在最后一列中，我们给出了经调整的回归R平方。模拟值影响（见图9b），而线性模型无法再现非线性（见图9a），正如我们在第3.4节中观察到的完整数据集。这再次表明，非线性函数f（x）的不同规格可能更适合（例如脚注8中的fu（x），其中u为资产规格）。如第3.4节所述，我们现在一起分析趋势和价值。比较表1和表2，我们注意到，具有基础主义者非线性需求的模型给出了更高的调整后R平方。这进一步证明，我们的扩展模型能够更好地解释价格动态。与模型的线性版本类似，当我们控制价值时（即，当我们将其调节为P=V），大信号的趋势效应反转会演变为饱和，而对于小价格扭曲，趋势控制的价值效应会变得更强。结果图与图5a和5b非常相似，因此此处不重复。5错误定价的分布前面章节中研究的线性和非线性模型都承认价格扭曲（或错误定价）δt=Pt的平稳分布- Vt（记住P和V都是对数）。在这一节中，我们希望在真实数据和模拟中进一步研究这种平稳分布的特性。特别令人感兴趣的是（i）这种分布的方差，这给了我们一个独立的-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4米-0.10-0.050.000.050.10返回数据模拟（a）趋势影响-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4伏-P-10-50510returndatasimulation（b）值影响图8：左图：真实数据和校准模型模拟的趋势信号MTlog回归。

右图：回归值信号V上的日志返回- P表示realdata（模型中包含V），并使用相同的模型进行模拟。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4伏-P-0.75-0.50-0.250.000.250.500.75返回数据模拟（a）κ=0-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4伏-P-4.-2024returndatasimulation（b）κ6=0图9：马指数在值信号V上的对数回归- P表示真实数据（模型中隐含的V），并使用具有原教旨主义者线性需求的模型（左图）和具有原教旨主义者非线性需求的模型（右图）进行模拟。错误定价的典型幅度的阳离子和（ii）分布的形状（单峰与双峰）。Black（1986）推测“价格超过价值的一半，低于twicevalue”。Bouchaud等人（2017）最近根据经验证实了这一猜测。在图10中，我们绘制了美国和加拿大股票指数的对数价格扭曲的时间序列。由于失真为自然对数标度，y轴上的值0.5对应于错误定价率e0.5=1.65。我们发现181618561896193619762016-1-0.75-0.50-0.250.000.250.500.75畸变（κ3=0）畸变（κ3≠ 0)19201940196019802000-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.8畸变（κ3=0）畸变（κ3≠ 0）图10：对于本文考虑的两种模型（线性和非线性），美国股票指数（左）和加拿大股票指数（右）的对数价格扭曲时间序列。请注意，如前一节所述，非线性模型的错误定价较小。所有资产平均的线性模型（3.7）所隐含的价格扭曲方差等于0.233，对应于0.5的均方根扭曲，正如Bouchaud等人（2017）所报告的那样。

非线性模型（4.2）导致0.215的微小方差，正如前一节讨论所预期的那样。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4025050075010001250150017502000-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 4020040060080010001200140016000图11：所有资产平均价格扭曲的模型隐含直方图。左：linearmodel（3.3）；右：非线性模型（4.1）。在图11中，我们绘制了使用本文考虑的两个模型获得的所有资产的平均价格扭曲直方图。我们可以看到，它们都是单峰形状。这意味着市场价格最有可能接近资产的基本价值，尽管分散程度很大，如图所示。然而，当限制某些资产时，如美国股票指数或加拿大股票指数，我们观察到双峰的迹象（见图12）。这是一个多么有趣的观察结果，因为它表明市场最可能的状态是定价过高或过低。Schmitt和Westerhoff（2017）最近也报道了这一点。我们通过applyingSilverman（1981）检验，在统计上证实了错误定价分布的双峰性。检验的无效假设是，所调查的分布最多有k个模式，其中k是检验的一个参数。该检验拒绝了美国股指错定价分布最多有一种模式（p值为1.5%）的完全假设，而不能拒绝分布最多有两种模式的零假设（p值为60.4%）。对于加拿大股票指数的错误定价分布，我们得到了类似的结果——对于最多一种模式的无效假设，p值等于0.1%，对于最多两种模式的无效假设，p值等于90.6%。

因此，在5%的显著水平上，我们拒绝图12所示的两种心理分布都有一种模式的假设，我们也不能拒绝它们最多有两种模式的假设，这表明美国和加拿大指数的错误定价分布是双峰的。-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6020406080100120140-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.60102034050图12：美国股指（左）和加拿大股指（右）的价格扭曲直方图，使用非线性模型（4.1）。注意，（3.3）或（4.1）所描述的随机动力系统在参数空间中发生了唯象分岔（P-分岔），这意味着定价错误的平稳分布从单峰到双峰发生了质的变化。由于与这些系统相关的福克-普朗克方程没有已知的解，因此必须使用近似方法来确定发生分岔的参数集。Chiarella et al.（2008）和Chiarella et al.（2011）的分析结果是P分叉的以下条件：我们采用了R包silvermantest，这是Silverman（1981）测试的一种实施，考虑了Hall和York（2001）建议的修改，以防止其过于保守。当α+κ-αγβ<0（δt，Mt）的稳态分布呈环形，否则为单峰。观察其与确定性情况下存在极限循环的条件相同（见第3.2节）。二维系统的弹坑形状分布对应于定价错误的双峰分布。在图13中，我们绘制了两个模型的模拟价格扭曲分布直方图。自α+κ- αγβ>0对于所有资产，我们观察到模型（3.3）的单峰分布。

