风险厌恶型投资者在市场冲击博弈中的纳什均衡

2022-6-10 06:33:47

具有瞬时价格冲击的市场冲击博弈中风险厌恶投资者的纳什均衡*亚历山大·希德**第一个版本：2018年7月10日此版本：2019年5月19日摘要我们考虑n个风险厌恶代理的市场影响博弈，这些代理在具有线性瞬时价格影响和额外交易成本的市场模型中竞争。在有限和有限的时间范围内，代理人的目标是最小化其成本的平均方差函数，或最大化其收入的预期指数效用。我们给出了相应纳什均衡的显式表示，并证明了均值-方差优化情况下的唯一性。通过数值分析对这些纳什均衡进行了定性分析。关键词：市场影响博弈、高频交易、纳什均衡、瞬时价格影响、市场影响、掠夺性交易1介绍在市场影响博弈中，金融代理人在市场框架中相互竞争，其中每笔交易都会产生价格影响。关于这一主题的早期论文，如Brunnermeier和Pedersen【6】、Carlin等人【7】、Schoneborn和Schied【24】，考虑了在alinear Almgren-Chris市场影响模型中活跃的风险中性因素。在这个相对简单的设置中，有趣的效果已经显现出来，例如代理的捕食或合作行为的转变。Almgren-Chriss框架中的风险规避扩展如[9，21]中所述。有关市场影响游戏文献的进一步发展，请参阅[8、16、10]。在本文中，我们考虑了在一个具有线性瞬时价格影响的离散时间模型中活跃的风险规避主体。对于单代理优化问题，Obizhaeva和Wang【17】引入了此类价格影响模型，并在后来进一步发展，例如【2，12】。

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nandehutu2022

2022-6-10 06:33:50

Schoneborn（23）首先考虑了两个风险中性代理的市场影响博弈，他观察到，如果交易速度足够快，均衡策略可能会在买入和卖出交易之间表现出强烈的波动。[20，22]进一步研究了这种情况，通过引入额外的二次交易成本，模型也得到了增强，二次交易成本的强度由一个数字θ参数化≥ 特别证明了存在一个显式给定的临界值θ*> 使平衡策略显示θ<θ的至少一些振荡*, 而θ的所有振荡都消失了≥ θ*.*统计研讨会，ETH Zurich，CH-8092 Zurich，瑞士。电子邮件：luox@student.ethz.ch**滑铁卢大学统计与精算科学系，滑铁卢，加拿大N2L3G1。电子邮件：aschied@uwaterloo.caThe作者衷心感谢加拿大自然科学和工程研究委员会通过RGPIN-2017-04054和USRA-515434-2017的资助。在[22]中，只考虑了两个相互竞争的风险中性代理。本论文的主要目的是将结果和观察结果从[22]扩展到更灵活的环境，在这种环境中，任意数量（但有限）的代理人在风险规避下优化其策略。更准确地说，代理人要么在确定性策略上最小化交易成本的均值-方差函数，要么在适应性策略上最大化其收入的预期CARA效用。我们证明了这两个问题都有一个相同的纳什均衡，它以显式形式给出，并且在均值方差优化的情况下是唯一的。更准确地说，均衡策略是两种极端基本策略v和w的线性组合。第一种策略v是所有玩家的标准化共同策略，前提是每个玩家的初始位置相同。

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2022-6-10 06:33:53

第二个是w，如果所有参与者的初始位置加起来为零，则为所有参与者的标准化公共策略。然后，我们对均衡策略进行数值分析，以数值方式确定交易成本的临界阈值，在该阈值以上，所有波动都会停止。与[22]中研究的风险中性两人案例相比，我们现在观察到v和w的两个不同阈值。此外，v的阈值将不取决于风险规避，而是取决于参与者的数量。相比之下，w的阈值将不取决于参与者的数量，而是取决于风险规避。如果代理人表现出严格的积极风险规避，则可以在有限的时间范围内研究市场影响博弈。当一个人不想强加一个外部固定的时间范围，而是旨在对交易范围进行内在推导时，这个问题很有趣。我们证明，在θ等于临界值θ的情况下，这样的无限期市场冲击博弈允许纳什均衡*, 这是在有限的时间范围内通过数值确定的。如果θ6=θ*, 纳什均衡可能不存在。这种推测的不存在是承认许多等级的理想化的结果，在连续时间模型的背景下，这种理想化也被证明并非如人们最初所希望的那样是无辜的。具体而言，文献[20]表明，在两个风险中性主体的情况下，只有当θ=θ时，才能存在非平凡的纳什均衡*. 这一负面结果促使Strehle【25】在成本函数中加入了对连续时间策略导数的额外惩罚。这个附加项规范化了可接受的策略，使纳什均衡普遍存在。本文的组织结构如下。在第2.1节中，我们介绍了设置并陈述了有限时间范围内的所有结果。

