g是Lipschitz连续引理A.5R^PN1/kN时的AVg（r）- H（r- 1) -π^QN（g）- RP1/kN时的AVg（r）- H（r- 1) -π^QN（g）(6.2)≤CkNW（^PN，P）≤对于某些C>0的情况，CkNεN（βN）。注意，与定理6.1证明中的参数类似，我们可以假设（HN）N∈Nis有界，所以是（HN）N的子序列∈N（也可用（HN）N表示∈为方便起见）收敛到一些H∈ Rd.固定N∈ N、 那么对于所有M≥ N我们有SUPKDP/d^PNk∞≤kNEP[g（r）- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1/米]≤ 2CkNεN（βN）+supkdP/d^PMk∞≤kNEP[g（r）- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1/米]≤ 2CkNεN（βN）+supkdP/d^PMk∞≤kMEP【克（r）】- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1/米]≤ 2kNCεN（βN）。设ε>0。然后supkdP/d^PNk∞≤kNEPhg（r）- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1/Mi（6.3）- supkdP/dPk∞≤kNEPg（r）- H（r- 1) -πP（g）≤CkNW（^PN，P）+supkdP/dPk∞≤kNEPhg（r）- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1英里/英里- supkdP/dPk∞≤kNEPg（r）- H（r- 1) -πP（g）≤ ε乘以（6.2）和N≤ M足够大，因为我们有SUPKDP/dPk∞≤千牛EPhg（r）- HM（r- 1) -π^QM（g）- 1英里/英里- EPg（r）- H（r- 1) -πP（g）≤ supkdP/dPk∞≤kN | HM- H | | EP【r】- 1] |+|πP（g）- π^QM（g）- 1/M |→ 0（米→ ∞).当ε>0时，对超边际价格的稳健估计是任意的，这意味着超边际价格为P/dPk∞<∞EPg（r）- H（r- 1) -πP（g）≤ 证明到此结束。7、多周期结果在本节中，我们将第2节和第3节的结果部分扩展到T>1的情况。如前所述，我们假设g：（Rd+）T→ R是Borel。设F由坐标映射rt（x）=xt，x生成∈ （Rd+）T。我们写ri:jfor the vector（ri，…，rj），1≤ i<j≤ T和r=r1:T。鞅测度mt现在通过mt={Q来定义∈ P（（Rd+）T）| EQ[rt | Ft-1] =1，对于所有t=1，T}。我们只考虑Rd+-值i.i.d.观测值r，R在这里。现在，我们通过以下步骤连接凹面封套：定义7.1。

我们定义（r1:t，·）：Rd+→ R、 R 7→ g（r1:t，~r）。然后我们递归地设置Ohm  （Rd+）克OhmT、 T（r）：=g（r）gOhmt、 t（r1:t）：=（dgOhmt+1（r1:t，·））Ohm（1） ，t=1，T- 1，克Ohm0，T：=（cgOhm(·))Ohm(1).与单周期情况类似，我们设置π^PNT（g）：=g{r，…，rN}0，Tfor ri∈ Rd+，i=1，N定义7.2。对于P∈ P（Rd+）我们定义，T（r）：=g（r）gPt，T（r1:T）：=（dgPt+1（r1:T，·））P（1），T=1，T- 1，gP0，T：=（cgP（·））P（1）和定义PT=P ··· P |{z}T次。此外，我们设置πPT（g）：=gP0，T。我们引用以下结果：引理7.3（参考文献[22][定理1.31，p.19）。设g：（Rd+）T→ R是可测量的。然后在NA（P）gP0下，T=supQ~PTEQ[g（r）]=inf（x∈ RH∈ H（F）s.t.x+TXs=1Hs（rs- 1) ≥ g（r）PT-a.s.）。我们现在可以对定理2.1进行以下多周期模拟：定理7.4。设P，P是Rd＋和g：（Rd＋）T上的概率测度→ R beBorel可测量。假设观测值r，r。i.i.d.样品是P.然后是P∞-a、 s.limN公司→∞π^PNT（g）=limN→∞g{r，…，rN}0，T=gP0，T=πPT（g）。更一般的马尔可夫案例可能需要一种真正新颖的方法，包括使用经验度量的修改定义，见【1】。我们把它留给未来的研究。22超边缘价格的稳健估计。我们用T上的归纳法证明了这一主张∈ N、 T=1的情况遵循定理2.1。因此，我们假设我们已经证明，对于每个r∈ Rd+limN→∞g{r，…，rN}1,2（r）=gP1,2（r），P∞-a、 根据Lusin定理，存在一个紧集序列Kn 支持（P），例如P（Rd+\\Kn）≤ 1/n和gP1,2 | Knis连续。在定理2.1的证明中，我们有gp0,2=\\（gP1,2（·））P（1）=limn→∞\\（gP1,2（·））Kn（1）。随着逐点递增函数的凹包络的增加，我们得出如下结论：g{r，…，rN}1,2（1）在N中增加∈ N

因此P∞-a、 s\\gP1,2（·）千牛（1）=\\画→∞g{r，…，rN}1,2（·）Kn（1）=limN→∞\\g{r，…，rN}1,2（·）千牛（1）。互换极限（因为它们是suprema）yieldsgP0,2=limN→∞画→∞\\g{r，…，rN}1,2（·）Kn（1）=limN→∞画→∞林姆→∞\\g{r，…，rN}1,2（·）千牛∩{r，…，rM}（1）=limN→∞limM公司→∞\\g{r，…，rN}1,2（·）{r，…，rM}（1）=limN→∞g{r，…，rN}0,2。这就是T=2的证明。一般归纳步骤如下所示。类似的推理可用于定理3.6withP中的估计量π^QN（g）∞N=1βN<∞.推论7.5。设P是Rd+和g：（Rd+T）上的概率测度→ R be1 Lipschitz，从下方开始有界。假设观测值r，r。阿雷伊。i、 d.关于P，则在NA（P）limN下→∞supq，。。。，qTZ（Rd+）Tg（r）qT（r1：T-1.drT）。q（r；dr）q（dr）=supQ∈MT，Q~PTEQ【g（r）】，P∞-a、 s.，其中（r，…，rt）7→ qt+1（r，…，rt；·）是从（Rd+）到^QN，t=0，T- 1.证明。我们通过反向归纳法证明了这一主张。修复r1:T-1.∈ （Rd+）T-在定理3.6的证明中，我们有P∈ 对于N足够大的P，BpεN（^PN）∞-a、 s.The“≥ ”-不等式如下定理3.6的证明。的确，supqT∈^QNZRd+g（r）qT（r1:T-1.drT）。q（r；dr）q（dr）≥ supqT公司∈M、 kdqT/dPk∞≤kNZRd+g（r）qT（r1:T-1.drT）。q（r；dr）q（dr）。因为g从下方有界，通过N到达极限→ ∞ 给出结果。现在我们展示“≤”-不平等这直接源于rT7→超边际价格的稳健估计23g（r1:T-1，rT）是1-Lipschitz，所以通过定理3.6supqT的证明∈^QNZRd+g（r）qNT（r1:T-1.drT）- supqT公司∈M、 qT~PZRd+g（r）dqT（r1:T-1.drT）≤ 2kNεN（βN）。对于归纳步骤，我们注意到对于某些集合C P（Rd+），t∈ 1.

T与some1-Lipschitz函数f：（Rd+）T→ R我们有supqt公司∈CZRd+f（r）dqt（r1:t-1，rt）- supqt公司∈CZRd+f（~r1:t）-1，rt）dqt（~r1:t-1，rt）≤ |r1:t-1.-r1:t-1|.特别是功能SUPQT∈M、 qT~PZRd+g（r）qT（r1:T-1.drT）和supqT∈^QNZRd+g（r）qT（r1:T-1.drT）是1-Lipschitz连续的。现在使用[4，Prop.7.34，p.154]提出了这一主张。备注7.6。类似的陈述对于惩罚估计量和有界函数g以及W都是有效的∞-连续g.8的估计量。渐近相合性、套利性和连续性我们现在讨论（3.2）中πQN（g）对于一般鞅测度集QN的相合性。这尤其为我们在定理3.6中构造改进的估计量提供了详细的动机。自始至终，我们假设NA（P）能够使用对偶公式（1.2），并回顾，根据资产定价的第一基本定理，NA（P）等价于Q的存在∈ M、 Q~ P、 显然，πQN（g）渐近一致性的第一个必要条件是qn6= 对于足够大的N。对于插件估计器，当QN={Q∈ M：Q~^PN}，这一点在命题2.4中确立，该命题概述了NA（P）和NA（^PN）之间的关系。证明主要依赖于以下事实：supp（^PN） 补充（P）。实际上，对于一般度量νN=> Pαffe hulla fff（supp（νN））的维数可能高于αfff（supp（P）），因此NA（P）和NA（νN）之间没有关系，如以下示例所示：示例8.1。取d=1，P=δ。显然νN：=δ/N+（1- 1/N）δ弱收敛于P。当NA（P）保持不变时，NA（νN）永远不会被填满。相反，νN：=δ/（2N）+δ/（2N）+（1-1/N）δ=> δ、 所以存在一个P-套利，而这里没有νN-套利。因此，保持QNand{Q之间的关系既自然又必要∈ M：Q~^PN}。

