下面的定理提供了一个存在唯一性结果。提案5.3。常微分方程组（24）–（25）存在唯一的（分段）经典解。以下比较原则（其证明见附录）将用于确定超级复制XVA。定理5.4（比较定理）。假设存在uC≥ uC>Rd，使uC≥uC，Q≥ uCand设ˇu为ODE（25）的溶液。Let（uC）*（^v，m，ˇu）=uC1l{θC（^v，m）-ˇu≥0}+uC1l{θC（^v，m）-ˇu≤0}，（uC）*（^v，m，ˇu）=uC1l{θC（^v，m）-ˇu≥0}+uC1l{θC（^v，m）-ˇu≤0}，并定义驱动程序g*和g*通过插入默认强度（uC，Q）*和（uC，Q）*转化为（19）给出的_g的表达式，即g*t、 ˇu；^v，m= 嗨，QθI（^vt，mt）- ˇut+ （（uC）*（vt、mt、ut）- rD）θC（^vt，mt）- ˇut- h1，Qˇut+~ft、 ˇut，-ˇut，￠θI（^vt，mt）- ˇut，￠θC（^vt，mt）- ˇut；^v，m,g*t、 ˇu；^v，m= 嗨，QθI（^vt，mt）- ˇut+ （（uC）*（vt、mt、ut）- rD）θC（^vt，mt）- ˇut- h1，Qˇut+~ft、 ˇut，-ˇut，￠θI（^vt，mt）- ˇut，￠θC（^vt，mt）- ˇut；^v，m.Letˇu*和ˇu*是ODE（25）的解决方案，其中_g被g取代*和g*分别，即：。，tˇu*= g*（t，ˇu*; ^v，m），ˇu*= 0,tˇu*= g*（t，ˇu*; ^v，m），ˇu*= 0。（26）然后*≤ ˇu≤ ˇu*.基于不确定性区间极值计算的估值过程uC*和uC*用V（uC）表示*和V（uC）*分别地对于不确定波动率模型，ODE（26）可以理解为Black-Scholes-BarenblattPDEs的信用风险对应项；见Avellanda等人（1995年）。我们的研究和他们的研究之间的主要区别在于，在他们的论文中，不确定性来自波动性，波动性在微分算子中表现为二阶项。因此，指定定价公式中使用的波动率值的指标函数取决于期权价格相对于基础的二阶导数，即期权的伽马。

在我们的设置中，指定要使用的交易对手账户利率值的指标函数取决于XVA复制的当前值和收尾值之间的关系。当交易对手违约时，复制交易的价值跃升到损失价值。如果这种跳跃的规模为正，即交易的收尾价值较高，则交易员需要做空交易对手的账户，以将这种跳跃复制到违约风险。由于交易员希望考虑其交易的最坏情况，她会选择交易对手账户利率的最大值uC，因为这是其空头头寸的最低回报率。反之亦然，如果跳跃为负，交易员需要多头交易对手可违约账户。因此，交易者将使用smallercounterparty的账户利率uCto来处理最糟糕的复制场景。我们的目标是为XVA价格过程提供一个严格的上限，因为这意味着一个正确的超级复制价格。我们将这种超级复制价格与式（9）中定义的rXVA联系起来。确定流程*t： =ˇu*T-t、 以下定理表明rXVA与超级复制价格一致，并进一步规定了超级复制策略。后者是通过采用（22）–（23）中给出的策略并使用超级复制价格ˇU获得的*代替ˇU.定理5.5。稳健的XVA允许xvat=ˇU给出的显式表示*t1l{t<τ∧τ}+ИθC（^VτC，MτC-)1l{τC<τ∧τI∧T}+￠θI（^VτI，MτI-)1l{τI<τ∧τC∧T}1l{t≥τ∧τ} 和相应的rXVA超级复制策略由ξ1给出，*t=ˇU*技术性贸易壁垒-1l{t<τ∧τ} ，ξI，*t=LI（^Vt- Mt公司-)++ˇU*待定-1l{t≤τ∧τ} ，ξC，*t型=-LC（^Vt- Mt公司-)-+ˇU*待定-1l{t≤τ∧τ} ，ψm，*t=-Mt公司-Brmt1l{t<τ∧τ} ，ξf，*t型=-2ˇU*t+LC（^Vt- Mt公司-)-- LI（^Vt- Mt公司-)+- Mt公司-Brft1l{t<τ∧τ}.

（28）我们注意到，如果我们使用（28）中给出的稳健超级复制策略，并从初始资本rXVA开始，那么就不会有El Karoui等人（1998）所说的跟踪错误。换言之，在实施稳健战略时犯下的错误ξ1，t，ξI，t，ξC，t，ξf，t，ψm，*t型在真实市场中（交易对手账户的回报率为uC），而不是在robustmarket模型中（交易对手账户的回报率为uC）*) 为零。这可以理解为：等式（41）表明，超级复制投资组合的价值始终是rXVA。然而，在交易对手、投资者或CDS合同到期的最早违约时间（以较早者为准）之前，超级复制投资组合一直在产生利润，因为超级复制投资组合的价值变化大于*, 如（45）所示。换句话说，在一段时间间隔dt内，投资者会获得额外的现金（uC）*（Vt，Mt，ˇU*t）- uCθC（^Vt，Mt）-ˇU*t型在复制策略结束之前的任何时间。稳健策略仅取决于XVA价格过程和账户价格，与违约强度hC、Q无关，投资者不知道其价值。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-0.06-0.020.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0-0.4-0.20.4图2：我们使用以下参数：r±f=rD=0.001，α=β=0，T=3，LI=LC=0.5，η=2，ht=0.11l{0≤t<1}+0.31l{1≤t<t}，L=10，uI=0.2001，uC=0.2501，uC=0.1501，uC=0.2001。左面板：绘制ˇu（实心），ˇu*（虚线）和*（虚线）作为时间的函数。右面板：^θC（^v，0）的绘图（虚线），-作为时间函数的θI（^v，0）（虚线）和71u（实线）。