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nandehutu2022

2022-6-10 06:33:56

第2.2节包含我们对有限时间范围内的市场影响博弈的讨论。所有证明均在第3.2节主要结果2.1有限时间范围内给出。我们考虑了离散时间市场影响模型的n-agent扩展，该模型具有线性瞬态价格影响，例如在[1、2、17、22、23]中进行了研究。该模型有时也称为离散时间线性传播子模型，我们参考[13]了解讨论和进一步背景。假设n个金融代理人活跃于一项风险资产的市场影响模型中。市场影响文献中通常假设，未受影响的价格过程S=（St）t≥0将是过滤概率空间上的平方可积右连续鞅(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）。一个重要的特例是形式st=S+σBt，t的Bachelier模型≥ 0，（1）对于常数S，σ>0和标准布朗运动B。所有代理的交易次数均为0≤ 代理人i的交易策略将是一个向量ξi=（ξi，0，…，ξi，N）>，其中ξi，kre表示在tk时出售的股份数量。也就是说，ξi，k>0表示卖出订单，ξi，k<0表示买入订单。所有策略的矩阵用Ξ=[ξ，…，ξn]表示。当所有代理应用其策略时，资产价格由SΞt=St给出-Xtk<thG（t- tk）nXi=1ξi，ki，（2）其中G:R+→ R+称为衰变核。数量G（t-tk）描述了在tk时间进行的单位交易的时间-时间价格影响≤ t、当代理j在时间tk首次下订单ξj，k>0时，资产价格从SΞtkt线性移动到SΞtk+：=SΞtk- G（0）ξj，k。因此，代理人j的清算成本为：-（SΞtk++SΞtk）ξj，k=G（0）ξj，k- SΞtkξj，k。假设在代理j之后，另一个代理i放置一个命令ξi，k>0。

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可人4

2022-6-10 06:33:59

代理人i的清算费用如下：-（SΞtk++SΞtk+- G（0）ξi，k）ξi，k=G（0）ξi，k- SΞtkξi，k+G（0）ξj，kξi，k，（3）其中G（0）ξj，kξi，kis是由于执行时间延迟而产生的额外成本项。平均而言，百分之五十的时间，代理j的订单将在代理i的订单之前执行。因此，代理i在时间tkw的延迟成本的形式为（0）Xj6=iξi，kξj，k。除了上述执行成本外，我们还按照[20，22]假设二次交易成本θξi，kwithθ≥ 我们的目标之一是分析这些交易成本对最优策略的定性影响。此类二次交易成本通常用于模拟因交易（见[3，5]和[12，第2.2节]）或交易税（见[20，22]）产生的各种成本而产生的“滑移”。正如Strehle【25，第5页】所讨论的，这些交易成本不应被理解为临时价格影响造成的，因为价格影响产生的所有成本已经包含在（3）中。此外，我们可以如[22]的命题2.6所述，认为我们的二次交易成本函数可以被原点附近的比例交易成本所取代，而不会影响我们将要推导的纳什均衡。由于二次交易成本和比例交易成本的主要区别在于它们在原点的行为，因此很有可能在以下章节中获得的二次交易成本的类似结果也适用于比例交易成本。因此，前面的讨论激发了以下定义。定义2.1。给定时间网格T={T，T，…，tN}，策略ξi分配者策略ξjj j=i的执行成本定义为T（ξi |ξ-i） =NXk=0hG（0）ξi，k- SΞtkξi，k+G（0）Xj6=iξi，kξj，k+θξi，ki，（4）其中ξ-i=[ξ，…，ξi-1，ξi+1。

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mingdashike22

2022-6-10 06:34:02

，ξn]。在续集中，我们将假设代理i的初始位置为Xi∈ R股，并被限制在交易日结束前持有零终端头寸。通常假设[17，22]，代理可以最小化以下策略类别的预期成本，X（Xi，T）=nξ=（ξ，…ξn）ξiis Fti可测且有界，且nxi=0ξi=Xio。然而，在实践中，也很流行纳入代理人的风险规避，并优化交易成本的以下均值-方差函数MVγ（ξi |ξ-i） =E[CT（ξi |ξ-i） ]+γVar[CT（ξi |ξ-i）】。（5）这里，γ≥ 0是风险规避参数。对于γ>0，如果策略是确定性的，则平均方差函数（5）通常仅在时间上一致；参见，例如，【3，15】。因此，它的最小化通常局限于X（Xi，T）中的确定性策略类，我们用xdet（Xi，T）=nξ表示∈ X（Xi，T）ξ是确定性的o=nξ∈ R | T|>ξ=Xio，对于1=（1，…，1）>∈ RN+1。将收入的预期效用最大化也是有意义的，这只不过是负成本。这里，我们将使用以下效用泛函，Uγ（ξi |ξ-i）：=E[uγ(-CT（ξi |ξ-i））]，其中uγ（x）是以下指数或CARA效用函数，uγ（x）=（γ（1- e-γx）如果γ>0，-如果γ=0，则为x。由于预期效用函数的时间一致性，我们可以从类X（Xi，T）考虑其最大化整体适应策略。此外，例如，在[7、20、21、22、25]中，我们假设每个代理都有关于其他代理使用的策略的完整信息。定义2.2。假设有n个代理具有初始库存X，Xn公司∈ R和风险规避参数γ≥ 0，T：={T，T，…，tN}是一个固定的时间网格。（a）均值-方差优化的纳什均衡是一组策略（ξ*, . . .

