非线性市场中博弈期权的无套利定价

2022-6-10 06:59:29

非线性市场中博弈期权的无套利定价*Marek Rutkowskib，山东大学数学学院，济南，山东250100，新南威尔士州悉尼大学中国数学与统计学院，2006，华沙理工大学澳大利亚数学与信息科学学院，波兰华沙00-661，11月6日，2018年摘要目标是重新审查和扩展Dumitrescu等人最近论文中的发现。[11] 他在El Karoui和Quenez[16]提出的非线性无套利定价方法中研究了博弈期权。我们考虑了Kim等人[26]中引入的设置，其中审查了美国风格的合同。我们详细研究了一般非线性setu p中交易对手的单边定价、套期保值和行权问题。我们还提出了一种BSDE方法，用于获得更多明确的结果和关于双重反射BSDE解决方案的更合适假设。关键词：非线性市场、博弈期权、双重反射BSD数学学科分类（2010）：91G40、60J28*T.Nie和M.Rutkowski的研究得到了DVC research Bridgeting Support Grant Pricingof American and game options in Market with Fricts的支持。聂先生的工作得到了国家自然科学基金（编号11601285）和山东省自然科学基金（编号ZR2016AQ13）的资助。2 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski1简介与美式合同不同，所谓的博弈期权在两个交易对手（以下简称套期保值者和交易对手）之间是对称的，从某种意义上讲，双方都有权在合同的名义到期日（以下简称T）之前终止合同。

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2022-6-10 06:59:33

在此，我们采用约定，根据该约定，当游戏合同被套期保值人终止时的一个随机时刻称为取消时间，而对于交易对手的相应动作，则称为n行使时间。在经典Black-Scholes期权定价模型的框架内，Kifer【24】首次引入并研究了抽象博弈期权的概念，他创造了以色列期权这一术语。随后，Kallse n a和K¨uhn将他的结果推广到了一个一般的l（pos sibly incomplete）半鞅模型[22]。几位作者在线性市场模型的框架内研究了无套利定价和合理取消/行使美国期权（尤其是可转换债券），其中包括：Ayache等人【1】、Bielecki等人【4】、Do linsky和Kifer【9】、Hamad'ene【20】、Kallse n和K¨uhn【22、23】、Matoussi e t等人【33】、K¨uhn等人【29】和Kypriano u【30】。众所周知，至少在线性市场模型的框架内，博弈期权的估值与零和双人Dynkin停止博弈的概念密切相关，Dynkin[13]提出了零和双人Dynkin停止博弈的概念，Neveu后来对其进行了修改。从ma主题的角度来看，还应该提到关于Dynkin游戏和支持游戏合同估值的双重反射ba-ckward随机微分方程（DRBSDE）的论文，特别是Bayraktar和Yao[2]、Cr'epey和Matouss i[7]、Cvitani\'c和Karatzas[8]、Dumitrescu等人[10]、Essaky和Hassani[17]、Grigorova等人[18]、Grigorova和Q ue ne z[19]，Hamad\'ene和Oukine【21】，andLepeltier和San Mart\'n【31】。感兴趣的读者可以参考Kifer【25】，了解Dynkin游戏及其在游戏选项中的应用的最新调查结果。最近，一些作者研究了Dynkin博弈的非线性变量及其在博弈期权中的应用。

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2022-6-10 06:59:36

这项工作的目的是重新审查和扩展Dumitrescu等人[11]的发现（美式期权的情况也见[12]），他们使用El Karoui和Q ue ne z[16]中开发的非线性无风险定价方法，研究了特定不完美违约市场模型框架内的博弈期权。与【11】相反，我们将自己置于一个广义非线性无套利市场的框架内，正如Bielecki等人所介绍的那样。[3，5]，我们研究了两个交易对手的单边公平价格的一般性质。让我们介绍一个一般非线性市场模型的符号。我们考虑了一个过滤概率空间(Ohm, G、 G，P）满足右连续性和完整性的通常条件，其中过滤G=（Gt）t∈[0，T]为所有交易者可用的信息流建模。为了方便起见，正在考虑的合同的起始日期被设置为0，并且假设初始σ-Field Gis时间为。此外，下面的w中引入的所有过程都被隐式地假定为G-适应的，并且像往常一样，任何半鞅都被假定为c\'adl\'ag。为了便于注释，我们自始至终都假设两个交易对手的交易条件是相同的，尽管可以通过修改注释来放松这一假设，而不会有任何困难。按照惯例，合同的所有现金流都是从套期保值者的角度描述的。因此，当现金流对套期保值者为正时，则现金金额由缔约方支付，套期保值者收到。显然，如果套期保值者的现金流为负值，那么现金金额将从套期保值者转移到交易对手。让我们为游戏合同的错误定义陈述一个理由。定义1.1。

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2022-6-10 06:59:39

与G-adapted、c\'A dl\'ag处理A、Xh、Xc、xb的博弈合同是双方之间的合同，称为套期保值者和对方y，其中：（i）σ∈ T由套期保值者选择，称为取消时间，（ii）τ∈ T由交易对手选择，称为行使时间。A=0的过程A给出了截至有效到期日σ的合同累计现金流∧ τ ∧ T合同在时间σ到期∧ τ ∧ T及其在时间σ的终端支付∧ τ ∧ 从套期保值者的角度来看，T由以下表达式给出，对于每个σ，τ∈ T，I（Xh，Xc，Xb；σ，τ）：=Xhσ{σ<τ}+Xcτ{τ<σ}+Xbσ{τ=σ}。（1）游戏期权的非线性定价3为简洁起见，游戏合约可以表示为GCC（a、Xh、Xc、Xb、T）或简称为Cg。在现有文献中，通常假设不等式Xht<xct和Xht≤ Xbt公司≤ Xctaresatives for every t∈ [0，T]。在这种情况下，支付过程实际上只起到了很小的作用，因为可以证明套期保值者和缔约方的套期保值和估值问题的解决方案将只取决于最终价值xbt，因此t的价值xbt∈ [0，T）是无关紧要的。我们在分析BSDE方法时，将在第3节中做出这些假设，因为它们在处理DRBSDE的解决方案时很方便。这应该与第2节中研究的情况相对比，在第2节中，我们不需要对支付Xh、XC和Xb的顺序做出任何假设。这是无风险定价的一个重要元素，在无在线市场是基准财富Vb（x）的概念，即对特定交易对手的套利机会进行量化和评估的过程。正如Bielecki和Rutkowski【5】所述，B ielecki等人【3】和Kim等人。

