非线性市场中美式期权的无套利定价

nandehutu2022

677

收藏 2022-06-14

英文标题：
《Arbitrage-free pricing of American options in nonlinear markets》
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作者：
Edward Kim, Tianyang Nie, Marek Rutkowski
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
We re-examine and extend the findings from the recent paper by Dumitrescu, Quenez and Sulem (2018) who studied American and game options in a particular market model using the nonlinear arbitrage-free pricing approach developed in El Karoui and Quenez (1997). In the first part, we provide a detailed study of unilateral valuation problems for the two counterparties in an American-style contract within the framework of a general nonlinear market. We extend results from Bielecki and Rutkowski (2015) and Bielecki, Cialenco and Rutkowski (2018) who examined the case of a European-style contract. In the second part, we present a BSDE approach, which is used to establish more explicit pricing, hedging and exercising results when solutions to reflected BSDEs have additional desirable properties.
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中文摘要：
我们重新审查并扩展了Dumitrescu、Quenez和Sulem（2018）最近的论文中的研究结果，他们使用El Karoui和Quenez（1997）开发的非线性无套利定价方法研究了特定市场模型中的美式期权和博弈期权。在第一部分中，我们在一般非线性市场的框架内详细研究了美式合同中两个交易对手的单边估价问题。我们扩展了Bielecki和Rutkowski（2015）以及Bielecki、Cialenco和Rutkowski（2018）的结果，他们研究了欧洲风格合同的案例。在第二部分中，我们提出了一种BSDE方法，当反映BSDE的解决方案具有额外的期望属性时，该方法用于建立更明确的定价、套期保值和行使结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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大多数88

2022-6-14 01:06:24

非线性市场中美式期权的无套利定价*Marek Rutkowskib，山东大学数学学院，济南，山东250100，新南威尔士州悉尼大学中国数学与统计学院，2006，华沙理工大学澳大利亚数学与信息科学学院，波兰华沙00-661，3月13日，2022年摘要我们重新审查并扩展了Dumitrescu等人[12]最近的论文中的发现，Dumitrescu等人利用El Karoui和Quenez[18]提出的非线性无套利定价方法研究了特定市场模型中的美式期权。在第一部分中，我们在一般非线性市场的框架内，详细研究了美式合同中两个交易对手的单边估值问题。我们扩展了Bielecki等人[5，6]的结果，他们研究了欧洲式合同的案例。在第二部分中，我们提出了一种BSDEapproach，当反映BSDE的解决方案具有额外的期望属性时，该方法用于建立更明确的定价、对冲和行使结果。关键词：非线性市场、美式期权、最优停止、反映的BS非数学科目分类（2010）：91G40、60J28*T.Nie和M.Rutkowski的研究得到了DVC研究过渡性支持赠款多代理金融游戏非线性定价的支持。聂先生的工作得到了国家自然科学基金（编号：11601285）和山东省自然科学基金（编号：ZR2016AQ13）的资助。2 E.Kim、T.Nie和M。

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nandehutu2022

2022-6-14 01:06:27

Rutkowski1简介与欧式合同不同，美式合同在两个交易对手（以下简称发行人和持有人）之间是不对称的，这不仅是因为合同现金流的方向相反，而且因为只有一方，即美式期权持有人，有权在美国合同到期之前履行（即终止和结算），我们通常将其表示为T。无套利定价和在线性市场模型框架内合理行使美式期权的问题（通常适用于经典的Black和Scholes模型，但可能存在交易约束，如：不借入现金或不卖空股票）已在许多论文中进行了研究，仅举几篇：Bensoussan【4】、El Karoui et al【16】、Jaillet al【25】，Karatzas【27】、Karatzas和Kou【28】、Kallsenand K¨uhn【26】、Klimsiak和Rozkosz【34】、Myneni【37】和Rogers【44】。这项工作的目标是重新审查和扩展Dumitrescu等人[12]最近的论文中的发现，Dumitrescu等人利用El Karouiand Quenez[18]开发的非线性无套利定价方法，在特定的违约不完善市场模型的框架内研究了美式期权。与[12]相比（关于博弈期权的情况，另见[11]），我们将自己置于一般非线性无套利市场的框架内，正如Bielecki等人[5，6]所介绍的那样，我们研究了公平和可接受的单边价格的一般性质。

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nandehutu2022

2022-6-14 01:06:30

我们还使用BSDE方法获得了关于发行人定价、套期保值和盈亏平衡时间以及持有人合理行使时间的更明确的结果，而不是关于基础资产的动态，而是通过关注反映BSDE的解决方案的相关一般特征。让我们为一般非线性市场模型介绍一些符号。让(Ohm, G、 G，P）是一个满足右连续性和完备性通常条件的过滤概率空间，其中过滤G=（Gt）t∈[0，T]为所有交易者可用的信息流建模。为方便起见，我们假设初始σ-场Gis微不足道。此外，下面介绍的所有过程都被隐式地假定为G-适应的，并且像往常一样，任何半鞅都被假定为c\'adl\'ag。对于注释的含蓄性，我们自始至终都假设发行人和持有人的交易条件是相同的，尽管由于我们研究了单边估价和套期保值问题，这种假设可以毫无困难地放宽。设T=T[0，T]代表[0，T]中所有G停止时间取值的类别。我们对美国未定权益采用以下定义。按照惯例，合同的所有现金流都是从发行人的角度描述的。因此，当发行人的现金流量为正值时，持有人支付现金金额，发行人接收现金金额。显然，如果发行人的现金流量为负值，那么现金金额将从发行人转移到持有人。例如，在处理股票S上的美式认沽期权的经典案例时，我们假设对发行人（分别是持有人）的支付等于xhτ=-（K）- Sτ）+（分别为，Xhτ=（K- Sτ）+）如果持有人在时间τ行使期权。这是通过以下对美国未定权益的定义正式确定的。

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mingdashike22

2022-6-14 01:06:33

请注意，XH中的Superscript h用于强调只有持有人有权行使并终止合同；这可以与博弈期权的情况形成对比（例如，参见Kifer[29，30]及其参考文献），其中契约规定双方可以行使并终止合同。定义1.1。美国未定权益，采用G-调整的c\'adl\'ag支付流程，是发行人和持有人之间的合同，持有人有权通过选择G-停止时间τ来行使合同∈ T[0，T]。然后，发行人“收到”金额Xhτ，或相当于“支付”持有人-时间τ处的Xhτ，其中G-自适应支付过程Xht，t∈ [0，T]由合同规定。请注意，我们没有对支付过程Xh的符号作出任何先验假设，因此它通常可以是正的或负的。更一般地说，美国合同被正式确定为三元组Ca=（a，Xh，T），其中G-适应的c\'adl\'ag随机过程a由合同条款预先确定，表示从时间0到合同到期日T的累计现金流。在财务解释中，假设过程A模拟给定美式合约的所有现金流，美式期权3的非线性定价，这些期权要么从发行人的财富中支付，要么通过其交易资产组合的价值过程增加到其财富中。根据对称性，类似的解释适用于美国合同的持有人，显然，一方收到（分别支付）的任何金额都由另一方支付（分别收到）。

