超边际价格的稳健估计

2022-6-10 06:43:35

超边缘价格的稳健估计Jan OB L’OJ和JOHANNES WIESELAbstract。我们考虑在具有d交易资产的无摩擦市场中，使用历史股票收益率对超高价格的统计估计。我们介绍了一种基于经验测度的插件估计器，并证明它是一致的，但缺乏适当的鲁棒性。为了解决这一问题，我们提出了一种新的估计方法，该方法使用一组更大的鞅测度，通过在经验测度周围的瓦瑟斯坦球半径和鞅密度的允许范数之间进行权衡来确定。我们建立了这些估计器的一致性和稳健性，并认为它们相对于插件估计器具有更好的性能。我们用相对于风险度量的可接受性来代替超边缘标准，从而推广了结果。我们进一步将我们的研究部分扩展到具有交易期权的市场、多周期设置和具有模型不确定性的设置。我们还研究了估计量的收敛性和超边缘策略的收敛性。简介计算与给定财务状况相关的风险是市场参与者必须执行的基本操作之一。对于银行等机构参与者而言，它受巴塞尔委员会（Basel Committee）的监管，该委员会规定了此类风险评估的规则和要求。长期以来，风险价值（VaR）一直是黄金标准，但最近这一标准正被凸风险度量（如平均VaR（预期缺口））或更复杂的方法（包括市场建模）所取代。因此，有大量关于VaR估计的文献和一些关于法律不变风险度量的统计估计的最新工作，请参见[13、44、45、43、58、19、20]。

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2022-6-10 06:43:38

所有这些工作都考虑了静态情况，不涉及交易。相反，在本文中，我们考虑了在市场中进行交易以提供其风险敞口的代理的风险估计。为了证明我们的设置的新颖性和相关性，我们专注于一种简单但规范的风险评估方法：超高价格。考虑一个单期无摩擦市场，其价格（St，St+1）以固定数字单位计价。当前的股票价格是已知的，未来的价格St+1被建模为随机变量，比如收益率r：=St+1/St来自于Rd+上的分布P。用于支付：Rd+→ R、英国牛津大学伍德斯托克路ROQ牛津大学数学学院和圣约翰学院邮箱：1月1日。obloj@maths.ox.ac.uk，约翰内斯。wiesel@maths.ox.ac.uk.Date：2020年4月8日。关键词和短语。超边际价格、风险度量、统计估计、一致性、稳健性、股票回报、Wasserstein度量、定价对冲二元性、经验度量。感谢欧洲研究理事会根据欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第335421号赠款协议提供的支持，以及伊诺克斯福德圣约翰学院提供的支持。我们感谢Daniel Bartl、Stephan Eckstein、Robert Stelzer、Ruodu Wang和三位匿名评论者的宝贵意见，这些意见使我们能够改进本文。JW进一步感谢德国学术奖学金基金会的支持。2超边际价格的稳健估计超边际价格由以下公式给出：（1.1）πP（g）：=inf{x∈ R |H∈ Rds。t、 x+H（r- 1) ≥ g（r）P-a.s.}。在这个简单的环境中，套利策略是H∈ Rd使得P（H（r- 1) ≥0）=1和P（H（r- 1） >0）>0，如果不存在这样的策略，我们就说无风险NA（P）成立。

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2022-6-10 06:43:41

根据资产定价的基本定理，无套利等价于存在一个概率测度Q，等价于P，在此概率测度下S是鞅，即EQ[r]=1。这样的度量可能不止一个，它们都可以用于定价。取等式[g]上的上确界可以计算g的最大可行价格，通过基本定价对冲对偶，这与g的超边际价格相同：（1.2）πP（g）=supQ~P、公式【r】=1EQ【g】，适用于所有钻孔g，参见【22，第1.31条】。尽管它具有理论重要性和实践相关性，但据我们所知，尚未尝试研究超边际价格的统计估计。我们的论文填补了这一重要空白。我们不是假设测度P，而是直接从收益率r，…，的历史观测值建立πP（g）的估计量，R并研究其性质。此外，我们扩展了估计量，以考虑期权价格数据。这在实践上是相关的，并且在方法上是新颖的，因为它允许将历史时间序列数据与当前期权价格数据或（用数学金融术语）物理度量数据和风险中性度量数据连贯地同时使用。相比之下，在现有的方法中，历史收益率（如果有的话）仅直接用于计算πP（g）。在经典数学金融中，第一个假设是一系列似是而非的模型{Pθ：θ∈ Θ}. 这种选择可能会受到历史回报的类型化特征的影响，最近的一个例子见[26]，以及其他考虑因素的影响，例如计算的可跟踪性。因此，不使用历史回报，仅利用“面向未来”的期权价格数据来选择候选定价度量Qθ。

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mingdashike22

2022-6-10 06:43:44

最近，由Mykland[52、54、53]在连续时间设置中首创，并在所谓的稳健定价和对冲方法中追求，有人建议使用历史回报来选择预测集，即需要超边缘属性的路径集，然后计算出最终的最便宜超边缘，即股票和期权交易，见[33、6]。我们的方法继承了这一观点，但采用了统计视点，并将其发展为动态和渐进一致的方法。为了描述我们的方法，假设我们观察到d维历史返回Sr=S/S，rN=序号/序号-1为简单起见，假设这些是满足无套利条件的分布P的非负i.i.d.实现。我们可以通过其相关的经验测度^PN=NNXi=1δri等效地表示观测值，众所周知，这些测度弱收敛于P作为N→ ∞, 参见【66，定理19.1，第266页】。这表明用^PN代替P来近似超边际价格是一种非常自然的方法。我们在下面的定理2.1中表明，结果插件估计量^πN（g）：=πPN（g）是渐近一致的：limN→∞πN（g）=πP（g），P∞-a、美国，超边际价格的稳健估计3p∞表示过程定律（rN）N≥然而，我们也表明^πNHA存在严重的缺点。首先，它不具有（统计）稳健性：P的小扰动可能导致^πN的分布发生大的变化。我们认为，在经典的统计稳健性定义（定义2.6）中使用的L'evy-Prokhorov度量在研究衍生工具定价的金融背景时是不合适的。在第4节中，我们提出并研究了替代指标和随后的统计稳健性概念。其次，从风险管理的财务角度来看，插件估计器也缺乏稳健性。