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2022-6-10 06:59:42

[26]基准财富可由等式Vb（x）=V（x）给出，其中，对于任何初始捐赠x∈ 对于变换R，我们设置V（x）：=xB0，l{x≥0}+xB0，b{x<0}其中无风险贷款（分别为借款）现金账户B0，l（分别为B0，b）用于无担保贷款（分别为借款）现金。请注意，V（x）表示交易者在时间0时决定将其初始现金捐赠x保留在贷款中的财富过程（当x≥ 0）或借款（当x<0）现金账户，且在0和T之间未参与任何其他交易活动。更一般地说，如果交易者被赋予初始资产组合（也包括储蓄账户B0、土地B0、b，这意味着他也可以是现金的借款人或借贷者），在时间0时的当前市场价值为x（igno-ring买卖价差和交易成本），那么，Vb（x）代表交易者静态投资组合的财富过程，假设它在T日之前保持不变。按照惯例，数量x和x分别代表套期保值者和交易对手的初始捐赠，因此程序V（x）和V（x）是他们各自的基准财富。从经济学角度来看，基准财富的概念可以被视为是众所周知的机会主义成本概念的合理形式化，这有助于财务决策。还要注意，即使我们为所有t设置x=x=0和Vbt（0）=0∈ [0，T]，那么，由于财富过程的非线性动力学，单边价格将仍然是不对称的。

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2022-6-10 06:59:45

基准过程ss Vb（x）的一个特殊选择在实际应用中很重要，但它对本工作中给出的所有结果都无关紧要。在第2节中，我们在一个抽象的非线性设置中工作，这意味着我们只对自我融资策略财富过程的非线性动力学进行非常一般的概括。这类主要假设是财富过程的前向单调性和严格前向单调性（分别参见假设2.1和2.2），交易策略的比较和严格比较假设（分别为假设2.3和2.6），以及对冲r和交易对手的可复制性假设（分别为假设2.4和2.7）。第2节的主要结果是定理2.1，其中我们说明了在基础非线性市场模型的温和和自然假设下，单边套期保值者对博弈合约的可接受价格是唯一的，并且对应于通过重复计算获得的公平价格。为此，需要正确定义公平价格的概念，并在非线性设置中重新应用游戏合同。利用ga me合约的对称特征，我们在定理2.2中证明，对于交易对手，定价的相同属性也是正确的。在第3节中，我们将介绍一种BSDE方法，用于在相当一般的设置中进行游戏选项。我们使用BSDE方法获得了有关定价、对冲和合理取消/行使时间的更明确的结果，该方法没有具体说明基础资产的动态，但通过关注DRBSDE解决方案的理想特性。在第3.4节中，我们表明套期保值者的可接受价格可以由套期保值者的DRBSDE的统一解决方案来表征。

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2022-6-10 06:59:48

接下来，在第3.5节中，我们分析了套期保值者的合理取消时间集和盈亏平衡时间集，前提是合同在时间0以套期保值者可接受的价格进行交易。交易对手的相应结果在第3.4节和第3.5节中无需证明。应该注意的是，套期保值者和交易对手的DRBSDE不同，因此，通常情况下，两个交易对手计算的单边可接受价格不会一致。4 E.Kim，T.Nie和M.Rutkowski2单边公平定价模型M=（B，S，ψ）是一个市场模型，在Bielecki等人的意义上，该模型对于欧洲合约而言是无套利的。这里，ψ表示所有可容许交易策略的类别，ψ（y，D）表示从ψ到初始财富y的所有可容许交易策略的类别∈ 任何交易策略的外部现金流均为兰特∈ ψ（y，D），我们用V（y，Д，D）表示Д的财富过程。显然，等式V（y，ν，D）=y对所有y都成立∈ R和任何策略。我们认为，过程D、Xh、xc和财富过程V（y、ν、D）是c ` adl\'agagand G-适应的。我们将逐步对财富过程的动态做出更多假设。2.1套期保值者的公平价格首先从套期保值者的角度对单边公平估值进行初步分析。与Kim等人[26]研究的美式期权不同，博弈合同的对称性简化了分析，因为它有助于解决套期保值者的估值和套期保值问题，并随后应用类似的论据确定交易对手的结果。我们考虑了一个扩展的市场模型，表示为Mp（Cg），其中游戏合约Cg=GCC（a，Xh，Xc，Xb，T）在时间0以某个初始价格p进行交易，其中p可以是任意的重新数。

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nandehutu2022

2022-6-10 06:59:51

我们首先对套期保值者对博弈合约的单边公平估值进行了初步分析。此后，我们假设套期保值者（分别为交易对手）被赋予初始交易财富x∈ R（分别为x∈ R）现金单位。请注意，为了简洁起见，在没有混淆危险的情况下，变量（A、Xh、Xc、Xb）经常被省略；特别是，付款I（Xh，Xc，Xb；σ，τ）通常表示为I（σ，τ）。同样，由于过程A贯穿始终，在处理套期保值时，我们将经常写入V（x+p，Д），而不是V（x+p，Д，A）。出于同样的原因，我们稍后将编写v（x- p、 ψ）代替V（x- p、 ψ，-A）检查交易对手的交易策略时。我们介绍了以下条件，即相对于其预定的b e nchmark Vb（x），单边套期保值者收益的存在（或abse nc e）。定义2.1。四组（p，Д，σ，τ）∈ R×ψ（x+p，A）×T×T满足：（AO）<==> Vσ∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）≥ Vbσ∧τ（x）和PVσ∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）>Vbσ∧τ（x）> 0，（SH）<==> Vσ∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）≥ Vbσ∧τ（x），（BE）<==> Vσ∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）=Vbσ∧τ（x），（NA）<==> Vσ之一∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）=Vbσ∧τ（x）或PVσ∧τ（x+p，ν）+I（σ，τ）<Vbσ∧τ（x）> 让我们解释定义2.1中出现的首字母缩略词的含义：（AO）表示套利机会，（SH）表示超边缘，（BE）表示盈亏平衡，（NA）表示无套利。有关各物业的详细信息，请参见定义2.2–2.5。定义2.2。如果条件（BE）由四组（p，Д，σ，τ）满足，则停止时间τ∈ T是套期保值者的盈亏平衡时间（p，Д，σ）∈ R×ψ（x+p，A）×T。（p，Д，σ，τ）的性质（SH）称为套期保值者在时间τ的超边缘。

