波动率不确定性下的Hull-White模型

2022-6-10 09:51:53

波动率不确定性下的Hull-White模型Julian H¨olzermann*2021年1月28日摘要我们研究了存在波动性不确定性时利率期限结构的赫尔-怀特模型。波动率的不确定性由一组信念表示，这自然会导致次线性期望和G-布朗运动。这种情况下的主要问题是如何找到无套利期限结构。这个问题至关重要，因为我们可以证明，经典方法鞅建模在存在波动性不确定性的情况下不起作用。因此，我们需要调整模型，以找到无套利期限结构。由此产生的期限结构与短期利率和调整系数有关。虽然调整改变了模型的结构，但在拟合屈服曲线后，它仍然与传统的赫尔-怀特模型一致。此外，我们将模型和结果扩展到由多个风险因素驱动的多因素版本。关键词：稳健金融、模型不确定性、利率、无套利JEL分类：G12MSC2010：91G301简介传统金融模型存在模型不确定性，尤其是波动性不确定性。这些模型通常假设有一个已知的概率度量来确定市场上基本数量的行为。该假设简化了金融市场的建模和衍生品的定价，但在许多情况下，无法指定模型的基本概率度量。关于使用正确概率定律的不确定性称为模型不确定性。有越来越多的文献，通常被称为稳健金融，通过在存在大量可能的概率测度或根本没有概率测度的情况下调查金融市场来处理模型的不确定性。

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2022-6-10 09:51:56

总体目标是使模型在概率定律的错误规范方面更加可靠。一种重要的模型不确定性是波动性不确定性。潜在资产波动性的未来演变无法预测，也很难明确其概率规律。*比勒费尔德大学数学经济学中心。电子邮件：julian。hoelzermann@unibielefeld.de.作者感谢弗兰克·里德尔（FrankRiedel）的宝贵建议，感谢托鲁佩·法迪纳（TolulopeFadina）、达米尔·菲利波维奇（DamirFilipovi\'c）、扬·奥布·洛伊（JanObl l\'oj）和托尔斯滕·施密特（ThorstenSchmidt）的富有成效的对话。作者非常感谢德国研究基金会（Deutsche Forschungsgemeinschaft）通过CollaborativeResearch Center 1283提供的财政支持。本文研究了波动率不确定性下利率期限结构的赫尔-怀特模型。这意味着，我们在一系列关于波动性的可能信念存在的情况下，对瞬时即期利率（简称短期利率）进行建模，并且完全不确定哪一个是正确的。我们没有对波动性的信念强加任何概率假设，也就是说，没有假设，每个信念都是正确的。我们考虑波动率受两个极值限制的所有信念。这一假设可能具有限制性，但足以使数学分析发挥作用。一般来说，人们可以通过进一步的技术效果来放松这一假设，从经济角度来看，成功的结果不需要这一假设，因为如果波动性的界限改变，结果不会改变。从数学上讲，我们将短期利率建模为G-布朗运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程。与经典的赫尔-怀特模型一样，我们通过Ornstein-Uhlenbeck型扩散过程描述了短期利率的演变。

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2022-6-10 09:51:59

与传统模型相比，差异在于波动率是不确定的。我们通过一组被称为信念集的概率度量来表示波动性的不确定性，其中每个度量对应于对波动性的不同信念。这意味着，在每种衡量标准下，短期利率都有不同的波动性，不确定哪种衡量标准是关于波动性的正确信念。这样的一组测度自然地表现为次线性期望和G-布朗运动。次线性期望可以解释为最坏情况的度量。G-布朗运动基本上是波动率不确定的布朗运动。因此，我们使用G-布朗运动来描述短期利率的演化，即作为短期利率动力学的驱动因素。由于其波动性的不确定性，短期利率具有不确定性方差。本文的主要问题是如何在波动率不确定的情况下找到无套利期限结构。波动性不确定性的关键特征是，它由一组非支配的信念表示。这意味着，不存在消除信仰集合中所有度量的度量。因此，不可能找到相关债券市场的单一等效鞅测度。因此，关于比特率的讨论在这个框架中成为一个微妙的问题。如果我们想遵循鞅建模方法，我们需要以这样的方式选择债券价格，即贴现债券是对称的G鞅，这意味着它们是波动性的每个可能场景中的鞅。

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2022-6-10 09:52:03

鞅建模是短期模型中的一种常见方法，但不幸的是，我们可以证明这种方法在最初给定的信念集下不起作用。为了找到无套利期限结构，我们考虑由线性G-倒向随机微分方程定义的次线性预期。通过倒向随机微分方程的标准结果，我们可以通过该程序确定一致的次线性期望。由于G-倒向随机微分方程是线性的，因此存在显式解。解的表示表明，得到的次线性期望与等价测度变化下的期望相对应。我们还可以正式表明，以这种方式定义的次线性期望在某种意义上与初始期望相等。因此，如果存在这种特定类型的次线性期望，而贴现债券是对称G鞅，那么债券市场是无风险的。我们证明了存在上述类型的次线性期望，在该次线性期望下存在唯一的无套利期限结构。如果我们选择一个特定的过程作为线性G向后随机微分方程的系数，定义等价的次线性期望，我们会得到一个次线性期望，在该次线性期望下，债券价格有一个唯一的表达式，使得贴现债券是对称的G鞅。这一选择可能看起来很特别，但可以通过经济论证来证明。由于G-Brownian运动的Girsanov变换，该过程表示一个调整因子，通过其不确定方差调整短期利率。或者，我们可以将该过程解释为风险的市场价格。