在左面板中，我们在子解和超解之间切换的默认强度是虚线和虚线与x轴的交叉点，大约在t=2.67处出现。在右侧面板中，第三方估值^v在约t=2.67时变为正值。在零利润的情况下，直接从公式（17）得出第三方估值^v=^v+- ^v-可以用收尾值表示，并由-θC（^v，0）LC-θI（^v，0）LI。因此，我们从图2的右面板得出，第三方估值在t=1.83之前为负值，在t>1.83时为正值。图2还显示了超级复制策略的重要性，即它在默认强度下不是单调的。从图2的右面板可以看出，数量|θC（^v，0）- ˇu在t处为零≈ 2.67，t<t时为非负，t>t时为严格负。这意味着（uC）*= uCprior to time tand while|θC（^v，0）- ˇu≥ 0，而在时间t之后，（uC）*= uC，因为我们有|θC（^v，0）- ˇu≤ 换言之，在交易之前，交易者将使用其超级复制投资组合的账户利率uC的最大值，因为当交易对手违约时，超级复制投资组合跳转到平仓价值，由^θC（^v，0）给出- ˇu，为正。时间t之后，交易者将选择账户利率的最小值uCof，因为该跳跃将为负值。从图2的右面板可以直接看到这一点，因为在时间t之前，灰点线占据实线的主导地位，而在时间t之后，情况则相反。该分析强调了与标准信用风险设置、抵押和平仓条款或XVA模型的根本区别，其中抵押和平仓价值取决于交易员的估值过程，正如Nie和Rutkowski（2016）所述。

在这些情况下，衍生品的价格在违约强度上是单调的，而在我们的设置中，超级复制投资组合的价值不一定具有这种单调性。这是因为事实上，抵押和平仓过程是外生的，即它们取决于第三方的外部估值，而不是超级复制投资组合的价值。5.3保证金的计算我们开发了当双方交易单名信用违约掉期合同的γ单位时，初始保证金的明确表达式。初始保证金使用风险价值标准确定，需要在物理度量P下计算，而不是在估值度量Q下计算。通过定义V aR，在集合{τ∧ τ> t}我们有imt（γ）=βV aRqγ^V（t+δ）∧T- γ^Vt |τ>t+= βinfnK∈ R> 0:Pγ^V（t+δ）∧T+γ^Vt>-Kτ> t型≥ 1.- qo。（29）因此，不同于变化裕度V M（γ）=αγ^Vt1l{τ∧τ（N）>t}即在γ中是线性的，初始裕度IM（γ）在γ中仅为正齐次。因此，我们将区分γ=1和γ=-1、首先注意γ^V（t+δ）∧T-^Vt= -γ（η（（t+δ）∧ T- t） ifτ≥ （t+δ）∧ T-L+ητ- t型否则γ=1的情况在实践中不太常见。我们通常预计L>ηT，因为保护买方不太可能支付超过违约情况下他将收到的金额（请注意，ηT是买方将支付的最高金额）。在这种情况下，保护卖方对保护买方的风险敞口为负值，导致V aR为负值。在γ=-1、我们获得-^V（t+δ）∧T+^Vt>-Kτ> t型=P-^V（t+δ）∧T∧τ+^Vt∧τ> -KP[τ>t]=R（t+δ）∧Tt（K- L+η（u- t） ）+e-h1，普杜尔∞te公司-h1，普渡。（30）因为等式的右侧。

（30）在K中是连续且递增的，表示（29）中概率事件的不等式（表征初始裕度）变为等式，因此可以对V aR进行数值计算。示例5.6。假设默认强度不变且t<t- δ. 计算γ的初始边缘γt=-1，我们注意到R（t+δ）∧Tt（K- L+η（u- t） ）+e-h1，普杜尔∞te公司-h1，Pudu=1- e-h1，PL-Kη∧δ.因此，IMT明确给出了求解上述方程的K值，即初始裕度(-1) =(βL+ηlog qh1，P如果q>e-h1，Pδ，否则为0。（31）初始保证金公式（31）具有直接的经济解释。首先，我们注意到，项乘以利差η为负，因为风险水平q的值介于0和1之间，因此log qis为负。因此，当初始保证金非零时，损失率和CDS利差均为正，损失率增加，CDS利差减少。这是很直观的：如果保护卖家必须在信贷活动中支付更多款项，他会提高保证金要求，如果从保护买家处收到的价差溢价更高，他会降低要求。此外，所需保证金在参考实体的违约强度中不断增加，在有限违约强度的限制情况下，它会收敛到产品Lβ。这反映了经济直觉：随着信贷事件发生的可能性越来越大，保护卖方要求买方准确支付其在信贷事件中收到的金额。最后，初始保证金的价值在风险水平上降低，而在抵押率上线性增加。5.4信用互换组合在本节中，我们将前面几节中进行的分析归纳为单一名称信用违约互换组合，每个组合都引用了不同的实体。

为了捕捉直接违约传染，welet生存实体的违约强度取决于过去的违约。在本节中，我们使用上标J，J {1，…，N}，表示默认实体的集合。例如，vjdenotest是CDS投资组合的复制过程，其中默认的引用实体正是集合J中的那些实体。我们用τJ表示参考实体的最后一次默认时间，单位为J（即τJ=maxj∈JτJ，假设maxj∈JτJ<τi，i 6∈ J），对于i 6∈ J我们使用τ1，jt表示经济情景中i-th参考实体的违约时间，其中J中的所有参考实体都已违约。首先，我们研究了第三方估值过程的动力学。请注意，如果所有实体都已默认，则^V{1，…，N}=0。当除i以外的所有实体都已违约时，即isJ={1，…，N}\\{i}（在本例中为τ1，J=τ{1，…，N}），类似于单个CDS合同的情况，其价格过程已在等式（14）中给出。因此-d^VJt=-rD^VJt- ηidt公司-^Z1，Jt$i，J，Qt，^VJτi，J∧T=Li1l{τi，J<T}。（32）接下来，我们提供了一个归纳关系，该关系将J中所有实体违约的州的投资者财富价格过程与参考实体i 6违约的州的投资者财富价格过程联系起来∈ J其他默认值。基本情况| J |=N- （32）中给出了1。对于| J |<N的情况- 1，我们获得-d^VJt=-rD^VJt-Xk公司/∈Jηkdt公司-Xk公司/∈J^Zk，Jt$k，J，Qt，^VJT∧明杰/∈JτJ，J=Xk/∈JLk+^V{k}∪Jτk，J1l{τk，J=最小值/∈JτJ，J}1l{τk，J<T}。（33）然后，通过考虑所有可能的违约实体子集，得出价格过程和复制策略，从而得出^Vt=XJ∈2{1，…，N}^VJt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，^Zit=XJ∈2{1，…，N}{i}^Z1，Jt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}。并行过程M仍然由等式给出。

