如果套期保值者的g-评估的比较属性成立，则过程-Xu+A是左上半连续的，然后是套期保值者超边际成本的下边界，h（x）=Y- x=infσ∈Tsupτ∈三甘醇，h0，σ∧τ（Jh（σ，τ））- x、 （19）其中（Y、Z、L、U）是套期保值者的DRBSDE的唯一解决方案，参数为（g、Xl、Xu、XmT）-dYt=g（t，Yt，Zt）dt- ZtdSt公司- dAt+dLt- dUt，YT=XmT，Xlt≤ 年初至今≤ Xut，RT（Yt- Xlt）dLct=RT（Xut- Yt）风管=0，Ld=-（Y）- A） 1{Y-=Xl码-}, Ud=（Y）- A） 1{Y-=徐-},（20） 其中Xlt：=Vbt（x）- Xct<Xut：=Vbt（x）- XHTF适用于所有t∈ [0，T]和XlT≤ XmT：=VbT（x）- XbT公司≤XuT。16 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiProof。We FIX x公司∈ 我们首先证明了ps，h（x）≤ Y-x、 必须表明，对于初始值p′=Y-x、 如果Yi是从DRBSDE（20）获得的，我们可以找到套期保值者的超额收益策略。因此，我们的目标是表明存在一种策略（Д′，σ′）∈ ψ（x+p′，A）×T，使得三重态（p′，Д′，σ′）完全满足条件（SH）。为此，我们确定了策略（p′，ν′）=（Y-x、 Z）其中（Y、Z、L、U）是DRBSDE（20）的唯一解决方案。对于一个g iven过程Z，财富V=V（x+p′，Д′）满足远期SDE（dVt=-g（t，Vt，Zt）dt+ZtdSt+dAt，V=Y.（21）此外，如果我们设置σh：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xut}，然后利用U的连续性（见Remark3.2），我们得到Uσh=0，因此，在随机区间[0，σh]上，U=0，DRBSDE（20）可以被视为Y的一个ward-SDE，具有给定的过程es Z和LdYt=-g（t，Yt，Zt）dt+ZtdSt+dAt- dLt，Y=Y，Xlt≤ 年初至今≤ Xut，RT（Yt- Xlt）dLct=0，Ld=-（Y）- A） 1{Y-=Xl码-}.（22）根据[26]中的引理3.1，我们推断Vt≥ Ytfor所有t∈ [0，σh]因此，自Yt≥ XLT适用于所有∈ [0，T]，我们认为≥ XLT适用于所有t∈ [0，σh]。

此外，Vσh≥ Yσh=Xuσh≥ Xmσh。因此，对于所有t∈ [0，T]，Vσh∧t型≥ Xlt{t<σh}+Xuσh{σh<t}+Xmt{t=σh}=Jh（σh，t），这意味着（p′，ν′，σ′）=（Y- x、 Z，σh）是套期保值r的超边缘策略，定义为2.3。我们得出结论，不等式ps，h（x）≤ Y- xis有效。现在需要说明的是ps，h（x）≥ Y- x、 通过定义上确界，它可以显示- xis是任何p的下界∈ Ks，h（x）。让我们任意取一个p∈ Ks，h（x）。然后存在一对（Д，σ）∈ ψ（x+p，A）×T使得，对于所有τ∈ T，Vσ∧τ（x+p，ν）≥ Xlτ{τ≤σ} +Xuσ{τ>σ}+Xmσ{τ=σ}=Jh（σ，τ）。对于每个τ，套期保值者的g-评估收益率的比较性质∈ T，x+p=Eg，h0，σ∧τVσ∧τ（x+p，ν）≥ 例如，h0，σ∧τ（Jh（σ，τ））。自τ起∈ T是任意的，我们得到x+p≥ supτ∈三甘醇，h0，σ∧τ（Jh（σ，τ））≥ infσ∈Tsupτ∈三甘醇，h0，σ∧τ（Jh（σ，τ））=Y，其中最后一个等式来自假设3.3。我们得出结论，ps，h（x）≥ Y- x、 这就完成了平等的证明（19）。为了验证下一个假设，我们参考备注3.2。假设3。4、流程Xl- A和-Xu+A是左上s E连续的，因此hedger的DRBSDE（20）的溶液（Y，Z，L，U）中的过程L和U是连续的。在下一个结果中，我们确定了Cg的复制策略。回想一下，第2.3节介绍了ahedger的CG复制策略的概念。请注意，在定义停止时间时，我们从此采用以下约定： = T3.2上的提案。

如果假设3.4得到满足，且套期保值者估值的比较属性成立，则以下断言有效：（i）三元组（Y-x、 Z，σh）是套期保值者对Cg的复制策略，其中（Y，Z，L，U）是D RBSDE（20）的博弈期权17解的唯一线性定价，停止时间σh：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xut}，（ii）套期保值者的最小套期保值和复制成本满足pr，h（x）=ps，h（x）=Y- x、 （23）（iii）我们有pr，h（x）=Eg，h0，σh∧τh（Jh（σh，τh））- x、 其中τh：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xlt}。证据我们已经知道Y- x=ps，h（x）≤ pr，h（x），从而证明第（i）部分和第（ii）部分，其结果表明（p′，Д′，σ′）=（Y- x、 Z，σh）是套期保值者对Cg的复制策略。注意，过程Y和Xu的右连续性给出了Yσh=Xuσ，而L和U的连续性确保了Lτh=0和Uσh=0，因此可以在[0，σh]上查看DRBSDE（2 0∧ τh]与DE（22）一样，具有预定过程Z，且过程L满足所有t的Lt=0∈ [0，τh]。因此，从SDE（22）解的唯一性出发，我们得到等式Vt（Y，Z）=Yton[0，σh∧ τh]。特别是，P（τh=σh）=0（因为Xl<Xu）和vσh∧τh（Y，Z）=Yσh∧τh=Xlτh{τh<σh}+Xuσh{τh>σh}=Jh（σh，τh），这意味着（Y- x、 Z，σh）是套期保值者对Cg的复制策略。断言（iii）现在是适用于套期保值者的DRBSDE（20）的假设3.3的中间结果。解决套期保值者估值的最后一步取决于证明套期保值者的最小复制成本也是其最大公平价格，并给出套期保值者可接受价格的替代表示。下一个结果的证明与定理2.1的证明非常相似；尽管如此，为了完整起见，还是给了他re。定理3。1.

