因此，在许多问题中，有必要选择λ的较大值，这使得（6）的数值求解非常困难。或者，通过使用与E相关的布雷格曼距离[13]，布雷格曼迭代可用于在短序列的无约束问题中减少（5），反之，λkin（6）的值保持不变。与真凸泛函E（w）：Rn相关的Bregman距离[13]-→ 点v处的R定义为：DpE（w，v）=E（w）- E（v）- < p、 w- v>，（7）其中p∈ E（v）是点v和<.>表示Rn中的正则内积。它不是通常意义上的距离，因为它通常不是对称的，但它确实测量了w和v之间的距离，即如果u位于线段（w，v）上，那么线段（w，u）的布雷格曼距离比（w，v）小。在每一步，Regman迭代E（w）被Bregman距离所代替，因此根据以下迭代方案解决（6）中的子问题：wk+1=argminwDpkE（w，wk）+λkAw- bk，pk+1=pk- λAT（Awk+1- （b）∈ E（每周+1）。（8） pk+1的更新规则是根据wk+1的一阶最优性条件选择的，并确保Dpk+1E（w，wk+1）得到很好的定义。在适当的假设下，序列{wk}到约束方程m（5）的解的收敛在有限的步数下得到保证[8]；此外，利用Bregman迭代与aug-mented La grangian迭代的等价性[14]，在[15]中也证明了协收敛性。注意，收敛结果保证了kAwk的单调减少- 因此，对于大k，约束条件满足任意高精度。

根据差异原理，这将产生一个自然停止标准。由于（8）中涉及的次极小化问题的解没有明确的表达式，因此在每次迭代时，使用迭代解算器不精确地计算解。因此，在过去的几年中，人们对Bregman迭代中涉及的子问题的不精确解越来越感兴趣。最近的研究表明，对于许多应用程序，即使子问题的解不那么精确，Bregman迭代也会产生非常精确的解[8、10、16]。在[17]中，得到了分段线性凸函数的收敛结果。在[18]中，内解的不精确性由一个标准控制，该标准保持了Bregman迭代的收敛性及其在图像恢复中的特性。4修正的Bregman迭代（4）解决方案中的一个关键问题是为正则化参数τ选择合适的值，如前所述。目的是选择τ，以实现稀疏性与短期控制（需要足够大的值）和数据灵活性（需要较小的值）之间的权衡。虽然文献提供了大量的Tik honov正则化方法[19]，但正则化参数的选择通常基于依赖于问题的标准，并与迭代经验估计相关，这需要较高的计算成本。在[7]中，最小角度回归（LARS）算法利用最优权重对τ的依赖性是分段线性的这一事实，通过从非常大的值逐步减小τ的值来进行。在本节中，我们提出了一种数值算法，该算法基于带τ自适应更新规则的改进Bregman迭代。

我们定义τ规则的基本思想来自于lnorm的众所周知的性质和下面的命题【7】：命题1让wτ和wτ分别是τ和τ的l正则化问题（4）的解。如果（wτ）中的一些是负的，而wτ中的所有条目都是正的或零，那么我们就得到了τ>τ。然后，我们提出了一个τ的更新规则，该规则生成一个递增的值序列。我们的目标是修改Bregman迭代，以产生满足固定财务目标的解决方案，根据稀疏性或短期控制或两者的组合来定义。LetEk（w）=韩元- ρk+τkkwk，k=0，1。现在，我们证明了本文的主要结果：（8）给出的定理1（wk+1，pk+1）应用于Ek，它保持▄pk+1=τk+1τkpk+1+21.-τk+1τkRT（Rwk+1- ρ) ∈ Ek+1（每周+1）。（9） 证明。保持pk+1∈ 埃克（周+1）=（τkkwk+1k）+克鲁克+1- ρk, thusa向量qk+1∈ （τkkwk+1k）的存在使得pk+1=qk+1+2RT（Rwk+1- ρ).因此，qk+1=pk+1- 2RT（Rwk+1- ρ) ∈ （τkkwk+1k）。很容易验证：τk+1τkqk+1∈ （τk+1kwk+1k）。然后τk+1τkqk+1+2RT（Rwk+1- ρ) ∈ Ek+1（wk+1），完成证明。我们提出以下修改后的Bregman迭代：pk=τkτk-1pk+21.-τkτk-1.RT（Rwk- ρ） ，wk+1=argminwDpkEk（w，wk）+λkAw- bk，pk+1=pk- λAT（Awk+1- b） ，τk+1=h（τk）（10），其中h：R+-→ R+是一个递增的有界函数。注意，定理m 1中的关系式（9）保证了迭代方案（10）得到了很好的定义，从而保持了原始方案的性质。在本文中，我们为函数h选择了一种乘法形式。我们设置τk+1=ηk+1τk，其中ηk+1根据财务目标取决于wk+1，如算法1所示。请注意，我们无法确保存在满足财务目标的τ的有限值，因此我们将通过设置最大值τmax来限制h。