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2022-6-10 09:52:05

由于该模型不仅存在风险，还存在不确定性，因此我们也将该过程称为不确定性的市场价格。由此产生的债券价格虽然相似，但与传统模型的价格不同，没有波动性不确定性。特别是，他们对于短期利率和市场价格的不确定性有一个有效的结构。尽管该模型的结构不同于传统模型，但在拟合屈服曲线后，我们仍然与经典的赫尔-怀特模型保持一致。由于我们考虑了一个等效的次线性预期，GBrownian运动的Girsanov变换意味着短期利率以及债券价格的动力学与传统模型的动力学不同。与经典模型一样，我们使用短期利率的平均回归水平将模型的债券价格拟合为初始收益率曲线，在市场上可以观察到。令人惊讶的是，短期利率动态和债券价格再次与经典的赫尔-怀特模型一致。如果我们降低波动性的不确定性，短期利率动态和债券价格与经典的一致。此外，我们还研究了由多个风险因素驱动的模型的扩展。为了简单起见，我们在存在单个风险因子的情况下得出上述结果，即短期利率由单个G-布朗运动驱动。这样的框架简化了结果的解释和直觉，并使我们能够将结果与经典的赫尔-怀特模型进行比较。然而，实证研究表明，需要更多的因素来解释期限结构变动[2，22，35]。因此，我们考虑一个模型扩展，其中短期利率受多个波动率和相关性不确定的风险因素的影响。

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2022-6-10 09:52:09

我们能够将之前的所有结果推广到一般情况。就文献而言，模型不确定性的概念起源于Knightian不确定性，Knightian不确定性由Knight引入【37】。奈特不确定性被认为是风险的对应物，因为风险可以通过与不确定性相对应的概率来衡量。这种不确定性描述了现实中过于复杂或相关数据缺失，无法计算此类事件风险的事件。在这种情况下，人们通常假设一些量是完全不确定的，但有两个极值。在波动率不确定性的情况下，我们相应地考虑所有波动率情景，这些情景在一定的时间间隔内取值，无需进一步说明。有许多方法可以从数学上描述波动率的不确定性。一方面，Denis和Martini【25】以及Soner、Touzi和Zhang【47】的方法从概率的角度出发。另一方面，彭[43]提出了G-布朗运动理论，其中分布由非线性偏微分方程描述。事实上，丹尼斯、马丁尼【25】和彭【43】的方法是通过二元性联系起来的，这一点由丹尼斯、胡和彭【24】所展示。此外，还有一些推广，例如对波动率情景族的时间相关随机边界的扩展【42】和路径随机演算【20，以及其中的参考文献】。本文主要使用G-布朗运动理论，因为有关G-布朗运动的文献提供了很多结果。关于资产市场模型不确定性的文献非常广泛。有许多关于资产市场波动性不确定性的研究[4、27、40、49]。

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2022-6-10 09:52:12

由于波动性确定性由一组非支配的概率测度表示，资产定价的经典基本定理不能用于这种情况。因此，有许多方法可以将该定理推广到多优先级设置中[7、9、12]。此外，还有无模型版本，即没有任何参考度量值[1、14、45]。与稳健金融相关的另一个广泛研究的主题是在存在多个先验条件下（3、16、44及其中的参考文献）或根本没有任何先验条件下（6、8、46及其中的参考文献）或有条件目标的定价和对冲。关于利率模型中模型不确定性的文献相对较少，也没有研究在波动不确定性存在的情况下获得无套利期限结构的论文。爱泼斯坦（Epstein）和威尔莫特（Wilmott）[26]研究了一个带有名词性概率假设的利率模型。相反，他们用骑士式的不确定性来描述短期利率的演变，这通常会导致合同价格在利率范围内变化。不幸的是，关于没有套利的讨论，就像所有的推导一样，非常直观，数学性较差。Avellaneda和Lewicki【5】采用波动性不确定性原则构建了一个利率模型，该模型也适用于一系列价格。然而，对没有套利的情况也以非常直观的方式进行了处理。Fadina和Schmidt【29】引入了一个具有违约风险和模糊性的期限结构模型。不明确的参数是默认强度，优先权集占主导地位。这简化了关于套利的讨论，并得出了一系列可违约债券的无套利价格。Fadina、Neufeld和Schmidt【28】研究了具有参数不确定性的有效过程以及模糊情况下的债券定价，这也导致了一系列价格。

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2022-6-10 09:52:15

然而，Biagini、Bouchard、Kardaras和Nutz【9】的一个极端论据证明了这一过程的合理性，这对于债券定价来说是不合理的，因为它们是固定收益市场的基本数量，也就是说，它们无法对冲。克服有关短期利率波动性的程式化事实的一种不同但相关的方法是使用制度转换模型。制度转换期限结构模型假设波动率遵循连续时间马尔可夫链，在一定数量的值之间跳跃。关于政权转换期限结构模型的文献表明，与经典期限结构模型相比，这些模型具有优势【23、33、41】。在本文中，我们考虑了由两个极值约束的所有波动过程。因此，我们还考虑了由状态转换项结构模型描述的轨迹。然而，这只是一个明智的论点。人们需要扩大模型的概率空间，以获得由状态切换项结构模型考虑的相同马尔可夫链，因为马尔可夫链跳到不同状态的概率通常独立于其余风险因素。一般而言，与仓促波动率相比，波动率不确定性是一种概念上不同的方法。有大量证据表明，所有主要金融量的波动性既不是常数，也不是确定性的。这个问题由随机波动率模型解决，其中标的证券的波动率由一个特殊的随机过程建模。后者的选择通常使其具有历史波动性的特征，并且模型隐含的期权价格与市场观察到的价格相匹配。

