下一步建议显示，我们可以将交易对手风险合同解释为基本合同A，该合同由抵押品调整过程X=（X，X）=（C+）补充，-C-) 以及现金流量账户。鉴于这一结果，交易对手风险合同（A, X）允许以下形式分解（A）, X）=（A，X）+（ACCR，0）和（A, X）=（A，0）+（ACCR，X）。提案2.11。平等At=所有t的At+actrholds∈ [0，T]。证据我们首先注意到k=Cτ+1{τC<τh}（RcΥ）+- Υ-) + 1{τh<τc}（Υ+- RhΥ-) + 1{τh=τc}（RcΥ）+- RhΥ-)= Cτ- 1{τc≤τh}（1- Rc）Υ++1{τh≤τc}（1- Rh）Υ-+ Υ=Qτ+Aτ- 1{τc≤τh}（1- Rc）Υ++1{τh≤τc}（1- Rh）Υ-,我们在上一个等式中使用了（2.23）。因此，从（2.25）我们得到t=1{t<τ}At+1{t≥τ} （Aτ-+ K） =1{t<τ}At+1{t≥τ} （Aτ- Aτ+K）=At∧τ+1{t≥τ} （K）- Aτ）=At+（At∧τ- At）+1{t≥τ} （K）- Aτ）=At+1{t≥τ}Aτ- At+Qτ- 1{τc≤τh}（1- Rc）Υ++1{τh≤τc}（1- Rh）Υ-,从定义2.10来看，这是理想的平等。命题2.11表明，交易对手风险合同的现金流可以正式分解为交易对手无风险部分（A，X）=（A，X）和CCR部分（A，X）=（ACCR，0）。合同现金流的这种加性分解可用于交易对手风险y合同的定价。例如，可以尝试计算合同价格（A, X）使用以下暂定分解价格（A, X）=价格（A，X）+价格（ACCR，0）=交易对手无风险价格+CCR价格。正如我们在第6节中所述，由于通过求解非线性BSDE获得的X股息价格的可预测性通常无法维持，因此该程序不太可能在非线性框架下对合同方风险y合同进行整体无套利估值。18 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M。

Rutkowski2.9本地和全球估值问题在我们的框架中由流程X表示的市场调整实际上可能取决于现金流流程A和交易策略Д。同样，交易策略通常取决于交易调整。因此，在我们的交易领域中，Д和X之间的反馈效应可能存在，当然，这一特征应该适当地考虑无效和对冲。此外，重要的是要区分上述依赖性仅取决于对冲组合当前构成和/或财富过程当前水平的情况，以及这种依赖性延伸到对冲策略历史的情况。如果合同（a，X）、现金和资金账户以及风险资产的价格不取决于套期保值者交易策略ν和财富过程V（Д）的严格历史记录（即，历史记录不包括利息过程的当前价值），那么我们认为估值问题是局部的；否则，它被称为全球估值问题。鉴于（2.11），局部和全局估值问题之间的区别可以形式化如下。定义2.12。对于某些G-逐步测量映射vk，wk，如果Xkt=vk（t，Vt（Д），Дt）和dβkt=wk（t，Vt（Д），Дt）dt，则认为估值问题是局部的：Ohm ×[0，T]×R3（d+1）→ R对于每k=1，2，n、 如果某些G-n on预期函数的Xkt=(R)vk（t，V·（Д），Д·）和dβkt=(R)wk（t，V·（Д），Д·）dt，则估值问题是全球性的：Ohm×[0，T]×D（[0，T]，R3（D+1））→ R对于每k=1，2。

，n其中，D（[0，T]，R3（D+1））是[0，T]上的R3（D+1）值、G-适应、c\'adl\'agprocesses的空间。正如人们可能猜测的那样，这两个估值问题的解决方案在时间0时总是一致的，但总的来说，它们在时间t的任何时候都可能有非常不同的性质∈ （0，T）。特别是，它们通常对应于不同类别的BSDE：局部问题对应于经典BSDE，而全局问题可以通过广义BSDE来处理，这是Cheridito和Nam在最近的工作中介绍的（另见Zheng和Zong[51]）。必须强调的是，局部问题和全局问题之间的区别与路径无关或有权益的概念或主要风险集基础模型的马尔可夫性无关。这只是由于套期保值者的交易决策与市场条件（包括手头合同的特定调整）之间的上述（本地或全球）反馈效应。示例2.13。作为全球估值问题的一个程式化示例，让我们考虑一个为期两个月的合同（为了具体起见，假设它是期限分别为一个月和两个月的股票看跌期权和看涨期权的简单组合）。套期保值者的借款利率设定为每年5%，如果套期保值者在第一个月内借入任何现金，则一个月后将上升至6%，如果套期保值者在第一个月内没有借入现金，则利率将保持在5%。类似地，贷款利率最初为每年3%，如果套期保值者在第一个月内借入任何现金，则会下降到2%。很明显，估值问题是全球性的，因为它在[t，t]上的解决方案将取决于严格的交易历史。

相反，如果交易模式可能有不同但固定的借贷利率，那么任何合同的估值问题都将是局部的，当然，从上面介绍的意义上来说，除非其他一些交易调整将取决于严格的交易历史。例如，如果唯一的调整是由套期保值者的估值确定的可变保证金账户，并且报酬率不变，那么h edger的估值问题是局部的。请注意，即使s股票价格受马尔可夫动力学（Markovian dynamics）现实世界概率度量的控制，且合同研究是标准看涨期权或看跌期权（或任何其他路径独立的或有权益），上述估值问题也具有内在的全局性。非线性模型中的衍生品定价19第6节介绍了本地和全球估值问题的更一般实例，其中我们研究了非线性市场的BSDE方法。让我们提到，现有文献中研究的大多数估价问题都是局部的，因此可以使用经典BSDE的现有结果来解决这些问题。相比之下，全球估值问题更难分析，因为它们需要使用新类别的BSDE（见[16，51]和其中的参考文献）。3非线性市场的无套利特性分析交易策略的自我融资特性时，应辅之以对所采用市场模型的某种无套利特性的研究。由于具有不同融资利率的市场模型的非线性，即使没有考虑额外的投资组合约束或交易调整，如何正确定义无套利性质已经是一个重要问题。尽管如此，我们仍将认为，可以使用与交易相关的套利机会的一些合理的一般定义来有效地处理这一问题。