如果在某一步达到了最终目标，则所有后续迭代的ηk=1。相反，τ设置为τmax。在任何情况下，都存在一个迭代“k”，使得τkremain固定在k的值“τ”处≥(R)k.Algorithm 1为投资组合选择修改了Bregman迭代，给定τ>0，τmax，λ，θ>1%模型参数给定nshort，nact%财务目标参数sk：=0w：=0，p：=0，τ-1： =τ，而“停止规则不适用”dopk=τkτk-1件+1.-τkτk-1.RT（Rwk- ρ） wk+1=argminwDpkEk（w，wk）+λkAw- bkpk+1=峰值- λAT（Awk+1- b） W-k+1={i：（wk+1）i<0}如果| W，k+1={i：（wk+1）i6=0}-k+1 |>nshortor | Wak+1 |>Natthenηk+1=θelseηk+1=1如果τk+1=min{ηk+1τk，τmax}k：=k+1，而orem 2让τ是算法1在步骤k产生的正则化参数值。假设在某个步骤k≥k迭代wksatiesawk=b。然后wk是约束问题的解决方案minwe k（w）s.t.Aw=b.（11）证明。我们注意到τk=’τ k≥k，因此目标函数为固定叉≥因此，证明遵循了[14]中定理2.2的证明。这个结果表明，如果算法1提供的序列在limk意义下收敛-→∞||Awk公司- b | |=0，则迭代wk将得到一个rbitrarillyclose，以解决τ=τ的原始约束问题。5实验结果在本节中，我们讨论了一些计算问题，并展示了算法1在解决正则化投资组合优化问题（4）方面的效果。在算法1中，我们设置λ=1，τ=2-5，τmax=1，θ=2。迭代停止为s oon as kAwk- 黑色≤ T ol=10时的T ol-4从财务角度来看，这可以保证约束具有足够的精度。在算法1中，使用回溯步长规则（FISTA）实现快速近似梯度法，以解决每次修改Bregmanization时的无约束子问题。

FISTA是前向-后向（FB）算法的一种加速变体，建立在古勒（G¨uler）[21]和内斯特罗夫（Nesterov）[22]的思想基础上。请注意，fb是最小化目标函数F（x）的一阶方法≡ f（x）+g（x），其中g:Rn→ R是dom（g）闭的真凸下半连续函数，f:Rn→ R是凸的，且f是L-Lipschitz连续的。它生成一个序列（xn）n∈在两个独立的站中；前者执行向前（显式）步骤，仅涉及f，而后者执行向后（隐式）步骤，涉及与g相关的近端映射[23]。在我们的例子中，我们设置f=kρ1- Rwk公司- < p、 w>+λkAw- bk和g=τkwk，则g的近端映射是简单而明确的软阈值算子：P roxg（wi）=sgn（wi）（| wi |- 最小值{| wi |，τ}）。当两个连续迭代之间欧几里德范数的相对差值小于T olInn=10时，内部迭代达到顶点-4、我们所有的实验，其中一些在下面报告，表明不值得对内部解算器要求很高的精度。测试已经在MatlabR2015A（8.5版，64位）环境中进行，在一个六核Xeon处理器上进行，该处理器具有24 GB RAM和12 MB缓存，运行Ubuntu/Linux 12.04.5。我们将我们的最优投资组合s与加权平均的投资组合（n AIV投资组合）进行比较，通常在文献[24]中将其作为基准。这基本上有三个原因：实施起来很容易，许多投资者仍然使用这样简单的规则来将财富分配到不同的资产上，并且允许分散风险。我们通过观察最优投资组合的样本外表现来重新评估我们的方法，如[3]所示。这意味着对于每个T年期的资产回报，我们使用历史序列来解决（4）；目标回报率ρ固定为当年朴素投资组合提供的平均回报率。