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可人4

2022-6-10 06:34:05

, ξ*n）∈Xdet（X，T）×···×Xdet（Xn，T），使得每个ξ*最小化平均方差函数MVγ（ξ|ξ*-i） ξ以上∈ Xdet（Xi，T）。（b）卡拉效用最大化的纳什均衡是一组策略（ξ*, . . . , ξ*n）∈X（X，T）×····×X（Xn，T），使得每个ξ*最大化CARA效用函数Uγ（ξ|ξ*-i） ξ以上∈ X（Xi，T）。在上述定义中，我们假设所有代理人共享相同的风险规避参数γ≥ 代理人具有不同风险规避参数的情况是当前模型的直接但间接的扩展。这将大大复杂化符号，但不会提供重要的额外见解。因此，我们将只考虑相同风险规避参数的情况。现在让ν（t）：=t的Var（St）≥ 我们定义θ、γ≥ 0，Γγ，θij=G（| ti- tj |）+γД（ti∧ tj）+2θδij，i，j=0，1，N、（6）其中δij是Kronecker三角洲。然后我们定义=如果i<j，则为0，如果i=j，则为0，如果i>j，则为0。（7）注意，如果i=j，则为0，则为0。我们进一步定义了nev=>[γ，θ+（n- 1） eΓ]-1[Γγ，θ+（n- 1） eΓ]-11，（8）w=>[Γγ，θ-eΓ]-1[Γγ,θ-eΓ]-11.（9）回想一下函数g:R→ R被称为严格正定义（在Bochner的意义上），如果为alln∈ N和s，序号∈ R、矩阵（g（si- sj））i，j=1，。。。，nis正定义。假设2.3。因此，我们假设函数R 3 x 7→ G（| x |）是严格的正定义。根据P'olya【18】，只要G是凸的、非递增的和非恒定的，就可以满足假设2.3（参见Young【26】的早期论点）。这意味着矩阵Γ0,0对于所有时间网格T都是正的。正如在[2]中观察到的，假设2.3也排除了Huberman和Stanzl意义上的价格操纵策略的存在。现在我们可以陈述我们的第一个结果，即纳什均衡的存在性和唯一性。

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2022-6-10 06:34:08

它扩展了[22]中的定理2.5，其中处理了n=2和γ=0的情况。定理2.4。假设假设2.3成立。然后，对于任何时间网格T，参数θ，γ≥ 0，初始库存X，Xn公司∈ R、和'X=nPnj=1Xj，策略ξ*i=(R)Xv+（Xi-(R)X）w，i=1，n、（10）形成均值-方差优化的唯一纳什均衡。此外，如果Sis是形式（1）的Bachelier模型，那么策略（10）也会形成CARA效用最大化的纳什均衡。备注2.5。注意，均值方差优化的纳什均衡是唯一的，但我们不知道卡拉效用最大化的纳什均衡是否也是唯一的。这与卡拉效用最大化所采用的更大类别的适应策略有关。然而，从定理2.4的第一部分可以很容易地看出，当Sis是一个Bachelier模型且所有代理都被限制使用确定性策略时，策略（10）形成了CARA效用最大化的唯一纳什均衡。从定理2.4可以看出，在以下两种特殊情况下，纳什均衡具有特别简单的结构：o如果X=···=Xn，则ξ*i=Xv表示i=1，n、 o如果X+···+Xn=0，则ξ*i=Xiw表示i=1，n、 [2]的推论1表明，对于凸的和非递增的G和凸的Д，单代理策略（n=1）总是只买或只卖。另一方面，Schoneborn（23）观察到，对于G（t）=e-t、 n=2，γ=0，θ=0均衡策略在买卖订单之间振荡。因此，这些振荡是两个代理之间相互作用的真实影响。[20、22、23]中解释了这种影响，因为需要防止竞争对手的掠夺性交易。这些波动也类似于2010年5月10日金融危机期间高频交易者之间的“烫手山芋”游戏（见[11，p。

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2022-6-10 06:34:11

2]). 在[22]中，分析了n=2和γ=0时θ对平衡策略振荡的影响。发现存在一个临界水平θ*使得平衡策略至少显示θ<θ的一些振荡*,而θ的所有振荡都消失了≥ θ*. 在[22]中，临界水平θ*被确定为asG（0）。这里，我们的目标是从数值上分析代理人数量n及其风险规避水平γ对θ值的影响*.假设2.6。在数值分析中，我们做出以下假设。（i） T=1，时间网格等距：TN：=kN | k=0，1，N对于N∈ N、（ii）G的形式为G（t）=e-t、（iii）Sis是σ=1的形式（10）的学士模型。在图1中，我们观察到增加风险规避γ并不能阻止向量V中的振荡。相反，增加γ实际上会加剧早期交易期间的波动。然而，增加交易成本水平θ将明显减小波动的大小。因此，对于fixedn、N和γ，我们可以寻找minivi变为非负的水平θv=θv（N、N、γ）。图2表明，至少对于足够大的N，该水平完全独立于风险规避参数γ，我们发现这一观察结果非常令人惊讶。在图3中，我们提供了函数（N，γ）7的数值曲面图→ θv（n，n，γ），n=2，n=5。结合作者进行的其他模拟，图3和图2表明，对于每一个n，都有一个临界水平，在该水平上v的所有振荡都停止，由θ给出*v（n）=supN，γθv（n，n，γ）=n- 1.

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2022-6-10 06:34:14

（11）对于n=1和n=2，该猜想与[2]和[22]中分别获得的理论结果一致。图1：对于n=2、n=100和θ=0，向量v的γ=0（左）、γ=1（中）和γ=3（右）。图2：θv（n，n，γ）的曲面图（左）和水平曲线（右）与玩家数量n和风险规避参数γ（n=500）有关。图3:n=2（左）和n=5（右）的θv（n，n，γ）相对于n和风险厌恶参数γ的曲面图。现在我们转向向量w。第一个观察结果是，w与代理的数量n无关。因此，振荡停止的临界水平θwat仅是N和γ的函数。对于γ=0，w必须与[20，22]中研究的值相同，并且从[22]的定理2.7可以看出，这种情况下的关键交易成本水平为。此外，从图4和图5可以看出，与v相比，向量w的振荡通过改变风险规避γ而受到影响。更准确地说，增加γ确实会减少w的振荡。因此，我们推测θ*w=supN，γθw（N，γ）=。（12）这一猜想也得到了图6的支持，并与[22]的定理2.7相一致。备注2.7。为简单起见，我们在假设G的形式为G（t）=e的情况下进行了上述模拟-t、我们可以假设G（t）=e-ρt对于某些ρ>0，验证上述数值结果仍然有效。请注意，对于较大的ρ，需要一个足够大的N才能将θ收敛到临界值。此外，我们还将模拟扩展到p＞0的G（t）=1/（1+t）pw形式的幂律衰变核。向量v和w的行为以及θ的临界值再次与上述分析一致。因此，省略了相应的绘图。备注2.8。

