具有瞬时价格的超级复制的连续时间对偶

2022-6-10 13:12:07

彼得·班克（Peter Bank）将其提交给《应用概率连续时间对偶与瞬时价格影响的超级复制年鉴》*和Yan Dolinsky+希伯来大学+和莫纳什大学+，以及TU Berlin*我们在一个连续时间金融模型中建立了一个超级复制二元性，如[8]所示，投资者的交易对风险资产的买卖价格产生不利影响，市场弹性将导致利差以指数速度回到零。与关于具有恒定价差的模型的文献类似（参见[17、35、19]），我们对超级复制价格的双重描述涉及构造合适的绝对连续测度，鞅接近未受影响的参考价格。我们的二元性中的一个新特征是流动性加权L-范数，它作为这种接近度的衡量标准，并解释了与策略相关的利差。作为应用，我们为看涨期权的超级复制建立了买入和卖出策略的最优性，并证明了效用最大化投资策略的验证理论。1、简介。具有交易成本的金融模型是随机分析和控制理论面临的一大挑战。从[20]、[43]、[17]开始，重点强调了在具有恒定扩散的模型中出现的奇异控制问题。这些模型的对偶理论现在已经发展得非常详细了（见[32,17,33,34,14,28]）。这已被用于通过其与影子价格的关系来研究效用最大化（[35、24、18、19、9]），也被用于开发小交易成本的渐近方法（[42]和其中的参考文献）。虽然在数学上很方便，但只有在流动性很强的资产中才有必要假设sp读数为常数。

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2022-6-10 13:12:15

当执行大型交易时，流动性较低的资产的利差将扩大，交易完成后，由于市场弹性，spr将再次下降。这在订单执行文献中是众所周知的（[39]，[23]），其中*auth或YD得到ISF拨款160/17的部分支持。PB希望感谢莫纳什大学邀请他在2018年访问两周，届时本论文的部分研究已经完成。MSC 2010主题分类：主要91G10、91G20关键词和短语：二元性、永久性和暂时性价格影响、超级复制、一致的价格体系、shad ow priceimsart aap ver。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：20192年5月20日，P.BANK和Y.D Olinsky为平仓大额头寸制定了最佳计划，这些头寸可解释此类（至少部分）暂时性价格影响。按照[8]中提出的方法，我们引入了一个具有瞬时价格影响的模型，该模型考虑了购买和出售arisky资产的影响。我们甚至考虑了随机市场深度和弹性，这些市场深度和弹性只需满足获得凸财富动态所需的某个单一性假设。我们不讨论[8]中的效用最大化问题，而是关注以成本最优方式超级应用任意未定权益的基本问题。对于具有恒定价差的模型，从一致价格系统的角度来看，这个问题的对偶理论是很好理解的，一致价格系统基于鞅构造的测度，鞅与资产价格的偏差不超过异源给定价差；参见【41】及其参考文献。这种结构在这里得到了恢复，但由于我们的前驱体的内在性质，我们也必须以最佳方式确定这些结构。

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2022-6-10 13:12:19

我们的主要结果（定理3.2）表明，通过一个依赖流动性的L-范数适当地惩罚可能的选择，以凸风险度量的形式表征超级复制成本。值得注意的一点是，与外生扩散模型相反，我们的模型并不要求我们的交易策略具有任何可接受性的概念。正如【26】中纯暂时价格影响模型中所观察到的那样，这是由于不可能按意愿进行缩放，因为这种缩放会导致成本超线性增长。这一结果的证明基于一个特别方便的终端财富表达式，该表达式由一个策略产生，该策略也揭示了该函数的凸性。通常，考虑到我们的双变量施加的一致价格体系结构，很容易获得每次复制成本的下限。证明不存在对偶间隙，即建立上界，更为复杂。第一步是ratherstandard分离论证（引理4.1），它为我们提供了一个合适的定价措施。作为第二步，我们将consistentprice系统的鞅作为拉格朗日乘数引入，以强制执行终端清算约束（Lemm a4.2）。关键的第三步是构建一个合适的利差，并将其依赖流动性的L-范数确定为我们二元性的正确惩罚项（引理4.3）。这可以通过应用[4]中的随机表示定理来实现，迄今为止，该定理常用于单侧奇异控制问题（[7]、[15]、[22]、[6]），这里发现它首次应用于具有有界变化的双边控制问题，而不是增加控制。作为一个应用，我们还表明，在我们的瞬时价格影响模型中，在自然条件下，超级复制看涨期权的最佳方式是toimsart aap ver。

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2022-6-10 13:12:23

2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日具有暂时价格影响的双重性3购买并持有资产直至到期。这与外源spr-ead模型的结果一致；参见[44、37、38、12、30、27]。我们还提供了一个验证结果，用于通过构建合适的影子价格来确定效用最大化策略，该影子价格类似于固定价差的结果（[35，18]），以及纯粹临时价格影响的结果（[26]）。2、采用瞬时价格影响模型进行交易。我们考虑了一个具有类似于[8]的瞬时电价影响的财务模型。具体而言，我们考虑的是一个“大”投资者，他可以投资于无风险储蓄账户，零利息（为了简单起见），并在风险资产的买入和卖出中进行交易，此外，还受到一些外部噪音的影响。该噪声将通过连续的自适应过程P=（Pt）t来确定≥0在过滤后的能力空间上(Ohm , （Ft）t≥0，P），其中由P null集合生成的FI。我们将假设过滤是连续的：假设2.1。全部（英尺）t≥0-鞅有一个连续的版本。备注2.2。这一假设是符合的，例如，如果（Ft）t≥0由眉毛运动生成。它排除了由泊松过程跳跃等产生的完整问题。该假设确保交易政策和鞅价格不会出现任何共同的跳跃，并允许我们应用[4]中的随机表示定理，这是我们分析的关键。从比例交易成本的二重性理论，特别是参见[18]，我们知道，外生跳跃导致了对日常生活成本策略的需要，以及一个相当精细的分析，在我们的策略依赖利差的背景下，我们必须离开这一分析，进行进一步的研究。