如果假设3.4得到满足，且套期保值者sg-evaluation的严格比较属性成立，则套期保值者的可接受价格ph（x）s atis fiesph（x）=pf，r，h（x）=bpf，h（x）=pr，h（x）=Y- x=Vh（Xl、Xu、Xm）- x、 证明。必须证明pr，h（x）属于集合Kf，h（x），或者等价地，不等式pr，h（x）<p对每一个p都成立∈ Ka，h（x）。为此，我们将以矛盾的方式进行辩论。让我们表示p′=pr，h（x）。假设p′∈ Ka，h（x），因此存在一个策略（Д′，σ′）∈ ψ（x+p′，A）×t表示三重态（p′，Д′，σ′）完全满足条件（AO）。然后我们得到了，对于每个τ∈ T，PVσ′∧τ（x+p′，Д′）≥ Jh（σ′，τ）= 1，PVσ′∧τ（x+p′，ν′）>Jh（σ′，τ）> 设置τ=τ手利用套期保值者g-评价的严格比较性质，我们得到x+p′=Eg，h0，σ′∧τhVσ′∧τh（x+p′，Д′）> 例如，h0，σ′∧τh（Jh（σ′，τh））。然而，根据假设3.3和假设3.2（iii），我们得到了例如，h0，σ′∧τh（Jh（σ′，τh））≥ 例如，h0，σh∧τh（Jh（σh，τh））=x+p′，因此我们得到x+p′=Eg，h0，σ′∧τhVσ′∧τh（x+p′，Д′）> 例如，h0，σ′∧τh（Jh（σ′，τh））≥ 例如，h0，σh∧τh（Jh（σh，τh））=x+p′，这是一个明显的矛盾。因此，bpr，h（x）/∈ Ka，h（x），因此bpr，h（x）∈ Kf，h（x），这意味着集合Kf，r，h（x）是非空的。从引理2.3来看，我们得出结论：bpf，h（x）=pr，h（x）=pf，r，h（x）=ps，h（x）。现在的断言来自命题3.1和3.2。18 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski3.5 Hedger的合理取消时间我们的下一个目标是为游戏合同Cg提供一些有用的类别特征，所有可能的Hedger的合理取消时间。定义3.4。

我们说σ′∈ T是套期保值者对CG的合理取消时间，如果合约在时间0时以套期保值者可接受的价格ph（x）进行交易，并且存在交易策略Д∈ ψ（x+ph（x），A），使得Vσ′∧τ（x+ph（x），Д）≥ 每个τ的Jh（σ′，τ）∈ T鉴于财富过程和过程Jh（σ′，·）的规律性，条件a出现在定义3中。4可以重述如下：不等式Vσ′∧t（x+ph（x），Д）≥ Jh（σ′，t）保持所有t∈ [0，T]。假设g ame合约CG在时间0以套期保值者可接受的价格ph（x）进行交易。然后，从定理3.1和命题3。1和3.2，我们知道存在一个三重态（Д′，σ′，τ′）∈ψ（x+ph（x），A）×T×T，一方面，（ph（x），Д′，σ′）∈ （SH）另一方面，（ph（x），Д′，σ′，τ′）∈ （BE）。因此，我们发现所有套期保值者的理性取消和盈亏平衡时间的类别（见定义3.5）均为非空。我们的首要目标是确定所有套期保值者的合理取消时间的类别。为此，我们需要以下版本的BSDE与generator g解决方案的比较属性。假设3.5。BSDE解决方案的以下扩展比较属性适用：如果forj=1，2(-dYjs=gj（s，Yjs，Zjs）ds- ZjsdSs+dHjs，Yjτ=ζj，其中τ∈ T，ζ≥ ζ、 g（s、Ys、Zs）≥ g（s、Ys、Zs）表示所有s∈ [0，τ]和过程H- 他的不减损，然后是Ys≥ Ysfor e甚s∈ [0, τ].引理3.1。假设假设3.5得到满足，套期保值者的sg-evaluation的严格比较属性成立。假设（Y、Z、L、U）是DRBSDE（20）的唯一解决方案。如果σ′∈ 这是套期保值者的合理抵消时间和τ′∈ T是这样的，Lτ′=0，Yτ′=Xlτ′，那么我们有uσ′∧τ′=0和Yσ′∧τ′=Jh（σ′，τ′）。证据假设σ′∈ T是赫德对Cg的合理取消时间。