（4） 与上述表达式一起表示^V。接下来，我们使用类似的归纳论点来定义V：=（Vt）t≥0进程。显然，V{1，…，N}=0。现在考虑一下除了实体i之外的所有实体都默认的状态，即J={1，…，N}\\{i}（和τ1，J=τ{1，…，N}）。在多名称情况下，（12）的对应表达式如下所示-dVJt=ft、 VJt、Z1、Jt、ZI、Jt、ZC、Jt；MJ，Jdt公司- Z1，Jtd$i，J，Qt- ZI，Jtd$I，Qt- ZC、Jtd$C、Qt、VJτ∧τi，J=Li1l{τi，J<τ∧T}+θI（^VJτ，MJτ-)1l{τ<τ1，J∧τC∧T}+θC（^VJτ，MJτ-)1l{τ<τ1，J∧τI∧T}，其中f的形式与（13）中处理的单名情况类似，由f给出t、 v、z、zI、zC；M、 J:= -r+fv+z+zI+zC- M+- r-fv+z+zI+zC- Mt公司-- rDz公司- rDzI公司- rDzC+r+毫米+- r-毫米-+Xk公司/∈Jηk.与式（33）类似，J中所有参考实体违约的州的财富复制过程与其他实体i 6违约的州有关∈ J默认值：- dVJt=ft、 VJt，Xk/∈JZk、Jt、ZI、Jt、ZC、Jt；MJ，Jdt公司-Xk公司/∈JZk，Jtd$k，J，Qt- ZI，Jtd$I，Qt- ZC、Jtd$C、Qt、VJτ∧明杰/∈JτJ，J=Xk/∈JLk+V{k}∪Jτk，J1l{τk，J=最小值/∈JτJ，J∧τ} 1l{τk，J<T}+θI^VJτ，Mτ-1l{τI<minj/∈JτJ，J∧τC∧T}+θCγ^VJτ，Mτ-1l{τC<最小值/∈JτJ，J∧τI∧T}。总之，我们得到vt=XJ∈2{1，…，N}VJt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，Zit=XJ∈2{1，…，N}\\{i}Z1，Jt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ZIt=XJ∈2{1，…，N}ZI，Jt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ZCt=XJ∈2{1，…，N}ZC，Jt1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}。按照第5节的思路，我们可以在等式中获得XVA过程的BSDE。

(8):-dXVAJt=￠ft、 XVAJt，Xk/∈J▄Zk，Jt，▄ZI，Jt，▄ZC，Jt；MJ，Jdt公司-Xk公司/∈JZk，Jtd$k，J，Qt-ZI，Jtd$I，Qt-ZC、Jtd$C、Qt、XVAJτ∧明杰/∈JτJ，J=Xk/∈JLk+XVA{k}∪Jτk，J1l{τk，J=最小值/∈JτJ，J∧τ} 1l{τk，J<T}+￠θI^VJτ，Mτ-1l{τI<minj/∈JτJ，J∧τC∧T}+℃^VJτ，Mτ-1l{τC<最小值/∈Jτ1，J∧τI∧T},式中，式（17）中给出了θc和θi，其中，Z1、Jt、ZI、Jt和ZC、Jt定义为Z1、Jt：=Z1、Jt-^Z1，J，i/∈ J、~ZI、Jt：=ZI、Jt、~ZC、Jt：=ZC、Jt和▄ft、 xva、~z、~zI、~zC；M、 J: = -r+fxva+～z+～zI+～zC+Xk/∈JLk公司- Mt公司+- r-fxva+～z+～zI+～zC+Xk/∈JLk公司- Mt公司-- rDz- rDzI- rDzC+r+mM+t- r-毫米-t型- rDXk公司/∈JLk公司,其中，终端条件为XVA{1，…，N}t=0。减滤F中的BSDE可从（18）中获得，并由下式得出-dˇUJt=ˇgt、 ˇUJt，Xk/∈JˇU{k}∪Jt，Xk/∈Jhk，QˇU{k}∪Jt；^VJ，MJ，Jdt，ˇUJT=0，带ˇgt、 ˇu，ou、 ou；^V，M，J= 嗨，QθI（^VJt，MJt-) - ˇu+ hC，QθC（^VJt，MJt-) - ˇu+ou-Xk公司/∈Jhk，Qˇu+ft、 ˇu，ou- （N）- |J |）ˇu，ˉθI（ˉVJt，MJt-) - ˇu，￠θC（^VJt，MJt-) - ˇu；M. （34）对于递归的起点，我们设置ˇU{1，…，N}t=0。备注5.7。对于大型投资组合，即引用大量N个实体的投资组合，这种模式系统在计算上很难处理。对于{1，…，N}的每个子集，需要获得ODE（34）的解，即需要计算总共2n个解。只有当参考实体具有相同的特征（价差、损失率和违约强度），并且违约强度仅取决于发生的违约数量，而不取决于违约实体的身份时，该系统才可处理。在这种情况下，复杂性呈线性增长，需要计算节点解。常微分方程之间的依赖结构具有与二叉树相似的特征。

在非重组树上的计算通常非常昂贵，并且通常使用重组树。出于校准目的，重要的是构建一个简洁的模型，该模型可以最大限度地减少从数据中估计的参数数量。一种常见的策略是将公司分成多个小组，每个小组都有独特的违约风险。换言之，假设同一组中的企业具有相同的默认强度。例如，默认强度的可处理规范为hi，Qt（| J |）=hκ（i），Qt（| J |），其中κ（i）将表i映射到我所属的组。可分割规范的例子包括线性交易对手风险模型，其中hκ（i），Qt（| J |）=λκ（i）+λκ（i）| J |，即，在某些公司违约时，存续公司的违约强度增加了一个常量，因此违约依赖性随违约次数线性增加。常数λ和λ可能会因组而异，但对于组中的所有公司来说都是相同的。Freyand Backhaus（2004）使用CDO分期付款利差对集团间和集团内依赖关系的另一种规范进行了校准。他们的模型解释了一个事实，即同一行业的企业违约比不同行业的企业违约具有更强的依赖结构。功能规范假设，只有在以下情况下，t时的违约事件才会增加存续公司的违约强度：（i）集团内已实现的违约数量超过该集团预期的违约公司数量t，或（ii）集团内已实现的违约总数超过预期的违约公司总数t。

