt+Y^Y，^Zt，其中Y^Y，^Zt对应于（23）右侧的数量，t替换为t。

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2022-6-10 02:10:37

现在，我们将该数量与基准PLeδt进行比较，基准PLeδt对应于最佳利润和损失，无需交易所干预。制作PL？在δt可比较的情况下，我们选择^Yin（23），以便做市商在这两种情况下获得相同的效用，即^Y=kσlog（eu（0，Q））。因此，在有无外汇干预的情况下，市场的情况会有所不同。我们生成了5000条市场情景路径，并比较了图6中有无激励政策的损益平均值。图6：有/无激励的做市商的平均损益，95%置信区间。由于^Yis在这两种情况下都会获得相同的效用，因此在交易期结束时，这两个平均损益非常接近。在这两种情况下，损益的变化似乎也是相同的。与做市商观点的唯一不同之处在于，在合同的情况下，由于交易所的补偿，损益已经在时间0做出，然后略有波动。这是因为他正在赚取差价，但要连续支付“优惠券”H（^Zt，Qt）-σγ（^ZSt+Qt）合同中的dt。在没有外汇干预的情况下，做市商会因价差而在整个交易期间增加其损益。现在，我们比较这两种情况下交易所的收益和损失。当它对做市商实施激励政策时，交易所的损益由c（Nat+Nbt）给出- Y^Y，^Zt。当交易所为中性时，其损益仅为c（Nat+Nbt）。我们在图7中比较了这两个数量。图7：有/无激励的交易所平均损益，95%置信区间。我们发现，由于初始支付，合约交易所的初始损益为负值。然而，在没有交易所激励政策的情况下，它最终超过了损益，标准差较小。

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2022-6-10 02:10:41

因此，交易所的激励政策被证明是成功的。对于做市商来说，这两种配置确实是等效的，但交易所在以最佳方式收缩时获得了更多收入。这是因为该合同触发了更多的市场订单。最后，我们绘制做市商和交易所的累计平均损益（独立于初始付款的选择）。我们观察到，在最优合同情况下，它总是更大。图8：有/无激励的交易所和做市商损益，95%置信区间。5.3激励政策对交易成本的影响我们考虑一个单一的市场接受者。在没有交易所的情况下，在特定参数和做市商的最佳反应下，该投资者平均购买200股[0，T]以上的股票。为了与有汇率干预的情况进行比较，我们在用最优合约模拟市场时修改了强度（2）中出现的参数A。选择此新值是为了让投资者在一段时间内平均购买相同数量的资产（200）。这相当于A=0.9秒-1.

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2022-6-10 02:10:44

我们在图9中确认，在这两种情况下，平均订单流量是一致的。图9：在有和无激励政策的情况下，通过采取不同的强度基础，在[0，T]上设置类似的平均ask订单流量；95%置信区间。最后，图10比较了市场接受者的平均交易成本EδRTδatdNat,无论有无激励，都表明利差的减少会导致投资者的交易成本显著降低。图10:95%置信区间的[0，T]平均交易成本，有/无激励。6扩展：对称交易所竞争在本节中，我们通过考虑调查多家交易所竞争案例的第一步，扩展了之前的研究。6.1纳什均衡中的对称交易所我们在此假设N个相同的交易所显示一个做市商的报价，交易流量在交易所之间平均分配。更准确地说，每次市场接受者在市场上行动时，他的1号交易被分成N个1/N大小的交易，分布在所有交易所。这相当于将每家交易所收到的市价从c改为c/N。这种情况当然很典型，但了解这一点显然是研究与不同做市商进行不同交易所案例的一个非常重要的初步准备。此外，正如我们将在下文中看到的，这里考虑的情况已经比前面章节中处理的oneexchange的情况复杂得多。做市商收到由N个交易所提供的报酬的总和，表示为ξ=ξ+ξ，其中ξ和ξ分别是代表性交易所提供的报酬和N个交易所提供的报酬的总和- 1其他。