通过这种方法获得的最优解用于构建保留一年的投资组合。我们通过提前一年继续这一过程，直到这一时期结束，以一系列样本外的产品组合结束。然后，我们将所获得的平均回报率ρ和标准偏差值σ与原始投资组合的相应值进行比较。此外，我们还计算了夏普比率SR=ρ/σ：由于任何人都希望获得较大的回报和较小的方差值，夏普比率可以作为比较的参考值。我们给出了三个测试问题的结果；第一个和第二个来自Fama和French数据库，数据可用athttp://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/datalibrary.html#BookEquityused在[7]中。我们获得了最优投资组合收益率方面的可比结果。最后一个测试问题基于意大利市场的数据。5.1测试1:FF48我们考虑第一个数据库e-FF48，其中包含1926年7月至2015年12月48个行业部门投资组合的月度回报。利用1970年至2015年的数据，我们构建了最优投资组合，并分析了样本绩效的路径。从1970年7月1日开始，我们使用T=5年，直到2015年6月，我们建立了40个最佳投资组合。FF48中的投资组合呈现中等相关性，实际上，所有模拟的条件数C都是O（10）。我们测试了T-olInn的差异值；我们的所有实验都表明，T-olInn的较低值s不会改善结果，因此我们显示了在T-olInn=10时获得的结果-表1中，对于最优和原始投资组合，均报告了预期回报、标准差和夏普比率，均以年度为单位表示。最优投资组合不是短期投资组合（nshort=0，nact=48），也就是说，目标是获得正解。

Va值是指8年内计算的平均值，如表中第一列所述进行分组。第一行包含在所有40年内每iod模拟计算的储蓄率值。在所有情况下，最优投资组合的夏普比值都大于原始投资组合。在图1中，我们报告了最优无空头投资组合中的活跃头寸数量最优投资组合原始投资组合投资周期（1975/07）- 2015/06 14% 38% 37% 15% 60% 26%1975/07 - 1983/06 22% 44% 51% 29% 63% 47%1983/07 - 1991/06 14% 39% 37% 7% 59% 12%1991/07 - 1999/06 14% 29% 50% 15% 50% 30%1999/07 - 2007/06 13% 34% 38% 17% 58% 29%2007/07 - 2015年6月7%44%15%10%69%14%table 1：FF48的最优无空头投资组合（nshort=0，nact=48）和朴素投资组合之间的比较。报告回报率和标准差是40年（第一行）和8年组（第2行）的平均值- 6).folios（顶部）和每次模拟的修改Bregman迭代次数（底部）。我们注意到算法1的快速收敛性，平均迭代次数等于8。τ的值范围为2-5和-2、促进稀疏性（稀疏率从6%到21%）和积极性。在表2中，对于相同的财务目标，我们报告了最多10个活动位置（nshort=48，nact=10）的最优组合结果。数值如表1所示。在所有情况下，最优投资组合的夏普比率值再次大于原始投资组合。在图2中，我们报告了最佳投资组合中的主动和空头头寸数量（top）以及模拟年1 5 10 15 20 25 30 35 40修改数量1 5 10 15 20 25 30 35 40模拟年图1：FF48的最佳投资组合，nshort=0，nact=48。顶部：活动位置。

