中国股市的多重分形特征与收益预测

2022-6-10 04:55:18

中国股市的多重分形特征与收益可预测性，*, 周伟兴A、b、，*A华东理工大学商学院金融系，上海200237，中国B华东理工大学理学院数学系，上海200237，中国摘要采用多重分形去趋势函数（MF-DFA）分析方法，上海证券交易所综合180指数（SH180）和深圳证券交易所综合指数（SZCI）的高频数据揭示了多重分形的本质。相应多重分形谱的特征被定义为市场波动性的度量。研究发现，股票指数回报率与光谱特征之间存在着显著的统计关系，可用于预测未来市场回报率。多重分形特征回归可预测性的样本内和样本外检验表明了谱宽α是一个显著的正超额收益预测因子。我们的结果为多重分形性质在资产定价中的应用提供了新的线索。关键词：多重分形特征、多重数据去趋势波动分析、收益可预测性1。引言我们知道，市场收益率不具有自相关性，但表现出非线性长记忆行为，这与多重分形性质有关（Muzy et al.，2001；Calvet and Fisher，2002；Jiang and Zhou，2011）。金融l系列中的两个典型事实，包括厚尾分布和长期依赖，被认为是多重风险的来源（Zhou，2009；Jiang和Zhou，2008b；Zhou，2012；Grahovac和Leonenko，2014）。

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2022-6-10 04:55:21

回报的多重分形性质使得价格动态不同于布朗过程，从而引发了将多重分形应用于揭示市场效率的研究（Wang和Wu，2013；Liu等人，2010），设计交易策略（Dewandaru等人，2015），共同构建改善波动率预测的措施（Wei和Wang，2008；Chen和Wu，2011；Wei等人，2013；Chen等人，2014），并列举一些。提出了新的理论模型ls，包括多重分形随机游走（MRW）（Bacry et al.，2001）、资产回报的多重分形模型（MMAR）（Calvet and Fisher，2002）和马尔可夫切换多重分形模式l（MSM）（Calvet and Fisher，2001），以复制多重标度价格行为。与其他竞争性计量经济模型相比，这些模型可以提高波动率预测的性能（Calvet和Fisher，2001年，2004年；Duc-hon和Robert，2012年；Chuang等人，2013年；Lux等人，2014年；Nasr等人，2016年；Segnon等人，2017年；Wang等人，2016年），预测财务持续时间（Chen等人，2013年；71zike等人，2017年），和估计VaR（Battern等人，2014；L ux和Kaizoji，200 7；Chuang等人，2013；Lee等人，2016；Lux等人，2016；Herrera等人，2017）。多重分形对波动性的预测能力表明，价格动态中的多重分形特征可能与市场风险有着密切的联系。由于高市场风险伴随着高回报，我们可以推断，价格动态中的强多重分形将带来高回报。然而，这种引用仍然缺乏经验证据。收益预测的研究框架为揭示多重分形特征是否可以作为预测收益率的预测因子提供了一条途径。

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2022-6-10 04:55:25

回报预测能力受到了广泛的研究兴趣，因为它可以突出对资产定价的理解，提高行业股票投资的绩效。然而，股票收益的可预测性仍存在争议。在一个*通讯作者。地址：中国上海华东理工大学金融系梅龙路130号114信箱，邮编：200237，电话：+86 21 64250053，传真：+86 21 64253152。电子邮件地址：zqjiang@ecust.edu.cn（姜志强），wxzhou@ecust.edu.cn（周伟兴）这些作者的贡献是平等的。2018年6月21日提交给Elsevier的预印本，Welch和Goyal（2008）对回归预测性进行了样本内和样本外测试，据报道，这些因素在早期的学术研究中是显著的，并发现几乎所有的因素似乎都不稳定，甚至是虚假的。另一方面，最近的研究表明，这些因素包括石油价格的意外变化（Casassus和Higuera，2012）、现金流波动性（Narayan和Westerlund，2014）、校准技术指标（Lin，2017）、石油期货曲线的曲率（Chia ng和Hughen，2017）、价格与基本面比率（Lawrenz和Zorn，2017），每日互联网搜索量指数（SVI）（Chronopoulos et al.，2018）和其中一些指数可以显著且经济地预测超额回报。与市场回报率相比，部门回报率具有更强的可预测性。

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能者818

2022-6-10 04:55:28

然而，预测因子的预测能力在发布后将被破坏（Mclean和Pontiff，2016），这可以通过预测因子表现出时变的可预测性来证明（Devpura et al.，2018）。受多重分形性质与市场波动性之间潜在联系的启发，我们有兴趣测试多重分形特征是否可以作为回报预测因子。我们的工作将填补这一空白。本文组织如下：第二节给出了数据和方法。2、第。3给出了经验多重分形的结果。第二节阐述了基于多重分形的样本内和样本外可预测性检验。第4节。5.总结。数据和方法2.1。数据集我们的数据，包括中国股市中的上海证券交易所综合指数18 0指数（SH180）和深圳证券交易所综合指数（SZCI），从RESET的金融数据库中检索(http://www.resset.cn). 自2003年2月14日至2015年12月31日，这两个指数均超过了每iod fr，共3036个交易日。通过删除记录错误的天数，我们为SH180留出了3024天，为ZCI留出了3032天。每个交易日有四个交易小时（240分钟）。对于每个指数，我们有每个交易日每分钟的价格，因此我们将每分钟返回的rm（t）定义为，rm（t）=ln pm（t）- ln pm（t- 1). （1）我们将每个交易日的最后一个价格视为当天的收盘价pc（d），日回报率rd定义如下，rd（d）=ln pc（d）- ln pc（d- 1 ). (2)2.2. 多重分形衰减分析（MF-DFA）对于给定的逐分钟返回窗口rm（i），i=1，···，N，我们可以定义y（i）如下，y（i）=iXu=1rm（i），i=1，2，··，N。（3）序列y由不相交的框覆盖，每个框h的大小与s相同。