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能者818

2022-6-14 01:06:36

然而，请注意，合同Ca的价格（按照约定，在时间0时）未包含在过程A中，因此我们将A设置为0。这一惯例的动机是，交易前的合同价格是特定的，因此需要通过交易对手之间的谈判来确定，我们将辩称，单方面定价通常不会产生美国合同初始价格的共同价值。在任何时候检查美国合同的估价时∈ [0，T]，我们隐含地假设它还没有被执行，因此，在时间T时对其当前持有者可用的执行时间集是所有G停止时间的类别T[T，T]，取[T，T]中的值。原则上，可以考虑两种关于行权支付的替代约定：（A.1）时间t的行权现金流等于- 在-+ Xhtor（A.2）如果合同在时间t行使，则现金流在- 在-被免除，所以在时间t发生的唯一现金流是Xht。除非另有明确规定，否则我们根据契约（A.1）开展工作，并且我们承认，选择特定的结算规则通常可能会导致美国合同Ca的不同价格。当然，当过程A是连续的，或者简单地说，当它消失时，这种选择是无关紧要的，因此契约减少为一对（Xh，T）。在经典的线性市场模型中，如果合同的最终支付为负（或正），那么很容易确定给定一方的公平价格是否应为正（或负），因此跟踪现金流的迹象就不那么重要了。

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大多数88

2022-6-14 01:06:39

相反，在非线性设置中，可能会发生这样的情况，例如，各方都希望以各自的正价格出售合同，因此，对价格的迹象作出任何先验假设是不合理的。本文的组织结构如下。在第2节中，我们在一个抽象的非线性系统中工作，这意味着我们只对自我融资策略财富过程的非线性动力学做出了相当一般的假设。这类主要假设是财富的单调性（见假设2.1和2.2）。我们研究了发行人和持有人这两个交易对手的公平和可盈利价格的一般性质。特别是，我们以Bielecki等人的论文为基础。[5，6]研究了非线性市场中欧洲未定权益的无套利估值。在第3节中，我们重新审查并扩展了BSDE方法，以评估非线性市场中的美国期权，该方法由El Karoui和Quenez【18】发起，并在Dumitrescu等人中继续。[12]. 我们的主要目标是表明，美国合同的单边可接受价格可以用多维连续半鞅驱动的反映BSDE的解决方案来描述。为了具体起见，我们在第3节中假设财富过程V=V（y，ξ，a）满足vt=y-Ztg（u，Vu，ξu）du+ZtξudSu+At，（1）其中y∈ R是动态投资组合ξ在时间0时的初始财富（回想一下，a=0）。然而，为了保持符号的全面性，我们没有明确指定流程S或generatorg，而是对SDE（14）和BSDE（17）的解决方案进行假设。2单方面公平和可接受的普氏M=（B，S，ψ）是一种市场模型，在Bielecki等人的意义上，该模型对于欧洲合同而言是无套利的。

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nandehutu2022

2022-6-14 01:06:42

这里，ψ表示所有可容许交易策略的类别，ψ（y，D）表示从ψ开始的所有可容许交易策略的类别以及初始财富y∈ 任何交易策略的外部现金流均为兰特∈ ψ（y，D），我们用V（y，ν，D）表示4 E.Kim，T.Nie和M.Rutkowskiwealth过程。显然，等式V（y，ν，D）=y对所有y都成立∈ R和任何策略。自始至终，假设过程D、xh和财富过程V（y、Д、D）是c\'adl\'agand G-适应的。我们将逐步对财富过程的动态做出更多假设。2.1基准财富非线性无套利方法的一个重要特征是基准财富Vb（x）的概念，根据该概念，对给定交易者的套利机会进行量化和评估。如[5，6]中所述，基准财富的简单自然候选值可由等式Vb（x）=V（x）给出，其中，对于任意初始捐赠x∈ 对于交易者，我们设定为所有t∈ [0，T]Vt（x）：=xB0，lt{x≥0}+xB0，bt{x<0}，其中无风险贷款（分别借款）现金账户B0，l（分别借款）用于无担保贷款（分别借款）现金。请注意，V（x）表示交易者在时间0时决定将其初始现金捐赠x保留在贷款中（当x≥ 0）或借款（当x<0）现金账户，且在0和T之间未参与任何其他交易活动。按照惯例，数量x和x代表发行人和持有人的初始禀赋，因此过程V（x）和V（x）是他们各自的基准财富。由于基准财富的概念对于线性市场模型中的估值并不重要，因此在无套利估值的工作中很少遇到，尽管它与众所周知的机会成本经济概念相对应。

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何人来此

2022-6-14 01:06:46

因此，重要的是对其相关性、范围和局限性少加评论。一方面，我们承认，基于交易者初始投资组合的单边定价想法可能会被拒绝，因为这是不现实的。因此，值得强调的是，即使我们将x=x=0设为所有t的Vt（x）=Vt（x）=0∈ [0，T]，这意味着完全忽略了贸易商的初始禀赋，其各自单边价格的不对称性将因财富动态的非线性而表现出来，因此该假设不会对我们的结果和发现提供重要的启示。另一方面，也可以假设每个交易者都有一个初始资产组合（也包括储蓄账户B0、土地B0、b，这意味着他可以是借款人或现金贷款人），在时间0时的当前市场价值为y（忽略买卖价差和交易成本）。那么Vb（y）可以表示他的静态投资组合的财富过程。例如，假设美国合同的发行人拥有风险资产（表示为α）和现金（表示为β）的初始投资组合，分别具有（静态）终值VT（α）和VT（β）。假设风险投资组合α不用于发行人的对冲目的，但现金账户β中的（正或负）金额X用于建立对冲。那么，发行人的基准财富Vb（α，β）可以定义为Vbt（α，β）：=所有t∈ [0，T]因此，特别是发行人的初始财富等于y：=Vb（α，β）=V（α）+V（β）。然后，发行人的总财富，包括在时间0输入的合同价格p和对冲策略Д，等于Vt（α，β，x，p，Д，A）=Vt（α）+Vt（β- x） +Vt（x+p，Д，A）。其中，X不再代表发行人的初始财富，而是用于Ca对冲的初始现金捐赠部分。

