定义4.9中的条件（ii）意味着没有交易策略（x，pr（x，C），Д，C）∈ ψ0，x（C），使条件（4.14）和（4.15）得到满足。这意味着，如果C在时间0以复制成本pr（x，C）进行交易，则不会出现hed ger的套利机会（也就是说，不存在对C严格的超边际策略），因此我们得出pr（x，C）是最大公平价格，这意味着pr（x，C）=pf（x，C）。其余的等式是引理4.5的直接结果。非线性模型中的衍生工具定价334.2.2不可复制合同Let us对合同C的性质发表了一些评论，对于合同C，在M=（S，D，B，C，ψ0，x（C））中复制是不可行的。如果满足假设4.4，那么从引理4.5我们得到以下等式PL（x，C）=pf（x，C）=ps（x，C）=pa（x，C）。显然，知道共同价值是否是一个公平的价格是很有意思的。不幸的是，一般来说，定义的答案是不可用的，因为它可能确实是最大的公平价格，但它也可能代表了严格的超边际战略的成本。此外，目前还不清楚如何继续计算PF（x，C）的值（知道这个值可能就足够了，因为任何一个较低的值都是产生损失的成本）。在假设4.6或假设市场模型M是正则的情况下，我们得出的结论与假设4.4和d下的结论相同，因此它们在分析不可复制合同的估价时没有帮助。4.2.3非正规市场模型我们的下一个目标是通过提供一个不正规的模型的简单示例（尽管是官方的艺术示例），来说明模型的正规性问题。

现在，我们假设套期保值者在时间0时的收益为零，我们首先将自己置于伯格曼[3]模型的框架内，借贷利率不同（另请参见Korn[38]、Nie和Rutkowski[40]以及Mercurio[39]）。特别是，Black-Scholes动态和恒定利率驱动的股票价格满足rb>rl。很容易验证Bergman的mod elMB=（s，Bl，Bb，C，ψ0,0（C））满足定义3.4，例如，如果我们将T到期的所有欧洲看跌期权中的长期和短期头寸类别视为C。此外，套期保值者能够在不借入任何现金的情况下，复制到期日为T且行权K>0的欧洲看跌期权的空头头寸。因此，伯格曼模型中的欧洲h edger曲线由经典的Black-Scholes公式给出，其利率等于RL，因此我们将其表示为每t∈ [0，T]。在下一步中，我们确定罢工K>0和日期U∈ （0，T）。对于具体性，我们假设- U=1，rl=0。特别是，C类仅包括具有str-ike K的看跌期权中的空头和多头头寸。我们通过引入额外的风险集合和以下具有非递减样本路径SST=1[0，T]（T）+（K（T- U））（PU（K））-1{2PU（K）>K}[U，T]（T）。由于rl=0，我们得到P（2PU（K）>K）>0，这是因为2PU（K）>K对于SUsu非常接近于零。很明显，在事件{2PU（K）上，ST=1≤ K} 。另一方面，在事件{2PU（K）>K}上，我们有1<ST=1+K（PU（K））-1<3=eln 3。因此，我们假设rb>ln 3，以确保利率rb支配资产S的回报率。

显然，带有s trike K的p ut期权可以在M=（Bl、Bb、s、s、C、ψ0,0（C））（通过与MB相同的策略，即仅使用BlandSfor交易）和d中复制，因此其在M中的复制成本由Black-Scholes价格p（K）给出。我们准备证明以下描述M性质的命题。很容易检查假设4.4（以及假设4.6）是否符合模型M。命题4.12。市场模型M=（Bl，Bb，S，S，C，ψ0,0（C））具有以下性质：（i）M具有关于无效合同的无套利性质，34 T.R.Bielecki，i.Cialenco和M.Rutkowski（ii）M具有交易台的无套利性质，（iii）M是非规则的，扩展模型fm=（Bl，Bb，S，S，S，C，ψ0,0（C）），其中S=P（K）不具有关于无效合同的无套利性质。（iv）看跌期权的复制成本不是唯一的，最小复制成本由BSDEdYt=Xi=1ξitdSit的解Y给出，YT=（K- ST）+。（4.18）证明。断言（i）很容易检查。直觉上，增长过程可以被视为固定贷款账户Bl=1的替代（人工）贷款账户，因此，如果套期保值者有现金盈余，那么他会将其投资于资产S，而不是贷款账户Bl。因此，值得注意的是，模型（S，\'Bl=S，Bb，C，ψ0,0（C））满足定义3.4，因为它可以被视为伯格曼随机贷款利率设置的另一个实例。对于第（ii）部分，我们将重点放在模型（S，’Bl=S，Bb，C，ψ0,0（C）），我们观察到方程（3.7）将todeVcomt（x，-x、 Д、(R)、A、0、0）=（ξt+(R)ξt）deSt+（ψ0，bt+(R)ψ0，bt）dB0，b，lt，其中A代表看跌期权，eS=S（\'Bl）-1和B0，b，l=Bb（(R)Bl）-1.

由于过程提供了一个鞅测度，过程B0、b、lis为非递增过程，并且假设过程ψ0、带ψ0为非负过程，因此很明显，在所考虑的模型中，交易台没有套利机会，因此在m中也没有套利机会，以证明（iii），我们将证明，在时间0以Black Scholesprice P（K）出售看跌期权的套期保值者可以构造套利机会。要了解这一点，假设套期保值者对区间[0，U]上的看跌期权使用复制策略。如果事件{2PU（K）≤ K} 发生，然后继续复制看跌期权，直到到期日T。相反，如果发生{2PU（K）>K}事件，则他购买PU（K）/SU=PU（K）的资产股份，并将其持有至T。然后，在交付现金金额（K）后，套期保值者在T的财富- ST）+期权买方，满意度VT（0，P（K），Д，-P（K））=PU（K）SUST- （K）- ST）+{2PU（K）>K}+0·1{2PU（K）≤K}=PU（K）（1+K（PU（K））-（1）- （K）- ST）+{2PU（K）>K}>1.5公里- （K）- ST）+{2PU（K）>K}>0.5K1{2PU（K）>K}。由于P（2PU（K）>K）>0，而且很明显，财富总是非负的（因此策略是可以接受的），上述策略对套期保值者来说是一个套利机会。此外，可以使用等于复制成本的初始财富来获得索赔PT（K）的严格超边缘策略。实际上，使用溢价P（K），套期保值者可以复制ζ：=PT（K）或通过产生终端支付ζ=PT（K）1{2PU（K）来严格超边缘PT（K）≤K} +钚（K）（1+K（钚（K））-1） 1{2PU（K）>K}。很容易检查ζ≥ ζ和P（ζ>ζ）>0。