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2022-6-10 04:55:31

为方便起见，我们将每个框中的子系列标记为，Yk（i）={y（i）|（k- 1） s+1≤ 我≤ ks}，（4）在某些情况下，整个序列不能被nsbox完全覆盖，这意味着我们必须在序列的末尾忽略一些数据点。为了避免这种情况，我们可以使用2个盒子来覆盖系列，其中NSBOX从开头覆盖，NSBOX从结尾覆盖。在每个框中，子系列YK由顺序为l的非多项式gl（·）回归（在我们的工作中，l=1）。通过拟合残差的样本方差确定了子系列yk的整体去趋势函数Fq，如下所示：=2Ns2NsXk=1[Fk（s）]q1/q.（5），其中q可以取除q=0以外的任何实际值。当q=0时，我们有f（s）=exp2Ns2NsXk=1ln【Fk（s）】. （6）根据l\'H^opital的规则。通过在smin=20到smax=N/4的范围内改变s的值，可以预期失真函数Fq（s）会随着大小s而缩放，其读数为sfq（s）~ sh（q），（7），其中h（q）是广义赫斯特指数。注意，当q=2时，h（2）只不过是赫斯特指数h。在基于分区函数的标准多重分形形式中，用于揭示多重分形的尺度指数τ（q），可以从每个q的以下传统函数中获得，τ（q）=qh（q）- f、（8）其中 f是多重分形测度几何支撑的分形维数（在我们的例子中 f=1）。测度u的局部奇异指数α及其谱f（α）通过Legendre变换信息与τ（q）相关（Halsey et al.，1986），α=dτ（q）/dqf（α）=qα- τ（q）。（9）考虑到总体函数估计的统计意义，我们关注q∈[-4, 8].我们进一步使用这三个参数(α, f和B）捕获多重分形谱的总体特征。

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2022-6-10 04:55:34

参数α表示多重分形谱的宽度，定义为α=α最大值- α最小值。αQuantitatively描述了奇异指数α的离散度，从而根据α的定义衡量了整体分形结构子集概率测量的异质性程度（Zhou，2007）。实际上，α被广泛用于衡量多重分形的程度（Jiang和Zhou，2008b，a；Zhou，2009）。值越大α是，多重分形性质越强。参数 f通过以下方式估算 f=f（αmin）- f（αmin），描述了具有最小概率测度的子集的比例与具有最大概率测度的子集的比例之间的差异。因此，如果 f<0，如果 f>0。通过拟合f（α）获得参数B~ 以下二次函数的α曲线f（α）=A（α- α） +B（α-α） +C（Shimizu等人，2002年；Mun▄oz Diosdado和R'o-Correa，2006年）。B in表示光谱不对称。当B的绝对值接近0时，谱线更有利于对称。B<0表示频谱曲线呈右钩状，表明数据集由概率测量值较大的子集控制。相比之下，B>0意味着光谱显示出左钩模式，这表明具有小概率度量的子集在数据集中起主导作用。多重分形的形状和 f和B是e和n之间正相关的基础 f和B。

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2022-6-10 04:55:37

当B>0（分别，B<0）时，多重分形谱左钩（分别，右钩），这意味着f（αmin）>f（αmax）（分别，f（αmin）<f（αmax）），然后我们得到 f>0（分别为， f<0）。当B接近e s 0时，多重分形谱逐渐变得对称，从而导致f（αmin）≈ f（αmax），我们将得到 f≈ 0.然而， f和B有非常不同的物理意义。 f表示最小度量值与最大度量值之间的比例差，而B表示在数据集中，大度量值与小度量值中，哪种度量值起着重要作用。3、经验多重分形特征利用一个5天大小的移动窗口，我们利用MFDFA方法对每个窗口中的收益进行多重分形分析。为了给人留下这样一种印象，即多重分形谱能够定量地捕捉市场动态，我们给出了对SH 180三个风向ows中与下跌、上涨和横向趋势相对应的典型价格轨迹的多重分形分析结果。窗口1涵盖2004年4月7日至2004年4月13日。如图1（a）、（b）和（c）所示，在窗口1中，价格表现出明显的下降模式，我们将观察到更多的小回报值，这直接导致左钩多重分形谱。窗口2的跨度为2004年1月16日至2004年2月3日，在该窗口中，价格呈上升趋势，回报率包含更大的值，这导致出现右旋多重分形谱，如图（d）、（e）和（f）所示。窗口3从2004年12月6日至2004年12月10日。w indow 3的结果如图所示。