然后存在ahedger的交易策略∈ ψ（x+ph（x），A），使得Vσ′∧τ（x+ph（x），Д）≥ 每个交易对手的执行时间τ的Jh（σ′，τ）∈ Thedg-er的g-evaluationyieldsx+ph（x）=Eg，h0，σ′的比较性质∧τVσ′∧τ（x+ph（x），Д）≥ 例如，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ）），因此alsox+ph（x）≥ supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ））。特别是，如果τ′∈ T等于Yτ′=Xlτ′，然后x+ph（x）≥ supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ））≥ 例如，h0，σ′∧τ′（Jh（σ′，τ′）≥ 例如，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′，（24），其中最后一个不等式成立，因为可以显示Jh（σ′，τ′）≥ Yσ′∧τ′. 事实上，由于四元组（Y，Z，L，U）解出了DRBSDE（20），我们得到了Yσ′∧如果τ′，τ′=Yτ′=Xlτ′≤ σ′，Yσ′∧τ′=Yσ′≤ 如果σ′<τ′，则为Xuσ′≤ T和Yσ′∧τ′=XmTifτ′=σ′=T。因为jh（σ′，τ′）=Xlτ′{τ′<σ′}+Xuσ{σ′<τ′}+Xmσ{τ′=σ′}，Xl<Xuand Xl≤ Xm公司≤ Xu，现在很容易看到Jh（σ′，τ′）≥ Yσ′∧τ′. 回顾thatph（x）=Y- x、 我们从（24）Y获得≥ 例如，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′). （25）博弈期权的非线性定价19通过一个关于τ′的假设，我们还可以使Lτ′=0成立，因此DRBSDE（20）为0≤ r≤t型≤ τ′可以写成(-dYr=g（r，Yr，Zr）dr- ZrdSr公司- dAt公司- dUr，Yt=Yt，Xlr≤ 年≤ Xur，Rt（Xur- Yr）dUcr=0，Ud=（Y）- A） 1{Y-=徐-}.利用假设3.5，我们得到了不等式Eg，hs，t（Yt）≥ Ysfor 0≤ s≤ t型≤ τ′，这意味着过程Y是[0，τ′]上的Eg，h-次鞅。根据（25）和dger g-评估的后严格比较性质，我们现在可以推断出每0≤ s≤ σ′∧ τ′Eg，hs，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Ys。（26）相反，假设等式（26）不是真的。那么套期保值者的g-评价的严格比较性质将是yieldEg，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Eg，h0，s（Eg，hs，σ′）∧τ′（Yσ′）∧τ′）>Eg，h0，s（Ys）≥ Y、 这与（25）相矛盾。

从（26）中，我们有Eg，ht，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=yT，因此，对于所有0≤ s≤ t型≤σ′∧ τ′，Eg，hs，t（Yt）=Eg，hs，t（Eg，ht，σ′）∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Eg，hs，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Ys，其中最后一个等式也来自（26）。因此，我们证明了Y是[0，σ′上的Eg，h-鞅∧ τ′，所以Uσ′∧τ′=0和Uσ′∧t=0表示所有t∈ [0, τ′]. 特别地，我们有Eg，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Y.（27）通过将（24）与（27）组合，我们得到Y=x+ph（x）=Eg，h0，σ′∧τ′Vσ′∧τ′（x+p，ν）= supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ））=Eg，h0，σ′∧τ′（Jh（σ′，τ′）=Eg，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′).因为我们已经证明了Jh（σ′，τ′）≥ Yσ′∧τ′，利用hedger\'sg-评价的严格比较性质，我们得到了期望的等式Jh（σ′，τ′）=Yσ′∧τ′. 我们将研究交易对手τh：=inf{t的两个可能的行使时间∈ [0，T]| Yt=Xlt}，(R)τh：=inf{T∈ [0，T]| Lt>0}，这对于套期保值者的估值和理性取消问题具有特殊的意义，3.3上的上标h.Propositi强调了这一点。让假设3.4–3.5得到满足，套期保值者的g-评估具有严格的比较性质。那么以下断言是正确的：（i）如果停止时间σ′∈ T是这样的：（a）Uσ′=0，（b）Yσ′=Xuσ′，那么σ′是套期保值者的理性取消时间，（ii）如果σ′是套期保值者的理性取消时间，那么Uσ′∧τh=Uσ′∧\'τh=0，Yσ\'∧τh=Jh（σ′，τh）和Yσ′∧？τh=Jh（σ′，？τh）。证据（i） 如果条件（a）满足，那么，如第3.1项中的证明，我们得出套期保值者交易策略的存在∈ ψ（x+ph（x），A），使财富过程V=V（x+ph（x），Д，A）满足Vt≥ 年初至今≥ XLT适用于所有t∈ [0, σ′]. 此外，由于（b）成立，我们得到vσ′≥ Yσ′=Xuσ′≥ Xmσ′和，对于所有t∈ [0，T]，Vσ′∧t型≥ Xlt{t<σ′}+Xuσ′{σ′<t}+Xmσ′{σ′=t}=Jh（σ′，t）。因此，很明显σ′是套期保值者对Cg的合理取消时间。20 E.Kim、T.Nie和M。

Rutkowski（ii）根据Le mma 3.1，有必要证明Lτh=L'τh=0，Yτh=Xlτhand Y'τh=Xl'τh。质量Yτh=Xlτh取决于τhand的定义过程的正确连续性。因此，根据（20），从L的连续性我们得到Lτh=0。现在，我们将显示l’τh=0和Y’τh=Xl’τh。对于ar位ε>0，存在δ∈ [0，ε]使得L'τh+δ>0，并且，sinceRT（Yt- Xlt）dLt=0，存在δ∈ [0，δ]使得Y′τh+δ=Xl′τh+δ。从Y和xl的右连续性以及ε和0≤ δ≤ δ ≤ εar e任意，我们推导出y′τh=Xl′τh。此外，由于所有t∈ [0，’τh），考虑到L的连续性，我们也得到了L‘τh=0。推论3.1。满足假设3.4–3.5，且套期保值者的g-评估的严格比较属性成立。然后停车时间σhand'σh，由σh给出：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xut}，(R)σh：=inf{T∈ [0，T]| Ut>0}，是hedger的有理抵消时间。证据我们首先考虑停止时间σh。从Y和Xu的正确连续性中，我们得到质量Yσh=Xuσh。此外，从σh的定义中，我们得到Y<xutf∈ [0，σh），所有t的Ut=0∈ [0，σh]观察到U是连续的。利用命题3.3中的（i）部分，我们得出结论，σ是套期保值者的理性取消时间。现在让我们关注停止时间σh。然后，类似于命题3.3的证明，使用Y和Xu的右连续性，我们可以表示所有t∈ [0，(R)σh]。因此，再次使用命题3.3中的第（i）部分，我们得出结论，σhis也是套期保值者的合理取消时间之一。在美式期权和非线性市场的情况下，很容易描述期权持有人的早期和最新持有人的合理行使时间（例如，Kim等人[26]第3.6节）。