因此，我们得出结论，模型M是非正则的，扩展模型FM不满足定义3.4。对于最后一个断言，我们注意到看跌期权可以在模型（S，\'Bl=S，C，ψ0,0（C））中复制，该模型是Black-Scholes模型的扩展，在该模型中，利率衍生非线性模型中的定价35random。这一主张源于具有Lipschitz连续系数和有界终端条件的BSDE（4.18）解（Y，Д，Д）的存在性和唯一性。此外，复制策略的组成部分Д是非负的，因此相同的策略复制了M中的选项，并且是M.4.3复制和市场规律中成本最低的复制策略，在[t，t]中，套期保值者获得的价值pgt（x，C），t∈ [0，T）降低到通过线性设置中的复制获得的经典无套利价格，前提是以后0的唯一现金流是终端支付，等于- 在-. 不幸的是，在本研究考虑的一般非线性设置中，对套期保值者在t>0时获得的价值的财务解释不太透明，因为它取决于套期保值者的初始捐赠、过去的合同现金流以及套期保值者在[0，t]上实施的策略。以下定义类似于定义4.8，但重点是合同C对时间间隔【t，t】的限制。请注意，此处的贴现财富过程由方程式（3.3）给出。在本节中，假设可以在【t，t】上以一定的初始成本在时间t上复制CTT，定义如下。定义4.13。对于固定的t∈ [0，T]，设prtbe为Gt可测随机变量。

如果存在交易策略（xt、prt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C），使得EVT（xt，prt，Дt，Ct）=xt，（4.19），那么prt=prt（xt，Ct）在时间t被称为与套期保值人在时间t的发送方向相关的合同在时间t的复制成本。正如所料，定义4.9，以及命题4.11，可以扩展到任何日期t∈[0，T）.定义4.14.我们认为，如果满足假设4.4，并且每个合同C都具有以下属性，则市场模型M=（S，D，B，C，ψT，xt（C））对于C是有规律的∈ C可复制的：（i）如果pt∈ GT存在（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C）满足PeVT（xt、pt、Дt、Ct）≥ xt公司= 1，（4.20）然后pt≥ prt（xt，Ct）；（ii）如果pt∈ GT存在（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C），对于一些D∈ GtP公司DeVT（xt、pt、Дt、Ct）≥ 1文本= 1（4.21）和PDeVT（xt、pt、Дt、Ct）>1Dxt> 0，（4.22）然后P（1Dpt>1Dprt（xt，Ct））>0。与t=0类似，如果条件（i）成立，则条件（ii）等效于以下条件：（iii）如果pt∈ GT存在（xt、pt、Дt、Ct）∈ ψt，xt（C），对于某些事件D∈ GtP公司DeVT（xt、pt、Дt、Ct）≥ 1文本= 1，（4.23）则以下含义成立：如果1Dpt=1Dprt（xt，Ct），则DeVT（xt，pt，Дt，Ct）=1Dxt= （4.24）36 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.RutkowskiIn对命题4.11的以下扩展，我们假设套期保值者的捐赠时间为xtattime t，合同C有所有现金流（t，t）因此Ct=C。假设存在复制策略，我们现在搜索套期保值者在时间t时C的公平价格。第5.1节研究了一个密切相关但不完全相同的估价问题，其中我们研究了在时间0时产生的合同在时间t时的估价。命题4.15。让市场模型M=（s，D，B，C，ψt，xt（C））与C类有关。

那么对于每个合同C∈ C使得C=cT，并且可以在[t，t]上复制，我们有：（i）复制成本prt（xt，C）是唯一的，（ii）prt（xt，C）是最大公平价格和损失产生成本的上界，即prt（xt，C）=pft（xt，C）=plt（xt，C），（iii）prt（xt，C）是超边际成本和严格套期保值成本的下界，即prt（xt，C）=pst（xt，C）=pat（xt，C）。命题4.15的证明与命题4.11的证明非常相似，因此它被提交。根据命题4.15，在[t，t]上的任何常规市场模型中，复制成本是唯一的，它是套期保值者在t时的最大公平价格，在t时的禀赋为xtat。5在常规市场中通过复制定价在本节中，假设市场模型m是常规的。我们的目标是检验合同C的各种价格的性质，前提是它可以在[t，t]上对每t进行复制∈ [0，T）。回想一下，对于任何固定的T∈ [0，T）当合同以Gt可测量价格pt进行交易时，我们根据（xt，pt，ДT，Ct）阿赫德的交易策略从时间T开始，以Gt可测量的捐赠xt。为简单起见，我们关注合同C=（a，X）具有固定到期日T，对应于欧洲风格的不可违约合同。为了应对交易对手信用风险，it部门需要将A替换为流程A在第2.8.1节中介绍，固定到期日与合同在h和d的有效到期日（例如∧τ，其中τ是第一次违约的随机时间，或者更一般地说，是存在缺口风险的合同的有效结算日）。