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nandehutu2022

2022-6-10 06:34:17

如上所述，对于两个风险中性代理的特殊情况，在[22]中证明了猜想（11）和（12）。在这种特殊情况下，（11）的证明已经相当复杂。部分原因在于Γ0,0是一个Kac–Murdock–Szeg"o矩阵，其逆矩阵是明确已知的。然而，对于γ>0，Γγ，θ的倒数未知，因此[22]中的证明方法。在[22]的特例中，（12）的证明依赖于Γ0，θ这一事实-eΓ是上三角Toeplitz矩阵。这样一个矩阵的逆可以通过由系数Γ0，θ形成的幂级数倒数的系数来计算-eΓ。然后在[22]中应用著名的Kalusza符号准则来描述倒数幂级数的所有系数均为非负的情况。然而，对于γ>0，Γ0，θ-eΓ不再是上三角Toeplitz矩阵，因此[22]的证明不能推广到我们目前的情况。图4：当N=100，θ=0时，γ=1（左）、γ=3（中）和γ=10（右）的向量w。图5：矢量w中负分量之和的大小作为γ与θ的函数∈N=100时{0，0.005，0.01，0.1}。图6：θw（N，γ）相对于N和风险规避参数γ的曲面图。有趣的是，对于γ=0和θ=，向量w的结构特别简单。这在以下理论结果中有所说明。提案2.9。假设2.6（i）、（iii）和G（t）=e-ρtwithρ>0，对于θ=和γ=0，w=···=wN-1=1 - e-ρ/NN（1- e-ρ/N）+1和wN=N（1- e-ρ/N）+1.2.2有限时间范围对于非消失风险规避γ>0，也可以在有限时间范围内研究我们的问题。直观的原因是，任何厌恶风险的投资者都会自动尝试清算价格过程为鞅的资产中持有的任何头寸。假设2.10。

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能者818

2022-6-10 06:34:20

在第2.2节中，我们做出以下假设。（i）时间网格为N={0，1，…}。（ii）G的形式为G（t）=e-ρt对于某些ρ>0。（iii）Sis形式的学士模型（10）。在假设2.10（i）下，代理人i的策略为初始位置Xi∈ R将用序列ξ=（ξ，ξ，…）表示满足以下条件的随机变量：o每个ξiis Fi可测量；o随机变量ξ取绝对可和实数序列空间中的值；o随机变量ξ在Banach空间中有界`∞有界序列；o我们有∞k=0ξk（ω）=xi对于每个ω∈ Ohm.所有这些策略的集合将用X（Xi，N）表示。同样，X（Xi，N）中所有确定性策略的类别将由Xdet（Xi，N）表示。自` `, 很明显，（4）可以扩展为策略ξi∈ X（Xi，N），i=1，n、 CN（ξi |ξ-（一）=∞Xk=0hG（0）ξi，k- SΞtkξi，k+G（0）ξi，kXj6=iξj，k+θξi，ki。同样，每个代理的目标是最小化以下平均方差函数MVγ（ξi |ξ-i） =E[CN（ξi |ξ-i） ]+γVar[CN（ξi |ξ-i） ]，ξi∈ Xdet（Xi，N），或最大化CARA效用函数uγ（ξi |ξ-i） =E[uγ(-CN（ξi |ξ-i））]，ξi∈ X（Xi，N）。均值方差优化和CARA效用最大化的纳什均衡概念可以用与定义2.2完全相同的方式定义。然而，目前尚不清楚v和w的公式（8）和（9）是否也可以扩展到有限的时间范围，因为向量1是否属于线性算子γ，θ+（n- 1） eΓ和Γγ，θ-eΓ。以下结果表明，在特定情况下，存在一个无限期纳什均衡。定理2.11。除假设2.10外，假设γ>0且θ=θ*:=n- 1.

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2022-6-10 06:34:23

（13）那么这两个方程存在唯一的正解α和βs0=e（α+ρ）- 1.-ne（α-ρ)- 1.-γσe-α(1 - e-α），（14）0=2θ++e（β+ρ）- 1.-γσe-β(1 - e-β). （15）此外，α∈ (0, ρ). 对于这些，我们定义了v∈ `通过HV=eα- 1eα- eα-ρ和，对于i=1，2，vi=e-αieα-1+1-eα-ρ和w∈ `通过WI=（1- e-β） e类-βi.然后，对于任何初始位置X，Xn，策略ξ*i=(R)Xv+（Xi-(R)X）w，i=1，n、（16）在Xdet（X，n）×····×Xdet（Xn，n）中形成均值方差优化的纳什均衡，在X（X，n）×····×X（Xn，n）中形成CARA效用最大化的阿纳什均衡。在前面的定理中，我们假设θ=θ*. 在一般情况下，定理2.11的证明会立即得出以下结果。提案2.12。除假设2.10外，假设γ>0.1。如果X+···+Xn=0，则公式ξ*i=Xiw，对于定理2.11中的w，为θ的每个选择提供了一个纳什均衡≥ 0.2. 如果X=···=Xn，则不存在策略在时间上呈指数衰减的纳什均衡，除非条件θ=θ*:=n-1令人满意。事实上，我们推测，在命题2.12（b）的情况下，除非θ=θ，否则不存在纳什均衡*持有。这种情况与[20]中定理4.5的情况非常相似，其中分析了n=2和γ=0的连续时间版本的游戏。结果表明，只有当θ=θ时，才能存在连续时间纳什均衡*或X=X=0。在这两种情况下，纳什均衡不存在的潜在直觉来自于经常交易的可能性，无论是在连续时间内还是在有限的时间范围内。

