在这种情况下，viy+vixi=AN（y）coshxir2（N- 1） αN！+pN（xi）+AN（y）sinhxir2（N）- 1） αN！r2（N- 1） αN=pN（～xi）1- cosh公司f-1N（y）- xir2（N- 1） αN！！+pN（f-1N（y））sN2（N- 1)α×新罕布什尔州f-1N（y）- xir2（N- 1） αN！-pN（f-1N（y））- pN（xi）pN（f-1N（y））qN2（N-1） αcoshf-1N（y）- xir2（N- 1） αN！≤ pN（xi）1- cosh公司f-1N（y）- xir2（N- 1） αN+pN（f-1N（y））sN2（N- 1） α“sinhf-1N（y）- xir2（N- 1） αN！-f-1N（y）- xir2（N- 1） αN！cosh公司f-1N（y）- xir2（N- 1） αN#≤ 第二个到最后一个不等式成立，因为pN是凹函数，pN（f-1N（y））>0。最后一个不等式自pN（~ xi）起成立≥ 0，| xi |≤ f-1N（y）和pN（f-1N（y））>0。第3步是检查(-viy公司- vixj=0，表示（xxx，y）∈ A+j，j 6=i，-viy+vixj=0，对于（xxx，y）∈ A.-j、 j 6=i.（4.23）根据对称性，可以检查第一个梯度条件。购买力平价时：=（www，z）∈ A+j∩E+j，1，表示qqq：=wwwj，wj++Pk6=jwkN-1，fN（wj+）= π（ppp），将ppp转换为有限燃料博弈19E+j的边界，即。，E+j：={（xxx，y）| y=f-1Nxj} 沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1，除第j个和第（N+1）个分量为-1、根据（4.18）的定义，我们得到了vi（ppp）=vi（qqq），vixj（ppp）=1-fN（▄qj）vixj（qqq）+fN（▄qj）1-fN（▄qj）viy（qqq），and viy（ppp）=-1.-fN（▄qj）vixj（qqq）-fN（￠qj）1-fN（▄qj）viy（qqq），其中▄qi=qi-PNj=1，j6=iqjN-因此，vixj（ppp）+viy（ppp）=0。购买力平价时：=（www，z）∈ A+j∩ E+j，2，我们有vi（ppp）=vi（qqq），其中qqq：=万维网-j、 wj公司- z、 0个= π（ppp）将ppp转换为{（xxx，y）∈ RN×R+| y=0}沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1。在这种情况下，vi（ppp）=pN（ewj- z） +安（0）cosh（ewj- z） q2（N-1） αN通过定义持有，通过直接计算，VIxj（购买力平价）+viy（购买力平价）=0。（iii）通过案例1和案例2的构造，当（xxx，y）/∈ W-i、 在时间0推动关节位置至某个点（^xxx，^y）∈ W-我知道了Y≤ y

时间（xxx，y）∈ W-i、 （ξξ）-我*, ξi）形成了中Skorokhod问题的解决方案∩j6=i（E-j∪E+j）c.很容易验证∩j6=i（E-j∪ E+j）c W-和斯科罗霍德的问题∩j6=i（E-j∪ E+j）chas是弱解。当燃油用完时，dynamics XXXT将变得不受控制，并在不受控制的情况下自由移动。因此，条件（iii）满足。（iv）解决方案（4.18）满足第4.1节中的平滑原则，因此，vi∈ C（W-i） 。让我们定义一个二维辅助函数ev（x，y）=pN（x）+AN（y）coshxr2（N- 1） αN！。我们首先证明了当| x |时，ev（x，y）是凸的≤ f-1N（y），然后表明（4.18）中定义的vi（xxx，y）在W中是凸的-i、 步骤1是证明当| x |时ev（x，y）是凸的≤ f-1N（y）。通过直接计算，evxx（x，y）=pN（x）+2（N-1） αNAN（y）coshxq2（N-1） αN, evxy（x，y）=q2（N-1） αNAN（y）sinhxq2（N-1） αN,和evyy（x，y）=AN（y）coshxq2（N-1） αN. 当0时≤ x<f-1N（y），将（4.13）插入我们得到的evxx（x，y）公式中，evxx（x，y）=pN（x）+pN（f-1N（y））r2（N- 1） αNsinhf-1N（y）r2（N- 1） αN！coshxr2（N- 1） αN！-pN（f-1N（y））coshf-1N（y）r2（N- 1） αN！coshxr2（N- 1） αN！。给定引理4.1，当x>0时，pN（x）是凹的。因此对于y≥ 0，pN（f-1N（y））≥ pN（0）+pN（f-1N（y））（f-1N（y）- 0）=pN（f-1N（y））f-1N（y）。最后一个等式成立，因为h（0）=假设H2\'的0。结合sinh（z）的事实≥0和cosh（z）≥ z时为0≥ 0，我们有20个新郭、文品堂和仁元XUevxx（x，y）≥ pN（f-1N（y））f-1N（y）r2（N- 1） αNsinhf-1N（y）r2（N- 1） αN！coshxr2（N- 1） αN+pN（x）- pN（f-1N（y））coshf-1N（y）r2（N- 1） αN！coshxr2（N- 1） αN！≥ pN（x）+pN（x）coshxr2（N- 1） αN！×xr2（N- 1） αNsinhxr2（N- 1） αN！- coshxr2（N- 1） αN！！（4.24）=pN（x）1+z正弦（z）余弦（z）- cosh（z）z=xq2（N-1） αN≥ 0（4.25）（4.24）成立，因为pNis不增加（引理4.1）且g（z）：=z sinh（z）- cosh（z）在z≥ 0。（4.25）自g（z）起保持：=1+z sinh（z）cosh（z）-cosh（z）是非负的，当z≥ 0