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大多数88

2022-6-14 01:06:49

很明显，分析动态基准投资组合的情况将更加困难，尽管原则上这是可能的。为简洁起见，我们不打算在下文中研究这些案例，但我们强调，这项工作中的所有结果对于发行人和持有人的基准财富过程的任何具体情况都是有效的，因为有必要假设它们是一些G适应和c\'adl\'ag随机过程。美式期权的非线性定价52.2单边公平价格我们考虑了一个扩展市场模型Mp（Ca），其中美式合约在0时以某个初始价格p进行交易，其中p是一个任意实数。我们首先对一份美国合同的发行人进行了初步分析，该发行人被赋予了交易前初始财富x∈ R和相应的基准财富过程Vb（x）。2.2.1发行人的公平价格应从以下条件开始。由于流程A自始至终都是固定的，为了缓解操作，我们在与发行人打交道时会经常写V（x+p，Д），而不是V（x+p，Д，A）。同样，我们稍后将写V（x- p、 ψ）代替V（x- p、 ψ，- A）检查持有人的交易策略时。定义2.1。我们说一个三重态（p，ν，τ）∈ R×ψ（x+p，A）×T满足度：（AO）<==> Vτ（x+p，ν）+Xhτ≥ Vbτ（x）和PVτ（x+p，ν）+Xhτ>Vbτ（x）> 0，（SH）<==> Vτ（x+p，ν）+Xhτ≥ Vbτ（x），（BGε）<==> Vτ（x+p，ν）+Xhτ≤ Vbτ（x）+ε，（BE）<==> Vτ（x+p，ν）+Xhτ=Vbτ（x），（NA）<==> Vτ（x+p，φ）+Xhτ=Vbτ（x）或pVτ（x+p，ν）+Xhτ<Vbτ（x）> 0.让我们首先解释定义2.1中出现的首字母缩略词的含义：（AO）表示套利机会，（SH）表示超边际，（BG）表示有界收益，（BE）表示盈亏平衡，（NA）表示无套利。

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可人4

2022-6-14 01:06:52

有关这些属性的详细说明，请参见定义2.2–2.6。为简洁起见，我们写下（p，ν，τ）∈ （AO）如果三重态（p，Д，τ）满足条件（AO）；类似约定将适用于定义2.1中引入的其他条件。如果属性（SH）满足三元组（p，Д，τ），那么我们说发行人在τ出现时的超边缘。注意，根据可选截面定理，条件（SH）适用于一对（p，ν）∈ R×ψ（x+p，A）和所有τ∈ T当且仅当（p，Д）不等式Vt（x+p，Д）+Xht≥ Vbt（x）对每个t有效∈ [0，T]。这一简单的观察正好证明了以下一对（p，Д）的属性定义（SH）。定义2.2。我们说一对（p，ν）∈ R×ψ（x+p，A）满意度（SH）（brie fly，（p，ν）∈ （SH））如果不等式Vt（x+p，ν）+Xht≥ Vbt（x）每t保持一次∈ [0，T]。然后（p，Д）被称为扩展市场Mp（Ca）中的Anisuer超边缘策略。三元组（p，Д，τ）的性质（AO）被称为发行人在时间τ的严格超边缘（或发行人的评级机会）。定义2.3。我们说一对（p，ν）∈ 如果三重态（p，Д，τ）符合每个τ的条件（AO），则R×ψ（x+p，A）满足条件（AO）∈ T然后我们还说（p，ν）在扩展市场Mp（Ca）中创造了Anisuer的套利机会。以下引理是定义2.3的直接结果。引理2.1。如果一对（p，Д）∈ R×ψ（x+p，A）是这样的：Vt（x+p，ν）+Xht>Vbt（x），对于每个时间点∈ [0，T]，然后（p，Д）全融资（AO），因此发行人的套利机会出现在扩展市场Mp（Ca）中。我们认为，如果（p，Д，τ）满足条件（NA），则在τ时（p，Д）不会产生发行人的套利。我初步发现，如果一个三元组（p，Д，τ）不能满足（NA），那么它将充满（AO），因此发行人的评级机会将在发行人策略的时间τ出现（p，Д）。

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kedemingshi

2022-6-14 01:06:55

按照惯例，我们从此设置inf = ∞ 和sup = -∞. 请注意，上标f代表公平，i代表发行人。6 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiDe定义2.4。我们认为，pf，i（x，Ca）是发行人对CAI的公平价格，如果p=pf，i（x，Ca），则Mp（Ca）中不会出现发行人的任意机会（p，ν）。因此，发行人的公平价格设定为：i（x）：=p∈ R | φ ∈ ψ（x+p，A） τ ∈ T：（p，Д，τ）∈ （不适用）发行人公平价格的上界由PF给出，i（x，Ca）：=supp∈ R | p是发行人对Ca的公平价格= sup Hf，i（x）。（2）如果equalitypf，i（x，Ca）=max Hf，i（x）保持不变（即每当pf，i（x，Ca）∈ Hf，i（x）），thenpf，i（x，Ca）表示为bpf，i（x，Ca），并称为发行人对Ca的最大公平价格。为了减少记法，变量（x，Ca）有时会被抑制，因此我们将写epf，i，pf，i，bpf，i等，而不是pf，i（x，Ca），pf，i（x，Ca），bpf，i（x，Ca）等。假设2。前向单调性性质成立：对于所有x，p∈ R、 ^1∈ ψ（x+p，A）和p′>p（分别为p′<p），存在交易策略Д′∈ ψ（x+p′，A）使得vt（x+p′，Д′）≥ Vt（x+p，Д）（分别为Vt（x+p′，Д′）≤ Vt（x+p，Д））每t∈ [0，T]。引理2。2、满足假设2.1。如果p∈ Hf，i（x），那么对于任何p′<p，我们都有p′∈ Hf，i（x）。因此，如果Hf，i（x）6=, 那么Hf，i（x）=(-∞,pf，i]=(-∞, bpf，我]为了某些事，我∈ R或Hf，i（x）=(-∞, pf，i）其中pf，i∈ R∪ {∞}.证据我们用矛盾来争论。如果Hf，i（x）=, thenpf，i=-∞. 现在让我们考虑一下Hf，i（x）6=. 假设p∈ Hf、i（x）和数字p′＜p不是发行人的公平价格。那么就有了Д′∈ ψ（x+p′，A），使得每个τ的（p′，Д′，τ）满填充（AO）∈ T因此，根据假设2.1，存在∈ ψ（x+p，A），使得三重态（p，Д，τ）符合每个τ的（AO）∈ T