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2022-6-10 09:52:18

然而，可能有许多型号规格执行此任务。此外，由于市场环境可能发生剧烈变化，因此无法确定与过去一致的波动率规格在未来是否仍然有效。考虑不确定波动率的目标是通过考虑一系列可能的概率律而不知道哪一个是正确的，从而放松波动率概率律完全已知的假设，以使模型具有鲁棒性。本文的组织结构如下。在第2节中，我们构建了一个波动率不确定性建模框架，并介绍了短期利率过程。第三节介绍了相关债券市场。在第4节中，我们将鞅建模的概念应用于波动率不确定性，并证明鞅建模在波动率不确定性存在的情况下不起作用。因此，我们在第5节中定义了等效的次线性预期，我们可以用它来确定无套利期限结构。在第6节中，我们证明了存在一个等价的次线性期望，在此条件下我们得到了一个唯一的无套利期限结构。第7节显示了如何将模型拟合到最初观察到的术语结构。在第8节中，我们将模型扩展到由多个风险因素驱动的版本。第9节给出了结论。2短期利率动态在传统的赫尔-怀特模型中，没有波动不确定性，短期利率由标准布朗运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程描述。让我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）以便Ohm = C（R+），F=B(Ohm), 这就是维纳测度。C（R+）和B(Ohm) 表示R+上所有R值连续路径的空间，从0开始，Borelσ-代数在Ohm, 分别地我们用B=（Bt）t表示≥0正则过程，我们选择F=（Ft）t≥0是由所有P-null集完成的b生成的过滤。

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2022-6-10 09:52:21

那么B是P下的标准布朗运动。没有波动不确定性的经典赫尔-怀特模型假设短期利率过程r=（rt）t≥满足随机微分方程RT=r+Ztu（u）- αrudu+σBt（2.1），适用于适当可积函数u：R+→ R和常数α，σ>0。因此，短期利率是一个具有恒定波动性的均值回复过程。在存在波动率不确定性的情况下，我们考虑一系列概率度量，其中每个度量表示对波动率的不同信念。波动率的状态空间由σ的区间[σ，σ]给出≥ σ > 0. 我们用所有[σ，σ]值的F适应过程的集合来表示。也就是说，A由以两个极值为界的所有可能的进化过程组成。对于每个σ=（σt）t≥0∈ A、我们定义了过程Bσ=（Bσt）t≥0by，Bσt：=ZtσudBu，我们将度量Pσ定义为过程Bσ的规律，即Pσ：=Po （Bσ）-我们称所有这些度量的集合为P：={Pσ|σ∈ A} 信念集sinceP包含关于波动性的所有信念。现在，规范化过程在信念集合中的每个度量下都有不同的可用性。此外，我们将子线性期望^E定义为信念集的上期望，^E[ξ]：=支持∈所有可测ξ的PEP[ξ]，使得所有P都存在EP[ξ]∈ P、如果ξ表示财务损失，那么^E可以理解为风险度量。一般来说，E代表最坏的情况衡量标准。波动率的不确定性自然会导致G-布朗运动。根据Denis、Hu和Peng【24】，^E对应于LG的G期望(Ohm) 正则过程B是^E下的G-布朗运动。G-期望通过非线性方程定义，其中非线性生成器G:R→ R由g（a）=supσ给出∈[σ，σ]{σa}。LG公司(Ohm) 是定义G期望的随机变量空间。

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2022-6-10 09:52:25

也有人试图扩大G-期望的范围。在这里，我们使用经典空间，以便能够应用G-布朗运动文献中的所有结果。我们识别随机变量ξ，ξ′∈ LG公司(Ohm) 如果它们相等，则q uasi肯定，即P-几乎肯定为所有P∈ P、相当于^E[|ξ- ξ′|] = 0. 如果我们需要指出一个语句在哪一组度量下是肯定的，那么我们也会使用terminologyP准肯定。关于G-布朗运动的微积分的详细信息可以在彭的书中找到【43】。G-布朗运动是为建模波动率不确定性而定制的，因为它没有平均不确定性，只有方差不确定性。这意味着，对于所有t，^E【Bt】=0=-^E[-Bt]，^E[Bt]=σt≥ σt=-^E[-英国电信]。因此，G-布朗运动的二次变化是一个不确定的过程，对于所有t，满足σt≥ hBit公司≥ σt。因此，规范过程在平均值上是明确的，并且在最大σ和至少σ的波动率下演化。前面的不等式表明，如果没有波动率不确定性，即σ=σ，则B是具有常数波动率的标准布朗运动。我们用G-Brownian运动驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程描述了短速率的行为。我们选择与经典Hull Whitemodel中相同的结构。不同之处在于，我们将恒常波动性和标准布朗运动替换为G-布朗运动，从而包含波动不确定性。因此，短期过程r应该由G-随机微分方程RT=r+Zt给出u（u）- αrudu+Bt（2.2）用于适当可积函数u：R+→ R和常数α>0。因此，短期利率具有与时间相关的均值回归水平（确定性）和与时间相关的可用性（不确定性）。

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2022-6-10 09:52:28

这是可取的，因为我们可以使用均值回归水平来拟合收益率曲线，并且我们不必指定任何波动率结构。应该注意的是，（2.2）对应于（2.1），即，如果σ=σ=σ，没有波动不确定性的经典情况。描述短期利率动力学的G-随机微分方程有一个闭式解。根据彭[43]的定理5.1.3，我们知道（2.2）对于每T<∞. 空间MG（0，T）由具有一定规律性的随机过程组成，用于定义G-布朗运动计算中的随机积分。与经典情况一样，我们可以显式求解（2.2）。提案2.1。G-stocha微分方程（2.2）的解为n byrt=e-αtr+中兴通讯-α（t-u） u（u）du+中兴通讯-α（t-u） dBu。（2.3）证明。这可以通过使用G-布朗运动的It^o公式来验证【38，定理5.4】。验证工作完全类似于标准布朗运动的经典情况。短期利率没有平均不确定性，但具有不确定性方差。我们可以很容易地证明，短期利率的较高预期与其较低预期一致。因此，短期利率的平均值是确定的。此外，我们可以证明，短期利率与其平均值的平方偏差的上下期望值是由具有最高、最低可能波动率的经典赫尔-怀特模型的方差给出的。因此，短期利率有一个不确定方差，该方差由两个极值限定。定理2.1。对于所有t，短期利率rtsaties^E【rt】=E-αtr+中兴通讯-α（t-u） u（u）du=-^E[-rt]，（2.4a）^E（rt-^E【rt】）=σ2α(1 - e-2αt）≥σ2α(1 - e-2αt）=-^E- （rt-^E【rt】）. （2.4b）证明。首先，我们概述如何获得（2.4a）。（2.3）右侧的前两个总和具有确定性。

