非线性市场模型下衍生品的无套利定价

2022-5-31 02:43:54

非线性市场模型中衍生工具的无套利定价Tomasz R.Bieleckia、Igor Cialencoa和Marek Rutkowskib首次发行日期：2017年1月28日此版本：2018年4月4日即将出版的《概率、不确定性和定量风险》摘要：本文的目的是全面研究存在融资成本的金融衍生工具的无套利定价，交易对手信用风险和影响交易机制的市场摩擦，如抵押和资本要求。为了实现我们的目标，我们在多个方面扩展了El Karoui和Quenez【27】和El Karoui等人【26】中开发的非线性定价方法，随后在Bielecki和Rutkowski【8】中继续使用该方法。关键词：套期保值、公平价格、融资成本、保证金协议、市场摩擦、BSDEMSC2010:91G40、60J28内容1简介2非线性市场模型42.1交易调整合同。52.2自我融资交易策略。62.3资金调整。82.4交易调整的财务解释。92.5财富过程。102.6风险资产交易。112.6.1现金市场交易。122.6.2风险资产卖空。122.6.3回购市场交易。132.7抵押。132.7.1再抵押抵押品。

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能者818

2022-5-31 02:43:58

。142.7.2独立抵押品。152.7.3初始和变更裕度。152.8交易对手信用风险。152.8.1结算支付。152.8.2交易对手信用风险分解。162.9本地和全球估值问题。美国伊利诺伊州伊利诺伊理工学院应用数学系10 W 32街E1号楼208室，伊利诺伊州芝加哥，邮编60616电子邮件：tbielecki@iit.edu（T.R.Bielecki）和cialenco@iit.edu（I.Cialenco）URL：http://math.iit.edu/~bielecki和dhttp://math.iit.edu/~澳大利亚悉尼大学数学与统计学院（igorbSchool of Mathematics and Statistics，University of Sydney，Sydney，NSW 2006），华沙理工大学数学与信息科学学院（Faculty of Mathematics and Information Science，Warsaw University of Technology，00-661 Warszawa，PolandEmail:marek。rutkowski@sydney.edu.au，URL：http://sydney.edu.au/science/people/marek.rutkowski.php2T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski3非线性市场的无套利性质3.1无套利定价原则。193.2贴现财富和可接受策略。213.3无效合同无套利。223.4交易台无套利。223.5贴现财富过程的动态。243.6交易台无套利的充分条件。

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2022-5-31 02:44:01

264套期保值者的公平定价和市场规律274.1复制[0，T]和获得的价值。304.2[0，T]市场规律性。314.2.1常规市场中的可复制合同。324.2.2不可复制合同。334.2.3非正规市场模型。334.3【t，t】的复制和市场规律性。355常规市场中的复制定价365.1套期保值者在t时的除息价格。365.2退出价格。375.3定价。386非线性定价的BSDE方法386.1获得价值的BSDE。396.2除息价格的BSDE。416.3 CCR价格的BSDE。427非线性估值与市场实践44非线性模型中的衍生工具定价31简介本文对非线性无套利定价理论做出了贡献，该理论因现实世界交易的显著特征而自然产生，如：交易约束、差异融资成本、抵押、交易对手信用风险和资本要求。我们的目标是在几个方面扩展El Karoui和Quenez【27】以及El Karoui等人开发的非线性套期保值和定价方法。

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2022-5-31 02:44:05

[26]世卫组织采用BS DE方法，考虑到全球金融危机后反金融衍生品的复杂性和交易环境的特殊特征。这项工作也建立在Bielecki an d Rutkowski（8）的早期论文的基础上，然而，没有深入研究无套利这一重要问题。该文件的结构如下：o在第2节中，我们介绍了在不同融资利率和调整过程下的自我融资交易策略。我们考虑的是具有现金流的一般合同，而不是在合同到期或提前行使时具有单一付款的多重或有债权。我们还在第2.9节中介绍了局部和全局估值问题的概念。这种区别是至关重要的，因为它表明，第3和第4节获得的结果能够涵盖无法通过经典BSDE解决的金融模型和估值问题，而经典BSDE目前常用于处理非线性金融市场第3节致力于全面审查非线性交易框架中套期保值者和交易台是否存在套利机会，以及是否存在预定类别的合同。我们引入了关于无效合约的无套利概念和交易台的无套利概念。我们接着讨论被赋予初始资本的套期保值者对给定合同的单方面公平估值问题。我们研究了交易台无套利的概念与套期保值者计算的价格的财务可行性之间的联系在第4节中，我们提出并分析了规则市场模型的概念，这可以看作是非线性定价系统概念的扩展，这是由El Karoui和Quenez[27]引入的。