对于模型（4.1），由于κ为负值，我们观察到双峰分布。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 40500010000150002000025000300003500040000-3.-2.-1 0 1 2 305000100001200025000图13：价格扭曲的模拟直方图。左图对应模型（3.3），右图对应模型（4.1）。我们使用表3和表5中的参数。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 405001000150020002500-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 40255075100125150175-3.-2.-1 0 1 2 3 40102003040506070图14：现货价格的趋势信号分布。左侧：所有资产；中间：1900年以来的美国指数；右边是加拿大指数。然而，请注意，对于模型的基本版本（3.3），错误定价的双峰性总是与趋势信号的双峰性同时存在（见Chiarella et al.（2008）和Chiarella et al.（2011））。数据中未观察到这两种双峰的共存-见图14。扩展模型（4.1）没有这一点。模型（4.1）的相图更丰富，尚未对其进行分析研究。显然，如果κ<0且κ>0，则错误定价的平稳分布是双峰的，见Bouchaud et al.（2018），第20章。-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.060500010000150002000025000-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.60200040006000800010000120001400016000图15：模型（4.2）的模拟趋势信号（左）和价格失真（右）直方图，参数：κ=0.0，κ=0.4，β=0.03，γ=50.0，σN=0.04，σV=0.02，g=0.001，V=5.0。限制当κ<0和κ>0时（如图13的右面板），可以清楚地发现畸变的双峰分布和趋势的单峰分布。但即使κ和κ均为非负，我们也可以获得价格畸变的双峰分布和趋势信号的单峰分布（见图15）。

这是选择具有原教旨主义者非线性需求的模式的另一个原因。6结论在本文中，我们从基于异构代理的模型的角度重新考虑了金融市场中趋势和价值异常共存的问题。该领域已经相当古老，尤其是Chiarella（1992）和Lux和Marchesi（1999）的开创性论文。我们的主要贡献是对四种资产类别（股票指数、商品、外汇利率和政府债券）的广义奇亚雷拉模型进行了估计。特别是，我们的校准程序允许我们估算不同资产的（不可观察的）基本价值，而无需依赖外部经济定价模型。换句话说，市场价格振荡的参考点是校准的输出。我们的扩展Chiarella模型有两种版本：一种是原教旨主义者的需求函数在错误定价中是线性的，另一种是考虑非线性（立方）修正。我们发现，虽然捕获了价格动态的大部分现象学，但线性模型在几个（相关）方面失败了：i）线性模型在校准后不是自洽的，因为它是基本需求的明显非线性；ii）从线性模型中提取的基本值似乎与市场价格的跟踪不够紧密，非线性需求部分纠正了这种差异（尽管错误定价的方差仍然很大，并且与Black因子2兼容）；iii）Schmitt和Westerhoff（2017）最近指出，某些资产的错误定价分布是双峰的，而趋势信号的分布仍然是单峰的。这一特征不可能在线性模型中再现，但可以在非线性模型中容纳。

对于原教旨主义者的需求函数中是否存在非线性，我们给出了几个看似合理、直观的论点，这导致了价格扭曲分布的双峰性。如果得到独立研究的证实，这种双峰现象将是有效市场假说失败的一个显著污点，因为最有可能的情况是资产长期被市场高估或低估。提出的模型直观地解释了Bouchaud等人（2017）观察到的趋势效应非单调形状的产生机制。当我们控制价值的趋势效应（即，我们将价格扭曲设定为零）时，趋势效应的均值回复消失。对这一结果的解释是，大趋势信号与大错误定价密切相关，这加强了原教旨主义者的活动，他们通过采取与趋势相反的立场来消灭趋势追随者的利益。我们论文的另一个值得注意的方面涉及估算程序，该程序在ABM文献中只是缓慢地得到关注（其他近期贡献见Lux（2017）和Bertschingeretal.（2018））。事实上，虽然EM算法完全适合于校准线性模型，但我们提倡使用UncentedKalman滤波器来估计其非线性版本。有几个后续研究问题值得研究。一是将目前的分析扩展到单个股票，对于这些股票，其动态性甚至更为复杂；特别是，众所周知，在趋势跟踪效应开始之前，会发生一些短期平均值逆转。

第二是扩展Chiarellamodel，以说明不同代理群体（趋势追随者、原教旨主义者、噪音交易者）相对权重的时间演变，这可能是由这些策略的相对表现驱动的，这在很大程度上符合Lux（1998）的精神；Lux和Marchesi（1999）；Giardina和Bouchaud（2003年）。最后，调查原教旨主义者需求的非线性的不同函数形状（参见脚注8），并检查我们的结论在不同规范方面的稳健性，这将是一件有趣的事情。从非常实用的角度来看，我们的估算方法提供了一个通用而有效的程序，从价格时间序列中提取金融资产的基本价值。我们确认Bouchaud等人（2017）的观察结果，即通用趋势跟踪策略应辅以基于价格的通用价值策略，以获得最佳投资结果。此外，我们强调在构建这种组合策略时，控制趋势和价格扭曲中的高阶项的重要性。参考Andrei，D.，Cujean，J.，2017年。信息渗透、动量和反转。《金融经济学杂志》123（3），617–645。Asness，C.S.，Moskowitz，T.J.，Pedersen，L.H.，2013年。价值和动力无处不在。《金融杂志》68（3），929–985。Barberis，N.，Shleifer，A.，Vishny，R.，1998年。投资者情绪模型。《金融经济学杂志》49（3），307–343。Barde，S.，2016年。金融市场中基于代理的羊群效应模型的直接比较。《经济动态与控制杂志》73329–353。Barroso，P.，Edelen，R.M.，Karehnke，P.，2017年。拥挤和动量矩。技术代表，工作文件。Baum，L.E.，Petrie，T.，Soules，G.，Weiss，N.，1970年。