对于某些序列（kN）N，一个极小性质似乎是一个渐近性结论∈N和limN→∞kN=∞ wehave（8.1）P∞（{Q∈ M：Q~^PN&kdQ/d^PNk∞≤ 千牛} qn大N）=1。那么，定理2.1中插件估计量的一致性意味着lim infN→∞πQN（g）≥ 画→∞^πN（g）≥ πP（g）P∞-a、 s.24超边际价格的稳健估计目前的主要任务是识别满足（8.1）且逆不等式满足的集合序列→∞πQN（g）≤ πP（g）=supQ∈M： Q~PEQ【g】P∞-a、 s.（8.2）持有。为此，我们需要QNto渐近减少到集合{Q∈ M：Q~ P} 。更正式地说，用aε表示集合a的ε-邻域，当g是连续且有界的时，以下是（8.2）的必要条件：lim infN→∞对于某些序列（νN）N，νN（Aε）=0∈确保νN=> P暗示Limn→∞QN（A）=0表示所有（QN）N∈N、 这样QN∈ QN所有N∈ N、 （8.3）对于所有A∈ B（Rd+）和所有ε>0。如果qn={Q，则该条件可以满足∈ M | Q~^PN}，可解释为（νN）N上的连续条件∈Nand（QN）N∈N、 连续性的概念可以追溯到Le Cam（[47，Chp.5]），卡巴诺夫（Kabanov）和克拉姆科（Kramkow）（[38]）在连续时间的背景下用来描述大型金融市场。我们在这里引入了一个较弱的版本，它对我们的设置很有用：定义8.2。概率测度序列（QN）N∈Nis o-连续wrt。a序列（νN）N∈N、 如果对于所有ε>0和所有开集O∈ 硼（Rd+）限量→∞νN（Oε）=0表示limN→∞QN（O）=0。序列（νN）N∈Nand（QN）N∈如果（νN）N，则相互冲突∈Nis o-连续wrt。（QN）N∈Nand（QN）N∈Nis o-连续WRT。（νN）N∈N、 给定两组概率测度序列（PN）N∈Nand（QN）N∈Nwe saythe（QN）N∈Nis o-连续wrt。（PN）N∈每个序列QN的Nif∈ qn存在一个序列νN∈ Pn使（QN）N∈Nis o-连续wrt。

（νN）N∈N、 虽然（8.3）是πQN（g）渐近一致性的必要条件，但它并不有效，如以下示例所示：示例8.3。设P=1/3（δ+δ+δ），然后supQ~P、 Q∈MEQ（（1- r） +）=1/2。注意，对于νN=1/3（1- 1/N）（δ+δ+δ）+δN/N我们有νN=> P和Qn=（1- 3/N）δ+1/N（δ+δ+δN）~ νN.此外，关于νN，QNis o-连续。尽管如此，QN=> δ和等式（1- r） +）>3/4，对于N>12，因此渐近一致性不满足。上述示例表明，即使（QN）N∈Nis o-连续wrt。（νN）N∈N、 qn弱收敛于不是鞅测度的测度Q。解决这个问题的一种方法是要求（QN）N的一致可积性∈Nas是在连续时间内完成的。这允许建立以下内容：引理8.4。假设NA（P）成立。设pn为，对于每个序列（νN）N∈N带νN∈ Pn适用于所有N∈ N我们有νN=> P、 如果kN→ ∞ 和（1）{Q~^PN，Q∈ M、 kdQ/dPk∞≤ 千牛} 对于大N，（2）QNis o-连续wrt。PN，（3）QNis使得每个序列（QN）N∈N带QN∈ QN所有N∈ N是一致可积的，那么πQN（g）对于所有有界和连续的g都是渐近一致的。我们省略了证明，因为依赖一致可积性通常是不可能的：如果supp（P）是无界的（2）和（3），则引理8.4不能同时填充。下面的示例说明了这一点：超级边缘价格的稳健估计25示例8.5。考虑P，supp（P）=R+和g（R）=（1-r） +。然后limN→∞QN（{0}）=每个序列（QN）N有1个保持∈Nsuch thatlimN公司→∞方程[（1- r） +]=supQ∈MR+EQ[（1- r） +]=1。显然δ不是鞅测度，所以（QN）N∈nCa不能一致可积。（QN）N的一致可积性∈一般来说，Nis的要求过于严格。为了解决这个问题，我们加强了一个假设，即νnConverge弱收敛于真测度P。

相反，我们关注的是Wassersteindistance中的收敛性，它可以度量弱收敛性（参见[67，定理6.9，p.96]）。9、插件估计器的收敛速度我们现在更详细地研究了插件估计器^π在一维情况下的收敛速度。特别地，我们证明了定理2.11，并给出了一些推广。按照汉佩尔的方法，考虑超边缘函数的影响曲线是很自然的，它只是其在δrand方向上P处的Gateaux导数，表示当样本量变为整数时，附加观测值r的边际影响。然而，这会产生微不足道的结果：函数ε7→ π(1-ε） P+εδr（g）在（0，1）上是常数，因此影响曲线（r，P）将等于零或完整。发生这种情况的原因是（1-ε） P+εδr表示所有ε的相同支撑∈ (0, 1). 显然，为了评估P中πPto变化的敏感性，我们必须改变支持。为此，我们考虑πP（g）- infA公司Rd+：P（A）≥1.-επP | A（g）asε→ 0并研究其自然归一化。以下示例表明ε不是正确的归一化。示例9.1。再次取g（r）=| r- 1| ∧ 注意，我们可以通过设置dpndp来稀释P的尾部，而不是考虑P=λ[0,2]/2[0,1]=rnn+1和DPNDP[1,2]=(2 - r） nn+1自然，πP=πPn，但随着n的增加，概率质量在Pn支撑上的分布不太均匀。我们计算n≥ 2 FPn（r）=rn+r的1/2≤ 1因此F-1Pn（p）=n+1√2p表示p<1/2。这很容易暗示πP（g）- infA公司Rd+：P（A）≥1.-επP | A（g）=1- g（n+1√ε） =n+1√ε.上述例子促使我们使用分位数函数进行归一化，如定理2.11所述，我们现在证明了这一点。定理2.11的证明。如前所述，^πN（g）≤ πP（g）和^πN（g）在N中是不变的。让我们首先考虑有界支撑的P。

有必要证明这一点~P、 Q∈MEQ[克]≤ supQ公司~^PN，Q∈MEQN[g]+O（δ（κN））。在不丧失一般性的情况下，我们假设r≤ r≤ ··· ≤ RN用于其他证明。由dNF定义-1P（（p- dN）∨ 0+) ≤ F-1^PN（p）≤ F-1P（p+dN）26所有p的超边缘价格的稳健估计∈ [0, 1]. 因此，我们注意到，对于所有i=2，Nri公司- 国际扶轮社-1=F-1^PN在里面- F-1^PN我- 1N≤ supk=1，。。。b1/（3dN）cF-1P（3kdN）- F-1P（3（k- 1） dN∨ 0+) ≤ κN.接下来，我们注意到，通过定义πP（g）和命题2.8，存在C>0，使得πP（g）-πP（·|[r，rN]）（g）≤ Cδ（F-1P（dN）-F-1P（0）+Cδ（F-1P（1）-F-1P（1-dN）c））。以Q为例~ P（·|[r，rN]），Q∈ M、 我们想要应用一个简单的Balayage构造，在^PN的支持下重新分配Q的质量。因此我们设置qn（{r}）=Z[r，r）r- rr（右后）- rQ（dr），QN（{ri}）=Z[ri-1，ri）r- 国际扶轮社-1ri- 国际扶轮社-1Q（dr）+Z[ri，ri+1）1.-r- riri+1- 国际扶轮社Q（dr），对于i=2，N- 1.QN（{rN}）=Z[rN-1，rN]r- rNrN-1.- 注册护士。一个简单的计算表明QN（{r，…，rN}）=1和EQN[r]=1。我们有rNZrgdQN-rNZrgdQ=NXk=2rkZrk-1.g（rk）（r- rk公司-1) - g（rk-1） （r）- rk）rk- rk公司-1.- g（r）Q（dr）≤ δ（κN）。（9.1）对于P∈ 具有无界支撑的P（R+）和以D>0为界的g，我们注意到πP（g）- πP（·|[0，rN]）（g）≤2DrN公司≤2DF-1P（1- dN）。证据到此结束。为了改进定理2.11中的结果，并进一步详细说明这些结果，我们调用引理A.8并进行以下简单的观察：引理9.2。设C>0和P∈ P（Rd+）。然后集合{Q∈ M | kdQ/dPk≤ C} 是弱紧的。证据Aslim SUP公司→∞supn公司∈NEQn[| r | 1{| r|≥K} ]≤ lim SUP公司→∞CEP[| r | 1{| r|≥K} ]=0，声明如下。推论9.3。让P∈ P（R+）有界支撑，且设g:supp（P）→ R连续，使得| g（R）- g（￠r）|≤ δ（| r- 对于某些单调δ：r+→ R+带δ（R）→ r为0→ 0.如果（3.7）保持不变，则SUPQ~P、 Q∈MEQ[克]- supQ公司~^PN，Q∈MEQ【g】=O（d1/2N+δ（d1/2N））P∞-a、 美国超边际价格的稳健估计27Proof。