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大多数88

2022-6-10 04:55:40

1（g），（h）和（i）证明，对称多重实际谱是由大小收益率几乎相等的事实导致的，尤其是在市场价格呈横向趋势的情况下。07Apr04 08Apr04 09Apr04 12Apr04 13Apr04（a）07Apr04 08Apr04 09Apr04 12Apr04 13Apr04-0.3-0.150.150.3（b）0.21 0.3 0.39 0.48 0.570.560.670.780.89（c）16Jan04 29Jan04 30Jan04 02Feb04 03Feb04（d）16Jan04 29Jan04 30Jan04 02Feb04 03Feb04-0.3-0.150.3（e）0.22 0.28 0.34 0.460.720.790.860.93（f）06Dec04 07Dec04 08Dec04 09Dec04 10Dec04（g）06Dec04 07Dec04 08Dec04 09Dec04 10Dec04-0.3-0.150.150.3（h）0.33 0.36 0.390.42 0.450.880.910.940.97（i）图1:SH180在三个窗口中的多重分形分析结果，其中价格分别呈现下降、上升和横向趋势。（a）-c）窗口1的结果，从2004年4月7日至2004年4月13日。（d）-f）窗口2的结果，从2004年1月16日至2004年2月3日。（g）-i）窗口3的结果，从2004年12月6日至2004年12月10日。（a、d、g）价格轨迹图。（b，e，h）回归序列图。（c，f，i）多重分形谱图。我们还估计了三个特征参数（α, f、 B）窗口中的多重分形谱，并获得α = 0.33, 对于窗1，f=0.21，B=0.20 f，α = 0.20, f=-0.13，B=-窗口2为0.18，α = 0.11, f=0.01，B=-窗口3分别为0.003。对于多重分形谱的宽度，我们有α窗口1>α窗口2>α窗口3。

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2022-6-10 04:55:43

这一结果与观察结果一致，即窗口1中的市场波动最大，窗口3中的市场波动最小，表明光谱宽度α可用于定量预测市场波动性。Wei和Wang（2008）提出了基于多重分形谱宽度的波动率度量，与GARCH型模型相比，这种多重分形波动率能够提供更好的VaR度量（Wei et al.，2013）。我们还发现三个窗口中的f和B与其多重分形谱的几何特征不一致。通过对每个移动窗口中的收益序列进行多重分形分析，我们将积累三个系列的多重分形特征(α, f和B）。表1列出了累积收益率（Prm）的基本信息和多重分形特征(α, f和B）上证成分股指数和深证成分股指数。在面板A中，可以看到偏度为正，峰度远大于3 forPrm，α, f和B，表明这四个参数都呈现右偏a和厚尾分布。还观察到α和 f平均值和中值之间的差距非常小，B的平均值小于中值，表明α, f和B对平均值的影响可以忽略。在表1的面板B中，可以发现，移动窗口后的每日周转率与三个多重分形参数之间没有相关性(α, f和B），因为它们的相关系数非常接近0，并且它们之间没有显著差异。发现移动窗口中的累积回报率为负，并且与SH180的α与 f表示两个索引。

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2022-6-10 04:55:46

的相关性α和由于两个系数均在0.05左右，两个指数的f均为弱、正且显著。我们也看到了 f和B显著正相关，相关系数为0。SH180和SZCI分别为14和0.13，与 f和B根据其定义和多重分形谱。在表1的面板C中，我们发现α和 f表现出非常强的自相关行为，因为其滞后1和滞后5的自相关系数为正、大且显著。两个指数的累积收益率最小移动窗口在滞后1时的自相关度均为0.78，随着滞后的增加，自相关度迅速降至0，因为滞后5的自相关度约为0。B中的自相关较弱，因为只观察到滞后1处的显著正系数，两个指数的值均小于0.1。此外，对于这四个参数，滞后30和50的Ljung和Box Q统计数据具有统计学意义，表明在1%的水平上拒绝了第10和20个或ders之前无自相关的无效假设。这些结果暗示了RM中存在自相关，α, f和B，这可以归因于所有四个参数都是从重叠的移动窗口估计的。我们在面板D和E o fTable1中报告了增广D ic key Fuller（A D F）单位根测试和ARCH测试的结果。对于ADF非it根检验，根据Schwarz信息准则确定了最佳滞后长度。对于bo th指数，所有ADF统计数据都显示拒绝了序列表中单位根的整数次方，α, f和B处于1%水平，表示四个系列的平稳性。