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2022-6-10 06:59:54

根据可选截面定理，很容易看出性质（SH）适用于给定的三重态（p，ν，σ）∈R×ψ（x+p，A）×T和所有τ∈ T当且仅当Vσ∧t（x+p，ν）+I（σ，t）≥ Vbσ∧t（x）表示所有t∈ [0，T]。这一观察结果证明了三重态（p，Д，σ）的以下性质定义（SH）。定义2.3。我们说一个三重态（p，ν，σ）∈ R×ψ（x+p，A）×T满足条件（SH），如果其质量为Vσ∧t（x+p，ν）+I（σ，t）≥ Vbσ∧t（x）适用于所有t∈ [0，T]。在这种情况下，在扩展市场Mp（Cg）中，三元组（p，Д，σ）被称为套期保值者的超边缘策略。博弈期权的非线性定价5Property（AO）被称为套期保值者在时间τ时（p，ν，σ）的严格超边际条件（或套期保值者的套利机会）。注意，如果三重态（p，Д，σ）是这样的，则不等式vσ∧t（x+p，ν）+I（σ，t）>Vbσ∧t（x）每t保持一次∈ [0，T]，则对于每个τ，条件（AO）由（p，Д，σ）满足∈ 但相反的含义并不成立。定义2。我们说一个三重态（p，ν，σ）∈ R×ψ（x+p，A）×T满足条件（AO）如果四重态（p，Д，σ，τ）符合所有τ的（AO）∈ T在这种情况下，我们还认为（p，Д，σ）在扩展市场Mp（Cg）中创造了套期保值者的套利机会。我们说，如果存在τ，则（p，Д，σ）不会产生套期保值风险∈ T以使四组（p，Д，σ，τ）满足（NA）。定义2.5。我们认为pf，h（x）=pf，h（x，Xh，Xc，Xb）是套期保值者的公平价格，当p=pf，h（x）时，无套期保值者的套利机会（p，ν，σ）可能出现在扩展市场Mp（Cg）中。套期保值者的公平价格集合等于kf，h（x）：=p∈ R | (φ, σ) ∈ ψ（x+p，A）×T τ ∈ T：（p，Д，σ，τ）∈ （不适用）套期保值者公平价格的上界等于pf，h（x）：=sup Kf，h（x）。

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2022-6-10 06:59:57

如果等式f，h（x）=最大Kf，h（x）满足（即，如果pf，h（x）∈ Kf，h（x）），然后pf，h（x）表示为BPF，h（x），称为套期保值者对Cg的最大公平价格。假设2.1。财富的正向单调性意味着对于所有x，p∈ R、 ^1∈ψ（x+p，A）和p′>p（p′<p），存在交易策略Д′∈ ψ（x+p′，A）如Vt（x+p′，Д′）≥ Vt（x+p，Д）（分别为Vt（x+p′，Д′）≤ Vt（x+p，Д））每t∈ [0，T]。在财富正向单调性的假设下，我们得到了公平价格集的区间结构。引理2。假设2.1满足，如果p∈ Kf，h（x）那么对于任何p′＜p的，我们都有p′∈ Kf，h（x）。因此，如果Kf，h（x）6=, 那么Kf，h（x）=(-∞,pf，h]=(-∞, bpf，h]orKf，h（x）=(-∞, pf，h）。证据我们用矛盾来争论。如果Kf，h（x）=, thenpf，h=-∞. 现在让我们考虑一下Kf，h（x）6=. 假设p∈ Kf，h（x）和一个数p′，使得p′<p不是安希杰的公平价格。那么就有了Д′∈ ψ（x+p′，A），使得（p′，Д′，τ）满足（AO）对于每个τ∈ T因此，根据假设2.1，存在∈ ψ（x+p，A），使得（p，Д，τ）满足每个τ的（AO）∈ T这显然与t p属于Kf、h（x）的假设相矛盾，因此我们得出结论，断言的属性是有效的。2.2套期保值者的追加成本下一步，我们将分析套期保值者在博弈合约中的追加成本。定义2.6。

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2022-6-10 07:00:00

套期保值者严格超边际成本的下界等于pa，h（x）=pa，h（x，Xh，Xc，Xb）：=inf Ka，h（x），其中Ka，h（x）：=p∈ R | (φ, σ) ∈ ψ（x+p，A）×T：（p，Д，σ）∈ （AO）.如果等式pa，h（x）：=min Ka，h（x）成立，则pa，h（x）表示为pa，h（x）a，并称为对冲者对Cg的最小严格超边际成本。为了简洁起见，在处理套期保值者的估值问题时，变量（x，Xh，Xc，Xb）或x将经常被抑制，因此我们将用pa，hin代替pa，h（x，Xh，Xc，Xb）或h（x）等。请注意，Ka，h（x）是Kf，h（x）的补码，因此Kf，h（x）=(-∞, bpf，h]和Ka，h（x）=（pa，h，∞) （2） orKf，h（x）=(-∞,pf，h）和Ka，h（x）=[pa，h，∞). （3） 6 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiDe定义2.7。套期保值者超边缘cos ts equalsps的下界，h（x）=ps，h（x，Xh，Xc，Xb）：=inf Ks，h（x），其中Ks，h（x）：=p∈ R | (φ, σ) ∈ ψ（x+p，A）×T：（p，Д，σ）∈ （上海）.如果等式ps，h（x）：=最小Ks，h（x）成立，则ps，h（x）表示为ps，h（x），并称为套期保值者对Cg的最小超边际成本。自Ka起，h（x） Ks，h（x），我们总是有ps，h≤ pa，hbut，原则上，它可能发生在tps，h<pa，h=pf，h。为了避免这种尴尬的情况，我们引入假设2.2，它确保ps，h=pa，hand，因此也是ps，h=pf，h。假设2.2。财富的严格正向单调性意味着对于所有x，p∈R、 ^1∈ ψ（x+p，A）和p′>p（分别为p′<p），存在一个交易策略ν′∈ ψ（x+p′，A），使得每t∈ [0，T]。显然，财富的严格前向单调性假设2.2比财富的前向单调性假设2.1强，因此前者包含后者。引理2.2。如果满足假设2.2，则证明PF、h=ps、h=pa、h。首先假设Ks，h（x）6= 所以ps，h<∞.