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kedemingshi

2022-6-14 01:06:58

这显然与p属于Hf，i（x）的假设相矛盾，因此我们得出结论，断言的属性是有效的。有界收益条件（BGε）规定，发行人与三元组（p，Д，τ）相关的收益从上方以ε为界。这导致发行人的超额成本的以下定义，收益微乎其微。定义2.5。我们说p∈ R是发行人的超边际成本，CaifforEvery^1的收益微乎其微∈ ψ（x+p，A），使条件（SH）满足（p，Д）∈ R×ψ（x+p，A），对于每一个ε>0，存在一个τε∈ T使得Vτε（x+p，Д）+Xhτε≤ Vbτε（x）+ε。由Hn，i（x）表示的具有可忽略增益的allissuer超边际成本集合，即Hn，i（x）：=p∈ R | （p，Д）∈ R×ψ（x+p，A）满足（SH） > 0 τε∈ T：（p，Д，τε）∈ （BGε）.备注2.1。请注意，发行人的超边际成本（收益可忽略不计）不一定是唯一的。例如，假设一对（p，ν）∈ R×ψ（x+p，A）满足（SH），因此Vτ（x+p，ν）+Xhτ≥Vbτ（x）表示所有τ∈ T和VT-（x+p，Д）+XhT-= VbT公司-（x）。可以假设存在一个δ>0，使得对于每个Д′∈ R×ψ（x+p+δ，A），使得（p，ν′）∈ （SH），我们有VT-（x+p，Д）+XhT-= 及物动词-（x+p+δ，Д′）+XhT-= VbT公司-（x）和VT（x+p+δ，Д′）+XhT>VT（x+p，Д）+XhT。很明显，p和p+δ都是发行人的超额成本，收益微乎其微。最后，让我们介绍与定义2.1中介绍的盈亏平衡条件（BE）相关的停止时间。定义2.6。如果条件（BE）满足（p，Д，τ）∈ R×ψ（x+p，A）×T，然后是停止时间τ∈ T称为发行人对该对的盈亏平衡时间（p，^1）∈ R×ψ（x+p，A）。请注意，即使对（p，Д）固定，通常也无法确保发行人盈亏平衡时间τ的唯一性。

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大多数88

2022-6-14 01:07:00

显然，任何发行人的盈亏平衡时间都可以正式归类为可供Cabut持有人使用的行权时间之一，正如我们将在下文中所述，发行人对美式期权7的非线性定价盈亏平衡时间不太可能也是持有人的合理行权时间。这是因为持有人在导致发行人收支平衡或禁止发行人套利机会的停止时间行权实际上并不总是有利的。首先，持有人通常不知道发行人的交易策略。其次，持有人应该理性地对待自己的支付和对冲能力。持有人的合理行使时间可以典型地与持有人盈亏平衡时间的特定实例相一致，这在定义2.8中介绍。最早发行人的盈亏平衡时间稍后将表示为τ*,i、而对于最早持有人的合理行使时间，我们将使用符号τ*,h、 2.2.2持有人的公平价格Let us现在分析Ca持有人的公平定价问题。我们假设他拥有交易前初始财富x∈ R和他的计算是指基准财富过程vb（x）。回想一下，我们写的是V（x- p、 ψ）：=V（x- p、 ψ，-A）当没有混淆的危险时。定义2.7。我们说（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） ×T满足：（AO′）<==> Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ≥ Vbτ（x）和PVτ（x- p、 ψ）- Xhτ>Vbτ（x）> 0，（SH′）<==> Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ≥ Vbτ（x），（BL′ε）<==> Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ≥ Vbτ（x）- ε、（BE′）<==> Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ=Vbτ（x），（NA′）<==> Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ=Vbτ（x）或PVτ（x- p、 ψ）- Xhτ<Vbτ（x）> 属性（AO′）（分别，（SH′）被称为持有者的严格超边缘（分别，超边缘）条件。请注意，有界损失性质（BL′ε）意味着持有人的损失从下方有界于-ε.

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kedemingshi

2022-6-14 01:07:03

条件（BE′）导致以下定义。定义2.8。如果等式Vτ′（x- p、 ψ）- Xhτ′=Vbτ′（x）保持，然后是停止时间τ′∈ 这被称为这一对的持有者盈亏平衡时间（p，ψ）∈ R×ψ（x- p-A）。持有人套利机会的概念反映了一个事实，即持有人有权行使美国合同，即方便地选择合同结算和终止的停止时间τ。具体而言，持有人在Mp（Ca）中的套利机会为a套利（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） ×T满足条件（AO′）。对于三重态（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） ×T，我们说在时间τif（p，ψ，τ）ful fills（NA′）时（p，ψ）不会产生持有人套利。很容易看出三重态（p，ψ，τ）∈ R×ψ（x- p-A） ×t当且仅当满足（NA′）时，才满足（AO′）。定义2.9。我们说，pf，h（x，Ca）是CAI的持有人公平价格，如果p=pf，h（x，Ca），则扩展市场Mp（Ca）中不会出现持有人的任意机会（p，ψ，τ）。因此，持有人公平价格集等于hf，h（x）：=p∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （NA′）持有者公平价格的下界由pf给出，h（x，Ca）：=infp∈ R | p是Ca的持有人公平价格= inf Hf，h（x）。（3）如果等式pf，h（x，Ca）=min Hf，h（x）成立，则pf，h（x，Ca）表示为pf，h（x，Ca），并称为持有人的最小公平价格，约为引理2.3。满足假设2.1- A、如果p∈ Hf，h（x），那么对于任何p′>p，我们都有p′∈ Hf，h（x）。因此，如果Hf，h（x）6=, 然后Hf，h（x）=[pf，h，∞) = [pf，h，∞) orHf，h（x）=（pf，h，∞).8 E.Kim、T.Nie和M.RutkowskiDe定义2.10。我们说p∈ 如果每ε>0存在一对（ψ，τ），则R是具有可忽略损失的持有人成本∈ ψ（x- p-A） ×T，使得Vτ（x- p、 ψ）- Xhτ≥ Vbτ（x）- ε.

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可人4

2022-6-14 01:07:06

用Hn，h（x）表示的CAI可忽略损失的所有持有人成本集，即Hn，h（x）：=p∈ R | > 0 (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （BL′ε）.2.3超边际成本（严格的）超边际策略的概念以及发行人和持有人的相关成本是相当标准的。对于发行人，它们分别基于条件（SH）和（AO），而对于持有人，它们分别取决于条件（SH′）和（AO′）。这意味着对于发行人，我们需要施加一些对每个τ都有效的条件∈ T，而对于holderit，有必要假设某些τ满足类似条件∈ T2.3.1发行人超边际成本首先引入发行人严格超边际成本下限的概念。定义2.11。pa给出的发行人针对CAI的严格超额成本的下界，i（x，Ca）：=inf Ha，i（x），其中Ha，i（x）：=p∈ R: φ ∈ ψ（x+p，A）：（p，Д）∈ （AO）.如果等式pa，i（x，Ca）=min Ha，i（x）成立，则表示为pa，i（x，Ca），并称为发行人对Ca的最小超边际成本。很容易看出，Ha，i（x）是Hf，i（x）的补充，因此，根据引理2.2，等式pa，i（x，Ca）=pf，i（x，Ca）在假设2.1下满足。更准确地说，我们处理以下备选方案：eitherHf，i（x）=(-∞, bpf，i]和Ha，i（x）=（pa，i，∞) （4） orHf，i（x）=(-∞,pf，i）和Ha，i（x）=[pa，i，∞). （5）定义2.12。ps给出的发行人对CAI的超边际成本下限，i（x，Ca）：=inf Hs，i（x），其中Hs，i（x）：=p∈ R: φ ∈ ψ（x+p，A）：（p，Д）∈ （上海）.如果等式ps，i（x，Ca）=min Hs，i（x）成立，则ps，i（x，Ca）表示为ps，i（x，Ca），并称为发行人对Ca的最小超额成本。很明显，Ha，i（x） Hs，i（x），因此ps，i（x，Ca）≤ pa，i（x，Ca）。通常，它可能发生在ps，i（x，Ca）<pa，i（x，Ca）=pf，i（x，Ca）时。