相比之下，由于游戏合同在任何情况下都可以被双方中的任何一方终止，因此很难提供套期保值者最早和最晚的取消时间的完整描述，同样，也很难提供交易对手最快和最新的理性执行时间。然而，可以证明套期保值者的理性取消时间σhand‘∑henjoy至少在某些特定情况下，是套期保值者所有理性取消时间中最早和最晚的。推论3.2。满足假设3.4–3.5，且套期保值者的g-评估的严格比较属性成立。那么以下断言是正确的：（i）如果σ′是套期保值者的理性取消时间，那么σ′是≤ 事件的σEh：={σh≤ \'τh}，则σ′=σhon Eh，（ii）如果σ′是套期保值者的合理取消时间，则σ′≥ \'σhon the event\'Eh：={\'σh<\'τh}，然后σ′=\'σhon\'Eh。证据（i） 我们用矛盾来争论。设σ′为停止时间，使得σ′≤ 事件eh和P的σ（{σ′<σh}∩ Eh）>0。考虑到'τh≥ σhon呃，我们有σ′∧ Eh上的τh=σ′。由于停止时间σh的定义，我们在{σ′<σh}上有Yσ′<Xuσ′。ThusYσ′型∧\'\'τh=Yσ′<Xuσ′=Xuσ′\'∧在{σ′<σh}上，\'τh=Jh（σ′，\'τh）∩ EH其中最后一个等式从（18）开始。鉴于第3.3条第（ii）部分，我们得出结论，σ′不能是套期保值者的理性取消时间。（ii）我们再次通过矛盾论证。设σ′为停止时间，使得σ′≥ 事件中的σEhand P（{σ′>\'σh}∩(R)Eh）>0。因为明显的“τh>”σhon“Eh，我们有P（σ′）∧ \'τh>\'σh）>0。由于‘σh’的定义，这意味着P（Uσ′）∧τh>0）>0，因此，从第3.3节第（ii）部分的观点来看，σ′不能是套期保值者的合理取消时间。

从推论3.2可以看出，特别是，如果不等式τh≥ σhholds，那么σhist是所有套期保值者理性取消时间中最早的，也就是说，如果σ′是任何套期保值者的理性取消时间，那么σ′≤ σh，则σ′=σh。类似地，如果τh>σh，则σ是所有套期保值者的最新合理取消次数，也就是说，如果σ′是任何套期保值者的合理取消次数，则σ′≥ \'σh，则等式σ′=\'σhholds。博弈期权的非线性定价213.6套期保值者的盈亏平衡时间在下一步中，我们将检查套期保值者的盈亏平衡时间集，该集在定义3.5中介绍。显然，套期保值者的盈亏平衡时间实际上是交易对手选择的特定行使时间，但其名称旨在强调交易对手选择该时间对套期保值者财务结果的影响非常特殊。换言之，这是一个与套期保值者的单边估值问题相关的特殊的交易时间，但对于交易对手的单边估值和在一般非线性框架下的行使问题来说，这通常是没有意义的。定义3.5。A停车时间τ∈ T被称为三元组的套期保值盈亏平衡时间（p，Д，σ）∈R×ψ（x+p，A）×T，如果条件（BE）由四组（p，Д，σ，τ）满足。备注3.4。利用问题的对称性，我们还将在第3.8节中分析交易对手的合理行使时间（由交易对手选择）和交易对手的中断事件时间（由套期保值者选择），但对交易对手的财务结果有利。在下一个结果中，我们提供了与套期保值者的复制策略（ph（x），Д′，σ′）=（Y）相关的所有hedg-er断裂事件的若干替代特征- x、 Z，σh）。

请注意，停止时间σ′=σhis是套期保值者的选择性取消时间，而四元组（Y，Z，L，U）是DRBSDE（20）的唯一解决方案。Rec所有由τh给出的停止时间τhis：=inf{t∈ [0，T]| Yt=Xlt}。3.4的提案。让第3.5条得到满足，并且（Y、Z、L、U）是套期保值者DRBSDE（20）的唯一解决方案，其中-假设Xu+A是左上半连续的。对于（ph（x），Д′，σ′）=（Y- x、 Z，σh），以下断言是等效的：（i）停止时间τ′∈ T是三重态的套期保值者盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）∈ R×ψ（x+ph（x），A）×T，（ii）四联体（ph（x），Д′，σ′，τ′）∈ R×ψ（x+ph（x），A）×T×T满足条件（NA），（iii）等式Vσ′∧τ′（x+ph（x），Д′）=Jh（σ′，τ′）保持，（iv）等式Yσ′∧τ′=Jh（σ′）∧ τ′）和Lτ′∧σ′=Uσ′=0保持不变，因此过程Y是[0，σ′上的anEg，h鞅∧ τ′，（v）停止时间τ′∈ T是以下非线性最优停止问题的解：findτ′∈ T使得eg，h0，σ′∧τ′Jh（σ′，τ′）= supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ））。此外，如果流程Xl- A是左上半连续的，然后τhis是三元组的套期保值者盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）。此外，如果不等式σ′≥ τhholds，然后τhis是三重态的早期thedger盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）。证据根据第2.3节中确定的结果，我们注意到，由于（ph（x），Д′，σ′）是套期保值者的复制策略（见命题3.2），它也是套期保值者的超边缘策略，因此很明显，断言（i），（ii）和（iii）确实是等价的。（三）=> （四）。根据命题3.1的证明，我们知道Vt（x+ph（x），ν′）≥ 年初至今≥ XLT全部t∈ [0，σ′，尤其是Vσ′∧τ′（x+ph（x），Д′）≥ Yσ′∧τ′. 此外，由于（Y，Z，L，U）解出了DRBSDE（20），所以我们得到了Xl≤ Y≤ Xuand Yσ′=Xuσ′≥ Xmσ′。