此外，对于美国风格或游戏期权的合同，有效的结算日期也会受到双方提前终止合同的决定的影响。5.1套期保值者在0时的E x股息价格假设套期保值者在0时的初始捐赠等于x，很明显，定义4.13的任何应用都应辅以对套期保值者在时间t的禀赋x的财务解释，并应阐明数量x与套期保值者初始禀赋x之间的关系。可以考虑多种可选的xt规格，这与所研究的估值问题的不同财务解释相对应：1。第一个自然选择是设置xt=xt（x）：=xBt（x），这意味着套期保值者没有对时间0和时间t之间的合约进行动态套期保值（这一特定约定在Bielecki和R utkowski【8】以及Nie和Rutkowski【40，41】中采用）。然后，quantityprt（xt，Ct）是合同Ct时间t的未来公平价格，正如套期保值者在时间0时看到的那样，他决定将C的交易推迟到时间t。如果希望研究，例如，合同Ct上写明到期日为t的期权在时间0时的估值问题，这种规定可能很方便。非线性模型中的衍生品定价372。或者，可以假设套期保值人在时间0以其复制成本pr（x，C）签订了合同，并决定保持其头寸未对冲。在这种情况下，当使用特定的市场模型计算实际套期保值者在时间t的捐赠XT时，应适当考虑初始价格、现金流和调整。3.

接下来，可以假设套期保值人在价格pr（x，C）的时间0签订了合同，并在[0，t]通过复制策略进行套期保值，如定义4.8所示。然后，套期保值者在时间t>0时的禀赋等于xt=Vt（x，pr（x，C），Д，C），并且很自然地期望等式prt（xt，Ct）=0将适用于所有t∈ （0，T）。4。最后，我们可以简单地假设套期保值者在时间T的捐赠是外源性的。然后定义4.13实际上减少到定义4.8，具有基本相同的财务解释：我们定义了套期保值者在时间T的合同的初始价格。当然，根据这一约定，数量与时间T之间没有关系ies x和xtexists。在下一定义中，我们将定义4.13应用于上述xt的第一个规范，即设置xt=xt（x）：=xBt（x）。如定义4.13所示，贴现财富由（3.3）给出。定义5.1。对于固定的t∈ [0，T]，假设petis是一个Gt可测的随机变量。如果存在交易策略（xt（x）、pet、Дt、Ct）∈ ψt，xt（x）（C）使得EVT（xt（x），pet，Дt，Ct）=xt（x），（5.1）然后pet=pet（x，Ct）在时间t f或合同Ct被称为套期保值者的除息价格。请注意，pr（x，C）=pg（x，C）=pe（x，C），pgT（x，C）=peT（x，CT）=0。当交易作为基础资产的合同CTA上的衍生工具时，或者简单地说，当套期保值者想要计算CTA的未来公允价格而不在时间0实际进入合同时，定义5.1中给出的价格是合适的。此外，它还可用于确定合同Ct的出口代理。很自然地，我们会问，对于所有的t，pgt（x，C）和pet（x，Ct）的过程是否一致∈ [0，T]。

我们将争辩说，当估值问题是局部的时，等式pgt（x，C）=pet（x，Ct）对每个t都有效，但对于全局估值问题，它不一定是真的（见命题6.5）。原因是，在前一种情况下，两个过程满足相同的BSDE，而在后一种情况下，前者得到广义的BS DE，后者得到经典的BSDE。同样显而易见的是，在全球估值问题的情况下，这两个过程将起作用，因为pet（x，Ct）的价值显然独立于套期保值者在[0，t]上的交易策略，而pgt（x，C）可能取决于其交易的整个历史。由于现有文献中遇到的大多数估价问题都具有地方性，据我们所知，其他作者尚未对这一特定问题进行研究。5.2退出策略当我们提出以下问题时，时间t的估值问题也很重要：e xi t定价套期保值人在时间0签订的合同可以在时间t解除。理论上，在时间t解除以价格pr（x，C）=pg（x，C）在时间0开始的合同的最简单方法是将与合同剩余部分相关的所有义务转移给另一个交易者。因此，0<t<t时获得的价值pgt（x，C）将是现金量，该现金量是交易方愿意支付给另一位交易方的，该交易方将从时间t开始接受套期保值方的38 t.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski头寸。这一论点导致对套期保值者退出价格的以下定义。定义5.2。

套期保值者在时间0与初始捐赠x签订的合同C的退出价格由等式pmt（x，C）给出：=-每t的pgt（x，C）∈ [0，T]。定义5.2反映了退出价格与在时间t以当前市场价值取消现有合同的概念相关的市场行为。特别注意，对于每t，等式pgt（x，C）+pmt（x，C）=0保持不变∈ [0，T]，意思是当合同按市值计价时，完全对冲头寸的净值在任何时候都是无效的。不幸的是，第5.2条的实际实施可能很困难，尤其是在处理全球估值问题时，因为这需要跟踪过去合同的现金流和对冲策略的收益（当然，前提是对冲策略是由对冲者实施的）。因此，我们主张退出值pmt（x，C）的代理：=-当面临全球估值问题时，pet（x，C）可能更适合大多数实际用途。由于当估值问题是局部的时，质量pgt（x，C）=pet（x，C）成立，因此在这种情况下，选择市场惯例的问题显然是至关重要的。5.3有效定价假设套期保值者无法将其在时间0签订的合同中的现有头寸转移给其他交易员。然后，他可能会试图通过在“同等”合同中采取相反的立场来履行与Cby相关的未来义务。在下一个定义中，我们假设套期保值者试图通过签订一份有效设置合同来解除其在时间t时在C=（A，X）的多头头寸(-At，Yt）。这里还假设他在时间t清算C的复制投资组合，以便他在时间t的捐赠等于bvt（x，C）：=Vt（x，pr（x，C），bИ，C），其中bИ是C在[0，t]上的复制策略。定义5.3。