马尔可夫链概率函数统计分析中的一种最大化技术。《数理统计年鉴》41（1），164–171。Beja，A.，Goldman，M.B.，1980年。论非均衡价格的动态行为。《金融杂志》35（2），235–248。Bem，D.J.，1965年。自我说服的实验分析。实验社会心理学杂志1（3），199–218。Bertschinger，N.，Mozzhorin，I.，Sinha，S.，2018年。经济物理学的现实检验：基于可能性的物理启发市场模型与经验数据的拟合。arXiv预印本arXiv:1803.03861。布莱克，F.，1986年。噪音《金融杂志》41（3），528–543。Boswijk，H.P.，Hommes，C.H.，Manzan，S.，2007年。股票价格的行为异质性。《经济动力与控制杂志》第31（6）期，1938-1970年。Bouchaud，J.-P.，Bonart，J.，Donier，J.，Gould，M.，2018年。交易、报价和价格：显微镜下的金融市场。剑桥大学出版社。Bouchaud，J.-P.，Ciliberti，S.，Lemperiere，Y.，Majewski，A.，Seager，P.，Sin Ronia，K.，2017年。布莱克是对的：价格在价值的2倍以内。Bouchaud，J.-P.，Cont，R.，1998年。朗之万应对股市波动和崩盘的方法。欧洲物理杂志B-凝聚态物质和复合系统6（4），543–550。布罗克，W.A.，霍姆斯，C.H.，1997年。通向随机性的合理途径。《计量经济学》，1059–1095。布罗克，W.A.，霍姆斯，C.H.，1998年。简单资产定价模型中的异质信念和混沌路径。《经济动力与控制杂志》22（8-9），1235-1274。坎贝尔，J.Y.，希勒，R.J.，1988年。股票价格、收益和预期股息。《金融杂志》43（3），661–676。Carhart，M.M.，1997年。共同基金业绩的持续性。《金融杂志》52（1），57–82。Challet，D.，Marsili，M.，Zhang，Y.-C.，2013年。少数群体博弈：金融市场中的互动主体。OUP目录。Chen，C-F.，1981年。

EM方法通过对潜在变量的估计来建立多指标多原因模型。《美国统计协会杂志》76（375），704–708。Chiarella，C.，1992年。投机行为的动态。运营年鉴研究37（1），101–123。Chiarella，C.、Dieci，R.、Gardini，L.，2002年。投机行为和复杂资产价格动态：全球分析。《经济行为与组织杂志》49（2），173–197。Chiarella，C.、Dieci，R.、Gardini，L.，2006年。具有异质代理人的金融市场中的资产价格和财富动态。《经济动力学与控制杂志》30（9-10），1755-1786年。Chiarella，C.，Dieci，R.，He，X.，2009年。异质性、市场机制和资产价格动态。金融市场手册：动态和演变。Chiarella，C.，He，X.，2001年。异质预期下的资产价格和财富动态。定量金融1（5），509–526。Chiarella，C.、He，X.-Z.、Wang，D.、Zheng，M.，2008年。投机金融市场的随机分岔行为。物理学A：统计力学及其应用387（15），3837–3846。Chiarella，C.，He，X-Z.，Zheng，M.，2011年。对异质代理金融市场模型中噪声影响的分析。《经济动力与控制杂志》35（1），148–162。Chiarella，C.，He，X.-Z.，Zwinkels，R.C.，2014年。资产定价中的异质预期：来自标准普尔500指数的经验证据。《经济行为与组织杂志》105，1-16。Daniel，K.，Hirshleifer，D.，Subrahmanyam，A.，1998年。投资者心理与证券市场反应不足和过度。《金融杂志》53（6），1839-1885年。Dao，T.、Nguyen，T.、Deremble，C.、Lempériere，Y.、Bouchaud，J.、Potters，M.，2017年。多头投资者的尾部保护：趋势凸性在起作用。《投资策略杂志》7（1），61–84。De Bondt，W.F.，Thaler，R.，1985年。

股市是否反应过度？《金融杂志》40（3），793–805。De Long，J.B.，Shleifer，A.，Summers，L.H.，Waldmann，R.J.，1990年。金融市场中的噪音交易风险。《政治经济学杂志》98（4），703–738。Dempster，A.P.，Laird，N.M.，Rubin，D.B.，1977年。通过EM算法获得不完整数据的最大可能性。皇家统计学会杂志。系列B（方法学），1-38。Dieci，R.，He，X.-Z.，2018年。金融中的异构代理模型。In：Cars Hommesand Blake LeBaron（编辑），《计算经济学手册》。第4卷。Elsevier，第257-328页。Durbin，J.，Koopman，S.J.，2012年。利用状态空间方法进行时间序列分析。第38卷。牛津大学出版社。爱德华，W.，1968年。人类信息处理中的保守主义。摘自：Kleinmutz，B.（编辑），《人类判断的形式表征》。约翰·威利父子公司，纽约。Fama，E.F.，French，K.R.，1992年。预期股票回报的横截面。《金融杂志》47（2），427–465。Fama，E.F.，French，K.R.，2012年。国际股票回报的规模、价值和势头。《金融经济学杂志》105（3），457–472。Fama，E.F.，French，K.R.，2016年。用五因素模型剖析异常。《金融研究回顾》29（1），69–103。Franke，R.，Westerhoff，F.，2011年。资产定价的结构随机波动率模型的估计。计算经济学38（1），53–83。Franke，R.，Westerho ff，F.，2016年。为什么一个简单的羊群模型可以产生每日收益的类型化事实：解释和估计。《经济互动与协调杂志》11（1），1–34。Ghonghadze，J.，Lux，T.，2016年。将基于代理的基本模型引入数据：通过GMM进行估计，并将其应用于资产价格波动预测。《实证金融杂志》37，1–19。Giardina，I.，Bouchaud，J.-P.，2003年。基于代理的市场模型中的泡沫、崩溃和间歇性。