因此，Vσ′∧τ′（x+ph（x），Д′）≥ Yσ′∧τ′≥ Xlτ′{τ′<σ′}+Xuσ′{σ′<τ′}+Xmσ′{σ′=τ′}=Jh（σ′，τ′）。（28）来自（iii），Vσ′∧τ′（x+ph（x），Д′）=Yσ′∧τ′=Jh（σ′，τ′），即Vσ′∧τ′（Y，Д′）=Yσ′∧通过回忆ph（x）=Y，τ′=Jh（σ′，τ′）- x、 此外，由于过程V=V（Y，Д′）满足SDE（21），很容易看出过程V（Y，Д′）是一个Eg，h-鞅。因此我们有Eg，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Eg，h0，σ′∧τ′Vσ′∧τ′（Y，Д′）= Y、 （29）22 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski进程Y求解DRBSDE（20），该DRBSDE可以写在0上≤ r≤ t型≤ σ′如下（回想一下，Uσ′=0）dYr=-g（r，Yr，Zr）dr+ZrdSr+dAt- dLr，Yt=Yt，Xlr≤ 年≤ Xur，Rt（年- Xlr）dLcr=0，Ld=-（Y）- A） 1{Y-=Xl码-}.使用假设3.5，我们得到Eg，hs∧σ′，t∧σ′（Yt∧σ′) ≤ Ys公司∧σ′对于所有0≤ s≤ t型≤ 所以Y是随机区间[0，σ′]上的anEg，h-上鞅。我们现在声称，对于所有0≤ s≤ τ′，Eg，hs∧σ′,τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）=Ys∧σ′. （30）相反，假设等式（30）不能成立。在这种情况下，dger的g-评估的严格比较性质将为yieldEg，h0，τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）=Eg，h0，s∧σ′（例如，hs∧σ′,τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）<例如，h0，s∧σ′（Ys∧σ′) ≤ Y、 这显然与（29）相矛盾。接下来，我们声明Eg，hs∧σ′，t∧σ′（Yt∧σ′）=Ys∧σ′表示0≤ s≤ t型≤ 这意味着Y是[0，τ′上的Eg，h-鞅∧ σ′）和Lτ′∧σ′= 0. 为了确定这一性质，我们注意到（30）给出了Eg，ht∧σ′,τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）=Yt∧σ′，因此，对于所有0≤ s≤ t型≤ T，Eg，hs∧σ′，t∧σ′（Yt∧σ′）=例如，hs∧σ′，t∧σ′（例如，ht∧σ′,τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）=例如，hs∧σ′,τ′∧σ′（Yτ′）∧σ′）=Ys∧σ′，最后一个等式来自（30）。（四）=> （iii）。

我们观察到Yσ′∧τ′=Jh（σ′）∧ τ′），Lτ′∧σ′=Uσ′=0和（Y，Z，L，U）解出了drebsde（20），从而在随机区间[0，σ′上简化为以下BSDE∧ τ′](-dYr=g（r，Yr，Zr）dr- ZrdSr公司- dAt，Yσ′∧τ′=Jh（σ′）∧ τ′).给定流程Z，上述BSDE可以正式重写为（对于ward）SDE，对于allr∈ [0，τ′，（dYr=-g（r，Yr，Zr）dr+ZrdSr+dAt，Y=Y。回想一下，对于所有∈ [0，T]，（dVr=-g（r，Vr，Zr）dr+ZrdSr+dAt，V=Y。从SDE解的唯一性出发，我们推导出t V（Y，Z）和Y在[0，σ′上重合∧τ′].特别是Vσ′∧τ′（x+ph（x），Д′）=Yσ′∧τ′=Jh（σ′）∧ τ′).（四）<=> （v） 。首先，从（iv）我们知道Eg，h0，σ′∧τ′（Jh（σ′）∧ τ′）=Eg，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′）=Y。观察假设3.3得出Y=supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′）∧ τ） ）和thusEg，h0，σ′∧τ′（Jh（σ′）∧ τ′）=s上τ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′）∧ τ)).相反，如果（v）不存在，则假设3。3 givesY=Eg，h0，σ′∧τ′（Jh（σ′）∧ τ′)) ≤ 例如，h0，σ′∧τ′（Yσ′）∧τ′），其中最后一个不等式是（28）的结果。因此，与含义（iii）类似=>（iv），可以显示（iv）保持。这就完成了等价性的证明（iv）<=> （v） 。博弈期权的非线性定价23让我们证明s顶部时间τhis是套期保值者的盈亏平衡时间。从Y和X的右连续性，我们推断Yτh=Xlτh。此外，从τh的定义，我们得到Yt>Xltfort∈ [0，τh），因此对于所有t∈ [0，τh]。因此，我们有Yτh=Xlτ手Lτh=0，也就是说，（iv）与τ′=τh保持一致。因此，从上述等价物（特别是，（iv）<=> （i） ，我们推断τhis a hedge r的三重态盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）∈ R×ψ（x+ph（x），A）×T。