注意，根据假设，考虑鞅测度q是足够的~ P以便kdQ/dPk∞≤ 对于某些C>0。类似于定理2.11的证明，我们设置qn（{r}）=Z[r，r）r- rr（右后）- rQ（dr）+Q（[0，r）），QN（{ri}）=Z[ri-1，ri）r- 国际扶轮社-1ri- 国际扶轮社-1Q（dr）+Z[ri，ri+1）1.-r- riri+1- 国际扶轮社Q（dr），对于i=2，N- 1.QN（{rN}）=Z[rN-1，rN]r- rNrN-1.- rN+Q（（rN，∞)).注意QN（{r，…，rN}）=1和| EQN[r]- 1 |=|方程[r]- 公式[r]|=rZ | r- r | dQ（r）+∞Zrn | rn- r | dQ（r）≤ KDN对于某些K>0。也是πP（g）- ^πN（g）≤ supQ公司~P、 Q∈MEQ[克]- supQ公司~^PN，| EQ（r-1)|≤KdNEQ[g]+2δ（KdN）我们进一步假设g以D为界。然后（9.1）变成rNZrgdQN-rNZrgdQ=NXk=2rkZrk-1.g（rk）（r- rk公司-1) - g（rk-1） （r）- rk）rk- rk公司-1.- g（r）Q（dr）≤ δ（d1/2N）+2CDnk公司∈ {1，…，b1/（3dN）c}|κNk |≥ d1/2否3dN≤ δ（d1/2N）+6CDF-1P（1）dNd1/2N=O（d1/2N+δ（d1/2N））。证据到此结束。备注9.4。我们注意到，上述渐近结果可用于建立近似πP的基于自性的套期保值问题C（d1/2N+δ（d1/2N））对于凹形且严格递增的U和一些C∈ R+然后πP（g）≈ supQ公司~^PN，Q∈MEQ【克】+铀-1（αN）是基于效用的套期保值问题在^PNinf{x下的值∈ R |H∈ R s.t.U（x+H（R）- g（r））≥ αn r=r，rN}。现在让我们陈述引理2.13到马尔可夫链的推广，其中我们将定义a.2和符号从第2.4节：引理9.5（参见[42，定理11.24，p.228]）。假设r，r。是以指数衰减和不变量测度P为初始分布的平稳β-混合马尔可夫链的实现。然后，作为N→ ∞√N supx公司∈R+F^PN（x）- FP（x）=> supx公司∈R+| G（FP（x））|，其中G是[0，1]上的标准布朗桥。28超边缘价格的稳健估计。

设置F={1(-∞,x] ：x∈ R+}，我们可以在[42，定理11.24，p.228]中选择p=4，并立即检查对于具有几何混合速率ρ的p∞Xk=1kρk<∞以及J[](∞, F、 L（P））<∞, 其中J[](∞, F、 L（P））表示F和P=4的括号积分（参见示例[42，第17页]）。证据到此结束。对于具有指数衰减的平稳β-混合马尔可夫链的例子，参见引理A.3和推论A.4。上述引理可用于获得推论9.3的渐近置信界。更准确地说，对于N→ ∞, weobtainP公司∞（|πP（g）- πN（g）≥ ε) ≤ P∞（d1/2N+δ（d1/2N）≥ ε/C）≤ P∞（dN≥ f（ε/C））。P∞supx公司∈R+| G（FP（x））|≥ f（ε/C）√N对于某些常数C>0和f:R+→ R+是x的倒数的平方→ x+δ（x）。同样，在F上的一些正则性假设下-1P，可使用引理2.13给出定理2.11的类似但非渐近估计。为了结束这一节，我们考虑了在定理2.11不适用的某些情况下的收敛速度。请注意，定理2.11适用于连续的gwhenever P有界支撑，或者如果存在K>0这样的SUPQ~P |[0，K]，Q∈MEQ【g】=supQ~P、 Q∈MEQ[克]。（9.2）假设不存在此类K。如果g（r）/r→ ∞ 作为r→ ∞ 那么πP（g）=∞ 所以考虑线性增长的g:g（r）/r→ c∈ R作为R→ ∞. 由于Pnecessaly具有无限的支持，我们可以采用序列Kn→ ∞ 在上述条件下，一些（Hn）n∈确保πP（·|[0，Kn]）（g）+Hn（Kn- 1） =克（Kn）。AsπP（·|[0，Kn]）（g）→ πP（g）我们得出Hn↑ c、 因此πP（g）=maxλ∈[0,1]∩supp（P）（g（λ）-c（λ- 1） ）=克（r）- c（▄r- 1） 对于一些∈ [0, 1] ∩补充（P）。特别是πP（·|[0，Kn]）（g）≥千牛- 1Kn- ~rg（~r）+1- rKn- rg（Kn）。清晰^πN（g）≤ πP（·|[0，rn]）（g）因此，使用g在[0，1]上有界，上述结果意味着收敛速度最多为（9.3）maxi=1，。。。，Nri公司+c-g（最大值=1，…，Nri）最大值=1，。。。，Nri公司但速度可能会慢一些。

通常，例如，如果P的密度从下方以▄r为界，则分布P的尾部是^πNand（9.3）保持收敛速度的决定性特征。我们将在下面的示例中对此进行更详细的讨论。示例9.6。我们现在提供一些例子来说明在上述定理2.11或（9.3）中可能观察到的不同收敛状态。我们使用N=10实现1000次的数字图示。我们从一些例子开始，当定理2.11直接适用或因为（9.2）成立。超边缘价格的稳健估计29100101102103104103102101100C/N图4。g（r）=r-1 |，P=λ|[0,2]/2100102103104101008×1019×101ErrorN1/30图5。g（r）=r-1 |，P=P100101102103104102101100ErrorC/log（1 1/N）图6。g（r）=（2- r） 1{r≤1}+√r1{r≥1} ，P=Exp（1）100101102103104101100ErrorC/Exp（2log（N））图7。g（r）=（r-2） +，P=exp（N（0，1））1001011021031041002×100ErrorC/log（N）1/4图8。g（r）=r-1| +√r- 11{r≥1} ，P=| N（0，1）| 1001011021031041004×1016×101ErrorC/log（N）图9。g（r）=（1-r） 1{r≤1}-√r- 11{r>1}，P=Exp（1）og（r）=r- 1 |，P=λ|[0,2]/2。注意，P（最大值=1，…，Nri≤ x） =（r/2）N.ThusE最大值=1，。。。，Nri公司- 1.=ZNxN-1（x- 1） Ndx=2NN+1- 1 = 1 -N+1。收敛速度O（1/N）（图4）。og（r）=r- 1 |，P=示例9.1中的Pf。收敛速度O（1/N1/30）（图5）g（r）=（2- r） 1{r≤1}+√r1{r≥1} ，P=经验值（1）。请注意，2+x/8与√x英寸x=16。特别是πP（g）=2.125=πP（·|[0,16]）（g）。收敛速度O（F-1P（dN））=O(-日志（1- 1/√N） ）（图6）。30超边际价格的稳健估计我们现在来看一些例子，在这些例子中，我们不能依赖定理2.11，而是使用（9.3），并表明界限可能是尖锐的。maxi=1，…，的渐近分布，。。。，n可以用极值理论的经典结果来确定。

特别是，指数/正态/对数正态随机变量的标度最大值很快收敛到Gumbel分布的随机变量Y（见[63，示例2,3，p.199]）g（r）=（r-2） +，P=exp（N（0，1））。此处最大值=1，。。。，Nrid=Y exp(√2日志N）√2对数N+经验（p2对数N）~ exp（p2 log N）。收敛速度O（1/maxi=1，…，Nri）=O（1/exp(√2对数N））（图7）。og（r）=r-1| -√r- 11{r≥1} ，P=| N（0，1）|。此处最大值=1，。。。，Nrid~Y√2日志N+p2日志N-对数（4π对数N）√2 log N~plog N.收敛速度O（1/（maxi=1，…，Nri）1/2）=O（1/√对数N）（图8）。og（r）=（1- r） 1{r≤1}-√r- 11{r>1}，P=Exp（1）。此处最大值=1，。。。，Nrid=Y+对数N~ 对数N.收敛速度O（1/（maxi=1，…，Nri）1/2）=O（1/√对数N）（图9）。附录A.附加结果和证明A。第2节的附加结果和证明。定理2.1的证明。首先请注意，如果ANI是一个非递减的集合序列，且a=limnAn=∪nAnthen^gA=limn^gAn。“The”≥” 不等式很明显，反之亦然，因为^gAnis是凹函数的非递减序列，因此极限是a上支配g的凹函数。利用Lusin定理（见[12，定理7.4.3，第227页]），我们可以找到SUPPP（P）的紧致子集的递增序列kno，使得P（Rd+\\Kn）≤ 1/n和G |刀是连续的。K上g的连续性表示^gKn=^gP | Kn≤ ^总成。另一方面，根据上述论点，limn^gKn=^g∪nKn公司≥ ^gpp(∪nKn）=1。我们得出结论，limn^gKn=^gP。此外，通过Birkhoff的遍历定理（见[39，定理9.6，p.159]）和p 我们有[Nsupp（^PN）={r，r，…}在supp（P）中为a.s.稠密，因此为^gKn∩{r，r，…}=^gKna。s、 通过上述论证，我们就有了Limn→∞^g^PN=^g{r，…}=^g∪nKn公司∩{r，…}=画→∞^gKn=^gP，P∞-a、 其中，第二个等式自包含{r，r，…} ∪nKnholdsP公司∞-a、 我们总结使用（2.3）。命题2.4的证明。首先假设NA（P）成立。