欧洲物理杂志B-凝聚态物质和复合系统31（3），421–437。Gordon，M.J.，1962年。公司的投资、融资和估值。伊利诺伊州Homewood：Richard D.Irwin，股份有限公司Graham，B.，Dodd，D.L.，1934年。安全性分析。麦格劳·希尔公司，纽约。Griffin，J.M.，Ji，X.，Martin，J.S.，2003年。动量投资和商业周期风险：两极之间的证据。《金融杂志》58（6），2515–2547。霍尔，P.，约克，M.，2001年。关于Silverman多模态检验的校准。中国统计局，515–536。Hommes，C.，LeBaron，B.（编辑），2018年。异构代理建模。计算经济学手册。爱思唯尔科学。霍姆斯，C.H.，2006年。经济学和金融学中的异构代理模型。计算经济学手册2，1109–1186。Hong，H.，Stein，J.C.，1999年。资产市场反应不足、动量交易和过度反应的统一理论。《金融杂志》54（6），2143–2184。Ide，K.，Sornette，D.，2002年。金融、人口和破裂中的振荡有限时间奇点。Physica A：统计力学及其应用307（1-2），63–106。Jegadeesh，N.，1990年。证券回报可预测行为的证据。《金融杂志》45（3），881–898。Jegadeesh，N.，Titman，S.，1993年。买入赢家和卖出输家的回报：对股市效率的影响。《金融杂志》48（1），65–91。Julier，S.J.，Uhlmann，J.K.，1997年。卡尔曼滤波器对非线性系统的新扩展。In：信号处理、传感器融合和目标识别VI.第3068卷。国际光学与光子学学会，第182-194页。Kahneman，D.，2011年。快速和缓慢地思考。企鹅Kahneman，D.，Tversky，A.，1973年。关于预测心理学。《心理学评论》80（4），237。Kalman，R.E.，1960年。

线性滤波和预测问题的新方法。《基础工程杂志》82（1），35–45。Kokkala，J.，Solin，A.，S"arkk"a，S.，2014年。基于期望最大化的sigma点参数估计和粒子平滑。2014年第17届信息融合国际会议。IEEE，第1-8页。Kokkala，J.，Solin，A.，S"arkk"a，S.，2015年。非线性动态系统中基于Sigma点滤波和平滑的参数估计。提交给《信息融合进展杂志》。Kyle，A.S.，1985年。持续的拍卖和内幕交易。《计量经济学：计量经济学学会期刊》，1315–1335。Lakonishok，J.，Shleifer，A.，Vishny，R.W.，1994年。反向投资、外推和风险。《金融杂志》49（5），1541–1578。Lamperti，F.、Roventini，A.、Sani，A.，2017年。使用机器学习代理进行基于代理的模型校准。arXiv预印本arXiv:1803.03861。Landier，A.，Ma，Y.，Thesmar，D.，2017年。关于预期形成的新实验证据。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=3046955.LeBaron，B.，2006年。基于代理的计算金融。计算经济学手册21187–1233。LeBaron，B.，Arthur，W.B.，Palmer，R.，1999年。艺术股票市场的时间序列特性。《经济动力与控制杂志》23（9-10），1487-1516。莱曼，B.N.，1990年。时尚、鞅和市场效率。《经济学季刊》105（1），1–28。Lempérière，Y.，Deremble，C.，Nguyen，T.-T.，Seager，P.，Potters，M.，Bouchaud，J.-P.，2017年。风险溢价：不对称尾部风险和超额回报。QuantitativeFinance 17（1），1–14。Lempérière，Y.、Deremble，C.、Seager，P.、Potters，M.、Bouchaud，J.-P.，2014年。两个世纪的趋势跟踪。风险3（3），41–61。Liu，L.X.，Zhang，L.，2008年。动量利润、要素定价和宏观经济风险。《金融研究评论》21（6），2417–2448。Lux，T.，1998年。

投机市场的社会经济动态：互动因素、混乱和收益分布的厚尾。《经济行为与组织杂志》33（2），143–165。Lux，T.，2017年。使用顺序蒙特卡罗方法估计基于代理的模型。技术代表，《经济学工作文件》。Lux，T.，Marchesi，M.，1999年。金融市场随机多代理模型中的标度和临界性。《自然》397（6719），498。Moskowitz，T.J.，Ooi，Y.H.，Pedersen，L.H.，2012年。时间序列动量。《金融经济学杂志》104（2），228–250。Pástor，L.，Stambaugh，R.F.，2003年。流动性风险和预期股票回报。《政治经济学杂志》111（3），642–685。Rosenberg，B.、Reid，K.、Lanstein，R.，1985年。市场效率的有说服力的证据。《投资组合管理杂志》11（3），9–16。Roweis，S.，Ghahramani，Z.，2001年。使用期望-最大化算法学习非线性动力系统。西蒙·海金编辑的《卡尔曼滤波和神经网络》一书中的章节，175–220。Sadka，R.，2006年。动量和收益公布后漂移异常：流动性风险的作用。《金融经济学杂志》80（2），309–349。S"arkk"a，S.，2013年。贝叶斯滤波和平滑。第3卷。剑桥大学出版社。Schmitt，N.，Westerhoff，F.，2017年。关于标准普尔500指数畸变分布的双峰性：经验证据和理论解释。《经济动力与控制杂志》80，34–53。Shiller，R.J.，1980年。股价是否波动过大，以至于无法通过随后的股息变化来调整？马萨诸塞州剑桥市国家经济研究局。，美国Shiller，R.J.，1987年。1987年10月股市崩盘中的投资者行为：调查证据。NBER第2446号工作文件，1987年11月，发表于Shiller，R.J.，市场波动性，麻省理工学院出版社，剑桥，198，第23章。Shiller，R.J.，2000年。非理性繁荣。

普林斯顿大学出版社。Shumway，R.H.，Stoffer，D.S.，1982年。一种使用EM算法进行时间序列平滑和预测的方法。时间序列分析杂志3（4），253–264。Silverman，B.W.，1981年。使用核密度估计来研究多模态。皇家统计学会杂志。系列B（方法学），97–99。萨默斯，L.H.，1986年。股票市场是否理性地反映了基本价值？《金融杂志》41（3），591–601。Thaler，R.H.（编辑），1993年。行为金融学进展。拉塞尔·萨奇基金会。Thaler，R.H.（编辑），2005年。行为金融学进展。第2卷。普林斯顿大学出版社。Tversky，A.，Kahneman，D.，1974年。不确定性下的判断：启发式和偏见。《科学》185（4157），1124–1131。Vayanos，D.，Woolley，P.，2013年。动量和反转的制度理论。《金融研究评论》26（5），1087–1145。Wyart，M.，Bouchaud，J.-P.，2007年。金融市场中的自我参照行为、过度反应和惯例。