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nandehutu2022

2022-6-14 01:07:09

为了避免这种有问题的情况，我们引入了假设2.2，这确保了ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca），因此ps，i（x，Ca）=pf，i（x，Ca）。显然，假设2.2比假设2.1强。假设2.2。前向严格单调性性质成立：对于所有x，p∈ R、 ^1∈ ψ（x+p，A）和p′>p（分别为p′<p），存在交易策略Д′∈ ψ（x+p′，A），使得每t∈ [0，T]。引理2.4。如果满足假设2.2，则等式ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）成立，且USPF，i（x，Ca）=ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）。美式期权的非线性定价证明。首先假设Hs，i（x）6= 或者，等效地，ps，i（x，Ca）<∞ （回想一下 = ∞). 由于假设2.2成立，很明显，对于任意的p∈ Hs，i（x）和任何ε>0时，存在一个策略Д′∈ ψ（x+p+ε），使得条件（AO）由对（p+ε，Д′）满足。因此，p+ε属于Ha，i（x），因此p+ε≥ pa，i（x，Ca）。从p的任意性∈ Hs，i（x）和ε>0，我们推断ps，i（x，Ca）≥ pa，i（x，Ca）。从定义2.12后的讨论中，我们得到ps，i（x，Ca）≤ pa，i（x，Ca），因此ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）。回顾Pf，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）（见定义2.11后的评论），我们得出结论，如果Hs，i（x）6=. 现在我们假设Hs，i（x）= 所以Ha，i（x）=同样，由于Ha，i（x） Hs，i（x）。那么，一方面，ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）=∞ 另一方面，pf，i（x，Ca）=∞, 由于Hf，i（x）=R是Ha，i（x）的补码。因此，在这种情况下，也可以满足所评估的等式。2.3.2持有人的超边缘成本请让我们检查持有人的严格超边缘成本。定义2.13。

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能者818

2022-6-14 01:07:12

PA给出的CAI持有人严格超边际成本的上界，h（x，Ca）：=sup Ha，h（x），其中Ha，h（x）：=p∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （AO′）.如果等式pa，h（x，Ca）=max Ha，h（x）成立，则pa，h（x，Ca）表示为bpa，h（x，Ca），并称为持有者对Ca的最大严格超边缘成本。很容易看出，Ha，h（x）是Hf，h（x）的补充。因此，我们从引理2.3中推断，在假设2.1和eitherHa，h（x）=pf，h（x，Ca）下，等式是满足的(-∞, pa，c）和Hf，h（x）=[pf，h，∞) （6） orHa，h（x）=(-∞, bpa，c]和Hf，h（x）=（pf，h，∞). （7）与发行人类似，我们还为持有人引入了超级边缘策略的概念。定义2.14。Caequalsps的持有人超边际成本上限，h（x，Ca）：=sup Hs，h（x），其中Hs，h（x）：=p∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （SH′）.如果等式ps，h（x，Ca）=max Hs，h（x）成立，则ps，h（x，Ca）表示为bps，h（x，Ca），并称为持有人对Ca的最大超边缘成本。很明显，Ha，h（x） Hs，h（x）和不等式，h（x，Ca）≥ pa，h（x，Ca）有效。此外，假设2.2确保等式成立。引理2.5。如果假设2.2满足-A、然后等式ps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca）成立，因此pf，h（x，Ca）=ps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca）。证据首先假设Hs，h（x）6= 或者，等效地，thatps，h（x，Ca）>-∞. 假设2.2下，对于任何p∈ Hs，h（x）和ε>0，存在一对（Д′，τ）∈ ψ（x-（p-ε））等（p-ε、 ν′，τ）满足条件（AO′），即p-ε ∈ Ha，h（x），因此p-ε ≤ pa，h（x，Ca）。辛塞普∈ Hs，h（x）和ε>0是任意的，我们得出结论，ps，h（x，Ca）≤ pa，h（x，Ca）。不等式，h（x，Ca）≤ pa，h（x，Ca）总是满足的，因此ps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca）=pf，h（x，Ca），其中最后一个等式在假设2.1下成立。

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mingdashike22

2022-6-14 01:07:16

现在我们假设Hs，h（x）=.那么，一方面，ps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca）=-∞ 自Ha起，h（x） Hs，h（x），另一方面，pf，h（x，Ca）=-∞ 由于Hf，h（x）是Ha，h（x）的补充。因此，资产质量在这种情况下也是有效的。10 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski2.4单边可接受价格下一个目标是分析以下问题：在何种假设下，美国合同的适当定义复制成本也是发行人（分别为持有人）的最大（分别为最小）公平价格。对这个问题的回答将引导我们了解由交易对手计算的单方面可接受价格这一至关重要的概念。2.4.1发行人的可接受价格我们现在将研究发行人复制合同的概念。在此之后，我们在假设2.2下工作，因此，根据引理2.4，我们得到thatpf，i（x，Ca）=ps，i（x，Ca）=pa，i（x，Ca）。（8）定义2.15。pr给出的发卡机构对CAI的复制成本下限，i（x，Ca）：=inf Hr，i（x），其中Hr，i（x）：=p∈ R | (φ, τ) ∈ ψ（x+p，A）×T：（p，ν）∈ （SH）&（p，Д，τ）∈ （BE）.如果等式pr，i（x，Ca）=min Hr，i（x）成立，则pr，i（x，Ca）表示为pr，i（x，Ca），并称为发行人对Ca的最小复制成本。请注意，在定义2.15中，我们关注的是特定发行人的超边缘化战略，该战略存在一个盈亏平衡时间，我们不会对发行人可用的其他交易战略的财富流程施加任何限制。因此，原则上，对于p∈ Hr，i（x），可能存在另一对，比如（p，ψ），这是发行人严格的超边缘策略。这意味着发行人的复制成本不是发行人对Ca的公平价格。