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2022-6-10 06:43:47

事实上，N中的^πNis单调且从下面收敛，所以它总是一个较低的风险估计：N^π≤ πP。在定理2.11中，以及在[55，第9节]中，我们研究了插件估计的收敛速度。在一维d=1的情况下，可以利用这一点来构建超边际价格πP的保守估计。改进插件估计量的第一个直觉可能是求助于P的支持估计量。实际上，超边际价格πP（g），例如对于连续g，仅通过其支持依赖于P。因此，我们可以将插件估计中的^PN-a.s.不等式替换为P的支持估计的不等式。此类估计在统计学中得到了很好的研究，可以追溯到[27，11，16，28]，参见[14，41，50，31，59，65，15，9]。不幸的是，这种方法似乎没有任何根据。首先，支持估计的收敛性通常对P施加强大的条件，例如，支持的紧性和凸性和/或密度的存在性。其次，对于超边际价格的收敛性，我们还需要对g施加一些一致的连续性假设。然而，在P和g的这种条件下，我们可以直接改进插件估计量，并考虑合适的^πN+aN，参见第2.4节。相反，为了解决插件估计器的缺点，我们提出了novelestimators，我们将在第3节中介绍它。他们利用了（1.2）中超边际价格的双重公式。为了实现财务稳健性并增加我们的点估计，我们需要考虑一类更大的鞅测度。因此我们考虑πQN（g）=supQ∈QNEQ[g]，其中QNis是所有鞅测度M的子集。插件估计量对应于取QN={Q∈ M：Q~^PN}，用qn={Q来代替它是很自然的∈ M：P∈ BN（^PN）s.t。

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2022-6-10 06:43:50

Q~P}，其中BN（^PN）是经验测度^PN周围概率测度空间中的某个“球”。我们表明，如果我们使用一个足够强的度量，例如，Wasserstein单位度量W，这可以得到一致的估计值∞. 但总的来说，这样的问题太大了。相反，我们的主要见解是考虑球半径和鞅密度行为之间的相互作用：^QN：={Q∈ M | kdQ/dPk∞≤ 对于一些▄P∈ BpεN（^PN）}，其中BpεN（^PN）表示半径为εNaround^PN和εN的p-Wasserstein球→ 0以及kN→ ∞. 通过选择合适的εN，kN，我们建立了正则g的π^QN（g）的一致性，见定理3.6，以及它们的财务稳健性，见推论3.7。这也使我们能够研究在关于P的模型不确定性下，估计器自然扩展到超边缘设置的情况，见推论3.8。π^QN（g）的统计稳健性如第4节所示，见定理4.2。在第5节中，我们将我们的分析扩展到风险评估的情况，即不使用超边际资本，而是通过通用风险度量ρ来接受Kusuoka表示（[46]，定义见（5.1））。我们强调，这是对超边际价格的稳健估计，与本介绍开始时回顾的所有作品基本不同，因为我们考虑的是一位能够交易并优化其头寸以提供风险的代理人。受π^QN（g）启发，我们提出了一个估计量，并证明了它的一致性。最后，我们还提出了另一个估计量：supQ∈MEQ[克]- CNinf^Q~^PN，^Q∈Md^QdQ∞- 1.其灵感来自于风险度量中使用的惩罚方法及其作为非线性期望的表示。该估计量的渐近一致性如REOM 3.12所示，并适用于任意可测有界g。本文的其余部分组织如下。

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2022-6-10 06:43:53

在第2节中，我们研究了pluginestimator^πN：其一致性、收敛速度和稳健性，包括统计和财务方面。在第3节中，我们提出了改进的估计量，并在不同的假设集下建立了所有估计量的一致性。随后，在第4节中，我们讨论了所有估计量的统计稳健性。我们特别表明，没有任何估值器能够在Tukey Huber-Hampel的经典意义上具有稳健性，并提出了修改经典定义的方法，使其更适合于超级对冲价格估值。然后详细介绍了主要结果的进一步应用。特别是，我们在第6节中讨论了超边缘策略的收敛性，并在第7节中部分地将结果推广到多周期设置。第8节讨论了广义鞅测度集的估计量πqn和估计量渐近相合的必要和充分条件。特别是，它激励了第3节中研究的估计量。最后，第9节更详细地研究了当d=1时插件估计量^πnw的收敛速度，并且是第2.4节的辅助。最后，附录A包含剩余的证明以及辅助结果。符号我们为A上的一组概率测度写P（A） Rd.Pn=> Pdenotes测度的弱收敛性。P∈ P（Rd+）是返回r的通用分布，因此EP[r]=RRd+xP（dx）。我们让M={Q∈ P（Rd+）：EQ[r]=1}表示股票价格的鞅测度集（St，St+1），其中St>0是固定的，St+1=rSt。我们把A上支持的鞅测度集写成maf∈ P（Rd+）不允许套利，或者NA（P）持有，如果{Q∈ M：Q~ P} 6=. 在上面和整个过程中，H是行向量，r是列向量，1表示标量或列向量（1，…，1）T.2。插件估计器回想一下，我们想为超边际价格πP（g）构建一个估计器。

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2022-6-10 06:43:56

做到这一点的最简单、可能也是最自然的方法就是用经验测量值^PN代替测量值。这就产生了插件估计器：（2.1）πN（g）：=πPN（g）。在这一节中，我们开发了必要的工具来证明这个估计量的渐近一致性并理解它的性质。证据见附录A。2.1. 一致性我们现在陈述本节的主要结果：定理2.1。设P，P∈ P（Rd+）和g：Rd+→ R是可测量的。假设r，r。具有初始分布和唯一不变分布P的时间齐次遍历马尔可夫链的实现，使得P P、 ThenlimN公司→∞^πN（g）=πP（g）P∞-a、 s.，（2.2），其中P∞表示从P开始的马尔可夫过程定律。超边际价格的稳健估计5备注2.2。上述定理中的假设是计量经济学理论中的标准假设，涵盖了金融回报数据建模常用的各种模型。我们参考[55]中的推论A.4，了解各种随机系数自回归模型的平稳性（指数衰减率）的充分条件，例如线性和幂次GARCH以及随机自回归波动率模型，这些模型经常用于期权定价。然而，我们注意到，这一假设排除了确定性趋势、结构突变和季节性因素，这些因素需要单独处理。一般g的证明遵循连续索赔g的Lusin定理，而连续索赔g又取决于使用凹面包络的超边缘价格的特征，我们现在回想起来。定义2.3。让g：Rd+→ 博雷尔。对于 Rd+和x∈ A我们定义了点凹包络线^gA（x）=inf{u（x）| u:Rd+→ R闭合凹面，u≥ A}上的g。我们定义了P-a.s。