该模型中的一个校准参数反映了同一行业集团的企业之间的互动强度，相对于整个投资组合中违约之间的全球互动。假设hi，Q，i∈ {1，…，N}，都是分段（确定性）连续的。将第5.2节中针对单个CDS开发的理论扩展到涉及多个实体的投资组合的情况很简单。对于符号一致性，表示^vJt=^vJt-t、 ˇuJt=ˇuJt-t对于allJ {1，…，N}。以下命题是命题5.3的多维扩展。它的证明使用了完全相同的参数，此处省略。提案5.8。ODE系统存在唯一的（分段平滑）解决方案：t^vJ=-rD^vJ-Xk公司/∈Jηk+Xk/∈JLk+^v{k}∪J- vJ公司hQk，J {1，…，N}，^vJ=0，tˇuJ=ˇgt、 ˇuJ，Xk/∈Jˇu{k}∪J、 Xk公司/∈Jhk，Qˇu{k}∪J^vJ，m，J, J {1，…，N}，（35）ˇuJ=0。接下来，我们给出定理5.4的多维扩展。与定理5.4的证明相比，该证明提出了一个额外的归纳步骤，详细情况在附录中报告。定理5.9（比较定理）。让J {1，…，N}。除假设4.3外，假设r-f<最小值∈{1，…N，I}uI∧uC。此外，假设存在uC≥ uC>Rd，使uC≥uC，Qt≥ uC，并让ˇuJbe为ODE（35）的溶液。Let（uC）*（^v，m，ˇu）=uC1l{θC（^v，m）-ˇu≥0}+uC1l{θC（^v，m）-ˇu≤0}，（uC）*（^v，m，ˇu）=uC1l{θC（^v，m）-ˇu≥0}+uC1l{θC（^v，m）-ˇu≤0}，并定义*和g*堵塞（hC，Q）*和（hC，Q）*转化为方程式中给出的ˇg。

（34），即*t、 ˇu，ou、 ou；^v，m，J:= 嗨，QθI（^vt，mt）- ˇut+ （（uC）*（vt、mt、ut）- rD）θC（^vt，mt）- ˇut+ou-Xi/∈Jhi，Qˇut+ft、 ˇut，ou- （N）- |J |）ˇut，|θI（^vt，mt）- ˇut，￠θC（^vt，mt）- ˇut；^v，m，J,g*t、 ˇu，ou、 ou；^v，m，J:= 嗨，QθI（^vt，mt）- ˇut+ （（uC）*（vt、mt、ut）- rD）θC（^vt，mt）- ˇut+ou-Xi/∈Jhi，Qˇut+ft、 ˇut，ou- （N）- |J |）ˇut，|θI（^vt，mt）- ˇut，￠θC（^vt，mt）- ˇut；^v，m，J.最后，让ˇuJ，*是ODE（35）的解决方案，但将_g替换为g*, 那就是tˇuJ，*= g*t、 ˇuJ，*,Xk公司/∈Jˇu{k}∪J*,Xk公司/∈Jhk，Qˇu{k}∪J*; ^vJ，m，J, ˇuJ，*= 0，类似地，让ˇuJ*是ODE（35）的解决方案，其中我们将ˇg替换为g*. 然后是uJ*≤ ˇuJ≤ ˇuJ，*.现在仍然需要为稳健的XVA流程找到超级复制策略。根据与上面使用的参数类似的参数，将与违约实体的不同子集J相关的各种数量粘贴在一起，从而获得该策略。定理5.10。健壮的XVA可以用xvat=XJ显式表示∈2{1，…，N}ˇUJ，*t1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}（36）+ИθC（^VτC，MτC-)1l{τC<最小值/∈JτJ，J∧τI∧T}+￠θI（^VτI，MτI-)1l{τI<minj/∈JτJ，J∧τC∧T}1l{τC∧τI≤t型≤T}，其中过程71uj，*t： =ˇuJ，*T-t。

定义ξi，J，*t=ˇUJ，*t型-ˇU{i}∪J*待定-1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，（37）ξI，J，*t=LI（^Vt- Mt公司-)++ˇUJ，*待定-1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ξC，J，*t型=-LC（^Vt- Mt公司-)-+ˇUJ，*待定-1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ξf，J，*t型=-ˇUJ，*t型-Pi/∈JˇUJ，*t型-ˇU{i}∪J*t型+ LC（^Vt- Mt公司-)-- LI（^Vt- Mt公司-)+- Mt公司-Brft×1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}。rXVA的超级复制策略是从上述条件策略中获得的，如ξi，*t=XJ∈2{1，…，N}\\{i}ξi，J，*t1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，（38）ξI，*t=XJ∈2{1，…，N}ξI，J，*t1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ξC，*t=XJ∈2{1，…，N}ξC，J，*t1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，ξf，*t=XJ∈2{1，…，N}ξf，J，*t1l{τJ∧τC∧τI∧T<T≤水貂/∈Jτk，J∧τC∧τI∧T}，连同ψm给出的抵押品账户中持有的股份数量，*t=-Mt公司-Brmt1l{t≤τ{1，…，N}∧τC∧τI∧T}。（39）我们预计，随着参考实体数量的增加，子复制和超级复制估值之间的差异也会增加。这可以直观地理解如下。对于单个参考实体，超级复制的终止/关闭条件与XVA的终止/关闭条件匹配。然而，如定理5.10所示，在存在多个参考实体的acredit违约掉期投资组合的情况下，超级复制的终止/平仓将主导XVA的终止/平仓。因此，在两个参考实体的情况下，除了违约前累积的现金流之外，终止/结算条件还包括跳转到单个参考实体情况下的终止/结算条件。因此，预计在两个参考实体的情况下，超级复制和XVA之间的差异比投资组合由单个CD组成时的相应差异更大。

归纳地重复这一推理，我们得出结论，随着投资组合中增加更多的CDS合同，超级复制估值和XVAgrows之间的差异。这突出了所提议的稳健方法的重要性，而非天真方法，后者将缔约方强度不确定性区间的两个极端之一插入估值公式。5.5具有跳跃差异风险的投资组合的扩展本文考虑的投资组合包括仅具有跳跃风险的CDS。在企业违约强度遵循一个差异过程的情况下，我们勾勒出了估值方程的可能一般化。具体而言，我们认为CDS是指上市公司，并通过Linetsky（2006）提出的可违约股票模型的多元扩展，假设其违约强度取决于公司的股价。在他的模型中，股价在违约前遵循扩散动力学，并在默认时间跳至零。默认时间的强度取决于股票的预设值。我们首先假设存在一个N维相关布朗运动（W1，P，…，WN，P），相关矩阵R假设是可逆的。然后，我们增加了本文中的过滤F，以另外包括由布朗运动（W1，P，…，WN，P）生成的独立过滤。可违约股票价格的动态由DSIT=Sit给出ui，Sdt+σidWi，Pt- d$i，Pt, 0≤ t<τi，i=1。。。，N、 式中，ui，Sandσi分别为第i个股票的恒定漂移和波动率，且$i，P，i=1。。。，N是由$i给出的跳转到默认鞅，Pt：=命中-Zt公司1.- Hiu嗨，Pu（Siu）du，i∈ {1，…，N}，和默认强度函数hi，Pdepends，除了时间外，还影响股票价格。