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2022-6-10 09:52:31

我们知道，关于G-Brownian运动的积分的上期望和下期望均为零。因此，它适用于（2.4a）。为了显示（2.4b），我们使用了Hu、Ji、Peng和Song的非线性Feynman-Kac公式【34】。我们定义了过程X=（Xt）t≥0表示r与其平均值的偏差，即Xt：=rt-^E【rt】=中兴通讯-α（t-u） dBu。通过命题2.1，我们知道X解G-随机微分方程xt=-ZtαXudu+Bt。然后过程Y=（Yt）0≤t型≤T、由Yt定义：=^Et[XT]，由Yt=u（T，XT）[34，定理4.4，4.5]给出，其中函数u：[0，T]×R→ R是非线性偏微分方程的唯一粘度解tu+G(徐）- αxxu=0，u（T，x）=x。可以验证非线性偏微分方程的解由u（T，x）=σ2α（1）给出- e-2α（T-t））+e-2α（T-t） x.这证明了（2.4b）中的第一个等式。第二步遵循相同的步骤。3相关债券市场相应的债券市场包括货币市场账户和所有可能到期的零耦合债券。首先，我们确定一个有限时间τ<∞ 假设所有交易都发生在有限的时间范围内[0，τ]。该市场包括以下投资机会。第一个是投资于货币市场账户，该账户按短期利率r增长。货币市场账户是一个由M=（Mt）0表示的过程≤t型≤τ和由mt给出：=expZtrsds公司.除了货币市场账户外，市场还为时间范围内的所有到期日提供零息票债券。对于T≤ τ，到期时间为T的债券的价格用T的Pt（T）表示≤ T债券的最终收益为1，即所有T的PT（T）=1。从今以后，我们使用货币市场账户作为数字。

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2022-6-10 09:52:34

这就是说，我们限制贴现债券▄P（T）=（▄Pt（T））0≤t型≤T对于T≤ τ，由▄Pt（T）定义：=M-1磅（T）。我们假设，对于所有T，贴现债券▄P（T）是一个扩散过程，即▄Pt（T）=▄P（T）+Ztαu（T）du+Ztβu（T）dBu+Ztγu（T）dhBiufor过程α（T）=（αT（T））0≤t型≤T、 β（T）=（βT（T））0≤t型≤T、 γ（T）=（γT（T））0≤t型≤TinMG（0，T）。这是一个技术假设，可使以下定义起作用。该假设在所有后续场景中都得到了满足。代理人可以通过选择交易策略来创建投资组合来参与市场。选择市场策略意味着他们可以选择一定数量的贴现债券进行交易，并决定在时间范围内每次购买或出售多少。相关投资组合的价值是与价格过程相关的市场策略的组成部分。这意味着，假设交易策略是自我融资。定义3.1。容许市场策略（π，T）是由有界过程π=（πT，…，πnt）0组成的一对≤t型≤τ单位为MG（0，τ；Rn），向量T=（T，…，Tn）∈ [0，τ]n组n∈ N、终端时间对应的投资组合价值由▄vτ（π，T）：=nXi=1ZTiπitd▄Pt（Ti）确定。通过使用大型金融市场的方法【36】或通过允许在所有到期日范围内进行连续交易【11】，可以推广对交易一定数量贴现债券的限制。在这里，我们仅限于交易大量折扣债券，因为这种泛化不是模型的目标。我们使用套利的准肯定概念。套利的经典定义取决于模型的潜在概率度量。由于我们在存在波动性不确定性的情况下处理不止一个度量，因此我们需要考虑一个与经典定义略有不同的定义。

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2022-6-10 09:52:37

以下套利定义与稳健金融文献中常用的定义相对应【例如，12】。定义3.2。如果▄vτ（π，T），则可接受的市场策略（π，T）称为套利策略≥ 0准肯定，Pvτ（π，T）>0> 0表示至少一个P∈ P、此外，如果没有套利策略，我们可以说债券市场是无风险的。这是一个弱于要求策略必须是套利的经典意义上的所有措施。不同之处在于，在每种衡量标准下，绝对积极获胜的概率并不一定是绝对积极的。4鞅建模大多数短期利率模型使用鞅建模方法来确保相关债券市场无套利。数学金融中的一个标准结果是，市场是无套利的，当且仅当市场上的交易量在一个与真实世界度量相等的度量下是鞅，称为资产定价基本定理。短期利率模型的常见做法是鞅模型，因为债券市场是不完整的。不完全意味着不存在唯一的鞅测度，但存在许多鞅测度。因此，通常假设在给定鞅测度下，短期利率满足一定的动力学。然后选择债券价格，使贴现债券在外生给定鞅测度下为鞅，以排除套利。在存在波动不确定性的情况下，鞅建模要求贴现债券在^E下是对称的G-鞅。如果存在波动不确定性，则信念集包含相互奇异的测度。因此，信念集合没有支配性度量，这意味着不可能找到一个与信念集合中的所有度量相等的鞅度量。