要看到这一点，g（0）=0，g（z）=cosh（z）[z cosh（z）- sinh（z）]+z sinh（z）≥ 0，当z≥ 0。另一方面，表示g（z）：=-pN（z）coshzq2（N-1） αN+pN（z）qN2（N-1） αsinhzq2（N-1） αN,那么g（z）=-q2（N-1） αNpN（z）sinhzq2（N-1） αN+pN（z）qN2（N-1） αsinhzq2（N-1） αN. 从引理4.1，我们得到pN（z）≥ 0和pN（z）≤ z时为0≥ 0，因此g（z）≤ 0小时≥ 除了引理4.2中的fN（z）<0，当z>0时，我们还有（y）=g（f-1N（y））fN（f）-1N（y））≥ 因此evyy（x，y）≥ 最后我们证明了evxxevyy- （evxy）≥ 0时0≤ x个≤ f-1N（y）。要了解这一点，请表示z=f-1N（y），evxxevyy- （evxy）=pN（x）+2（N- 1） αNAN（y）coshxr2（N- 1） αN！AN（y）coshxr2（N- 1） αN！-r2（N- 1） αNAN（y）sinhxr2（N- 1） αN！=2（N- 1） αN-pNcoshzr2（N- 1） αN！+pNsN2（N- 1） αsinhzr2（N- 1） αN！！×pNcoshxr2（N- 1） αN！- pNcoshzr2（N- 1） αN！！≥ 0.当-f-1N（y）≤ 对称x<0。第2步是证明（4.18）中定义的vi（xxx，y）在W中是凸的-i、 我们以player-one为例，证明v（xxx，y）=~v（~x，y）在W中是凸的-1其中▄x=x-PNk=2xkN-1、其他参与者的价值函数的凸性可以类似地验证。时间（xxx，y）∈ W-1，我们有| x |≤ yhence ev（￠x，y）为非负定义。根据链式法则，适用于2≤ k 6=j≤ N、 vxx（xxx，y）=evxx（x，y），vxxk（xxx，y）=-N-1evxx（x，y），vxy（xxx，y）=evxy（x，y），vyy（xxx，y）=evyy（x，y），vxkxj（xxx，y）=（N-1） evxx（￠x，y），vxxk（xxx，y）=-N-1evxx，vxky（xxx，y）=-N-1evxy（￠x，y）。有限燃料博弈21表示H（xxx，y）：=v（xxx，y）∈ R（N+1）×（N+1）作为某点（xxx，y）的Hessian矩阵∈W-1、对于任何ddd=（b，···，bN，c）∈ RN+1，dddTH（xxx，y）ddd=b-N- 1NXk=2bk！evxx+2b-N- 1NXk=2bk！cevxy+cevyy=eeeT▄H（▄x，y）eee≥ 0，其中eee=b-N-1PNk=2bk，c和▄H（▄x，y）=~v（~x，y）。最后一个不等式来自于当| | x |时| v（| x，y）的凸性≤ y、 因此，W中的vis凸-1.（v）表示W-i（y）={（xxx，z）：（xxx，z）∈ W-土地z≤ y} 。

（XXX）-我*t、 Xit，Yt）∈ W-当（ξ）时，i（y）保持a.s-我*t、 ξit）∈ 序号（xxx，y）。这是因为0≤ 年初至今≤ y a.s。t型≥ 0低于（ξ-我*t、 ξit）∈ 序号（xxx，y）。首先，我们证明vixjis有界于（xxx，z）∈ E+i，1∩ W-i（y），（xxx，z）∈ E-i、 1个∩ W-i（y）和（xxx，z）∈B（y）：=W-i（y）∩ {（xxx，z）：|xi |≤ f-1N（z）}。对于（xxx，z）∈ B（y），| xi |≤ f-1N（z）≤ f-1N（y）<∞自f起-1Nis不增加。这意味着▄xi在B（y）中有界。根据（4.10）中a（z）的定义，AN（z）以B（y）为界。因此，vixkis在B（y）上有界（k=1，2，···，N）。按照（ii）中的步骤2，存在qqq∈ B（y）使得（xxx，z）的vxk（qqq）=vxk（xxx，z）（k=1，2，···，N）∈ E+i，1∩W-i（y）。类似结果适用于（xxx，z）∈ E-i、 1个∩ W-i（y）。因此，Vixkis以（xxx，z）为界∈ E+i，1∩ W-i（y）和（xxx，z）∈ E-i、 1个∩ W-i（y）。第二，vi（xxx，0）=pN（xi）holdssince AN（0）=0（引理4.2）。根据VIA的定义和（ii）中的步骤2，我们得到vixk（xxx，z）=vixk（（xxx-i、 xi- z） ，0）（k=1，2，···，N）和0<xi- z<~xifor（xxx，z）∈ E+i，2∩ W-i（y）。引理4.1，0≤ pN（xi）- z）≤ pN（xi）。因此| vixk（xxx，z）|≤ |pN（~xi）|表示（xxx，z）∈ E+i，1∩W-i（y）和相同的结果适用于（xxx，z）∈ E-i、 2∩ W-i（y）。结合上述分析和引理4.1，存在一个常数C（y）>0，使得| vixj（xxx，z）|≤ C（y）+pN（xi）+≤ C（y）+Kα|xi |表示（xxx，z）∈ W-i（y）。因此，根据托内利定理，埃尔特-2αt（vixjXXX个-我*t、 Xit，Yt）dti公司≤CC（y）+（xi-Pj6=ixjN-1） +y+T< ∞ 对于一些C>0且（v）满足要求的情况。（vi）回想一下W的定义-（v）中的i（y）和（XXX-我*t、 Xit，Yt）∈ W-i（y）当（ξ-我*t、 ξit）∈序号（xxx，y）。遵循与（v）中相同的参数，存在sec（y）>0，因此| vi（xxx，z）|≤eC（y）（xxx，z）∈ E+i，1∩ W-i（y），（xxx，z）∈ E-i、 1个∩ W-i（y）和（xxx，z）∈ B（y）：=W-i（y）∩ {（xxx，z）：|xi |≤ f-1N（z）}。此外，vi（xxx，0）=pN（～xi）自AN（0）=0（引理4.2）起成立。

根据vi的定义，vi（xxx，z）=vi（xxx-i、 xi- z） ，0）和0<xi- z<~xifor（xxx，z）∈ E+i，2∩ W-i（y）。引理4.1，0≤ pN（xi）- z）≤ pN（xi）。因此vi（xxx，z）≤ pN（xi）（xxx，z）∈ E+i，2∩ W-i（y）和相同的结果适用于（xxx，z）∈ E-i、 2∩ W-i（y）。将上述分析与引理4.1相结合，| v（xxx，y）|≤ pN（xi）+eC（y）≤ pN（0）+Kα（～xi）+eC（y）。给定（ξξ）-我*, ξi）∈ SN（xxx，yyy），Pj6=iξˇj*T+ξiT≤ Y霍尔德a.s。。因此E“退出-Pj6=iXj*田纳西州-1.#≤Cxi-Pj6=ixjN-1.+ y+T对于某些▄C>0。因此lim支持→∞e-αTEpN编号退出-Pj6=iXj*田纳西州-1.= 0且横截性条件（vi）成立。（vii）该条件由Skorokhod问题的性质和第4.2节中描述的初始跳跃来满足。5、博弈CdCdCd的纳什均衡在这一部分，我们研究了N人博弈CdCdCd的NEP。这是A=inin∈ RN×N，andYit=yi-'ξitwith Yi0-= 易。（5.1）22 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu回忆说，游戏CPCPC和游戏CDCDCDCDDIS之间的主要区别在于，在前一种情况下，所有N个玩家共享固定数量的相同资源，而在后一种情况下，每个玩家都有自己的固定资源约束。这种差异反映在（HJB-Cp）和（HJB）-Cd）的维度，以及每个播放器基于剩余资源的控制。特别是，（HJB- Cp）和CpcpCare的状态空间（xxx，y）的维数为N+1，而（HJB- Cd）和维度为2N的cdcdcddare的状态空间（xxx，yyy）。此外，在博弈CpCpCp中，梯度约束是-viy±vixi对于玩家i。相反，在游戏CdCdCd中，每个玩家控制自己的资源级别，梯度约束变为-viyi±vixiforplayer i。