通常情况下，hi、PIS为非负且呈s递减，因为我们预计，如果公司股价下跌，其违约概率将上升。对于本图，假设强度hi，Pto从上方开始，远离零。此外，我们假设债券利率i是股价和时间的光滑有界函数，即uit：=uit（Sit）。这种假设也得到了经验的支持；例如，参见Kwan（1996），他指出，同一家公司发行的股票和债券正相关，都是针对相同的基础资产。如果一家公司的债券收益率下降（从而债券价格上涨），该公司的股价通常会上涨。与假设4.3类似，我们将假设uit>rD∨ r+F或t∈ [0，T]。我们扩大了复制中的工具集，以包括可违约股票。可违约股票复制了布朗运动控制的违约强度的波动，以及部分跳跃风险（通过股票的跳跃违约）。剩余（正或负）跳跃风险由可违约债券复制，如本文提出的主要模型所示。我们按照上述步骤进行，并确定氡-尼科德姆导数过程QDPFτ∧(τ∨...∨τN）：=ePNi=1θiWi，Pτ∧τi-PNi，j=1θiRi，jθj（τ∧τi∧τj）×Yi∈{1，…，N，I，C}Rτ∧τi（uiu- rD）duRτ∧τihi，Pu（Siu）du！Hiτ∧τieRτ∧τi（rD-uiu+hi，Pu（Siu））du，其中（θ，…，θN）T=R-1.u1，S-rDσ。。。，uN，S-rDσNT、 因此，衡量标准的变化是明确的。注意，在Q下，我们继续具有关系hi，Qt=uit- rD，i∈ {1，…，N}。然而，函数hi、Q除了时间外，还取决于股票价格Si，并且是有界的。

财富过程（相当于（6））现在由vt给出：=NXi=1ξitBit+ξS，itSit+ ξItBIt+ξCtBCt+ξftBrft- ψmtBrmt。为便于说明，假设一个由单个可违约股票组成的投资组合，即N=1。设置γ=1，财富过程满足的（12）BSDE等效值采用formdVt=r+fVt+ZSt+Zt+ZIt+ZIt+ZCt- Mt公司+- r-fVt+ZSt+Zt+ZIt+ZIt+ZCt- Mt公司-- rDZSt公司- rDZt公司- rDZIt公司- rDZCt+r+mM+t- r-毫米-t+ηdt+ZStdW1，Qt+Ztd$1，Qt+Ztd$I，Qt+ZCtd$C，Qt，Vτ∧τ=L1lτ<τ+θI（^Vτ，Mτ-)1l{τ<τ∧τC∧T}+θC（^Vτ，Mτ-)1l{τ<τ∧τI∧T}。在上述表达式中，过程Z、ZI、Zc的作用与等式（10）中的作用类似，我们还有过程Z，表示投资于股票的波动率调整金额，以复制表1违约强度的波动。描述估价方估价过程的BSDE（14）现在变为-d^Vt=-rD^Vt- ηdt公司-^ZStdW1，Q-^Ztd$1，Qt，^Vτ∧T=L1lτ<T（即，基本假设是估价方使用最小（熵）鞅测度进行估价）。

使用Vt和^Vt的表达式，我们获得了XVAprocess的BSDE，即（16）的类似物，但对于基础信用掉期投资组合同时受到分散和跳转到违约风险的情况：-dXVAt=▄fSt、 XVAt、▄ZSt、▄Zt、▄ZIt、▄ZCt；Mdt公司- ZStdW1，Qt-兹特元1夸脱-~ZTD$I，夸脱-~ZCtd$C，Qt，XVAτ∧τ=°θC（^Vτ，Mτ-)1l{τ<τ∧τI∧T}+￠θI（^Vτ，Mτ-)1l{τ<τ∧τC∧T}，其中▄fSt、 xva，zS，z，zI，zC；M=ft、 xva，￠zS+￠z，￠zI，￠zC；M:= -r+fxva+▄zS+▄z+▄zI+▄zC+L- Mt公司+- r-fxva+▄zS+▄z+▄zI+▄zC+L- Mt公司-- rDzS- rDz- rDzI- rDzC+r+mMt公司+- r-m级Mt公司-- rDL公司.Crépey和Song（2015）在（现在已非琐碎的）过滤F上的投影技术导致-dˇUt=ˇgSt、 ˇUt，ˇZSt；^V，Mdt公司-ˇZStdW1，Qt，ˇUT=0，（40），带驱动器ˇgSt、 ˇu，ˇz；^V，M= 嗨，QθI（^Vt，Mt-) - ˇu+ hC，QθC（^Vt，Mt-) - ˇu- h1，Qˇu+~fSt、 ˇu，ˇz，-ˇu，￠θI（^Vt，Mt-) - ˇu，￠θC（^Vt，Mt-) - ˇu；M.强度h1，qe的有界性证明了71gshitz。反过来，具有Lipschitz驱动的连续BSDE（40）解的存在性和唯一性是一个经典结果（参见，例如，（ElKaroui et al.，1997，定理2.1））。我们现在确定*和ˇU*作为两个BSD的解，由-dˇU*t=ˇgS，*t、 ˇU*t、 ˇZS，*t；^V，Mdt公司-ˇZS，*tdW1，Qt，ˇU*T=0，-dˇU*t=ˇgS*t、 ˇU*t、 ˇZS*t；^V，Mdt公司-ˇZS*tdW1，Qt，ˇU*T=0，其中ZS*tand ZS，*皮重，分别是根据与XVA（违约前）下限和上限相关的复制策略投资于股票的经波动性调整的现金金额。解的存在性和唯一性*和ˇU*遵循上述相同的经典结果。