对于固定的t∈ [0，T]，设pot为Gt可测随机变量。如果[t，t]上存在允许的交易策略（bVt（x，C），pot，Дt，0，Xt+Yt），使得EVT（bVt（x，C），pot，Дt，0，Xt+Yt）=x，（5.2），则pot=pot（x，Ct）被称为Ct=（At，Xt）的定价(-时间t.definition5.3考虑了以下事实，即-At（可能还有一些与相应调整Xt和Yt相关的现金流）相互设置，因此在计算hed ger在时间t解除合同C的价格时，只需考虑剩余现金流。在特殊情况下，所有t的等式Xt+Yt=0∈ [0，T]（也就是说，效果设置是完美的）我们得到了等式pot（x，Ct）=-pgt（x，C）从那时起，鉴于（4.12），我们有bvt（x，C）+pot（x，Ct）=pgt（x，C）+xBt（x）+pot（x，Ct）=xBt（x），其中xBt（x）是在[t，t]上复制无效合同（0，0）所需的现金金额。6非线性定价的BSDE方法对于价格的每个定义，可以尝试通过将其定义与套期保值者财富的动力学（2.11）相结合，或者更方便地与其贴现财富的动力学（3.9）相结合，推导出相应的后向随机微分方程（BSDE）。随后，非线性模型中的衍生品定价39每个特定的估值问题都可以通过解决合适的BSDE来解决。此外，可以使用BSDE方法来建立手头市场模型的规律性属性。为此，on e可以使用现有的（严格的）比较定理来求解BS DE，或者，如果需要，可以建立原始结果。

在这项工作中，我们并没有详细分析这些问题，因为我们的目标仅仅是在特定的设置中对BSDE的增值和除息价格进行调整，并强调本地和全球定价问题之间的差异。最后，我们概述了与BSDE方法处理缔约方信用风险相关的重要问题。6.1 BSDE对于获得的价值，我们将首先提供一个与定义4.8中介绍的套期保值者获得的价值pg（x，C）相关的通用BSDE。具体来说，我们关注x的情况≥ 0，使等式B（x）=Blisvalid。为了简化演示，我们还假设th at Bi，l=Bi，b=Bi或i=1，2，我们考虑满足融资约束的交易策略bξitSit+bψitBit=0，所有i=1，2，D每t∈ [0，T]。当然，e x<0的情况可以用类似的方式处理。回想一下（见（3.8））eSi，cldt（x）：=（Bt（x））-1Sit+Zt（Bu（x））-1 DIU。值得一提的是，pr（x，C）=pg（x，C）（见定义4.8）。引理6.1。假设交易策略（x、pr、bИ、C）∈ ψ0，x（C）复制一个契约C。然后进程by：=eVl（x，pr，bД，C）：=（B0，l）-1V（x，pr，bИ，C）和bzi：=eBi，lbξ满足BSDEdbYt=dXi=1bZitdbSi，cldt- （B0，bt）-1.bYtB0，lt+nXk=1αktXkt-dB0，b，lt+（B0，lt）-1日期-nXk=1bXktdeβk，lt+nXk=1（1- αkt）Xktd（B0，lt）-1（6.1），终端条件BYT=x证明。在目前的假设下，（3.9）和（3.10）implydeVlt（x，pr，bД，C）=dXi=1bξiteBi，ltdbSi，cldt+bψ0，btdB0，b，lt+（B0，lt）-1日期-nXk=1bXktdeβk，lt+nXk=1（1- αkt）Xktd（B0，lt）-1，（6.2）其中EBI，l：=（B0，l）-1Bi，B0，b，l：=（B0，l）-1B0，b，eβk，l：=（B0，l）-1βk.方程（2.10）和条件bψ0，l≥ 0，bψ0，b≤ 0和bψ0，lbψ0，b=0屈服bψ0，lt=（B0，lt）-1.Vt（x，pr，bД，C）+nXk=1αktXkt+（6.3）和bψ0，bt=-（B0，bt）-1.Vt（x，pr，bД，C）+nXk=1αktXkt-. （6.4）40 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M。

RutkowskiNote指出（6.2）中没有出现过程bψ0，ldoes，而过程bψ0，Bc也可以通过使用（6.4）从（6.2）中消除。如果我们设为：=eVl（x，pr，bД，C），那么（6.2）可以表示为BSDEdbYt=dXi=1bξiteBi，ltdbSi，cldt- （B0，bt）-1.bYtB0，lt-dXi=1bξitSit-dXi=1bψitBit+nXk=1αktXkt-dB0，b，lt+（B0，lt）-1日期-nXk=1bXktdeβk，lt+nXk=1（1- αkt）Xktd（B0，lt）-1（6.5），终端条件BYT=eVlT（x，pr，bД，C）=x。鉴于等式（3.10），BSDE（6.5）进一步简化为（6.1）。在下一个结果中，我们重点关注满足引入定义4.14的规则性条件的市场模型。从模型的规律性来看，套期保值者获得的价值pgt（x，C）对于每个固定的t是唯一的∈ [0，T]。然而，这不足以确定过程pg（x，C），因此在下一个结果中，我们将对BSDE（6.1）进行假设。首先，我们假设对于给定的x≥ 0和任何合同C∈ C在随机过程的适配空间中，（6.1）存在唯一解（bY，bZ）。其次，我们假设BSDE（6.1）具有以下严格比较性质的变体。定义6.2。对于任何合同C，严格比较属性适用于BSDE（6.1）∈ Cif（bY，bZ）和（bY，bZ）是具有GT可测终端条件ξT的解≥ ξT，则对于某些T，等式1DYt=1DYt∈ [0，T）和一些D∈ Gt意味着1DξT=1DξT。同样重要的是，需要检查BSDE（6.1）中的输入（即假设2.1中引入的随机过程）可能依赖于未知过程By和Bz的方式。根据定义2.12，如果我们假设Xkandβk满足Xkt=vk（t，bYt，bZt）和dβkt=wk（t，bYt，bZt）dt，则本节中检查的问题将是局部估价问题的一个示例，对于一些G-逐步可测量的m ap pings vk，wk：Ohm ×[0，T]×Rd+1→ R forevery k=1，2。