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2022-6-10 06:44:00

凹面包络as^gP（x）=inf{u（x）| u:Rd+→ R闭合凹面，u≥ g P-a.s.}。众所周知，在上述凹包络的定义中，我们可以对一个函数取最小值，而不是凹函数。根据（1.1）中对超边际价格的定义，我们得到了（2.3）πP（g）=^gP（1）和^πN（g）=^g^PN（1）=^g{r，…，rN}（1）。许多应用科学研究了凹包络的性质和计算方法，或更一般地研究了离散点集凸包的性质和计算方法，并且有许多有效的数值例程可用于计算。自然，计算复杂性随着维数的增加而增加。尽管如此，仍然存在确定近似凸包的算法，其复杂性与维数无关，例如参见[61]。为了建立插件估计器的对偶公式，现在假设PP以及无P套利，NA（P），持有并收回这意味着定价享乐二元性，参见（1.2）。事实证明，自从supp（^PN） supp（P）这已经意味着NA（^PN）对于足够大的N是有效的。更一般地说，我们有：提案2.4。让P∈ P（Rd+）和（PN）N∈Nbe Rd+上的一系列概率测度，使得PN=> P和supp（PN）补充（P）。ThenNA（P）<=> N∈ 所有N的N s.t.NA（PN）≥ N、特别地，如果NA（P）成立，那么在定理2.1的设置中，我们也有limn→∞^πN（g）=limN→∞supQ公司~^PN，Q∈MEQ[g]=πP（g）P∞-a、 s.（2.4）我们在结束本节时，考虑到一个扩展的设置，其中除了交易资产s（我们观察其历史价格）之外，市场中还存在可用于对冲g的期权。如果使用这些期权扩大的市场不允许套利，则该市场中g的超边际价格也会被插件估计器近似，现在也允许期权交易。更准确地说，我们有以下内容：推论2.5。

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nandehutu2022

2022-6-10 06:44:03

让P∈ P（Rd+）和g：Rd+→ R是可测量的。除资产外，假设有d个交易期权，具有持续的f（r）收益和市场价格。确定评估图（r）=rrd，f（r）/f，fd（r）/fdT6超边缘价格的稳健估计P：=Po e-最后，假设无套利，NA（~P）成立。然后，在定理2.1的假设下，我们有P∞-a、 s.limN公司→∞inf{x∈ R |H∈ Rd+~ds。t、 x+H（e（r）-1) ≥ g（r）r∈ {r，…，rN}}=inf{x∈ R |H∈ Rd+~ds。t、 x+H（e（r）-1) ≥ g（r）P-a.s.}=supQ~P、 Q∈M、公式[f]=fEQ[g]。值得强调的是，在定价和套期保值的经典方法中，历史收益被视为物理度量输入，并可用于提取模型应显示的风格化特征。相反，optionprices提供风险中性的度量输入，并将用于校准价格度量。据我们所知，以前从未在一个估计量中一致使用这两种方法。2.2. 统计稳健性。估计量的稳健性与它们对抽样测度P的扰动的敏感性有关。为了正式证明这一点，假设我们有一系列估计量tn，其可以表示为固定函数lt:P（Rd+）→ R根据经验测量序列进行评估，即TN=T（^PN）。（2.1）中的超边际价格插件估计器显然就是这种情况。汉佩尔[30]提出了以下统计稳健性定义：定义2.6（[36]，第42页）。设r，r。从P获得i.i.d∈ P（Rd+）。

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2022-6-10 06:44:06

如果每个ε>0都有δ>0和N，则估计量序列TN=T（^PN）在P处是稳健的∈ N使得对于所有▄P∈ P（Rd+）和N≥ Nwe havedL（P，~P）≤ δ ==> dL（LP（TN），LP（TN））≤ ε、式中，Dl为L'evy-Prokhorov metricdL（P，~P）：=inf{δ>0 | P（B）≤对于所有B，P（Bδ）+δ∈ B（Rd+）}。（2.5）我们有时会说，TN对于DLS是稳健的，以强调对度量的特定选择的依赖性。Hampel的一个经典结果（见[36，Thm.2.21]）表明，如果T是渐近一致的，即TN=T（^PN）-→ T（P），对于所有P∈ P（Rd+）则当且仅当T（·）在P处连续时，tn在P处是鲁棒的。以下理论描述了超边际价格的弱连续性，因此也描述了其估计量的鲁棒性。特别是，它意味着，即使对于i.i.d.来说，也只对g和P的特殊组合返回^πNis鲁棒性。定理2.7。设g是连续的，P∈ P（Rd+）。然后是功能性第7页→πP（g）在P处是下半连续的，当且仅当πP（g）=supQ是连续的∈MEQ[克]。（2.6）因此，只有当上述等式成立时，任何渐近一致估计tn在P处才是鲁棒的。特别是我们看到，一般来说，插件估计器^πN（g）不是robustw。r、 t.dL。这一点适用于任何渐近一致性估计，这一事实强烈表明，稳健性的经典定义在当前环境下并不充分。超边际价格πP（g）与P的支持有关，在这个意义上，对于P，P∈ 具有相等支撑的P（Rd+），对于连续g，我们有πP（g）=πP（g）。相反，L'evy-Prokhorov传感器中的任何δ-扰动都会导致支承的任意变化，见引理A.1。特别是，即使PROBUST对超边际价格的估计7不满足套利要求，其邻近地区的衡量标准也可能不满足，也可能不采用（1.2）来衡量这些标准。

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2022-6-10 06:44:09

为了控制支撑，我们可以考虑dH（supp（P），supp（▄P）），对于P，▄P∈ P（Rd+），其中dh表示Rd+闭子集上的hausdorff度量。提案2.8。让g：Rd+→ R是一致连续的，设P∈ P（Rd+）使NA（P）保持不变。然后是功能P（Rd+）3P→ πрP（g）是连续的。r、 t.伪度量dH（supp（P），supp（￠P））。唉，这不允许我们恢复插件估计器的统计稳健性，因为上面的伪计量不允许控制P的尾部。相反，在第4.2节中，我们考虑了更强的W∞允许获得类似于汉佩尔稳健性结果的度量。2.3. 财务稳健性。如上所述，插件估计器^πnnt不仅缺乏统计稳健性，而且也不是一个财务稳健的风险估计。事实上，如果P P、它从下方收敛到超边际价格，即^πN%πP。从风险管理的角度来看，我们希望找到从上方收敛的P-a.s.超边际价格的一致估计值。然而，正如我们现在所表明的，这在一般情况下是不可能的。由于超边缘函数相对于L’evy-Prokhorov度量dL的不连续性，在实际应用中无法在某种置信水平上实现上述收敛。提案2.9。让P∈ P（Rd+）满足NA（P）和g有界且lipschitz连续。然后，不存在πP（g）的一致估计，因此对于置信水平α∈ [0，1]存在N个∈ N和P∞田纳西州≥ supQ公司∈M、 Q~所有N的PEQ【g】≥ N≥ α（2.7）对于所有P∈ P（Rd+）。因此，为了实现上述性质（2.7），有必要对P和g进行额外的正则性假设。我们表明，这对于合适的保守估计量是可能的，见下文第3.2节。

