一类随机对策与移动自由边界问题

nandehutu2022

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收藏 2022-06-10

英文标题：
《A class of stochastic games and moving free boundary problems》
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作者：
Xin Guo and Wenpin Tang and Renyuan Xu
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
In this paper we propose and analyze a class of $N$-player stochastic games that include finite fuel stochastic games as a special case. We first derive sufficient conditions for the Nash equilibrium (NE) in the form of a verification theorem. The associated Quasi-Variational-Inequalities include an essential game component regarding the interactions among players, which may be interpreted as the analytical representation of the conditional optimality for NEs. The derivation of NEs involves solving first a multi-dimensional free boundary problem and then a Skorokhod problem. We call it a \"moving free boundary\" to highlight the difference between standard control problems and stochastic games. Finally, we present an intriguing connection between these NE strategies and controlled rank-dependent stochastic differential equations.
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中文摘要：
在本文中，我们提出并分析了一类$N$游戏者随机对策，其中包括作为特例的有限燃料随机对策。我们首先以验证定理的形式导出了纳什均衡（NE）的充分条件。关联的拟变分不等式包含了一个关于参与者之间相互作用的基本博弈成分，可以解释为NEs条件最优性的解析表示。NEs的推导涉及首先求解多维自由边界问题，然后求解Skorokhod问题。我们称之为“移动自由边界”，以突出标准控制问题和随机博弈之间的区别。最后，我们提出了这些NE策略与受控秩相关随机微分方程之间的有趣联系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Analysis of PDEs 偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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mingdashike22

2022-6-10 17:15:16

一类随机对策与移动自由边界问题Xhin GUO，WENPIN TANG，RENYUAN XUAbstract。在本文中，我们提出并分析了一类N人随机对策，其中包括作为特例的finefuel随机对策。我们首先以验证定理的形式推导出纳什均衡（NE）的充分条件。相关的拟变分不等式包括关于参与者之间相互作用的非感知博弈成分，这可以解释为NEs条件最优性的分析表示。NEs的推导首先涉及解决多维自由边界问题，然后是Skorokhod问题。最后，我们提出了这些NE策略与受控秩相关随机微分方程之间的一个有趣的联系。1、导言最近，受[23，32，33，34]开创性工作所引领的平均场对策理论（MFG）的快速发展的启发，人们对N人非零和随机对策重新产生了兴趣。在本文中，我们建立并分析了一类随机N人博弈，它起源于经典的有限燃料问题。有很多理由考虑这种类型的游戏。首先，有限燃料问题[7、8、26]是随机控制理论中的一个里程碑，因此从数学上讲，博弈公式是自然的。

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能者818

2022-6-10 17:15:18

其次，除了随机控制理论[4、9、11、40、41]的兴趣外，其简单而深刻的解决方案结构也有着广泛的应用，包括经济与金融[2、10、12、36]、运筹学与管理[19、29、31]和排队论[28]。第三，分析随机博弈对手之前的成功仅限于两人博弈的特殊情况【13、21、22、27、30、37】或没有燃料约束【14、20】。在本文中，我们将分析一类N人随机博弈，其中包括有限燃料随机博弈作为特例。本文给出的随机对策类如下。有些玩家的动态XXXt=（Xt，····，XNt）受以下N维离散过程控制：dXit=bi（XXXt-)dt+σiσiσi（XXXt-)dBBBt+dξi+t- dξi-t、 Xi0-= xi，（i=1，···，N），（1.1），其中BBB：=（B，··，BN）是过滤概率空间中的标准N维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），漂移bbb：=（b，···，bN），协方差矩阵σ∑：=（σ∑，···，σNσN）满足适当的正则性条件。玩家i的控制（ξi，+，ξi，-) 变化有限。每个玩家都可以访问M种资源的部分或全部。玩家通过其目标函数hi（Xt，···，XNt）以及作为其控制“燃料”的共享资源进行交互。玩家对这些资源的可访问性以及他们各自的玩家如何使用这些资源由矩阵AAA：=（aij）i，j控制∈ RN×M。例如，当M=1，AAA=[1，1，···，1]T∈ RN×1，这个游戏（CpCpCp）对应于N个玩家的有限燃料游戏，其中N个玩家共享固定数量的相同资源。当M=N，AAA=INININ时，这是一个N人游戏（CdCdCd），其中每个玩家散列固定数量的资源。