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何人来此

2022-6-14 01:07:19

为了消除定义2.15的这一缺陷，在下一个定义中，我们还对所有发行人的交易策略施加了与定义2.16相关的无套利条件（NA）。pf，r，i（x，Ca）给出的发卡机构公平复制成本的下限：=inf Hf，r，i（x），其中Hf，r，i（x）：=p∈ R | (φ, τ) ∈ ψ（x+p，A）×T：（p，ν）∈ （SH）&（p，Д，τ）∈ （BE）； φ′∈ ψ（x+p，A） τ′∈ T：（p，Д′，τ′）∈ （不适用）.如果等式pf，r，i（x，Ca）=最小Hf，r，i（x）成立，则pf，r，i（x，Ca）表示为pf，r，i（x，Ca），并称为Ca定义2.17的发卡机构最小公平复制成本。如果集合Hf，r，i（x）是一个单态，则其唯一元素表示为pi（x，Ca），并称为发行人的可接受价格。显然，如果pi（x，Ca）定义得很好，那么它与pf，r，i（x，Ca）一致。让我们研究定义2.1中引入的条件之间的一些有用关系。引理2.6。（i）如果（p，Д）满足（SH）且（p，Д，τ）满足（NA），则（BE）对（p，Д，τ）有效。（ii）如果（p，Д）不能满足（SH），则存在τ∈ T使得（p，Д，τ）满足（NA）。（iii）以下条件是等效的：（a）对于满足（SH）的任何（p，Д），存在τ∈ T使得（p，Д，τ）满足（BE），（b）对于任何（p，Д），存在τ∈ T使得（p，Д，τ）满足（NA）。证据（i）该声明几乎是条件（SH）、（NA）和（BE）定义的直接结果。实际上，假设一对（p，Д）满足（SH）和一个三重态（p，Д，τ）符合（NA）。显然，不等式P（Vτ（x+P，ν）+Xhτ<Vbτ（x））>0不能成立，因此（P，Д，τ）必须满足（BE）。美式期权的非线性定价11（ii）我们知道，如果一对（p，Д）满足（AO），那么它将充满（SH），因此如果（p，Д）不满足（SH），那么条件（AO）就不满足。

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mingdashike22

2022-6-14 01:07:23

回顾本质上，满足（AO）的对类（p，Д）是（NA）的补码，我们得出结论，存在一个停止时间τ∈ T以使Triplet（p，Д，τ）符合（NA）。（iii）我们首先表明（a）意味着（b）。我们从（ii）中知道，如果一对（p，ν）不满足条件（SH），则存在τ∈ T使（p，Д，τ）符合（NA）。如果（p，Д）满足（SH），则根据条件（a），存在τ∈ 使三重态（p，Д，τ）充满（BE）和thusit也满足（NA）。现在让我们假设条件（b）已满足。然后，根据第（i）部分，条件（a）也成立。根据（8），下列引理的证明是显而易见的，因此省略了它。引理2.7。我们有Hs，i（x） Hr，i（x） Hf，r，i（x）=Hf，i（x）∩ Hr，i（x）和thuspf，i=ps，i≤ pr，i≤ 在下一个结果中，我们研究了发行人成本的基本性质。第2.1条提案。（i）如果Hf，r，i（x）6=, 然后是单例，发行人的可接受价格pi=pi（x，Ca）满意度- ∞ < pi=bpf，i=pr，i=ps，i<+∞. （10）（ii）如果Hr，i（x）6=, thenpf，i=ps，i≤ pr，i<∞.（iii）如果Hr，i（x）=, thenpf，i=ps，i≤ pr，i=∞.证据我们从证明（i）开始。如果Hf，r，i（x）6=, 然后从夹杂物Hf，r，i（x） Hf，i（x）我们得到了不等式pf，r，i≤ 因此，根据（9），我们有pf，i=ps，i=pr，i=pf，r，i。此外，Hf，i（x）6= 和Hs，i（x）6= 和thuspf，i>-∞ 和ps，i<∞. 我们的结论是-∞ <pf，i=pr，i=pf，r，i=ps，i<∞. 来自夹杂物Hf、r、i（x） Hf，i（x）和等式sup Hf，i（x）=pf，i=pf，r，i=inf Hf，r，i（x），我们推导出对于任意p，p∈ Hf、r、i（x）和P∈ Hf，i（x）我们有p=p≥ 因此，Hf，r，i（x）是一个单态，其唯一元素不小于Hf，i（x）的任何元素。因此，bpf、iand piare得到了很好的定义并满足-∞ < bpf，i=pi<+∞. 此外，Hf，r，i（x） Hr，i（x），因此等式pi=pr，意味着pr，也存在，并且与pi一致。

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kedemingshi

2022-6-14 01:07:26

我们得出结论，（10）是有效的。这特别意味着Hf，i（x）=(-∞, bpf，i]=(-∞, pr，i]=(-∞, pi）。第（ii）部分和第（iii）部分是第（9）部分的简单顺序。备注2.2。命题2.1中的第（i）部分表明，如果存在一个数字p，发行人的空中复制策略存在，且p是唯一发行人的可接受价格，则其最大公平价格、最小复制成本和（严格的）超边缘成本的上限（但显然，它不是严格的超边缘成本）。因此，我们在这里处理一个非常理想的情况，但遗憾的是，检查是否存在具有上述属性的数字p并不容易。正如预期的那样，为了克服这一困难，我们将对交易策略的财富过程施加额外的假设。重新调用，在完全线性市场中，可以显示Hr，i（x）6= 但是，据我们所知，现有文献中尚未研究集Hf，r，i（x）的性质。2.4.2持有人可接受价格我们假设假设2.2满足-因此，从引理2.5来看，我们有thatpf，h（x，Ca）=ps，h（x，Ca）=pa，h（x，Ca）。（11）持有人复制成本的概念是通过以下定义引入的。定义2.18。PR给出的CAI持有人复制成本的上限，h（x，Ca）：=sup Hr，h（x），其中Hr，h（x）=p∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （BE′）.12 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski等效，pr，h（x，Ca）：=- inf公司q∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x+q，-A） ×T:Vτ（x+q，ψ）- Xhτ=Vbτ（x）.如果等式R，h（x，Ca）=最大Hr，h（x）成立，则pr，h（x，Ca）表示为bpr，h（x，Ca），并称为持有人对Ca的最大复制成本。为了确定持有人可接受价格的存在，我们将使用持有人的空中复制成本的概念。定义2.19。

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mingdashike22

2022-6-14 01:07:29

PF，r，h（x，Ca）=sup Hf，r，h（x），其中Hf，r，h（x）给出的CAI持有人公平复制成本的上界：=p∈ R | (ψ, τ) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ，τ）∈ （BE′）& (ψ′, τ′) ∈ ψ（x- p-A） ×T：（p，ψ′，τ′）∈ （NA′）.如果pf，r，h（x，Ca）=最大Hf，r，h（x），则pf，r，h（x，Ca）表示为bpf，r，h（x，Ca），并称为Ca持有人的最大公平复制成本。定义2.20。如果集合Hf，r，h（x）是一个单态，则其唯一元素表示为ph（x，Ca），称为持有者可接受价格。请注意，如果ph（x，Ca）定义良好，则它等于bpf、r、h（x，Ca）。以下引理是定义2.7的简单结果。引理2.8。（i）如果（p，ψ，τ）满足（BE′），则它们满足（SH′）。（ii）如果（p，ψ，τ）满足（SH′）和（NA′），则它们满足（BE′）。（iii）如果（p，ψ，τ）不满足（SH′），则它们满足（NA′）。我们从引理2.8推断Hs，h（x） Hr，h（x） Hf，r，h（x）=Hr，h（x）∩ Hf，h（x）和us，根据（11），我们有pf，h=ps，h≥ pr，h≥ pf，r，h.（12）2.2上的提案。（i）如果Hf、r、h（x）6=, 然后是一个单件，持有人的可接受价格ph=ph（x，Ca）满意度- ∞ < ph=pf，h=bpr，h=bps，h<+∞. （13）（ii）如果Hr，h（x）6=, 然后-∞ <pr，h≤ pf，h=ps，h.（iii）如果Hr，h（x）=, 然后-∞ =pr，h≤ pf，h=ps，h.证明。很明显，Hf，r，h（x） Hf，h（x），因此如果Hf，r，h（x）6=, thenpf，r，h<+∞ andpf、r、h≥ pf，h。此外，集Hs，h（x）和Hr，h（x）是非空的，因此我们从（12）中推断-∞ < pf，h=pr，h=pf，r，h=ps，h<∞. 来自夹杂物Hf、r、h（x） Hf，h（x）和质量inf Hf，h（x）=pf，h=pf，r，h=sup Hf，r，h（x），我们可以看到，对于任意的p，p∈ Hf、r、h（x）和p∈ Hf，h（x）我们有p=p≤ 因此，Hf，r，h（x）是一个单子，其唯一元素小于Hf，h（x）的任何元素。因此，pf、hand phare定义良好，满足-∞ < ph=pf，h<+∞.