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2022-6-10 06:44:12

在插件估计器的情况下，我们永远无法从上面实现收敛，但我们可以理解差异πP（g）的数量级- πN（g）。我们首先通过研究收敛速度来实现这一点，另请参见【55，第9节】。其次，我们通过适合插件估计器的统计稳健性概念来实现这一点，参见第4.2.2.4节。收敛速度。现在我们研究（2.4）中的收敛速度。虽然受到财务考虑的影响，但这个问题是一个独立的问题。我们关注一维情况。设fp为P的累积分布函数∈ P（R+）和dN=supr∈R+| F^PN（R）- FP（r）|表示^pn和P.defition 2.10之间的KolmogorovSmirnov距离。对于N∈ N和k=1，b1/（3dN）c我们确定了定量间距κNk=F-1P（3kdN）- F-1P（3（k- 1） dN∨ 0+，k=1。b1/（3dN）c。此外，我们设置κN=（F-1P（1）- F-1P（1- dN）如果P具有有界支撑，则为0。让κN=supk∈{0，…，b1/（3dN）c}κNk。8超边缘价格的稳健估计我们现在可以确定插件估计器的收敛速度。定理2.11。在定理2.1的设置中，假设NA（P）成立，且g有界且与| g（r）一致连续-g（￠r）|≤ δ（| r-对于某些δ：r+→R+使得δ（R）→ r为0→ 0。那么，作为N→ ∞,πP（g）- ^πN（g）=supQ~P、 Q∈MEQ[克]- supQ公司~^PN，Q∈MEQ[g]=（O（δ（κN）），如果P有有界支撑，Oδ（κN）+F-1P（1-dN）否则备注2.12。当P的支撑有界时，上述结果适用于所有连续的g。此外，k N等于0→ ∞.引理2.13（Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz，参见[42，第11.6条]）。假设返回r，r。i.i.d.样品是否来自P∈ P（R+）。然后，对于每ε>0P∞（dN>ε）≤ 2e类-2Nε。定理2.11和引理2.13给出了πP（g）分布的概率界- πN（g）。

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2022-6-10 06:44:15

[55，第9节]对此进行了探讨，我们还证明了定理2.11，并提供了引理2.13.3的扩展。P-a.s.超边际价格的改进估值器在上一节中，我们已经看到插件估值器是渐近一致的，但从统计和财务角度来看，它有重要的缺点。为了解决这些问题，我们现在提出了新的估计量，并研究了它们的症状行为及其稳健性。为了构造这些，我们考虑了经验测度^pn周围的“球”，并根据最近的^PNto P的收敛速度结果来选择半径。我们从考虑瓦瑟斯坦球场的球开始-∞ 指标，它提供了对支撑的良好控制，但我们需要对Pto做出强有力的假设，从而控制^PN的收敛速度。随后，在第3.2节中，我们考虑了Wasserstein-p指标，p≥ 1、使用较弱的指标允许我们处理所有允许适当时间的指标，但需要对双重（定价）指标进行处罚。事实上，我们的估计依赖于经验测度收敛结果的适当组合，以及对定价和鞅密度控制的见解。与上面推论2.5的精神类似，我们将物理度量和风险中性度量结合起来，参见（3.4）。我们注意到，使用Wasserstein指标，而不是较弱的指标，允许我们控制第一时刻，这对于无套利原因很重要，请参见【55，第8节】。最后，在第3.3节中，我们考虑更大的球，实际上是所有的M，并让惩罚选择适当的措施。此处给出了简短的证据，这些证据在附录A.2.3.1中报告。瓦瑟斯坦W∞球。

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2022-6-10 06:44:18

在考虑插件估计器的稳健性时，我们发现，要考虑^pn周围的球中的度量，我们必须考虑距离的概念，与L'evy-Prokhorov度量不同，该距离控制支撑。这是由Wasserstein实现的-∞ 距离W∞（P，~P）：=infγ∈π（P，~P）γ-ess sup | x-y |=infnε>0P（B）≤§P（Bε），§P（B）≤ P（Bε）B∈ B（Rd+）o，（3.1），其中∏（P，~P）表示所有概率测度γ的集合，其中，定义和第二种表示之间的相等是对超边际价格的可靠估计，这是斯科罗霍德表示定理的结果。（3.1）与（2.5）的直接比较表明，W∞以DLD不支持的方式控制支持。然而，考虑W∞如果P有无界支持，那么W∞（P，^PN）=∞ 适用于所有N∈ N因为^pn得到了完全支持。出于这个原因，也为了获得适当的置信区间，以便使用W∞-我们必须对球施加相对较强的假设P：假设3.1。测度P是连通、开放和有界集合A的P（A）的元素∈ 具有Lipschitz边界的B（Rd+）。此外，P允许密度ρ：A→ (0, ∞) 这样就存在α≥ 1，其中1/α≤ ρ（r）≤ αonA。在上述假设下，我们对W有明确的界∞（P，^PN）。cased=1遵循Kiefer-Wolfowitz边界，而case d≥ 2在【64，第1.1条】中建立。引理3.2。假设完整假设3.1和NA（P）成立。此外，r，r。如果d=1，则为P的i.i.d.样本，概率为0（exp(-2.√N）），W∞（P，^PN）≤ lN（1，α，A）：=αN-1/4. 如果是d≥ 2，则除概率为O（N）的aset外-2），W∞（P，^PN）≤ lN（d，α，A）：=C（α，A）（log（N）3/4N1/2if d=2，log（N）1/dN1/dif d≥ 3、我们让B∞ε（P）表示a W∞-P周围半径为ε的球。