最后，比较*≥ˇU≥ˇU*可以通过BSDE的标准比较定理来实现，（c.f.e.g.（Delong，2013，定理3.2.2））。6比较静态分析本节对五种信用违约掉期组成的投资组合的XVA及其复制策略的单调性模式进行比较静态分析。第6.1节建立了违约传染模型。第6.2节给出了数值结果。6.1违约传染模型我们对参考实体、投资者及其交易对手的违约强度使用以下规范：hI，Qt=a+a1lτC≤t+a1lτ≤t+1lτ≤t+…+1lτN≤t型hC，Qt=a+a1lτI≤t+a1lτ≤t+1lτ≤t+…+1lτN≤t型hi，Qt=a+a1lτI≤t+a1lτC≤t+a1lτ≤t+。1lτi-1.≤t+1lτi+1≤t+…+1lτN≤t型.回想一下我们模型中的主要数量，即可违约账户的回报率ui，i∈{1，…，N，I，C}，由式（3）定义为uI=hi，Q+rD。请注意，上述规定定义了同质信贷组合，即所有参考实体的违约强度相同。然而，这些区别与投资者I及其交易对手C的违约强度不同。Jarrow和Yu（2001）首次提出了通过直接信贷依赖传播的上述规定。6.2数值结果在本节中，我们使用以下基准参数：rD=0.0001，N=5，LI=0.5，LC=0.5，α=0.8，r-f=0.05，r+f=0.08，r-m=r+m=0.0001。我们将默认强度参数设置为a=0.05、a=0.05、a=0.05、a=0.01、a=0.01、a=0.01。这些值与Yu（2007）使用的经验估计值一致。对于i=1，…，我们设置了合同信用违约掉期参数S=0.02和Li=0.5，5、由于复制过程在投资者和交易对手最早的默认时间结束，参数a、a、a和ado在分析中不起任何作用。我们设置uC=a+rD，uC=a+rD+Na。

在本节中，我们对交易开始时的账户利率参数进行了比较静态分析，即t=0。我们将投资组合的到期日固定为T=1。在所有图中，我们绘制了转子XVA（在图例中用“upper”表示，对应于ˇU*), 实际XVA（用“actual”表示并对应于ˇU）和最佳情况XVA（用“lower”表示并对应于ˇU*). 我们还绘制了与这三个XVA过程相关的复制策略。请注意，在upper、actual和lower XVA的复制策略中使用的参考实体可违约账户中的股份数量不需要保持upper、actual和lower XVA的单调模式（例如，在图4中，违反了这种单调模式）。这是因为公式（37）中ξiin的值取决于所有五个参考实体都处于活动状态时的XVA与其中一个参考实体处于默认状态时的XVA之间的差异。6.2.1交易对手违约强度的特质成分图3显示，随着交易对手违约强度的特质成分增加，XVA的绝对值降低。这可能是因为，随着缔约方违约的可能性越来越大，与复制投资组合相关的所有成本（包括为头寸提供资金和偿还抵押品的成本）将在较短的时间内发生。因此，XVA在收尾时的跳跃幅度减小，从而导致投资者及其交易对手的可违约账户份额减少。

此外，由于交易对手违约的可能性更大，参考实体较少的CDS的XVA也会降低，但速度较慢0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.036-0.035-0.034-0.033-0.032-0.031-0.03-0.029-0.028-0.027XVA0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.0350.0360.0370.0380.040.0410.040 2REF实体默认账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.5-0.036-0.035-0.034-0.033-0.032-0.031-0.03-0.029-0.028-0.027投资者可违约账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.036-0.035-0.034-0.033-0.032-0.031-0.03-0.029-0.028-0.027交易对手可违约账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50.0270.0280.0290.030.0310.0320.0330.0340.0350.036资金账户图3：左上面板：XVA。右上面板：参考实体可默认帐户的值。左中面板：投资者可违约账户的价值。右中面板：CounterParty可默认帐户的值。左下面板：资金账户的价值。0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.04-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01XVA0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.010.0150.020.0250.030.0350.04资金账户图4：左面板：XVA。右面板：资金账户的价值。因此，参考实体账户的股份数量将增加（另见（37））。在我们的特定设置中，CDS投资组合的价值相当小（等于0.00483043），交易以其市场价值的80%进行抵押，并且投资者和交易对手的违约率损失是相同的。然后，跳转到收尾价值完全取决于紧接收尾时间之前复制投资组合的价值。

这就解释了为什么投资者和交易对手账户中的股份数量大致相同。6.2.2交易对手违约强度对组合信用风险的敏感性图4说明了XVA和复制策略对a的依赖性，即量化交易对手违约强度对基础组合信用风险的敏感性的参数。让我们开始观察XV A是负值。此外，^Vis为正且较小，因此|θC（^v，m）-ˇu≥ 0.相应地，在复制策略中，上XVA总是使用速率uC，而下XVA总是使用速率uC。请注意，在我们的模型规范中，下键uC依赖于一段时间的上限uC随a线性增加。这解释了为什么上XVA随a变化，而下XVA相对于a是恒定的。与图3中的图形一致，ARA的增加降低了交易提前终止的可能性。因此，交易的融资成本将更小，XVA也会降低。6.2.3组合信贷风险对传染的敏感性图5说明了XVA和复制策略对a的依赖性，即量化信贷传染对组合中参考实体违约风险影响的参数。为了更好地解释结果，我们还说明了^Vw对a的敏感性。我们首先观察到^Vis在a中增加。因为我们从付款人的角度来看CDS的支付效果，并且利差溢价S是固定的，如果投资组合的违约风险增加，则合同的金额会增加，如果直接传染效应更强，则会增加。此外，对于所有i，ξi必须是相同的∈ {1, . . .

，5}，因为所有参考实体的账户利率动态都是相同的。从表达式（37）可以很容易看出，ξii随^V增大，而ξCis随^V减小。总之，这意味着投资者可违约账户中的股票数量高于对应的交易对手可违约账户中的股票数量。从财务角度来看，这可以通过DVA和CVA来理解。由于投资者因为^V>0而有钱，他需要额外复制DVA收益LI（1- α） ^V+在他自己的默认时间。相比之下，他不需要在交易对手违约时复制任何CVA损失，因为LI（1- α） ^V-= 图5左上角的图表突出显示了默认传染所起的突出作用。随着A的增加，投资组合中所有参考实体的默认强度都会增加。这反过来会对投资者和交易对手的违约强度产生直接影响（通过系数a和a），因为如果投资组合中的五个参考实体中的任何一个违约，这两个强度都会上升。这种对交易对手违约强度的间接影响（由等于五的因素，即等于投资组合中的实体数量）高于增加；将图5的左上图与图4中相应的图进行比较。由于违约传染产生的这种放大效应，与参考实体可违约账户相关的复制策略对a的依赖性更为凹进，而非线性。