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nandehutu2022

2022-6-14 01:07:32

此外，Hf，r，h（x） Hr，h（x），因此等式ph=pr，himpliestthat bpr，hexsists，与ph一致。我们得出结论（13）是有效的。鉴于（12），陈述（ii）和（iii）的证明很简单。3通过反映BSDE的单边定价本节的目标是重新审查和扩展BSDE方法，以评估非线性市场中的美国期权，这是Dumitrescu等人在论文中提出的。我们的主要目标是表明，美式合同的单边可接受价格可以通过美式期权的非线性定价来表征。13受多维连续半鞅S驱动的反映BSDE的解的条款。在本节中，我们假设财富过程V=V（y，Д，a）满足远期方程V=y-Ztg（u，Vu，ξu）du+ZtξudSu+At，（14）其中y∈ R表示给定交易策略ξ在时间0时的初始财富（回想一下，a=0）。通过应用引理3.1，其中y=x+p<x+p′=y，f=f=g，z=ξ，很容易验证当财富过程的动力学由SDE（14）给出，并且由初始值y和过程ξ唯一指定时（例如，当g=g（t，v，z）相对于v是ipschitz连续时），满足假设2.2。3.1财富过程的动力学让我们首先更明确地描述非线性交易机制的主要特征，其中包括（14）中给出的财富动力学。我们首先介绍交易资产的符号，即现金账户、风险资产和与风险资产相关的融资账户。然而，应该强调的是，我们的进一步发展将不取决于初级资产和交易安排的特定模型的选择，因此我们的总体结果能够涵盖广泛的市场模型。设S=（S。

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nandehutu2022

2022-6-14 01:07:35

，Sd）代表一系列d风险资产的价格集合，其中流程，S是连续半鞅。有限变化的连续过程，表示为B0、土地B0、b，分别代表借贷无担保现金账户。每个j=1，2，d、我们用Bj、l（分别为Bj、b）表示与第i项风险资产相关的贷款（分别为借款）资金账户，并假设为连续过程的有限变化。这些账户的财务解释因情况而异（有关更多详细信息，请参见[5，6]）。让我们用B表示交易者可用的所有现金和资金账户的集合。为便于表述，我们坚持我们的假设，即发行人和持有人具有相同的市场条件，但很明显，这一假设与我们的进一步发展无关，因此可以轻松放宽。交易策略是一种R3d+2值、G适应过程（ξ，…，ξd；ψ0，l，ψ0，b，…，ψd，l，ψd，b），其中各成分代表风险资产Sj中的所有未平仓，j=1，2，d、现金账户B0，l，B0，b和资金账户SBJ，l，Bj，b，j=1，2，d风险资产。定义3.1。我们说，交易策略（y，Д）是为CAA自我融资，我们写道∈ψ（y，A）如果财富过程V（y，Д，A），由vt（y，Д，A）给出）=dXj=1ξjtSjt+dXj=0ψj，ltBj，lt+dXj=0ψj，btBj，bt，saties，对于每t∈ [0，T]，Vt（y，ν，A）=y+dXj=1ZtξjudSju+dXj=0Ztψj，ludBj，lu+dXj=0Ztψj，budBj，bu+At，受施加在Д组件上的额外约束。特别地，我们假设ψj，lt≥ 0，ψj，bt≤ 0和ψj，ltψj，bt=0，对于所有j=0，1。

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nandehutu2022

2022-6-14 01:07:38

、d和t∈ [0，T]。由于额外的交易约束取决于特定的交易机制，已知初始值y和过程ξ的选择唯一地指定了自我融资策略的财富过程∈ ψ（y，A）。此外，还需要引入某种形式的交易策略的可接受性，并假设市场模型M=（B，S，ψ（A）），其中类ψ（A）=∪y∈在适当的意义上，所有可接受的交易策略中的Rψ（y，A）都是无套利的，例如，市场模型M可以被假定为规则的，在Bielecki等人的意义上。14 E.Kim、T.Nie和M.Rutkowski由于非线性市场的无套利特征在El Karoui和Quenez【18】以及最近的Bielecki等人【5、6】中进行了研究，我们在此不详细阐述这个问题，我们请感兴趣的读者参考这些作品。需要注意的是，由于交易限制、不同的融资成本以及一些额外的调整过程（定义3.1中未明确说明），财富过程的动态通常是非线性的。我们请读者阅读Bielecki等人[5、6]关于交易策略自我融资属性的更全面版本（例如，参见[6]中的定义4.5或[5]中的定义2.2），以及Nie和Rutkowski[38、39、40、41]关于具有交易约束和调整（尤其是合同抵押）的非线性模型的明确示例。我们只观察到，每一种特殊的交易安排都会在财富的动态（14）中产生一个明确的映射g，这有时相当复杂，但同时通常相当有规律。下面的基本引理解决了（14）驱动的富裕过程的（严格）单调性问题。