表示集合a的凸包的相对内部 Rdby ri（A）。此外，为A的线性外壳写lin（A），为A的线性外壳写OFF（A）。我们记得1∈ ri（supp（P））当且仅当NA（P）成立。因此存在ε>0，0≤ k≤ d和R±i∈ conv（supp（P）），r±i=1±εei，i=1，k、 其中e。ekare空间lin的异常基（supp（P））- 1). 固定一些r±i。然后存在∈ N和￠r，rn∈ supp（P），使得r±i可以写为▄r，…，的凸组合，rn。表示所有r±i，i=1，…，的▄r的有限集合，k、 选择0<δ<ε足够小，我们得到1∈ ri（{r±i | i=1，…，k}）对于每个超边缘价格的可靠估计，31选择￠r±i∈ Bδ（r±i）∩a off（supp（P））。As supp（PN） supp（P）和PN=> P存在N∈ N使得Pn（Bδ（￠r）∩ a off（supp（P）））≥ PN（Bδ（￠r）∩ a fff（supp（PN））=PN（Bδ（￠r））>0表示所有￠r∈ A和N≥ N、 因此，1∈ ri（supp（PN））和NA（PN）保持不变。相反，如果存在H∈ Rd使得P（H（r- 1） >0）>0和P（H（r-1) ≥ 0）=1，然后通过连续性H（r- 1) ≥ supp上的0（P） supp（PN）和集合{r | H（r- 1） >0}已打开。因此存在N∈ N使得Pn（H（r- 1） >0）>0表示所有N≥ N推论2.5的证明。通过NA（~P），我们有inf{x∈ R |H∈ Rd+~ds。t、 x+H（e（r）-1) ≥ g（r）P-a.s.}=supQ~P、 Q∈M、 式（f）=fEQ【g】。因为e是连续的^PN=> P意味着D（~P）N=>P.下一个假设支持（^PN） 补充（P）。再次通过fwe的连续性得出e（supp（P））=图（f）∩ （supp（P）×Rd）关闭。因此，我们显然有supp（▄P） e（补充（P））。我们显示e（supp（P））supp（￠P）。假设一个矛盾存在e（r）∈ e（supp（P））\\ supp（￠P）。注意，对于任何序列（rn）n∈确认limn→∞rn=r我们有limn→∞e（rn）=e（r）。因此存在ε>0，使得e（Bε（r））∩supp（￠P）=. 但是▄P（e（Bε（r）））=P（Bε（r））>0，这是一个矛盾。因此，支持（c（￠P）N） 使{e（r），e（r）。

}在supp（~P）中密集，定理2.1仍然适用于扩大的市场。鞅约束EQ【~rd+i】- 1] =0表示i=1，则d等于q[fi（S）]=fi（S）。引理A.1。让P∈ P（Rd+），具有有限的一阶矩，ε>0。那么对于allx∈ Rd+1-Wasserstein度量中的球Bε（P）包含λδx+（1- λ） 某些λ的P∈ (0, 1). 特别是，任何P∈ P（Rd+）可以写成概率测度PN的弱极限，而supp（PN）=Rd+。引理A.1的证明。设ε>0。我们定义ν=λδx+（1-λ） u和recallthat lde注意到1-Lipschitz函数f:Rd+→ R、 thennw（u，ν）=supf∈LZRd+f（y）du（y）-ZRd+f（y）dν（y）= λsupf∈LZRd+f（y）- f（x）du（y）= λZRd+| x- λ>0非常小时，y | du（y）<ε。定理2.7的证明。修复P∈ P（Rd+）和一个pn收敛到P.Let{r，r，…}的序列在supp（P）中密集。修复n≥ 1注意，对于任何≥ 1，weakconvergence意味着对于所有足够大的n，PN（B1/n（ri））>0。特别是存在rni∈ B1/n（ri），使得^gPN（rni）≥ g（rni）。因此，根据上述定理2.1证明中的相同理由，lim infPN=>PπPN（g）=lim infN→∞^gPN（1）≥ 画→∞利姆→∞^g{rn，rn，…，rnk}（1）=πP（g）。32超边缘价格的稳健估计我们使用引理A得出结论。1因为对于supp（PN）=Rd+的序列，通过g的连续性，我们得到，对于所有N≥ 1，πPN（g）=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+H（r- 1) ≥ g on Rd+}=supQ∈MRd+EQ[克]。对于定理的第二部分，假设P∈ P（Rd+）使得πP（g）<supQ∈MRd+EQ[g]=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+H（r- 1) ≥ g在Rd+}上。取序列（PN）N∈N、 如上所述，supp（PN）=Rd+和PN=> P、 固定ε>0，使2ε<πPN（g）- πP（g）。对于每个δ>0，存在N∈ N使得对于所有N≥ Nwe有dL（PN，P）≤δ. 设tn是πP（g）的渐近一致估计。

然后，对于所有N largeenoughdL（LPN（TN），LP（TN））≥ dL（ΔπP（g），ΔπPN（g））- dL（LPN（TN），ΔπPN（g））- dL（ΔπP（g），LP（TN））≥ ε.因此，TN在P处不稳定，这表明了这一主张。命题2.8的证明。让我们fε>0。当g均匀连续时，存在δ>0，因此对于| r- r |≤ δ我们有| g（r）- g（￠r）|≤ ε/3. 现在让我们考虑一下▄P∈ P（Rd+），使dH（supp（P），supp（￠P））≤ δ. 然后πИP（g）<∞ 并且存在HP∈ Rd使得π▄P（g）+ε/3+H▄P（▄r- 1) ≥ g（▄r）表示所有▄r∈ supp（￠P）。接下来，我们注意到，根据[7，3.5号提案的证明]中详述的无套利论证，存在δ>0，因此对于所有▄P∈ P（Rd+）和dH（supp（P），supp（~P））≤ δ策略| H | P |可以选择为一个常数C>0，该常数依赖于g，但不依赖于| P。总之，考虑| P∈ P（Rd+）使得dh（supp（P），supp（～P））<min{ε/（3C），δ，δ}。然后每▄r∈ supp（▄P）存在r∈ 支持（P），使| H | P | r- r |≤ ε/3和| g（r）-g（￠r）|≤ ε/3. 因此，π▄P（g）+ε+H▄P（r- 1) ≥ πИP（g）+2ε/3+HP（r- 1) ≥ g（￠r）+ε/3≥ g（r）。因此πP（g）≤ πИP（g）+ε。交换P和▄P的角色会产生索赔。命题2.9的证明。我们给出以下反例：定义ω=（1，1，…），Pn=（1- 1/n）δ+（1/n）λ[0,2]和g（r）=1- r |∧ 1、明显Pn=> δ和SUPQ~δEQ【g】=0以及supQ~Pn，Q∈MEQ【g】=所有n的1∈ N、 根据稠度，我们必须有TN（ω）→ 0作为N→ ∞, 特别地，我们可以假设TN（ω）<1。砰的一声∞n（TN≥ 1代表所有N≥ N） =1- P∞n（对于某些n，TN<1≥ N）≤ 1.-PNn（{ω}）=1- (1 - 1/n）n→ 0（n→ ∞).超边际价格的稳健估计33A。1.1. 备注2.2的证明。关于备注2.2，现在让我们定义以下概念：定义A.2。假设{Xn | n∈ N} 是一个时间齐次马尔可夫链，初始分布P为其不变测度，转移核K。

如果存在0<ρ<1且c>0，使得zkkn（x，·），则{Xn}称为指数衰减的平稳β-混合- P（·）kTVP（dx）≤ cρnn∈ N、 式中，k·kT Vde定义了总变异标准。马尔可夫链{Xn | n∈ N} 如果存在概率测度P，则称为几何遍历∈ P（Rd+），常数0<ρ<1和P-可积非负可测函数g，使得kkn（x，·）- P（·）kTV≤ ρng（x）n∈ Nx个∈ Rd+。下面的引理列出了一些常见时间序列模型的平稳性和遍历性属性，如下所示【51、5、32、8、3、49、25】，为了简单起见，我们只考虑最简单的情况，并参考上面的参考文献以获得更全面的图：引理a.3。以下条件对于过程{rn | n的指数衰减（如果从不变分布开始）的β-混合特性是有效的∈ N} 和{hn | N∈ N} 定义如下，以及过程的几何遍历性{hn | N∈ N} ：o扩充GARCH（1,1）模型，其中rn=phnηN，N=0，1。Γ（hn+1）=c（en）Γ（hn）+g（en+1），而{ηn}是一个独立于hw的i.i.d.序列，E[ηn]=0，E[ηn]=1，关于Lebesgue测度的连续正密度，Γ是一个递增函数，en+1是ηn的一个可测函数。LGARCH：β+α<1，其中hn=ω+βhn-1+αηn-1小时-1和ω>0，β≥ 0, α ≥ 此外，如果存在整数s≥ 使（β+α）s<1或E[|ηn | 2s]<∞ β+α<1/（E[|ηn | 2s]）1/s，然后E[| rn | 2s]<∞.– MGARCH：|β|<1，其中log（hn）=ω+βlog（hn-1） +αlog（hn-1） ω>0，β≥ 0, α ≥ 0.-EGARCH:|β|<1，其中log（hn）=ω+βlog（hn-1） +α（|ηn-1 |+γηn-1） γ6=0–NGARCH：β+α（1+c）<1，其中hn=ω+βhn-1+α（ηn-1.- c） hn公司-1和ω>0，β≥ 0, α ≥ 0