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2022-6-10 07:00:04

由于假设2.2成立，很明显，对于任何p∈ Ks，h（x）和任意ε>0，存在一个策略ν′∈ ψ（x+p+ε，A），使得条件（AO）由对（p+ε，Д′）满足。这意味着p+ε长于toKa，h（x）a，因此p+ε≥ p的任意性∈ Ks，h（x）a和ε>0，我们得到了中等质量的ps，h≥ pa，h.自ps，h起≤ 很明显，ps，h=pa，h。同时使用（2）和（3），特别是ka，h（x）是Kf，h（x）的补码，我们得到了等式pf，h=pa，hand，因此我们得出了pf，h=ps，h=pa，h。现在我们假设Ks，h（x）=. 然后ps，h=pa，h=∞ 因为kf，h（x）是Ka，h（x）的补码，我们看到pf，h=∞ 也2.3 Hedger的复制成本下一步是引入复制成本的概念。设（p，Д，σ）为套期保值者的超边缘策略，使其在σ上收支平衡∧ τ当行使时间τ由其交易对手巧合地选择时。然后我们说（p，Д，σ）是套期保值者对游戏合约的复制策略。定义2.8。CGI套期保值者复制成本的下界由等式R给出，h（x）=pr，h（x，Xh，Xc，Xb）：=inf Kr，h（x），其中Kr，h（x）：=p∈ R | (φ, σ, τ) ∈ ψ（x+p，A）×T×T：（p，Д，σ）∈ （SH）&（p，Д，σ，τ）∈ （BE）.如果等式pr，h（x）：=min Kr，h（x）成立，则pr，h（x）表示为pr，h（x），并称为Cg的Hedger最小复制成本。定义2.9。

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2022-6-10 07:00:07

CGI套期保值者公平复制成本的下界由等式F，r，h（x）=pf，r，h（x，Xh，Xc，Xb）：=inf Kf，r，h（x），其中Kf，r，h（x）：=p∈ R | (φ, σ, τ) ∈ ψ（x+p，A）×T×T：（p，Д，σ）∈ （SH）&（p，Д，σ，τ）∈ （BE）； (φ′, σ′) ∈ ψ（x+p，A）×T， τ′∈ T：（p，Д′，σ′，τ′）∈ （不适用）.如果pf，r，h（x）：=最小Kf，r，h（x），则pf，r，h（x）表示为pf，r，h（x），并表示Cg的套期保值者的最小公平复制成本。博弈期权的非线性定价7显而易见，Ks，h（x） Kr，h（x） Kf，r，h（x）=Kf，h（x）∩ Kr，h（x），因此ps，h≤pr，h≤ pf，r，h引理2.3。假设2.2满足：（i）如果Kf，r，h（x）6=, 然后-∞ < bpf，h=pr，h=pf，r，h=ps，h<+∞.（ii）如果Kr，h（x）6=, thenpf，h=ps，h≤ pr，h<∞.（iii）如果Kr，h（x）=, thenpf，h=ps，h≤ pr，h=∞.证据我们首先证明第（i）部分。很明显，它足够显示pf、r、h≤ ps，h。为此，我们注意到Kf，r，h（x） Kf，h（x）。因为Kf，r，h（x）6=, 因此，pf、r、h<+∞ andpf、r、h≤ 因此，等式pf，h=pr，h=pf，r，h=ps，hare有效。此外，从夹杂物Kf，r，h（x） Kf，h（x）和等式sup Kf，h（x）=pf，h=pf，r，h=inf Kf，r，h（x），我们推导出对于任意y p，p∈ Kf、r、h（x）和p∈ Kf，h（x）我们有p=p≥ p、这意味着Kf，r，h（x）是单元素，其唯一元素不小于Kf，h（x）的任何元素。因此，bpf、handpf、r、hare定义良好并满足-∞ < bpf，h=pf，r，h<+∞.此外，Kf，r，h（x） Kr，h（x）和等式pf，r，h=pr，himplies，thepr，his well defined and is equal topf，r，h。我们得出结论，bpf，h=pr，h=pf，r，h=ps，h。这特别意味着Kf，h（x）=(-∞, bpf，h]=(-∞, pr，h]=(-∞, pf，r，h]。声明（ii）和（iii）是L emma 2.2的明显后果。2.4套期保值者的可接受价格此后，我们将在交易策略的（向后）比较属性的以下情况下工作。假设2.3。

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2022-6-10 07:00:11

交易策略的比较性质意味着对于所有τ∈T，x，p，p′∈ R、 ^1∈ ψ（x+p，A）和Д′∈ ψ（x+p′，A），如果不等式Vτ（x+p′，Д′）≥ Vτ（x+p，ν）保持不变，然后是p′≥ p、在假设2.3下，对于某些G-适应过程X和给定的停止时间θ∈ 它们存在一对（x，ν）∈ R×ψ（x，A）满足Vθ（x，ν）=xθ，那么x是唯一的，用eh（xθ）表示。我们设置Xlt：=Vbt（x）- Xct，Xut：=Vbt（x）- Xhtand Xmt：=Vbt（x）- xbt每t∈ [0，T]表示j（x，Xl，Xu，Xm，σ，τ）：=Vbσ∧τ（x）- I（σ，τ）=Xlτ{τ<σ}+Xuσ{σ<τ}+Xmσ{τ=σ}。（4）套期保值者的相对报酬J（x，Xl，Xu，Xm，σ，τ）从此将被表示为Jh（σ，τ）。注意，第2节tha t Xl中没有假设≤ Xm公司≤ Xu，尽管我们需要在稍后使用第3节中的BSDE a方法研究来解决套期保值者的估价pr问题时做出这一假设。以下假设用于确保所有停车时间σ，τ的数量Eh（Jh（σ，τ））得到很好的定义∈ T假设2.4。我们假设这个过程对于套期保值者是可复制的，在这个意义上，对于给定的x∈ R和每个σ，τ∈ T存在一对（p，ν）∈ R×ψ（x+p，A）使得vσ∧τ（x+p，ν）=Jh（σ，τ）。下面的引理很明显，因此省略了它的证明。引理2.4。如果满足假设2.3和2.4，则套期保值者的非线性评估（σ，τ）7→ Eh（Jh（σ，τ））对于所有σ，τ都有很好的定义∈ 并且是唯一的。定义2.10。我们说一个三重态（vh（x），σ*,h、 τ*,h）∈ R×T×T解决了hedger的最优复制问题：R Cgif vh（x）=Eh（Jh（σ*,h、 τ*,h）（）- X其中停止时间σ*,手τ*,应确保EH（Jh（σ*,h、 τ*,h））=最小σ∈Tmaxτ∈TEh（Jh（σ，τ））。（5） 8 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski假设2.5。