所以如果Ai∩ Aj=, 游戏CCCD中vi（xxx，yyy）的HJB方程如下所示。（HJB Cd）最小值-αvi+hN- 1Nexi公司+NXj=1vixjxj，-viyi+vixi，-维伊- vixi公司= 0，用于（xxx，yyy）∈ W-我，-viyj- vixj=0，表示（xxx，y）∈ A+j，j 6=i，-viyj+vixj=0，对于（xxx，y）∈ A.-j、 j 6=i。请注意，ithplayer的控制策略仅取决于W中的（xxx，yi）-i、 如第4节所示，对于CpCpCp类型的受控过程，当碰到多面体的边界时，多面体将向所有方向扩展。而对于CdCdCd型受控过程，多面体一旦被击中，只有一个方向会移动。继续，类似于第4节，定义行动区域Ai∈ RN×RN+和ithplayer的等待区域wia+i：=E+i∩ Qi，A-i： =E-我∩ Qi，Ai=A+i∪ A.-i、 Wi：=RN×RN+\\Ai，（5.2），其中e+i：=（xxx，yyy）∈ RN×（R*+)N： 进出口银行≥ f-1N（彝语）, E-一：=（xxx，yyy）∈ RN×（R*+)N： 进出口银行≤ -f-1N（彝语）, （5.3）对于E+i，1：=（xxx，yyy）∈ E+i：易≥ xi+x, E+i，2：=（xxx，yyy）∈ E+i：yi<xi+x, （5.4）E-i、 1：=（xxx，yyy）∈ E-i： 易≥ -xi- x个, E-i、 2：=（xxx，yyy）∈ E+i：易<-xi- x个, （5.5）和{Qi}Ni=1rn×R+的凸划分，使得Qi∩ Qj=（E+i∪ E-（一）∩ （E+j∪ E-j）∩ WNEfori 6=j，∪Ni=1Qi=RN×R+，αppp+（1- α） qqq∈ Qjfor allα∈ [0，1]如果购买力平价∈ Qjand qqq∈ qj对于某些j=1，2，···，N。

我们可以定义以下映射∏（xxx，yyy）=（xxx）-i、 xi++Pk6=ixkN-1),yyy年-i、 fN（xi+）, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，1，（xxx）-i、 xi- yi），（yyy-i、 0）, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，2，（xxx）-i、 Pk6=ixkN-1+xi-), （yyy年-i、 fN（xi-)), if（xxx，yyy）∈ 气∩ E-i、 1、，（xxx）-i、 xi+yi，（yyy）-i、 0）, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E-i、 （5.6）其中阈值函数fN（·）在（4.14）-（4.16）中定义，xi+是唯一的正根，因此z- fN（z）=xi- 易和xi-是唯一的负根，因此z+~fN（z）=▄xi+yi。请注意，∏（·）将（xxx，yyyy）转换为E+i，1的边界，即。，E+i，1：={（xxx，yyy）∈ RN×RN+：yi=f-1Nxi, 0<xi≤ x} 时间（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，1，并将（xxx，yyyy）转换为“零资源”平面{（xxx，yyy）∈ RN×RN+：yi=0}当（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，2，沿方向（0，···，-1, 0, · · · , -1, · · · , 0) ∈ r2n具有非零i-thand（N+i）-th分量。LetWNE：={（xxx，yyy）∈ RN×RN+：| exi |<f-1的1N（yi）≤ 我≤ N}∪ {（xxx，yyy）∈ RN×RN+：yyy=0}，（5.7）并假设{Qi}Ni=1满足以下假设：有限燃料博弈23H3 Cd。对于任何（xxx，yyy）∈ ∪iAi，∏（xxx，yyy）∈ 拥有。条件H3-Cd表示如果（xxx，yyy）∈ Ai，那么在玩家i\'s控制之后，动态将在区域wne中。我们现在调查球员i的控制，这只取决于W中的（xxx，yi）-i、 也就是说，对于| exi |<f-1N（yi），vi（xxx，yyyy）=pN（exi）+AN（yi）coshexir2（N- 1） αN！，（5.8）是（HJB Cd）的解决方案，其中pN（·）由（4.11）定义，AN（·）由（4.15）定义。下一步是构建与HJB解决方案（5.8）相对应的受控流程（XXX，YYY）。注意，wne是r2n中的一个无界域，有2N个边界。

对于i=1，2，···，N，定义WNEFi的2N个面={（xxx，yyy）∈ WNE |（xxx，yyy）∈ E+i}，Fi+N={（xxx，yyy）∈ WNE |（xxx，yyy）∈ E-i} 。每个面上的法线方向由nnni=ci给出N- 1，···，N- 1.- 1，N- 1···，N- 1.0，···，0，（f-1N）易, 0, · · · , 0,nnnN+i=cN+i-N- 1, · · · , -N- 1, 1, -N- 1, · · · , -N- 1.0，···，0，（f-1N）易, 0, · · · , 0.Ith分量为±1，（N+i）Th分量为（f-1N）（彝语）。ciand cN+I使常数非线性化，使KNNIK=knnnN+ik=1。表示每个面上的反射方向asrrri=ci（0，···，0，-1, 0, · · · 0; 0, · · · , 0, -1，0，···，0），rrrN+i=cN+i（0，···，0，1，0，···0；0，··，0，-1，0，···，0），ITH分量为±1，（N+i）TH分量为±1。ciand cN+I对常数进行归一化，使krrrik=krrrN+ik=1。NE战略定义如下。案例1：（XXX0）-,YYYY0年-) = （xxx，yyy）∈ 拥有。可以检查（5.7）中定义的wne和{rrri}2Ni=1de上述满足假设A1-A5。因此，对于Skorokhod问题，存在一个弱的数据解决方案WNE，{rrri}2Ni=1，bbb，σσ，xxx∈ WNE公司. A1-A5的可满足性见附录A。案例2：（XXX0）-,YYYY0年-) = （xxx，yyy）/∈ 拥有。存在i∈ {1，···，N}这样（XXX0-,YYYY0年-) ∈ 人工智能。（1） If（xxx，yyy）∈ A+i∩ E+i，1，然后玩家i将立即从Xi0移动-= xito Xi=Xi++Pk6=ixkN-1在时间0，其中xi+是唯一的正根，因此z- fN（z）=xi- 易。这将从Yi0减少层i的资源-= yito Yi=fN（xi+）≥ 0、其他玩家的动态和资源保持不变，即Xj=Xj0-= xjand Yj=Yj0-= j 6=i和1时的yj≤ j≤ N、 根据假设H3 Cd，我们有（XXX，YYY）=（xxx）-i、 xi++Pk6=ixkN-1),yyy年-i、 fN（xi+）= ∏（（XXX0-,YYYY0年-)) ∈ 拥有。