，n.对于某些G-非预期泛函，如果Xkt=(R)vk（t，bY·，bZ·）和dβkt=(R)wk（t，bY·，bZ·）dt，则相同的估值问题成为全局问题：Ohm ×[0，T]×D（[0，T]，Rd+1）→每k=1，2，…，R，n、 其中D（[0，T]，Rd+1）是[0，T]上Rd+1值、G-适应、c\'adl\'agprocesses的空间。从引理6.1中，我们推导出一个局部估值问题可以用一个经典的BSDE来表示。相比之下，输入依赖于过程的过去历史的情况更难解决，因为全球估值问题需要研究具有非预期泛函的广义DBSDE。由于命题6.3涵盖了这两种情况，我们请读者参考Cheridito和Nam【16】以及Zheng和Zong【51】，了解广义BSDE的存在性和唯一性结果。值得注意的是，据我们所知，目前还没有关于广义BSDE的严格比较性质的结果。当严格比较定理起着重要作用时，这应该与经典的BSDE理论形成对比。在下一个结果中，我们假设（6.2）和（6.4）给出的财富过程动力学满足假设4.4。命题6.3。假设BSDE（6.1）对任何合同C都有唯一的解决方案（bY，bZ）∈ C（6.1）解的严格比较性质成立。那么以下断言是有效的：（i）对于每t，市场模型在[t，t]上是正则的∈ [0，T]；非线性模型中的衍生品定价41（ii）套期保值者获得的价值满意度pg（x，C）=B0，l（通过- x） 其中（bY，bZ）是BSDE（6.1）的解，终端条件byt=x；（iii）统一复制策略bД以满足Cξi=（eBi，l）-1Bzi和现金成分bψ0，landψ0，bare分别由（6.3）和（6.4）给出，V（x，pr，bν，C）替换为B0，lbY。证据

从定义4.14来看，很明显，BSDE（6.1）的存在性、唯一性和严格的比较性质意味着市场模型在每t∈ [0，T]。为了确定（ii），我们回顾模型的规律性意味着套期保值者获得的价值pgt（x，C）是唯一的。此外，我们还发现pg（x，C）满足每t∈ [0，T]（见（4.12））pgt（x，C）=Vt（x，pg（x，C），bД，C）- xBt（x）=B0，ltbYt- xBt（x）=B0，lt（bYt- x） ，它建立了断言的等式pg（x，C）=B0，l（bY-x） 。特别是套期保值者的复制成本pr（x）满足pr（x）=- x对于任何固定初始捐赠x≥ 最后，第（三）部分是引理6.1的间接结果。当然，我们需要检查命题6.3中的假设满足了哪些模型。关于由一维或多维连续马丁大风驱动的BSDE的一般结果，读者可以参考Carbone等人【15】、El Karoui和Huang【25】、Nie和Rutkowski【42】及其参考文献。通常，对于BSDE，生成器的Lipschitz连续性的适当变体足以保证其解的所需性质。

Nie和Rutkowski[40，41，43]研究了BSDE满足比较性质的非线性市场模型的几个实例，尽管其中没有正式说明正则模型的概念。特别是，他们分析了具有内生抵押品的合同，这意味着调整过程XKEX明确取决于解决方案（甚至取决于套期保值者和交易对手的估值问题的解决方案）。最后，让我们提到，由于本节中所研究的模型是第3.5节和第3.6节中所研究模型的特例，因此，为了确保该模型对交易台而言是无套利的，必须假设存在p概率度量Q，这相当于p on(Ohm, GT）并使过程bsi，cld，i=1，2，（4.23）表示Q-局部马丁大风。如果希望证明BSDE（6.1）的存在性和唯一性结果，这种假设也很方便。6.2 E x股息价格的BSDE我们的下一个目标是推导定义5.1中引入的除权d价格pe（x，C）的BSDE。如第6.1节所述，我们在假设x≥ 0.回想一下，对于固定t，套期保值者的性股息价格由等式EVLT（xt（x），pet，Дt，Ct）=xt（x）隐式给出，其中xt（x）=xblt，贴现使用（3.2）给出的过程Bt·（xt（x））完成。因此，我们假设估价问题是局部的。这个假设对于引理6.4和命题6.5的有效性至关重要，因此不能放松。引理6.4。假设交易策略（xt（x）、pet、Дt、Ct）∈ ψt，xt（x）（C）复制合同Cton【t，t】。

然后过程“Yu：=eVu（xt（x），pet，Дt，At，xt）”和“Ziu：=eBi，lu（ξtu）i，u∈ [t，t]，满足以下BSDE，对于所有u∈ [t，t]d'Yu=dXi=1'ZiudbSi，cldu- （B0，bu）-1.(R)YuB0，lu+nXk=1αkuXku-dB0，b，lu+（B0，lu）-1道-nXk=1bXkudeβk，lu+nXk=1（1- αku）Xkud（B0，lu）-1（6.6）42 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski，终端条件为“YT=x.Proof”。正如在引理6.1的证明中一样，我们得出结论，折扣的动力学是Wealthevu（xt（x），pet，νt，At，xt）对于u∈ [t，t]由（6.2）给出，因此（6.6）由andbZ满足，终端条件为t=x。虽然BSDE（6.1）和（6.6）具有相同的形状，但其解决方案的特征严重依赖于p过程的规格xk和βk，l。下一个结果表明，当估值问题是局部的时，获得的值和除息率是一致的，因此相应的BSDE是经典的。相反，当估值问题是全球性的时，该属性通常无法保持，因此（6.1）成为广义的BSDE。在这种情况下，方程（6.6）需要由关于过程xk和βk的附加条件来完成，l.命题6.5。根据命题6.3的假设，如果估价问题是局部的，则对于任何合同C∈ C套期保值者的收益值和套期保值者的除息价格满足所有t∈ [0，T]。证据一方面，在BSDE（6.1）解的唯一性假设下（以及BSDE（6.6）的thusalso），等式Byt=(R)y明显满足所有∈ [0，T]。另一方面，从定义5.1中，我们得到等式xt（x）+pet（x，Ct）=Blt'Yt，这反过来又是yieldspet（x，Ct）=Blt（'Yt- x） 。