此外，如果存在整数s≥ 1使E[（β+α（ηn- c） ）s]<1或E[|ηn | 2s]<∞ β+α<1/（E[|ηn- c | 2s）1/s，然后E[| rn | 2s]<∞.34超边际价格的稳健估计–VGARCH：β<1，其中hn=ω+βhn-1+α（ηn-1.- c） ω>0，β，α≥ 此外，如果存在整数s≥ 使β<1，E[|ηn | 2s]<∞, 然后E[| rn | 2s]<∞.– TSGARCH：β+αE |ηt |<1，其中phn=ω+βphn-1+α|ηn-1 | phn-1和ω>0，β≥ 0，α>0和α+α≥ 0。此外，如果存在整数s≥ 1使得E[（β+α|ηn |）s]<∞, 然后E[| rn | s]<∞.– GJR-GARCH：β+α+αE max（0，-ηn）<1，其中hn=ω+βhn-1+αηn-1小时-1+αmax（0，-η） hn公司-1和ω>0，β≥ 0，α>0和α+α≥ 0。此外，如果存在整数s≥ 1使得E[（β+αηn+αmax（0，-ηn））s]<∞, thenE[| rn | 2s]<∞.– TGARCH：β+α|ηn |+αE max（0，-ηn）<1，其中phn=ω+βphn-1+α|ηn-1 | phn-1+αmax（0，-η） phn公司-1和ω>0，β≥ 0，α>0和α+α≥ 0。此外，如果存在整数s≥ 1使得E[（β+α|ηn |+αmax（0，-ηn））s]<∞,然后E[| rn | s]<∞.o PGARCH（a，b）模型：Pbi=1αi+Paj=1βj<1和E（|ηn | 2δ）<∞, 式中，Rn=phnηn，n=0，1。hδn+1=ω+bXi=1αihδn+1-i |ηn+1-i | 2δ+aXj=1βjhδn+1-jand a、b≥ 1，δ>0，ω>0，αi≥ 0，i=1，b、 βj≥ 0，j=1，a、 这包括δ=1的GARCH（a，b）和δ=1/2的TSGARCH（a，b）。此外，E[| rn | 2δ]<∞.o 随机自回归波动率：E | un |<∞, E |β+αun |<∞, 式中，rn=σnzn，logσn=ω+βlogσn-1+（γ+αlogσn-1） unand{zn}n∈N、 {un}N∈Nare是具有零均值和单位方差的相互独立的i.i.d.变量，α+β>0，α+γ>0。作为直接结果，我们得到以下结果：推论a.4。设{rn}n的分布∈Nbe由满足引理A.3中关于平稳性的相应条件的模型之一给出，并设P=P。然后满足定理2.1的条件。

此外，假设3.5.1在以下情况下得到满足：oLGARCH：存在一个整数q>3p，使得（β+α）q<1矿石[|ηn | 2q]<∞ 和β+α<1/（E[|ηn | 2q]）1/q。我们注意到，GARCH传统上用于对数回报对数（Sn/Sn-1） notraw返回rn=序号/序号-1在计量经济学文献中。同于r 7→ log（r）是连续的，这对定理2.1没有限制，但对rn=log（Sn/Sn）施加假设3.5-1） 这意味着我们需要GARCH模型的指数矩。即使在参数设置下，重尾GARCH环境中的统计推断也是出了名的困难，参见例[29]。另一方面，对于短时间尺度，我们发现~ 1和近似对数（rn）~ 注册护士- 1非常准确。超边际价格的稳健估计35oNGARCH：存在一个整数q>3p，使得E[（β+α（ηn-c） ）q]<1或E[|ηn | 2q]<∞ β+α<1/（E[|ηn- VGARCH：存在一个大于3p的整数，使得β<1，E[|ηn | 2q]<∞.o TS-GARCH：存在一个大于6p的整数q，使得E[（β+α|ηn |）q]<∞.o GJR-GARCH：存在一个整数q>3p，使得E[（β+αηn+αmax（0，-ηn））q]<∞.o TGARCH：存在一个大于6p的整数q，使得E[（β+α|ηn |+αmax（0，-ηn））q]<∞.o PGARCH：δ>3p。证据第一种说法直接来自引理A.3。为了证明第二种说法，有必要检查E[| rn | q]<∞ 和（3.5）保持不变。再次使用引理A.3，在E[| rn | q]<∞ 在推论陈述中列出的条件下满足。

最后我们注意到kkn（r，·）- P（·）kTV=supkfk∞≤1 | E[f（rn）| r]- E[f（r）]|从而得出结论，对于0<ρ<1的β-混合，指数衰减性为（rn），如引理A.3所示，r~ P和所有kf k∞≤ 1我们有（E[（E[f（rn）| r]- E[f（r）]）]））1/2≤ （E[2 | E[f（rn）| r]- E[f（r）]|]）1/2≤E“2 supkfk∞≤1 | E[f（rn）| r]- E[f（r）]|#！1/2≤ （4E[kKn（r，·））- P（·）kTV）1/2≤ 2cρn/2，可求和。[24]中开发了GARCH模型（严格）平稳性测试。将他们的测试应用于1990年1月2日至2009年1月22日期间CAC、DAX、DJA、DJI、DJT、DJU、FTSE、Nasdaq、Nikkei、SMI和SP500的每日收益率，作者得出结论，时间序列的非平稳性是不合理的。A、 2。第3节的其他结果和证明。引理3.2的证明。有必要论证情况d=1，因为对于d≥ 2结果如【64，第1.1条】所示。Kiefer-Wolfowitz边界（见引理2.13）yieldP∞supr公司∈R+| FP（R）- F^PN（r）|≥ N-1/4!≤ 经验值(-2.√N） 。还记得A是连通的、开放的和有界的，满足假设3.1。因此，FP（x）+ε≤ x的FP（x+αε）∈ R、 因此，我们得出以下结论：∞-概率大于（1- 经验值(-2.√N） ）我们有，对于x∈ R、 FP（x- αN-1/4) ≤ FP（x）- N-1/4≤ F^PN（x）≤ FP（x）+N-1/4≤ FP（x+αN-1/4），尤其是W∞（P，^PN）≤ αN-1/4. 推论3.8的证明。“The”≤”-不等式如下定理3.6的证明。对于“≥ ”-不等式取QN∈ M和νN∈ Bpε+εN（^PN），使得kdQN/dνNk∞<36超边际价格的稳健估计Cn。假设存在鞅测度Q~ P以便kdQ/dPk∞≤C- δ对于某些δ>0。定义δN：=2 | CN- C |（C- δ） 中国大陆- C+δ∨2εNCNε+2εN- |中国大陆- C类|适用于所有N∈ N、 对于N∈ N足够大选择λN∈|中国大陆- C |+δNCN，δNC- δ.然后λN∈ （0，1），limN→∞λN=0和（1- λN）νN+λNP∈ 一组概率至少为1的Bpε（P）- βN.此外（1-λN）CN≤ C- δNand THOUS（1- λN）CN+λN（C- δ) ≤ C- δN+λN（C- δ） <C- δN+δN=C对于所有N∈ N