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2022-6-10 13:12:26

此外，P或即将引入的marketdepth过程δ也会带来跳跃，这将对明确投资者何时可以获得跳跃信息以及如何采取行动提出挑战。虽然从金融经济学的角度来看，这些问题肯定是相关的，但也超出了本文的范围。大投资者的交易策略由其给定的初始持股x描述∈ R和右连续可预测的p进程X=（Xt）t≥指定任何时候持有的风险资产数量的边界变化。我们用X表示↑和X↓由XT=x+x的Hahn分解产生的右连续可预测增减部分↑t型- 十、↓t、 t型≥ 0，X0-, x、 x个↑0-, 十、↓0-, 所有此类策略的集合将用X表示。imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1994年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKYTrades将永久影响中间价PX，根据【29】的规定，我们采用线性形式PXT，Pt+Xt，t≥ 0，PX0-, P+ιx，对于某些冲击参数ι≥ 此外，交易还将使出价和出价远离中间价。在没有进一步干预的情况下，市场弹性让买卖价格逐渐恢复到中间价。我们通过让半扩散遵循动力学dζXt=δt（dX↑t+dX↓t）- rtζXtdt，ζX0-, ζ、（1）对于给定的初始值ζ≥ 0和给定的市场深度过程δ和置信率r。备注2.3。解释这些价差动态的一种方法是，认为交易会侵蚀限额指令簿各自的一面，将价差扩大到取决于当前指令簿高度δt的程度，而市场的弹性确保，在没有进一步交易的情况下，价差将以指数率rt递减。为简单起见，我们假设在任何时候，订单书的高度都是恒定的，无论是询价方还是报价方。

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2022-6-10 13:12:29

可以想象到[1，40]中更灵活的非线性扩散动力学，但超出了本文的范围。还要注意的是，我们模型背后的介观时间尺度不允许我们适应所有对高频交易至关重要的市场微观结构影响，而是建议将我们模型的市场深度和弹性过程也视为这些市场特征的介观规范，在实践中需要校准，例如。，移动订单簿高度和订单流量动态的平均值，同时考虑限制订单和市场订单；参见【16】以了解这方面的实证研究，该研究也支持线性价格影响规范，如我们的风格化模型。我们需要市场深度δ和弹性r的以下规律：假设2.4。市场深度δ=（δt）t≥0>0是连续的和自适应的。弹性率r=（rt）t≥0≥ 0是可预测的，因此δ/ρ一致有界远离零，且在Ohm ×[0，T]对于任意有限时间范围T<∞ 式中ρt，expZtrsds公司, t型≥ 0.imsart-aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日二元性和短暂的价格影响5年以上，弹性率主导着市场深度的变化，即κt、δt/ρ在≥ 0.（2）备注2.5。如L emma4.1所示，需要条件（2）来确保财富动态是凸的。当δ绝对连续时，它符合dDTlogδt<rt，t的要求≥ 0，即市场深度的相对变化必须由市场的弹性决定。特别是，当δ和r为严格正常数时，ASSUMPTION 2.4成立。

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2022-6-10 13:12:32

一个人是否可以在没有这个假设的情况下发展二元论的问题留给了未来的研究；然而，关于确定性ord er执行问题中这方面的考虑，请参见[5]。按时间T∈ (0, ∞) 诱导投资者的现金头寸将从其给定的初始值ξ演变而来∈ R至ξx由风险资产进出交易产生的收益和损失确定。这些交易的执行距离中间价px的差价的一半，因此最终现金头寸为ξXT，ξ-Z[0，T]PXto dXt公司-Z[0，T]ζXto d（X）↑t+X↓t）。（3）备注2.6。以上o-积分的理解是，对于X有界变差的两个RCLL过程X，Y，我们让z[0，T]Yto dXt，Z[0，T]（Yt-+ Yt+，在右边，我们有一个关于有符号测度dX的标准勒贝格积分。在（3）中，这种整合账户的方式是为了在批量购买资产时十、↑t> 0时，中间价px和半价差ζx仅会在订单执行期间逐渐增加，让投资者有效地以交易前和交易后中间价之间的平均值以及交易前和交易后半价差之间的平均值进行交易。关于orderexecution框架中的类似注意事项，请参阅[39]。或者，可以考虑o dX作为我们控制系统的阿玛库斯积分。对于我们的线性冲击规范，这相当于类Stratonovich积分（3）；参见[10]及其参考文献。imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1996年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKY3。未定权益超复制的对偶性。

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2022-6-10 13:12:36

现在让我们考虑一个现金结算的欧洲未定权益的经典超级复制问题≥ 时间T为0≥ 0不受大型投资者交易的影响，但作为给定未受影响的价格过程P的函数，是外来的。我们将给出这种外生支付的超复制成本π（H），inf{ξ的双重描述∈ R：ξXT≥ H f或某些X∈ X，XT=0}。（4）备注3.1。我们必须确定你自己的主张，因为我们必须保持超级复制问题的凸性，而这些主张的支付效果不受大型投资者的影响。当然，大投资者可能影响（甚至操纵）的保兑和对冲索赔是最相关的问题。但这需要一个相当具体的产品分析，因此超出了这篇二元性论文的范围。然而，有关这方面的一些结果，请参见[13，11]和[31，3]中的PDE方法。还要注意的是，对于普通期权，其收益仅取决于终端中间价格，清算约束XT=0可确保PXT=P，从而避免任何操纵可能性，使我们的实际结果适用于这些产品。在我们对超级复制成本的描述的两面，市场摩擦将通过可选的随机测量来捕捉，假设2.4，这是由持续增长的过程引起的-κ = -δ/ρon（0，T），点质量κT=δT/ρTin T：u（dt），1（0，T）（T）| dκT |+κtdirct（dt）。（5）有了这个符号，我们现在可以形成我们的主要结果：定理3.2。