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2022-6-10 06:44:21

上面的引理允许我们根据这样的W推断估计量的一致性∞球：提案3.3。考虑P∈ 满足NA（P）和假设3.1的P（Rd+），并设α，lN：=lN（d，α，A）如引理3.2所示。设g是连续函数，r，r。来自P.Then^π的i.i.d.样品∞N（g）：=辅助∈B∞lN（^PN）πИP（g）和πP（g），如N→ ∞, P∞- a、 s.备注3.4。W的实际使用∞估值器需要很好地处理lN。它对集合A的依赖性很小——从[64]我们可以看到，如果一个双Lipschitz同胚φ：A→ [0，1]dexists，那么常数C仅通过Lipschitz常数φ依赖于域a。然而，α的知识需要对A上P的密度进行统一的先验估计。这应该与下面的wp估计相比，wp估计只需要某些矩的精确性。命题3.3的证明。根据引理3.2，Borel-Cantelli的一个应用表明，P∞-a、 N足够大P∈ B∞lN（^PN），尤其是^π∞N≥ πP.进一步表示为dH（supp（P），supp（￠P））≤ W∞（P，~P）乘以（3.1），对于所有~P∈ B∞lN（^PN）我们有供应（^P） supp（P）2lN，g一致连续的紧集。对于该紧集所支持的度量，命题2.8产生P的连续性→ πИP相对于W∞, 这反过来意味着^π的一致性∞Nand结束了该暂停。因此^π∞Nis不仅一致，而且财务稳健。我们将在下面的Incorrolary 4.6中看到，它在统计上对于W也是稳健的∞. 然而，这些结果仅适用于满足假设3.1的措施P。在下一节中，我们将介绍一系列估计量，这些估计量对一类更大的测度表现出类似的期望性质P.10超边际价格的稳健估计3.2。Wasserstein Wpballs和鞅密度。

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nandehutu2022

2022-6-10 06:44:24

我们假设无套利根（P）持有并利用（1.2）来考虑形式为（3.2）πQN（g）：=supQ的估计量∈QNEQ[g]对于基于^PN周围“球”的鞅测度集qn的不同规格。为了保证渐近一致性，我们必须确定真测度P包含在这些球中，并且我们对QN中鞅测度的尾部有一定的控制。继[21]最近的工作之后，我们的重要见解是与定义的Wasserstein指标合作≥ 1和P，~P∈ P（Rd+）和有限的pthmoment，byWp（P，~P）=inf公司ZRd+×Rd+| r- s | pγ（dr，ds）γ ∈ π（P，~P）1/P其中∏（P，P）是Rd+×Rd+上的一组概率测度，边缘为PandP。在P=1的情况下，[40]表明Kantorovitch-Rubinstein对偶（见[17，定理11.8.2，P.421]）有一个特别好的表达式：W（P，P）=supf∈LZRd+f（y）du（y）-ZRd+f（y）dν（y）,（3.3）式中，Ldenotes the 1-Lipschitz continuous functions f:Rd+→ R、 P周围的Wassersteinball表示为dbpε（P）={P∈ P（Rd+）| Wp（P，~P）≤ ε}.对于给定ε≥ 0和k∈ (0, ∞], letDpε，k（P）：=Q∈ MdQdP∞≤ k表示一些▄P∈ Bpε（P）.（3.4）人们的第一直觉可能是使用QN=DpεN，∞（3.2）中的（^PN）。有趣的是，这不起作用，因为球太大了。事实上，Wasserstein距离度量了weakconvergence，引理A.1表明，任何围绕^pn的球都包含有完全支撑的度量。事实证明，为了获得一致的估计量，ε和k之间需要（3.4）中的微妙相互作用。假设3.5。（1） r，r。

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nandehutu2022

2022-6-10 06:44:27

具有初始分布和唯一不变分布P的时间齐次遍历马尔可夫链的实现，使得P P和kdP/dPkL2s（P）<∞ 对于一些s>3。此外，EP[| r | q]<∞ 对于某些q>2ps/（s）- 2）存在一个序列（ρN）N∈NwithPN公司∈NρN<∞ 如果r~ 体育课E[f（rN）- m（f）| r]≤ ρN，（3.5）适用于所有kf k∞≤ 1，全部N∈ N、其中m（f）=E[f（r）]。（2） r，r。是P的i.i.d.样品，且存在a，c>0，使得EP[exp（c | r | a）]<∞.我们发展了所有p的理论≥ 在实践中，p的选择必须由统计学家做出。从定理4.2和上述推论3.7的方程式中可以明显看出，为了稳健性，我们希望将p取得尽可能大。然而，这使得力矩假设更具限制性。在文献中，p=1和p=2的情况是最常见的，尤其是p=1的良好对偶性和Lis是Hilbert空间的事实。超边际价格的稳健估计11我们再次参考[55，推论A.4]以获取满足消费3.5的过程示例。显然，假设3.5.2意味着3.5.1。在这一假设下，参见[21]，使用测量浓度技术获得P∞（W（P，^PN）≥ ε），参见引理A.6和[55，引理A.9]。这允许显式计算函数εN：（0，1）→ εN（β）&0为N的R+→ ∞, 如此之多∞（Wp（P，^PN）≥ εN（β））≤ β、 N个≥ 1、如果假设3.5.1成立，然后εNis在（A.8）中给出，或者假设3.5.2成立，然后εNis在（A.1）中给出，我们说假设3.5成立。我们在本节中陈述了主要结果。定理3.6。设g为Lipschitz连续且自下有界或连续且有界，p≥ 1和P∈ P（Rd+）满足NA（P）。假设假设3.5成立，βN∈ （0，1）满足limN→∞βN=0和limN→∞εN（βN）=0。Picka序列kN=o（1/εN（βN））。

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2022-6-10 06:44:30

那么，P中的极限∞-概率极限→∞π^QN=πP（g），（3.6）成立，其中^QN:=DpεN（βN），kN（^PN）。此外，如果（βN）N∈Nsatis FIESP∞N=1βN<∞ 那么极限（3.6）也保持P∞-几乎可以肯定。上述结果表明π^qn是πP的渐近一致估计。注意，我们假设无套利NA（P），因此，使用（1.2），上述收敛性等价于imn→∞supQ公司∈^QNEQ[g]=supQ~P、 Q∈MEQ[克]。当我们想要强调对p的依赖时，我们写下^QpN=^QN。如上所述，一致性在很大程度上取决于^QN的选择。我们在【55，第8节】中进一步讨论了这一点，并推动了上述选择。对于p>1，Dpε，k（p）是弱紧的，但Dε，k（p）通常不是弱闭的，见Lemma。7、当p=1时，取^qnCo的弱闭包会破坏估计量的渐近一致性，例如取g（r）=（r-1）在引理A.7证明的例子中。对于βN=exp的特殊选择(-√N）在假设3.5.2下，显式计算得出，对于足够大的N，我们有εN（βN）=log（cexp(√N））中国！1/min（最大（d/p，2），a/（2p））~N1/min（最大值（2d/p，4），a/p）。然而，βnar的许多其他选择是可行的。关键的一点是，对于可求和（βN），Borel-Cantelli论证意味着，对于足够大的N，真实分布P在^PN周围的εN（βN）-球内。这使我们能够推导出估计值财务稳健性的充分条件：推论3.7。在定理3.6的设置中，使用p∞N=1βN<∞, 让g是这样的C∈ R+s.t.supQ∈M、 kdQdPk∞≤CEQ【g】=supQ~P、 Q∈MEQ【g】=πP（g）。（3.7）然后π^QN（g）≥ πP（g）对于足够大的N，估计量是渐近一致的，并且从上面收敛。条件（3.7）由近似结果驱动，见引理A.8。