底部：修改的Br egman迭代次数。最优投资组合朴素投资组合周期（1975/07）- 2015/06 14% 37% 38% 15% 60% 26%1975/07 - 1983/06 21% 41% 49% 29% 63% 47%1983/07 - 1991/06 15% 38% 40% 7% 59% 12%1991/07 - 1999/06 14% 29% 49% 15% 50% 30%1999/07 - 2007/06 12% 33% 37% 17% 58% 29%2007/07 - 2015/06年8%43%18%10%69%14%table 2:FF48的最优和朴素投资组合之间的比较。最佳投资组合最多包含10个活跃头寸（nshort=48，nact=10）。报告的回报率和标准偏差是40年（第一行）和8年组（第2行）的平均值- 6).最优组合算法1 LARSPeriod^ρ^σSR^σSR1976/07- 2006/06 17% 37% 46% 41% 41%1976/07 - 1981/06 23% 43% 53% 48% 49%1981/07 - 1986/06 23% 36% 64% 41% 57%1986/07 - 1991/06 9% 45% 20% 45% 20%1991/07 - 1996/06 16% 21% 76% 26% 62%1996/07 - 2001/06 16% 38% 42% 40% 40%2001/07 - 2006/06年13%39%33%43%30%t表3：算法1产生的FF48无空头最优投资组合与[7]表1中的LARS之间的比较。报告的回报率和标准偏差为30年（第一行）和5年（第二行）组的平均值- 7).每年模拟的Bregman迭代（底部）。在这种情况下，Bregman迭代的平均次数等于6次。τ值范围介于-5和2-最后，在表3中，我们报告了与论文[7]表1中所示结果的比较。我们用算法1表示优化过程产生的结果，用LAS表示[7]中提供的结果。我们指的是相同的3个0年模拟期，每个爆发期的平均时间超过5年。

我们注意到，我们的正则化参数选择过程产生了更高的夏普比值；由于预期回报是由约束确定的，这意味着我们获得的投资组合风险较小。5.2测试2：FF100我们在Fama和French的第二个数据库上显示结果-FF100包含100个投资组合的数据，这些投资组合是10个按规模形成的投资组合和10个按账面权益与市场比率形成的投资组合的交叉点1 5 10 15 20 30 35 40年模拟活跃头寸短期头寸1 5 10 15 20 25 30 35 40年模拟图2：FF48的最佳投资组合，nshort=48时，nact=10。顶部：最佳投资组合中的主动和空头头寸。底部：修改的Bregmanications数。最优投资组合朴素投资组合（portfolioPeriod^ρ^σSR^ρ^σSR07/1975）- 06/2015 14% 50% 29% 15% 57% 27%07/1975 - 06/1983 18% 54% 33% 24% 58% 41%07/1983 - 06/1991 15% 54% 28% 12% 60% 20%07/1991 - 06/1999 19% 38% 49% 18% 45% 39%07/1999 - 06/2007 14% 47% 29% 14% 56% 25%07/2007 - 2015年6月7%56%13%10%67%14%t表4：FF100无空头（nshort=0，nact=100）最佳和原始投资组合的比较。报告的回报率和标准偏差是40年（第一行）和8年组（第2行）的平均值- 6).股本此外，FF100还包含从1926年7月到2015年12月的月度回报。我们采用与FF48中相同的策略（T=5-年，建造了40个最佳组合）。在FF100中观察到的相关值高于之前的测试，C的条件为O（10）。在表4中，我们展示了最优的无空头投资组合。我们报告了以年bas表示的预期收益率、标准差和Sha rpe比率。总的来说，最优投资组合的表现优于原始投资组合。τ的值范围为2-4和2-2，稀疏度的百分比从4%到17%不等（图3）。