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2022-6-10 04:55:49

F组列出了滞后1、5、10和15的ARCH检验的F统计数据，表明在任何显著性水平上，无ARCH效应的无效假设均被拒绝。结果清楚地表明，在PRM系列中存在异方差，α, f和B表示两个索引。多重分形特征的预测能力4.1。在简单测试中，每日超额回报率r*d日定义为指数回报率Rd与市场无风险回报率rf、r之间的差值*（d） =rd（d）- rf（d）。（10） d天对应的多个实际特征，表示为dα，d-4： d，df，d-4： d和Bd-4： d，从天（d）开始估算- 4）今天，我们首先分离出多重分形特征dα，d-4： dinto根据wh Ether分为六组，它们分为以下六个箱子(-∞, 0.05], (-0.05，0.1），（0.1，0.15），（0.15，0.2），（0.2，0.25），（0.25，∞). 在每个组中，我们计算dα，d的平均值-4： d估计超额收益的平均值r*d+1，正好在dα，d后一天-4： d.在图2（a）中，我们展示了平均超额回报率hr的误差条形图*d+1相对于平均多重分形宽度hdα，d-4：左y轴上的di和多重分形宽度的分数dα，d-4： din右y轴上的每个箱子。to p面板是SH180的结果，底部面板l是ZCI的结果。可以看出，人力资源有略微增加的趋势*d+1i随着hdα的增加，d-4：两个指数的di，表明未来超额收益的α。对于多重分形特征 f和B，我们进行相同的分析α. 相应的结果如图2（b）和（c）所示。可以观察到hr呈轻微下降趋势*d+1i随着hdf的增加，d-4：这两个指数的di，意味着re可能存在负相关 f和未来超额收益。

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2022-6-10 04:55:53

然而，我们无法发现hBi和rd之间存在任何负相关行为，这表明多重分形特征B在预测未来超额收益方面是无用的。我们还对超额收益率r之间的格兰杰因果关系进行了检验*以及多重分形特征α、 df和B。x 9 y对应的空假设是x不会引起y。结果为-5-3-10.10.20.3<。05[.05、.1][.1、.15][.15、.2][.2、.25）.25-5-3-10.10.20.3（a）-5-3-10.10.20.3<-.1[-1、.05][-0.05,0）[-0.05][-0.05,1）.1-5-3-10.10.20.3（b）-5-3-10.10.20.3<-.1[-1,0）[0.1、.2][-0.3）.3-5-3-10.20.3（b）c）图2：多重分形特征对SH 180（顶部面板）和SZCI（底部面板）超额回报的预测能力的说明。（a）关于平均多重分形特征的平均超额收益图左y轴上的α和多重分形特征的分数右y轴上每个箱子中的α。（b）与（a）相同，但针对多重分形特征 f（c）与（a）相同，但表2中列出了多重分形特征B。可以看出，超额收益r*是否为SH18 0的α和B为5%，SZCI的B为1%。无效假设αGr anger不会导致r*以0.1%（5%）的显著水平拒绝H180（分别为SZCI），表明α可能包含未来剩余收益的信息*.

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2022-6-10 04:55:56

对于表2中的其余检验，格兰杰检验的无效假设不能被推翻，这意味着它们之间没有格兰杰因果关系。采用一个标准的单变量预测回归框架来检验mu-litfractalcharacteristics Md的预测能力-4： d从d天开始- 4至d日，d+1日超额收益，r*d+1=αr+βr，iMi，d-4： d+εd，d=5，···，T（11），其中M=α、 M= f，M=B，M=α f，M=αB和M= 样本内测试的相应结果显示在表3 f或两个指数中，其中报告了回归斜率、截距和调整后的Rstatistics。从NW t检验（Newey和West，1987）中获得的p值也列在回归参数下的括号中。NW t检验的无效假设是回归斜率（βr，i）正在消失。如果对βr，i进行无效假设，我们可以得出结论，有有用的信息可以预测未来超额收益r*多重分形特征Mi的预测因子为d+1。接受完全假设意味着多重分形特征Mi在模型（11）中没有可预测性。在面板A中，我们列出了SH180指数超额收益的样本内测试结果。除了α、所有其他多重分形特征都给出了负回归斜率。然而，它们都不具有统计意义。我们可以观察到，只有α在0.1%的水平上显著。由于超额回报很难预测，调整后的数据都很小。该模型基于α对H180的RSO为0.85%，这意味着多重分形特征α可以解释0。未来超额回报的85%。在panelB中，我们报告了SZCI指数超额回报的样本内测试回归参数。

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2022-6-10 04:55:59

我们可以观察到α（分别， f）在1%（5%）的水平上为正（负）和显著。相关统计数据分别为0.26%和0.13%α和 f其余多重分形特征对超额收益的预测能力较弱，因为它们的回归斜率在统计上不显著，并且调整得很小。通常，多重分形特征α可以被视为市场波动的一种度量。预测能力α可以与中国市场风险联系起来。较高的市场风险与较高的市场波动性相关，导致下一个时期的风险溢价较高（Merton，1980；French et al.，1987）。4.2. 与中国市场波动率指标的比较为了比较多重分形特征与中国市场波动率指标的预测能力，我们进行了以下回归，r*d+1=αr+βr，iMi，d-4： d+ψrvd-4： d+εd，d=5，···，T（12），其中vd-4： d天起的已实现市场波动率-4到d，这是通过将采样周期中的最小返回次数的平方相加来估计的。桌子4将回归结果表示为公式（12）。我们发现结果如表所示。4应符合表中的要求。3且只有α对两个指数和其他预测（包括已实现波动率）都具有统计意义，这表明多重分形特征α除了市场波动性之外，还有其他信息。4.3. 样本外测试通常鼓励样本外测试通过排除样本测试中未来信息的使用和过度拟合来评估回报的可预测性。