（2） If（xxx，yyy）∈ A+i∩ E+i，2，然后玩家i将立即从Xi0移动-= 西托Xi=Xi- Yi0和她的资源发生了变化-= 在时间0时，yito Yi=0。其他玩家的位置和资源保持不变，即Xj=Xj0-= xjand Yj=Yj0-= j 6=i和1时的yj≤ j≤ N假设H3 Cd，我们有（XXX，YYY）=（xxx）-i、 xi- 易，yyy年-i、 0个= ∏（（XXX0-,YYYY0年-)) ∈ 拥有。（3） 同样，如果（xxx，yyy）∈ A.-我∩ E-i、 1，那么玩家i将立即从Xi0移动-= 西托Xi=Xi-+Pk6=ixkN-1时间0，其中xi-是唯一的负根，因此z+~fN（z）=~xi+yi。这将减少Yi0的资源-= y toYi=fN（xi-) ≥ 0、其他玩家的动态和资源保持不变，即Xj=Xj0-= xjand Yj=Yj0-= j 6=i和1时的yj≤ j≤ N、 假设H3 Cd，我们有（XXX，YYY）=（xxx）-i、 Pk6=ixkN-1+xi-), （yyy年-i、 fN（xi-))= ∏（（XXX0-,YYYY0年-)) ∈ 拥有。（4） If（xxx，yyy）∈ A.-我∩ E-i、 2，则playeri将立即从Xi0移动-= xito Xi=Xi+Yi，她的资源从Yi0减少-= 在时间0时，yito24 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN XUYi=0。其他玩家的动态和资源保持不变，即Xj=Xj0-= xjand Yj=Yj0-= j 6=i和1时的yj≤ j≤ N、 假设H3 Cd，我们有（XXX，YYY）=（xxx）-i、 xi+yi），（yyy-i、 0）= ∏（（XXX0-,YYYY0年-)) ∈ 拥有。总之，具有约束CDCDCDDIS的N人游戏（2.8）的NE说明如下。定理5.1（N人博弈CdCdCd的NE）。假设H1-H2和H3 Cd。

定义ui∈ RN×R+→R asui（xxx，y）=pN（exi）+AN（y）coshexiq2（N-1） αN如果| | xi |≤ f-1N（y），y=0，uixxx个-i、 xi++Pk6=ixkN-1，fN（xi+）如果▄xi>f-1N（y）和y≥ xi+x，uixxx个-i、 xi- y、 0个如果▄xi>f-1N（y）和y<xi+x，uixxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi-,fN（xi-)如果▄xi<-f-1N（y）和y≥ -xi+x，uixxx个-i、 xi+y，0如果▄xi<-f-1N（y）和y<-xi+x，（5.9）和定义vi：RN×RN+→ R asvi（xxx，yyy）=ui（xxx，yi）if（xxx，yyy）∈ W-i、 六xxx个-j、 xj++Pk6=jxkN-1.yyy年-j、 fN（xj+）if（xxx，yyy）∈ A+j∩ E+j，1对于j 6=i，vixxx个-j、 xj公司- yj，yyy年-j、 0个if（xxx，yyy）∈ A+j∩ E+j，2对于j 6=i，vixxx个-j、 Pk6=jxkN-1+xj-,yyy年-j、 fN（xj-)if（xxx，yyy）∈ A.-j∩ E-j、 1对于j 6=i，vixxx个-j、 xj+yj，yyy年-j、 0个if（xxx，yyy）∈ A.-j∩ E-j、 2对于j 6=i，（5.10），其中oa和w在（5.2）中给出，E±i，1和E±i，2在（5.4）-（5.5）中给出，fN（·）由（4.14）（4.16）定义，并且fN（x）=fN(-x） 对于x<0exis由（4.2）定义，AN（·）由（4.15）定义（5.9）中的xi+是z的唯一正根- fN（z）=exi- y时xi≥ f-1N（y）和xi-是z+~fN（z）=exi+y的唯一负根，当▄xi<-f-1N（y）。o（5.10）中的xj+是z的唯一正根- fN（z）=exj- yjifxj≥ f-1N（yj）和xj-是z+~fN（z）=exi+yjifxj的唯一负根<-f-1N（yj）。那么Vi是与NEPξξξ相关的对策值*= (ξ1*, · · · , ξN*). 即vi（xxx，yyy）=JiCd（xxx，yyy；ξξξ*).此外，受控过程（XXX*,YYY年*) ξξ以下*在本节中给出：案例1 if（xxx，yyy）∈ WNE和案例2 if（xxx，yyy）/∈ 拥有。定理5.1的证明与定理4.3相似，因此省略了。博弈CCCIn的纳什均衡在前两节中，我们讨论了两个特殊博弈CPCPC和CdCdCd。通过对这两个游戏的分析，可以深入了解一般游戏CCC的解决方案结构。也就是说，嵌套策略取决于参与者的位置及其剩余资源水平。