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2022-6-10 07:00:13

CG的hedger最优复制问题有一个解（vh（x），σ*,h、 τ*,h）。此外，对于p*,h=vh（x）存在交易策略*∈ ψ（x+p*,h、 A）使Triplet（p*,h、 ^1*, σ*,h）满足条件（SH）和四胞胎（p*,h、 ^1*, σ*,h、 τ*,h）符合条件（BE），因此集合Kr，h（x）为非空。备注2。请注意，套期保值者的最优应用程序表m并不取决于与Ehand Jh相关的非线性Dynkin对策鞍点的存在性。更具体地说，我们不假设相应的非线性Dynkin博弈有值，即infσ∈Tsupτ∈TEh（Jh（σ，τ））=supτ∈Tinfσ∈TEh（Jh（σ，τ））。引理2.5。如果满足假设2.3–2.5，则ps，h（x）≥ vh（x）。证据当Ks，h（x）= sinc e然后ps，h（x）=∞. 因此p属于toKs，h（x）6=. 然后存在一对（Д，σ）∈ ψ（x+p，A）×T，使（p，Д，σ）满足（SH），使Vσ∧t（x+p，ν）≥ 所有t的Jh（σ，t）∈ [0，T]。因此，对于所有τ∈ T，我们有vσ∧τ（x+p，ν）≥ Jh（σ，τ），并且由于假设2.3，这意味着对于所有τ∈ T，我们有x+p≥ Eh（Jh（σ，τ））。现在很容易看到X+p≥ supτ∈TEh（Jh（σ，τ））≥ infσ∈Tsupτ∈TEh（Jh（σ，τ））。利用方程（5）和假设2.5，我们得出以下结论：≥ vh（x）。自p起∈ Ks，h（x）是任意的，这产生了期望的不等式。引理2.6。如果满足假设2.2–2.5，则PF，h（x）≤ vh（x）。证据我们用矛盾来争论。假设pf，h（x）>vh（x）。根据假设2.5，fo rp*,h=vh（x）存在交易策略*∈ ψ（x+p*,h、 A）使Vσ*,h类∧τ*,h（x+p*,h、 ^1*) =J（σ*,h、 τ*,h）和三重t（p*,h、 ^1*, σ*,h）满意度（SH）。因此，根据假设2.2，对于任何p′>vh（x），都存在ν′∈ ψ（x+p′，A），使得（p′，Д′，σ*,h）是对冲者严格的对冲策略。

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大多数88

2022-6-10 07:00:16

这与pf，h（x，Xc，Xh，Xb）>vh（x）的假设相矛盾，因为我们已经证明，如果p属于区间（vh（x），pf，h（x）），那么p′∈ Kf，h（x）∩ Ka，h（x）=（回想一下，Ka，h（x）是Kf，h（x）的补码）。下一个假设明显强于假设2.3，对于确保套期保值者最优复制问题的解决方案vh（x）产生套期保值者的最大公平价格bpf h（x）至关重要。假设2.6。对于所有τ∈ T，x，p，p′∈ R、 ^1∈ ψ（x+p，A）和Д′∈ ψ（x+p′，A），如果不等式vτ（x+p′，ν′）≥ Vτ（x+p，ν）保持不变，然后是p′≥ p、此外，如果Vτ（x+p′，Д′）6=Vτ（x+p，Д），则p′>p。下一个结果表明，在假设2.2和2.4–2.6下，套期保值者的最大公平价格与套期保值者在定义2.10中引入的最优复制问题的解vh（x）一致。观察tha tEh（Jh（σ，τ））是有用的- x个=p∈ R | φ ∈ ψ（x+p，A）：Vσ∧τ（x+p，ν）=Jh（σ，τ）, （6）其中，根据假设2.6，右侧的集合只有一个元素。定理2.1。假设2.2和2.4–2.6有效。如果p∈ Ka，h（x），然后不等式p>vh（x）成立，因此bpf，h（x）=vh（x）。此外，Kf，r，h（x）6= andvh（x）=bpf，h（x）=pf，r，h（x）=ps，h（x）。（7）停车时间τ*,his a套期保值者三连胜的盈亏平衡时间（pf，r，h（x），Дf，r，h，σ*,h）式中，编码策略Д=Дf，r，his由方程（6）隐式给出，其中（p，σ，τ）=（pf，r，h（x），σ*,h、 τ*,h）。更明确地说，交易策略Дf，r，hbelongs toψ（x+pf，r，h（x），a），并且vσ*,h类∧τ*,h类x+pf，r，h（x），Дf，r，h= Jh公司σ*,h、 τ*,h类.博弈期权的非线性定价9Proof。我们表示（注意假设2.3，以下等式的右侧为单数n）pr，h（x，σ，τ*,h） :=p∈ R | φ ∈ ψ（x+p，A）：（p，Д，σ，τ*,h）∈ （BE）. （8）设p b e是Ka，h（x）的任意数。

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2022-6-10 07:00:19

然后存在一对（Д，σ）∈ ψ（x+p，A）×T，因此对于每个τ∈ T我们有Vσ∧τ（x+p，ν）≥ Jh（σ，τ）和PVσ∧τ（x+p，ν）>Jh（σ，τ）> 因此，我们得到τ=τ*,hVσ∧τ*,h（x+p，Д）≥ Jh（σ，τ*,h），PVσ∧τ*,h（x+p，ν）>Jh（σ，τ*,h）> 从方程（8）和假设2.6中，我们得到v（x+p，ν）=x+p>x+pr，h（x，σ，τ*,h）但是，考虑到假设2.5，我们还可以得到x+vh（x）=Eh（Jh（σ*,h、 τ*,h）（）≤ Eh（Jh（σ，τ*,h））=x+pr，h（x，σ，τ*,h）因此p>vh（x）。根据方程（2）和引理2.6，我们推导出vh（x）=bpf，h（x）。此外，考虑到第2.5节，我们还有vh（x）∈ Kf，r，h（x），因此Kf，r，h（x）6=.因此，建立h（7）需要利用引理2.3。声明的最后一部分是定义2.2和2.10的间接后果。以下定义取决于定理2.1。定义2。如果集合Kf，r，h（x）是一个单态，则其唯一元素表示为ph（x），并称为套期保值者对Cg的可接受价格。备注2.2。从定理2.1和引理2.3的证明中，我们知道，在假设2.2和2.4–2.6下，套期保值者对CGI的可接受价格定义良好。2.5计算一方的可接受价格由于同一合同的对称特性，为了解决交易对手的定价问题，需要对第2.4节的结果报表进行适当修改。请特别注意，套期保值者收到的是初始价格p，当然，如果p为非负，他认为交易对手支付的是提供的价格。更正式地说，在套期保值者的初始捐赠中加上一个数字p，但从交易对手的初始捐赠中减去。因此，交易对手寻求最大的超边际和复制成本以及最低公平价格，分别表示为bps、c（x）、bpr、c（x）和pf、c（x）。定义2.12。