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2022-6-10 04:56:03

采用两种统计数据，即ROSstatistic（Campbell和Thompson，2008）和经调整的MSFE统计数据（Clark和West，2007），来评估样本外预测性能。ROSstatistic定义如下，ROS=1-PT公司-1d=nr*d+1- ^r*d+1）PT公司-1d=nr*d+1- \'\'r*d+1（13）其中r*d+1是实际超额收益，r*d+1是预测超额回报，以及*d+1是历史平均回报的基准。ROS测量预测回归预测的均方预测误差相对于历史平均基准预测的减少百分比。根据定义，我们可以推断，Ros位于(∞, 1]. 预测回归预测*d+1可被视为优于历史平均值*当ROS>0时，从均方预测误差（MSFE）的角度来看，d+1。Clark和West（2007）提出的调整后的MSFE统计数据用于表明ROS>0的统计意义，包括在Neely et al.（2014）、Phan et al.（2015）、Guo和Tao（2017）、Chen et al.（2017）等中。adjustedMSFE统计量的无效假设为ROS≤ 0，对应于历史平均基准的MSFE小于或等于预测回归预测的MSFE。我们的ou t-of-sample测试是在扩展窗口和移动窗口中进行的。详细程序如下所示。在每个窗口中估计预测回归（公式（11）），然后使用获得的参数生成该窗口后一天的样本外预测。通过扩展或滑动窗口重复这些步骤，直到到达采样周期结束。初始窗口包括前600个数据点，约2年的数据。结果列于表中。5.

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2022-6-10 04:56:06

面板A列出了SH180的样本外测试结果，只有α和 f的移动窗口和扩展窗口均为正，说明预测回归预测优于历史平均值，其余预测因子均小于0。根据调整后的MSFE统计数据，我们发现，对于α和 f在道琼斯指数上涨中分别达到0.1%和5%的显著水平α在扩展窗口中处于1%的显著水平。SZCI a的样本外测试结果再次报告在表的面板B中。5、可以看出，Roscorresponding与预测因子dBand相对应αB为负值，其他预测因子在移动窗口和扩展窗口中均为正值。然而，根据调整后的MSFE统计数据，如预测值，其中只有一半具有统计意义α, f f B移动窗口测试和预测 f在扩展窗口测试中。我们还发现，将更多的数据点纳入预测回归预测将降低预测者的预测能力，与移动窗口测试相比，松香扩展窗口测试的预测能力更低。样本外检验也揭示了多重分形特征α和 f是良好回报预测因子。结论本文应用MF-DFA对SH180指数和SZSE指数的高频cy数据进行多重分形特征检测。我们发现，这两个指数都表现出很强的多重分形。我们提出了三种基于多重分形谱的波动率测度(α, f和B）从五天大小的移动风ows中获得的收益。结果发现，两者之间存在正相关关系α与短期未来收益率s之间存在负相关关系 f和shor t-长期未来收益。

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2022-6-10 04:56:09

利用因子模型，观察了谱宽多重分形特征的回归可预测性α在样本内和样本外的le测试中，因此更大的光谱宽度会导致更高的超额回报。对这种预测能力的一种可能解释是，多重分形特征被视为市场波动性的衡量标准，并且可以与市场风险联系起来，回报的可预测性可以用风险溢价理论（Merton，1980；Frenc h et al.，1987）从经济学上解释。另一种可能的解释是，股票收益率不具有线性长记忆，而是具有非线性长记忆，多重分形能够捕捉这种非线性长记忆，它可能包含未来收益的信息。以下工作可以重点研究多重分形特征预测能力的经济意义，测试不同行业部门和地区多重分形特征的回报预测能力，以及设计基于多重分形特征的交易规则。致谢：这项工作得到了国家自然科学基金（71571 121）、上海哲学与社会科学基金项目（2017BJB006）和中央大学基金研究基金（22201718006）的部分支持。参考Bacry，E.、Delour，J.、Muzy，J.-F.，2001年。多重分形随机游走。物理。牧师。E 64，026103。Battern，J.A.，Kinateder，H.，Wagner，N.，2014年。汇率的多重分形和风险价值预测。Physica A 40171–81。Calvet，E.，Fisher，J.，2001年。预测多重分形波动率。J、计量经济学105，27–58。Calvet，L.，Fisher，A.，2002年。资产收益的多重分形：理论与证据。牧师。经济。Stat.84381–406。Calvet，L.E.，Fisher，A.J.，2004年。