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能者818

2022-6-10 09:52:40

Bouchardand-Nutz【12】针对离散时间案例，以及Biagini、Bouchard、Kardaras和Nutz【9】针对连续时间案例，建立了可能非支配信念集下资产定价的基本定理。粗略地说，该定理认为，无套利等价于一组鞅测度的存在，而在某种意义上，鞅测度等价于一组信念。这意味着，价格过程必须是等价测度集中每个测度下的鞅。因此，如果我们想在存在波动不确定性的情况下遵循鞅建模方法，我们需要假设我们的信念集是一组外部给定的鞅度量。然后我们需要选择债券价格，使贴现债券在信念集的每个度量下都是鞅。在信念集的每个度量下都是鞅，这等价于在^E下是对称的G-鞅。这种鞅建模方法在没有套利的情况下的效率如下所示。提案4.1。如果贴现债券P（T）在所有T的^E下是非对称G鞅，则债券市场是无套利的。证据我们假设存在一个套利策略（π，T），并证明这导致了一个矛盾。根据定义3.2，它保持▄vτ（π，T）≥ 因此，我们知道|vτ（π，T）|=vτ（π，T），这意味着^E[|vτ（π，T）|]=^E[vτ（π，T）]。利用定义3.1和^E的次线性，我们得到了^E[~vτ（π，T）]≤nXi=1^EhZTiπitdPt（Ti）i。根据对称G鞅的表示定理[48，定理4.8]，对于所有T，存在一个过程H（T）=（Ht（T））0≤t型≤Tin-MG（0，T），使▄Pt（T）=▄P（T）+ZtHu（T）dBu。由于πiis是MG（0，τ）中的有界过程，我们有πiH（Ti）∈ MG（0，Ti）表示所有i。因此，对于所有i，^EhZTiπitdPt（Ti）i=^EhZTiπitHt（Ti）dBti=0。

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2022-6-10 09:52:43

结合前面的步骤，我们得到▄vτ（π，T）=0，这是一个矛盾顶部vτ（π，T）>0> 0表示至少一个P∈ P、因此，不存在套利策略。不幸的是，我们可以证明赫尔-怀特模型中的鞅建模方法在存在波动率不确定性的情况下不起作用。鞅模型仅在波动率不存在不确定性的经典情况下有效。在这种情况下，债券价格显然由经典赫尔-怀特模型的债券价格给出。定理4.1。贴现债券P（T）是^E下的对称G鞅，当且仅当σ=σ，且债券价格由pt（T）=exp给出Aσ（t，t）- B（t，t）rt（4.1）对于所有t，其中Aσ，B：[0，τ]×[0，τ]→ R、对于σ>0，定义为σ（t，t）：=ZTtσB（s，T）- u（s）B（s，T）ds，（4.2a）B（t，t）：=α（1- e-α（T-t））和（4.2b）。证据首先，假设贴现债券P（T）是^E下的对称G-鞅。我们证明了在信念集的每个测度下，贴现因子的期望是相同的。对称G鞅的定义和键的终端条件意味着▄Pt（T）=^Et[▄P（T，T）]=^Et[M-1T]，~Pt（T）=-^Et[-~P（T，T）]=-^Et[-M-1T]对于所有t.组合前面的方程式并设置t=0 Yieldsupp∈政治公众人物【M】-1T]=infP∈政治公众人物【M】-1T），（4.3），这反过来意味着-1在每种测量下都是一样的。现在，我们使用经典赫尔-怀特模型中的债券价格表达式来说明（4.3）意味着σ=σ和（4.1）。让我们考虑度量Pσ，Pσ∈ P分别由最高和最低可能波动率引起。M的期望-1t在Pσ和Pσ下由epσ[M]给出-1T]=经验值Aσ（0，T）- B（0，T）r,EPσ[M-1T]=经验值Aσ（0，T）- B（0，T）r,分别为【10，第22.4.4小节】。根据（4.3），后面的表达式相等。

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可人4

2022-6-10 09:52:46

从（4.2a）和（4.2b）中，我们可以看出，只有当σ=σ时，这才成立。由于σ=σ意味着P={Pσ}，我们回到了没有波动不确定性的经典情况。在这种情况下，债券价格由（4.1）给出。接下来，假设σ=σ，债券价格由（4.1）确定。然后，我们又回到了没有波动不确定性的经典情形，贴现债券显然是Pσ下的鞅。由于P={Pσ}，贴现债券也是不对称G鞅。5等效次线性预期为了找到无套利期限结构，我们考虑以下类型的公共预期，由G-倒向随机微分方程定义。设λ=（λt）0≤t型≤对于某些p>1，τ是MpG（0，τ）中的有界过程。对于ξ∈ 液化石油气(Ohmτ）当p>1时，我们通过Et[ξ]：=Yξt定义次线性期望值E，其中Yξ=（Yξt）0≤t型≤τ解G-倒向随机微分方程ξt=ξ+ZτtλuZudu-ZτtZudBu- （Kτ- Kt）。那么‘E’是一个时间一致的次线性期望【34，定理5.1】。读者可以参考胡、季、彭和宋的论文【34】，了解有关G-Backward随机微分方程的所有细节。我们可以证明，上述类型的次线性期望与初始次线性期望等价，因为与两个次线性期望相关的自然形式所诱导的空空间是相同的。引理5.1。对于ξ∈ 液化石油气(Ohmτ）当p>1时，ξ=0，如果'E[|ξ|]=0，则在l y上ξ=0。证据在我们展示这一论断之前，我们明确地解决了G-倒向随机微分方程定义E。