我们还可以提供另一个简单的论点：根据假设3.3，我们得到了以下非线性最优停止问题的一个解：findτ′∈ T使得eg，h0，σ′∧τ′Jh（σ′，τh）= supτ∈三甘醇，h0，σ′∧τ（Jh（σ′，τ））和，从等效nc e（v）<=> （i） ，我们推断τhis a对冲r的三重态盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）。为了完成命题的证明，还需要证明，如果，另外，不等式σ′≥ τhholds，然后τhis是三元组最早的套期保值者盈亏平衡时间（ph（x），Д′，σ′）。因矛盾而厌倦。设τ′为三重态（ph（x），Д′，σ′）的任何套期保值者盈亏平衡时间，如τ′≤ τ手P（{τ′<τh}）>0。然后，从（iv）和σ′开始≥ τh≥ τ′，它认为{τ′<τh}上的Yτ′=Xlτ′，这显然与τh的定义相矛盾。3.7通过DRB SDE计算一方的可接受价格在第3.7节和第3.8节中，假设未进一步提及假设3.1–3.3由交易对手与该过程相关的财富过程满足-A和交易对手的DRBSDE（31）。请注意，交易对手的DRBSDE在套期保值者方程式（20）的手册和交易对手的g-评估（例如，cis）中有明确规定，定义方式与套期保值者的g-评估（例如，hbut）相同，但过程A由过程A代替-BSDE（15）中的A。特别是，交易对手的DRBSDE中较低和较高的障碍是c\'adl\'ag过程xl和xu，由xlt给出：=Xht+Vbt（x）<xut：=Xct+Vbt（x）∈ [0，T]和终端值xmTis使得xlT≤ xmT：=XbT+VbT（x）≤ xuT。

将假设3.2应用于缔约方的DRBSDE可确保存在唯一解（y，z，l, u） 带参数（g、xl、xu、xmT）的DRBSDE（3 1）-dyt=g（t，yt，zt）dt- ztdSt+dAt+dlt型- dut，yT=xmT，xlt≤ 年初至今≤ xut，RT（yt- xlt）dlct=RT（xut- yt）风管=0，ld=-（y+A）1{y-=ζl-}, ud=（y+A）1{y-=ζu-},（31）其中，l a和u是G-pr e dic表、c\'adl\'ag、非减损流程，以便l= u=0。此外l = lc+ldand u=uc+u将其独特的分解为连续和跳跃组件。还记得对方的相对报酬Jc（σ，τ）=eJ（x，xl，xu，xm，σ，τ）由等式（9）给出，即Jc（σ，τ）=I（σ，τ）+Vbσ∧τ（x）=xlσ{σ<τ}+xuτ{τ<σ}+xmσ{τ=σ}。在第3.4节和第3.5节中，我们建立了套期保值的几个结果。由于这两个单边估价和套期保值问题在某种意义上是对称的，很明显，交易对手的类似结果也应该是有效的，因此有必要在没有证据的情况下给出他们的陈述。我们首先陈述了交易对手的提案3.1版本，该版本提供了交易对手的辅助成本与唯一解决方案之间的联系（y、z、，l, u） 至交易对手的DRBSDE（3 1）。24 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiPropositi于3.5。让流程-徐-A左上半连续。如果计数方的g-评估的比较属性成立，则交易对手的超额成本上限满足，c（x）=x- y=x- infτ∈Tsupσ∈三甘醇，c0，σ∧τ（Jc（σ，τ））。在下一个结果中，我们将需要以下假设3.4的类似物，该结果与第3.2条的建议一致，并给出了交易对手的Cg复制策略。假设3.6。

流程xl+A和-徐- A是左上半连续的，因此l 和溶液中的u（y，z，l, u） 到交易对手的DRBSDE（31）是连续的。我们通过设置τc：=inf{t来定义账簿的取消时间σc和交易对手的行权时间τc∈ [0，T]| yt=xut}，σc：=inf{T∈ [0，T]| yt=xlt}。3号提案。6、假设3.6得到满足。如果交易对手sg-evaluation的比较属性成立，则以下断言有效：（I）（x）- y、 z，τc）是交易对手的Cg复制策略，（ii）交易对手的最大超边际和复制成本满足BPR，c（x）=bps，c（x）=x- y=x- 例如，c0，σc∧τc（Jc（σc，τc））。LetVc（xl，xu，xm）代表交易对手的非线性Dynkin博弈的上限值，即Vc（xl，xu，xm）：=infτ∈Tsupσ∈三甘醇，c0，σ∧τ（Jc（σ，τ））。以下结果是定理3.1的直接结果，表明对方的最大复制成本与其最低公平价格一致，并提供了对方可接受价格pc（x）的替代性陈述。定理3.2。让假设3.6得到满足。如果缔约方g-评估的严格比较属性成立，则唯一交易对手的可接受价格pc（x）s atis fiespc（x）=bpf，r，c（x）=bpr，c（x）=pf，c（x）=x- y=x-Vc（xl、xu、xm）。3.8计算双方的履约和盈亏平衡时间让我们陈述对方定义3.4和提案3.3的版本。定义3.6。