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2022-6-10 13:12:39

在假设2.1和2.4下，超级复制成本（4）为未定权益H≥ 0具有对偶描述π（H）=sup（Q，M，α）等式【H】-kα- ζkL（Qu)- Mx公司-ιx> -∞（6）其中，上确界取概率测度Q的所有三元组（Q，M，α）<< FT上的P，鞅M∈ M（Q）和所有可选α∈L（Q u）控制P的波动，即| Pt- Mt |≤ρtδtEQ“Z[t，t]αuu（du）英尺#，0≤ t型≤ T、（7）imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：2019年5月20日二元性，暂时性价格影响73.1。与其他超复制对偶公式的比较。让我们通过将其与不同金融模型中获得的其他二重性进行比较，来讨论上述超级复制价格的二重性公式。首先，（6）右侧的上确界包括所有度量q<< 其中P是平方可积鞅（如果有）。对于这些，可以选择M=P和α=ζ来满足约束条件（7），并获得π（H）≥ 等式【H】- xp忽略永久影响时（ι=0）。这个不等式显然符合经典的无摩擦超复制对偶。（请注意，此处引用了初始头寸xpissubt的值，因为（5）中的π（H）描述了从风险资产xin的头寸开始时所需的超级复制成本。）接下来，让我们来看看因实施扩张而产生交易成本的模型。将[17，14，18]中考虑的乘法设置调整为此处考虑的加法设置，可以得到一致的价格系统，其中P-鞅（Z，Z）的Z=1，ZT>0表示m，Z/Zto P由（为简单起见为常数）半价差λ决定，购买d时必须在P的基础上支付，d是出售风险资产单位时从收益中扣除的。

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2022-6-10 13:12:42

然后，可以通过dQ/dP、zt定义Q，并放置α、λ，以获得对偶公式所要求的三元（Q、M、α），例如，在弹性为零（r=0，ρ=1）且初始扩散ζ=λ的任何模型中。事实上，（7）确实适用于任何市场深度δ>0（必须减小以满足假设2.4），自那时起ρtδtEQ“Z[t，t]αuu（du）Ft#=ρtδtλEQ[u（[t，t]）| Ft]=ρtδtλκt=λ。因此，忽略可能的永久影响（ι=0），π（H）≥ 等式【H】-Zx，与固定排列模型的超级复制结果一致。请注意，与这些模型相反，我们的利差影响设置不需要任何交易策略许可的概念。此外，在我们的模型中，无论初始位置x如何，我们都得到π（0）>- ∞ 对于任何选择（继续）价格流程P。因此，即使对于在固定利差模型中允许最严重套利的特定情况（让我们单独使用无摩擦模型），也无法从任意低的初始现金头寸中获得零终端财富。这是因为，随着交易成本的有效增长，扩展有利的策略最终会改变不利的策略，而不仅仅是线性地扩展策略，而不仅仅是在固定利润的情况下。这种影响已在AlmgrenChriss[2]式模型中观察到，该模型具有暂时性而非暂时性的市场影响[26]。与我们的超级复制成本表一样，他们的复制成本也采用Aisart aap ver的形式。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：1998年5月20日，P.BANK and D Y.D Olinsky凸面风险度量，而非固定分布模型的一致性度量。这又是由于交易成本的非线性缩放。3.2. 应用。为了说明上述对偶结果的有用性，我们在本节推导了看涨期权的超级应用成本，并说明了如何验证所提出的投资策略的最优性。3.2.1.

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2022-6-10 13:12:46

超级复制看涨期权。作为我们超级复制二元性的首次应用，让我们验证一下，在我们的模型中，策略相关利差、买入并持有是超级复制看涨期权的最佳方式h=（PT- k） +带k≥ 0，至少如果流动性系数是确定性的，并且未受影响的价格满足有条件的完全支持属性（见[27]），则支持P[（Pu）t≤u≤T∈ ·|Ft]=CPt（[t，t]，R+），0≤ t型≤ T、（8）其中，对于p≥ 0，Cp（[t，t]，R+）表示[t，t]上的连续非负函数f的类，f（t）=p。推论3.3。让假设2.1成立，让市场深度和灵活性具有确定性，并满足假设2.4。此外，假设p是严格正的，具有条件完全支持性质（8）。然后，对于初始头寸为x的投资者≤ 1，acash结算看涨期权的超级复制成本为π（（PT- k） +）=P（1- x）-ιx+ζ（1- x） +（1- x） 2δ（9）+ζ+（1- x） /ΔρT+2δT通过持有一个单位的风险资产超过[0，T）来解决时间T。证明。让我们考虑一下立即将其在风险资产中的位置固定到一个单位的策略，并将其保持在那里，直到最后将其平仓：bX↑, (1 - x） 1[0，T]，bX↓, 1{T}，bX=1[0，T）。当从（9）右侧给出的现金头寸ξ开始时，这导致（3）最终财富ξbXT=PT≥ （PT- k） +=H.imsart-aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日二元性和暂时性价格影响9在这里，由于P为非负，估计值为真。因此（9）的右侧是足够的初始现金来超级复制通话。我们将使用定理3.2中的对偶公式来说明ε>0小于这个量是不充分的。

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2022-6-10 13:12:51

为此，我们选择αt，ζ+1- xδ+ρTδT{T}（T），0≤ t型≤ T显然，存在一个Lipschitz连续的非递增确定性函数g：[0，T]→ R，其中g=R[0，T]αuu（du）δ，gT=-αTρT，| gt |≤ρtδtZ[t，t]αuu（du），0≤ t型≤ T、下面的引理3.4给出了一个概率度量Q<< Q（PT>ε）<ε的P和一个平方可积Q-鞅M，使得| gt+PT- Mt |<εinf0≤t型≤TρTδTu（[T，T]），0≤ t型≤ T、因此，三元（Q，M，α+ε）符合我们的对偶理论3.2的要求。使用简单不等式PT≤ （PT-k） ++ε+k1{PT>ε}，我们得到π（H）≥等式[磅- MT]+米- 等式[磅- （PT- k） +]-kα- ζkL（Qu)-Mx公司-ιx≥αTρT+（1- x） P+（1- x） R[0，T]αuu（du）δ-Z[0，T]|αu-ζ| du（u）-ιx- O（ε）。结果如下：使用u（[0，T]）=δ并取ε↓ 引理3.4。假设P＞0表现出条件完全支持性质（8），且设g:[0，T]→ R是Lipschitz连续且不增加的。然后，对于任何ε>0，都有一个概率测度Q<< P和平方可积Q-鞅M使得Q-几乎可以肯定| gt+Pt- Mt |<ε，0≤ t型≤ T、（10）和Q（PT>ε）<ε。imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：201910年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKYProof。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设T=1且fix0<ε<1。将给定过程的增量（Xt）表示为NnX，XnN-Xn公司-1N此处N∈ N和N=1，N、对于这样的N，N和σ>0，考虑不相交事件AN，σ+，nand AN，σ-,ngiven byAN，σ±，n，Nn（P+g）=±（Pn-1N∧ N1/4）σ√某些o为N+o∈ [0，1/N]∩（最大值-1N≤t型≤nN | Pt- Pn编号-1N |≤ ε/3).对于N>（6σ/ε）（如下所述），在AN，σ+，和AN，σ的定义中描述了P的路径属性-,CPn的非空OpenSubset满足nare-1N（[n-1N，1]，R+，对于任何给定Pn-1N>0。这里，坚持非负路径是可能的，因为假设g是非递增的（从那里Nng公司≤ 0).