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可人4

2022-5-31 02:44:08

目标是确定一类非线性市场，该类市场对交易台而言是无风险的，此外，该类市场还享有理想的属性，即如果一个合同可以复制，那么复制成本也是套期保值者的公平价格第5节侧重于在常规市场模型中复制合同。我们提出了四种无套利价格的替代定义，即获得价值、除息价格、退出价格和定价。一般来说，预计这些价格不会一致，因为它们对应于套期保值者的不同估值问题。然而，当基础模型中的交易安排使得估值问题是局部的，那么在一些合适的技术条件下，我们表明获得的价值和除息价格是一致的在第6节中，我们提出了BSDEs的估价和套期保值方法，并给出了BSDEs获得价值和除息价格的示例。最后，我们简要讨论了第7节线性和非线性市场中的估值调整问题，并对评估市场实践提出了一些意见，即单独计算所谓的“净价”和“总估值调整”，然后将其相加，以获得向客户收取的全价。虽然我们从套期保值者的角度关注公平单边估值问题，但很明显，相同的定义和估值方法适用于其交易对手，如T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowskiwell。因此，原则上，可以使用我们的结果在常规市场模型中检验f-air双边价格的区间。

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2022-5-31 02:44:11

特别是在Nie和Rutkowski【40、41、43】之前研究过这种单边和双边估价问题，其中表明，在一些具有外源或内源担保的非线性市场中，可以获得公平双边价格或双边可定价的非空区间。应当承认，有大量文献致力于在不同资金成本、抵押、，交易对手信用风险和其他交易调整（例如，见Bichuch等人【4】、Brigo和Pallavicini【11】、Brigo等人【9、10】、Burgard和Kjaer【12、13】、Cr'epey【17、18】、Mercurio【39】、Pallavicini等人【45、44】和Piterbarg【47】）。鉴于篇幅有限，我们无法在此详细介绍这些作品。让我们只提一下，这些论文中的大多数都涉及有信用风险的线性市场（可能也涉及不同的融资利率），而本研究中发展的一般理论旨在解决一些问题，其中重点是在有缺陷的市场中评估的非线性特征。相比之下，Albanese等人[1]、Albanese和Cr'epey等人[2]以及Cr'epey等人[20]建议通过一种替代方法解决估值调整问题，该方法基于全球估值范式，参考银行的资产负债表、内部结构和银行股东的长期利益。

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2022-5-31 02:44:14

交易的非线性问题没有出现在他们的方法中，因为经典的对冲论点不再用于确定新合同的价值，而新合同将添加到银行现有资产组合中。对于上述一些论文的进一步评论，我们参考第7.2节非线性市场模型，我们首先重新检查和扩展Bielecki和Rutkowski[8]中引入的非线性交易设置。在本文中，我们为我们的市场模型确定了一个确定的交易期限T>0。让(Ohm, G、 G，P）是一个满足右连续性和完备性通常条件的过滤概率空间，其中过滤G=（Gt）t∈[0，T]为套期保值者及其交易对手可用的信息流建模。为方便起见，我们假设初始σ-场是平凡的。下面介绍的所有过程都被假设为G-适应过程，并且像往常一样，任何半鞅都被假设为c\'adl\'ag过程。让我们介绍模型中所有交易资产价格的符号。风险资产。我们用S=（S，…，Sd）表示一系列D风险资产的e x股息价格的集合，以及相应的累积股息流D=（D，…，Dd）。该流程显示任何交易证券的除息价格，如股票、主权或公司债券、股票期权、利率掉期、货币期权或掉期、信用违约掉期等融资账户。我们用Bi，l（分别Bi，b）表示与第i项风险资产相关的贷款（分别借款）资金账户，i=1，2，d、这些会计的财务解释根据具体情况而定。有关风险资产交易机制的概述，请参阅第2.6节。在特殊情况下，当Bi，l=Bi，b时，我们将使用符号BIAN，并将其称为第i项风险资产的基金账户。现金账户。

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2022-5-31 02:44:17

借贷现金账户B0和借贷现金账户B0分别用于无担保借贷和现金借贷。为简洁起见，我们有时会写BB而不是B0，B0，b。此外，当借贷现金利率相等时，单一现金账户用Bor表示，简单地说，b。然而，请注意，由于银行账户中无限制的借贷/存款现金不是交易模型的现实特征，因此在下文中不作假设。非线性模型中的衍生品定价5为简洁起见，我们用B=（Bi，l，Bi，B，i=0，1，…，d）表示所有现金和资金账户的集合。2.1有交易调整的合同我们将考虑双方之间的金融合同，称为套期保值者和交易对手。在下文中，所有现金流都将从套期保值者的角度来看，有一项约定，即正现金流意味着套期保值者收到相应的金额，负现金流意味着套期保值者付款。双边金融合同（或暗示合同）以C=（A，X）对给出，其中每个术语的含义解释如下。随机过程A表示从时间0到合同到期日的累计现金流，表示为T。在官方解释中，过程A被假设为对给定合同的累积（承诺）现金流进行建模，这些现金流要么从套期保值者的财富中支付，要么通过其交易资产组合的价值过程增加到其财富中（包括正或负持有的现金，即借贷资金）。请注意，在开始时（即时间0）交换的合同C的价格不包括在A中。例如，如果合同规定套期保值者将“收到”（可能是任意符号的dom和d）现金流A，A，amat乘以t，t。