《经济行为与组织杂志》63（1），1–24。A估算结果κβγσNσVg vLUS 0.015 0.015 36.7 0.043 0.018 0.0011 4.42 4596.4UK 0.015 0.015 40.9 0.036 0.018 0.0013 6.85 4920.7AU 0.015 0.015 40.8 0.039 0.018 0.0016 5.97 3053.9CH 0.015 0.015 32.6 0.044 0.018 0.0019 3.89 2037.9JP 0.015 0.015 0.015 25.1 0.059 0.018 0.0029 7.24 1611.7CA 0.015 0.015 34.5 0.045 0.018 0.0017 7.48 2011.1DE 0.015 0.015 32.2 0.044 0.018 0.0023 30.59 2481.2SUGAR0.094 0.020 24.1 0.074 0.036-0.0007 6.43 2945.0角0.094 0.020 19.6 0.118 0.036-0.0008 2.75 1223.5L角0.094 0.020 33.7 0.062 0.036 0.0002 4.89 2363.3小麦0.094 0.020 23.3 0.092 0.036-0.0009 3.28 1856.6铜0.094 0.020 30.6 0.062 0.036-0.0004 7.47 3317.9NATGAS 0.094 0.020 14.8 0.182 0.036 0.0014 1.09 83.4原油0.094 0.020 14.1 0.109 0.036-0.0005 3.98 1011.6瑞士法郎0.017 0.005 49.50.034 0.010 0.0019-0.84 965.9JPYUSD 0.017 0.005 50.1 0.032 0.010 0.0022-1.07 998.5澳元0.017 0.005 54.2 0.033 0.010 0.0001-0.25 990.5GBP美元0.017 0.005 56.7 0.029 0.010-0.0005 0.68 1051.4CADUSD 0.017 0.005 96.6 0.019 0.010 0.0013-0.60 1251.7欧元0.019 7 0.005 51.1 0.032 0.010 0.0010-0.21 1005.8USBND 0.086 0.013 39.3 0.045 0.041-0.0006 1.43 1826.7UKBND 0.086 0.013 37.0 0.049 0.041-0.00152.01 1073.1CHBND 0.086 0.013 31.1 0.052 0.041-0.0017 1.63 1715.9JPBND 0.086 0.013 24.5 0.087 0.041-0.0075 2.20 419.8AUBND 0.086 0.013 38.5 0.044 0.041-0.0040 2.64 623.1CABND 0.086 0.013 47 0.036 0.041-0.0008 1 1.64 2103.8DEBND 0.086 0.013 35.1 0.046 0.041-0.0020 1.79 1251.7表3：模型估算结果（3.7）。预测对数似然L根据（B.22）计算。

原油代表原油，NATGAS代表亨利中心天然气，LCATTLE代表牲畜，缩写BND代表政府债券。κβσNσVg vUS 4.459505 11.625 29.887 4.326 2.680 28.941UK 4.459505 11.625 19.069 4.326 2.797 28.488AU 4.459505 11.625 15.048 4.326 3.343 19.358CH 4.459505 11.625 25.885 4.326 3.286 14.578JP 4.459505 11.625 24.601 4.326 3.547 18.005CA 4.459505 11.625 25.887 4.326 4.576 64.456DE 4.459505 11.625 29.294 4.326 2.949 88.349糖3.820824 4.379 30.009 7.957-1.732 32.308玉米3.820824 4.379 7.1877.957-2.359 5.760L煤3.820824 4.379 26.617 7.957 0.851 19.140小麦3.820824 4.379 34.577 7 7.957-2.326 15.100铜3.820824 4 4.379 21.711 7.957-0.624 31.440NATGAS 3.820824 4 4 4.379 15.185 7.957 0.816 10.706原油3.820824 4 4 4 4 4.379 23.448 7.957-0.665 7 7 7 7 7.889瑞士法郎3.749美元7808 3.489 25.357 1.164 1.893-3.930JPYUSD 3.747808 3.489 24.584 1.164 2.222-6.619AUD 3.747808 3.489 16.985 1.164 0.577-0.798英镑3.747808 3.489 22.620 1.164-0.398 4.177加元3.747808 3.489 15.658 1.164 0.531-1.336欧元3.747808 3.489 26.910 1.164 0.935-1.184美圆1.053739 1.212 19.007 2.115-0.650 14.424UKBND 1.053739 1.212 20.205 2.115-2.926 27.845CHBND 1.053739 1.4313 8 2.115-3.098 19.675JPBND 1.053739 1.212 12.280 2.115-3.321 11.560AUBND 1.053739 1.212 17.907 2.115-3.316 36.021CABND 1.0537391.212 23.731 2.115-1.517 23.660DEBND 1.053739 1.212 17.644 2.115-3.143 21.471表4：模型估计的T统计（3.7）。