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2022-6-10 06:34:26

这表明，理想化地接纳大量交易并不像看上去那样无害，例如，在自由贸易协定的背景下也有这样的观察。（14）和（15）各自溶液α和β的定性行为如图7和图8所示。在n=1的情况下，我们得到以下显式结果。提案2.13。如果n=1，则（14）的解α由α=cosh给出-1hγσcosh（ρ）+2 sinh（ρ）γσ+2 sinh（ρ）i.（17）图7：（14）的解α作为γ（左）和ρ（右）的函数，不同的值为n，θ=n-1，并且相应的其余参数设置为1。图8：（15）的解β是θ（左）、ρ（中）和γ（右）的函数，相应的参数设置为1.3 ProofsLemma 3.1。一个可容许策略ξi∈ Xdet（Xi，T）给出了所有竞争对手的策略ξj∈j 6=i的Xdet（Xj，T）具有以下平均方差函数：MVγ（ξi |ξ-i） =-XiS+ξ>iΓγ，θξi+ξ>ieΓXj6=iξj.（18）证明。

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mingdashike22

2022-6-10 06:34:29

由于所有策略都是确定性的，E[CT（ξi |ξ-i） ]=NXk=0hG（0）ξi，k- E[SΞtkξi，k]+G（0）Xj6=iξi，kξj，k+θξi，ki。由于是鞅，NXk=0E[SΞtkξi，k]=NXk=0ξi，kE[Stk]-NXk=0ξi，kk-1Xm=0G（tk- tm）nXj=1ξj，m= XiS公司-NXk=0ξi，kk-1Xm=0ξi，mG（tk- tm）-NXk=0ξi，kk-1Xm=0G（tk- tm）Xj6=iξj，m。此外，使用矩阵表示法，G（0）+2θNXk=0ξi，k+NXk=0ξi，kk-1Xm=0ξi，mG（tk- tm）=h2θNXk=0ξi，k+NXk，m=0ξi，kξi，mG（| tk- tm |）i=ξ>iΓ0，θξi，and nxk=0ξi，khG（0）Xj6=iξj，k+k-1Xm=0G（tk- tm）Xj6=iξj，mξj，mi=ξ>ieΓXj6=iξj。再次利用ξi的确定性和S，Var[CT（ξi |ξ）的鞅性质-i） ]=VarhNXk=0SΞtkξi，ki=VarhNXk=0Stkξi，ki=NXp，q=0ξpξqCov（Stp，Stq）=NXp，q=0ξpξqД（tp∧ tq）。通过将上述结果代入（5），我们得到了所需的公式：MVγ（ξi |ξ-i） =E[CT（ξi |ξ-i） ]+γVar[CT（ξi |ξ-i） ]=-XiS+ξ>iΓ0，θξi+ξ>ieΓXj6=iξj+γNXp，q=0ξpξqν（tp∧ tq）=-XiS+ξ>iΓγ，θξi+ξ>ieΓXj6=iξj。如果x>Ax>0表示所有非零x，我们将使用这样的约定，即n×n矩阵A为正∈ Rn，如果A不一定是对称的，这也是有意义的。很明显，对于正矩阵a，它不是非零x∈ Rn，其中Ax=0，因此A是可逆的。引理3.2。对于所有γ，θ≥ 0和n≥ 1，矩阵Γγ，θ，eΓ，Γγ，θ-eΓ和γ，θ+（n-1） eΓ为正值。证据根据[22]中的引理3.2，矩阵Γ，Γ0，θ，eΓ和Γ0，θ-eΓ为正值。自C开始：=（Д（ti∧tj）i，j=1，。。。，Nis随机变量的协方差矩阵，St。StN，它是非负定义。由此得出，Γγ，θ=Γ0，θ+γC和Γγ，θ-eΓ=（Γ0，θ-eΓ）+γC也是正的。因此，Γγ，θ+（n- 1） eΓ也是积极的。引理3.3。对于给定的时间网格T和初始值X，Xn公司∈ R、均值-方差优化至多存在一个纳什均衡。证据这个证明类似于[22]中的引理3.3或[21]中的引理4，因此省略了。现在我们准备证明定理2.4。定理2.4的证明。