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kedemingshi

2022-5-31 02:44:20

，tm∈ （0，T），则A由at=mXl=1[tl，∞)（t） al.Let（At，0）表示在时间t开始的X=0的基本合同。那么，在时间t，交易对手之间交换的唯一现金流是合同价格，因此剩余累计现金流（at，0）表示为Atu：=Au-Atfor u公司∈ [t，t]。特别是，equalityAtt=0对任何基本合同（A，0）和任何日期t都有效∈ [0，T）。所有未来现金流都是预先确定的，因为它们是由合同条款明确规定的。作为现金流的一个例子，考虑套期保值者在时间T出售风险资产Si的欧洲看涨期权的情况。然后m=1，T=T，套期保值者的最终支付等于a=-（坐下- K） +。更一般地说，对于每t∈ [0，T），过程由Atu给出=-（坐下- K） +[T，∞)（u）对于每个u∈ [t，t]。为了说明手头特定合同的附加特征，我们认为可以方便地假设基本合同的现金流a（分别为at）由交易调整补充，交易调整由过程X（分别为Xt）表示，X=（X，…，Xn；α，…，αn；β，…，βn）。X的作用是描述给定合同的附加条款，如再抵押或隔离抵押品，以及解释非典型交易安排对套期保值者投资组合价值过程的影响。对于每个调整过程Xk，过程αkxkre为套期保值者提供额外的流入或流出现金流，这些现金流要么在合同条款中规定，要么由第三方（例如监管机构）施加。对于每个进程xk，k=1，2，n我们还指定了薪酬流程βk，用于确定与流程Xk相关的净利息支付（如有）。应该注意的是，过程X。

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2022-5-31 02:44:23

，以及相关的薪酬流程β，βndo不代表交易资产，尽管它们会影响投资组合价值的动态（见（2.4））。很明显，过程α和β可能取决于各自的调整过程。因此，当调整过程是Y而不是X时，应写出α（Y）和β（Y），以避免混淆。然而，为了简洁起见，当调整过程表示为X时，我们将保留简写的n旋转α和β。有关交易调整的进一步意见，请参阅第2.3节和第6节T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski2.4。最后，但并非最不重要的一点是，我们需要确定交易对手信用风险导致的拟议现金流量的适当调整；参见定义2.8，其中引入了交易对手累计现金流的概念。从套期保值者或交易对手的角度来看，从本质上讲，给定合同的单边估价是在任何日期确定其公平价格范围的过程。尽管假设合同双方采用相同的估价范式，但由于现金流的不对称性、不同的交易成本以及可能的不同交易机会，他们通常会获得不同的双边合同各自的f-air单方价格范围。双方独立执行的单边估值差异是交易策略中财富动态非线性的结果，因此，即使在完全非线性市场的框架内，也会出现这种差异，其中交易对手可以实现合同的完美复制。

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能者818

2022-5-31 02:44:28

一个重要的问题是确定一般非线性f框架中的公平双边价格，这是留给未来的工作；有关特定非线性市场模型中双边定价的结果，请参见Nie和Rutkowski【40、41、43】。2.2自我融资交易策略投资组合的概念是指主要交易资产家族，即风险y资产、现金账户和风险资产的融资账户。形式上，通过时间间隔[t，t]上的投资组合，我们指的是一个任意R3d+2值的G适应过程（νtu）u∈[t，t]表示为Дt=ξ、，ξd；ψ0，l，ψ0，b，ψ1，l，ψ1，b，ψd，l，ψd，b, （2.1）如果组成部分代表风险资产头寸（Si，Di），i=1，2，d、现金账户SB0，l，B0，b和资金账户Bi，l，Bi，b，i=1，2，d f或风险资产。它是通过ψj，lu假设的≥ 0，ψj，bu≤ 0和ψj，luψj，bu=0，对于所有j=0，1，d和u∈ [t，t]。如果借贷利率相等，那么我们写ψj=ψj，l+ψj，b。在整个过程中也假设ξ，ξdare G-可预测。我们认为，如果流程的至少一个组成部分被设定为满足某些明确规定的约束条件，则投资组合受到约束，这些约束条件直接影响到选择。例如，我们需要提出条件，确保每个风险资产的融资都是使用相应的融资账户进行的。当我们为所有u设置ψ0，bu=0时，得到了显式约束的另一个例子∈ [t，t]，意味着禁止从bis账户直接借入现金。关于具有各种投资组合约束的市场示例，我们参考了Carassus等人【14】、Fahim和Huang【28】、Karatzas和Kou【32，33】以及Pulido【48】及其参考文献。

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可人4

2022-5-31 02:44:31

受限投资组合的概念应与交易策略的可接受性概念进行对比，交易策略可能涉及对财富过程施加的一些附加条件，从而直接影响可接受过程的类别（见定义3.2）。请注意，投资组合约束不是选择的问题，因为它们是由于对交易者提出的真正的现实生活限制。这应该与交易策略的可接受性思想形成对比，交易策略是一种数学人工制品，需要排除不现实的套利机会（如加倍策略），当允许连续交易时，这种套利机会可能存在于随机模型中。在这方面，请注意，在现实假设下，只有有限的交易时间可供交易员使用，无需担心可采性。我们现在可以陈述一些支持我们进一步发展的标准技术假设。假设2.1。我们始终在以下长期假设下工作：非线性模型7（i）中的衍生品定价，每i=1，2，d、第i项风险资产的价格是一个半鞅，累计股息流Di是一个有限变化过程，Di=0；（ii）现金和资金账户Bj，土地Bj，与Bj，l=Bj，b=1，j=0，1，…，有严格的正向和连续变化过程，d（iii）任何合同的累积现金流过程A是一个有限变化过程；（iv）调整过程Xk，k=1，2，n和辅助过程αk，k=1，2，nare半鞅；（v）薪酬过程βk，k=1，2。