原油代表原油，NATGAS代表亨利中心天然气，LCATTLE代表活牛，缩写BND代表政府债券。κκβγσNσVg v^LUS-0.011 0.269 0.018 36.7 0.042 0.018 0.0011 4.41 4616.8UK-0.011 0.269 0.018 40.9 0.034 0.018 0.0010 7.12 4932.8AU-0.011 0.269 0.018 40.8 0.031 0.018 0.0014 5.71 2987.9CH-0.011 0.269 0.018 32.6 0.043 0.018 0.0013 4 29 2019.6JP-0.011 0.269 0.018 25.1 0.057 0.018 0.0024 7.94 1605.6CA-0.011 0.269 0.018 34.5 0.045 0.018 0.0015 7.54 2016.6DE-0.011 0.269 0.018 32.2 0.0410.018 0.0023 31.03 2477.6糖-0.065 0.536 0.011 24.1 0.074 0.036-0.0013 6.69 2949.7玉米-0.065 0.536 0.011 19.6 0.105 0.036-0.0010 2.84 1425.1牛-0.065 0.536 0.011 33.7 0.061 0.036 0.0000 5.16 2385.7小麦-0.065 0.536 0.011 23 0.090 0.036-0.0012 3.17 1887.7铜-0.065 0.536 0.011 30.6 0.057 0.036-0.0003 7.05 3370.6NATGAS-0.065 0.536 0.011 14.8 0.167 0.036 0.0018 0.99 102.8原油-0.065 0.536 0.011 14.1 0.085 0.036-0.0014 25.67 813.9瑞士法郎-0.019 0.581 0.006 49.5 0.034 0.010 0.0020-1.27 962.7JPYUSD-0.019 0.581 0.006 50.1 0.032 0.010 0.0020-1.10 996.7澳元-0.019 0.581 0.006 54.2 0.029 0.010-0.0002 0.34 979.2GBPUSD-0.019 0.581 0.006 56.7 0.026 0.010-0.0010 0.76 1045.0CADUSD-0.019 0.581 0.006 96.6 0.019 0.010-0.0002-0.02 1256.6欧元-0.019 0.581 0.006 51.1 0.0300.010 0.0015-0.55 1004.7USBND-0.179 7.435 0.016 39.3 0.042 0.041 0.0004 1.26 1874.8UKBND-0.179 7.435 0.016 37.0 0 0.048 0.041-0.0014 2.00 1074.2CHBND-0.179 7.435 0.016 31.1 0.050 0 0 0.041-0.0018 1.67 1758.0JPBND-0.179 7.435 0.016 24.5 0.083 0.041-0.0082 2.35 399.2 UBND-0.179 7.435 0.016 38.5 0.042 0.041-0.0017 2.66 628.4CABND-0.179 7.435 0.016 47.7 0.033 0.041 0.0001 1.59 2134.6DEBND-0.1797.435 0.016 35.1 0.045 0.041-0.0016 1.69 1280.9表5：模型（4.2）的估算结果。预测对数似然^L根据（C.1）计算。

原油代表原油，NATGAS代表亨利中心天然气，LCATTLE代表活牛，缩写BND代表政府债券。κκβσNg vUS-2.289 2.150 8.705 27.377 5.270 76.319UK-2.289 2.150 8.705 23.777 8.154 119.690AU-2.289 2.150 8.705 27.986 3.411 572.320CH-2.289 2.150 8.705 25.522 4.158 31.903JP-2.289 2.150 8.705 21.722 4.362 29.014CA-2.289 2.150 8.705 25.358 2.123 129.614DE-2.289 2.150 8.705 24.464 4.721 319.856糖-4.979 3.974 2.553 31.107-2.945 4.577玉米-4.979 3.974 2.553 11.510-1.06246.322牛-4.979 3.974 2.553 27.246 1.547 39.852小麦-4.979 3.974 2.553 35.770-2.630 20.007铜-4.979 3.974 2.553 17.763-1.561 117.953天然气-4.979 3 2.553 15.579 1.545 7.006原油-4.979 3 3 3 2.553 12.699-1.645 93.434CHFUSD-1.386 1.369 3.418 24.778 3.873-6.969JPYUSD-1.386 1.369 3.418 15.195 1.823-2.970澳元-1.386 1.369 3.418 12.293-0.647 10.738英镑-1.386 1.369 3.41813.911-1.975 22.620CADUSD-1.386 1.369 3.418 16.546-0.407-0.138EURMUSD-1.386 1.369 3.418 22.244 8.167-8.277USBND-9.591 17.931 13.270 21.581 2.524 34.161UKBND-9.591 17.931 13.270 19.833-2.111 69.679CHBND-9.591 17.931 13.270 14.253-3.006 18.736JPBND D-9.591 17.931 13.270 9.380-1.336 1.791下-9.591 17.931 13.270 17.134-3.410 88.784下-9.591 17.931 13.270 29.540 1.124 323.950下-9.591 17.931 13.270 19.062-4.249 94.968表6：模型估算的T统计量（4.2）。

原油代表原油，NATGAS代表亨利中心天然气，LCATTLE代表活牛，缩写BND代表政府债券。1816185618961936197620164.04.55.05.56.06.57.07.5价格值（κ3=0）值（κ3≠ 0）图16：美国股票指数的对数价格以及表3中参数的Kalman平滑器计算的原教旨主义者线性需求模型中的平滑值，以及表5中参数的Unscented Kalman平滑器计算的原教旨主义者非线性需求模型中的平滑值。18201860190019401980202034567价格值（κ3=0）值（κ3≠ 0）图17:Kalman平滑器为表3中的参数计算的具有线性需求的原教旨主义者模型中的糖价和平滑值，以及为表5.197619811986199119962001200620112016中的参数计算的具有非线性需求的原教旨主义者模型中的糖价和平滑值-1-0.8-0.6-0.4-0.20.00.2价格值（κ3=0）值（κ3≠ 0）图18：日元/美元汇率的对数以及Kalman平滑器为表3中的参数计算的原教旨主义者线性需求模型中的平滑值，以及无迹Kalman平滑器为表5.193419541974199420140.51.01.52.02.5中的参数计算的原教旨主义者非线性需求模型（κ3=0）值（κ3≠ 0）图19：美国主权债券收益率的对数，以及表3中参数的Kalman平滑器计算的原教旨主义者线性需求模型中的平滑值，以及表5中参数的Kalman平滑器计算的原教旨主义者非线性需求模型中的平滑值。B EM算法B。1算法描述EM算法的目标是找到一组参数θ={κ，β，σN，σV，g}，模型（3.8）达到最大似然。