考虑到这两个特殊情况，现在回想一下在游戏CCC中，dYjt=-NXi=1aijYjt-PMk=1aikYkt-dˇξItan和Yj0-= yj公司≥ 0。（6.1）HJB方程（HJB）的有限燃料博弈25- C） ，梯度约束比CPCPCPC和CdCdCd这两种特殊情况更为复杂。当Ai∩ Aj=,（HJB-C）最小值(- αvi+h+NXj=1vixjxj，Γivi+vixi，-Γivi- vixi）=0，表示（xxx，yyy）∈ W-我，-Γjvi- vixj=0，表示（xxx，y）∈ A+j，j 6=i，-Γjvi+vixj=0，对于（xxx，y）∈ A.-j、 j 6=i。特别是，如果AAA=[1，1，···，1]T∈ RN×1，然后（HJB- C） 变成（HJB- Cp）；如果AAA=伊宁，则为（HJB- Cd）。与第4节类似，定义行动区域Ai∈ RN×RM+和ithplayer的等待区域wia+i：=E+i∩ Qi，A-i： =E-我∩ Qi，Ai=A+i∪ A.-i、 和Wi：=RN×RM+\\Ai，（6.2），其中e+i：=（xxx，yyy）∈ RN×（R*+)M： 进出口银行≥ f-1NMXj=1aijyj, E-一：=（xxx，yyy）∈ RN×（R*+)M： 进出口银行≤ -f-1NMXj=1aijyj,（6.3）对于E+i，1：=（xxx，y）∈ E+i：MXj=1aijyj≥ xi+x, E+i，2：=（xxx，y）∈ E+i：MXj=1aijyj<xi+x, （6.4）E-i、 1：=（xxx，y）∈ E-i： MXj=1aijyj≥ -xi- x个, E-i、 2：=（xxx，y）∈ E-i： MXj=1aijyj<-xi- x个, （6.5）和{Qi}Ni=1是凸分区，因此Qi∩ Qj=（E+i∪ E-（一）∩ （E+j∪ E-j）∩ WNEfor i 6=j。然后我们定义∏（xxx，yyy）=（xxx）-i、 xi++Pk6=ixkN-1） ，yyy年+, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，1，（xxx）-i、 xi-PMq=1aiqyq，yyy+, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，2，（xxx）-i、 Pk6=ixkN-1+xi-),yyy年-, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E-i、 1、，（xxx）-i、 xi+PMq=1aiqyq），yyy-, if（xxx，yyy）∈ 气∩ E-i、 （6.6）其中阈值函数fN（·）在（4.14）-（4.16）中定义，xi+是唯一的正根，因此z-fN（z）=xi- yiwhenxi≥ f-1N（彝语），xi-是唯一的负根，因此z+~fN（z）=▄xi+yiwhen▄xi≤ -f-1N（彝语）。

此处yyy+∈ RM+，第j个分量为（yyy+）j=yj-aijyjPMq=1aiqyqPMq=1aiqyq- fN（xi+）,yyy年+∈ RM+，第j个分量为（yyy+）j=yj- aijyj，yyy-∈ RM+，第k个组件为（yyy-)j=yj-aijyjPMq=1aiqyqPMq=1aiqyq-fN（xi-), yyy年-∈ RM+，第j个组件为（yyy-)j=yj- 哎呀。请注意，∏（·）将（xxx，yyyy）转换为E+i，1的边界，即。，E+i，1：={（xxx，yyy）：PMj=1aijyj=f-1Nxi, 0<xi≤ x} 时间（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，1和to{（xxx，yyy）：aijyj=0，j=1，2，···，M}当（xxx，yyy）∈ 气∩ E+i，2，沿方向0，···，-1, · · · 0; -ai1yPMj=1aijyj，····，-aiMyMPMj=1aijyj！∈ RN×RM+，第i个分量为-1、表示所有者：=（xxx，yyy）∈ RN×RM+：| exi |<f-1NMXj=1aijyj, 1.≤ 我≤ N∪{（xxx，yyy）∈ RN×RM+：yyy=0}，（6.7），并假设分区{Qi}Ni=1满足以下假设：26 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN XUH3-C。对于任何（xxx，yyyy）∈ ∪iAi，∏（xxx，yyy）∈ 拥有。条件H3-C表示如果（xxx，yyy）∈ Ai，那么动态将在玩家i控制后的区域wne中。根据第4节和第5节的分析，以及当处于W时，玩家i的控制策略仅依赖于（xxx，PMj=1aijyj）的“猜测”-i、 我们得到的是| exi |<f-1N（PMj=1aijyj），vi（xxx，yyy）=pN（exi）+ANMXj=1aijyjcoshexir2（N- 1） αN！，（6.8）是（HJB-C）的解决方案，其中pN（·）由（4.11）定义，AN（·）由（4.15）定义。下一步是构建与HJB解决方案（6.8）相对应的受控流程（XXX，YYY）。注意，wne是r2n中的一个无界域，有2N个边界。

对于i=1，2，···，N，定义2N个面，WNEFi={（xxx，yyy）∈ WNE |（xxx，yyy）∈ E+i}，Fi+N={（xxx，yyy）∈ WNE |（xxx，yyy）∈ E-i} 。每个面上的法线方向由nnni=ci给出N- 1, · · · , -1，···，N- 1.（f）-1N）MXj=1aijyjai1，···，（f）-1N）MXj=1aijyj目标,nnnN+i=cN+i-N- 1, · · · , 1, · · · , -N- 1.（f）-1N）MXj=1aijyjai1，···，（f）-1N）MXj=1aijyj目标,ithcomponent为±1，ciand cN+Ith归一化常数，使KNNIK=knnnN+ik=1。表示每个面上的反射方向asrrri=ci0，····，-1, · · · 0; -ai1yPMj=1aijyj，····，-aiMyMPMj=1aijyj！，rrrN+i=cN+i0，···，1，···0；-ai1yPMj=1aijyj，····，-aiMyMPMj=1aijyj！，ITH组件为±1。ciand cN+I对常数进行规格化，使krrrik=krrrN+ik=1。雀巢战略定义如下。案例1：（XXX0）-,YYYY0年-) = （xxx，yyy）∈ 拥有。可以检查（6.7）中定义的wne和{rrri}2Ni=1上述定义是否满足假设A1-A5。因此，使用数据解决斯科罗霍德问题的方法很弱WNE，{rrri}2Ni=1，bbb，σσ，xxx∈ WNE公司. A1-A5的可满足性见附录A。案例2：（XXX0）-,YYYY0年-) = （xxx，yyy）/∈ 拥有。存在i∈ {1，···，N}这样（XXX0-,YYYY0年-) ∈ 人工智能。（1） If（xxx，yyy）∈ 人工智能+∩ E+i，1，然后玩家i将立即从Xi0移动-= xito Xi=Xi++Pk6=ixkN-1在时间0，其中xi+是唯一的正根，因此z- fN（z）=xi- （PMq=1aiqyq）。这将减少yyy0的资源-= yyy到yyy=yyy+，yyy+的第j个分量为（yyy+）j=yj-aijyjPMq=1aiqyqPMq=1aiqyq- fN（xi+）≥ 0、其他玩家的动态保持不变，即Xk=Xk0-= xk对于k 6=i和1≤ k≤ N根据假设h3-C，我们有（XXX，YYY）=（xxx）-i、 xi++Pk6=ixkN-1） ，yyy年+= ∏（XXX0-,YYYY0年-) ∈拥有。