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kedemingshi

2022-5-31 02:44:34

，n是一个连续的正变化过程，每k的βk=1。在下一个定义中，Gt可测量的随机变量XT表示t时套期保值者的禀赋∈ [0，T）Wher eas pt在本阶段是一个任意Gt可测量的随机变量，代表套期保值者看到的时间T时的价格Ct=（at，Xt）。回想一下，at表示时间T后发生的合同A的累计现金流，即Atu：=Au- Atfor所有u∈ [t，t]。因此，at可以被视为与原始合同a具有相同剩余现金流的合同，但at在时间t开始交易。同样，我们用XT表示与时间t的合同相关的调整过程。设C为预定的合同类别。正如预期的那样，自始至终都假设空合同N=（0，0）在任何时间t在任何市场模型中交易，即N∈ 每t的CTF∈ [0，T）（见假设3.1）。应注意的是，属于C类合同的价格Pt尚未确定，因此上述定义有一定的自由度。还应注意，我们使用的约定为：对于任何T≤ u、定义2.2。

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2022-5-31 02:44:38

如果VPU（xt，pt，Дt，Ct）给出的投资组合值Vp（xt，pt，Дt，Ct），则四分位（xt，pt，Дt，Ct）是与合同C（A，X）相关的[t，t]上的自融资交易策略：=dXi=1ξiuSiu+dXj=0ψj，luBj，lu+ψj，buBj，bu（2.2）所有u∈ [t，t]Vpu（xt，pt，Дt，Ct）=xt+pt+Gu（xt，pt，Дt，Ct），（2.3），其中调整后的增益过程G（xt，pt，Дt，Ct）由Gu（xt，pt，Дt，Ct）给出：=dXi=1Zutξiv（dSiv+dDiv）+dXj=0Zutψj，lvdBj，lv+ψj，bvdBj，bv+nXk=1αkuXku-nXk=1ZutXkv（βkv）-1dβkv+Atu。（2.4）对于给定的一对（xt，pt），我们用Φt，xt（pt，Ct）表示与合同C相关的所有自我融资交易策略的集合。在研究固定t的合同CTL的估值时，我们通常会假设给定了套期保值者的禀赋xt，我们会搜索套期保值者的公平价格范围PTCT。因此，当在时间t处理具有固定初始捐赠的套期保值者时，我们将考虑以下一组自我融资交易策略Φt，xt（C）=∪C∈C∪pt公司∈GtΦt，xt（pt，Ct）。然而，请注意，市场模型的定义并不假定数量X是重新确定的。8 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.RutkowskiDe定义2.3。市场模型为五元组M=（S、D、B、C、Φ（C）），其中Φ（C）代表与C类合同相关的所有自融资交易策略，即Φ（C）=∪t型∈[0，T）∪xt公司∈GtΦt，xt（C）。原则上，上述市场模型表现出非线性特征，即投资组合价值过程Vp（xt、pt、Дt、Ct）在（xt、pt、Дt、Ct）中不是线性的，或者所有自我融资策略的类别不是向量空间（或者，特别是两者都不是）。因此，我们将此设置称为通用非线性市场模型。

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2022-5-31 02:44:41

相反，通过线性市场模型，我们将在本文中理解上述模型的版本，其中所有交易调整均为零（即，所有k=1，2，…，n的Xk=0），没有不同的融资利率（即Bj，b=Bj，lforall j=0，1，…，d），并且没有施加投资组合约束。特别是，在线性市场模型中，所有自我融资交易策略的类别是一个向量空间，价值过程vp（xt，pt，Дt，Ct）是（xt，pt，Дt，Ct）中的线性映射。然而，请注意，当对交易策略类别施加可容许性条件时，最后一个属性通常会丢失，因为通常情况下，如果交易策略的贴现财富有界于下方或非负（因此可容许交易策略类别不再是向量空间），则交易策略被视为可容许的。为了简化表示法，当在间隔[0，T]上工作时，我们将经常写入（x，p，Д，C），而不是（x，p，Д，C）。请注意，（2.2）–（2.4）对于任何交易策略（x、p、Д、C）产生以下等式∈ Φ0，x（C）Vp（x，p，Д，C）=dXi=1ξiSi+dXj=0ψj，lBj，l+ψj，bBj，b= x+p+nXk=1αkXk。（2.5）回顾一下，在无摩擦市场的经典案例中，通常会假设交易者的初始禀赋为空。此外，衍生品的价格对收益过程的动态性没有影响。相反，当投资组合的价值由非线性动力学驱动时，时间0的初始捐赠x、初始价格p和合同的调整现金流可能会影响收益过程的动力学，因此经典方法不再有效。2.3资金调整资金调整的概念是指固定利率与某一基准现金利率的利差。在目前的设置中，可以相对于Blor Bb进行定义。