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2022-6-10 06:34:32

根据定义2.2和引理3.1，我们有以下线性二次优化问题：对于所有i=1，n、 MVγ（ξ*i |ξ*-i） =-XiS+minξi∈Xdet（Xi，T）ξ> iΓγ，θξi+ξ>ieΓXj6=iξj.约束ξi∈ Xdet（Xi，T）可以重写为线性等式约束1>ξi=Xi。为了解决这个问题，我们使用拉格朗日乘子定理[4，pp.276-283]来获得αi∈ Rfor i=1，n以使最优策略满足以下必要条件：Γγ,θξ*i+eΓPj6=iξ*j=αi1，>ξ*i=Xi。（19）我们将在下文中说明，这些方程也适用于我们的优化问题。在（19）的第一行中求和i，得到[γ，θ+（n- 1） eΓ]nXj=1ξ*j=nXj=1αj1。引理3.2，Γ，θ+（n- 1） eΓ是可逆矩阵。因此，nXj=1ξ*j=nXj=1αj[γ，θ+（n- 1） eΓ]-1=>Pnj=1αj[γ，θ+（n- 1） eΓ]-1> γ，θ+（n- 1） eΓ]-1[Γγ，θ+（n- 1） eΓ]-1=nXj=1>ξ*j> γ，θ+（n- 1） eΓ]-1[Γγ，θ+（n- 1） eΓ]-1=nXj=1Xjv，（20），其中我们在最后一步中使用了（19）中的第二个条件。现在考虑（19）中的第一个条件。选取ITH方程，乘以（n- 1），然后减去另一个（n- 1）方程式。我们得到Γ，θh（n- 1)ξ*我-Xj6=iξ*冀-eΓh（n- 1)ξ*我-Xj6=iξ*ji=h（n- 1） αi-Xj6=iαji1。进一步的简化表明（γ，θ-eΓ）hnξ*我-nXj=1ξ*ji=hnαi-nXj=1αji1。矩阵Γγ，θ-通过引理3.2，eΓ是可逆的。If后接nξ*我-nXj=1ξ*j=hnXi-nXj=1Xjiw。（21）使用（20）和（21）现在得到ξ*i=(R)Xv+（Xi-\'\'X）wwhere\'\'X=nPnj=1Xj。现在，我们证明方程（19）对于最小化平均方差函数是有效的。为此，我们将目标均值-方差泛函改写为：ξ>iΓγ，θξi+ξ>ieΓXj6=iξ*j=ξ>iΓγ，θξi+g>iξi，其中gi=eΓPj6=iξ*j、接下来，对于i=1，n、我们考虑任意ηi∈ Xdet（Xi，T）。

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2022-6-10 06:34:35

然后，通过（19），η>iΓγ，θηi+g>iηi-hξ*i> Γγ，θξ*i+g>iξ*ii=（ηi+ξ）*i） >Γγ，θ（ηi- ξ*i） +g>i（ηi- ξ*i） =h（Γ，θ）>（ηi+ξ）*i） +gii>（ηi- ξ*i） =h（Γ，θξ）*i+gi）+（Γγ，θ）>（ηi- ξ*i） i>（ηi- ξ*i） =hαi1+（Γγ，θ）>（ηi- ξ*i） i>（ηi- ξ*i） =αi>（ηi- ξ*i） +（ηi- ξ*i） >Γγ，θ（ηi- ξ*（一）≥ 0，（22）当且仅当ηi=ξ时相等*i、总之，我们得出（10）定义了唯一的纳什均衡Xdet（X，T）×····×Xdet（Xn，T）。现在我们转向卡拉效用最大化。我们首先注意到成本函数CT（ξi |ξ-i）如果Sis是Bachelier模型，则为isa高斯随机变量，并给出了策略ξ。ξ具有确定性。因此，对于γ>0，Uγ（ξi |ξ-i） =γ1.- 经验值γE[CT（ξi |ξ-i） ]+γVar[CT（ξi |ξ-i） ]= uγ- MVγ（ξi |ξ-（一）.对于γ=0，我们显然有u（ξi |ξ-i） =-E[CT（ξi |ξ-i） ]=-MV（ξi |ξ-i）。因此，当在确定性策略类上执行时，均值-方差优化和CARA效用最大化是等价的。接下来，假设策略ξ-我是确定性的。然后，如[19]的定理2.1所示，函数Uγ（ξ|ξ）的最大化子-i）所有适应策略ξ类∈ X（Xi，T）是确定性的。即Uγ（ξ|ξ）的最大值-i） X（Xi，T）上的最大值等于Xdet（Xi，T）上的最大值。因此，正如【21】推论2.1的证明所示，策略（10）形成了卡拉效用最大化的纳什均衡。命题2.9的证明。让我们用ωi=1定义一个向量ω，对于i=0，N-1和ωN=1/（1-e-ρ/N）。那么断言将遵循if（Γ0，θ-eΓ）ω=c1（23），c=1-e-ρN。

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2022-6-10 06:34:38

为此，我们注意到，δij表示Kronecker三角洲，(Γ0,θ-eΓ）ω我=（eΓ>+2θId）ωi=（eΓ>ω）i+（2θIdω）i=G（0）ωi+N-1Xj=i+1GjN公司-在里面ωj+G1.-在里面ωN+2θNXj=0δijωj=+ 2θωi+N-1Xj=i+1GjN公司-在里面ωj+G1.-在里面ωN。由于θ=，我们有(Γ0,θ-eΓ）ωi=N-1Xj=iGjN公司-在里面ωj+G1.-在里面ωN=eρiNN-1Xj=ie-ρjN+e-ρ(1-iN）1- e-ρ/N=1- e-ρ/N。这证明了（23），从而证明了断言。现在我们准备证明定理2.11。引理3.4。对于γ，σ，ρ>0，以下方程具有唯一的正解α，e（α+ρ）- 1.-ne（α-ρ)- 1.-γσe-α(1 - e-α)= 0. （24）此外，α∈ (0, ρ).证据通过重新排列方程（24），我们得到0=-（eρ- e-ρ） +（n- 1）（e）-α- eρ）（eα+e-α) - （eρ+e-ρ)+γσ2 - （eα+e-α)=γσ2 - 2 cosh（α）+-2正弦（ρ）+（n- 1）（cosh（α）- sinh（α）- （cosh（ρ）+sinh（ρ）））2 cosh（α）- 2 cosh（ρ）=γσ2- 2 cosh（α）-sinh（ρ）cosh（α）- cosh（ρ）+n- 1.h1-sinh（α）+sinh（ρ）cosh（α）- cosh（ρ）i=：f（α）（25），当α>ρ>0时，则f（α）<0。因此，如果f的零存在，它必须在（0，ρ）之内。很容易就能看到thatlimα↓0f（α）=-∞ 和limα↑ρf（α）=+∞.因此，f在（0，ρ）中至少允许一个零。此外，df（α）dα=2γσsinh（α）（2- 2 cosh（α））+sinh（α）sinh（ρ）（cosh（α）- cosh（ρ））+n- 1.hsinh（α）（sinh（α）+sinh（ρ））（cosh（α）- cosh（ρ））-cosh（α）cosh（α）- cosh（ρ）i>0，因此零必须是唯一的。引理3.5。假设γ，σ，ρ>0和θ≥ 那么下面的方程有唯一的正解β，2θ++e（β+ρ）- 1.-γσe-β(1 - e-β)= 0. （26）证明。Letg（β）=2θ++e（β+ρ）- 1.-γσe-β(1 - e-β).很明显，limβ↓0g（β）=-∞ 和limβ↑∞g（β）=2θ+>0。（27）因此，（0，∞).