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2022-6-10 07:00:22

四重态（p，ψ，σ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） ×T×T表示满足（AO′）<==> Vσ∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）≥ Vbσ∧τ（x）和PVσ∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）>Vbσ∧τ（x）> 0，（SH′）<==> Vσ∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）≥ Vbσ∧τ（x），（BE′）<==> Vσ∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）=Vbσ∧τ（x），（NA′）<==> Vσ之一∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）=Vbσ∧τ（x）或PVσ∧τ（x- p、 ψ）- I（σ，τ）<Vbσ∧τ（x）> 0.当然，第2.1-2.4节中为套期保值者制定和确立的所有其他定义和结果对于交易对手都有类似（尽管不完全相同）的版本。由于无需在此处预先发送所有信息，我们仅陈述以下重要定义。定义2.13。如果条件（BE′）满足（p，ψ，σ，τ），则停止时间σ∈ T为交易对手的盈亏平衡时间（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A）。10 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiDe定义2.14。我们说一个三重态（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A）如果不等式Vτ∧t（x- p、 ψ）- I（τ，t）≥ Vbτ∧t（x）适用于所有t∈ [0，T]。在这种情况下，交易对手t（p，ψ，τ）在扩张市场Mp（Cg）中被称为交易对手的超边缘策略。我们将确定交易对手的最大公平复制成本（表示为bpf、r、c（x））已明确定义的条件，并与定义2.15给出的国家最佳复制问题的解决方案一致。可以方便地为每个t定义xut：=Xct+Vbt（x），xlt：=Xht+Vbt（x）和xmt：=Xbt+Vbt（x∈ [0，T]表示ej（x，xl，xu，xm，σ，τ）：=I（σ，τ）+Vbσ∧τ（x）=J（x，xu，xl，xm，σ，τ）=xlσ{σ<τ}+xuτ{τ<σ}+xmσ{τ=σ}。（9）为简洁起见，交易对手的相对报酬j（x，xl，xu，xm，σ，τ）也表示为Jc（σ，τ）。为了制定交易对手的最优复制问题，我们假设假设2.2和2.3成立，但流程A替换为-A.

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2022-6-10 07:00:25

对于给定过程Y和a fixed stoppingtimeθ∈ T，我们用Ec（Yθ）表示唯一的Y∈ 从而存在一个策略ψ∈ ψ（y，-A）满足Vθ（y，ψ）=yθ。检查thatx也很容易- Ec（Yτ）=p∈ R | ψ ∈ ψ（x- p-A）：Vτ（x- p、 ψ）=Yτ. （10）至于套期保值者（见假设2.4），我们假设博弈合同对于缔约方是可复制的。假设2.7。我们假设流程jc对于交易对手是可复制的，从某种意义上讲，对于给定的x∈ R和每个σ，τ∈ T存在一对（q，ψ）∈ R×ψ（x+q，-A）使得vθ（x+q，ψ）=Jc（σ，τ）。对于交易对手，我们对最佳复制的定义如下，对应于套期保值者的定义2.10。定义2.15。我们说一个三重态（vc（x），σ*,c、 τ*,c）∈ R×T×T是博弈契约Cgif vc（x）=x的对手最优复制问题的一个解- Ec（Jc（σ*,c、 τ*,c））其中停车时间σ*,坎德τ*,注意EC（Jc（σ*,c、 τ*,c））=最小τ∈Tmaxσ∈TEc（Jc（σ，τ））。（11）假设2.8。博弈合约的对手最优复制问题Cghas解（vc（x），σ*,c、 τ*,c）。此外，对于p*,c=vc（x）存在ψ*∈ ψ（x- p*,c-A）因此，三联体（p*,c、 ψ*, τ*,c） satis（SH′）和四倍体（p*,s、 ψ*, σ*,c、 τ*,c）满足度（BE′），因此Kr，c（x）6=.根据定义2.14，三联体（p*,c、 ψ*, σ*,c）满足不等式Vσ*,c∧t（x-p*,c、 ψ*) ≥Jc（σ*,c、 t）对于所有t∈ [0，T]。省略了艾玛2.7的证明，因为它类似于艾玛2.5和2.6的证明。引理2.7。如果满足2.2–2.3和2.7–2.8的求和，那么我们有ps，c（x）≤ vc（x）和PF，c（x）≥ vc（x）。我们能够证明对方对定理2.1的版本。定理2.2的证明基于与定理2.1的证明类似的论点，因此此处不作介绍。定理2.2。

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2022-6-10 07:00:28

假设2.2–2.3和2.7–2.8得到满足。如果p∈ Ka，c（x），然后不等式p<vc（x）成立，因此pf，c（x）=vc（x）。此外，Kf，r，c（x）6= andvc（x）=pf，c（x）=bpf，r，c（x）=bps，c（x）。（12）博弈期权的非线性定价11停止时间σ*,cis a交易对手的三重盈亏平衡时间（bpf，r，c（x），ψf，r，c，τ*,c）式中，交易策略ψ=ψf，r，cis由等式（10）隐式给出，其中（p，σ，τ）=（bpf，r，c（x），σ*,c、 τ*,c）。更明确地说，交易策略ψf，r，cbelongs toψ（x- bpf、r、c（x），-A）这就是t hatVσ*,c∧τ*,cx个- bpf，r，c（x），ψf，r，c= Jh公司σ*,c、 τ*,c.对于套期保值者，我们现在可以确定交易对手对Cg的可接受价格。定义2.16。如果集合Kf、r、c（x）是一个单件，则其唯一元素表示为pc（x），并称为交易对手的Cg可接受价格。备注2.3。与备注2.2类似，在假设2.2–2.3和2.7–2.8下，可以表明交易对手对ga me合同CG的可接受价格已经确定。观察套期保值者和交易对手计算的Cg单边可接受价格通常不会一致。3博弈操作的BSDE方法在本节中，我们研究并扩展了由Dumitrescu等人提出的非线性市场博弈期权估值的BSDE方法。我们的主要目标是证明博弈合约的单边可接受价格可以用多维连续半鞅S驱动的RBSDE的解来描述。在这一部分中，我们假设财富过程V=V（y，ν，a）满足SDEVt=y-Ztg（u，Vu，ξu）du+ZtξudSu+At，（13）其中y∈ 给出了R和过程ξ（还记得a=0）。