让我们强调一下，我们在这里只研究套利机会经典概念的线性扩展，因此是无套利的最简单定义，有时缩写为NA（参见Fontana定义2.2第（iv）部分[29]），而不是更复杂的概念，例如：NFLVR（无风险的免费午餐），NUPBR（无无无界利润和有界风险，也称为第一类无套利，即NA1）或NIP（无增长利润）。引入更具历史意义的无套利条件是为了建立资产定价基本理论（FTAP）的合适版本，该理论表明了一种特殊形式的无套利与原始资产贴现价格存在某种“鞅测度”之间的等价性。由于一般非线性市场模型的复杂性，当在一般非线性框架内工作时，支持线性设置中FTAP的鞅技术不太可能也有用（但是，请参见Pulido[48]，他为一个非常特殊的、因此易于处理的、有卖空禁令的非线性市场建立了FTAP）。在本文中，我们仅在非线性框架中提出了无套利的替代定义，并给出了一般非线性市场模型无套利性质的充分条件。3.1无套利定价原则让我们首先非常简洁地描述金融衍生品的经典估值范式。因此，无套利定价的一般方法至少隐含地取决于以下论点：步骤（L.1）。

首先检查具有预先确定的交易规则和主要交易资产的市场模型是否是无套利的，其中套利机会的定义是真实世界中风险可预测交易机会概念的数学形式化。事实上，根据手头的框架，我们研究了“无套利”的几种替代定义（有关概述，请参见Fontana[29]）。步骤（L.2）。对于价格尚未确定的金融衍生工具，可以提出aprice（不一定是唯一的），并检查扩展模型（即假设金融衍生工具为额外交易资产的模型）是否保留步骤（L.1）中精确定义的无套利属性。上述估值程序可称为无套利定价范式。在任何线性市场模型中（见定义2.3后的注释），可以证明应用程序给出的唯一价格（或在不完全市场情况下使用super20 T.r.Bielecki，I.Cialenco和M.Rutkowski对冲策略获得的无套利价格范围）与无套利价格Paradigm（L.1）–（L.2）一致，虽然要在连续时间框架内建立这一属性，还需要引入交易策略的可接受性概念。特别是，线性BSDE的strictcomparison特性可以用来表明复制（或超边缘）确实会产生与无套利定价范式一致的衍生产品价格。或者，可以使用资产定价基本定理的合理版本来证明通过可接受的交易策略确定的贴现价格是σ-鞅（因此，实际上是超鞅），在等效的局部鞅测度下。

后者是众所周知的随机积分的基本特征，因此它涵盖了所有线性市场模型。显然，我们对线性无套利定价理论的非常简短的总结是非常特别的，我们承认，它应该由对交易资产价格的适当假设和无套利的具体定义来补充。关于线性市场模型无套利性的经典结果调查，我们参考了Delbaen和Schachermayer的Monograph【23】（参见Karatzas和Kardaras【31】、Kardaras【34】、Takaoka和Schweizer【50】的论文了解更多最新发展）。现在让我们来评论一下现有的衍生品非线性估值方法，正如El Karoui和Quenez【27】和El Karoui et al【26】首先提出的，后来几个研究者将其应用于特定的金融模型或合同类别（例如，见Bichuch et al【4】、Brigo and Pallavicini【11】、Cr'epey【17、18】、Dumitrescu et al【24】、Mercurio【39】或Pallavicini et al【44、45】）。非线性框架中解决估值问题的最常见方法似乎至少隐含地取决于以下步骤，在这些步骤中，通常假设套期保值者的原始禀赋是不重要的，因此可以将其设置为零。事实上，步骤（N.1）在上述一些作品中明确阐述了ly，而在现有文献中的大多数论文中，作者只关心找到复制或超边缘策略的问题，如步骤（N.2）所述。此外，据我们所知，到目前为止，步骤（N.3）中强调的重要信息一直被完全忽视，因为显然，根据合适的BSDE解决方案，复制成本是合同的公平价格，这是理所当然的。步骤（N.1）。

与财富动态相关的BSDE的严格比较论证表明，不能用零初始财富和终端财富构建一个可接受的交易策略，该策略几乎肯定是非负的，并且具有正可能性（因此经典的n-o-套利性质成立）。步骤（N.2）。欧洲未定权益的价格是使用复制成本或超边际的最低成本确定的。财富过程的严格比较性质的一个合适版本可以用来表明，对于一些非线性市场模型，对于任何可复制的欧洲主张，这两种定价接近相同的值。步骤（N.3）。仍需检查复制成本给出的暂定价格或选择低于超边缘最小成本给出的上限的暂定价格是否符合扩展市场的某种形式的无套利性质。我们将讨论扩展非线性市场模型是否保持无套利性质的问题（当然，根据无套利的每个特定定义，解决无套利的难度要比线性框架下的难度大得多。直觉上，这是因为衍生品交易可能会从本质上改变原始非线性市场的固有关系，而FTAP的某些版本可用于在线性框架下对同一问题给出积极的答案。