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大多数88

2022-6-10 09:52:49

为此，我们考虑扩展的▄G-期望空间（▄Ohmτ、 L▄G（▄Ohmτ），E）与规范过程（B，~B）=（Bt，~Bt）t≥0，其中▄Ohmτ=C（[0，τ]）和发生器G:S→ R由▄G（A）=supσ给出∈[σ，σ]trσ 11 σ-1.A..C（[0，τ]）和sde分别注记了从0开始的[0，τ]上所有R值连续路径的空间和所有对称2×2矩阵的空间。那么Yξ由Yξt=E给出-1t▄Et【Eτξ】【34，定理3.2】，其中过程E=（Et）0≤t型≤τ由et定义：=expZtλudBu-ZtλudhBiu.现在，我们通过将▄E和▄E表示为一系列概率测度的上期望来展示这一断言。必须证明当且仅当ξ的E[|ξ]=0时，E[|ξ]=0∈ 液化石油气(Ohmτ）当p>1时，因为我们知道对于所有ξ，E[ξ]=^E[ξ]∈ LG公司(Ohm). 如第2节所述，我们可以在（）Ohmτ、 B（yenOhmτ））使▄E[ξ]=sup▄P∈对于所有ξ，PEP[ξ]∈ L▄G（▄Ohmτ). 此外，E求解G-随机微分方程et=1+ZtλuEudBu。这意味着E是对称G-鞅，满足▄E[Eτ]=1。因此，对于▄P∈P，我们可以定义一个概率度量Ohmτ、 B（yenOhmτ））乘以Q（P）：=Eτ·P。由于Eτ>0P-准肯定，我们知道Q（P）~P。如果我们现在定义Q：={Q（▄P）▄P∈P}，weget？E[ξ]=supQ∈QEQ[ξ]适用于所有ξ∈ 液化石油气(Ohmτ). 由于Q由等价测度组成，我们得到ξ=0P-拟序当且仅当ξ=0 Q-拟序确定。因此，证明是完整的。因此，我们可以证明，如果存在上述类型的等价次线性期望，其中贴现债券是对称G-鞅，那么债券市场上就不存在类似的情况。提案5.1。如果贴现债券P（T）在所有T的E下为不对称G鞅，则债券市场是无套利的。证据我们使用Hu、Ji、Peng和Song的引理5.1和G-Brownian运动的Girsanovtransformation证明命题4.1。

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2022-6-10 09:52:52

假设存在一个套利策略（π，T）。根据定义3.2，它保持▄vτ（π，T）≥ 0，这意味着|▄vτ（π，T）|=▄vτ（π，T）。通过引理5.1，我们得到了‘E[| vτ（π，T）|]=’E[| vτ（π，T）]。利用定义3.1和“E”的次线性，我们得到了“E[~vτ（π，T）]≤nXi=1'EhZTiπitd'Pt（Ti）i。通过G-布朗运动的Girsanov变换[34，定理5.2]，过程'B=（'Bt）0≤t型≤τ、由“Bt”定义：=Bt-Ztλudu是E下的G-布朗运动。由于P（T）是E下的对称G-鞅，对于所有T，存在一个过程H（T）=（Ht（T））0≤t型≤Tin-MG（0，T）使▄Pt（T）=▄P（T）+ZtHu（T）d▄Bu。因此，在命题4.1的证明中，对于所有i，我们得到了“EhZTiπitd”Pt（Ti）i=“EhZTiπitHt（Ti）d”Bti=0。结合前面的步骤，我们通过引理5.1得到了“vτ（π，T）=0，这是一个矛盾的顶部vτ（π，T）>0> 0表示至少一个P∈ P、因此，不存在套利策略。6无套利期限结构存在上述类型的等价次线性期望，其中贴现债券是对称G鞅。我们定义了过程q=（qt）0≤t型≤τbyqt：=中兴通讯-2α（t-u） dhBiu。通过应用G-Brownian运动的It^o公式，我们观察到q satifiesqt=hBit-Zt2α去离子。如果我们使用过程q来定义第5节中的等效次线性预期，我们会得到一个次线性预期，在该次线性预期下，债券价格有一个唯一的表达式，使得贴现债券是对称G鞅。下面给出了选择过程q的理由。定理6.1。设λ=q。则所发现的债券P（T）是E下的对称G-鞅，当且仅当债券价格由pt（T）=exp给出A（t，t）- B（t，t）rt-B（t，t）qt（6.1）对于所有t，其中A，B：[0，τ]×[0，τ]→ R由a（t，t）定义：=-ZTtB（s，T）u（s）d s（6.2）和（4.2b）。证据

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2022-6-10 09:52:54

首先，我们证明了进程X=（Xt）0≤t型≤T、定义byXt：=expA（t，t）- B（t，t）rt-B（t，t）qt-Ztrsds公司,是^E下的对称G-鞅。应用它的G-布朗运动toX的^o公式可以得到动力学Xt=X+Zt乌苏都-ZtB（u，T）XudBu+Zt′uXudhBiu，其中漂移项 = (t） 0个≤t型≤坦德′= (′t） 0个≤t型≤皮重由给出t： =tA（t，t）- tB（t，t）rt- B（t，t）tB（t，t）qt- B（t，t）（u（t）- αrt）+B（t，t）αqt- rt公司=tA（t，t）- u（t）B（t，t）-tB（t，t）- αB（t，t）+1rt公司- B（t，t）tB（t，t）- αB（t，t）qt，′t： =-B（t，t）+B（t，t）=0。函数A和B满足tA（t，t）=u（t）B（t，t），tB（t，t）=αB（t，t）- 分别为1。因此，我们得到xt=X+ZtB（u，T）Xuqudu-ZtB（u，T）XudBu。由于前面的方程是一个具有有界系数的线性G-随机微分方程，它有一个唯一的解，单位为MG（0，T）。因此，X∈ MG（0，T），表示Xt∈ LG公司(Ohmt）对于所有t，通过G-Brownianmotion的Girsanov变换，过程“B=（”Bt）0≤t型≤τ、由“Bt”定义：=Bt-Ztqudu是E下的G-布朗运动。因此，X是E下的对称G-鞅。使用第一步，我们现在证明这个断言。如果▄P（T）是▄E下的对称G-鞅，则对于所有T，它保持▄Pt（T）=▄Et[▄Pt（T）]=▄Et[M-1吨]。由于X也是E下的对称G-鞅，且a（T，T）=0=B（T，T），我们得到XT=\'Et[XT]=\'Et[M-1T]对于所有t。因此，对于所有t，我们有▄Pt（t）=XT，这相当于（6.1）。相反，如果（6.1）成立，我们得到所有T的▄Pt（T）=XT，因此▄P（T）在证明的第一步是对称G鞅。我们使用过程q来获得无套利期限结构，因为它是不确定波动率的调整因子。