然后对于QN：=（1- λN）QN+λNQ我们有dQNd（（1- λN）νN+λNP）=d（（1- λN）QN+λNQ）d（（1- λN）νN+λNP）<坎德，如QN，Q∈ M和任意▄Q∈ MEQ[| r |]≤√dEQ[| max1≤我≤dri |]≤√ddXi=1EQ[| ri |]=√ddXi=1EQ[ri]=d3/2，存在M>0，使得eqn[g]≤ (1 - λN）EQN【g】+λNEQ【g】+λN | EQN【g】- 等式【g】|≤ supν∈Bpε（P），kdQ/dνk∞<CEQ[g]+λNM，其中最后一个不等式适用于P∞-概率至少为1-这就是证明。我们在此回顾了AV@RP1/kN（g）的连续性：引理A.5（[58]，Cor.11，p.538）。对于g∈ 土地P，~P∈ P（Rd+）我们有RP1/kN时的AV（克）- AV@RP1/kN（g）≤ kNW（P，~P）。这用于后续证明。推论3.11的证明。回想一下π^QN（g）=supP∈BpεN（βN）（^PN）supkdν/dPk∞≤克宁夫∈RdEν[g- H（r- 1)] .我们现在想交换上面的两个上确界和上确界，这可以通过与[2，定理3.1和引理3.2的证明]中相同的参数来完成。事实上，当NA（P）保持时，当P∈ BpεN（βN）（^PN）我们通过【22，定理1.48，p.29】得出结论，存在N∈ N这样1∈ ri（{Eν=[r]|）P∈ BpεN（βN）（^PN）s.t.kdν/dPk∞≤ kN}）对于所有N≥ N、 其中ri（A）表示集合凸包的相对内部∈ B（Rd+）。这意味着π^QN（g）=infH∈Rdsup▄P∈BpεN（βN）（^PN）supkdν/dPk∞≤kNEν[g- H（r- 1） ]=infH∈Rdsup▄P∈BpεN（βN）（^PN）AV@RP1/kN[克- H（r- 1)] .超边际价格的稳健估计37（3.8）中的第一个不等式微不足道，而第二个不等式来自g（r）的2 Lipschitz连续性- H（r- 1） 对于| H |≤ 1和▄P 7的连续性→AV@RP1/kN（g- H（r- 1） ）w.r.t.至w，见[58]或引理A.5。定理3.12的证明。ClearlylimN公司→∞supQ公司∈MEQ[克]- CNinf^Q~^PN，^Q∈Md^QdQ∞- 1.≥ 画→∞supQ公司~^PN，Q∈MEQ【g】=supQ~P、 Q∈MEQ【g】P∞-a、 它仍然需要建立反向不平等。首先假设CN=C.FixQ∈ M并考虑^Q~^PN，^Q∈ M使^Q Q

定义ε≥ 0到HQ（r/∈ supp（^PN））+NXi=1（Q（ri）-^Q（ri））+=ε。注意，对于一些Radon-Nykodym导数f和一些度量值ν，我们可以写出Q=f（r）^Q+ν，其中ν（Rd+）≤ ε. 设J：={i∈ {0，…，N}|^Q（ri）≥Q（ri）}。那么我们必须有XI∈J^Q（ri）- Q（ri）=ε。特别地f∞=d^QdQ∞≥1.- ε、 因为其他原因XI∈J^Q（ri）- Q（ri）<ε1- εXi∈JQ（ri）=ε1- ε1.- Q（r/∈ 支持（^PN））-NXi=1（Q（ri）-^Q（ri））+-xi∈{1，…，N}\\J^Q（ri）≤ ε、 矛盾。此外，通过ε的定义，等式[g]- E^Q[克]≤ Cε。ThusEQ[克]- Cd^QdQ∞- 1.- E^Q[克]≤ Cε -1.- ε+ 1=-Cε1- ε≤ 0，因此移动质量没有任何收益，尤其是UP^Q~^PN，^Q∈MEQ[克]- Cd^QdQ∞- 1.≤ sup^Q~^PN，^Q∈ME^Q[克]。对于CN→ C我们有eq[g]- 中国大陆d^QdQ∞- 1.- E^Q[克]≤ Cε- 中国大陆1.- ε- 1.= Cε- 中国大陆ε1 - ε,ε为非负≤ 1.-CN/C.最后，当^Q相对于Q不是绝对连续的情况是微不足道的，因为kd^Q/dQk∞= ∞. 38超边缘价格的稳健估计a。2.1. 定理3.6的证明。为了便于说明，我们首先在假设3.5.2下证明了定理3.6。我们采用第3节的符号。引理A.6（【23】定理2）。根据假设3.5.2，我们有∞（Wp（P，^PN）≥ ε) ≤cexp(-如果ε≤ 1，cexp(-cNεa/（2p）），如果ε>1或N≥ 1，d 6=2p且ε>0，其中c表示仅依赖于p、d、a、c和EP的正常数[exp（c | r | a）]。因此，对于某些置信水平β∈ （0，1）我们可以选择εN（β）：=对数（cβ-1） 中国大陆1/min（最大值（d/p，2），a/（2p）），如果N≥对数（cβ-1） c、，对数（cβ-1） 中国大陆（2p）/aif N<log（cβ-1） c（A.1），产生P∞（Wp（P，^PN）≥ εN（β））≤ β.引理A.7。修复N∈ N和p≥ 1、让Qn∈ DpεN（βN），kN（P），使Qn=>Q∈ n的P（Rd+）→ ∞. 然后| EQ[r- 1]| ≤ KkNεN（βN）对于某些K>0。当P＞1时，DpεN（βN），kN（P）是弱紧的。一般来说，DεN（βN），kN（P）不是弱环化的。证据取序列Qn∈ DpεN（βN），kN（P），使Qn=> Q

对于每n∈ n存在νn∈ BpεN（βN）（P）使得kdQn/dνnk∞≤ 千牛。首先注意，对于任何n，我们有（A.2）方程n[r∧ K]≤ kN（EP[r∧ K] +εN（βN））≤ kN（EP【r】+εN（βN））<∞.根据弱收敛和单调收敛定理，公式[r]≤kN（EP【r】+εN（βN））<∞. 接下来，我们显示| EQ[r- 1]| ≤ 常数·kNεN（βN）。同于| EQ[r- 1]| ≤√d最大值1≤我≤d | EQ[ri- 1]| ≤√ddXi=1 | EQ[ri- 1] |考虑情况d=1就足够了。然后| EQ[r- 1]| ≤公式[（r- 1) ∧K]- 方程[（r- 1) ∧K]+均衡器（r）- 1.-K） 1{r≥K+1}- EQn（r）- 1.-K） 1{r≥K+1}（A.3）现在考虑RHS上的条款。第三项可以通过取大K任意变小，因为Q允许第一时刻。第四项可以有界，类似于（A.2），如下所示：EQn[（r- K） 1{r≥K} ]≤ kNEP[（r- K） 1{r≥K} ]+kNεN（βN）≤ 2kNεN（βN），我们取K足够大。最后，对于固定的K，由于测量值的弱收敛性，可以通过取n大来减小前两项之间的差异。界| EQ[r- 1]| ≤ 常数·kNεN（βN）如下。如果p>1，则球BpεN（p）是弱紧的（参见[67，定义6.8，p.96]），特别是一致可积的，因此（A.3）中的第四项也收敛到零，在N中一致，如K→ ∞方程[（r- 1.-K） 1{r≥K+1}]≤ kNlim supK公司→∞supnEνn[r1r≥K] =0。此外，可能在子序列上，（νn）n∈n弱收敛到极限ν∈BpεN（P）。通过概率测度的正则性，可以针对有界连续函数检验dQ/dν，我们很容易得出结论kdQ/dνk∞≤ 千牛。这表明DpεN（βN），kN（P）的密实度。超边际价格的稳健估计39现在考虑p=1。我们给出以下反例：取P=δ，设为rn≥ 2νn=εn（βn）δ+1.-rnεN（βN）2（rn- 1)δ+εN（βN）2（rn- 1） δrn。此外，letQn=εN（βN）pεN（βN）δ+1-rnεN（βN）2（rn- 1） pεN（βN）！δ+εN（βN）2（rn- 1） pεN（βN）δrn。然后W（νn，δ）≤ εN（βN）和dQNdνN∞≤pεN（βN）。假设limn→∞rn=∞.

然后是QN=>pεN（βN）δ+1-pεN（βN）！δ/∈ M采用DεN（βN）的闭包，kN（P）将确保紧致性，但估计量supQ的一致性∈定理3.6中的^QNEQ[g]通常会丢失，因为闭包可能包含非鞅测度。要看到这一点，以g（r）=（r）为例-1） 在引理A.7证明的例子中。假设3.5.2下定理3.6的证明。让我们假设假设3.5.2已经满足。请注意“≥”-不等式来自引理A.8。的确，莱玛。8表示对于所有N∈ 存在一个鞅测度QN~ 带KDQN/dPk的P∞≤ KNUSCH thatsupQ公司~P、 Q∈MEQ[克]≤ 方程n[g]+aN，带aN→ 0作为N→ ∞. 带P∞-概率（1-βN）我们有P∈ BpεN（βN）（^PN），因此QN∈^QN。此给定SP∞supQ公司~P、 Q∈MEQ[克]- 一≤ supQ公司∈^QNEQ[克]！≥ 1.-βN，N≥ 我们记得NA（P）给出πP（g）=supQ~P、 Q∈MEQ【g】，因此，对于任何ε>0且N足够大的情况，P∞（π^QN（g）- πP（g）≤ -ε) ≤ βN→ 0作为N→ ∞.对于“≤”-不等式，我们假设g是从Belo开始有界的Lipschitz连续，我们取H∈ Rd使得πP（g）+H（r-1) ≥ g P-a.s.取序列QN∈^qn带EQN[g]≥ π^QN（g）- 一根据定义，存在νN∈ BpεN（βN）（^PN）使得kdQN/dνNk∞≤ 千牛。尤其是P∞概率（1- βN）我们有νN∈ Bp2εN（βN）（P）。让我们定义={πP（g）+H（r-1) - g级≥ 0}.新的[g]≤ 方程n[（πP（g）+H（r-1） ）1A+g1Ac]=πP（g）+EQN[H（r- 1） ]+EQN（g）- H（r- 1) - πP（g））1Ac（A.4）40超边际价格的稳健估计由于QNis是鞅测度，RHS上的第二项消失。要在RHS上创建最后一个术语，请考虑函数▄g：=（g- H（r- 1) -πP（g））∨ 0这是非负的，对于一些C>0和{g>0}=Ac的C-Lipschitz。SinceP（Ac）=0，我们特别有ZAc▄gdνN=ZAc▄gdνN-ZAcgdP=Z▄gdνN-ZgdP其中，Kantorovitch-Rubinstein对偶（3.3）由CW（νN，P）控制≤CWp（νN，P）。