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2022-6-10 07:00:31

通过应用[26]中的引理3.1，其中y=x+p<x+p′=y，f=f=g，z=ξ，可以检查财富过程的动力学由（13）决定时，是否满足财富的s三角单调性条件（见假设2.2），例如，映射g=g（t，v，z）与财富过程的v.3.1动力学是Lipschitz连续的。我们将简要描述非线性交易机制的主要特征，该机制产生了（13）中给出的财富动力学。我们首先在市场模型中引入交易资产的符号，即：现金账户、风险资产和与风险资产相关的融资账户。应该强调的是，本节中的结果并不取决于初级资产和交易安排的特定模型的选择。设S=（S，…，Sd）表示一组d风险资产的价格集合，其中S，Sdare连续半马丁啤酒。有限变化的连续过程，表示为B0、土地B0、b，分别代表借贷未担保现金账户。每个j=1，2，d、我们用Bj、l（分别为Bj、b）表示与第i项风险资产相关的贷款（分别为借款）资金账户，并假设为连续的有限变动过程。这些账户的财务解释因情况而异（有关mo再详细信息，请参见[3，5]）。让我们用B表示交易者可用的所有现金和资金账户的集合。为简单起见，我们坚持我们的假设，即套期保值者和缔约方具有相同的市场条件，但很明显，这一假设与我们的进一步发展无关，因此可以轻松放宽。交易策略是一个R3d+2值的G适应过程Д=（ξ，…，ξd；ψ0，l，ψ0，b。

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2022-6-10 07:00:36

，ψd，l，ψd，b），其中组件代表风险资产Sj中的所有未偿头寸，j=1，2，d、现金账户B0、l、B0、b和资金账户Bj、l、Bj、b、j=1、2、，d风险y资产。12 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiDe定义3.1。我们说，交易策略（y，Д）是CG的自我融资，我们写道∈ ψ（y，A）如果财富过程V（y，Д，A），由vt（y，Д，A）给出）=dXj=1ξjtSjt+dXj=0ψj，ltBj，lt+dXj=0ψj，btBj，bt，saties，对于每t∈ [0，T]，Vt（y，ν，A）=y+dXj=1ZtξjudSju+dXj=0Ztψj，ludBj，lu+dXj=0Ztψj，budBj，bu+at，受施加在Д组件上的附加约束。特别地，我们假设ψj，lt≥ 0，ψj，bt≤ 0和ψj，ltψj，bt=0，对于所有j=0，1，d和t∈ [0，T]。由于额外的交易约束取决于特定的交易机制，已知初始值y和过程ξ的选择唯一地指定了自融资策略的财富过程∈ ψ（y，A）。此外，还需要引入某种形式的交易策略的可接受性，并假设市场模式l M=（B，S，ψ（A）），其中clas Sψ（A）=∪y∈在适当的意义上，可接受交易策略的Rψ（y，A）是无套利的，例如，市场模型M可以假设为规则的，在Bielecki等人的意义上。重要的是要注意，由于交易限制、不同的融资成本以及一些额外的调整过程（定义3.1中未明确说明），财富过程的动态通常是非线性的。我们将读者引向Bielecki等人。

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2022-6-10 07:00:39

[3，5]了解非线性交易策略的自我融资特性的更多详情，以及Nie和Rutkowski[35，36，37]了解非线性市场的具体示例。3.2非线性评估的比较性质本节的目标是研究财富动态由（13）驱动的特殊情况下博弈合同的评估和对冲。因此，我们自此假设财富过程V=V（y，Д，A）受SDE（13）的控制，当eξ=（ξ，…，ξd）被给出时，映射g满足一些额外的假设。为了保持表述简洁并涵盖几种替代非线性市场模型，我们将直接假设相关（可能双重反映）BSDEs具有可取的性质，例如：BSDEs解决方案的存在性、唯一性和严格比较性质，已知这些性质在各种情况下都成立。如前所述，Dumitrescu等人对（1 3）给出的市场模型的一个特定实例进行了详细研究。我们将使用与解决方案toBSDEs生成的非线性评估相关的标准术语（例如，见Peng[38]第3章或Peng[39]第4节）。考虑以下BSDEon[0，s]Yt=ζs+Zstg（u，Yu，Zu）du-ZstZudMu- （Hs- Ht），（14）式中ζs∈ L（Gs），M是d维鞅，过程H是实值d和G自适应的，生成器G：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ R是P B（R） B（Rd）/B（R）-可测量，其中可预测的σ-字段设置为Ohm ×[0，T]。假设BSDE（14）在适当的随机过程空间中具有唯一解（Y，Z）（参见，例如，[6，35]）。对于每0≤ t型≤ s≤ T和ζs∈ L（Gs），我们表示Eg，Ht，s（ζs）=YT，其中（Y，Z）用Ys=ζs求解BSDE（14）。当操作系统Eg，Ht，s:L（Gs）→ L（Gt）称为Eg，H-评估。

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2022-6-10 07:00:42

值得一提的是，一个确定的日期≤ BSDE（14）中出现的s可替换为任意G-停止时间τ≤ σ来自T，因此Eg，H-评估的注释可以扩展到停止时间Eg，Hτ，σ：L（Gσ）→ L（Gτ）。（s trict）比较性质的概念在BSDE理论和非线性评价中具有重要意义。博弈期权的非线性定价13定义3.2。我们说，对于每个停止时间τ，Eg，Hholds if的比较性质∈ T和随机变量ζτ，ζτ∈ L（Gτ），以下性质有效：如果ζτ≥ ζτthenEg，H0，τ（ζτ）≥ Eg，H0，τ（ζτ）。我们说，对于每个τ，Eg，Hholds-if的严格比较性质∈ Tandζτ，ζτ∈ L（Gτ）ifζτ≥ ζτ和ζτ6=ζτ，然后Eg，H0，τ（ζτ）>Eg，H0，τ（ζτ）。由M=S和H=A的BSDE解给出的非线性评估被解释为套期保值者的非线性评估。注意，这里S是资产价格（可能折现）的过程，因此假设它是概率测度改变后的d维连续鞅。定义3.3。与BSDEYt=ζs+Zstg（u，Yu，Zu）du相关的非线性评估Eg，aa-ZstZudSu- （作为- At）（15）用Eg表示，称为A的套期保值者g评估。在第3.4节和第3.5节中，我们解决了套期保值者的定价问题，并在以下假设下工作。假设3.1。