这可以理解为：虽然最初，随着增长，有五个参考实体的投资组合的XVA增长速度快于有四个参考实体的投资组合的XVA增长速度，但最终，随着ABE足够高，投资组合中参考实体之间的传染远高于参考实体违约对投资者或其交易对手造成的传染效应。这反过来意味着，如果一个引用实体默认，其他引用实体很可能会在不久后默认（默认集群很强）。因此，无论CDS投资组合中参考实体的数量如何，XVA都将大致相同。这导致参考实体账户的股份数量减少。6.2.4组合信用风险的特质成分随着增加，各参考实体的特质违约风险也会增加。这增加了违约实体数量的差异，从而导致CDSpayo FFF的更大不确定性。因此，如图6左上面板所示，下部和上部XVA之间的差异增大。Aim值越高，组合信用风险越高，因此^V值越大。然而，^对athan的变化对A的变化不太敏感。在后一种情况下，由于传染增加，存在放大效应。这反过来意味着投资者的可违约账户对a和a的敏感性较低。图5和图6中投资者账户份额的直接比较从视觉上证实了这一说法。7结论我们开发了一个计算信用违约掉期投资组合稳健XVA的框架。我们考虑了交易员面临与交易对手相关的货币市场账户回报率不确定性的情况。

信用违约掉期投资组合由投资者使用与相同实体关联的可违约账户复制，这些实体引用投资组合中的单名信用违约掉期合同。通过将对方账户的回报率限制在不确定区间内，我们得出了XVA的上下界。我们的分析强调了占所有融资成本的交易价值过程与仅取决于交易净价的结算过程之间的非平凡互动。后者是通过对交易现金流定价获得的，忽略了所有其他相关成本。Our0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.02XVA0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.040.050.0550.060.0650.070.0750.080.0850.09Ref实体默认账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.040.050.06投资者可违约账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.02交易对手默认帐户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.06-0.05-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.030.04资金帐户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.4500.050.10.150.20.250.30.350.40.45图5：左上面板：XVA。右上面板：参考实体可默认帐户的值。左中面板：投资者可违约账户的价值。右中面板：CounterParty可默认帐户的值。左下面板：资金账户的价值。

右下面板：^V.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.04-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01XVA0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.0280.030.0320.0340.0360.0380.042引用实体默认帐户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.01投资者可违约账户0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40.45-0.04-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01交易对手可违约账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04资金账户0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.4500.020.040.060.080.10.120.140.160.18图6：左上面板：XVA。右上面板：参考实体可默认帐户的值。左中面板：投资者可违约账户的价值。右中面板：CounterParty可默认帐户的值。左下面板：资金账户的价值。右下面板：^V的价值。比较静态分析强调了信贷传染对XVA和相应复制策略所起的重要作用。较高的投资组合信用风险增加了CDS付款人的基础投资组合的价值，并导致参考实体账户份额的增加。如果交易对手对基础投资组合的违约事件更敏感，则XVA会更低，因为交易提前终止，实施成本更低。我们的框架是理解模型不确定性对XVA影响的第一步。在未来的继续研究中，我们希望探索违约传染非缺口风险的影响，这可能会在风险保证金期内累积。信用违约掉期的价格尤其受到缺口风险的影响，因为与其他掉期合同不同，其他掉期合同的支付对信用不敏感（例如。

利率掉期），CDS的按市值计价在投资者或其交易对手违约时跳跃。然后，初始保证金的计算应考虑此类风险。然而，由于基础投资组合中违约的复杂依赖结构，考虑传染效应的初始保证金公式的制定远非微不足道。我们还计划推广我们的框架，以处理投资组合信用风险中的不确定性。虽然个别公司的违约概率可以通过单名CDS利差来估计，但违约相关性最难估计，且受制于模型风险。我们将所有这些问题留给未来的研究。致谢作者感谢两位匿名评论员的宝贵意见和建议，这有助于改进和丰富本文。F过滤和默认强度过程的构造我们使用以下逐步过程：假设hi、P、0t∈ F B（[0，t]），定义τi，0：=supt型≥0：Rthi，P，0sds>Ei. 然后，我们可以定义Ft：=σHju；u≤ t型∧ τ（1）：j∈ {1，…，N}, 式中，τ（1）是第一次违约的时间（一阶统计）。对于k≥ 1，选择▄hi，P，kt∈ Fkt公司 B（[0，t）），且定义为hi，P，kt：=hi，P，k-1t[0，τk-1（k））（t）+hi，P，kt[τk-1（k），∞)（t） ，其中我们使用符号τk（i）表示k级停止时间τki的i阶统计量，1A（t）是特征函数，如果t∈ 否则为零。然后，我们定义τki：=supt型≥ 0：Rthi、P、ksds>Ei以及FK+1t：=σHju；u≤ t型∧ τk（k+1）：j∈ {1，…，N}对于k∈ {1，…，N}。这样，强度hi，P，kagreeswith hi，P，k-1在第k个默认值之前，但在第k个默认值之后对信息进行说明。最后，我们将完整过滤定义为=FN+1tt型≥B引理的证明和公式（15）的命题证明。

首先，观察线性BSDE（14）接受由^Vt=^Ct=-均衡器Zτ∧Tte公司-rD（u-t） ηdu- Le公司-rD（τ-t） 1lτ≤T英尺1l{t≤τ}.此外，由于默认分布的特征是Q[τ>u]=e-Ruth1，Qsds，在同一事件{t≤ τ} 我们得到了^Vt=-均衡器ZTt1l{u≥τ} e类-rD（u-t） ηdu-ZTtLe公司-rD（u-t） h1，Que-Ruth1，Qsdsdu英尺1l{t≤τ}= -均衡器中兴通讯-车辙（h1，Qs+rD）dsηdu-ZTtLh1，Que-车辙（h1，Qs+rD）dsdu英尺1l{t≤τ}.命题4.5的证明。为了便于无套利论证，我们将在通过随机指数PdP=Yi指定的适当度量P下表示财富过程∈{1，…，N，I，C}（uI- r+f）（τ∧ τ（N））Rτ∧τ（N）嗨，Psds！HiτexpZτ∧τ（N）（r+f- ui+hi，Ps）ds.假设4.3很好地定义了这一计量变化。此外，虽然投资者不知道度量值P，但从抽象的角度来看，用它来排除套利也没有问题。根据Girsanov定理，风险资产的动力学由DBIT=r+fBitdt给出- 一点-d$i，对于i，Pt∈ {1，…，N，I，C}其中$I，~P：=（$I，~Pt；0≤ t型≤ τ）是（G，~P）-鞅。r+fdiscountedassetsPit：=e-r+ftbctar因此是（G，~P）-鞅。特别是，~P下的默认强度由hi给出，~P=ui- r+f，假设4.3为正。表示与（位；i）相关的财富过程∈ {1，…，N，I，C}）t≥0在基础市场中，通过Vt。