由于bYt=eYt，我们得出结论，获得的值pgt（x，C）=Blt（bYt- x） 除息价格pet（x，Ct）与f或所有t一致∈ [0，T]。命题6.5中建立的局部估值问题的性质相当普遍：其有效性取决于收益价值和除息价格的共同BSDE解的存在性和唯一性。这应该与全球估值问题的情况形成对比，在全球估值问题中，等式pgt（x，C）=pet（x，Ct）始终满足f或t=0，但不太可能适用于任何t>0.6.3 BSDE的CCR价格。我们现在解决了第2.8.2节中提出的问题：我们能否将信用风险合同的交易对手无风险估值从CRR估值中分离出来？虽然这在已知价格可加性的线性设置中是正确的，但在非线性框架中，这个问题的答案不太可能是肯定的。一方面，根据命题2.11，缔约方风险合同（A, X）允许以下分解（A, X）=（A，X）+（ACCR，0），（6.7），其中第一部分不受交易对手信用风险的影响（尽管它可能包括保证金账户），因此被称为交易对手无风险合同，而第二部分仅与CCR有关（CCR现金流ACCR的具体定义见定义2.10）。然而，另一方面，在非线性框架中，完整合同的价格（a, X）不太可能等于整个合同的附加和组合中出现的组件的价格总和。为了更仔细地研究这个问题，让我们假设基础市场的模型发行量足够丰富，可以复制完整的合同（A, X），以及复制其两个组件（A，X）和（ACCR，0）。

当然，也可以关注分解（A, X）=（A，0）+（ACCR，X），其中假设交易调整（特别是保证金账户）影响CCR部分，而不是交易对手无风险合同（A，0）。非线性模型中的导数定价43分解的选择应出于实际考虑；有人可能会辩称，如今，抵押是大多数合同中的标准约定，不一定与给定合同中交易对手信用风险的实际敞口水平直接相关。如果我们用τhandτc分别表示套期保值者和交易对手的违约时间，则τ=τh∧ τcis第一次违约的时刻，因此（A, X）和（ACCR，0）是随机时间bτ=τ∧ T对于交易对手无风险合同（A，X），可以方便地正式假设其到期日等于T，因为完整合同的这一部分不存在违约风险。通过对Lemma6.1的一个小扩展，我们获得了完整合同的以下BSDE（a, X）dbYt=dXi=1bZitdbSi，cldt- （B0，bt）-1.bYtB0，lt+nXk=1αktXkt-dB0，b，lt+（B0，lt）-1dAt型-nXk=1bXktdeβk，lt+nXk=1（1- αkt）Xktd（B0，lt）-1（6.8），终端条件为bτ=x。设x=x+x是套期保值者禀赋的任意分割。然后，我们获得对应于交易对手无风险合同（A，X）的以下BSDE，dbYt=dXi=1bZ1，itdbSi，cldt- （B0，bt）-1.bYtB0，lt+nXk=1αktXkt-dB0，b，lt+（B0，lt）-1日期-nXk=1bXktdeβk，lt+nXk=1（1- αkt）Xktd（B0，lt）-1（6.9），BYT=x。与CRR组件（ACCR，0）相关的BSDE读取BYT=dXi=1bZ2，itdbSi，cldt- （B0，bt）-1.bYtB0，lt-dB0，b，lt+（B0，lt）-1DACRT（6.10），BYBτ=x。

如果初始禀赋x=0，那么我们可以将x和x也设为null。本节开头提出的问题可以重述如下：在这种情况下，对于BSDE（6.8）、（6.9）和（6.10）的解决方案，equalitybY=bY+bYholds，因此三个复制成本满足以下equalitypr（x，A, X）=pr（X，A，X）+pr（X，ACCR，0），这正式对应于完整合约的分解（6.7）和套期保值者初始捐赠的分割X=X+X？由于这种平等不太可能得到满足（即使是当en x=x=x=0时，正如大多数现有关于信贷风险建模非线性方法的论文中隐含的假设），人们可以更普遍地问，数量比和数量比+比是否彼此接近，以便复制成本满足某些近似的平等。当然，对于相应的复制策略，也可以提出一个不合理的问题。首先需要解决违约时间市场模型的规律性和完整性问题。为此，我们可以利用存在性和唯一性结果，以及针对BSDE所获得的严格比较定理，这些BSDE具有随机时间产生的碰撞。这种形式的BSDE在现有的BSDE理论文献中相对少见，但彭和徐[46]以及昆内斯和苏莱姆[49]的论文中对其进行了研究。在44名T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowskicourse中，为了能够使用这些论文中建立的结果，需要明确指定非违约风险资产的价格动态，Sd公司-2（通常，他们被认为是由多维布朗运动驱动的），以及违约时间的方式（因此也是可违约资产的价格-1和Sd）定义。

后一个问题在Peng和Xu【46】或Quenez和Sulem【49】中通过所谓的基于强度的应用程序roach解决，之前在信贷风险文献中对其进行了广泛研究。此外，假设现金和资金账户以及薪酬流程具有绝对连续的样本路径，这样BSDE可以用以下通用格式表示DYT=-g（t，Zt，Yt）dt+d-2Xi=1ZitdWit+dXi=d-1ZitdMit+d'At，其中Mand-Mare是与价格过程Sd相关的纯间断G-鞅-1和Sd，而“A”是一个固定的过程。注意，可以通过简单的计算从（6.8）、（6.9）和（6.10）中获得生成器g。从财务角度来看，为了确保现有市场模型的完整性，需要假设一些可违约证券（通常是双方发行的可违约债券或信用违约掉期）属于主要交易资产。最后，还需要明确规定收尾估价流程Q（见R emark 2.9）和抵押品流程C。在处理局部估价问题时，最自然的理论选择（尽管在实践中不一定容易实现）是设置（见命题6.5）Qt：=pet（x，C）=pgt（x，Ct），Ct：=pet（x，a, X）=pgt（X，（A)t、 Xt）尽管后一种内生抵押品惯例处理起来有点麻烦，即使是在处理由多维连续鞅驱动的BSDE时（见Nie和Rutkowski[42]）。还需注意的是，需要将Cτ替换为Cτ-当指定closeoutpayo ffk时（同时还需要过程A) 在第2.8.1节中。