我们在非线性框架中提出了部分解决方案，将第4.2条引入常规市场模型的概念（见定义4.9和4.14），并建立了常规模型中公平定价的一些结果（见命题4.11和4.15）。非线性模型中的衍生品定价213.2贴现财富和可接受策略为了解决无套利问题，我们需要引入贴现财富过程，并适当定义交易策略的可接受性概念。对于任何x∈ R、 我们用b（x）表示严格正过程，对于所有t∈ [0，T]，Bt（x）：=1{x≥0}B0，lt+1{x<0}B0，bt.（3.1）注意，如果B0，l=B0，b，那么b（x）=b=b。此外，如果x=0，那么xB0，bt=xB0，lt=0，对于所有t∈ [0，T]因此，在（3.1）的右侧选择B0，lor B0，bin实际上是无关紧要的。很自然地，假设初始禀赋x≥ 0（分别为x<0）具有时间t的未来值xB0，lt（分别为xB0，bt∈ [0，T]当投资于现金账户B0，l（分别为B0，b）时。因此，我们在以下假设下工作。假设3.1。我们假设：（i）对于任何初始捐赠x∈ 套期保值者的R，空合同N=（0，0）属于C，（ii）对于任何x∈ R、 交易策略（x，0，bД，N），其中bД的所有成分都消失，除了ψ0，l，如果x≥ 0，或ψ0，b，如果x<0，则属于Φ0，x（C），对于所有t∈ [0，T]。乍一看，假设3.1可能看起来微不足道，甚至是多余的，但它应该被提出，并且它将有助于推导公平价格的基本属性。条件（i）是一个非常明显的正式要求。

然而，请注意，条件（ii）不能直接从自我融资条件中推断出来，因为它取决于额外的假设，即当初始捐赠投资于现金账户时，不存在交易调整（如：税收、交易成本、保证金账户等）。需要说明的是，在任何日期，无效合同的公平价格为零∈ [0，T]。此外，条件（ii）中引入的交易策略将作为评估套期保值者产生的损益的自然基准。假设3.1对我们研究[t，t]上交易策略的情况的自然延伸也是隐含假设，而无需明确说明。在下一个必要步骤中，我们遵循标准方法，引入贴现财富的可容许性概念。为此，对于任何固定的∈ [0，T），我们考虑一个Edger，他在时间T开始以初始捐赠X进行交易，并使用自筹交易策略（xt，pt，ДT，Ct），其中价格∈ 时间t时合同CTI交易的GT是任意的。我们还考虑了严格的正向贴现过程Bt（xt），这是为ALU定义的∈ [t，t]byBtu（xt）：=1{xt≥0}B0，lu（B0，lt）-1+1{xt<0}B0，bu（B0，bt）-1，（3.2），尤其是Btt（xt）=1。然后将财富过程折现为时间满意度，对于所有u∈ [t，t]，eVu（xt，pt，Дt，Ct）：=（Btu（xt））-1Vu（xt，pt，Дt，Ct）（3.3），我们有以下关于[t，t]交易策略可接受性的自然概念。定义3.2。对于任何固定的t∈ [0，T），我们说一种交易策略（xt，pt，ДT，Ct）∈ 如果贴现的财富值（xt，pt，Дt，Ct）从下方以常数为界，则Φt，xt（C）是允许的。

Wedenote byψt，xt（pt，Ct）对应于（xt，pt，Дt，Ct）和Wedenote byψt，xt（C）的容许策略类：=∪C∈C∪pt公司∈Gtψt，xt（pt，Ct）相对于时间t时初始禀赋为x的套期保值者的C类合同，在[t，t]上所有可接受的交易策略的类别。特别是，ψ0，x（C）是时间t时初始禀赋为x=0.22 t.R.Bielecki的套期保值者可接受的所有交易策略的类别，I.Cialenco和M.Rutkowski3.3关于无效合同的无套利对于基础市场模型的最低无套利要求是，它应该是关于无效合同的无套利。请注意，与假设3.1和复制的概念一致（关于非无效合同复制的一般表述，请参见定义4.8），定义3.4中隐含地假设，零时间交易的无效合同价格等于零。不用说，这是任何交易模式中一个无可争议的特征。定义3.3。考虑一个基础市场模型M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））。对于初始捐赠x的套期保值者，关于无效合约（或主要套利机会）的套利机会是一种策略（x，0，Д，N）∈ ψ0，x（0，N）使得p（eVT（x，0，ν，N）≥ x） =1，P（eVT（x，0，Д，N）>x）>0。（3.4）定义3.4。如果市场模型M中不存在主要套利机会，那么我们说，对于初始套利x的套期保值者的无效合约，M具有无套利属性。对于任意线性市场模型，定义3.4 red导致了无套利机会的经典定义。众所周知，本定义中引入的无套利属性是在线性框架下为金融衍生品开发无套利定价的有力工具。

然而，这并不意味着定义3.4足以支持我们发展非线性无套利定价理论，该理论将具有数学或金融角度所需的特性。一方面，套期保值者公允价值的自然定义（见定义4.1）与空合同的无套利概念一致，因此定义3.4似乎在理论上是正确的。然而，另一方面，定义3.4对于一般非线性市场中的有效评估和边缘化方法来说是不够的，原因如下。首先，合同的复制成本可能无法满足公平价格的定义，因为以套期保值者的复制成本出售合同的可能性可能会为套期保值者带来一个套利机会。第4.2.3节给出了一个明确的市场模型示例，该模型在定义3.4的意义上是无套利的，但对这种效率有所帮助。其次，也许更重要的是，没有一种成熟的方法可以在线性市场上找到符合定义3.4的公平价格。我们认为，对于完整合同而言，定义无套利模型的缺点是它没有明确提及研究中的C类合同。事实上，它依赖于交易策略的ψ0，x（0，N）类的规定，但它没有提及较大的ψ0，x（C）类。