A停车时间τ′∈ 如果合同在时间0时按照对方可接受的价格pc（x）进行交易，且存在交易策略ψ，则T是对方对CG的合理行使时间∈ ψ（x- pc（x），-A） 使得Vτ′（x- pc（x），ψ）≥ 每个σ的Jc（σ，τ′）∈ T下列套期保值者的取消时间σc：=inf{t∈ [0，T]| yt=xlt}，(R)σc：=inf{T∈ [0，T]|lt> 0}，在交易对手的估价问题中起着重要作用，因此它们由3.7上的Sup erscript c.Propositi指定。满足假设3.5–3.6。如果缔约方g评估的严格比较性质成立，则以下断言是正确的：（i）如果停止时间τ′∈ T是这样的：（a）uτ′=0和（b）yτ′=xuτ′，那么τ′是交易对手的合理行使时间，（ii）如果τ′∈ T是交易对手的合理行使时间，然后是uσc∧τ′=u′σc∧τ′=0，Yσc∧τ′=Jc（σc，τ′）和Y′σc∧τ′=Jc（(R)σc，τ′）。博弈期权的非线性定价25以下结果分别对应于推论3.1和3.2。推论3.3。假设满足假设3.5–3.6。如果交易对手的g-评估的严格比较属性成立，则由τc得出的停止时间τc和τc：=inf{t∈ [0，T]| yt=xut}，(R)τc：=inf{T∈ [0，T]| ut>0}，是交易对手的合理行使时间。推论3.4。假设3.5–3.6得到满足，且缔约方g评估的严格比较性质成立。那么以下断言是正确的：（i）如果τ′是交易对手的合理行使时间，那么τ′≤ τcon事件Ec：={τc≤ \'σc}，则τ′=τcon Ec，（ii）如果τ′是交易对手的合理行使时间，则τ′≥ “τcon事件”Ec：={”τc<“σc}，然后τ′=”τcon“Ec。特别是，如果σc≥ τc，则τcis是所有交易对手合理行权时间中最早的，即如果τ′是任何交易对手的合理行权时间，则τ′≤ τc，然后τ′=τc。

此外，如果“σc>τc”，则“τ”是所有交易对手合理行使时间中的最新时间，也就是说，如果τ′是任何交易对手的合理行使时间，则τ′≥ \'τc，然后τ′=\'τc。正如预期的那样，交易对手盈亏平衡时间的定义与套期保值者的定义相似。请注意，对手的盈亏平衡时间与对手的双边估值问题的解决方案有关（但当然，一般而言，与赫德的估值问题无关，除非我们采用线性市场模式处理）。定义3.7。如果条件（BE′）由四元组（p，ψ，σ，τ）满足，则σ∈ T称为三重态（p，ψ，τ）的反方盈亏平衡时间∈ R×ψ（x- p-A） ×T。我们通过将交易对手的复制策略（pc（x），ψ′，τ′）=（x- y、 z，τc），其中四组（y，z，l, u） 是DRBSDE（31）的解决方案，停止时间τ′=τ表示交易对手的合理执行时间。命题3.8的证明，该命题提供了与三元组（x- y、 z，τc），与命题3.4的证明完全相同，因此省略。3.8的提案。让（y，z，l, u） 是交易对手DRBSDE（31）的唯一解决方案-徐-假设A是左上半连续的。

对于（pc（x），ψ′，τ′）=（x-y、 z，τc），以下断言是等效的：（i）停止时间σ′∈ T是交易对手的三重态盈亏平衡时间（pc（x），ψ′，τ′）∈R×ψ（x- pc（x），-A） ×T，即Vσ′∧τ′（x- pc（x），Д′）=Jc（σ′，τ′，（ii）四元（pc（x），ψ′，σ′，τ′）∈ R×ψ（x- pc（x），-A） ×T×T完整条件（NA′），（iii）等式yσ′∧τ′=Jc（σ′）∧ τ′）保持，（iv）等式yσ′∧τ′=Jc（σ′）∧ τ′）和lσ′∧τ′=uτ′=0保持，因此过程y是[0，σ′上的Eg，cmartingale∧ τ′，（v）停止时间σ′∈ T是以下非线性最优停止问题的解：findσ′∈ T使得eg，c0，σ′∧τ′Jc（σ′，τ′）= supσ∈三甘醇，c0，σ∧τ′Jc（σ，τ′）.此外，如果过程xl+A左上半连续，则σcis A对应方三重态的盈亏平衡时间（pc（x），ψ′，τ′）。此外，如果不等式τ′≥ σcholds，然后σcis是三元组（pc（x），ψ′，τ′）的最早对手方盈亏平衡时间。确认T的研究。Nie和M.Rutkowski得到了DVC Research Bridging SupportGrant在存在摩擦的市场中对美式期权和博弈期权定价的支持。聂先生的工作得到了国家自然科学基金（编号11601285）和山东省自然科学基金（编号ZR2016-AQ13）的资助。26 E.Kim，T.Nie和M.RutkowskiReferences【1】Ayache，E.，Forsyth，P.和Vetzal，K.：具有cr编辑风险的可转换债券估值。《衍生品杂志》11（200 3），9–29。[2] Bayraktar，E.和Yao，S.：具有可积参数和相关Dynkin游戏的双重反射BSDE。随机过程及其应用125（2015），4489–4542。[3] Bielecki，T.R.，Cialenco，I.，和Rutkowski，M.：非线性市场模型中衍生品的无套利定价。概率、不确定性和定量风险3/2（2018），DOI10.1186/s41546-018-0027-x【4】Bielecki，T.R.，Cr'ep ey，S.，Jeanblanc，M。