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2022-5-31 02:44:45

如果借贷利率不相等，则（2.3）可写成如下Vpt（x，p，Д，C）=x+p+dXi=1Ztξiu（dSiu+dDiu）+nXk=1αktXkt+At+dXj=0Ztψj，ludB0，lu+ψj，budB0，bu-nXk=1Zt（Xku）+（B0，lu）-1dB0，lu- （Xku）-（B0，bu）-1dB0，bu+dXi=1Ztψi，lu（bBi，lu- 1） dB0，lu+B0，LUBBI，lu+ ψi，bu（bBi，bu- 1） dB0，bu+B0，BUBBI，bu-nXk=1Zt（Xku）+（bβk，lu）-1dbβk，lu- （Xku）-（bβk，bu）-1dbβk，bu非线性模型9中的衍生品定价，其中BBJ，l/b：=Bj，l/b（B0，l/b）-1和bβk，l/b：=βk（B0，l/b）-1、数量γt：=dXi=1Ztψi，lu（bBi，lu- 1） dB0，lu+B0，LUBBI，lu+ ψi，bu（bBi，bu- 1） dB0，bu+B0，BUBBI，bu-nXk=1Zt（Xku）+（bβk，lu）-1dbβk，lu- （Xku）-（bβk，bu）-1dbβk，bu被称为资金调整。如果借贷利率相等，则资金调整的表达式简化为γt=dXi=1Ztψiu（bBiu- 1） dBu+BudbBiu-nXk=1ZtXku（bβku）-1dbβku。当现金账户Bi用于为调整过程提供资金和报酬时，即当Bi=B或i=1，2，d和βk=b对于k=1，2，n、然后，正如预期的那样，资金调整消失了。2.4交易调整的财务解释在本研究中，我们将重点关注Vp动态中出现的术语（x，Д，A，x），这些术语对应于交易调整过程x。定义2.4。随机过程 =Pnk=1k、其中k=1，2，nkt：=αktXkt-ZtXku（βku）-1dβku（2.6）称为现金调整。一般而言，现金调整期限的财务解释kis如下：术语αktXkt表示第k次调整的一部分，当αktXkt>0时，套期保值者可以将其用于交易目的，或者当αktXkt<0时，必须将其作为抵押品抵押给对手或作为监管资本持有在单独账户中。

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2022-5-31 02:44:48

正式地说，q数量-Xkt（βkt）-1可以视为套期保值者在时间t应持有的薪酬流程βk的“股份”数量，以支付与调整流程相关的利息xk。因此，积分rTxku（βku）-1dβKure表示由于存在第k次交易调整，套期保值者支付或收到的累计利息。让我们举例说明（2.6）中给出的现金调整的几种替代解释。we此后写入bxk=（βk）-1Xk.o让我们首先假设αkt=1，对于所有t项Xkt-RtbXkudβku表示现金调整kis受调整过程的现值Xkt和整数Bxkudβku给出的调整资金成本的影响。例如，当XKRE提供资本押记或再抵押抵押品时，就会出现这种情况。分部积分公式给出kt=Xkt-ZtbXkudβku=Xk+ZtβkudbXku，（2.7），其中积分βkudbXku具有以下财务解释：bxku是资金账户βku中需要为调整10 T.R.Bielecki，I.Cialenco和M.Rutkowski过程的金额xku提供资金的单位数。因此，dbxku是该数字的微小变化，而βkudbxku是该变化的成本，必须通过交易策略价值的变化来吸收。观察到βkudbXkumay一词可能为负值，这意味着正在发生现金减免情况在所有t的αkt=1和βkt=1的特殊情况下，我们得到kt=xkt对于所有t.我们在这里进行现金调整Xkon，因为显式的tbxkudβku=0，所以没有报酬。

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2022-5-31 02:44:51

例如，如果银行不使用任何外部资金为此次调整提供资金，而是依赖其自身的现金储备，则可能会出现这种情况。假设现金储备处于闲置状态，既不产生利息，也不需要支付利息现在我们假设所有t的αkt=0kt=-RtbXkudβku表明调整xkd的现金价值对投资组合价值没有贡献。只有由integralRtbXkudβku提供的调整过程Xk的报酬才有助于投资组合的价值。例如，当调整流程表示交易对手过账并保存在独立账户中的抵押品时，就会发生这种情况。上述考虑导致了以下引理，当αkis等于1或0时，它为现金调整过程提供了一个方便的表示。在大多数实际情况下，也可以使用Lemma2.5和适当的调整过程重新定义来处理一般情况。引理2.5。设非负整数n，n，nbe，使n+n+n=n。如果αk=1 f功=1，2，n+n，βk=1 f或k=n，n+1，n+与αk=0 f或k=n+n，n+n+1，n+n+n，然后是现金调整过程所有人的满意度∈ [0，T]，t=nXk=1Xk+nXk=1ZtβkudbXku+n+nXk=n+1Xkt-n+n+nXk=n+n+1ZtbXkudβku。（2.8）2.5财富过程（x、p、Д、C）是一种任意的自我融资交易策略。然后，以下自然问题出现了：在时间t，比如说Vt（x，p，ν，C），套期保值者的财富是多少？很明显，如果套期保值者的原始收入等于x，那么当他在0时以p的价格出售合同C时，他的初始财富等于x+p。