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2022-6-10 06:44:34

当我们不确定真正的衡量标准时，它也允许我们考虑这种情况，相反，我们更愿意在所有的衡量标准下，在它的小邻里里进行超级边缘化。12超边际价格的稳健估计3.8美元。在定理3.6的设置中，fix C>0，并假设存在sq∈ M、 kdQ/dPk∞< C、考虑CN→ C和a固定ε>0。ThenlimN公司→∞supQ公司∈Dpε+εN，CN（^PN）EQ【g】=supQ∈Dpε，C（P）EQ【g】在P中保持不变∞-概率和P∞-a、 s.wheneverP公司∞N=1βN<∞.我们用两个例子来结束这一节，说明定理3.6中关于g正则性的假设不容易放松。例3.9（g无界，非Lipschitz）。设置g（r）=（r- 1）并考虑（rN）N≥1i。i、 d.从P=δ。对于rN≥ 2考虑测量值νN=εN（βN）δ+1.-rNεN（βN）2（rN- 1)δ+εN（βN）2（rN- 1） δrNandQN=εN（βN）pεN（βN）δ+1-rNεN（βN）2（rN- 1） pεN（βN）！δ+εN（βN）2（rN- 1） pεN（βN）δrN。然后W（νN，δ）≤ εN（βN），dQNdνN∞≤pεN（βN）并选择rN=1/εN（βN），我们得到N【g】≥pεN（βN）2（1/εN（βN）- 1）（1/εN（βN）- 1)→ ∞, 作为N→ ∞.示例3.10（g有界，不连续）。设置g（r）=1{r6=1}，并考虑（rN）N≥1i。i、 d.从P=δ。设νN=δ1-εN（βN）/2+δ1+εN（βN）/2，然后W（νN，δ）=εN（βN）/2。我们得出结论→∞supQ公司∈^QNEQ[克]≥ 画→∞supQ公司νN，Q∈MEQ【g】=1 6=0=supQ~P、 Q∈MEQ[克]。让我们注意到，作用于有限维空间的π^QN（g）受更复杂版本的插件估计器的限制。要了解这一点，请确定1/k级的g风险平均值，对于k≥ 1，byAV@RP1/k（g）=最大P~P、 kdP/dPk∞≤kEP【克】。在尺寸1中，d=1，可以重新表示，见[22，Thm.4.47]，asAV@RP1/k（g）：=kZ1-1/kF-1便士og-1（x）dx，这使得与经典风险值的联系显而易见。如果我们现在包括交易和优化最终头寸的能力，那么通过AV@RP1/k（·）的平移不变性，我们可以写出∈RP1/k时的RdAV（g（r）- H（r- 1））=infnx∈ R |H∈ Rds。t。

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2022-6-10 06:44:36

RP1/k时的AV（g（r）- H（r- 1) -x）≤ 0o，这是一个超边际价格，其中验收锥由AV@Rconstraint给出。π^QNfollow的类似表示和界限：超边际价格的稳健估计13图1。插件估计器πN（虚线）和WassersteinestimatorπQN（虚线）收敛到N的真值（实线）→ ∞ 对于g（r）=（1-r） 1{r≤1}-√r- 11{r>1}，P=Exp（1）（左）和g（r）=（r-2） +，P=exp（N（0，1））（右）。结果平均超过10次。推论3.11。在定理3.6的设置中，设g为1-Lipschitz和P∈ P（Rd+）满足NA（P）。然后存在N∈ N使得对于所有N≥ 九小时∈RdAV@R^PN1/kN（g（R））- H（r- 1))≤ infH公司∈Rdsup▄P∈BpεN（βN）（^PN）AV@RP1/kN（g（R）- H（r- 1））=π^QN（g）=inf（x）∈ R |H∈ Rds。t、（3.8）支持∈BpεN（βN）（^PN）AV@RP1/kN（g（R）- H（r- 1) -x）≤ 0)≤ inf | H|≤1AV@R^PN1/kN（g（R））- H（r- 1））+2kNεN（βN）在一组大于或等于1的概率上-βN.注意π^QN（g）=supP∈BpεN（βN）（^PN）supkdν/dPk∞≤克宁夫∈RdEν[g- H（r- 1)] .通过使用最小-最大参数交换两个上确界和上确界，并使用P 7的连续性进行证明→ AV@RP1/kN（g-H（r-1））w.r.t.至w，详见【58】和附录A.2。我们提供了一种直接计算TensorFlow中实现的Wasserstein估计量的方法，该方法基于[18]中获得的最新对偶结果。由于使用大样本时，这种近似在计算上相当昂贵，因此我们选择计算（3.8）中给出的π^QN（g）的上界。如图1.3.3所示。一种惩罚方法：不连续支付的估计量。