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2022-6-10 06:34:41

接下来，我们看dg（β）dβ=-e（β+ρ）（e（β+ρ）- 1） +γσe-β(1 - e-β） +2γσe-2β(1 - e-β） =γσe（β+ρ）（e（β+ρ）- 1)-2.（e（β+ρ）- 1）（e）-β+1）e（2β+ρ）（1- e-β)-γσ.注意dg（β）dβ>0 if（e（β+ρ）- 1）（e）-β+1）e（2β+ρ）（1- e-β)-γσ> 0.这里，（e（β+ρ）-1）（e）-β+1）e（2β+ρ）（1-e-β）严格递减，并以eρ为界，因为对于所有β>0，ddβ（e（β+ρ）- 1）（e）-β+1）e（2β+ρ）（1- e-β)= -2e（β-ρ）（e（β+ρ）- 1）（2e（β+ρ）- eβ+eρ- 2）（eβ- 1） <0，因为根据L\'H^opital规则，limβ↑∞（e（β+ρ）- 1）（e）-β+1）e（2β+ρ）（1- e-β)= limβ↑∞（e（β+ρ）- 1） e（2β+ρ）=limβ↑∞2e（β+ρ）（e（β+ρ）- 1） 2e（2β+ρ）=limβ↑∞eρ- e-β=eρ。因此，我们有两种情况需要考虑：1。当γσ≥ e-ρ、对于所有的β>0，我们得到dg（β）dβ>0。因此，存在唯一的β>0，使得g（β）=0；2、当0<γσ<e时-ρ、我们总能找到唯一的β*当β<β时，dg（β）dβ>0*β>β时，dg（β）dβ<0*. 换句话说，（β*, g（β*)) 是g（β）在（0，∞). 现在假设g（β*) ≤ 我们知道g（β）在（β）上严格递减*, ∞), 那么对于所有β∈ (β*, ∞),g（β）<g（β*) ≤ 0，这与（27）相矛盾。因此，g（β*) > 0和0<2θ+<g（β）<g（β*)对于所有β∈ (β*, ∞), 这意味着（β）中不存在零*, ∞). 因为g（β）在（0，β）上严格递增*), 因此，存在唯一的β∈ (0, β*) 使得g（β）=0。在任何一种情况下，都存在一个唯一的正解β，它可以解（26）。定理2.11的证明。让我们首先通过设置Γγ，θij=e，将矩阵（6）和（7）扩展到我们的有限时间范围-ρ| i-j |+γσ（i∧ j） +2θδij，i，j=0，1，安第斯=如果i<j，则为0，如果i=j，则为0，如果i>j，则为0。接下来，让α由引理3.4提供，并定义向量ν∈ `通过ν=1- e（α-ρ），并且，对于i=1，2，νi=e-αi。我们现在将显示[γ，θ+（n- 1）对于c=γσe，eΓ]ν=c1-α(1 - e-α） >0，（28），其中1∈ `∞是序列（1，1，…）。

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mingdashike22

2022-6-10 06:34:44

使用我们的假设θ=θ*=n-1，我们明白了γ，θ+（n- 1） eΓ]νi=Γγ，0i0ν+∞Xj=1Γγ，0ijνj+[2θδi0+（n- 1） eΓi0]ν+∞Xj=1[2θδij+（n- 1） eΓij]νj=e-ρiν+∞Xj=1[e-ρ| i-j |+γσ（i∧ j） ]e-αj+（n- 1） e类-ρiν+（n- 1） iXj=1e-ρ（i-j） e类-αj=ne-ρiν+∞Xj=1[e-ρ| i-j |+γσ（i∧ j） ]e-αj+（n- 1） e类-ρiiXj=1e-(α-ρ） j.扩大中心术语，∞Xj=1[e-ρ| i-j |+γσ（i∧ j） ]e-αj=iXj=1[e-ρ（i-j） +γσj]e-αj+∞Xj=i+1[e-ρ（j-i） +γσi]e-αj=e-ρiiXj=1e-(α-ρ） j+γσiXj=1je-αj+eρi∞Xj=i+1e-（α+ρ）j+γσi∞Xj=i+1e-αj.因此，γ，θ+（n- 1） eΓ]νi=ne-ρiν+ne-ρiiXj=1e-(α-ρ） j+eρi∞Xj=i+1e-（α+ρ）j+γσiXj=1je-αj+γσi∞Xj=i+1e-αj=ne-ρiν+nhe-ρi- e-αie（α-ρ)- 1i+e-αie（α+ρ）- 1+ (1 - e-αi）γσe-α(1 - e-α） =东北-ρih1- e（α-ρ） +e（α-ρ)- 1i+e-αihe（α+ρ）- 1.-ne（α-ρ)- 1.-γσe-α(1 - e-α） i+γσe-α(1 - e-α） =γσe-α(1 - e-α），其中我们使用了ν=1-e（α-ρ）以及最后一步中的方程式（24）。这建立了（28）。现在我们可以定义v=>νν=eα-1+1-eα-ρν，在有限的时间范围内满足我们设定的（8）的等效值。现在让我们处理向量w。为此，我们采用引理3.5提供的β，并定义ω∈ `通过ωi=e-βi.然后[（Γγ，θ-eΓ）ω]i=（2θ+）e-βi+eρi∞Xj=i+1e-（β+ρ）j+γσiXj=0je-βj+γσi∞Xj=i+1e-βj=e-βih2θ++e（β+ρ）- 1.-γσe-β(1 - e-β） i+γσe-β(1 - e-β） =γσe-β(1 - e-β).因此，我们可以定义新=>ωω=eβ- 1eβω，在有限的时间范围内满足我们设定的（9）的等效值。最后，如果初始位置X，Xn公司∈ 给出R，我们定义ξ，ξnvia（16），则向前延伸，以验证一阶条件（19）是否与我们当前选择的V、w、γ、θ、andeΓ相一致。如（22）所示，这些公式得出ξ，ξn形成平均方差优化的纳什均衡。在定理2.4的证明中，我们得出结论，这也是卡拉效用最大化的纳什均衡。命题2.13的证明。