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2022-6-10 13:12:54

因此，它由条件完全支持性质（8）得出，thatPhAN，σ+，nFn公司-1Ni>0和PhAN，σ-,nFn公司-1Ni>0，n=1，N、所以有QN，σ<< P，其中qn，σhAN，σ+，nFn公司-1Ni=QN，σhAN，σ-,nFn公司-1Ni=，n=1，N例如QN，σ，密度为dqn，σdP，Yn=1，。。。，NAN，σ+，nPhAN，σ+，nFn公司-1Ni+AN，σ-,nPhAN，σ-,nFn公司-1Ni可以。结合AN，σ±，n的定义，这确保了QN，σa.s。方程式，σhNn（P+g）Fn公司-1Ni≤N、 N=1，N、因此，辅助离散时间鞅Mn，P+g+nXm=1PmN公司- 方程式，σhPmNFm公司-1Ni, n=0，N、 imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日具有暂时价格影响的二元性11满意度QN，σ-a.s。PnN+gnN-Mn≤N、 N=0，N、（11）将其与g的L ipschitz连续性和从定义a，σ±，nyields开始的任意时间间隔内P函数的ε/3界结合起来Mn-Mn-1.≤ε、 n=1，N、 QN，σ-a.s.对于N>N，其中N（σ）仅取决于σ，ε和Lipschitz常数Lof g。我们得出结论，由MN，σt，EQN，σhMN给出的有界QN，σ-鞅Fti，0≤ t型≤ T、满意度MN，σnN=~MN，n=0，N、 andmaxn=1，。。。，Nmaxn-1N≤t型≤nN | MN，σt- MN，σn-1N |≤εQN，σ-a.s。这与（11）和ε/3结合在P的函数上，从AN，σ±，n的定义可以得出g+P-MN，σ满足N>N（σ）时所需的界限（10）QN，σ-a.s。仍然需要争论的是，可以选择σ，然后选择N>N（σ），以便上述结构中的q、QN、σ也满足第二个要求q（P>ε）<ε。为此，请注意差异方程Zn，σ，P，（12）NnZN，σ，（ZN，σn-1N∧ N1/4）σ√NAN，σ+，n- 1AN，σ-,n+L+1N，n=1，N、在ZN，σnN的意义上，产生一个过程ZN，σ支配P≥ PnN，n=0，N、 QN，σ-a.s.，通过使用a，σ±，和g的Lipschitz连续性的定义进行归纳，如下所示。

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nandehutu2022

2022-6-10 13:12:57

[21]中的定理4.4与（11）结合得出，作为N↑ ∞, 在QN，σ下，ZN，σ的分布收敛于Z（σ）的分布，其中Z（σ）是线性SDEZ（σ）=P，dZ（σ）t=Z（σ）tσdWt+（L+1）dtimsart aap ver的（唯一）解。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1912年5月20日，P.BANK and D Y.D Olinsky为一些标准布朗运动W。根据（12），我们可以选择σ和N>N（σ）来满足要求QN，σ（P>ε）<ε，前提是z（σ）在概率上收敛为0，即σ↑ ∞. 为此，观察z（σ）=PeσW-σ/21+Z（L+1）e-σWt+σt/2dt≤ PeσW-σ/2+P（L+1）e-σ/（2 lnσ）Z1-1/lnσeσ（W-Wt）dt+P（L+1）Z1-1/lnσeσ（W-Wt）-σ(1-t） /2吨。显然，最后一个表达式中的前两个求和几乎肯定会消失，而根据富比尼定理，最后一个的期望值为1-1/lnσeσ（W-Wt）-σ(1-t） /2dt=lnσ→ 0表示σ↑ ∞. 这表明limσ↑∞Z（σ）=0的概率，并且完成了预防。3.2.2. 二元效用最大化。超级复制二元性通常用于研究效用最大化问题，这反过来又允许使用不太保守且实际上更有用的未定权益估值范式，如差异定价。虽然本文不得不为未来的研究留下差异估值，但让我们在此注意一个验证理论，以说明我们的对偶概念对该理论的适用性：推论3.5。假设2.1和2.4成立，并考虑严格凹、递增和可微分的效用函数u，其中uPx∈X，XT=0E[u（ξXT）∨ 0] < ∞.假设BX∈ 当bXT=0时，X生成viadbQdP，u′（ξbXT）E[u′（ξbXT）]a概率测度bq<< P，它考虑了扩展动态Cmbλt，ρtδtEbQ“Z[t，t]bαuu（du）的影子价格Cm英尺#，0≤ t型≤ T、 imsart aap版本。