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2022-6-10 04:56:12

如何预测长期波动性：制度转换和多重分形过程的估计。J、金融经济学。2, 49–83.坎贝尔，J.Y.，汤普森，S.B.，2008年。从样本中预测超额股票回报：有什么能超过历史平均水平吗？牧师。财务部。螺柱。21 (4), 15091531.Casassus，J.，Higuera，F.，2012年。短期回报可预测性和油价。数量。《金融学》第12（12）章，1909-1934年。Chen，F.，Diebold，F.X.，Schorfeide，F.，2013年。马尔可夫转换多重分形交易持续时间模型，并应用于美国股市。J、计量经济学177320–342。Chen，H-T.，Wu，C-F.，2011年。基于多重分形分析的沪深股市波动预测。Physica A 3902926–2935。Chen，J.，Jiang，F-W.，Liu，Y-S.，Tu，J.，2017年。国际波动风险与中国股票收益的可预测性。J、国际货币金融70183–203。Chen，W.，Wei，Y.，Lang，Q.-Q.，Lin，Y.，Liu，M.-J.，2014年。金融市场波动和传染效应：一种copulamultifractal波动方法。Physica A 398289–300。Chiang，I.-H.E.，Hughen，W.K.，2017年。石油期货价格能预测股票收益吗？J、银行。财务79129–141。Chronopoulos，D.K.，Papadimitro，F.I.，Vlastakis，N.，2018年。信息需求和股票回报的可预测性。J、国际货币金融80，59–74。庄，W.-I.，黄，T.-C.，林，B.-H.，2013年。使用马尔可夫转换多重分形模型预测波动性：来自标准普尔100指数和股票期权的证据。《北美经济与金融杂志》25168–187。Clark，T.E.，West，K.D.，2007年。嵌套模型中预测精度相等的近似正态检验。J、计量经济学138（1），291–311。Devpura，N.，Narayan，P.K.，Sharma，S.S.，2018年。股票回报的可预测性是时变的吗？J、内部财务。市场研究所货币52，152–172。Dewandaru，G.、Masih，R.、Bacha，O.I.、Masih，A.M.M.，2015年。

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2022-6-10 04:56:16

基于分形金融制定交易策略：MF DFAin在伊斯兰股票背景下的应用。Physica A 438223–235。Duchon，J.，Robert，R.，2012年。多重分形随机游走模型的波动率预测。数学财务22（1），83–108。French，R.F.，Schwert，G.W.，Stambaugh，R.F.，1987年。预期股票回报和波动性。J、金融经济学。19, 3–29.Grahovac，D.，Leonenko，N.N.，2014年。重尾效应下多重分形随机过程的检测。混沌、孤子和分形65、78–89。郭，L.，陶，Y.-B.，2017年。媒体网络和回报可预测性，https://ssrn.com/abstract=2927561.Halsey，T.C.、Jensen，M.H.、Kadanoff，L.P.、Procccia，I.、Shraiman，B.I.，1986年。分形测度及其奇异性：范围集的特征。物理。牧师。A 331141–1151。Herrera，R.、Rodriguez，A.、Pino，G.，2017年。建模和预测极端商品价格：基于马尔可夫转换的极端值模型。能量。经济。63, 129–143.蒋志强，周伟新，2008a。基于配分函数法的中国股票多重分形分析。Physica A 3874881–4888。蒋志强，周伟新，2008b。股票指数的多重分形：事实还是虚构？Physica A 3873605–3614。蒋志强，周文秀，2011年。多重分形减损移动平均互相关分析。物理。牧师。E 84，016106。Lawrenz，J.，Zorn，J.，2017年。利用条件价格与基本面比率预测国际股票回报。J、 Emp。财务43159–184。Lee，H-J.，Song，J-W.，Chang，W-J.，2016年。多重分形风险价值模型。Physica A 451113–122。Lin，Q.，2017年。技术分析和股票收益可预测性：分析方法。J、金融市场XX，XX–XX。Liu，L.，Wang，Y.-D.，Wan，J.-Q.，2010年。深圳股市有效性分析：多重分形来源的证据。内部版本。财务分析。

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2022-6-10 04:56:18

19, 237–241.Lux，T.，Kaizoji，T.，2007年。东京股市波动性和成交量预测：长记忆、分形和制度转换。J、经济。Dyn公司。控件311808–1843。Lux，T.，L.，M.-A.，Sattarhoff，C.，2014年。利用已实现波动率的多重分形模型预测股指收益率的日变化。J、预测。33, 532–541.Lux，T.，Segnon，M.，Gupta，R.，2016年。预测原油价格波动和风险价值：来自历史和近期数据的证据。能量。经济。56, 117–133.Mclean，R.D.，Pontiff，J.，2016年。学术研究是否破坏了股票收益的可预测性。J、财务LXXI（1），5–31。默顿，R.C.，1980年。关于估计市场预期收益：一项探索性调查。J、金融经济学。8, 323–361.Mun▄oz Diosdado，A.，R'o-Correa，J.L.D.，2006年。心跳时间序列多重分形谱不对称性的进一步研究。摘自：IEEE EMBS第28届年度国际会议纪要。IEEE，纽约，第1450-1453页。Muzy，J.-F.，Sornette，D.，Delour，J.，Arn\'eodo，A.，2001年。多重分形收益和层次投资组合理论。数量。财务部1311–148。Narayan，P.K.，Westerlund，J.，2014年。现金流能预测回报吗？内部版本。财务分析。35, 230–236.Nasr，A.B.，Lux，T.，Ajmi，A.N.，Gupta，R.，2016年。预测道琼斯伊斯兰股票市场指数的波动性：长期记忆vs.政权更迭。内部版本。经济。财务45559–571。Neely，C.J.，Rapach，D.E.，Tu，J.，Zhou，G.-F.，2014年。预测股票风险溢价：技术指标的作用。管理。Sci。60 (7),1772–1791.Newey，W.K.，West，K.D.，1987年。一个简单的、正的半定义、异方差和自相关一致的协方差矩阵。计量经济学55（3），703–708。Phan，D.H.B.，Sharma，S.S.，Narayan，P.K.，2015年。股票收益预测：一些新的证据。内部版本。财务分析。