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2022-6-10 09:52:57

定理4.1的证明表明，在波动率不确定性存在的情况下，贴现债券不可能是^E下的对称G鞅，因为贴现因子的期望值在信念集合中不是相同的forevery测度。正如定理2.1所示，由于短期利率在每个指标下都有不同的方差，因此P中各指标的期望值不同。因此，为了统一各指标下贴现因子的期望值，我们需要根据其方差的不确定性来调整短期利率。以下等式表明，过程q是一个合适的调整因子，因为它包含与短期利率方差相同的信息。根据命题2.1和关于G-布朗运动的积分的标准性质[43，命题3.4.5]，我们得到了^E[（rt-^E[rt]]=^Eh中兴通讯-α（t-u） dBui=^EhZte-2α（t-u） dhBiui=^E【qt】。因此，我们设置λ=q，并使用G-布朗运动的Girsanov变换，通过其方差调整短期利率。然后，短期利率按照动态SRT=r+Zt演变u（u）- αru+qu另一个重要的观察结果，可以从q的动力学中推断出来，是过程q平均值向G-布朗运动的二次变化方向，从而向短速率的二次变化方向，恢复速度是短速率的两倍。因此，这一过程总是朝着对波动率的正确信念进行调整，而波动率事先是未知的。从经济角度来看，设置λ=q也是合理的。在定理6.1的证明中，我们看到，在时间T上，到期日为T的零息票债券在货币市场账户上的瞬时超额收益由B（T，T）qt给出。除以扩散系数-B（t，t），我们得到风险的市场价格-qt。

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能者818

2022-6-10 09:53:01

一般来说，市场风险价格衡量的是，与每单位风险投资于货币市场账户相比，我们在债券方面做得有多好。由于q是正的，我们使用负的风险市场价格。这是适当的，因为债券在这个模型中没有风险。他们在到期时有一个1的特定支付，即没有违约风险。另一方面，投资货币市场账户是有风险的，因为短期利率是仓促且不确定的。因此，我们使用代表短期利率方差的过程来衡量货币市场账户的风险和不确定性。所以我们也可以参考-q为市场价格的不确定性。为了将定理6.1中的债券价格与传统模型中的价格进行比较，我们推导了一个调整因子，将两个表达式联系起来。我们用Pσt（t）表示具有恒定波动率σ的传统赫尔-怀特模型的债券价格，Pσt（t）定义为：=expAσ（t，t）- B（t，t）rt,其中Aσ（t，t）和B（t，t）分别由（4.2a）和（4.2b）定义。当前模型Pt（T）的债券价格由（6.1）给出。那么我们有pt（T）PσT（T）=exp-ZTtσB（s，T）ds-B（t，t）qt.右侧的表达式表示一个调整因子，我们可以使用该因子从传统模型迁移到波动率不确定的模型。通过检查调整系数，我们注意到传统模型和当前模型之间存在以下差异。由于调整因子小于1，因此本模型中的债券价格小于经典模型中的价格，没有波动不确定性。此外，我们还发现，依赖于波动率σ的平方项在Pt（T）中缺失。相反，根据市场价格的不确定性，我们在Pt（T）中有一个额外的术语。

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2022-6-10 09:53:04

因此，价格与波动性以及波动性的界限无关，这在大多数处理pricingunder波动性不确定性的模型中都是如此。这还意味着，由于指数中的附加部分在初始时间消失，因此初始时间的债券价格对应于无白噪声的赫尔-怀特模型确定性版本中的价格。尽管如此，在将标准赫尔-怀特模型拟合到初始屈服曲线后，这也适用于该模型。与经典的a ffine模型相比，债券价格现在与短期利率和市场价格的不确定性有关。这种结构类似于具有随机波动性的短期利率模型[31，39]。然而，债券价格中的额外因素不是波动性，而是朝着短期利率二次变化的当前值进行调整的过程。在Casassus、Collin Dufresne和Goldstein[17]的短期利率模型中可以发现惊人的相似结构，该模型显示了非计划随机波动性。该模型中价格的最重要影响如下。首先，我们设法获得一个期限结构，该结构对于波动率本身和波动率的界限都是稳健的。因此，我们既不必估计短期利率在未来的波动性，也不必估计其界限。诚然，这是我们必须付出的代价。我们必须明确债券价格中出现的不确定性市场价格。不确定性的市场价格取决于G-布朗运动二次变量的过去演变，这对应于赫尔-怀特模型中短期利率的二次变化。短期利率二次变化的过去演变是可观测的，可以从市场数据中推断出来。