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2022-6-10 07:00:45

我们假设：（i）财富过程V=纽约交易策略的V（y，ν，A）∈ ψ（y，A）满足（1 3），（ii）任何固定y∈ R和任何过程ξ使得（13）中的随机积分得到很好的定义，SDE（13）具有唯一的强解，（iii）财富V（y，ν，a）的严格单调性（见假设2.2），（iv）对于e very（s，ζs）∈ [0，T]×L（Gs）BSDE（15）在[0，s]上有唯一解（Y，Z），（v）不等式Xht<xct和Xht≤ Xbt公司≤ 所有t的X方法∈ [0，T]。在第3.7节和第3.8节中，在研究对手方的单方面估值和行权问题时，我们将对假设3.1进行轻微修改，将过程a替换为-A并适当修改了关于BSDE和交易对手g评估的假设，如c.备注3.1。鉴于K im et al.[26]中的引理3.1和假设3.1中的条件（ii），假设3.1中的条件（iii）不具有限制性，因为它对每个生成器g都有效。对于明确的假设，确保BSDE（15）是一个多维、连续、平方可积鞅，具有可预测的表示属性，具有唯一解和he-dger g-求值的严格比较性质，例如hholds，读者参考Nie和Rutkowski[35]中的定理3.2和3.3。3.3双反射BSDE我们首先介绍双反射BSDE（DRBSDE）的一般符号。让ζ着陆ζU两个G适应的c\'adl\'ag过程，以使ζlt<ζUT∈ [0，T]。同样，让ζmT∈ L（GT）是一个随机变量，使得ζlT≤ ζmT≤ ζuT。我们在假设3.1下研究财富过程的动力学和BSDE（g，ζmT）解的性质。此外，我们还将对套期保值者和合作伙伴的DRBSDE解决方案的存在性和唯一性进行其他假设。

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2022-6-10 07:00:47

它们可以通过许多论文中的结果来证明；例如，见Bayraktar和Yao【2】、Cvitani\'c和Karatzas【8】、Cr\'epey和Matoussi【7】、Essaky和Hassani【17】、Dumitrescu等人【10】、Grigorova等人【18】、Hamad\'ene和Oukinine【21】、Klimsiak【27、28】或Lepeltier和Xu【32】及其参考文献。特别是，假设3.2被一些随机市场模型所满足，这些模型在所谓的估值调整的论文中进行了研究。假设3.2中所述的具有障碍物ζ和ζu的DRBSDE解决方案的定义是对Dumitrescu等人[10]中定义2.4的一个小修改。对于在定义DRBSDE的渐进式解决方案14 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowskowskreasuable（或G-可选）障碍中的最低限度条件的替代版本，我们参考Klimsiak【27、28】和Grigorova等人【18】。注意，由于我们的进一步结果不依赖于这些空间的选择，因此我们故意不指定其中分量Y和Z为拱形的随机过程的特定空间。仅hedger的DRBSDE（20）的唯一解（Y，Z，L，U）中过程L和U的性质（以及类似的过程l 和唯一解中的u（y，z，l, u）对于交易对手的BSDE（31））而言，w将起到至关重要的作用，因此将对其进行明确说明和详细分析。假设3.2。带参数（g、ζl、ζu、ζmT）的DRBSDE-dYt=g（t，Yt，Zt）dt- ZtdSt公司- dAt+dLt- dUt，YT=ζmT，ζlt≤ 年初至今≤ ζut，RT（Yt- ζlt）dLct=RT（ζut- Yt）风管=0，Ld=-（Y）- A） 1{Y-=ζl-}, Ud=（Y）- A） 1{Y-=ζu-},（16）有一个唯一的解决方案（Y，Z，L，U），其中进程s L，U是G-可预测的，c\'adl\'ag，非减量的，并且L=U=0。此外，等式L=Lc+Ld和U=Uc+Ud将它们的奇异分解为连续和跳跃分量。Dumitrescu等人。

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2022-6-10 07:00:50

[10] 彻底检查由布朗运动和补偿随机测度驱动的DRBSD的特定实例。他们使用当前的设置和符号，假设条件Ldτ=-（Yτ）- Aτ）1{Yτ-=ζlτ-}和Udτ=（Yτ）- Aτ）1{Yτ-=ζuτ-}满足每个G-可预测停车时间τ。由于L和U是可预测的非减量过程，这些条件等价于Ld=-（Y）-A） 1{Y-=ζl-}和Ud=（Y）- A） 1{Y-=ζu-}其中，相等意味着右侧和左侧的过程无法区分。备注3.2。利用Dumitrescu等人[10]定理3.7证明中的论点，很容易证明如果过程ζl- A（特别是，-ζu+A）左上半连续，则过程L（分别为u）是连续的。这一重要观察结果激发了套期保值者的假设3.4，以及交易对手的类似假设3.6。设ζmbe为G适应的c\'adl\'ag过程，使ζlt≤ ζmt≤ ζUT适用于所有t∈ [0，T]并让随机停止博弈的支付J（ζl，ζu，ζm，σ，τ）由J（ζl，ζu，ζm，σ，τ）给出：=ζlτ{τ<σ}+ζuσ{σ<τ}+ζmτ{τ=σ}。（17）然后，与套期保值者估值相关的非线性Dynkin ga me的上下值，例如，与收益J（ζl，ζu，ζm，σ，τ）相关的上下值由以下表达式vh（ζl，ζu，ζm）确定：=infσ∈Tsupτ∈三甘醇，h0，σ∧τJ（ζl，ζu，ζm，σ，τ）,Vh（ζl，ζu，ζm）：=supτ∈Tinfσ∈三甘醇，h0，σ∧τJ（ζl，ζu，ζm，σ，τ）,因此，很明显，不等式vh（ζl，ζu，ζm）≥ Vh（ζl，ζu，ζm）始终为真。鉴于线性和非线性Dynkin对策的现有结果（尤其是Dumitrescu等人的理论3.5、3.7、4.8和4.10）。

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