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2022-6-10 04:56:22

40, 38–51.Segnon，M.，Lux，T.，Gupta，R.，2017年。二氧化碳排放许可价格波动性的建模和预测：现代波动性模型的回顾和比较。更新维持能量牧师。69, 692–704.Shimizu，Y.，Thurner，S.，Ehrenberger，K.，2002年。多重分形谱作为人体姿势复杂性的度量。分形10（1），103–116。Wang，Y-D.，Wu，C-F.，2013年。原油期货市场的效率：多重分形减损移动平均分析的新证据。计算机。经济。42, 393–414.Wang，Y-D.，Wu，C-F.，Li，Y.，2016年。预测原油市场波动：马尔可夫转换多重分形波动率方法。国际J.预测。32, 1–9.Wei，Y.，Chen，W.，Lin，Y.，2013年。衡量SSEC指数的每日风险价值：基于多重分形分析和极值理论的新方法。Physica A 3921632174。Wei，Y.，Wang，P.，2008年。利用多重分形分析预测中国股市SSEC的波动性。Physica A 3871585–1592。韦尔奇，I.，戈亚尔，A.，2008年。全面审视股票溢价预测的实证表现。牧师。财务部。螺柱。21 (4), 1455–1508.周，W.-X.，2007年。经济物理学指南（中文）。上海财经大学出版社，上海。周，W.-X.，2009年。财务回报中经验多重分形的组成部分。EPL（Europhys.Lett.）88, 28004.周，W.-X.，2012年。金融波动中的有限规模效应和多重分形成分。混沌、孤子和分形45147–155。Zikeˇs，F.，Barunik，J.，Shenai，N.，2017年。建模和预测持续财务持续时间。经济计量器。牧师。36 (10), 1081–1110.表1：累积收益率（Prm）和多重分形特征的基本信息(α, f和B）在SH180和SZCI的移动窗口中。

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2022-6-10 04:56:25

面板A报告了四个参数的平均值、中值、最大值（max）、最小值（min）、标准偏差（stdev）、偏度（skew）和峰度（kurt）。面板B列出了以下变量对之间的相关系数，rd（移动窗口后的每日回报），Prm，α, 移动窗口中的f和B。lag 1和5的自相关系数以及lag 30和50的Ljung-Box Q检验在Panel C中给出。

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2022-6-10 04:56:28

面板D和E.SH180 SZCIPrm中列出了增强Dickey-Fuller（ADF）单位根测试和ARCH测试α f BPrmα f B面板A：基本统计平均值-0.0025 0.1709 0.0431 0.0520 -0.0029 0.1533 0.0217 0.0308地中海-0.0024 0.1639 0.0408 0.0751 -0.0032 0.1479 0.0237 0.0460max 0.2380 0.5268 0.7315 7.3194 0.2620 0.6779 0.7756 7.1260min-0.1904 0.0046 -0.4040-4.6075-0.1703 0.0131 -0.4234-4.7179stdev 0.0408 0.0735 0.1083 0.4596 0.0440 0.0651 0.1002 0.4510倾斜0.2732 0.5311 0.2393 4.2459 0.3749 1.1539 0.4752 5.5109kurt 5.0878 3.2767 5.8974 114.6074 5.1531 8.2139 8.4411 117.4338面板B：相关性RD0.0013 0.0041 0.0093 0.0127 0.0084 0.0206（0.9437）（0.8223）（0.6079）（0.4862）（0.6439）（0.2568）Prm-0.0720 0.0443 0.0135 -0.0229 0.0641 0.0086(0.0001) (0.0148) (0.4581) (0.2068) (0.0004) (0.6361)α 0.0678 -0.0046 0.0492 -0.0221(0.0002) (0.7983) (0.0067) (0.2243) f 0.1424 0.1302（0.0000）（0.0000）面板C：自相关rho（1）0.7768 0.8310 0.6991 0.0664 0.7897 0.7806 0.6940 0.0908（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0003）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）rho（5）0.0230 0.5408 0.2674-0.0232 0.0508 0.3359 0.2580 0.0286（0.2054）（0.0000）（0.0000）（0.2014）（0.0051）（0.0000）（0.0000）（0.1156）Q（30）3613.8179 25486.8782 6554.7762 149.9445 3703.7547 11416.3511 6347.6620 209.2306（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）Q（50）3844.0405 37193.0242 8025.5737 216.6295 4018.3729 15567.3894 7442.4816 233.5369（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）面板D：单位根测试时间滞后5。8. 6. 1. 8. 7. 7.