（2） If（xxx，yyy）∈ A+i∩ E+i，2，然后玩家i将立即从Xi0移动-= 西托Xi=Xi-PMq=1AIQYQ，资源j从YJ0更改为-= yjto Yj=Yj- aijyjat时间0。其他玩家的动态保持不变，即Xk=Xk0-= XK工作6=i和1≤ k≤ N、 在假设H3-C下，我们有（XXX，YYY）=∏（XXX0-,YYYY0年-) ∈ 拥有。（3） 同样，如果（xxx，yyy）∈ A.-我∩E-i、 1，那么玩家i将立即从Xi0移动-= 西托Xi=Xi-+Pk6=ixkN-1时间0，其中xi-是唯一的负根，因此z+~fN（z）=~xi+（PMq=1aiqyq）。这将更改YYY0的资源-= YYYY到YYY=YYY-其中，yyy的第j个分量-is（yyy-)j=yj-aijyjPMq=1aiqyqPMq=1aiqyq-fN（xi-)≥ 其他玩家的动态在时间0时保持不变，即Xk=Xk0-= xk对于k 6=i和1≤ k≤ N、 假设H3-C，有限燃料博弈27我们有（XXX，YYY）=（xxx）-i、 Pk6=ixkN-1+xi-),yyy年-= ∏（XXX0-,YYYY0年-) ∈ 拥有。（4） If（xxx，yyy）∈ A+i∩ E+i，2，然后playeri将立即从Xi0移动-= xito Xi=Xi+PMq=1 IQYQ，资源j从Yj0减少-= yjtoYj=yj- aijyjat时间0。其他玩家的动态在时间0时保持不变，即Xk=Xk0-= xk对于k 6=I和1≤ k≤ N、 假设H3-C，我们得到（XXX，yyyy）=∏（XXX0-,YYYY0年-) ∈ 拥有。具有约束CCC的N人游戏（2.8）的NE说明如下。定理6.1（N人博弈CCC的NE）。假设H1-H2和H3-C。

定义ui∈ RN×R+→ R asui（xxx，y）=pN（exi）+AN（y）coshexiq2（N-1） αN如果| | xi |≤ f-1N（y），y=0，uixxx个-i、 xi++Pk6=ixkN-1，fN（xi+）如果▄xi>f-1N（y）和y≥ xi+x，uixxx个-i、 xi- y、 0个如果▄xi>f-1N（y）和y<xi+x，uixxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi-,fN（xi-)如果▄xi<-f-1N（y）和y≥ -xi- x、 用户界面xxx个-i、 xi+y，0如果▄xi<-f-1N（y）和y<-xi- x、 （6.9）和定义六：RN×RM+→ R asvi（xxx，yyy）=用户界面xxx，PMj=1aijyjif（xxx，yyy）∈W-i、 六xxx个-j、 xj++Pk6=jxkN-yyy年1月+if（xxx，yyy）∈ A+j∩ E+j，1对于j 6=i，vixxx个-j、 xj公司- （PMq=1ajqyq），yyy+if（xxx，yyy）∈ A+j∩ E+j，2对于j 6=i，vixxx个-j、 Pk6=jxkN-1+xj-,yyy年-if（xxx，yyy）∈ A.-j∩ E-j、 1对于j 6=i，vi（xxx）-j、 xj+（PMq=1ajqyq），yyy-if（xxx，yyy）∈ A.-j∩ E-j、 2对于j 6=i，（6.10），其中oa和w在（6.2）中给出，E±i，1和E±i，2在（6.4）-（6.5）中给出，fN（·）由（4.14）-（4.16）定义，并且fN（x）=fN(-x） 对于x<0EXIS由（4.2）定义，AN由（4.15）定义（6.9）中的xi+是z的唯一正根-fN（z）=exi-y如果▄xi≥ f-1N（y）和xi-是z+~fN（z）=exi+y（如果▄xi<-f-1N（y）。o（6.10）中的xj+是z的唯一正根- fN（z）=exj-PMk=1ajkykifxj≥ f-1N（PMq=1ajqyq），和XJ-是z+~fN（z）=exj+PMk=1ajkykifxj<-f-1N（PMq=1ajqyq）。o（6.10）中yyy+的第k个分量为（yyy+）k=yk-ajkykPMq=1ajqyqPMq=1ajqyq- fN（xj+）, 和yyy的k-thcomponent-is（yyy-)k=yk-ajkykPMq=1ajqyqPMq=1ajqyq-fN（xj-).o （6.10）中yyy+的第k个分量为（yyy+）k=yk- ajkyk和yyy的第k个组件-is（yyy-)k=yk- ajkyk。那么Vi是与NEPξξξ相关的值*= (ξ1*, · · · , ξN*). 也就是说，vi（xxx，yyy）=JiC（xxx，yyy；ξξξ*).

此外，受控过程（XXX*,YYY年*) ξξ以下*是案例1中描述的Skorokhod问题的解决方案，如果（xxx，yyy）∈ WNE，描述为案例2 if（xxx，yyyy）/∈ 拥有。定理6.1的证明与定理4.3相似，因此省略了。为了证明这种相似性，我们提供了值函数viin W的凸性的证明-我在这里。证据我们以player one为例，说明v（xxx，yyy）=▄v（▄x，PMj=1a1jyj）是凸的-1、其他玩家的价值函数类似。回忆▄xi=xi-PNk6=ixkN-1、同样，我们定义了▄yi=PMk=1aijyj。时间（xxx，yyy）∈W-1，我们有| x |≤ yor  y=0。因此，ev（~x，~y）为正半定义。根据链式法则，对于2≤ k 6=j≤ N28新果、汤文品、任元轩1≤ q 6=p≤ M、 vxx（xxx，yyy）=evxx（x，yy），vxxk（xxx，yyy）=-N-1evxx（yenx，yeny），vxyq（xxx，yyy）=a1qevxy（yenx，yyy），vypyq（xxx，yyy）=a1pqevyy（yenx，yy），vxkxj（xxx，yyy）=（N-1） evxx（▄x，▄y），vxkyq（xxx，yyy）=-N-1a1qevxy（￠x，￠y）表示H（xxx，yyy）：=v（xxx，yyy）∈ R（N+M）×（N+M）作为某点（xxx，yyy）的Hessian矩阵∈ W-1、然后，对于任何ddd=（b，···，bN，c，··，cM）∈ RN+M，dddTH（xxx，y）ddd=bevxx-N- 1NXk=2bbkevxx+（N- 1） NXk=2bk+（N- 1） X2个≤j6=k≤Nbjbkevxx+2MXq=1bcq1qevxy-N- 1NXk=2MXq=1bkcqa1qevxy+（MXq=1a1qcq）evyy=b-N- 1NXk=2bk！evxx+2b-N- 1NXk=2bk！MXq=1a1qcq！evxy+MXq=1a1qcq！evyy=eeeT▄H（▄x，y）eee≥ 0，其中eee=b-N-1PNk=2bk，PMq=1a1qcq和▄H（▄x，y）=~v（~x，y）。最后一个不等式成立，因为当x为凸时，v（≈x，y）是凸的≤ y，这是定理4.3（第（iv）步第1步）证明的结果。因此vis凸inW-1.7、比较游戏Cp、CDC和CIn本节将比较游戏CPCP、CDCDCDC和CCC。我们将首先比较它们的游戏价值，并讨论其经济影响。然后，我们将讨论他们在NEP方面的差异。