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2022-5-31 02:44:54

相比之下，套期保值者投资组合的初始值，即他在时间0时在其交易资产组合中投资的现金总量，由（2.5）得出，这意味着在时间0时的交易调整需要计入初始投资组合的价值。然而，根据交易调整的财务解释，它们与套期保值者的初始财富没有关系，因此与套期保值者的初始财富和初始投资组合的价值之间的关系ReadSv（x，p，Д，C）=Vp（x，p，Д，C）-nXk=1αkXk。类似的参数可以在t的任何时候使用∈ [0，T]，因为套期保值者在T时的财富应代表其交易资产组合的价值减去所有交易调整的价值（见（2.10））。因此，我们需要关注每个调整过程X，…，的实际所有权（与法律所有权相反），当然，前提是它们不会在时间t消失。虽然这条一般规则形式化很麻烦，但当应用于手头的特定合同时，它不会带来任何困难。例如，在再抵押现金抵押品的情况下（参见第2.7.1节），套期保值者在时间t的收益率应通过从非线性模型11value中组合的定价中减去抵押品金额Ct来计算。这与套期保值者或交易对手在时间t时所交付现金金额d的实际所有权相一致。例如，如果C+t>0，则金额C+t时间t的法定所有人可以是持有人或交易对手（取决于抵押品协议的法律约定），但套期保值者作为抵押品接受者，被允许将抵押品金额用于其交易目的。如果在T之前没有违约，抵押品接受者将抵押品金额退还给抵押品提供者。

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2022-5-31 02:44:59

因此，在与套期保值者的投资组合进行权衡时，应考虑C+T的金额，但应从其财富中排除s。一般来说，我们对财富过程有以下定义。定义2.6。自我融资交易策略（xt、pt、Дt、Ct）的财富过程是确定的，对于每个∈ [t，t]，byVu（xt，pt，Дt，Ct）：=Vpu（xt，pt，Дt，Ct）-nXk=1αkuXku（2.9）或更明确地说，Vu（xt，pt，Дt，Ct）=dXi=1ξiuSiu+dXj=0ψj，luBj，lu+ψj，buBj，bu-nXk=1αkuXku。（2.10）让我们注意到，调整过程xk和相应过程αk的选择具有很大的灵活性。然而，我们始终假设这些过程是特定的，因此上述解释资本实际所有权的论点以及财富过程V（x，p，ν，a，x）也是正确的。定义2.2和2.6的直接结果是，任何自我融资交易策略（xt、pt、Дt、Ct）的财富过程V都承认了动态，即∈ [t，t]，Vu（xt，pt，Дt，Ct）=xt+pt+dXi=1Zutξivd（Siv+Div）+dXj=0Zutψj，lvdBj，lv+ψj，bvdBj，bv-nXk=1ZutXkv（βkv）-1dβkv+Atu。（2.11）有人可能会争辩说，可以将方程式（2.10）和（2.11）作为自我融资交易策略的定义，然后推导出等式（2.3）适用于投资组合的价值Vp（x，p，ν，C），然后由（2.9）给出。我们认为，这种替代方法不是最佳的，因为定义2.2中的条件是通过对交易机制和实际现金流的前瞻性分析获得的，而方程式（2.10）–（2.11）的财务调整则不太吸引人。显然，自融资交易策略的财富过程由两个方程（2.10）和（2.11）描述。

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2022-5-31 02:45:01

观察到，使用（2.10），可以从（2.11）中删除其中一个过程ψj，lorψj，bf，从而用单方程来描述财富过程。通过这种方式可以得到一个（通常是非线性的）BSDE，它可以用来公式化给定合同的各种估价问题。2.6风险资产交易请注意，我们不假设过程Si，i=1，2，d为正，除非明确说明该过程模拟股票价格。因此，多头现金头寸（分别为空头头寸）指的是ξitSit≤ 0（分别为ξitSit≥ 0），其中ξ是指在t.12 t.R.Bielecki，I.Cialenco和M.Rutkowski2.6.1现金市场交易时间t.12 t.R.Bielecki，I.Cialenco和M.Rutkowski2.6.1现金市场交易为了简化列报，我们假设≥ 0表示所有t∈ [0，T]。首先，假设第i项风险资产中ξit>0股的购买是使用现金进行的。然后，我们为allt设置ψi，bt=0∈ [0，T]因此过程Bi，bbe变得无关紧要。现在让我们考虑ξit<0的情况。如果我们假设风险资产卖空的收益可以被套期保值者使用（这在实践中通常是不正确的），我们还将ψi，lt=0设置为所有t∈ [0，T]，因此过程bi，lbe也变得不相关。因此，在这些风格化的现金交易惯例下，没有必要为第i项风险资产引入资金账户Bi、土地Bi、B。由于股息分划给资产贷款人，因此股息不会出现在代表风险资产空头头寸损益的期限内。