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2022-6-10 04:56:31

0.ADF统计-15.5558-2.7288-10.8907-39.7719-16.0267-3.3889-11.0533-50.0434（0.0010）（0.0066）（0.0010）（0.0010）（0.0010）（0.0010）（0.0010）（0.0010）面板E：ARCH testsARCH（1）1177.5677 1291.7485 985.2632 119.4355 1302.2498 1821.5172 1262.2426 185.2461（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）ARCH（5）1187.2470 1308.7620 997.9737 143.0733 1308.9308 1851.4963 1323.5307 200.2927（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）拱（10）1189.5761 1334.9516 1007.7098 143.9011 1312.2320 1883.9523 1334.4502 290.5531（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）拱（15）1191.2654 1343.3768 1009.9590 145.2063 1326.4128 1887.0393 1339.9717 299.9928（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）（0.0000）.0000）（0.0000）（0.0000）表2：超额收益率r之间的格兰杰因果关系检验*以及多重分形特征，α、 df和B。x 9 y表示零假设，即x不会格兰杰导致y。请注意*,**, 和***分别表示5%、1%和0.1%的显著水平。索引r*9α α9 r*r*9 dfdf9 r*r*9 B B 9 r*SH180 4.5297*17.4169***0.1289 0.3947 6.0398*0.0970（0.0334）（0.0000）（0.7196）（0.5299）（0.0140）（0.7555）深交所1.1206 5.4089*0.5035 1.2445 7.9909**1.0561（0.2899）（0.0201）（0.4780）（0.2647）（0.0047）（0.3042）表3：预测超额指数收益率的样本测试*d+1日d+1具有多重分形特征Md-4： d从d天开始- 4至d天。对单变量预测回归模型进行分析：r*d+1=αr+βr，iMi，d-4： d+εd，其中M=α、 M= f、，M=B，M=α f，M=αB和M= f B.在每个面板中，我们列出了回归斜率系数β、回归截距α和调整后的Rstatistics。

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2022-6-10 04:56:34

请注意*,**, 和***分别表示5%、1%和0.1%的显著水平。Mi，d-4： dβr、1βr、2βr、3βr、4βr、5βr、6αrRPanel A：SH180的回归结果α 0.0261***-0.0259***0.0085(0.0000) (0.0000) f-0.0041-0.0213***0.0005（0.2374）（0.0000）分贝-0.0001-0.0215***0.0000(0.8997) (0.0000)α f-0.0020-0.0215***0.0000(0.8841) (0.0000)αB-0.0220-0.0215***0.0012(0.0552) (0.0000) f、B-0.0122-0.0216***0.0009（0.1063）（0.0000）面板B：深交所回归结果α 0.0169**-0.0240***0.0026(0.0048) (0.0000) f-0.0078*-0.0212***0.0013（0.0467）（0.0000）分贝-0.0008-0.0214***0.0003(0.3709) (0.0000)α f-0.0173-0.0213***0.0005(0.2235) (0.0000)αB-0.0180-0.0213***0.0006(0.1709) (0.0000) f、B-0.0007-0.0214***0.0000（0.9384）（0.0000）表4：多重分形特征与已实现波动率之间的预测能力比较。分析是在双变量预测回归模型上进行的：r*d+1=αr+βr，iMi，d-4： d+ψrvd-4： d+εd，其中M=α、 M= f，M=B，M=α f，M=αB，和m= f B.在每个面板中，我们列出回归斜率系数β和ψ、回归截距α和调整后的Rstatistics。

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2022-6-10 04:56:37

请注意*,**, 和***分别表示5%、1%和0.1%的显著水平。Mi，d-4： dψrβr，1βr，2βr，3βr，4βr，5βr，6αrRPanel A：SH180的回归结果α 0.1727 0.026 5*** -0.0262***0.0087（0.4046）（0.0000）（0.0000）df0.1183-0.0045-0.0214***0.0006（0.5744）（0.2065）（0.0000）B 0.0713-0.0001-0.0215*** 0.0000(0.7308) (0.8910) (0.0000)α * df00671 0.0011-0.0216*** 0.0000(0.7508) (0.9352) (0.0000)α * B 0.1031-0.0225-0.0214***0.0013（0.6197）（0.0511）（0.0000）df* B 0.0805 0.0122-0.0217***0.0009（0.6977）（0.1040）（0.0000）面板B：深交所回归结果α -0.0546 0.0168** -0.0239***0.0026（0.8315）（0.0051）（0.0000）df0.0050-0.0078-0.0212***0.0013（0.9849）（0.0511）（0.0000）B-0.0868-0.0008-0.0213 *** 0.0003(0.7355) (0.3822) (0.0000)α * df公司-0.0179-0.0171-0.0213*** 0.0005(0.9461) (0.2479) (0.0000)α * B-0.0513-0.0176-0.0213***0.0006（0.8430）（0.1843）（0.0000）df* B-0.0991 0.0006 -0.0213***0.0001（0.6993）（0.9486）（0.0000）表5：预测超额指数收益率的样本外测试*d+1日d+1具有多重分形特征Md-4： d从d天开始- 4到第二天。列出了ROSand调整后的MSFE统计数据。ROS根据第一列中给出的相对于历史平均基准预测的多重分形特征，测量预测回归预测的平均s方预测误差减少百分比。调整后的MSFEstatistic评估ROS>0的显著水平。

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