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2022-6-10 06:44:39

在上一节中，我们介绍了基于WassersteinOur Python实现的估计器π^QNwhere^QNwere，本文中的所有数值示例都可以找到athttps://github.com/johanneswiesel/Stats-for-superhedging.14超边缘价格的稳健估计10010111021031041051002×1013×1014×1016×101图2。定理3.12中的惩罚估计量（虚线）和插件估计量^πN（虚线）收敛到真值（实线）为N→ ∞ 对于g（r）={r≤0.5}，P=Pfrom【55，示例9.1】（左），g（r）=1{r≤0.5}，P=Exp（1）（右）。结果平均超过10次。^PN周围的球。该估计器使我们能够解决插件估计器的基本缺点，但正如反例所示，它仅在g的适当正则性假设和/或P的进一步假设下是符号一致的。要构造一个估计器，该估计器在保持π^QN的一些期望鲁棒性的同时，对非连续支付也是一致的，将风险度量中使用的惩罚方法及其表示作为非线性期望是很自然的。也就是说，我们在惩罚项中使用Radon-Nikodym导数的最大范数，而不是Wasserstein距离。定理3.12。在定理2.1的设置中，让NA（P）保持不变，让g:Rd+→R+是Borel可测的，并且有一个常数C>0的界。那么对于任何CNN→∞-→ C我们有Limn→∞supQ公司∈MEQ[克]- CNinf^Q~^PN，^Q∈Md^QdQ∞- 1!!= supQ公司~P、 Q∈MEQ【g】（3.9）P∞-a、其中，对于两个概率度量Q，^Q表示d^QdQ∞= ∞ 如果^Q不是绝对连续的w.r.t.Q，（3.9）的直接实现证明了由于分数kd^Q/dQk，在数值上昂贵且不稳定∞出现在处罚期内。因此，在图2中，我们给出了附录A.2中定理3.12的证明中得出的惩罚估计量的上界。

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2022-6-10 06:44:42

在本文的其余部分，我们重点讨论插件和瓦瑟斯坦估计量的更易处理的性质。4、超边际价格估计的统计稳健性在定理2.7中我们指出，除非（2.6）中的超边际价格微不足道，否则经典稳健性在hampel意义下无法成立。这与L'evy Prokhorov度量的属性密切相关，参见引理A.1，我们自然会考虑比dL更强大的度量，这有助于更好地控制支持。下面，我们将研究Wasserstein距离的使用。首先，我们考虑WPP≥ 1这有助于建立第3.2节中的估计器π^qn的稳健性。然后我们转向一个更强的度量W∞这是研究插件估计器所需要的。超边际价格的稳健估计154.1。关于Wasserstein-Hausdorff度量的稳健性。在[48]之后，我们考虑了Wasserstein Hausdorff距离，即配备Wp的P（Rd+）子集之间的Hausdorff距离：定义4.1。设P，~P P（Rd+）。集合p和▄p之间的p-Wasserstein-hausdorff度量由wp（p，▄p）给出：=maxsupP∈品脱▄P∈PWp（P，▄P），sup▄P∈PinfP∈PWp（P，~P）！。在这种一般性中，Wp（P，~P）可以取单位值。[48]中讨论了该量的性质，假设P和P的紧性和一致可积性。我们将该距离应用于形式为^QN=DpεN（βN），kN（^PN）的集合，请参见（3.4），并且我们注意到DεN（βN），kN（^PN）既不紧也不一致可积，请参见引文A.7。我们在第3.2节中使用这些集合来定义一致估计量π^QN，参见（3.2）和定理3.6。以下内容确定了它们的稳健性：定理4.2。修复p≥ 定理3.6中研究的估计量π^qn对于p-Wasserstein-hausdorff度量是鲁棒的，在这个意义上，supg∈Lπ^QN（g）- π^QN（g）≤ Wp（^QN，^QN），其中^QiN=DpεN（βN），kN（^PiN）表示Pi∈ P（Rd+），i=1，2。证据

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2022-6-10 06:44:45

注意，对于所有g∈ 土地Qi∈^QiN，i=1，2，我们有eq[g]- 等式[g]=ZRd+×Rd+g（r）- g（s）dγ（r，s）≤ZRd+×Rd+| r- s | dγ（r，s），其中γ∈ π（Q，Q）是Rd+×Rd+上的概率测度，边缘为QandQ。对所有这些概率测度取最小值γyieldsEQ【g】- 等式【g】≤ 所有p的Wp（Q，Q）≥ 1、权利要求如下。备注4.3。特别是，如果P，Padmit无套利thenlimN→∞Wp（^QN，^QN）=0表示SUP（P）=SUP（P）。实际上，否则存在一个Lipschitz连续函数g，这样SUPQ~P、 Q∈MEQ【g】6=supQ~P、 Q∈MEQ【g】，因此，根据一致性，limN→∞Wp（^QN，^QN）>0，P∞-a、 s.4.2。相对于W的稳健性∞以及支撑的扰动。我们现在重新考虑第2节中插件估计器的稳健性。与前一节类似，简单考虑^PN和^PN支撑之间的Hausdorff距离似乎很自然。在命题2.8中，我们建立了P（Rd+）3P的连续性→ 伪计量dH中的π▄P（g）（supp（P），supp（▄P）），但指出它不足以产生稳健性结果。回顾（2.5）中的L'evy指标，ifdL（P，~P）≤ ε那么可以通过将ε质量重新分布到Rd+上的任意点，从P中得到P，而（1- ε）质量只能在P分配质量的ε-邻域（欧氏距离）内移动。正如我们之前所观察到的，前一个操作会导致问题，因为它会不可控地更改度量值的空集。在我们的伪度量下，这不再可能。然而，为了获得稳健性，我们必须将所有集合的质量再分配限制为ε-邻域，而不仅仅是整个支撑。这是通过W∞从（3.1）中的第二个表示可以清楚地看出，metric16对超边缘价格的稳健估计。这导致了以下健壮性扩展概念：定义4.4。让P P（Rd+）和r，r。身份证号码。

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2022-6-10 06:44:48

带分布P∈ P、估计量序列TN=T（^PN）在P∈ P w.r.t.w∞在P上，如果所有ε>0，则存在δ>0和N∈ N使得对于所有N≥ Nandall▄P∈ PW公司∞（P，P）≤ δ ==> dL（LP（TN），LP（TN））≤ ε.下面断言插件估计器在上述意义上的稳健性，这是本节的主要结果。定理4.5。让P∈ P（Rd+）使NA（P）保持不变。然后，对于一致连续的g，插件估计量^πN（g）在P w.r.t.w下是鲁棒的∞在P（Rd+）上。定理4.5的证明见【55，第A.3节】。有几种方法可以在g上接受连续性假设，并在某些P上获得鲁棒性 P（Rd+），见【55，推论A.11】。我们以^π稳健性的结果结束本节∞提案3.3中的N（g）。推论4.6。设g为连续函数，P∈ 满足NA（P）和假设3.1的P（Rd+）。然后，估计量^π∞命题3.3中的N（g）是稳健的atP w.r.t.w∞在P（Rd+）上。5、风险度量估计P-a.s.超边际价格πP（g）是对有支付的负债中的空头头寸风险的非常保守的评估。相反，我们可以使用风险度量ρpf进行此类评估，如【10】所述，从而得出πρP（g）：=inf{x∈ R |H∈ Rd使得ρP（g- x个-H（r- 1)) ≤ 0}.请注意，我们将上述在市场上交易的能力包括在内，以（最佳）降低g的风险。我们考虑ρPwith Kusuoka的表示ρP（g）=supu∈PZAV@RPα（g）du（α），（5.1），对于[0，1]上的一组概率测度P。这并不是很严格，因为这种表述（首次在[46]中获得）适用于任何法律不变的相干风险度量，请参见[37]。重要的是，它使我们能够将ρP（g）视为基本度量值P的函数。就像我们对πP（g）所做的那样，我们希望直接从观察到的股票收益来估计πρP（g）。