利用自融资条件，其动力学由dˇVt=rfξftBrftdt+Xi给出∈{1，…，N，I，C}r+fξitdBit=rfξftBrft+Xi∈{1，…，N，I，C}r+fξit位dt公司-xi∈{1，…，N，I，C}ξitBitd$I，~ Pt。然后我们观察到rfξft≤ r+fξftand thisˋVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）=Zτ（rfξftBrft+Xi∈{1，…，N，I，C}r+fξit位dt公司-xi∈{1，…，N，I，C}ZτξitBit-d$i，~磅≤Zτ（r+fξftBrft+Xi∈{1，…，N，I，C}r+fξit位dt公司-xi∈{1，…，N，I，C}ZτξitBit-d$i，~Pt=Zτr+fˇVt（Д，x）dt+Xi∈{1，…，N，I，C}Zτr+fξitdBit。因此，如下所示-r+fτˇVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）≤xi∈{1，…，N，I，C}Zτr+fξitdPit。请注意，上述不等式的右侧是一个从下方有界的局部鞅（因为值过程从下方受可容许性条件的约束），因此是一个超鞅。考虑到预期，我们得出结论，EPe-r+fτˇVτ（Д，x）-ˋV（Д，x）≤ 0。因此ˋVτ（Д，x）=er+fτx= 1或￠PˋVτ（Д，x）<er+fτx> 0.由于▄P等于P，这表明投资者在该模型中不存在套利机会（他将以r+f的利率将正现金金额x交给财政部，从而获得er+fτx）。命题5.1的证明。由于过滤F很简单，F-BSDE实际上是一个ODE。该ODE的存在性和唯一性如命题5.3所示。根据预测结果（Crépey和Song，2015，定理4.3），完全G-BSDE和减少F-BSDE的等效性在其论文中作为条件（A）得到了我们对过滤的假设的满足，并且它们的条件（J）也得到了验证（因为终端条件不依赖于▄Z、▄zi和▄ZC）。最后，通过关于F和G的鞅表示定理（见（Bielecki和Rutkowski，2001，第5.2节）；由于我们的强度是有界的，因此满足了所需的假设），我们的BSD的解与Crépey和Song（2015）中考虑的鞅问题的解是一致的。命题5.3的证明。

时间区间[0，T]上常微分方程（24）解的存在性和唯一性源自经典的Picard-Lindel"of定理以及推论II。3.2霍特曼（2001）。现在我们证明了ODE（25）解的存在性和唯一性。在hi的每个连续区间上，存在性同样遵循经典的Picard-Lindel"of定理。为便于说明，我们将假设所有hi在[0，T]上都是连续的。在不连续的情况下，解决方案在那里是不可区分的，但将保持连续的。首先请注意，ˇu是有界的。要了解这一点，请观察第二个参数中的_g是Lipschitz，而| g（t，0；^vt，mt）|≤ Kis一致有界，可能增加所需的常数Kif。因此，它允许| g（t，u；^vt，mt）|≤ |_g（t，_ut；^vt，mt）- r g（t，0；^vt，mt）|+| g（t，0；^vt，mt）|≤ K | u |+K。然后，假设| u是可微的，我们可以使用Gronwall不等式，并推导出如果tˇut≤ Kˇut+K，ˇut=0，然后ˇut≤ K： =KT eKT，对于t∈ [0，T]。下限类似，如果tˇut≥ -Kˇut- Kˇu=0，从中可以得出≥ -K、 还有待检验Gronwall不等式所需的可微性条件。根据经典的Picard-Lindel"of定理，方程（18）的解存在于某个区间[0，T），×上[-K-1，K+1]，即对于t∈ [0，T）它认为| ut |≤ K+1，在那里是独一无二的。因此，我们保证在这个时间间隔内的差异性。通过矛盾的假设，它不能（向右）扩展到Tand之外，T<T（如果T=T，同样的参数适用，但解决方案不能扩展到闭合区间[0，T]）。然后是推论II。Hartman（2001）的第3.2节，我们有这一限制→T | ut |=K+1。我们现在通过使用上面的Gronwall不等式论证得出了一个矛盾，它表明| u |≤ K、 定理5.4的证明。

首先，请注意，与命题5.3的证明类似，函数\'u*和ˇu*, 定义为（26）中ODE的解决方案存在且独特。这是因为函数g*和g*Lipschitz在所有参数中都是连续的。自相矛盾地假设存在≤ T，其中*T<ˇuT，并设置T=sup{T≤ T| |u*（t）≥ ˇut}。我们已经很好地定义了它，并且≥ 0，因为*= ˇu=0和ˇu*t<utfort∈ （T，T）。使用uC>Rd和（uC，Q）的事实*（^v，m，ˇu）（|θC（^v，m）- ˇu）≥ uC，Qt（|θC（^v，m）- ˇu）对于任何t∈ [0，T]，我们有tˇu*（T） =克*（T，ˇu*; ^v，m）=高，QθI（^vT，mT）- ˇu*T- h1，Qˇu*T+（（uC）*（vT，mT），ˇu*T）- rD）θC（^vT，mT）- ˇu*T+fT、 ˇu*T-ˇu*T、 θI（^vT，mT）- ˇu*T、 θC（^vT，mT）- ˇu*; ^vT，mT≥ 嗨，QθI（^vT，mT）- ˇu*T+ hC，QTθC（^vT，mT）- ˇu*T- h1，Qˇu*T+~fT、 ˇu*T-ˇu*T、 θI（^vT，mT）- ˇu*T、 θC（^vT，mT）- ˇu*; ^vT，mT= _g（T，_u；^vT，mT）dt=tˇuT。因此，存在 > 0，以便*t型≥ ˇutfor t∈ [T，T+]. 这与假设相矛盾，并证明了定理。定理5.5的证明。证明由两部分组成。在第一部分中，我们验证了式（27）中给出的rXVA表达式是最小的超级复制价格。在第二部分中，我们证明了（28）中给出的策略是一种超级复制策略。这需要证明该战略的实施不需要任何现金注入，并且该战略控制的财富过程正是rXVA过程。定义XVAut：=Vut-^Vtforu∈ F、 uC≤ u ≤ uCand XVA*t： =V（uC）*t型-^Vt，我们记得，Vu是通过将交易对手账户利率设置为u获得的复制投资组合的估值过程；另见等式（9）之前的讨论。首先，请注意XVA*t型≥ XVAut。