请注意，通过查看每年模拟的详细信息，我们可以观察到最优和非最优投资组合的负收益。例如，在第8年的模拟中，最优投资组合产生了4%的损失，而天真的损失为12%。第10年的损失分别为1%和10%。之所以会出现这种情况，是因为投资组合中几乎所有组成部分的d回报率都有所下降。最后，我们注意到1975年7月- 1983年6月，朴素的投资组合表现优于最佳投资组合。例如，在第三年的模拟中，包含5项资产（56、90、91、93、95）的最优投资组合产生了8%的收益，而原始投资组合的收益只有18%。这种行为本质上是由于资产回报率相对于历史数据的急剧变化。这种情况可以通过动态资产配置策略来控制，在投资期的每个阶段开始时，投资者可以自由地重新安排投资组合，但这不是本文的目的。最后，我们还报告了与[7]表3所示结果的比较。我们注意到，我们获得了更高的夏普比值。5.3测试3：IT72我们在此考虑一个基于意大利市场真实数据构建的por tfolio。它考虑了2009年9月至2016年8月期间72只股票的月度回报。资产列于表6；FTSE MIBindex计算中包括25项资产。FTSE MIB是利润型股票市场的主要基准指数。该指数由高流动性、领先的公司1 5 10 15 20 25 30 35 40年模拟1 5 10 15 20 25 30 35 40年模拟图3：FF100的最佳投资组合，nshort=0，nact=100。顶部：活动位置。

底部：修改的Br egman迭代次数。最优组合算法1 LARSPeriod^ρ^σSR^σSR1976/07- 2006/06 16% 48% 33% 53% 30%1976/07 - 1981/06 12% 54% 22% 59% 21%1981/07 - 1986/06 24% 44% 55% 49% 49%1986/07 - 1991/06 10% 61% 16% 65% 15%1991/07 - 1996/06 19% 29% 66% 31% 61%1996/07 - 2001/06 18% 52% 35% 52% 35%2001/07 - 2006/06年11%49%22%55%21%t表5：算法1产生的FF100非短期最优投资组合与参考文献[7]中的LARS之间的比较，表3。报告的回报率和标准偏差是30年（第一行）和5年组（第2行）的平均值- 7).A2A水疗中心EI TOWERS水疗中心PRIMA INDUSTRIE SPAACEA水疗中心EL。ENSPA PRYSMIAN Spaautogill SPA ENEL SPA RECORDATI Spaamplifion SPA ENI SPA REPLY SPAATLANTIA SPA ERG SPA SABAF SPAAZIMUT HOLDING SPA EXOR SPA SALINI IMPREGILO SPABASICNET SPA ASSICURAZIONI GENERALI SAFILO GROUP SPABIALETTI INDUSTRIE SPA HERA SPA SAES GETTERS SPABANCA MEDIOLANUM SPA INDUSTRIA MACCHINE AUTOMATIC SIAS SPABANCA MONTE DEI PASCHI SIENA INTESA SANPAOLO SOGEFIBANCO POPOLARE SC INTESA圣保罗-RSP SOL SPABANCA POPOPOL EMILIA ROMAGNA ITALCEMENTI SPA SAIPEM SPABREMBO SPA ITALMOBIIARE SPA SNAM SPABUZI UNICEM SPA ITALMOBIIARE SPA-RSP SARAS SPABUZI UNICEM SPA-RSP LEONADO-FINMECANICA SPA ANSALDO STS SPACAIRO COMMUNICATIONS SPA LUXOTTICA GROUP TELECOM ITALIA SPACE SPACE SPA SPACE SPACE SPA SPAMEDIOBANCA SPA TOD’S SPACREDITOVALTELLINESE SCARL MOLECULAR MEDICINE SPA TERNA Spadatalogy SPA MEDIASET SPA UBI BANCA SPADANIELI&CO MAIRE TECNIMONT SPA UNICREDIT SPADIASORIN SPA PANARIAGROUP INDUSTRIE CERAM UNIPOL GRUPPO FINANZIARIO SPD\'AMICO INTERNATIONAL SHIPPI PARMALAT SPA UNIPOLSAI SPADE\'LONGHI SPA BANCA POPOLARE DI MILANO ZIGNAGO VETRO表6：IT72资产。跨不同行业的新兴经济体，它捕获了约80%的国内市场资本化。