为了修正定义3.4中的缺陷，Bielecki和Rutkowski[8]建议考虑交易台无套利财产的概念，涉及预定的C类合同。3.4交易平台的无套利继Bielecki和Rutkowski【8】之后，我们现在将研究amarket模型更强大的无套利属性，该模型与预先确定的C类金融合同密切相关。我们的目标是提出一个更严格的无套利条件，这不仅说明了市场的非线性，而且还明确提到了正在考虑的一系列合同。不幸的是，定义3.10意义上的无套利模型类别似乎过于复杂，因此仍不清楚上一节中评论的估值违规行为将被完全消除（例如，请参见第4.2.3节）。非线性模型中的衍生品定价23为了符号的简单性，我们在这里考虑t=0的情况，但所有定义都可以很容易地扩展到任何日期t的情况。符号X=X（A）和Y=Y(-A） 用于强调没有理由期望贸易附加条款将满足等式X(-A） =-X（A），一般情况下。因此，我们用Y=（Y，…，Yn；α（Y），αn（Y）；β（Y），βn（Y））与累积现金流过程相关的交易调整-A、 为了避免混淆，我们将使用财富过程的完整符号，例如V（x，p，Д，C）=V（x，p，Д，A，x）等。备注3.5。如上所述，等式Yk=-Xk，适用于所有k=1，2，n、 就现状而言，这种平等性通过变动幅度得到满足，但初始保证金和监管资本（始终为非负）无法满足。定义3.6。

对于合同C=（a，X）和初始捐赠X，合并财富定义为VCOM（X，X，Д，(R)Д，a，X，Y）：=V（X，0，Д，a，X）+V（X，0，(R)，-A、 Y），（3.5），其中x，x是任意实数，x=x+x，ν∈ ψ0，x（0，A，x）和∈ψ0，x（0，-A、 Y）。具体而言，Vcom（x，x，И，(R)，A，x，Y）=x+x=x。综合财富这个名称的动机是相当透明的，因为它直接来自于（3.5）中右侧对过程的财务解释。我们认为，这可以被视为两位交易员的总财富，他们是同一个交易台的成员，应该按照以下方式进行交易：o第一位交易员在合同（a，X）中持有多头头寸，而e中的第二位交易员在同一合同中持有短头头寸，因此h是头寸的正式代表(-A、 Y）。由于我们假设多头和空头头寸具有完全相反的价格，因此相应的现金流为p和-p来到交易台（而不是单个交易员）时，会相互影响，因此交易台的初始捐赠x保持不变此外，假设在现金流p和-p已经被净值化，因此它们不再相关，初始捐赠x被分成任意数量的x和x，即x=x+x。

然后，向每个交易员分配各自的xor xashis初始捐赠金额，每个交易员对其各自头寸进行积极对冲。现在很明显，在timezero交易合同时的初始价格p水平对于两种对冲策略来说都是无关紧要的，两个交易者的总财富（即组合财富）由右侧在（3.5）中给出。或者，合并后的财富可以用来描述这样一种情况，即单个交易员与两个外部交易对手进行多头和空头头寸，并使用其初始捐赠x分为x和x进行独立对冲。当然，在这种情况下，更清楚的是，初始价格p不会影响其交易策略，因为在0时从一个交易对手收到的现金金额会立即转移到第二个交易对手。备注3.7。还可以观察到，以下等式适用于任何实数pV（x，0，Д，A，x）+V（x，0，(R)Д，-A、 Y）=V（ex，p，Д，A，X）+V（ex，-p、 ^1，-A、 Y），其中ex=x- p和ex=x+p是x的另一种分解，因此x=ex+ex。然而，方程式（3.5）更好地反映了实际的交易安排，并且它有一个明显的优势，即p个数（先验未知）不会出现在组合财富的表达式中。因此（3.5）强调了组合财富独立于p的关键特征。事实上，可以指出，交易台了解价格的实际水平24 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowskip这一事实对于特定市场模型中是否存在交易台的套利机会这一问题至关重要。定义3.8。

如果贴现组合财富流程（x，x，Д，(R)Д，A，x，Y）：=（B（x）），则交易台可接受定义3.6中引入的一对（x，Д；x，(R)Д）交易策略-1Vcom（x，x，Д，(R)Д，A，x，Y）（3.6）由一个常数从下方限定。交易台可接受的策略类别由ψ0，x，x（A，x，Y）决定。我们能够针对特定的合同系列，为交易平台正式确定无套利模型的概念。定义3.9。一对（x，Д；x，(R)Д）∈ ψ0，x，x（A，x，Y）是交易台就合同（A，x）进行的套利机会，前提是满足以下条件≥ x） =1，P（eVcomT（x，x，Д，(R)Д，A，x，Y）>x）>0。定义3.10。我们认为，市场模型M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））对于交易台而言具有无套利属性，前提是交易台对于来自C的任何合同C没有套利机会。我们在第3.3节和第3.4节中的主要目的是提供一些简单且具有财务意义的标准，使我们能够检测并消除出现某些特定形式套利的市场模型。定义3.4和定义3.10提供了接受或拒绝任何暂定非线性市场模型的标准。很容易看出，如果应用定义3.4，根据定义3.10被拒绝的模型也将被拒绝。然而，我们并不声称这些试验足以有效区分可接受和不可接受的衍生工具估值非线性模型。