我们得出结论，对于任何ε>0的情况，P∞π^QN（g）- πP（g）≥ ε≤ P∞（aN+CkNWp（νN，P）≥ ε) ≤ βnN足够大，因为εNkN→ 这建立了P中π^QN（g）到πP（g）的收敛性∞-可能性此外，当ERP∞N=1βN<∞, Borel-Cantelli引理的一个简单应用，类似于[21，引理3.7]，表明收敛性保持P∞-a、 这就得出了假设3.5.2下Lipschitz连续边界的证明。还有待争论”≤”-g有界连续时的不等式。我们确定一个较小的δ>0，并确定QN：=nQ∈ P（Rd+）P∈ BpεN（βN）（^PN），使得kdQ/dPk∞≤ 千牛/（1）- δ） 并设置π^QN，[0，K]d（g）：=supQ∈QN，Q∈M、 补充（Q）[0，K]dEQ（g）。类似于推论3.11，我们看到当K>1时，足够大的π^QN，[0，K]d（g）=inf（x∈ R |H∈ Rds。t、 supQ公司∈QN，supp（Q）[0，K]dEQ[g（r）- H（r- 1) -x]≤ 0).因此存在序列HN∈ RDS这样的SUPQ∈QN，supp（Q）[0，K]dEQ[g（r）- HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）]≤ 1/N（A.5）适用于所有N∈ N、 取K足够大，使d/K<δ。对于符号简单化，我们假设P具有完全支持。回想一下，g是有界的，| g |≤ C、 我们现在证明Hin是有界的。让我们首先看看下限：为此，我们∈ {1，…，d}假设HiN≤ 0（否则，我们将HiNfrombelow简单地绑定为0）。我们研究集合{P∈ BpεN（βN）（^PN）}，其中P∞-概率至少1-βN。现在我们取足够大的N，使得kn·P（sjrj≥ 1对于所有j 6=i，K/2<ri<K）≥ 1对于所有，…，si-1，si+1，sd）∈ {-1，1}d-1、然后定义sj=-符号（HjN）表示所有j 6=i和Dqs，。。。，硅-1，si+1，sddP：={sjrj≥1对于所有j6=i，K/2<ri<K}P（sjrj≥ 1对于所有j 6=i，K/2<ri<K），我们有（A.5）-欣（K/2-1) ≤ -HNEQ【r】- 1] ≤N- 等式[g（r）]+π^QN（g）≤ 2C+1对超边际价格41和HiN的准确估计≥ -（2（C+1））/（K/2-1).

另一方面，假设HiN≥ 0和设置dqs，。。。，硅-1，si+1，sddP：={sjrj≥对于所有j6=i，0<ri<1/2}P（sjrj≥ 1对于所有的j 6=i，0<ri<1/2），我们得到了与上面相同的参数hin/2≤ -HNEQ【r】- 1] ≤N- 等式[g（r）]+π^QN（g）≤ 2C+1对于一个可能更大的N。因此得出结论-（2（C+1））/（K/2-1) ≤ 欣≤ 4C+2。现在我们设置▄HiN：=（C- π^QN，[0，K]d（g））/（K- 1) ∨ 欣，我∈ {1，…，d}。显然是▄HiN≥ 0和π^QN，[0，K]d（g）+HiN（ri- 1) ≥ C（A.6）表示ri≥ K、 此外，as（C- π^QN，[0，K]d（g））/（K- 1) ≤ 2C/（K）- 1） 安德欣≥ -2（C+1）/（K/2- 1） 我们为ri≤ 10≥ （欣- HiN）（ri- 1) ≥ -（欣- HiN）≥ -4（C+1）/（K/2- 1).（A.7）现在考虑QN∈^QN。注意，通过马尔可夫不等式，我们得到了qn（[0，K]d）≥ 1.-丹麦≥ 1.-δ4C+2≥ 1.-δ.新NHG（r）-HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）- 4d（C+1）/（K/2- 1) -d（4C+2）/Ki≤ EQNh公司g（r）-HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）- 4d（C+1）/（K/2- 1)[0，K]di+EQNhg（r）-HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）- d（4C+2）/K（[0，K]d）ci≤ EQNh公司g（r）- HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）[0，K]di≤ supQ公司∈QN，supp（Q）[0，K]dEQhg（r）- HN（r- 1) -π^QN，[0，K]d（g）i≤N、 我们使用了（A.6）和（A.7）以及| HjN | QN（（[0，K]d）c）≤ 第二个不等式中j 6=i的d（4C+2）/K。在上一个不等式中，我们使用了（A.5）。根据π^QN（g）的定义，以及自EQN【~HN（r- 1） ]=0，表示π^QN（g）≤4d（C+1）K/2-1+d（4C+2）K+N+π^QN，[0，K]d（g）。在没有完全支撑的情况下，我们得到了相同的结果，在RHS上可能有一个常数乘以εnk的项。注意，我们要么haveri=1 P-a.s.，要么通过NA（P），P将质量放在1的任一侧。如果riisbounded在P下，我们可以取▄HiN=HiN，参数保持不变，但我们有额外的误差项，因为QNcan可以在无界r上放置小质量。最后，我们fixε>0，K>1，这样4d（C+1）K/2-1+d（4C+2）K≤ ε取一个序列（QN）N∈n满足π^QN，[0，K]d（g）≤ ε+方程n【g】表示所有n∈ N、 请注意，所有（QN）N∈[0，K]d上支持的Nare鞅测度。

由于超边缘价格的鲁棒估计sg在[0，K+1]d上一致连续，存在一个常数L>0，使得| g（r）- g（￠r）|≤ ε+L | r- r |对于所有r，~r∈ [0，K+1]d.定义g（r）：=supu∈[0，K]d（g（u）- （L）∨ 2C）| u- r |-ε） 注意g（r）- ε ≤ [0，K]das上的^g（r）以及^g（r）≤ [0，K+1]上的g（r）和^g（r）≤ -C在（[0，K+1]d）C上。结论为^g（r）≤ g（r）。对于固定u∈ [0，K]dwewriteg（u）- （L）∨ 2C）| u- r |-ε ≤ g（u）-（L）∨ 2C）| u- r |- ε+（L∨2C）| r-r |接管u的最高权力∈ [0，K]在双方，我们得出^g（r）≤ ^g（r）+（L∨ 2C）| r- r |。交换r的角色，最终产生| g（r）- ^g（r）|≤ （L）∨ 2C）| r- r |对于r，r∈ Rd+。因此，我们可以在定理3.6中证明Lipschitzcontinuous权利要求（并使用相同的符号），以获得π^QN（g）- πP（g）≤ π^QN，[0，K]d（g）- πP（g）+ε+N≤ 方程n【g】- πP（g）+2ε+N≤ 方程式【^g】- πP（g）+3ε+N≤ πP（^g）- πP（g）+3ε+^CkNWp（^PN，P）+N≤ πP（g）- πP（g）+3ε+^CkNWp（^PN，P）+N。对于某些^C>0。尤其是RP∞π^QN（g）- πP（g）≥ ε≤ P∞3ε+^CkNWp（^PN，P）+N≥ 4ε≤ βN.Asε是任意的，εNkN→ 0声明如下。我们使用了以下引理：引理A.8（[60]，Cor.3.3）。对于从belowsupkdQdPk有界的可测函数g∞<∞, Q∈MEQ【g】=supQ~P、 Q∈MEQ[克]。在我们完成定理3.6的证明之前，我们首先给出假设3.5.1下^pn的收敛速度。这是对[23]中结果的轻微修改，但其证明与其中定理15的证明基本相同，特此证明。引理A.9（[23]，定理15的证明）。

在假设3.5.1下，存在一个常数C>0，使得EP[Wp（P，^PN）P]≤ κN：=CN-1/2+N-（qs-p） /qsif p>ds/（2s），qs6=2p，N-1/2对数（1+N）+N-（qs-p） /qsif p=ds/（2s）和qs6=2p，N-p/d+N-（qs-p） /qrif p∈ （0，ds/2）和qs6=ds/（ds- p） 和qs：=q（s- 2） /（2s）和ds：=d（3s+2）/（2s）。根据【23，定理14和15之后的注释】，【23，定理15】中所述的L-L-衰变性质实际上太强了，因为我们的假设中只考虑了以一为界的函数。超边际价格的稳健估计43在假设3.5.1下定理3.6的证明。根据假设3.5.1，我们得到ε≥ 0P（Wp（P，^PN）≥ ε) ≤ κN/εpusing-Markov不等式，因此我们可以选择εN（β）：=κNβ1/p.（A.8）根据假设3.5.2，其余证明如下。A、 3。第4节的其他结果和证明。在证明定理4.5之前，我们回顾以下结果：引理A.10（【62】定理26.1，p.828&Ex.26.2，p.833）。设C表示Rd+中的所有闭球。然后∞画→∞supB公司∈C |^PN（B）-P（B）|=0！=所有P均为1∈ 定理4.5的P（Rd+）证明。设ε>0和fix P∈ P（Rd+）使NA（P）保持不变。Asg是一致连续的，它的P-凹包络算子在P，seeProposition 2.8处是连续的，我们可以取足够小的δ，以便对于所有的'P，'P∈ P（Rd+）带DH（supp（(R)P），supp（(R)P））≤ 2δ我们有|π'P（g）- πИP（g）|≤ ε/9.我们首先认为，我们可以限制为一个紧集。实际上，我们有|π^PN（g）- π^PN（g）|≤ |π^PN（g）- πP（g）|+|πP（g）- πP（g）|（A.9）+πP（g）- π^PN（g）|。我们选择W∞（P，P）≤ δ/4，即P（B）≤ P（Bδ/4）和P（B）≤P（Bδ/4）表示所有B∈ B（Rd+）。