FTSE MIB是根据40只意大利股票计算的，旨在复制意大利股市的广义部门权重。从2009年9月开始，我们使用T=6年的数据构建2015年9月至2016年8月的最佳投资组合。RTRis O（10）的调节。在图4中，我们以图形方式显示了我们构建的最佳投资组合的组成。优化策略将投资者财富分配到14只股票上，权重以图表中的百分比表示，其中5只属于FTSE MIB集合。结果在10个Bregman迭代中得到，τ=2-3、我们注意到，最优投资组合的年收益率和标准差分别为11%和34%。对于天真的投资组合，同样的价值是-14%和60%，因此后者会给投资者带来损失。AMPLIFON SPA4%DAVIDE CAMPARI-MILANO SPA13%DATALOGIC SPA5%DIASORIN SPA7%ENI SPA8%LUXOTTICA GROUP SPA0%MOLECULAR MEDICINE SPA2%SABAF SPA3%SOL SPA8%SNAM SPA19%ANSALDO STS SPA6%TELECOM ITALIA-RSP2%TERNA SPA14%ZIGNAGO VETRO SPA9%图4：意大利市场股票的最佳投资组合。基于2009年9月至2016年8月72只股票的月度历史回报率。6结论我们提出了一种算法，该算法利用Bregman迭代方法，用于将投资组合选择问题表述为l1-正则化平均方差模型。正则化参数的选择是提供具有有限或空数量的负分量和/或有限数量的活动位置的解的关键。我们的主要贡献是对B regman迭代的修改，该迭代根据财务目标自适应设置正则化参数的值。观察到，对于足够大的正则化参数值，可以同时获得稀疏性和短控制。

基本思想是对价值递增序列进行基因评级，并在满足要求时对其进行固定。我们表明，我们对B regman迭代的修改保持了原始模式的收敛性。数值实验证实了该算法的有效性。我们在实验中发现，优化策略的有效性有时会受到市场条件变化的影响。未来的工作可以考虑动态资产配置，这涉及频繁的投资组合调整。致谢该工作得到了FFABR拨款、2017年年金和INdAMGNCS项目的部分支持。参考文献[1]H.Markowitz，《投资组合选择》，J.Financ。7 (1) (1952) 7791.[2] H.Markowitz，《投资组合选择：投资的有效多元化》，Wiley，1959年。[3] V.DeMiguel，L.Garlappi，F.Nogales，R.Uppal，《投资组合优化的广义方法：通过约束组合形式提高性能》，管理Sci。55 (5) (2009) 798812.[4] M.Carrasco，N.Noumo N，《使用正则化的最优投资组合选择》（2012）。[5] Y.Yen，T.Yen，通过坐标明智下降算法求解范数约束投资组合优化，计算机。统计数据和。76 (2014)737 759.[6] M.Ho，Z.Sun，J.Xin，加权弹性净惩罚平均方差Portfo-lio设计和计算，暹罗J.Finan。数学6 (1) (2015)12201244.[7] J.Brodie，I.Daubechies，C.DeMol，D.Giannone，I.Loris，《稀疏和稳定的马科维茨投资组合》，PNAS 30（106）（2009）1226712272。[8] S.Osher，M.Burger，D.Goldfarb，J.Xu，W.Yin，基于全变分的图像恢复的迭代正则化方法，多尺度模型。4 (2) (2005) 460489.[9] S.Ma，D.Goldfarb，L.Chen，《矩阵秩极小化的固定D点和br egman迭代方法》，数学。程序128 (1) (2011) 321353.[10] W.Yin，S.Osher，D.Goldfarb，J。

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