在此之前，在定义4.9中，我们将制定其他条件，这些条件应通过一个可接受的模型来满足，该模型被称为常规模型。3.5贴现财富过程的动态很自然地会问，对于给定的市场模型，是否可以检查交易台的无套利。在说明该属性的简单验证方法之前，我们需要引入附加符号。让我们写下bi，l（x）：=（B（x））-1Bi、l、eBi、b（x）：=（b（x））-1Bi，b，eβk（x，x）：=（b（x））-1βk（X），eβk（X，Y）：=（B（X））-1βk（Y），bXk：=（βk（X））-1Xk，bYk：=（βk（Y））-1Yk，B0，b，l：=（B0，l）-1B0，b，B0，l，b：=（B0，b）-1B0，l.非线性模型中的衍生品定价25引理3.11。贴现的综合财富满足度Devcomt（x，x，ν，(R)，A，x，Y）=dXi=1（ξit+(R)ξit）deSi，cldt（x）+dXi=1（ψi，lt+(R)ψi，lt）deBi，lt（x）+dXi=1（ψi，bt+(R)ψi，bt）deBi，bt（x）+1{x≥0}（ψ0，bt+’ψ0，bt）dB0，b，lt+1{x<0}（ψ0，lt+’ψ0，lt）dB0，l，bt-nXk=1bXktdeβkt（x，x）-nXk=1bYktdeβkt（x，Y）+nXk=1（1）- αkt（X））Xkt+（1- αkt（Y））Yktd（Bt（x））-1，（3.7）其中，我们设置ESI，cldt（x）：=（Bt（x））-1Sit+Zt（Bu（x））-1 DIU。（3.8）证明。对于任意分解x=x+x，我们写道（注意，引入不等式（3.3）的符号在此扩展，因为x 6=xi，通常）eV（x，p，ν，A，x）：=（B（x））-1eV（x，p，Д，A，x），eV（x，p，(R)Д，-A、 Y）：=（B（x））-1eV（x，p，(R)Д，-A、 Y）。从（2.10）和（2.11）中，使用It^o分部积分公式，我们得到Devt（x，p，Д，A，x）=dXi=1ξitdeSi，cldt（x）+dXi=1ψi，ltdeBi，lt（x）+ψi，btdeBi，bt（x）+ 1{x≥0}ψ0，btdB0，b，lt+1{x<0}ψ0，ltdB0，l，bt+（bt（x））-1日期-nXk=1bXktdeβkt（x，x）（3.9）+nXk=1（1- αkt（X））Xktd（Bt（X））-1，并且一个类似的等式适用于v（x，p，(R)，-A、 Y）。

因此（3.7）遵循（3.5）和（3.6）。我们从（3.9）中推断，假设3.1中的条件（ii）是满足的，前提是不存在额外的投资组合约束（回想一下假设3.1中的条件（i）始终是保持不变的）。另外，假设Bi，l=Bi，b=Bi或i=1，2，d、 我们定义了过程Si、cldandbSi、cldSi、cldt：=Sit+BIZT（Biu）-1dDiu、bSi、cldt：=（位）-1Si，cldt=bSit+Zt（Biu）-1dDiu，其中turnbSi：=（Bi）-1Si。很容易检查Desi，cldt（x）=eBit（x）dbSi，cldt+bSitdeBit（x），（3.10），其中EBI（x）：=（B（x））-1Bi。26 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski推论3.12。假设Bi，l=Bi，b=Bi或i=1，2，d、 然后，贴现的组合财富满足度（x，x，ν，(R)，A，x，Y）=dXi=1（ξit+(R)ξit）息税前利润（x）dbSi，cldt+dXi=1（ξit+？ξit）bSit+（ψit+？ψit）借方（x）+1{x≥0}（ψ0，bt+’ψ0，bt）dB0，b，lt+1{x<0}（ψ0，lt+’ψ0，lt）dB0，l，bt-nXk=1bXktdeβkt（x，x）（3.11）-nXk=1bYktdeβkt（x，Y）+nXk=1（1）- αkt（X））Xkt+（1- αkt（Y））Yktd（Bt（x））-1.证明。必须将（3.7）与（3.10）结合起来。3.6交易台无套利的充分条件以下结果给出了交易台市场模型无套利的充分条件。命题3.13的证明非常简单，因此省略了它。提案3.13。假设e xi有一个概率测度Q，等于P on(Ohm, GT），并且对于任何分解x=x+x以及任何可接受的交易策略组合（x，Д，A，x）和（x，(R)Д），-A、 Y）对于属于C的任何合同（A，X），贴现的联合财富（combinedwealtheVcom）（X，X，Д，(R)Д，A，X，Y）是Q下的超级鞅。

那么市场模型M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））对于交易台来说是无套利的。虽然命题3.13相当抽象，但只要采用了特定的市场模型，就可以很容易地验证其中制定的有效条件（例如，见Bielecki和Rutkowski【8】和Nie和Rutkowski【40、41、43】）。为了支持这一说法，我们将研究一个amarket模型的示例，该模型具有风险资产的特殊融资和再抵押现金抵押品。示例3.14。我们考虑特殊情况，其中B0，l=B0，b=b=b（x）和Bi，l=Bi，b=Bi，对于所有i=1，2，d、 如果我们暂时假设不存在额外的投资组合约束，那么从（3.11）中，我们得到（对于该公式的特殊情况，请参见Bielecki和Rutkowski[8]中的推论2.1）deVcomt（x，x，ν，(R)，a，x，Y）=dXi=1（ξit+(R)ξit）eBit（x）dbSi，cldt+dXi=1（ξitSit+ψitBit）（Bit）-1税息折旧（x）+dXi=1（(R)ξitSit+(R)ψitBit）（位）-1息税（x）-nXk=1bXktdeβkt（x，x）-nXk=1bYktdeβkt（x，Y）+nXk=1（1）- αkt（X））Xkt+（1- αkt（Y））Ykt数据库-1吨。我们假设现金抵押品是再抵押的，因此在Lemma2.5中n=n=2。然后，对于所有t，αt=αt=αt（Y）=αt（Y）=1，且Xt+Yt=Xt+Yt=0∈ [0，T]。此外，我们假设ξitSit+ψitBit=’ξitSit+’ψitBit=0 f或所有i和t∈ [0，T]，这意味着ITH风险资产通过回购账户Bi获得了全额资金（见第2.6.3节）。更一般地说，假设以下等式适用于所有t∈ [0，T]dXi=1Zt（ξiuSiu+ψiuBiu）（Biu）-1deBiu（x）=dXi=1Zt（(R)ξiuSiu+(R)ψiuBiu）（Biu）-1deBiu（x）=0。