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2022-6-10 13:13:00

2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日，二元性与bα，ρζbX的瞬时价格影响13∈ L（bQ u），即对于abQ平方可积鞅，例如-bλt≤cMt公司≤ P+bλt，0≤ t型≤ T、（13）在dbX的支持下，第一次和第二次估计中几乎可以肯定是相等的↓和dbX↑, 分别地在所有策略中，bx产生的预期效用E【u（ξXT）】最高∈ X，XT=0。从定理3.2证明所需的考虑因素来看，这一推论的证明将很容易遵循。因此，我们将其推迟到第4.2节末尾。我们采用了具有比例交易成本的最优投资理论中的影子价格的概念（参见，例如，[17，35，19]），其中，具有所述效用条件的鞅SCM是明确构建的，或者是从效用最大化的二元性中产生的。在我们的环境中，影子价格的构建更具挑战性，因为展布bλ不是外生的。因此，如何根据上述验证结果构建最优投资政策Bx并不明显。然而，参见[8]，当P是带漂移的平行运动且δ和r为常数时，凸解析法可用于指数效用m最大化。对偶定理的证明。4.1. 预备工作。让我们通过重写价格影响模型（Lemma 4.1）中交易的盈亏来准备定理3.2的证明。假设假设2.4为真。那么，对于任何策略x∈ X，当XT=0时，我们得到ξXT=v- ∧XT（14），其中v，ξ+（ιx+Δζ）（15）和∧XT，Z[0，T]PtdXt+Z[0，T]（ηXT）u（dt）（16），其中ηXT，ρTζXT=ζ+Z[0，T]ρsδsd（x↑s+X↓s），0≤ t型≤ T、（17）imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：201914年5月20日P.BANK and D Y。

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2022-6-10 13:13:09

D Olinsky此外，存在一个常数C>0，仅取决于假设2.4中δ/ρ的界限，因此，对于任何X∈ X，我们有X↑T+X↓T≤ Cl+sup0≤t型≤T | Pt |！关于{∧XT≤ l} 。（18）最后，映射X 7→ ∧XTis凸且下半连续。更准确地说，如果Xn∈ X弱收敛于X∈ 在某种意义上，几乎可以肯定Xn，↑和Xn，↓弱收敛为[0，T]上的Borel测度，分别收敛到一些自适应的、右连续的、递增的A和B，x=x+A- B、 A0级-= B0级-= 0，则几乎可以肯定lim infn∧XnT≥ ∧XT。（19）证明。让我们首先证明ξXT的公式（14）。对于中间价格的积分，我们通过P thatZ[0，T]PXt的连续性得到o dXt=Z[0，T]PtdXt+ιZ[0，T]Xto dXt=Z[0，T]PtdXt+ι（XT- x）（20）如果最后一个恒等式是由于Stratonovich积分的链式规则。类似地，使用ζX=ηX/ρ和d（X↑t+X↓t） =δtρtdηXt，wegetZ[0，t]ζXto d（X）↑t+X↓t） =Z[0，t]δtρtηXto dηXt=Z[0，T]κTo d（ηXt）= κT（ηXT）- δζ-Z（0，T）（ηXt）dκT=Z[0，T]（ηXt）u（dt）-δζ.（21）当XT=0.2时，将（20）与（21）结合得到（14）。对于X∈ X，根据∧XT的定义（16）得出{∧XT≤ l} 我们有+支持∈[0，T]| Pt |（X↑T+X↓T）≥ l-Z[0，T]PtdXt≥ZT（ηXt）u（dt）≥ （十）↑T+X↓T） /Cimsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日，对于某些常数C>0，二元性具有瞬时价格影响15，仅取决于假设2.4中δ/ρ的界限。因此，x，x↑T+X↓这样x≤ C（px+l）表示p，supt∈[0，T]| Pt |。这意味着（18）。设X，X∈ 然后观察（X↑+ 十、↑) -（十）↓+ 十、↓) isa将X，（X+X）分解为两个右连续增长过程的差异。因此（X↑+ 十、↑) -十、↑和（X↓+ 十、↓) - 十、↓正在增加，因此0≤ ηX≤（ηX+ηX）。在（16）的光线下，这产生了∧X的凸性。类似地，对于X n等于X=X+A- B如附录A中所述- 十、↑和B- 十、↓正在增加。

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2022-6-10 13:13:13

因此，我们有ηXnt→ηx+A+Bt≥ ηXtin t=t和d，在A+B的每个连续性t点上。通过P的连续性，我们也有limnz[0，t]PtdXnt=Z[0，t]PtdXt。X 7的下半连续性→ ∧Xt是（16）andFatou引理的结果。4.2. 下限的证明。首先观察（6）中的最大值大于-∞. 事实上，我们可以接受任何Q<< 其中αt，sup0≤s≤t | Psρs |，0≤ t型≤ T，在L（Q）中 u）并让M，0获得满足约束（7）的三元组（Q，M，α）。实际上，我们有ρtδtEQ“Z[t，t]αuu（du）英尺#≥ρtδtαtEQ[u（[t，t]）| Ft]=αtρt≥ |Pt |=| Pt- Mt |，0≤ t型≤ T、因此，（6）中的上确界不能为-∞.为了证明它给出了一个下界，考虑ξ∈ R和X∈ xxt=0时，ξXT≥ H≥ 0，设（Q，M，S）为三元组，如图3.2所示。引理4.2。我们有↑T+X↓T、 sup0≤t型≤T | Pt |∈ L（Q）。（22）证明。通过Doob极大不等式，su pt∈[0，T]| Mt |∈ L（Q）。同样，α∈ L（Q u）得出（7）右侧s边的[0，T]上的上确界也在L（Q）中。加上我们之前的观察，这是一个aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：201916年5月20日P.BANK and D Y.D Olinsky暗示也支持≤t型≤T | Pt |∈ L（Q）。X的平方可积性↑T+X↓t从（18）开始输入l，v=ξXT+λXT≥ ∧XT因为ξXT≥ H≥ 0几乎可以肯定。根据引理4.1，X的超复制性质等于v≥ H+Z[0，T]PtdXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）。（23）观察到，通过（7）我们可以估计Z[0，T]PtdXt=Z[0，T]（Pt- Mt）dXt+Z[0，T]MtdXt≥ -Z[0，T]| Pt-Mt |（dX↑t+dX↓t）- Mx公司-ZTXtdMt=-Z[0，T]| Pt-Mt |δtρtdηXt-Mx公司-ZTXtdMt，（24），其中我们首先使用部分积分，XT=0，然后（1）给出dηXT=ρt/δt（dX↑t+dX↓t）。