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2022-5-31 02:45:07

在没有市场摩擦和交易调整的最简单情况下，对于单一风险资产，根据目前的卖空惯例，（2.3）becomesVpt（x，p，ν，C）=x+p+Ztξu（dSu+dDu）+Ztψ0，ludB0，lu+ψ0，budB0，bu+ 在前面的小节讨论了风险资产的更实用卖空惯例。2.6.2风险资产卖空现在让我们考虑一下从经纪人那里借入风险资产的经典卖空方式。在这种情况下，套期保值者不会从出售riskyasset的借入股份中获得收益，这些股份由经纪人作为现金抵押品持有。对冲者也可能被要求向经纪人提供额外的现金抵押品，在某些情况下，他可能会从经纪人的保证金账户中获得利息。为了表示第i项风险资产的这些交易安排，我们设置ψi，lt=0，αit=αi+dt=0和xit=-（1+δit）（ξit）-Sit，Xi+d=δit（ξit）-如果βit指定套期保值者在经纪人的保证金账户上的利息（如果有），δit≥ 0表示额外的现金抵押品，dβi+d表示套期保值者为额外抵押品融资而支付的利率。例如，我们假设只有一项风险资产S，如第2.6.1节所述，该资产要么卖空，要么使用现金进行回购。然后，我们得到投资组合值Vpt（x，p，ν，C）=（ξt）+St+ψ0，ltB0，lt+ψ0，btB0，bt（2.12），而方程（2.3）变成了Vpt（x，p，ν，C）=x+p+Ztξu（dSu+dDu）+Ztψ0，ludB0，lu+ψ0，budB0，bu+ At+Zt（βu）-1（1+δu）（ξu）-Sudβu-Zt（βu）-1δu（ξu）-Sudβu.（2.13）特别是，如果没有额外抵押品报酬的特定利率，则我们将X设置为0，因此应省略（2.13）中的最后一项。

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2022-5-31 02:45:10

值得注意的是，（2.12）可以被视为（2.2）Vpu（xt，pt，Дt，Ct）的以下扩展版本的特例：=dXi=1hi（ξiu）Siu+dXj=0ψj，luBj，lu+ψj，buBj，bu感兴趣的读者可以在网上查阅pageshttp://www.investopedia.com/terms/s/shortsale.asp andhttps://www.sec.gov/investor/pubs/regsho.htm有关卖空机制的更多详细信息。d=1且h（x）=x+的非线性模型13中的衍生品定价∈ R、 2.6.3回购市场交易让我们首先考虑现金驱动的回购交易，即套期保值者拥有的第i个风险集合的股份被用作抵押品以筹集现金的情况。为了表示该事务，wesetψi，bt=-（Bi、bt）-1（1- hi，b）（ξit）+Sit，（2.14），其中Bi，b说明了借入现金并质押天空资产作为抵押品的套期保值人向贷款人支付的利息，而恒定hi，b表示第i项质押资产的折减。风险资产在回购市场上的综合卖空是通过证券驱动的回购交易获得的，也就是说，当风险资产的股票被现金借款人作为抵押品过账，并且立即被借出现金的套期保值者出售时。形式上，这种情况对应于等式ψi，lt=（Bi，lt）-1（1- 嗨，l）（ξit）-Sit，（2.15），其中Bi，L指定借款人向套期保值者提供的现金金额的利息金额p（1- 嗨，l）（ξit）-Sitand hi，lis相应的发型。如果仅交易一项风险资产，且交易仅在回购市场进行，则我们获得Vpt（x，p，Д，C）=x+p+Ztξu（dSu+dDu）+Ztψ0，ludB0，lu+ψ0，budB0，bu+Zt公司（B1，lu）-1（1- h1，l）（ξu）-SudB1，lu- （B1，bu）-1（1- h1，b）（ξu）+SudB1，bu+ 在（2.16）在实践中，合理的假设是，给定风险资产的长期和短期回购利率相同，即Bi=Bi，l=Bi，b。

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2022-5-31 02:45:13

在这种情况下，我们可以设置ψit=（1- hi）（位）-1ξitSit，使方程（2.14）和（2.15）简化为一个方程（1- hi）ξitSit+ψitBit=0。（2.17）根据Bi的这一解释，相等（2.17）意味着第i项风险资产的交易是使用（对称）回购市场进行的，风险资产的ξ其份额作为抵押品，这意味着抵押率等于1。在（2.17）下，方程式（2.16）减少到Vpt（x，p，Д，C）=x+p+Ztξu（dSu+dDu）+Ztψ0，ludB0，lu+ψ0，budB0，bu-Zt（Bu）-1（1- h） ξuSudBu+At。（2.18）2.7抵押品我们考虑套期保值者和交易对手签订合同，并以C表示的价值接受或抵押抵押品的情况，C表示为半鞅。一般来说，过程C代表保证金账户的价值。We letCt=Xt+Xt（2.19）我们参考tohttps://www.newyorkfed.org/medialibrary/media/research/staff_reports/sr529.pdf有关回购交易机制的详细说明。14 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski，其中Xt：=C+T=Ct{Ct≥0}，且Xt：=-C-t=Ct{Ct<0}。按照惯例，C+t的金额是套期保值者在t时从交易对手处收到的抵押品的现金价值，而C-Tre表示其抵押的抵押品的现金价值，并因此转移给其交易对手。为便于表述并与现行市场惯例保持一致，假设只能交付或接收现金抵押品（有关其他抵押品惯例，请参见，例如，Bielecki和Rutkowski[8]）。根据2014年ISDA保证金调查，75%的未清算OTC抵押品协议以现金结算，约15%以政府证券结算。我们还就经济合同到期日保证金账户的价值作出以下自然假设。假设2.7。