Thussupp（P） supp（P）δ/2和supp（P） supp（P）δ/2。还要注意，通过选择δ，我们得到了|πP（·|[0，L]d）（g）- πP（·|[0，L]d）（g）|≤ ε/9和|πP（g）- πP（g）|≤ ε/9（A.10）通过单调极限变元，见定理2.1的证明，我们有SUPL∈NπP（·|[0，L]d）（g）=πP（g），所以对于所有足够大的L，πP（·|[0，L]d）（g）- πP（g）|≤ ε/9.修正这样的L并设置K：=[0，L]d。注意，（A.10）我们现在有πP（g）- πP（·| K）（g）≤ πP（g）- πP（g）+πP（g）- πP（·| K）（g）+πP（·| K）（g）- πP（·| K）（g）≤ ε/9 + ε/9 + ε/9 = ε/3.特别是对于i=0，10≤ πPi（g）- π^PiN（g）=πPi（g）- πPi（·| K）（g）+πPi（·| K）（g）- π^销（g）（A.11）≤ ε/3+πPi（·K）（g）- π^销（g）≤ ε/3+πPi（·K）（g）- π^销（·| K）（g）。我们继续限制RHS上最后两个术语的差异。让我们写下supp（^PiN）={ri，…，riN}，i=0，1。我们现在认为P∞（dH（{ri，…，riN}∩ K、 供应商（Pi）∩ K） >2δ）≤ ε/2，i=0，1，（A.12）44所有N≥ N*对于某些N*与P无关。为此，取M∈ N和确定性点▄r，rM∈ 供应商（P）∩ K这样∪Mk=1Bδ/2（￠rk） supp（P）δ/2∩ K 供应商（P）∩ K、 式中，Bδ（￠r）={r∈ Rd：| r- r |<δ}。那么，当M是有限的时，就存在N∈ 确保所有N≥ NP∞({k∈ {1，…，M}j∈ {1，…，N}s.t.|rk- rj |≤ δ}) ≥ 1.-ε/2.设置α：=水貂=1，。。。，MP（Bδ/4（￠rk））>0。然后P（Bδ/2（￠rk））≥ P（Bδ/4（￠rk））≥ α对于所有k=1，M.引理A.存在N*≥ 确保所有N≥ N*和所有P∈ P（Rd+）P∞supB公司∈C |^PN（B）-P（B）|≥ α!< ε/2，如果存在k∈ {1，…，M}这样对于所有j∈ {1，…，N}| rk- rj |≥ δ然后|^PN（Bδ/2（￠rk））- P（Bδ/2（～rk））|=P（Bδ/2（～rk）≥ α、 特别是supB∈C |^PN（B）-P（B）|≥ α. 砰的一声∞k∈ {1，…，M}j∈ {1，…，N}s.t.|rk- rj |≤ δ}≥ 1.-ε/2.另一方面，对于任何i∈ {0，1}和任意j∈{1，…，N}带rij∈ K存在K∈ {1，…，M}这样| rij- rk |≤ δ.

请注意{r，…~rM} 供应商（P）∩我们得出结论（A.12）成立。然后，根据我们对δ的选择，对于所有N≥ N*我们有∞πP（·| K）（g）- π^PN（·| K）（g）≤ ε/9，πP（·K）（g）- π^PN（·| K）（g）≤ ε/9> 1.-ε.因此，通过（A.11），我们推断出P∞πP（g）- π^PN（g）≤ 4ε/9，πP（g）- π^PN（g）≤ 4ε/9> 1.-ε.将上述内容与（A.9）和（A.10）相结合，我们得到了∞π^PN（g）- π^PN（g）> ε< ε.利用Strassen定理（[35，定理2.13，第30页]），我们推导出thatdL（LP（^πN），LP（^πN））≤ ε.证据到此结束。推论A.11。让P∈ P（Rd+）使NA（P）保持不变。（i） 设g是连续的，P P（Rd+）。如果P∈ 对于所有δ>0，存在一个紧集K Rd+这样的支持∈PπИP（g）- πИP（·| K）（g）≤ δ、 那么^πN（g）在P wrt下是鲁棒的。W∞关于P.（ii）设g是线性增长和P的连续函数 P（R+）。如果P∈ P、 P是一致可积的，对于所有δ>0的情况，存在C>0，这样supP∈PπИP（g）- supkdQ/dPk∞≤C、 Q∈MEQ[克]！≤ δ、 （A.13）然后^πNis在P wrt下稳健。W∞关于P.超边际价格的鲁棒估计45Proof。（i） ：设ε>0。通过假设，我们可以找到一个紧集K Rd+这样的支持∈PπИP（g）- πИP（·| K）（g）≤ ε/3.其余的证明如下所示，在上述定理4.5的证明中，使用g在K.（ii）上的一致连续性：设ε>0，并选择C>0，以使∈PπИP（g）- supkdQ/dPk∞≤C、 Q∈MEQ[克]！≤ ε/3，假设存在一个常数D>0，使得g（r）≤ D（1+| r |）表示| r |足够大。由于P是一致可积的，因此存在L>0使得supP∈PsupQ公司∈M、 kdQ/dPk∞≤CEQ[g1{| r|≥五十} ]≤ sup▄P∈PCEP[D（1+| r |）1{| r|≥五十} ]≤ ε/3.请注意，存在一个>0的对冲策略{H∈ Rd |π▄P（·|[0，L]d）（g）+H（r-1) ≥ g（r）~P（·|[0，L]d）-a.s.}包含一个元素，该元素以某个常数a>0为界，对于所有足够大的L>0：否则存在序列（Ln）n∈N、 （Hn）N∈Nand（▄Pn）n∈确认Hn→∞.

注意，通过▄Pn的一致可积性，我们得到了▄Pn=>P和▄Pn（·|[0，Ln]d）=>P，其中NA（▄P）保持不变。取▄Hn：=Hn/▄Hn▄，然后在可能取子序列▄Hn之后→H，其中|  H |=1和▄H（r- 1) ≥ 0▄P-a.s.，这导致▄H=0 byNA（▄P），这是一个矛盾。取L>0，使其SUPP∈PsupQ公司∈M、 kdQ/dPk∞≤CEQ[A | r | 1{| r|≥五十} ]≤ sup▄P∈PCEP[A | r | 1{| r|≥五十} ]≤ ε/3.那么对于所有的▄P∈ PπИP（g）- ε ≤ supkdQ/dPk∞≤C、 Q∈MEQ[克]- 2ε/3≤ supkdQ/dPk∞≤C、 Q∈MEQ[g1{| r|≤五十} ]- ε/3≤ supkdQ/dPk∞≤C、 Q∈MEQ[g1{| r|≤L}- A | r | 1{| r|≥五十} ]≤ supQ公司~P，Q∈MEQ[g1{| r|≤L}- A | r | 1{| r|≥五十} ]=πИP（g1{| r|≤L}- A | r | 1{| r|≥五十} （）≤ πрP（·|[0，L]d）（g）≤ πИP（g）。因此，我们可以再次限制K=[0，L]das，并按照第4.5条的证明进行。推论4.6的证明。回想一下，P是紧支持的，比如supp（P） BR（0）对于某些R>0，因此我们可以假设g是一致连续的。请注意，我们还有那个supp（^PN） BR（0），P∞-a、 定理4.5则显示了^πN的稳健性。因此，对于任何ε>0，都存在δ>0和N∈ N使得对于所有N≥ Nand all▄P∈ P（Rd+）我们有：W∞（P，P）≤ δ => dL（LP（πN），LP（πN））≤ ε/3.观察W∞（P，P）≤ δ表示dH（supp（P），supp（￠P））≤ δ. 命题2.8指出地图P 7→ π▄P（g）在伪度量dH（supp（P），supp（▄P）中是连续的。根据[4，Prop.C.2]，配备Hausdor ff度量的BR+1（0）闭子集的集合是紧凑的，因此特别存在N≥ 确保对所有46个超边缘价格的稳健估计n≥ Nand适用于所有▄P∈ B∞lN（^PN）我们有|π▄P（g）-π^PN（g）|≤ ε/3. 这就是证明。A、 4。第5节的其他结果。在本节中，我们将介绍一些模拟，以补充本文中的图3。