（3.12）非线性模型中的衍生品定价27最后，让报酬过程满足βk（X）=βk（Y）（抵押品利率的对称性）。然后，交易台贴现综合财富的动力学公式减少了Devcomt（x，x，ν，’Д，A，x，Y）=dXi=1（ξit+’ξit）eBit（x）dbSi，cldt，因此该模型对于交易台来说是无套利的，前提是存在概率度量Q，其相当于(Ohm, GT），并且使得进程bsi，cld，i=1，2，d areQ局部鞅。当现金账户B0、土地B0、bdi失效，但借贷利率主导借贷利率时，该物业仍然是交易台无套利的有效条件。4套期保值者的公平定价和市场规律我们现在讨论非线性框架中的公平定价问题，假设套期保值者在时间t具有初始禀赋X。我们假设模型对于无效合同或交易台享有无套利属性，我们认为套期保值者打算在时间t签订合同。第一个目标是描述合约Ct套期保值者的公平价格范围。让pt∈ GT表示从套期保值者的角度来看，当时合同的一般价格。因此，如果PTI为正值，则套期保值者在一段时间内从交易对手处收到现金金额PTT，而PTI为负值则表示他同意支付现金金额-PTT在时间t发送给交易对手。在下一次定义中，我们确定日期t∈ [0，T），我们假设合同CTI是以ptat时间T的价格进行交易的。在这种情况下，很自然会问套期保值者是否可以通过签订合同并在[T，T]上使用可接受的交易策略进行套期保值来实现无风险收益。我们建议称之为ahedger的定价套利机会。

回想一下，第节中定义的套利机会与交易模型的属性相关，但它们并不取决于交易成本的价格水平。定义4.1。A交易策略（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C）是套期保值者在[t，t]上的定价套利机会，与在ptat时间t交易的合同CTIFP（或者，简而言之，二级套利机会）相关eVT（xt、pt、Дt、Ct）≥ xt公司= 1（4.1）和PeVT（xt、pt、Дt、Ct）>xt> 0。（4.2）很明显（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C）不是套期保值者在[t，t]上的定价套利机会eVT（xt，pt，Дt，Ct）=xt= 1（4.3）orPeVT（xt，pt，Дt，Ct）<xt> 0.（4.4）我们将把条件（4.4）作为套期保值者的损失条件。定义4.2。我们认为，pft=pft（xt，Ct）是CTI在时间t的f空中套期保值者价格，如果没有套期保值者的二级套利机会（xt，pft，Дt，Ct）∈ ψt，xt（C）。公平套期保值者的价格，即每种交易策略（xt、pft、Дt、Ct）的损失情况∈ ψt，xt（C）称为aloss发电成本。28 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski从定义4.1和4.2中可以清楚地看出，如果PFT是一个公平的价格，那么任何交易策略（xt、pt、ДT、Ct）∈ ψt，xt（C）必须满足条件（4.3）或条件（4.4）。显然，一个公平套期保值者的价格取决于给定的禀赋xt和合约CTA，因此旋转pft（xt，Ct）是合适的，但在不存在冲突风险的情况下，通常会简化为pft。公平的价格会阻止套期保值者以正概率确定收益，并且不存在弥补损失的风险。相比之下，一般来说，它不能防止套期保值者亏损。因此，寻求公平价格的最高水平是很自然的。

这一想法促使对套期保值者公允价格的上界f进行以下定义SPFT（xt，Ct）=ess sup Hft（xt，Ct），其中Hft（xt，Ct）：=pft公司∈ Gt | pftis是Ct的公平对冲价格. （4.5）我们发现，研究损失产生成本的上限也很有用，它由PLT（xt，Ct）=ess sup Hlt（xt，Ct）给出，其中Hlt（xt，Ct）：=plt公司∈ Gt | pltis是Ct的损失产生成本. （4.6）定义4.3。交易策略（xt、pst、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C）被称为合同Ctif（4.1）的超边缘策略，而严格的超边缘意味着（4.1）和（4.2）是令人满意的。如果pst=pst（xt，Ct），则存在超边缘策略（分别是严格的超边缘策略）（xt，pst，Дt，Ct）∈ ψt，xt（C），则称为Ct时间t的超边缘成本（分别为严格的超边缘成本）。超磨边成本的下限由pst（xt，Ct）=ess inf Hst（xt，Ct）给出，其中Hst（xt，Ct）：=太平洋标准时间∈ Gt | PST是Ct的超边际成本（4.7）且严格超边缘成本的下界等于pat（xt，Ct）=ess inf Hat（xt，Ct），其中Hat（xt，Ct）：=拍打∈ Gt |对于Ct来说，这是一个严格的超边缘成本. （4.8）从定义4.2和4.3可以看出，Hlt（xt，Ct） Hft（xt，Ct）和Hat（xt，Ct）Hst（xt，Ct）。此外，集合Hft（xt，Ct）是Hat（xt，Ct）的补码，而s et Hlt（xt，Ct）是Hst（xt，Ct）的补码，因此，显然，我们有h at Hft（xt，Ct）∩ Hat（xt，Ct）= andHlt（xt，Ct）∩ Hst（xt，Ct）=. 因此，很容易看到PL（x，C）≤ pf（x，C），ps（x，C）≤ pa（x，C），（4.9），其中，原则上，ps（x，C）=-∞ orpf（x，C）=∞.下一个假设看起来很自然，但它不一定被每个非线性市场模型所满足，因此应该逐个检查。假设4.4。