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2022-6-10 13:13:16

M和（22）yieldqhrtxtd[M]1/2ti的平方可积性<∞, 确保这一点。XTD是一个真正的鞅。因此，根据（24）中的预期，我们确定“Z[0，T]PtdXt#≥ -公式“Z[0，T]| Pt- Mt |δtρtdηXt+Mx#（25）≥ -公式“Z[0，T]EQ”Z[T，T]αuu（du）Ft#dηXt+Mx#（26）=-公式“Z[0，T]Z[0，u]dηXtαuu（du）+Mx#=-公式“Z[0，T]（ηXu- ζ） αuu（du）+Mx#，其中，在第二次估计中，我们使用了（7），第一个恒等式遵循Fubini定理，并观察到（26）中的条件预测可以删除，因为它给出了（R[t，t]αuu（du））0的可选投影≤t型≤T、 imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日具有暂时价格影响的二元性17现在，我们在（23）中取期望值，并使用前面的估计值来获得v≥ 公式“H+Z[0，T]（ηXt）- （ηXt- ζ） αtu（dt）- Mx#=等式“H+Z[0，T]（ηXt- αt）-（αt- ζ)+ζu（dt）- Mx公司#≥ 公式“H+Z[0，T]-（αt-ζ)+ζu（dt）- Mx#=等式【H】-公式“Z[0，T]（αT- ζ） u（dt）#+ζδ- mx其中，在最后一步中，我们使用u（[0，T]）=κ=δ。回顾v的定义（15），得出ξ≥ 等式【H】-kα- ζkL（Qu)- Mx公司-ιx，产生所声称的下限。在这一点上，也很容易证明推论3.5中所述的验证结果。为此，取任意X∈ 注意，由u的凹度，u（ξXT）- u（ξbXT）≤ u′（ξbXT）（ξXT- ξbXT）。考虑到P下的期望值并回顾BQ的定义，因此有必要讨论BQ【ξXT】≤ EbQ[ξbXT]。（27）对于这一点，请注意，从（14）中，我们有ebq[ξXT]=v- EbQ“Z[0，T]PtdXt#-EbQ“Z[0，T]（ηXt）u（dt）#。按照（25），（26），我们估计EbQ“Z[0，T]PtdXt#≥ -EbQ“Z[0，T]（ηXu- ζ） bαuu（du）+cMx#imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：1918年5月20日，P.BANK and D Y.D Olinsky观察到，对于X=bX，我们实际上得到了一个等式，这是基于支持假设（13）。

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2022-6-10 13:13:19

因此，EbQ[ξXT]≤ v+EbQ“Z[0，T]（ηXt- ζ） bαt-（ηXt）u（dt）+cMx#=v+EbQ“Z[0，T]（bαt- ζ)-（ηXt- bαt）-ζu（dt）+cMx#≤ v+EbQ“Z[0，T]（bαt- ζ)-ζu（dt）+cMx#其中，我们再次得到等式y，其中f或X=bX，通过选择bα=ηbX。因此，（27）确实成立，有待证明。4.3. 上界的证明。为了证明“≤” 在我们的对偶描述（6）中，我们必须为任何bξ<π（H）构造一个三元组（bQ，cM，bα），如定理3.2所述，使得bξ<EbQ[H]-kbα- ζkL（bQu)-cMx公司-ιx.（28）观察到，如果必要，通过更改为等效度量，我们可以在不丧失一般性的情况下假设∈ L（P），sup0≤t型≤T | Pt |∈ L（P）。（29）为了便于注释，让我们介绍classX，{X∈ X：X↑T+X↓T∈ L（P）}，让我们表示bybv，bξ+（ιx+Δζ）（30）来自（15）的常数，对应于ξ=bξ。我们从构建BQ开始，BQ是从一个标准的分离论证中出现的：引理4.3。有一个概率测度bq关于P有界密度，使得bv<EbQ[H]+infX∈X，XT=0EbQ∧XT.（31）imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日二元性和暂时性价格影响证明。根据投资者最终现金头寸的表达式（14），条件Bξ<π（H）转化为- bv6型∈ C-∧XT- A:X∈ X，XT=0，A∈ L+（英尺）.（32）我们将在下面论证C是L（FT）的凸闭子集。然后是C∩ L（P）是L（P）的一个凸闭子集，由（32）表示，它不包含H- bv公司∈ L（P）。通过Hahn-Banach分离定理，我们可以找到Z∈ L∞（英尺）- {0}这样e[Z（H- bv）]>supC∈C∩L（P）E【ZC】。（33）自L-（P）-∧T C，我们必须有Z≥ 0几乎可以肯定。

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2022-6-10 13:13:22

因此，我们可以确定概率度量<< P viadbQdP，ZE[ZT]。然后（33）在观察到X的∈ Xwe有∧XT∈ 根据假设2.4和（29）得出的L（P）。仍然需要证明C确实是L（FT）的一个凸闭子集。凸性是X 7的凸性的直接结果→ ∧XT在EMMA4.1中建立。接近度取Xn∈ X，其中XnT=0，且∈ L+（FT），n=1，2，这样∧XnT+anconverge在L（P）中，或者在不损失一般性的情况下，甚至几乎可以肯定到某个有限极限L。我们必须证明-L∈ C，即L≥ ∧X对于某些X∈ 十、根据给定的收敛性，supn∧xnti几乎肯定是有限的。因此，根据我们的估计（18）也支持（Xn，↑T+Xn，↓T）几乎可以肯定是有限的。特别是conv（Xn，↑T+Xn，↓T、 n=1，2，…）几乎肯定是有界的，因此在概率上也是有界的。因此，通过一个Komlos引理，如[25]中的引理3.4或[8]中的引理3.1，有一个凸组合的最终序列Xnof Xn，Xn+1，几乎可以信赖，↑和▄Xn，↓弱收敛为[0，T]上的Borel测度，分别收敛于A和B，两个A-ap-ted，右连续和A0递增过程-= B0级-= x 7的下半连续性和凸性→ ∧XT，见引理4.1中的（19），它遵循X，X+A- B∈ Xwe确实有∧XT≤ lim infn∧XnT≤ lim infn∧XnT≤ 需要Las。imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：201920年5月20日P.BANK and D Y.D Olinsky鞅cm被构造为约束XT=0的拉格朗日乘数，在（31）的最大值：引理4.4。我们有INFX∈X，XT=0EbQ∧XT= supM公司∈M（bQ）infX∈XEbQ公司∧XT- MTXT公司.（34）结合（31），这个引理特别表明存在iscM∈ M（bQ），BV<EbQ【H】+infX∈XEbQh∧XT-cMTXTi。（35）证明。我们从观察INFX开始∈X，XT=0EbQ∧XT= limninfX∈XnEbQ公司∧XT+ nkXTkL（bQ）o（36）=limninfX∈XsupkMTkL（bQ）≤nEbQ公司∧XT- MTXT公司.事实上，第二个身份是直接的。”≥” 在第一行。