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2022-6-10 09:53:07

或者，也可以估算短期利率的方差，作为不确定性市场价格的近似值。此外，根据Casassus、Collin Dufresne和Goldstein[17]的短期利率模型，债券价格完全不受波动性结构的影响。当波动率的边界用于债券衍生产品的定价时，即非线性合约，可能会进入模型。因此，该模型尽管结构简单，但可能是对Collin Dufresne和Goldstein（19）介绍的非退火随机波动率文献的贡献。然而，关于衍生品的详细讨论和定价将留待后续研究。7收益率曲线拟合在经典的赫尔-怀特模型中，我们可以使用随时间变化的平均回归水平将理论债券价格拟合为初始可观察的期限结构。我们介绍了以下概念和假设，它们在期限结构模型中很常见。假设有一条初始正向曲线f*: [0, τ ] → R、这是在市场上观察到的。我们假设初始正向曲线f*与众不同且令人满意*（0）=T的r≤ τ、模型的理论远期利率用ft（T）fort表示≤ T和定义单位FT（T）：=-Tlog Pt（T）。以下定理给出了理论正演曲线与初始可观测曲线相匹配的必要和充分条件，该条件表征了短期利率的均值回复水平。定理7.1。让债券价格由（6.1）给出。它能容纳f*（T）=f（T）对于所有T，当且仅当短r的mea n回复水平，对于所有T，满足u（T）=αf*（t） +tf公司*（t）。（7.1）证明。首先，我们推导出T的初始远期利率f（T）≤ τ当债券价格由（6.1）给出时。

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可人4

2022-6-10 09:53:10

取时间0时债券价格对数的导数，并更改符号，对于T≤ τ，我们得到f（T）=ZTu（T）e-α（T-t） dt+e-αTr.假设f*（T）=所有T的f（T）。根据上面的方程，我们得到了αTf*（T）=所有T的ZTu（T）eαtdt+rf。将后一个方程与T进行微分得到αeαTf*（T）+eαTTf公司*（T）=u（T）eαT。因此，平均回归水平令人满意（7.1）。如果我们假设平均回归水平满足（7.1），我们可以通过逆转上述计算，将其插入证明和检查的第一个方程中，即其保持SF*（T）=所有T的f（T）。在拟合屈服曲线后，该模型与经典的Hull-Whitemodel一致。一般来说，该模型与传统的赫尔-怀特模型不一致，因为短期利率动态和债券价格与传统模型中的不同，即使不存在波动性不确定性。调整后的短期利率动态由t=r+Zt给出u（u）+qu- αrudu+(R)Bt，明显不同于船体白色短期动力学。正如前一节的比较所示，债券价格也与赫尔-怀特模型中获得的债券价格不同。然而，将模型调整到收益率曲线后，该模型与经典模型一致。

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能者818

2022-6-10 09:53:13

在短期利率动态中插入（7.1）和q的定义后，如果没有波动不确定性，即如果σ=σ=σ[13，第3.3.1小节]，可以检查这些动态是否与fitted HullWhite模型中的相同。此外，在（6.2）中定义的A（t，t）中插入（7.1），并进行一些计算，yieldsA（t，t）=-ZTtf公司*（s） ds+f*（t） B（t，t）。将上述表达式插入（6.1）中，然后除以传统赫尔-怀特模型中的固定债券价格与波动率σ[13，第3.3.2小节]得出toPt（T）PσT（T）=expB（t，t）σ2α(1 - e-2αt）- qt.因此，调整因子现在由具有恒定波动性的短期利率方差与具有波动性不确定性的短期利率不确定性方差之间的差异来确定。因此，如果σ=σ=σ，则调整系数等于1。与经典赫尔-怀特模型的一致性进一步证明了qas的选择是市场价格的不确定性。上述讨论表明，在将理论价格与观测价格拟合后，短期利率动态中出现的调整因子q实际上包含在经典模型的动态中。因此，过程q自然出现在短期利率的风险中性动态中，这为以这种特殊方式选择市场价格的不确定性提供了另一种理由。然而，有趣的是，在经典模型中，该表达式用于收益率曲线拟合，而在该模型中，需要该表达式才能建立无障碍模型。为了完全校准模型，必须建立平均回复速度的稳健估计程序。定理7.1根据初始可观察的项结构描述了均值反转水平。然而，期限结构仍然涉及一个参数：平均反转速度α。

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2022-6-10 09:53:16

在短期利率模型中，估计参数的典型方法是使用最大利克利伍德法。最大似然法在很大程度上依赖于短期利率的概率定律。在波动率不确定性的存在下，短期利率有一系列可能的概率定律，我们不确定哪一个是正确的。因此，必须使用鲁棒性方法来校准模型，而不是经典的最大似然方法。8多因素扩展先前的模型可以推广到由多因素驱动的模型。为此，我们考虑了d维G-布朗运动B=（Bt，…，Bdt）t≥也就是说，Bi=（位）t≥0是所有i的一维G-Brownian运动。通过用cd（R+）替换C（R+）和[σ，σ]、从0开始的R+上所有Rd值连续路径的空间以及有界、闭和凸子集∑，可以构造d维G-Brownian运动，如第2节所示分别为Rd×d。因此，我们考虑了风险因素之间可能存在的不确定性相关性。短速率过程r由t=u（t）+dXi=1Xit定义，其中u：r+→ R是一个合适的可积函数，因子Xi=（Xit）t≥0满意度=-ZtαiXiudu+位，对于所有i，某些常数αi>0。过程xi由xit=Zte给出-αi（t-u） DBIU代表影响短期利率的风险因素。这种多因素扩展不会导致无套利期限结构。与第4节中的讨论类似，我们可以证明上面的短期利率动力学不适用于鞅建模。如定理4.1所示，我们可以证明，当且仅当存在新相对论不确定性，即∑是单态时，在^E下，解算的键可以是对称的G-鞅。

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