和Rutkowski，M.：应用于可转换债券的可违约博弈期权的套利。量化金融8（2008），795–810。[5] Bielecki，T.R.和Rutkowski，M.：具有融资成本和抵押的合同的估值和对冲。暹罗金融数学杂志6（20 15），594–655。[6] Carbone，R.、Ferrario，B.、a和Santacrace，M.：由c\'adl\'ag鞅驱动的倒向随机微分方程。概率论及其应用52（2）（2008），30 4–314。[7] Cr'epey，S.和Matoussi，A.：带跳跃的反射和双重反射BSDE：先前的估计和比较。《概率年鉴》18（5）（2008），204 1–2069。[8] Cvitani\'c，J.和Ka ratzas，I.：带反射和Dynkin对策的后向随机微分方程。《概率年鉴》24（4）（1996），2024-2056年。[9] Dolinsky，Y.和Kifer，Y.：离散时间内博弈期权的风险对冲。随机：Int.J.Probab。斯托赫。过程79 (2007 ), 169–195.[10] Dumitrescu，R.、Quenez，M.C.和Sulem，A.：广义Dynkin对策和带跳跃的双重反射BSDE。《概率电子杂志》64（2016），1–32。[11] Dumitrescu，R.，Quenez，M.C.，和Sulem，A.：违约不完美市场中的博弈期权。《金融数学》杂志8（2017），第532–559页。[12] Dumitrescu，R.、Quenez，M.C.和Sulem，A.（2018年）。在一个有违约的不完善完整市场中的美式期权。在ESAIM上诉：诉讼和调查。[13] Dynkin，E.B.：最佳停车问题的游戏变体。苏联数学Doklady10（1969），270–274。[14] El Karoui，N.、Kapoudjian，C.、Pardoux，E.、Peng，S.和Quenez，M.C.：反映了后向SDE的解决方案以及PDE的相关障碍问题。《概率年鉴》2 5（1997），702–737。[15] El Karoui，N.、Peng，S.和Quenez，M.C.：《金融中的反向随机微分方程》。

数学金融7（1997），1-71。[16] El Karoui，N.和Quenez，M.C.：非线性定价理论和反向随机微分方程。在《1656年数学课堂讲稿》中，B.Biais等人（编辑），柏林斯普林格，1997年，第191-246页。[17] Essaky，E.H.和Hassani，M.：具有2个反射屏障和随机二次增长的广义BSDE。《微分方程杂志》254（2013），1500–1528。[18] Grigorova，M.、Imkeller，P.、Oukinine，Y.和Quenez，M.C.：双重反思的BSDEs和F Dynkin游戏：超越右连续案例。2017年工作文件（hal-01497914）。[19] Grigorova，M.和Quenez，M.C.：最佳停止和非零和Dynkin博弈，不确定时间，由BSDE诱导的风险度量。《随机：概率和随机过程国际杂志》89（2017），259–279。博弈期权的非线性定价27【20】Hamad\'ene，S.：混合零和随机微分博弈和美式博弈期权。SIAMJournal《控制与优化》45（2）（2007），496–518。[21]Hamad\'ene，S.和Oukine，Y.：反映了向后的SDE和一般跳跃。可能性理论及其应用60（2016），263–280。[22]卡尔森，J。和K¨uhn，C.：不完全市场中美国和游戏类型的定价衍生工具。《金融与随机》8（2004），261–284。[23]Kallsen，J.和K¨uhn，C.：可转换债券：游戏类型的金融衍生品。《ExoticOption Pricing and Advanced L’evy Models》，Wiley，Chichester New York，2005年，第277-291页。【24】Kifer，Y.：游戏选项。《金融与随机》4（2000），443–463。【25】Kifer，Y.：Dynkin游戏和以色列选项。ISRN概率与统计（2013），ID856458,17页。[26]Kim，E.，Nie，T.，和Rutkowski，M.：非线性模型中美式期权的估值和对冲。工作文件，2018年。[27]Klimsiak，T.：具有单调生成器和两个不规则反射屏障的BSDE。

Bulletindes Sciences Math'ematiques 137（2013），26 8–321。[28]Klimsiak，T.：反映了过滤概率空间上的BSDE。S tochastic流程及其应用125（2015），4204–42 41。[29]K¨uhn，C.、Kyprianou，A.E.和van Schaik，K.：以色列期权定价：一种路径方法。随机：Int.J.Probab。斯托赫。过程79 (2006 ), 117–137.【30】Kyprianou，A.E.：Isr aeli选项的一些计算。《金融与随机》8（2004），73–86。[31]Lepeltier，J.P.和San Martin，J.：具有两个屏障和连续系数的反向SDE。应用概率杂志41（2004），162–175。[32]Lepeltier，J.P.和Xu，M.：两个rcllbarrier s的反向随机微分方程。ESAIM：概率与统计11（2007），3–22。【33】Ma toussi，A.、Piozin，L.和Possamai，D.：在不确定性条件下具有一般反应和博弈选项的二阶BSDE。随机过程及其应用124（2014），22 81–2321。[34]Neveu，J.：离散参数鞅。北荷兰出版公司，阿姆斯特丹，1975年。【35】Nie，T.和Rutkowski，M.：由多维马丁酒驱动的BSDE及其在具有融资成本的市场中的应用。概率论及其应用60（20 16），604–630。【36】Nie，T.和Rutkowski，M.：内生共同化下公平双边al定价的BSDE方法。《金融与随机》20（2016），855–900。【37】Nie，T.和Rutkowski，M.：在融资成本和外源性套利下的公平双边价格。数学金融2 8（2018），621–655。[38]Peng，S.：非线性预期、非线性评估和风险度量。在《数学1856》的讲稿中，M.Frittelli和W.Runggaldier（E ds.），Springer，Ber lin，2004年，第165-253页。[39]Peng，S.：动态一致的非线性评估和期望。工作文件，2004年（arXiv:0501415v1）。