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2022-6-10 06:34:48

如果n=1且γ>0，我们希望找到一个满足（α+ρ）的α- 1.-e（α-ρ)- 1.-γσe-α(1 - e-α)= 0.如果从（25）得出γσ2- 2 cosh（α）-sinh（ρ）cosh（α）- cosh（ρ）=0。通过重新排列方程，我们得到cosh（α）=γσcosh（ρ）+2 sinh（ρ）γσ+2 sinh（ρ）。由于ρ>0，我们有sinh（ρ）>0和cosh（ρ）>1，这意味着γσcosh（ρ）+2 sinh（ρ）γσ+2 sinh（ρ）>1。因此，我们可以求解α并得到α=cosh-1hγσcosh（ρ）+2 sinh（ρ）γσ+2 sinh（ρ）i。此外，由于ρ>0，意味着γσcosh（ρ）+2 sinh（ρ）γσ+2 sinh（ρ）<cosh（ρ）和cosh-1（·）是一个增函数，我们有0<α<ρ。参考文献【1】A.Alfonsi、A.Fruth和A.Schied。限制订单簿模型中的约束投资组合清算。巴纳赫中心出版物，83:9–252008。[2] A.阿方西、A.希德和A.斯林科。订单弹性、价格操纵和积极投资组合问题。暹罗J.金融数学。，3:511–533, 2012.[3] R.Almgren和N.Chris。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3:5–392000。[4] D.P.Bertsekas。非线性规划。雅典娜科学优化与计算系列。雅典娜科学出版社，马萨诸塞州贝尔蒙特，第二版，1999年。[5] D.Bertsimas和A.Lo。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1:1–501998。[6] M.K.Brunnermeier和L.H.Pedersen。掠夺性交易。《金融杂志》，60（4）：1825-18632005年8月。[7] B.I.Carlin、M.S.Lobo和S.Viswanathan。偶发性流动性危机：合作和掠夺性交易。《金融杂志》，65:2235–22742007。[8] R.Carmona。关于BSDE、随机控制和随机微分对策与金融应用的讲座，金融数学第一卷。工业和应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城，2016年。[9] R.A.Carmona和J.Yang。掠夺性交易：关于波动性和流动性的游戏。预印本，2011年。[10] P.Casgrain和S.Jaimungal。

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可人4

2022-6-10 06:34:51

部分信息的算法交易：平均场博弈方法。arXiv:1803.040942018。[11] CFTC-SEC。关于2010年5月6日市场事件的调查结果。报告，2010年。[12] J.Gatheral。无动态套利和市场影响。数量。《金融》，10:749–7592010。[13] J.Gatheral和A.Schied。市场影响的动态模型和订单执行算法。J.-P.Fouke和J.Langsam，《系统性风险手册》编辑，第579-602页。剑桥大学出版社，2013年。[14] G.Huberman和W.Stanzl。价格操纵和准套利。《计量经济学》，72（4）：1247–12752004年7月。[15] J.Lorenz和R.Almgren。均值方差最优自适应执行。应用程序。数学《金融》，18（5）：395–4222011。[16] C.C.莫阿莱米、B.帕克和B.范罗伊。在一个不知情的攻击者在场的情况下执行战略。《金融市场杂志》，15（4）：361–3912012。[17] A.Obizhaeva和J.Wang。最佳交易策略和供需动态。《金融市场杂志》，2013年16:1-32。[18] G.P'olya。关于特征函数的备注。在J.Neyman主编的《伯克利数理统计与概率对称学报》（Proceedings of the BerkeleySymposium of Mathematic Statistics and Probability），第115-123页。加利福尼亚大学出版社，1949年。[19] A.Schied、T.Schoneborn和M.Tehranchi。CARA投资者的最优一揽子清算是确定的。《应用数学金融》，17:471–4892010。[20] A.Schied、E.Strehle和T.Zhang。具有瞬时价格冲击的市场冲击博弈中纳什均衡的高频极限。暹罗J.金融数学。，8(1):589–634, 2017.【21】A.Schied和T.Zhang。在最优投资组合清算中产生的一种状态约束微分博弈。数学《金融》，27（3）：779–802，2017年。【22】A.Schied和T.Zhang。瞬时价格冲击下的市场冲击博弈。运筹学数学，44（1）：102–1212019。【23】T.Schoneborn。非流动市场中的交易执行。

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