关于BSDE在这种情况下与跳跃相关的技术问题，以及与经典浸入假设和解决方法相关的问题，感兴趣的读者可以参考Cr'epey和Song最近的论文【21，22】。在信贷风险线性模型的框架内，几项工作研究了市场完整性问题和各种应用方法（尤其见Bielecki等人[5、6、7]）。相比之下，只有少数论文专门研究信用风险的非线性模型。最近，Cr'epey【17，18】、Dumitrescu et al【24】和Bichuch et al【4】使用BSDE和Jumps解决了面临交易对手信贷风险的衍生产品合同的估值和套期保值问题。在Bichuch et al.（4）和Dumitrescu et al.（24）中，作者关注的是完整合同的估值，而Cr'epey（17，18）则研究了信用估值调整的近似可加性问题。7非线性估值与市场实践虽然本文的目的是就非线性无套利定价理论的最基本问题提出问题并给出初步答案，但读者应注意当前市场实践及其与非线性定价理论结果的关系。我们还简要介绍了一些最近的相关论文，其中对所谓的估值调整问题在线性和非线性设置中进行了研究。根据现行惯例，交易对手风险合同的全部价格是通过组合（至少隐含地）基本合同（a，0）的所谓净价，以及非线性模型中的各种衍生产品定价45估值调整来获得的。

交易台使用经典线性方法计算净价格和相应的套期保值，假设所有交易活动的资金都可以使用唯一无风险利率的代理，且交易对手的信用风险被忽略，这显然是不现实的，但显然是非常方便的。因此，很明显，从理论角度来看，清洁价格可以计算为线性BSDE的解，就像经典无障碍定价理论一样。相反，各种估值调整由指定的CVA部门确定，其方式是考虑合同和交易条件的所有其他特征，例如：差异融资成本、保证金账户的存在、交易对手信贷风险、监管要求等。。这意味着，根据大多数银行的实际做法，新交易的全部价格隐含地表示为以下全部价格（a, X）：=线性价格（A，0）+可能的非线性价格（ACCR，X）=净价格+总估价调整（XVA），（7.1），其中净价格通过线性BSDE的解给出，总估价调整（表示为XVA）通过解线性或非线性BSDE确定。当然，如果（7.1）中出现的所有三个术语（即：全价、净价和总估价调整）都是由特定线性BSDE的解给出的，那么可以认为分解（7.1）可以正式调整。然而，如果估价调整（因此也包括全价）是由非线性BSDE的解给出的，这是我们的主要兴趣所在，那么（7.1）中右侧出现的两个术语不能单独计算，随后再加总以获得完整价格。

一般而言，这一观察结果是有效的，尽管净价格总是通过线性BSDE解决方案或等效的风险中性估值公式的适当版本来计算，因此它在多个（无抵押和无违约）交易中享有可分割性。因此，我们认为，引入清洁价格的概念，虽然在实践中很方便，因为它参考了危机前的经验，并有助于校准非衍生证券的常用模型，当在非线性环境中工作时，可能会使搜索合同的全部价格和相应的对冲策略的理论问题进一步复杂化。让我们通过关注特定的非线性设置来说明不可加性问题。我们强调，定价的不可加性意味着，净价格和总估值调整不能通过分割合同现金流来单独计算，甚至可能使用不同的模型来处理两个（或更多）组成部分中的每一个。Br igoet al.（9）最近表明，Pallaviciniet al.（44，45）引入并研究的基于无风险利率代理的调整现金流量的风险中性估值方法，可以使用基于复制的方法正式支持，在这种方法中，可以完全任意地选择风险利率代理。事实上，可以使用任何G-适应和d-适当可积过程α来充当无风险利率的代理，因为该过程的财务解释（如果有）与分解的推导无关（7.2）。

在[9]的命题3.2中，在初始禀赋为空的假设下，证明了这一点（因此，对于所有t，x=xt（x）=0∈ [0，T]），即46 T.R.Bielecki，I.Cialenco和M.Rutkowski可实现抵押合同的除息h edger价格C=（A, C） 等于，在事件{t<τ}上，对于每个t∈ [0，T]，pet（0，Ct）=pe，αT（A）+BαtEQα{τ≤T}{τc<τh}（1- Rc）Υ+- 1{τh<τc}（1- Rh）Υ-燃气轮机+ BαtEQαZτ∧Tt（αu-\'fu）fu（Bαu）-1du+dXi=1Zτ∧Tt（αu）-(R)hiu）Fiu（Bαu）-1件燃气轮机（7.2）+BαtEQαZτ∧Tt（(R)cu- αu）Cu（Bαu）-1件燃气轮机,其中，我们表示Ft=ψ0，ltB0，lt+ψ0，btB0，bt，Fit=ξitSit，和'Ft：=flt{Ft≥0}+fbt{Ft<0}，\'命中：=高，lt{适合≥0}+hi，bt{Fit<0}，\'ct：=clt{ct<0}+cbt{ct≥0}，其中cl（resp.cb）是套期保值者质押（resp.received）的现金抵押品的报酬率。此外，pe，αt（A）是除息净价格，概率测度Qα是这样的，过程Si（Bα）-1，i=1，2，d、 是Qα-鞅。有关非线性模型中“鞅测度”概念的更多信息，请参见[9]中的第3.2.1节。