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2022-6-10 13:13:25

用于“≤” 拿着Xn∈ X如此EbQ∧XnT+ nkXnTkL（bQ）接近第一行的限值。然后是supnEbQ∧XnT< ∞ 通过x 7的凸性→ ∧XT，我们甚至还有supX∈conv（Xn，n=1,2，…）EbQ公司∧XT< ∞ . 因此，根据（18），conv（Xn，↑T+Xn，↓T、 n=1，2，…）以L（bQ）为界。特别是，它在陆地上是有界的，因此我们可以应用Komlos结果，如[8]中的引理3.1，以获得Xn∈ conv（Xn，Xn+1，…），n=1，2，收敛到s ome▄X∈ 按照L emma 4.1中下半连续状态（19）所需的方式。我们声称，对于EbQh∧XTi，XT=0≤ limnnEbQh∧XnTi+nkXnTkL（bQ）o.（37），因为通过构造（Xn）n=1,2，。。。这个极限与（36）中的一个一致，我们得到“≤” 必须保持在那里。对于（37）的证明，注意（∧∧XnT）在L（bQ）中有界，因为conv（Xn，↑T+Xn，↓T、 n=1，2，…）以L（bQ）为界。如果限值为（37）有限，这意味着kXnTkL（bQ）→ 0因此实际上▄XT=0。对于（37）中的估计，通过Fatou\'slemma和X 7的下半连续性观察→ ∧X，因此有必要表明（λ∧XnT∧ 0）n=1,2，。。。是uniformlybQ可积的。接下来是Imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日，二元性与暂时性价格影响21观察到由于H¨older的不平等（p=4，q=4/3）EbQ∧▄XnT∧ 03/2≤ EbQ公司Z[0，T]PtdXnt∧ 03/2≤ EbQ“sup0≤t型≤T | Pt | 3/2（￠Xn，↑T+~Xn，↓T） 3月2日#≤ EbQ“sup0≤t型≤T | Pt |#1/4EbQh（| Xn，↑T+~Xn，↓T） i3/4是有界的，因为（29）和已经建立的conv（Xn）的L（bQ）有界，↑T+Xn，↓T、 n=1，2，…）。建立了（36），我们从minimaxrelationinfX中获得了断言（34）∈XsupkMTkL（bQ）≤nEbQ公司∧XT- MTXT公司（38）=supkMTkL（bQ）≤ninfX∈XEbQ公司∧XT- MTXT公司.为此，我们赋予X元素ω向全变分的L（P）-范数，kXk，EP[（X↑T+X↓T） ]1/2，以及具有弱拓扑的L（bQ）-球。

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2022-6-10 13:13:28

当这两个集都是拓扑向量空间的凸集，且后者甚至是紧集时。此外，（X，MT）7→EbQ公司∧XT- MTXT公司在X上是连续且凸的，在MT上是连续且凹的（偶数）。因此，我们可以应用Sion的极大极小定理（[36]）得到（38）。我们的最终引理构造了bα：引理4.5。有一个可选的bα∈ L（bQ u）使| Pt-cMt |≤ρtδtEbQ“Z[t，t]bαuu（du）英尺#，0≤ t型≤ T、 andinfX公司∈XEbQh∧XT-cMTXTi=-kbα- ζkL（bQu)-cMx+ζδ。（39）imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1922年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKYProof。我们首先使用分部积分，并观察到EBQ【RTXtd【cM】1/2t】<∞ 对于X∈ 为了得到这样的X，我们可以写ebqh∧XT-cMTXTi=EbQ“Z[0，T]（Pt-cMt）dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）-cMx#=EbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#-CMX，其中▄Xt，x-R[0，t]符号（Ps- Ms）dXs，0≤ t型≤ T，满足度ηX=ηX。因此（39）中的最大值与最后一次总体预期的最大值X一致∈ 十、事实上，它与它的最大值一致，即递增和有界X∈ X：infX∈XEbQh∧XT-cMTXTi=inf▄X∈X增量。，bdd。EbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#-cMx。因此，仍需证明，这是最后一个最小值isinfX∈X增量。，bdd。EbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#（40）=-kbα- ζkL（bQu）+某些bα的ζδ∈ L（bQ u).我们将在下文中论证，存在一个具有右上角连续路径的渐进可测量过程a，从而supτ≤v≤.影音∈ L（bQ u）带| Pτ-cMτ|Δτρτ=EbQ“Z[τ，T]supτ≤v≤uavu（du）Fτ#（41）对于任何停止时间τ≤ T，即（41）中的左侧是u-积分在右侧的BQ可选投影。因此，weimsart aap版本。