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大多数88

2022-6-14 01:07:41

注意，由于假设过程z在Lemma 3.1的陈述中给出，我们可以将SDE（15）解释为一个确定性积分方程，它几乎包含所有ω∈ Ohm.引理3。1、让gj：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ R、 j=1，2为P B（R） B（Rd）/B（R）-可测量。考虑j=1、2vjt=yj的SDE-Ztgj（u，vju，zu）du+kjt+ZtzudSu+Ht，（15）其中z是Rd值、G-逐步可测随机过程，G-适应过程k=k-k=0的kis非减量，S是Rd值半鞅，H是c\'ad l\'ag，G-适应过程。假设（15）对于j=1，2有一个唯一的解决方案。如果g（t、vt、zt）≤ g（t，vt，zt），dtdPa。e、和y≥ y（分别为y>y），然后是vt≥ 所有t的vt（分别为vt>vt）∈ [0，T]。证据如果我们设置“vt：=vt”- VT适用于所有t∈ [0，T]，则很容易看到“v”满足“vt=y”- y+Ztg（u、vu、zu）- g（u、vu、zu）du+kt=y- y+Ztλu'vu+g（u，vu，zu）- g（u、vu、zu）du+kt，其中λu：=g（u、vu、zu）- g（u、vu、zu）（(R)vu）-1{vu6=vu}。重击e-Rtλudu？vt= e-Rtλudu（g（t、vt、zt）- g（t，vt，zt））dt+dkt.在从0到t对两侧进行积分后，注意到过程k=k- kis不减损和e-Rtλudu>0，我们得到了不等式vt≥ (R)垂直λudu+垂直λudug（s、vs、zs）- g（s、vs、zs）从中可以得出引理的断言。3.2非线性评估的比较性质我们自此假设财富过程V=V（y，Д，A）受SDE（14）控制，其中ξ=（ξ，…，ξd）已给出，且映射满足一些附加假设。这将使我们能够参考大量关于BSDE理论的现有文献，尤其是利用反射BSDE与非线性最优停车问题解决方案之间的联系（例如，见Cvitani\'c和Karatzas【9】、Dumitrescu等人【10】、El Karoui等人【15】、Grigorova和Quenez【22】、Grigorova等人【20、21】、Quenez和Sulem【45】）。

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kedemingshi

2022-6-14 01:07:44

本节的目标是研究美式期权的非线性定价15在财富动态由（14）驱动的特殊情况下，美式合约的估值和对冲。为了保持我们的表述简洁，并包含几个可选的非线性市场模型，我们将直接假设相关的BSDE具有理想的特性，例如：BSDE解的存在性、唯一性和严格比较特性，已知这些特性在各种情况下都成立。如前所述，Dumitrescu等人在最近的一篇论文中研究了（14）中给出的amarket模型的一个特定实例。我们将使用与解决方案toBSDEs生成的非线性评估相关的标准术语（例如，见Peng【42】第3章或Peng【43】第4节）。考虑以下BSDEon[0，s]Yt=ζs+Zstg（u，Yu，Zu）du-ZstZudMu- （Hs- Ht），（16），其中ζs∈ L（Gs），M是d维鞅，过程H是实值且G适应的，生成器G：Ohm ×【0，T】×R×Rd→ R是P B（R） B（Rd）/B（R）-可测量，其中Pis是可预测集的σ场Ohm ×[0，T]。假设BSDE（16）在适当的随机过程空间中具有唯一解（Y，Z）（参见，例如，[7，39]）。对于每0≤ t型≤ s≤ T和ζs∈ L（Gs），我们表示Eg，Ht，s（ζs）=yt，其中（Y，Z）用Ys=ζs求解BSDE（16）。然后算子系统Eg，Ht，s:L（Gs）→ L（Gt）称为Eg，H-评估。值得注意的是，确定性日期t≤ BSDE（16）中出现的s可替换为任意G-停止时间τ≤ σ来自T，因此，Eg，H-评估的概念可以扩展到停止时间Eg，Hτ，σ：L（Gσ）→ L（Gτ）。（严格）比较性质的概念在BSDE理论和非线性评估中非常重要。定义3.2。

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mingdashike22

2022-6-14 01:07:47

我们说，对于每个停止时间τ，Eg，Hholds if的比较性质∈ T和随机变量ζτ，ζτ∈ L（Gτ），以下性质有效：如果ζτ≥ ζτthenEg，H0，τ（ζτ）≥ Eg，H0，τ（ζτ）。我们说，对于每个τ，Eg，Hholds-if的严格比较性质∈ Tandζτ，ζτ∈ L（Gτ）ifζτ≥ ζτ和ζτ6=ζτ，然后Eg，H0，τ（ζτ）>Eg，H0，τ（ζτ）。鉴于其财务解释，非线性评估Eg，aaS与BSDEYt=ζs+Zstg（u，Yu，Zu）du相关-ZstZudSu- （作为- At）（17）从此用Eg表示，并称为发行人的g评估。在第3.3节中，我们讨论了发行人的定价问题，并在以下长期假设下工作。假设3.1。我们假设：（i）财富过程V=交易策略的V（y，ν，A）∈ ψ（y，A）满足（14），（ii）任何固定y∈ R和任何过程ξ，使得（14）中的随机积分得到很好的定义，SDE（14）具有唯一的强解，（iii）财富V（y，ν，a）的严格单调性（见假设2.2），（iv）对于每个（s，ζs）∈ [0，T]×L（Gs）BSDE（17）在[0，s]上有唯一的解（Y，Z）。请注意，在第3.5节中，我们研究了持有人的定价问题，我们将使用假设3.1的修改版本，其中流程a替换为-A、备注3.1。鉴于引理3.1和假设3.1中的条件（ii），假设3.1中的条件（iii）没有限制性，因为它对每个生成器g都是满足的。对于明确假设，确保BSDE（17），其中S是一个多维、连续、平方可积的，具有可预测的表示性质，具有唯一的解决方案和发行人g-评估的严格比较特性，例如，iholds，见Nie和Rutkowski[39]中的定理3.2和3.3。16 E.Kim、T.Nie和M。

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kedemingshi

2022-6-14 01:07:50

Rutkowski3.3发行人通过RBSDEWe的可接受价格，用X表示：=Vb（X）- xh是发行人的相对报酬，我们假设过程X是平方可积的。然后，根据假设3.1（iv），[0，T]Yt上的以下BSDE=XT+ZTtg（u，Yu，Zu）du-ZTtZudSu- （位于- At）（18）在适当的随机过程空间中具有唯一解（Y，Z）。为了研究美国合同Ca发行人的定价问题，我们做出以下假设（参见定义2.4 inQuenez和Sulem[45]）。假设3.2。下部障碍物X的反射BSDE（dYt=-g（t，Yt，Zt）dt+ZtdSt+dAt- dKt，YT=XT，YT≥ Xt，RT（Yt- Xt）dKct=0，Kdt=-（年初至今）- At）1{Yt-=Xt公司-},（19）有一个唯一的解（Y，Z，K），其中K是一个G-可预测的，c\'adl\'ag，非减量过程，因此K=0和K=Kc+kd是其唯一分解为连续和跳跃分量。El Karoui等人【16，15】在开创性论文中引入了反映BSDE，并将其应用于最优止损问题的解决方案和美式期权定价。随后，研究各种框架的几位作者对这些框架进行了研究，其中包括：Aazizi和Oukinine【1】、Baadi和Oukinine【2】、Cr’epey和Matoussi【8】、Essaky【19】、Hamad’ene【23】、Hamad’ene和Oukinine【24】、Grigorova等人【20、21】、Klimsiak【32、33】、Klimsiak等人【35】和Quenez和Sulem【45】。他们已经表明，假设3.2在我们感兴趣的许多情况下都是符合的，但是，由于篇幅的限制，我们不打算在这里引用任何特定的结果。值得强调的是，我们故意不指定在其中搜索组件Y和Z的随机过程的特定空间，因为我们的进一步结果不依赖于这些空间的选择。

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