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2022-5-31 02:45:16

G适应抵押品金额过程满足CT=0。通常这意味着并行过程C将在时间T从CT跳变-到0。假设相等CT=0只是一种方便的方式，可以确保在合同到期时将任何已过账的抵押品金额全额返还给出质人，前提是在到期日T之前或到期日T时未发生违约事件。一旦对默认事件进行建模，我们将需要指定收尾付款（见第2.8.1节）。首先，让我们从套期保值者的角度对保证金账户的关键特征发表一些评论。金融实践可能要求将抵押品金额保存在单独的保证金账户中，这样，当抵押品接受者时，他就不能将抵押品金额用于交易。实践中经常遇到的另一种抵押品惯例是再抵押（约90%的OTC合同现金抵押品都是再抵押的），这是指套期保值者可以使用其交易对手抵押的抵押品作为其与其他交易对手签订的合同的抵押品。显然，如果套期保值者是抵押品提供者，那么关于隔离或再抵押的特殊约定对其投资组合的价值过程的动态至关重要。我们请读者参阅Bielecki和Rutkowski【8】和Cr'epey等人【19】，以详细分析关于抵押协议的各种公约。在这里，我们将在我们的上下文中研究抵押（有时也称为保证金）的一些基本方面。一般而言，由于抵押而产生的现金调整包括Ct：=αtC+t- αtC-t型-Zt（βu）-1C+udβu+Zt（βu）-1C级-udβu，（2.20），其中报酬过程β和β确定套期保值人就抵押品金额C+和C支付或收取的利率-, 分别地

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2022-5-31 02:45:19

（2.20）中介绍的辅助过程α和α用于涵盖有关保证金账户再抵押和分离的替代约定。注意，我们总是为所有t设置αt=1∈ [0，T]考虑套期保值者的组合时，因为关于再抵押或分离的特定约定显然与抵押品出质人无关。2.7.1再抵押作为现有文献中的惯例，我们假设现金抵押物的再抵押意味着套期保值者可以在不受任何限制的情况下将其用于交易目的。要为套期保值者掩盖其再抵押抵押品的样式化版本，必须为所有t设置αt=αt=1∈ [0，T]，因此对于套期保值者，我们得到αtXt+αtXt=Ct。因此，保证金账户对应的现金调整等于t=t+t=Xk=1Xk+ZtβkudbXku. （2.21）衍生工具定价在非线性模型中152.7.2隔离式共同隔离下，套期保值者收到的抵押品由第三方保管，因此套期保值者不能将其用于其交易活动。在这种情况下，我们为allt设置αt=0和αt=1∈ [0，T]，因此αtXt+αtXt=-C-t、因此，相应的现金调整期限等于t=t+t=X-ZtbXudβu+ZtβudbXu。（2.22）2.7.3初始保证金和变动保证金在市场实践中，抵押品总金额通常由两个组成部分表示，即初始保证金（也称为独立金额）和变动保证金。在自我融资交易策略的背景下，这可以通过为给定的合同a引入两个（或更多）抵押品流程来轻松解决。

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2022-5-31 02:45:22

值得一提的是，合同条款中规定的每一个抵押过程通常都受到关于隔离和/或报酬的不同约定的约束。2.8交易对手信用风险金融合同中的交易对手信用风险源于合同中至少一方可能在合同到期之前或到期时违约，这可能导致该方无法履行其所有合同义务，导致合同中任何一方承担的财务损失。我们将根据违约时间对合同双方的违约能力进行建模。我们分别用τhandτc表示对冲对手的违约时间。我们要求τhandτcare定义非负随机变量(Ohm, G、 G，P）。如果τh>T持有a.s.（分别为τc>T，a.s.），则套期保值人（分别为缔约方）被视为研究中的合同无违约。因此，如果P（τ≤ T）>0，其中τ：=τh∧ τ是第一次违约的征兆。从现在起，我们假设流程A模拟了所有承诺（或名义）的合同现金流，从交易台的角度来看，没有考虑交易方违约的可能性。换言之，如果双方在合同到期之前或到期时均未违约，代表将收到可变现的现金流。我们有时会提及交易对手无风险现金流，我们将现金流合同称为交易对手无风险合同。在交易对手风险的背景下，关键概念是交易对手风险合同，这将在前面的小节中进行研究。2.8.1平仓支付回顾，τ表示第一次违约的时刻。

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