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2022-6-10 02:10:47

因此，ξ继承了之前对ξ所做的所有技术假设（仅针对一家交易所），因为做市商的问题类似于考虑ξ的补偿。因此，市场制造商的问题返回一个最优价差δ（ξ），因此考虑ξ，定理3.1成立。考虑到交换的对称性假设，任何交换都在solvingVE（|ξ）=supξ∈CE^δ（ξ+～ξ）h- e-η（cN（NaT+NbT）-ξ） i，（29）其中，ξ是固定的，η>0是N个交易所的常见风险规避参数。定义6.1（纳什均衡和对称纳什均衡）。N元组（ξe）1≤e≤对于任何e，Nis都是纳什均衡∈ {1，…，N}我们有ve（ξe）=e^δ（PNj=1ξj）h- e-η（cN（NaT+NbT）-ξe）i.A合同的N元组（ξe）1≤e≤Nis对称Nash均衡如果（ξe）1≤e≤Nis是一个纳什均衡，使得ξ=···=ξN。我们用SN表示：=ξ: (ξ, . . . , ξ) ∈ 中国大陆所有这些对称纳什均衡的集合。从定理3.1可以看出，任何对称纳什均衡ξ∈ SNI由一对（▄y，▄Z）诱发∈ [是+∞) ×Z，使得ξ=NY▄y，▄ZT=▄yN+ZTN▄Zrdχr+γσ2N（▄ZSr+Qr）dr-NXi=a，bHi（▄Zir，Qr）dr，=▄yN+ZTζrdχr+γσ2N（NζS，0r+Qr）dr-NXi=a，bHi（Nζi，0r，Qr）dr，（30）其中ζ=ZN，而hi（z，q）=λ（δ（z））σk+σγεiq<q，其中（εb，εa）=(-1, 1).我们现在用ξ0，N表示-1（N- 1） -由（30）定义的相同合同的元组ξ，并且我们设置Y：=N-1N年。

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可人4

2022-6-10 02:10:50

Asξ+（N- 1） ξ=YY+￠Y，ZT，通过设置ζ：=Z- （N）- 1） ζ，对于某些（Y，Z）∈ [是+∞) ×Z每次交换的问题归结为ve（ξ0，N-1） =supY，ζE^δ（ζ+（N-1） ζ）h- e-η（RT（Pi=a，b（cN-ζit）dNit-ζStdSt）-Y-RTG（ζt，ζt，Qt）-αtdt）i，其中Y的范围为[^Y-Y+∞), ζ ∈ Z、 andG（ζ，ζ，q）=γσ（ζS+（N- 1） ζS，0+q）-Pi=a，bHi（ζi+（N- 1） ζi，0，q），αt=N-1Nγσ（NζS，0t+Qt）-Pi=a，bHi（Nζi，0t，Qt）.Yi上的优化立即得到解决，导致ve（ξ0，N-1） =supζ∈ZE^δ（ζ+（N-1） ζ）h-e-η（RT（Pi=a，b（cN-ζit）dNit-ζStdSt）-Y-RTG（ζt，ζt，Qt）-αtdt）i，（31）与Y=^Y-Y.definition 6.2（马尔可夫纳什均衡）。对称纳什均衡ξ∈ 对于某些确定性函数ζ，如果（30）中出现的系数ζ由ζt=ζ（t，Qt）给出，则SNis为马尔可夫函数。备注6.1。注意，如果ξ是一个分解为（30）的对称纳什均衡，则我们必然有y=y，ζ（ζ）=ζ，其中ζ（ζ）表示（31）的优化器。如果至少存在一个对称纳什均衡，这就可以描述任何对称纳什均衡。6.2主要结果与前面研究的一个交换问题类似，我们引入了HJB方程Vt=t=-1和tv（t，q）- ηv（t，q）^F（t，q，v（t，q），v（t，q+1），v（t，q- 1））=0，（32），带^F（t，q，y，y+，y-) = supζSFS（t，q，ζS）+supζF（t，q，y，y+，ζ）1q<q+supζF（t，q，y，y-, ζ） 1q>-q、 andFS（t，q，z）=-^HS（q，ζS，0（q），z）-ησ| z |，F（t，q，y，y，z）=-λ^δ（z+（N- 1） eζ（y，y））yyeη（z-cN）η-η-σk+σγ-λ^δ（Neζ（y，y））（N）- 1） σN（k+σγ），^HS（q，~z，z）=σγh（z+（N- 1） z+q）-N- 1N（Nz+q）i，ζS，0（q）=-γη+Nγq，eζ（y，y）=^ζ（y，y）+1- NNc。因此，通过表示F的bζS，bζN优化器，我们分别得到bζS（q）=ζS，0（q），bζN（y，y）=eζ（y，y）。因此，HJB方程（32）简化为tv（t，q）+γησ2N（Nγ+η）qv（t，q）-^CNv（t，q）h1I{q>-\'\'q}v（t，q）v（t，q- 1)Nkση+1I{q<\'q}v（t，q）v（t，q+1）Nkσηi=0，（33），边界条件为vt=t=-1，其中^CN=Ce（N-1） kσησγ+N（ση+k）σγ+（ση+k）。我们现在设置u=(-五）-kNση。