对于每个C∈ C和t∈ [0，T），所有xt，pt，qt∈ Gt和每个交易策略（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C），如果qt≥ pton某些事件D∈ 如果P（D）>0，则存在交易策略（xt，qt，ψt，Ct）∈ ψt，xt（C），使得不等式VT（xt，qt，ψt，Ct）≥VT（xt、pt、Дt、Ct）持有D。有人可能会认为，如果h edger可以以更高的价格签订合同，那么他可以将现金差额投资于qt- 在银行账户中存入pt，直到合同到期，并根据pt对应的交易策略进行交易，从而产生更高的最终财富。然而，这不一定是可能的，因为在将来的某个时候，^1可能会要求在非线性模型29中从银行账户借入衍生工具定价，而我们假设在我们的模型中禁止同时借入和借入现金。一般来说，高价出售意味着套期保值者从不同的初始资本开始，这可能会显著改变交易策略。从形式上讲，两种自我融资策略的简单组合通常不再是自我融资策略。此外，如果我们考虑到投资级资产（可能还包括银行账户）的有限供应，那么任何策略都需要满足适当的投资组合约束，这可能意味着套期保值者收到的额外现金金额将必然用于购买实质性资产敞口高得多的资产。综上所述，由于存在投资组合约束和交易调整，终端财富相对于价格PTI的单调性决不是简单的。大多数致力于衍生品非线性估值的现有论文都没有明确说明假设4.4。

然而，请注意，如果财富过程恰好由一些简单动力学控制，没有投资组合约束或交易调整，则无需假设该属性成立，因为它可以从适用于常微分方程的比较定理中推导出来。对于满足假设4.4的模型的一个特定示例，请参见Dumitrescu等人[24]论文中的Lemma 6.2，他假设财富过程满足DVT=-g（t，Vt，Zt）dt+ZtdWt+ZtdMt，其中W是维纳过程，M是违约指示过程的补偿鞅。Let us强调，如果假设4.4的有效性没有得到保证，那么人们可能只会期望（4.9）中给出的不等式得到满足。相反，如果假设4.4得到满足，那么人们就会获得更多的信息条件（4.10）。在假设4.4下，很容易看出，如果PFT是Ct在时间t的公平套期保值价格（分别是损失产生成本），那么任何pt∈ 这样的话≤ pftis也是该合同时间t的公平套期保值价格（分别为发电成本）。类似地，如果在以pst价格签订CTI时存在超边际（严格超边际）策略，那么对于任何满足PTT的pt，也存在s超对冲（严格超边际）策略≥ 太平洋标准时间。在此之前，如果我们假设满足假设4.4，那么我们会得到以下结果，其中我们将重点放在t=0的情况下，但很容易检查类似属性是否适用于任何t∈ （0，T）以及。引理4.5。让假设4.4得到满足。

那么对于每份合同C∈ C使得pa（x，C）>-∞ andpf（x，C）<∞, 我们得到以下区间：（i）区间Il（x，C）：=(-∞,（ii）区间Ir（x，C）：=（pl（x，C），pa（x，C））=（ps（x，C），pf（x，C）），其中对于每一个p∈ Ir（x，C）存在交易策略y（x，p，Д，C）∈ ψt，x（C），使得P（eVT（x，P，Д，C）=x）=1，（iii）间隔Ia（x，C）：=（pa（x，C）+∞) 特别是区间Ir（x，C）可能为空。因此，pl（x，C）=ps（x，C）≤pf（x，C）=pa（x，C）。（4.10）证明。根据Assum ption4.4，如果p∈ Hl（x，C）（分别为p∈ Hf（x，C））和q<p，然后q∈ Hl（x，C）（分别为q∈ Hf（x，C））。此外，如果p∈ Hs（x，C）（分别为p∈ Hs（x，C）），q>p，然后q∈ Hs（x，C）（分别为q∈ Ha（x，C））。特别是使用，现在很容易看到断言的属性是有效的。30 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski观察到，对于引理4.5中介绍的三个区间的终点，一般来说没有什么特别的说法。显然，我们有（a）Ir（x，C）= 等式PL（x，C）=pf（x，C）=ps（x，C）=pa（x，C）保持或（b）Ir（x，C）6= 因此ps（x，C）<pf（x，C）。人们还可以考虑以下假设4.4的更强版本，在这种情况下（b）不会发生，因为假定终端财富相对于价格pt的严格单调性。假设4.6。

对于每个C∈ C和t∈ [0，T），所有xt，pt，qt∈ Gt和每个交易策略（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C），如果qt>pton某个事件D∈ 如果P（D）>0，则存在交易策略（xt，qt，ψt，Ct）∈ ψt，xt（C），使得不等式VT（xt，qt，ψt，Ct）≥VT（xt，pt，νt，Ct）和VT（xt，qt，ψt，Ct）6=VT（xt，pt，νt，Ct）在D上有效。很明显，在假设4.6下，等式ps（x，C）=pa（x，C）成立，因此，根据惯例，如果inf = ∞ 和sup = -∞.引理4.7。如果满足假设4.6，则对于任何合同C∈ 我们得到了pl（x，C）=pf（x，C）=ps（x，C）=pa（x，C）。（4.11）4.1复制[0，T]和获得的价值不可否认，评估衍生产品最常用的技术取决于复制的概念。在目前的fr amework中，它是由以下定义给出的，其中我们考虑在时间0时初始捐赠x的套期保值者，其中prs代表任意实数。定义4.8。A交易策略（x、pr、Д、C）∈ 当VT（x，pr，Д，C）=xBT（x）或等效的eVT（x，pr，Д，C）=x时，ψ0，x（C）被称为在[0，T]上复制合同C。然后，实数pr=pr（x，C）被称为在时间0和过程pg（x，C）给定的对冲成本pg（x，C）：=VT（x，pr（x，C），Д，C）- xBt（x）（4.12）被称为与复制策略相关的套期保值者获得的价值（x，pr，Д，C）。请注意，当V（x，pr（x，C），Д，C）=x+pr（x，C）时，等式pg（x，C）=pr（x，C）始终满足。对给定合同的套期保值者复制成本pr（x，C）的财务解释C∈ C相当简单。