等式（7.2）导致（A）除息价格的以下形式相加分解, X）其净价格和若干补充估价调整（其解释见[9]第3.2.2节），这些调整可合并为一个总估价调整，表示为XVAt，因此我们有pet（0，Ct）=πe，αt（a）+CVAt- DVAt+FVA'ft+dXi=1FVA'hit+LVAt=πe，αt（A）+XVAt。（7.3）我们强调（7.3）对于任何选择无风险利率的代理α都是正确的，这进一步支持了以下观点，即清洁价格是一个与实际交易分离的抽象概念，总估值调整是使其回归现实所需的必要机制。更重要的是，（7.3）中右侧出现的条款相互交织，因此，如果事先不了解完整合同的对冲策略，就无法计算各种估值调整。因此，我们得出结论，等式形状（7.3）明显表明的附加成分的可加性和分离性实际上是虚幻的，但基本的交易模型具有完全的线性特征，因此有可能使用线性BSDE理论来证明分离。显然，这并不意味着分离在某些具有某些非线性特征的模型中不能成立，但这应该是一种例外情况，而不是规则。作为明确应用非线性定价理论的一个具体例子，我们可以引用比丘奇（Bichuch）等人[4]的最新论文，他们将经典的Black-Scholes模型扩展到不同的融资利率和交易对手信用风险（另一个不对称借贷利率下的定价示例，见Brigo和Pallavicini[11]），对Pathindent欧洲债权的估值进行了彻底的审查。

在[4]中，作者首先验证了其交易模型的无套利性，在初始禀赋x为负的情况下，对应于无效合同。随后，他们将BSDE应用于具有双边违约风险的欧洲抵押债权的单边估值。收尾付款在参考第三方估值时进行了规定，该估值基于单一无风险利率（双方均不可用），因此由标准Black-Scholes模型给出。重要的是要强调，套期保值者（或交易对手）的总估值调整在[11]中并不是作为单独数量计算的，而是定义为非线性模型中完全单边价格和衍生品定价之间的差异47 Black-Scholes价格（见[4]中的定义4.8]），因此应该发挥清洁价格的作用。使用我们的符号，【4】r eadsXVAt中采用的总估值调整的定义：=pet（x，Ct）- πe，αt（A）。因此，很明显，Bichuch等人[4]并不提倡实践方法，即净价格和估值调整应该首先由交易和CVA部门独立计算，然后再合并为完整价格。[4]中还观察到，总估值调整是相等的，因此，当定价BSDE是线性的时，单边价格会下降到一个完整的价格；否则，两个交易对手（本应使用相同的交易模型）计算的单边全额价格可能会有所不同。显然，我们无意表明，单独处理合同组成部分，然后使用总数字作为“全价”的合理依据的做法是错误的，因此应停止。

我们已经明确指出，这种务实的方法，可以在线性市场的框架内进行调整（例如，见Burgard and Kjaer【12，13】、Fujii and Takahashi【30】或Kenyon and Green【37，36】），不太可能在数学上合理地对非线性结构中的衍生品进行无套利定价，引入清洁价格的概念不再有利。最后，让我们提及交易对手之间未完成交易的净额结算这一重要问题，这意味着，原则上，每一笔新交易都不应单独估值，而应作为现有合同组合中的新组成部分。不用说，这个问题无论在理论上还是在实践上都是一个巨大的挑战，因此它将留给未来的工作。最后但并非最不重要的一点是，应该承认，基于无套利复制（或超级对冲）的衍生品估值不应被视为最现实的定价方法，而应被视为更复杂位置的数学理想化，因此，还应检查其他定价范式。感兴趣的读者可参考Kenyon和Green【35】，了解有关遵守监管的衍生品定价的讨论，以及Albanese和Cr’epey【2】，了解XVA的新型平衡表方法，特别强调KVA（资本价值调整）计算。48 T.R.Bielecki、I.Cialenco和M.Rutkowski承认I.Cialenco和M.Rutkowski的研究得到了DVC research BridgingSupport Grant B SDEs方法对有资金成本模型的支持。当I.Cialenco和M.R utkowski参观由国家科学基金会资助的加州大学洛杉矶分校纯数学和应用数学研究所（IPAM）时，部分研究已经完成。

我们还要感谢匿名裁判和St’ephane Cr’epey，感谢他们富有洞察力和有益的意见和建议，这些意见和建议极大地帮助我们改进了最终手稿。参考文献【1】C.Albanese、S.Caenazzo和S.Cr'epey。双边投资组合的信贷、融资、保证金和资本估值调整。概率、不确定性和量化风险，2（7）：1–262017。[2] C.Albanese和S.Cr'epey。资产负债表中的XVA分析。工作文件，2017年。[3] 伯格曼。不同利率下的期权定价。《金融研究评论》，8:475–500，1995年。[4] M.Bichuch、A.Capponi和S.Sturm。无套利XVA。《数学金融》，28:582–6202018。[5] T.R.Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。可违约索赔的对冲。《巴黎普林斯顿2003年数学金融讲座》，《数学课堂讲稿》，第1847卷，第1-132页。R、 Carmona等人（编辑），《施普林格》，柏林，海德堡，纽约，2004年。[6] T.R.Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。资产价格不连续的简化形式信贷风险模型中未定权益的复制。随机模型，22:661–68720006。[7] T.R.Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。信用风险建模。大阪大学旧金山分校讲座笔记系列。大阪大学出版社，大阪，2008年。[8] T.R.Bielecki和M.Rutkowski。具有融资成本和抵押的合同估值和对冲。《暹罗金融数学杂志》，6:594–6552015。[9] D.Brigo、C.Buescu、M.Fran cischello、A.Pallavicini和M.Rutkowski。不同融资成本、违约和抵押下的风险中性估值。工作文件（arXiv:1802.10228v1），2018年。[10] D.Brigo、C.Buescu和D M.Rutkowski。融资、回购和包括信贷在内的估值修改了期权定价。运筹学快报，45:665–670，2017年。[11] D.Brigo和A.Pallavicini。