最后，我们在受控秩相关SDE的框架下讨论了它们的前景。为了使游戏具有可比性，让我们假设y=PNj=1yj。让我们也考虑一个特殊的共享游戏CSCSCSW，它可以与CDCDCDC和CpCpCp连接：CSCSC:M=N和aii=1，i=1，2，··，N。7.1. 合并、分割和共享。对于游戏CPCP，将每个玩家i的游戏值和等待区域分别表示为VICPANDWCP。CDCDCDCDD和CSCSC定义了类似的符号。命题7.1（游戏价值比较）。假设H1-H2。对于每个（xxx，yyy）∈ RN×RN+，表示y=PNi=1yi。If（xxx，y）∈ WCpi和（xxx，yyy）∈ WCdi∩ WCsi，然后，viCp（xxx，y）≤ viCs（xxx，y）≤ viCd（xxx，yyy），i=1，2，···，N.证明。通过直接计算进行比较。实际上，回想一下，在CpCpCp的情况下，当（xxx，y）∈ WCpi，viCp（xxx，y）=pN（exi）+AN（y）coshexiq2（N-1） αN, 对于i=1，2，···，N，其中（4.2）中定义了存在，而（4.15）中定义了不存在。同样，在CdCdCd的情况下，当（xxx，yyy）∈ WCdi，viCd（xxx，yyy）=pN（exi）+AN（yi）coshexiq2（N-1） αN, 对于每一个=1，2，···，N。如果是CSCSC，当（xxx，yyy）∈ WCsi，viCs（xxx，yyy）=pN（exi）+ANPNj=1aijyjcosh公司exiq2（N-1） αN,对于每个i=1，2，···，N。通过初等计算，AN（y）<0。因此，当y=PNj=1yj时，（xxx，y）∈ WCpi和（xxx，yyy）∈ WCdi∩ WCsi，viCp（xxx，y）≤ viCs（xxx，y）≤ viCd（xxx，yyy）。第一个不等式成立，因为y=PNi=1yi≥PNi=1aijyjand，当且仅当每个j=1，2，···，N的aij=1时，等式成立。第二个不等式成立，因为对于每个j 6=i，aii=1，且当且仅当aij=0时，等式成立。有限燃料游戏29（a）CpCpCp（b）CdCdCd（c）CCC图3。当N=3时，CpCpCp、CdCdCd、CCC的预计演变边界比较。这一结果具有明确的经济解释。

在一个随机博弈中，玩家可以选择共享资源，而不是提前划分资源，共享的成本将低于划分。Poolgyields为每个玩家提供最低的成本。确定预计的公共等待区所有者（yyy）：=（xxx，yyy）∈ RN×（R*+)M： | exi |<f-1NMXj=1aijyj对于1≤ 我≤ N∪{yyy=0}。对于任何固定资源级别yyy。那么WNE（yyy）是一个具有2N个边界面的多面体。图3a显示了一个池名CPCP。一个玩家执行控制后，边界的所有面都会移动。图3b对应于一个视频游戏CdCdCd。在玩家i进行控制后，她的脸上的Fi和Fi+n会移动。这里i=1，N=3。对于共享游戏CCC，如图3c所示，在一个玩家练习她的控制后，与她相关的玩家的脸将移动，而其他玩家的脸保持不变。这里i=2和播放器2和3是连接的。7.2. 游戏和受控排名相关SDE的NEs。在前面的章节中，可控动力学是通过反射布朗运动直接构建的。这类SDE也可以在秩相关SDE的框架中进行转换。事实上，N-player作用区域中NE的受控动力学可以写成受控的秩相关SDE：dXit=NXj=1Fi（XXXt，yyyyy）=F（j）（XXXt，yyyy）δjdt+σjdBjt+dξj，+t- dξj，-t型, dYjt=-NXi=1aijYjs-PMk=1aikYks-dˇξ是，带（ξi，+，ξi，-) 控制装置，Fi:RN×RM+→ R一个秩函数，取决于XXX和YYY，F（1）≤ · · · ≤ F（N）（Fi）1的顺序统计量≤我≤N、 和δi∈ R、 σi≥ 0.在游戏CpCpCp中，行动区域中的受控动态通过FiCp（xxx，yyy）=xi满足SDE-Pj6=ixjN-对于每个i=1，···N，δi=0和σi=0；对于每个i=1，···N，ξi，±=0- 1和ξN，±6=0。游戏中的CdCdCd、FiCd（xxx、yyy）=xi-Pj6=ixjN-1.- f-1N（彝语）.

对于一般游戏CCC，行动区域中的受控过程由等级相关动力学控制，FiC（xxx，yyy）=| xi-Pj6=ixjN-1.- f-1N（PMj=1aijyj）| fNa阈值函数定义在（4.14）-（4.16）中，δi，σi和ξi，±满足与之前相同的条件。注意，没有控制的特殊情况，即Fi（xxx，yyy）=xindξi，±=0，对应于秩依赖des。特别是，δ=1、δ=···δN=0的秩相关SDE称为Atlas模型。据我们所知，30 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu之前没有研究过具有额外控制或一般秩函数Fi的秩相关SDE。还有许多方面，包括唯一性和样本路径属性，有待进一步研究，我们将其留给感兴趣的读者。参考文献[1]D.Aldous。”《顺流而下》游戏故事。2002年。可在http://www.stat.berkeley.edu/奥尔德斯/研究/行动/河流。pdf。[2] L.Alvarez和L.Shepp。随机波动种群的最优收获。《数学白化病杂志》，37（2）：155–1771998年。[3] 阿诺德。随机微分方程。1974年，纽约。[4] R.Atar和A.Budhiraja。无界域上具有状态约束的奇异控制。《概率年鉴》，34（5）：1864-19092006。[5] A.Banner、R.Fernholz和I.Karatzas。Atlas股票市场模型。《应用概率年鉴》，15（4）：2296–23302005。[6] M.Basei、H.Cao和X.Guo。具有脉冲控制的非零和随机对策。arXiv预印本arXiv:1901.0808512019。[7] J.Bather和H.Cherno Off。控制太空船的顺序决策（有限燃料）。《应用概率杂志》，4（3）：584–6041967。[8] V.Beneˇs、L.Shepp和H.Witsenhausen。一些可解的随机控制问题。《随机：概率与随机过程国际杂志》，4（1）：39–831980。[9] A.Budhiraja和K.Ross。