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kedemingshi

2022-6-10 13:13:33

2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日具有暂时价格影响的二元性23get对于任何增加和有界X∈ X thatEbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#=EbQ“-Z[0，T]Z[T，T]支持≤v≤uavu（du）ρtδtd▄Xt+Z[0，t]（η▄Xu）u（du）#=EbQ“Z[0，t]（（η▄Xu）-Z[0，u]支持≤v≤uavdηXt）u（du）#，，（42）其中，对于第二个等式，我们应用Fubini定理，并通过▄X和（17）的单调性使用该定理，我们得到ρtδtd▄Xt=dη▄Xt。简介GBαu，sup0≤v≤无人机∨ ζ, 0 ≤ u≤ T、我们可以估计{…}中的表达式in（42）by（ηИXu）-Z[0，u]支持≤v≤uavdηИXt≥（ηИXu）-Z[0，u]bαudη▄Xt=（η▄Xu）- bαu（ηИXu- ζ）（43）=（ηИXu）- bαu）-（bαu- ζ)+ζ≥ -（bαu- ζ） +ζ，（44），不取决于增加的选择，b ou ndedX∈ 十、将（42）与该估计值相结合，得出fX∈X增量。，bdd。EbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#≥ EbQ“Z[0，T]-（bαu- ζ)+ζu（du）#=-kbα- ζkL（bQu）+ζδ，证明“≥” 在我们的断言中（40）。还有待争论的是，事实上，等式h是真的，尤其包括bα∈ L（bQ u). 我们首先观察到bα至少是L（bQ u）因为sup0≤v≤.一∈ L（bQ u). 此外，bα从ζ开始递增，它是右连续的，并由a的右上连续性和渐进可测性进行调整。因此，我们可以考虑递增mSart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1924年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKYbX∈ ηbX=bα的X。对于▄X=bX，我们显然在（44）中有等式，事实上，在（43）中也有等式。实际上，通过构造，当过程a达到超过ζ的新最大值时，bX和ηBxin仅增加t倍，因此≤v≤uav=sup0≤v≤uav=任何u的bαuF≥ t在这些时候。

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2022-6-10 13:13:36

现在，当▄X=bX时∧n在（42）中，我们从这些考虑中得出，ebq“-Z[0，T]| Pt-cMt | d（bX∧ n） t+Z[0，t]（ηbX∧nt）u（dt）#（45）=EbQ“Z[0，T]（（ηbX∧nu）-Z[0，u]支持≤v≤uavdηbX∧nt）u（du）#=Z{bX≤n}-（bα- ζ)+ζd（bQ u）+Z{bX>n}（ηbX∧n）- bαηbX∧n+bαζd（bQ u).（46）一旦我们知道bα=ηbX≥ ηbX∧nis在L（bQ u），我们可以分别使用单调收敛和支配收敛来↑ ∞ 在前面的表达式中，得出infX∈X增量。，bdd。EbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#≤ZOhm×【0，T】-（bα- ζ)+ζd（bQ u) + 0= -kbα- ζkL（bQu）+ζδ，我们的索赔（40）仍需显示。现在，使用EstimateBQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | d（bX∧ n） t+Z[0，t]（ηbX∧nt）u（dt）#≥ -sup0≤t型≤T|Pt公司- Mt |δtρtL（bQ）kηbX∧nT公司- ζkL（bQ）+kηbX∧nkL（bQu）以查看如果bα=ηbx不在L（bQ）中u）那么（45）中的期望值将倾向于+∞ 通过n的单调收敛↑ ∞. 但同时，（46）中的第一个积分将收敛到-∞. 此外，bα∈ L（bQ u）imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日具有暂时价格影响的二元性25确保了bαζ对第二个BQ的贡献 u-n的积分↑ ∞. 通过选择bX，我们得到bα=ηbX≥ ηbX∧n、所以这个积分的剩余贡献小于或等于0。因此，假设bα6∈ L（bQu）导致了（45）和（46）中的相同数量会收敛到的矛盾+∞ 和-∞ 同时当n↑ ∞.为了完成我们的证明，我们仍然需要构建过程afrom（41）。它将由[4]中的表示定理得到。为此，我们注意到，虽然假设2.4完全支持[0，T]，但我们的度量u并不直接适用于这个表示定理，因为它在时间T是一个原子。因此，我们将其替换为无原子可选随机度量值|u（dt）=1[0，T）（T）u（dt）+λe-λ（t-T）[T，∞)（t） dt开[0，∞) 式中λ，u（{T}）。

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2022-6-10 13:13:40

我们还扩展了Yt，| Pt-cMt |δtρt，0≤ t型≤ T，到[0，∞)让Yt，YTe-λ（t-T）对于T≥ 我们让Ft，FTfor T≥ T然后，通过假设2.1，对过程Y进行调整，使其连续极限↑∞Yt=0，它属于（D）类，因为它有一个可积的上界，因为∈ M（bQ）和（29）。因此，我们可以将[4]中的定理3与其备注2.1联系起来，以获得右上角连续的渐进可测量a，从而对于任何停止时间τ，我们都有supτ≤v≤.影音∈L（bQ ^1u）yτ=EbQ“Z[τ，∞)supτ≤v≤uavu（du）Fτ#。事实上，对于t≥ T，我们很容易检查at=at=yt是否可行。因此，对于任何停止时间τ，我们通过a的唯一性得到≤ T上述表示为| Pτ-cMτ|Δτρτ=Yτ=EbQ“Z[τ，T）supτ≤v≤无人机￠u（du）+Z[T，∞)supτ≤v≤Tav￠u（dt）Fτ#=EbQ“Z[τ，T）supτ≤v≤uavu（du）+supτ≤v≤Tavu（{T}）Fτ#按要求。定理3.2对偶（6）中上界的证明现在很容易完成。实际上，构造的三元组（bQ，cM，bα）是我们的定理所要求的。此外，回顾BV的定义（30），并将（35）与（39）相结合，得出所需的上限（28）。imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1926年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKYReferences。[1] 奥尔·埃林·阿尔芬西、安杰·弗鲁斯和亚历山大·德希德。具有一般形状函数的有限订单的最优执行策略。量化金融，10（2）：143–1572010。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697680802595700.[2] 罗伯特·阿尔姆格伦和尼尔·克里斯。投资组合交易的最佳执行。J、风险，3:5–392001年。[3] Peter Bank和Dietmar Baum。大型交易商金融市场中的套期保值和投资组合优化。数学《金融》，14（1）：1–18，2004年。I SSN 0960-1627。[4] Peter Bank和Nicole El Karoui。一个随机表示定理及其在最优化和障碍问题中的应用。安。

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2022-6-10 13:13:42

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