由于基本值vt是一个隐藏变量，在一般情况下，很难计算系统（3.8）的似然函数，也很难直接找到其最大值。另一方面，我们可以重写系统asL（θ）=P（p1:T |θ）=ZP（p1:T，~v1:T |θ）dv1:T.（B.1）的似然，然后我们可以观察到对数似然可以从下到byL（θ）=lnZP（p1:T，~v1:T |θ）dv1:T= 自然对数ZQ（▄v1:T）P（p1:T，▄v1:T |θ）Q（▄v1:T）d▄v1:T≥ZQ（￠v1:T）lnP（p1:T，~v1:T |θ）Q（~v1:T）dv1:T=：F（Q，θ），（B.2），其中Q是v1:T上的任何分布。将全局配置的能量（p1:T，v1:T）定义为-ln（p1:T，~v1:T |θ），用F表示的上述量可以重写为预期能量加上entropyF（Q，θ）=ZQ（~v1:T）ln（P（p1:T，~v1:T |θ））d ~v1:T-ZQ（～v1:T）ln（Q（～v1:T））d～v1:T（B.3），在统计物理中被称为自由能。EM算法的思想是最大化自由能F，而不是最大化似然L。算法读取1。选择Qandθ。2、对于n={0，1，2，…，n- 1} 重复两步程序：oE步：Qn+1=argmaxQF（Q，θn）oM步：θn+1=argmaxθF（Qn+1，θ）简单推理表明，上述算法得到的θn收敛于对数似然L（θ）的局部极大值。让我们重写自由能asF（Q，θ）=ZQ（≈v1:T）lnP（v1:T | p1:T，θ）Q（v1:T）d▄v1:T+ZQ（▄v1:T）ln（P（p1:T |θ））d▄v1:T=-DKL（Q（| v1:T）| P（| v1:T，p1:T，θ））+L（θ），（B.4），其中DKL（Q | P）表示从分布P到Q的Kullback–Leibler散度。从（B.4）我们立即看到，对于Q（| v1:T）=P（| v1:T，p1:T，θ），我们在（B.2）中获得等式。这意味着在E步中，我们得到Qn+1=P（~v1:T | p1:T，θn）和F（Qn+1，θn）=L（θn）。然后在M步中，我们搜索θn+1，例如F（Qn+1，θn+1）≥ F（Qn+1，θn），我们可以把它写在一起（θn+1）≥ F（Qn+1，θn+1）≥ F（Qn+1，θn）=L（θn）。

（B.5）我们看到θn收敛于对数似然函数的局部极大值。（B.5）中的最后一个等式仅当Qn+1正是以观察到的价格和参数为条件的V的分布时成立。我们通过贝叶斯滤波计算P（~v1:t | p1:t，θn）。然而，只有在线性模型的情况下，我们才能准确地计算它，对于非线性模型，我们必须使用P的近似值（v1:T | p1:T，θn）作为Qn+1，这将与真实分布有非零的Kullback–Leibler距离。在距离很小的情况下，我们仍然可以希望EM算法将收敛到最大似然的参数。然而，在一般情况下，我们无法提供任何保证，并且经常使用EM算法对基本值非线性的模型进行估计，所得结果将远离最大可能性的结果。回到我们模型的线性基本值版本，我们知道qn+1=P（~v1:T | p1:T，θn）。注意到（B.3）中自由能的第二个分量不依赖于θ，我们可以将EM算法简化如下：1。选择θ。2、对于n={0，1，2，…，n- 1} 重复两步程序：oE-step：计算G（θ，θn）：=EP（~v1:T | p1:T，θn）[ln（P（p1:T，~v1:T |θ））]oM-step：θn+1=argmaxθG（θ，θn）B.2计算E-step中，我们计算以θ为条件的（p1:T，~v1:T）联合对数概率的期望值，以p1:T和θn为条件。它由公式：G（θ，θn）=-2σNTXt=1En（pt- pt公司-1.- κ（vt）- pt公司-1) - βut）- T lnσN-2σVT-1Xt=1En（▄vt+1- vt- g）- （T- 1） lnσV- T ln（2π）-2σEn▄v+▄v- 2▄vEn▄v+g- 2g（Envt+1- v）- lnσ，（B.6），其中所有的期望值都是关于分布P（≈v1:T | p1:T，θn）。还要注意的是 vis是一个参数，而不是隐藏变量。

要计算上述表达式，需要知道T=1，…，的分布P（| vt | p1:T，θn）和P（| vt，| vt+1 | p1:T，θn），T-在给定参数和系统可观测变量的完整时间序列的情况下，推断隐藏变量的分布的过程称为Bayesiansmoothing。要进行平滑处理，首先需要进行贝叶斯滤波P（~vt | p1:t，θn）和预测P（~vt+1 | p1:t，θn）。利用过程的马尔可夫性质（P（￠vt |￠vt+1，p1:t）=P（￠vt |￠vt+1，p1:t）），平滑读数sp（▄vt，▄vt+1▄p1:T，θn）=P（▄vt▄vt+1，p1:T，θn）P（▄vt+1▄p1:T，θn）=P（▄vt▄p1:T，θn）P（▄vt+1▄p1:T，θn）P（▄vt+1▄p1:T，θn）P（▄vt+1▄p1:T，θn）n）（B.7）和P（▄vt▄p1:T，θn）=ZP（▄vt，▄vt+1▄p1:T，θn）d▄vt+1=P（▄vt▄p1:T，θn）ZP（▄vt+1▄vt，θn）P（▄vt+1▄p1:T，θn）d▄vt+1▄p1:T，θn）。（B.8）除了过滤和预测两个方程右侧的分量外，我们还有值过程P（~vt+1 | | vt，θn）=n（~vt，σV）的动力学，以及平滑的时间步长P（~vt+1 | p1:T，θn）。因此，我们在向后递归中计算平滑分布，我们通过将P（~vT | p1:T，θn）设置为过滤分布来初始化平滑分布。综上所述，E-step的每个迭代n包含四个部分：1。对于t=1，…，过滤掉分布P（~vt | p1:t，θn），T，2。对于T=T，…，平滑分布P（~vt | p1:T，θn），1,3. T=T时的平滑分布P（~vt，~vt+1 | p1:T，θn）- 1.1,4. 计算G（θ，θn）。B、 3卡尔曼滤波与平滑对于线性动态系统，EM算法E-step中的计算称为卡尔曼滤波与卡尔曼平滑器。