它代表套期保值者初始捐赠x的增加或减少，而ich需要实施交易策略，确保套期保值者在时间T的财富在合同最终支付结算后，与现金账户中投资的原始初始捐赠x在时间T的价值完全匹配。正如预期的那样，对于空合同N=（0，0），自我融资策略（x，0，Д，N），其中投资组合Д取决于将所有资金保存在银行账户B（x）中，是一种适用于N的策略，以便获得的价值满足所有t的pgt（x，N）=0∈ [0，T]。第3.2节假设交易策略（x，0，ν，N）是自我融资的，但显然，这一假设需要针对研究中的每个特定市场模型进行验证。还要注意的是，复制成本pr（x，C）的唯一性并没有得到保证，事实上，没有理由期望它在满足定义3.4或定义3.10的每一个市场模型中都会始终存在（反例请参见命题4.12）。让我们谈谈复制成本。假设首先满足假设4.4。让我们假设引理4.5第（ii）部分中引入的区间Ir（x，C）是非空的。我们已经知道任何数字p∈ （pl（x，C），pa（x，C））必然是一种复制成本，也是非线性模型31C中衍生定价的公平价格，但目前尚不清楚最小复制成本是否已确定。原则上，复制成本也可能等于或严格大于pa（x，C）。现在让我们检查一下区间Ir（x，C）为空的情况。如果契约C可以复制，那么可能会发生pl（x，C）=pa（x，C）=pr（x，C）。

然而，在这种情况下，pr（x，C）是否是套期保值者的公平pr ice并不明显，因为可能存在初始成本相同的astrict超边缘策略。此外，PA（x，C）<pr（x，C）也可能意味着严格的超边缘实际上可能比复制成本更低。如果合同C无法复制，则不清楚PF（x，C）是否是一个公平的价格，尽管它与损失产生成本的上限和严格的超边际成本的下限一致。如果满足假设4.6，则可以更具体一点。如果复制成本集不是空的，则只有最低的复制成本才是公平的价格（事实上，如果将两个复制成本进行比较，使p<p，则PI也是严格的超边际成本，因此它不是公平的价格）。因此，如果给定合同的所有可能复制成本的集合是从以下两个方面来确定的：（a）复制成本的下限不是复制成本，任何复制成本都不是公平价格，或者（b）下限d是复制成本，它是合同的最大公平价格的候选对象。综上所述，在一个非线性市场模型中，假设对于空合同（甚至是交易台的无套利属性）具有无套利属性，复制成本可能无法成为公平的套期保值者价格。为了修正一般非线性设置的这一假设，我们在下一节中介绍了一类特殊的模型，其中应用程序为属于预定族C的任何合同C生成唯一的公平价格，并假设存在C的复制策略。4.2[0，T]上的市场规律再次，我们考虑在时间0时初始禀赋为x的套期保值者。

直觉上，对于给定的C类合同，规则性的概念是出于我们的愿望，即确保对于C类的任何合同，复制成本永远不会高于超边缘的最低成本，此外，复制成本是定义4.1意义上的公平价格。定义4.9。我们说，如果满足假设4.4，并且对于每个可复制合同C，市场模型M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））在[0，T]上与C有关∈ 对于任何复制策略（x，pr（x），Д，x），以下属性成立：（i）如果p存在（x，p，Д，C）∈ ψ0，x（p，C）满足peVT（x、p、Д、C）≥ x个= 1，（4.13）然后p≥ pr（x）；（ii）如果p存在（x，p，Д，C）∈ ψ0，x（p，C）使得peVT（x、p、Д、C）≥ x个= 1（4.14）和PeVT（x，p，ν，C）>x> 0，（4.15），然后p>pr（x）。32 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski通过将定义4.9应用于空合同N=（0，0），我们推断任何常规市场模型对于空合同的套期保值者都是无套利的。然而，目前尚不清楚常规模型中是否会出现交易台的套利机会。定义4.9中的条件（i）意味着超高边的成本不能低于复制成本，而条件（ii）假设任何严格的超高边的成本都严格高于复制成本。必须注意的是，条件（i）意味着C的复制成本pr（x）是唯一的。此外，如果条件（i）成立，那么条件（ii）等同于以下条件（iii），如果p存在（x，p，ν，C）∈ ψ0，x（p，C）满足peVT（x、p、Д、C）≥ x个= 1，（4.16）则以下含义有效：如果p=pr（x），则peVT（x，p，Д，C）=x= 1.（4.17）备注4.10。

在到期日为T且无交易调整的欧洲债权的特殊情况下，条件（i）和（ii）对应于具有不同终端条件的财富过程满足的BSDE解决方案的比较和严格比较属性。事实上，El Karou i and Quenez[27]引入的非线性定价系统的相同概念定义为2.7。使用与El Karoui和Quenez[27]类似的论点，我们将证明，可以使用BSDE方法为多种金融模型建立市场模型的规律性。4.2.1常规市场中的可复制合同在本节中，我们重点关注可复制的合同。命题4.11表明，在正规市场模型中，复制成本是合同C的唯一公平价格∈ C可以复制，且等式pr（x，C）=pa（x，C）=pl（x，C）适用于此类合同。这意味着，在常规模型的框架内，合同的复制确实是一种有效的估价方法，尽管在处理任意非线性市场模型时，这种说法不一定正确。提案4.11。设市场模型M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））相对于C在[0，T]上是正则的。那么对于每个合同C∈ 可以在[0，T]上复制的C我们有：（i）复制成本pr（x，C）是唯一的，（ii）pr（x，C）i是最大公平价格和损失评级成本的上界，即pr（x，C）=pf（x，C）=pl（x，C），（iii）pr（x，C）是保值成本和严格超边际成本的下界，即pr（x，C）=ps（x，C）=pa（x，C）。证据如前所述，复制成本pr（x，C）的唯一性是定义4.9中条件（i）的直接结果。因此，Lemma4.5第（ii）部分中定义的区间Ir（x，C）为空，因此，特别是pr（x，C）≥ pf（x，C）。