G-布朗运动的It^o公式在X yieldsXt=X+Zt中的应用乌苏都-dXi=1ZtBi（u，T）XudBiu+dXi，j=1ZtijuXudhBi，Bjiu，其中漂移项 = (t） 0个≤t型≤坦德ij=(ijt）0≤t型≤T、 对于所有i，j，由t： =-dXi=1tBi（t，t）Xit-dXi，j=1tBi（t，t）Bj（t，t）+Bi（t，t）tBj（t，t）qijt公司-dXi=1Bi（t，t）(-αiXit）-dXi，j=1Bi（t，t）Bj（t，t）- （αi+αj）qijt-dXi=1Xit=-dXi=1tBi（t，t）- αiBi（t，t）+1退出-dXi，j=1Bj（t，t）tBi（t，t）- αiBi（t，t）qijt公司-dXi，j=1Bi（t，t）tBj（t，t）- αjBj（t，t）qijt，ijt：=-Bi（t，t）Bj（t，t）+Bi（t，t）Bj（t，t）=0。由于函数Bi，对于所有i，满足tBi（t，t）=αiBi（t，t）- 对于所有i，j，我们得到xt=X+dXi=1ZtBi（u，T）Xuqiudu-dXi=1ZtBi（u，T）XudBiu。我们可以使用与定理6.1证明中相同的参数来证明Xt∈ LG公司(Ohmt） 对于所有t，G-布朗运动的Girsanov变换意味着过程“B=（“Bt，…，”Bdt）0≤t型≤τ、 定义单位：位：=位-Ztqiudu是E下的G-布朗运动。因此，过程X是E下的对称G-鞅。我们可以使用函数u将模型拟合为最初观察到的项结构。假设存在一条充分规则的正向曲线f*: [0, τ] → R、 这是目前市场上观察到的。然后，当且仅当u（t）=f时，可以检查由模型叠加的理论正向曲线是否与初始观测曲线相匹配*（t） 对于所有t.9结论，在本文中，我们研究了当波动率存在Knightian不确定性时的传统Hull-White模型。我们证明了pricingzero息票债券的常用方法，即鞅模型，在存在波动性不确定性的情况下不起作用。因此，我们采用了不同的方法。通过引入不确定的市场价格，我们根据其不确定方差调整短期利率，以获得无套利期限结构。

由此产生的期限结构对于波动性而言是完全稳健的。债券价格既不取决于波动率的未来演变，也不取决于波动率的界限。相反，它们取决于不确定性市场价格的当前价值。特别是，债券的短期利率和市场价格的不确定性呈指数级增长。由于短期利率的调整，该模型与传统的赫尔-怀特模型不一致。然而，在将模型价格拟合到收益率曲线后，该模型与传统模型相一致。如果短期利率是由多种风险因素驱动的，所有这些结果都是正确的。需要进一步研究的第一个问题是，拟议的期限结构和不确定性市场价格的特殊选择是否能够得到代表性代理经济均衡的支持。目前的方法完全基于无套利定价。相反，人们可以按照考克斯、英格索尔和罗斯的精神，在模型不确定性的情况下研究结构模型。Gagliardini、Porchia和Trojai[32]研究了具有模糊性的结构模型。模型中的代表性代理面临着潜在风险因素漂移的模糊性。由于她厌恶模糊性，代理需要解决最大-最小期望效用问题。该解确定了不确定性漂移过程，即模糊市场价格。以类似的方式，我们可以检查一个结构模型，在该模型中，代表性代理面临关于波动性的模糊性。

为此，我们可以调整Epstein和Ji[27]的框架，以确定代表性代理经济中是否存在支持当前模型中使用的特定市场价格不确定性的均衡。除此之外，测试该模型的实证性能，尤其是与传统的期限结构模型相比，将是一件有趣的事情。例如，我们可以测试该模型是否能够解释Dai和Singleton【22】以及Gagliardini、Porchia和特洛伊【32】违反预期假设的行为，以及该模型是否优于传统模型。Fama和Bliss【30】、Campbell和Shiller【15】、Cochrane和Piazzesi【18】通过将收益率曲线的变化回归到收益率曲线的斜率来实证检验预期假设，这表明预期假设被违反。回归产生负系数，随成熟度降低。Dai和Singleton[22]测试了几个中介结构模型解释实证结果的能力。为此，他们对模型进行数据拟合，并从拟合模型中模拟术语结构。然后，他们运行上述回归，并将模拟数据的回归系数与真实数据的回归系数进行比较。一个成功的模型应该与真实数据的系数相匹配。为了测试当前模型在这方面的性能，必须使用稳健的方法校准模型，如第7节末尾所述。此外，必须开发一个在波动率不确定性存在的情况下工作的模拟程序。波动性在奈特不确定性的意义上是不确定的。根据奈特不确定性的定义，奈特不确定性无法用任何概率来衡量。因此，无法使用标准模拟程序。

相反，我们必须构建一个robustsimulation过程。参考文献[1]Acciaio，B.、M.Beiglb¨ock、F.Penkner和W.Schachermayer（2016）。资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本。数学财务26（2），233–251。[2] Adrian，T.、R.K.Crump和E.Moench（2013年）。使用线性回归对期限结构进行定价。《金融经济学杂志》110（1），110–138。[3] Aksamit，A.、S.Deng、J.Ob l\'oj和X.Tan（2019年）。稳健定价——离散时间金融市场中美式期权的套期保值双重性。数学金融29（3），861–897。[4] Avellaneda，M.、A.Levy和A.Par'as（1995年）。在波动性不确定的市场中对衍生证券进行定价和对冲。应用数学金融2（2），73–88。[5] Avellaneda，M.和P.Lewicki（1996年）。波动率不确定市场中的利率未定权益定价。库兰特数学科学研究所的工作文件。[6] Bartl，D.、M.Kupper、D.J.Pr¨omel和L.Tangpi（2019年）。连续时间内的路径超边缘的对偶性。《金融与Stoc h astics》2 3（3），697–728。[7] Bayraktar，E.和Z.Zhou（2017）。模型不确定性和投资组合约束下的套利和对偶。数学金融27（4），988–1012。[8] Beiglb¨ock，M.、A.M.G.Cox、M.Huesmann、N.Perkowski和D.J.Pr¨omel（2017年）。通过Vovk的外部度量进行路径超级复制。金融与随机21（4），1141–1166。[9] Biagini，S.、B.Bouchard、C.Kardaras和M.Nutz（2017年）。连续过程的稳健基础理论。数学金融27（4），963–987。[10] 比约克（2004）。连续时间的套利理论。牛津大学出版社。[11] 比约克、T.、G.迪马西、Y.卡巴诺夫和W.伦格·加尔迪耶（1997）。建立债券市场的一般理论。《金融与科学》第1（2）节，第141–174页。[12] Bouchard，B.和M.Nutz（2015年）。

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