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2022-6-10 02:10:52

通过直接替换，我们得到以下线性方程ut=t=1和tu（t，q）- FCN，CN（q，u（t，q），u（t，q+1），u（t，q- 1））=0，t∈ [0，T），（34），其中CN=kγησ2（Nγ+η）和CN=^CNkNση。与第4节类似，我们推断v（T，q）=-u（t，q）-σηkNwhere u（t，q）=bq·e（t-t） BN1和BN=-CN？qCN。。。。。。。。。中国大陆-CNqCN。。。。。。。。。中国大陆-CN？q← 附录A.3中报告的第q行直接计算为函数u提供了另一种形式：u（t，q）=Xp≥0[CN（T- t） ]pp！Xj公司≥0[CN（T- t） ]jj！e-CN（T-t）（q+j-p） 1I{| q+j-p|≤\'\'q}。（35）下面的结果建立了一个唯一的对称纳什均衡的存在性，而且它是马尔可夫的。证明推迟至附录A.6。定理6.1。存在唯一的对称纳什均衡ξ∈ 由ξ=bYN+ZTζrdχr+γσ2N（NζS，0r+Qr）dr定义-NXi=a，bHi（Nζi，0r，Qr）dr，（36）其中，对于i∈ {a，b}和（εb，εa）=(-1，1），ζS，0r=-γη+NγQr，ζi，0r=cN+η日志v（r，Qr）v（r，Qr）- εi）+ 日志1.-σγη（ση+k）（σγ+k）.特别是，这种独特的对称纳什均衡是马尔可夫均衡。备注6.2。存在很多（非对称）纳什均衡。例如，根据合同（ξe）e≤由ξe=Yj+ZTζrdχr+γσN（NζS，0r+Qr）dr定义-NXi=a，bHi（Nζi，0r，Qr）dr是任何yj满足性pnj=1Yj=^Y的（非对称）纳什均衡。备注6.3。问题的对称性使我们能够找到均衡的自然候选，通过使用验证程序（见证明的第一步），我们证明它确实是一个（对称的）纳什均衡。这是因为所考虑的积分微分方程允许光滑解。如果现在有人想将这项研究扩展到雇佣一个做市商的交易所的异质寡头垄断，那么解决方案将与[23]中解释的完全耦合HJB方程系统紧密相关。

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2022-6-10 02:10:56

然而，对于这样一个系统，光滑解的存在性尚不清楚。6.3经济见解说明做市商在N-对称交换情形不同于（36）中一种交换情形的最优契约ξ。因此，即使在对称纳什均衡中的简单对称交换设置中，我们的结果也不平凡，值得关注。注意，我们还有一个类似于命题4.1中u的表示：u（t，q）=EheRTt(-CN（Qt，qs）+λs+λs）dsi，（37），其中Qt，qs=q+Rstd（Nu-Nu）和（N，N）是强度（λs，λs）=CN（1I{Qs）的二维点过程-<\'\'q}，1I{Qs->-\'\'q}）。通过使用与第4.2.3节中相同的参数（并基于[3，13]中的渐近展开），我们注意到Nζbt~ -CNKQT和Nζat~CNkQt。同样，当库存高度正时，交易所向做市商提供激励，以吸引买入市场订单，并阻止额外的卖出市场订单，反之亦然，以吸引负库存。随着Cn相对于N的减少，这种影响随着平台数量的增加而减少。因此，从做市商的角度来看，当交易所数量增加时，观察到的价差就会减少。注意，当N变大时，NζS，0r~ -Qr。换言之，对于大量平台而言，库存风险转移到交易所的寡头垄断中。附录A。1可预测的代表性以下结果可能是众所周知的，我们报告其完整性，因为我们无法找到精确的参考。引理A.1。让(Ohm, F、 P，F）是过滤概率空间，其中F=FW∨Fn是布朗运动W和d维可积点过程N=（N，····，Nd）的右连续完成过滤，补偿器a=（a，···，Ad）。

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