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从数学上讲，回想一下Gi公司=（xxx，yyy）∈ RN+Mxi=f-1NMXj=1aijyj,GN+i=（xxx，yyy）∈ RN+Mxi=-f-1NMXj=1aijyj.32 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu对于给定点ppp=（xxx，yyyy），表示dk：=距离（（xxx，y），Gk）对于k=1，2，····，N，则存在一个点qqq=（www，zzz），使得▄wi=f-1NMXj=1aijzj, i、 e.，qqq∈ Gkqqq- ppp=dknnnk（qqq）或qqq- 购买力平价=-dknnnk（qqq）。其中nnnk（qqq）是曲面的法线方向Gkat点qqq:nnnk（qqq）=ckN- 1, · · · , -1，···，N- 1.（f）-1N）MXj=1aijzjai1，···，（f）-1N）MXj=1aijzj目标.表示▄ppp=（xxx- a11，yyy）和▄qqq=（www- a11，zzz）。那么很容易检查▄qqq∈ Gk，（7.1）nnnk（qqq）=nnnk（▄qqq），（7.2）▄qqq-ppp=qqq- ppp=dknnnk（qqq）=dknnnk（qqq）。（7.3）（7.1）自（wi）起生效- （a）-PNj=1，j6=i（wj-a） N个-1=xi-PNj=1，j6=iwjN-1、（7.2）自最后M个元素以来的持有量，代表资源水平，与qqq和qqq相同，（7.3）定义持有量和（7.2）。根据（7.3），我们得出结论，dist（（xxx- a11，y），Gk）=dk。类似的结果适用于k=N+1，···，2N。因此，wehavedist（（xxx，yyy），∩j∈我Gj公司∩ G） =距离（（xxx- a11，yyy），∩j∈我Gj公司∩ G） 。因此，对于每个（xxxn，yyyn），都存在一个∈ R使kxxxn- an1k≤ 1、表示 xxxn=xxxn- an1。因此（▄xxxn，yyyyn）是RN+Mand dist（▄xxxn，yyyyn）中的有界序列，∩j∈我(Gj公司∩ G） （）≥ . WLOG，我们可以假设（▄xxxn，yyyn）→ （xxx，yyy）为n→ ∞ 对于一些（xxx，yyy）∈ RN+M。如下（xxx，yyy）∈ ∩j∈我(Gj公司∩ G） ，自eachj起∈ 一、 地区（（xxx，yyy），Gj公司∩ G）≤ k（yenxxxn，yyyn）- （xxx，yyy）k+dist（xxxn，yyyy），Gj公司∩ G）≤ k（yenxxxn，yyyn）- （xxx，yyy）k+n→ 0，作为n→ ∞. 这与（▄xxxn，yyyyn）的事实相矛盾→ （xxx，yyy）和dist（xxxn，yyyy），∩j∈我(Gj公司∩ G） （）≥ .每个面上的A4 j=1，2，···，2N，rrrj是yyy的函数，它是有界的。此外，rrrj是光滑的，dyyyrrj是有界的。

因此，rrrj（·）是一致Lipschitz连续函数。注意，当相邻矩阵={akj}1时≤k、 j≤如果是单位矩阵或包含所有单位的矩阵，则rrriis常量为Gifor all i∈ l、 A5表示g：=f-1N。首先，我们证明g是[0，ytotal]上的非负递减函数，其中ytotal：=PMj=1yjis是总资源。我们在引理4.2中已经证明，对于z，fN（z）<0≥ 因此，存在0<k（ytotal）<k（ytotal）<∞ 因此-∞ < -K（Y总）<fN（z）<-z时k（ytotal）<0∈ [x，x]。其中x=g（ytotal）>0，x=g（0）。注意g（·）=f（f-1（·）），因此-k（ytotal）≤ g（w）≤ -K（ytotal）whenw∈ [0，ytotal]。现在让k（ytotal）：=~k（ytotal）和k（ytotal）：=~k（ytotal）。很明显，NNNJ和RRRJ中的所有后M分量都是非正的（1≤ j≤ 2N）。通过简单的计算，我们得到了qnn-1+K（ytotal）N≤ cj公司≤qNN型-1+k（ytotal）和Qnn+1≤ cj公司≤√适用于所有1≤ j≤ N.类似于rrr+jand rrr的定义-j、 表示nnn+jas nnn和nnn中的前N个组件-jas是nnnj中的后一个M组件。由于面i和N+i相互平行（i=1，2，···，N），因此最多有N个面相互相交。必须考虑（xxx，yyyy），使| I（（xxx，yyy））|=N。对于这些点，考虑ci=Nanddi=N（I=1，2，··，N）。因此，对于我*∈ {i，N+i}，i=1，2，···，N，*PNi=1nnni*N、 rrri*+≥Nhnnn公司-我*,rrr-我*i=Nci*ci公司*hnnn公司-我*,rrr-我*i=-ci公司*ci公司*g级MXj=1aijyj≥qN+1N-1+（N+1）K（ytotal）K（ytotal）。有限燃料博弈33类似地，对于i*∈ {i，N+i}，i=1，2，···，N，*PNi=1rri*N、 nnni公司*+≥Nhnnn公司-我*,rrr-我*i=Nhnnn-我*,rrr-我*i=-ci公司*ci公司*g级MXj=1aijyj≥qN+1N-1+（N+1）K（ytotal）K（ytotal）。附录B N=2时H3 Cp的检验。当N=2时，我们有E+=E-, E+=E-和WNE={（x，x，y）| | x-x |≤ f-1N（y）}∪ {y=0}。我们设置Q={（x，x，y）∈ R×R+| x- x个≥ 0}和Q={（x，x，y）∈R×R+| x- x> 0}。在这种情况下，A=E+和A=E+。

时间（xxx，y）∈ A、 有两种可能性：要么（xxx，y）∈ A.∩ E+1,1或（xxx，y）∈ A.∩ E+1,2。If（xxx，y）∈ A.∩ E+1,1，然后qqq=（x+x+，x，f（x+），x+唯一的正根，使得z- fN（z）=x- x个- y、 那么很容易检查qqq∈ 拥有。要看到这一点，（x+x+）- x=x+=f-1N（fN（x+）。If（xxx，y）∈ A.∩ E+1,2，然后qqq=（x- y、 x，0）。然后qqq∈ Wney=0。类似分析适用于（xxx，y）∈ Aby对称。加州大学伯克利分校工业工程师和运筹学系。电子邮件地址：xinguo@berkeley.eduDepartment哥伦比亚大学工业工程师和运筹学硕士。电子邮件地址：wt2319@columbia.eduDepartment南加州大学工业与系统工程系。电子邮件地址：renyuanx@usc.edu