在此过程中获得的所有分布（滤波、预测和平滑）均为高斯分布：P（~vt | p1:t，θn）=nvtt，vtt,P（△vt+1 | p1:t，θn）=nvtt+1，vtt+1,P（△vt | p1:T，θn）=nvTt，vTt.（B.9）预测和过滤的基本值：~vtt+1，~vt+1t+1，及其方差：vtt+1，vt+1t+1at（n+1）-E步的第次迭代由卡尔曼滤波前向递归给出vtt+1=~vtt+g（n），vtt+1=~vtt+σ（n）V,Kt+1=κ（n）Vtt+1（κ（n））Vtt+1+σ（n）n,vt+1t+1=▄vtt+1+Kt+1pt公司- pt公司-1.- κ（n）vtt+1- pt公司-1.- β（n）ut,Vt+1t+1=▄Vtt+1- κ（n）Kt+1Vtt+1，（B.10），其中v=v（n）和v=σ（n）. 平滑后的基本值vTt+1及其偏差VTtat（n+1）E步迭代由Kalman平滑后向递归jt给出-1=Vt-1吨-1/Vt-1t，~ vTt-1=vt-1吨-1+Jt-1.vTt- vt-1吨-1.,VTt公司-1=Vt-1吨-1+（Jt-1)VTt公司- Vtt公司-1.,（B.11）出于美学原因，我们很快写了▄vtt+1，而不是（▄vtt+1）（n）。对于vt+1t+1、Vtt+1、vt+1t+1和Kt+1也是如此。出于美学原因，我们很快写了▄vTt+1，而不是（▄vTt-1） （n）。VTt也是如此-1，CTt-1，和Jt-1.JT=0时。Kalman平滑过程中的递归通常称为Drauch–Tung–Striebel递归。为了计算E阶跃，我们还需要▄vt的协方差-1和▄vt以p1:Tandθ（n）为条件，我们用ctt表示协方差-1，t：CTt-2，t-1=Vt-1吨-1Jt-2+Jt-1.CTt公司-1，t- 及物动词-1吨-1.Jt公司-2，（B.12）初始化为CTT-1，T=（1- κKT）VT-1吨-Kalman滤波器和平滑递归的推导可以在S"arkk"a（2013）中找到。（B.6）中的成分由En▄vk=▄vTk、En▄vk=vTk+（▄vTk）和En▄vk+1▄vk=CTk给出-1，k+~vTkvTk+1。（B.13）B.4计算M-stepA参数集最大化G（θ，θn）可通过求解方程组找到θG（θ，θn）=0。

通过这种方式，我们获得：κ（n+1）β（n+1）= A.-1b，（B.14）其中=PTt=1En[（vt- pt公司-1） ]PTt=1En[vt- pt公司-1] utPTt=1En[￠vt- pt公司-1] utPTt=1ut（B.15）和B=PTt=1En【】vt- pt公司-1] （pt- pt公司-1） PTt=1ut（pt- pt公司-1), （B.16）如果通过卡尔曼平滑法获得所有条件期望：~vTtand VTtin（B.11）。此外，σ（n+1）n=TTXt=1Enpt公司- pt公司-1.- κ（n+1）（~vt- pt公司-1) - β（n+1）ut!1/2，（B.17）g（n+1）=T- 1吨-1Xk=1（Envk+1- Envk），（B.18）σ（n+1）V=T- 1吨-1Xk=1Envk+Envk+1- 2Envk+1vk-g（n+1）!1/2，（B.19）~v（n+1）=En ~v- g（n+1）（B.20）和σ（n+1）=qEnv-v（n+1）. （B.21）通过EM算法获得的参数最大化了预测可能性，我们将监控：L（θ）=-Tln 2π-TXt=1“lnκVt-1t+σN-（pt- pt公司-1.- ut）κVt-1t+σN#, （B.22），其中ut=κvt-1吨- pt公司-1.+ βut。C模型4.1的估计我们写出所谓的预测对数似然asL（θ）=ln P（p1:T |θ）=TXt=1ln P（pt | p1:T-1, θ)≈ -Tln 2π-TXt=1“ln St+（pt- ^pt）St#=^L（θ），（C.1），其中我们引入符号p1：t={p，p，…，pt}，是UKF下个月的价格预测，STI是给定所有价格历史和参数集θ的预测方差（见公式（C.4））。对参数集应用标准优化器搜索，以最大化预测日志可能性，通过UKF计算。C、 1无迹卡尔曼滤波模型（4.2）具有基本值的线性动力学，预测步骤与B.3节相同。因此，vtt+1、vtt+1的递归与（B.10）中的相同。为了过滤出基本值，我们形成西格玛点SV（0）t+1=~vtt+1，V（1）t+1=~vtt+1+√1+λqVtt+1，V（2）t+1=~vtt+1-√1+λqVtt+1，（C.2）我们使用scipy的minimize。使用Broyden-FletcherGoldfarb-Shanno（BFGS）方法在Python中优化包。式中λ=a（1+k）-1、a和k是无迹变换的参数（我们选择SEA=1.0和k=2.0）。

我们计算每个西格玛点的预期价格p（i）t+1=pt+fV（i）t+1- pt公司+ βut+1，对于i=0，1，2。（C.3）预测价格^pt+1、价格预测方差St+1、基本值和价格Ct+1的协方差用以下公式计算：^pt+1=Xi=0W（m）iP（i）t+1St+1=Xi=0W（C）iP（i）t+1- ^pt+1+ σNCt+1=Xi=0W（c）iP（i）t+1- ^pt+1V（i）t+1- vtt+1,（C.4）其中，无迹变换的权重由W（m）=λ/（λ+1）W（C）=λ/（λ+1）+（1）给出- a+b）W（m）i=1/[2（λ+1）]，i=1，2W（c）i=1/[2（λ+1）]，i=1，2（c.5），其中b是无迹变换的参数（我们选择b=0.0）。滤波增益T+1，基本值的滤波平均值和方差，~vt+1t+1和vt+1t+1areKt+1=St+1/Ct+1，~vt+1t+1=~vtt+1+Kt+1（pt+1- ^pt+1），Vt+1t+1=Vtt+1- （Kt+1）St+1。（C.6）然后我们用高斯近似预测分布，因此平滑分布也是近似高斯分布。因此，对于▄vTt+1，vTt的递归-1，CTt-1，和Jt-1与（B.11）和（B.12）中的相同。