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2022-6-10 06:44:51

为此，我们引入了以下估计量πρBpεN（βN）（^PN）（g）：=infnx∈ R |H∈ Rd，以便支持∈BpεN（βN）（^PN）ρИP（g- x个-H（r- 1)) ≤ 0oas是π^QN（g）的自然等效物。特别是，如果P={Δα}，其中α∈ [0，1]表示ρP（g）=AV@RPα（g）和相应的估计量πρBpεN（βN）（^PN）（g）类似于固定水平1/kN的Wasserstein Wpestimator：=α。我们得到了以下一致性结果：超边际价格的稳健估计17命题5.1。假设g满足| g（r）-g（￠r）|≤ Lγ| r-对于某些γ，r |γ≤ 1和Lγ∈ R和supu∈PRu（dα）/αγ/p<∞. 然后，对于满足NA（P）和假设3.5的任何P，P中的极限∞-概率极限→∞πρBpεN（βN）（^PN）（g）=πρP（g）保持不变。如果满足假设3.5.2，则该限制也适用于P∞-a、美国证明。“The”≥”-定理3.6的证明遵循不等式。我们现在用[58][推论11，p.538]证明了反不等式。固定ε>0。请注意，存在∈ Rd使得ρP（g-πρP（g）-ε-H（r-1)) ≤ 0。那么对于所有▄P∈ BpεN（βN）（^PN）πρИP（g）≤ ρИP（g- H（r- 1））=ρИP（g- πρP（g）- ε - H（r- 1））+πρP（g）+ε=[ρ▄P（g- πρP（g）- ε - H（r- 1)) - ρP（g- πρP（g）- ε - H（r- 1））]+ρP（g- πρP（g）- ε - H（r- 1））+πρP（g）+ε≤~LγWp（~P，P）γsupu∈PZu（dα）αγ/p+πρp（g）+ε。由于ε>0是任意的，因此声明如下。最后，我们对估计量的性能进行了简单的实证检验。我们根据GARCH（1，1）模型模拟每周收益率：rn=ru- 2uηnphn，hn=ω+βhn-1+αrn-其中ω=0.02，β=0.1，α=0.8，ηnis标准student-t以u=5自由度分布。我们从上述P中抽取1000个样品~ GARCH（1，1）并计算插件估计量πAV@R0.95^PN（（r- 1） +）和Wasserstein估计量πAV@R0.95BpεN（βN）（^PN）（（r- 1)+).

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mingdashike22

2022-6-10 06:44:54

我们将其与π的参数估计进行比较AV@RP0.95（（r- 1） +），其中我们首先估计GARCH（1,1）模型的参数，然后计算πAV@RP0.95（（r- 1） +）考虑到估算模型P。对于每一个估算，我们使用50周的运行窗口，这符合巴塞尔协议III中计算10天的规定AV@R（见[57，MAR33，p.89]），其中规定历史观察期的最小长度为一年。我们还考虑了观测时模型参数变化的情况330- 三个估计器的行为如图3所示。theWasserstein和plugin估计器都能很好地逼近真值，theWasserstein估计器是最保守的估计器。参数估计表现出最不稳定的行为，这是由于GARCH（1,1）参数的估计不稳定，只有50个数据点。这表明，与参数方法相比，即使模型选择正确，我们提出的估计量也具有优势。图3中的最后一个窗格使用2006年1月1日至2015年1月1日的标普500周收益数据，移动窗口为50周。GARCH（1,1）估计器（该模型被错误地定义）没有检测到任何市场运动，而Plugin和Wasserstein估计器都检测到了金融危机及其后果。对于类似的图，但GARCH（1,1）使用对数返回，我们参考[55，第A.4节]。虽然是初步的，但我们认为，这项简单的实证研究表明，我们的方法具有明显的优势。特别是，令人鼓舞的是，在最后一个窗格中，瓦瑟斯坦估计数清楚地选择了金融危机和欧元区债务危机时期。

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2022-6-10 06:44:57

显然需要对不同估计器的比较性能进行进一步深入研究，这对于未来的研究是很有帮助的。18超边缘价格的稳健估计0 200 400 600 800 10000.000.020.040.060.080.100.120.14真值插件历史wasserstein历史插件GARCH（1,1）0 200 400 600 800 10000.050.100.150.20真值插件历史wasserstein历史插件GARCH（1,1）2006 2007 2009 2011 2012 2014 20150.020.040.060.080.10插件历史wasserstein历史插件GARCH（1,1）图3：。π估计值的比较AV@RP0.95（（r- 1)+). 估计使用50个数据点的滚动窗口，我们绘制了最后10个（前两个窗格）或5个（最后一个窗格）估计的平均值。数据来自P~ GARCH（1，1）（第一个窗格）及其变量，中间三分之一时间序列的参数发生变化。最后一个窗格使用S&P500返回。超边际价格的稳健估计196。超边际战略的趋同为第2节和第3节建立超边际价格趋同的一致性结果，我们现在转向相应超边际战略的趋同。我们从插件估计器的情况开始。定理6.1。考虑P∈ P（Rd+）满足NA（P）。假设n≥1supp（^PN）=supp（P）。然后对于任何交易策略序列（HN）N∈N满足πN（g）+HN（r- 1) ≥ g（r）^PN-a.s.存在一个子序列（HNk）k∈n接近H∈ Rd满足πP（g）+H（r-1) ≥ g（r）P-a.s.证明。注意，我们可以在不丧失一般性的情况下假设HN∈ lin（辅助（P）-1）适用于所有N∈ N、 NA（P）表示序列（HN）N∈Nis有界。事实上，假设HN→ ∞. 显然HN/| HN |→小时∈ Rd，其中H=1。也因为πN（g）+HN（r- 1) -g（r）≥ 0^PN-a.s-1) ≥ supp（P）上为0。按NA（P）~H（r）-1） =0遵循P-a.s.和▄H∈ lin（辅助（P）- 1））我们有▄H=0，这与▄H▄=1相矛盾。

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