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大多数88

2022-6-10 17:15:22

一般来说，这个矩阵AAA描述了N人游戏的网络结构。玩家i在游戏中的目标是最小化EEZ∞e-αthi（Xt，···，XNt）dt、2 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN XUover适当的可容许博弈策略，如第2节所述。注意，不能简单地用MFG方法分析这个N-playergame，因为如果应用聚合方法，网络结构将崩溃。我们将分析这个随机博弈的NEs。我们首先以验证定理（定理3.1）的形式推导出尼泊尔政策的充分条件，该定理揭示了关于参与者之间互动的基本博弈元素。这是随机博弈中NE条件最优性的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）表示。为了理解theNEs的结构特性，我们进一步从博弈值、NE策略和受控动力学的角度分析了这个随机博弈。从数学上讲，分析涉及首先解决多维自由边界问题，然后解决具有移动边界的Skorokhod问题。边界是“移动”的，因为它随着系统的变化和其他参与者的控制而移动。通过首先研究两个特殊博弈CPCPC和CdCdCd，得出了解析解。分析这两种类型的游戏可以深入了解一般游戏的解决方案结构。最后，我们以受控秩相关随机微分方程（SDE）的形式对NE策略进行了描述，并比较了CPCPCPC和CdCdCd博弈的博弈值。主要贡献。（i）在N人对策的验证定理中，我们得到了具有奇异控制的一般随机对策的HJB方程的形式。

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大多数88

2022-6-10 17:15:25

与之前所有专注于两人博弈的分析不同，我们表明，除了对应于仓促控制问题的标准HJB之外，还有一个随机博弈特有的基本术语。该术语表示玩家之间的交互，尤其是活跃玩家和等待玩家之间的交互。这个临界项隐藏在两人随机博弈中，以前被（错误地）理解为正则条件。（ii）游戏和控制问题之间的结构差异在N人游戏NEs的明确解决方案中得到了进一步揭示。在控制问题中，自由边界取决于系统的状态；然而，在随机游戏中，边界的“脸”是基于她自己的动作和游戏中玩家之间的互动而移动的（图3）。请注意，具有有限时间范围的托卡斯特博弈的这个自由边界与[11]中关于时间依赖性边界的时间控制问题的自由边界在不同的意义上移动。相反，它的移动是由于系统的变化和游戏中的竞争。（iii）这种差异在受控等级相关SDE的框架中得到进一步强调。据我们所知，这是第一次以更一般的形式将随机博弈与随机依赖SDE明确联系起来。这种新形式的秩相关SDE提出了一类新的尚待研究的SDE（第7.2节）。（iv）我们在受控rankdependent sde的框架内重新构建了博弈解的受控动力学。与著名的秩相关随机微分方程相比，具有附加控制成分的秩相关随机微分方程是新的。我们通过直接构造反射扩散过程来确定解的存在性。（更多讨论请参见第7.2节。）（v）最后，本文考虑的随机博弈是资源分配博弈。

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mingdashike22

2022-6-10 17:15:28

资源分配问题有着广泛的应用，包括库存管理、资源分配、云计算、智能电网控制和多媒体无线网络【16、17、35、39】。然而，现有的文献在分析随机博弈环境下的资源分配问题时并不成功。除了技术贡献之外，我们的分析还提供了一个有用的经济见解：在资源分配的随机博弈中，共享的成本比分割和共享的成本低，每个参与者的成本最低。相关工作。关于具有奇异控制的非零和二人对策，有许多论文。通过将一名球员视为控制器，另一名球员视为阻挡者，Karatzas和Li【27】使用BSDE方法分析了游戏中NE的存在。Hernandez Hernandez、Simon和Zervos【22】研究了值函数的光滑性，并表明当控制器享有第一步优势时，最优策略可能不是唯一的。Kwon和Zhang【30】研究了一个具有单一控制和战略退出的不可逆投资游戏。他们刻画了一类市场有限燃料博弈3完美均衡，并确定了一组条件，在这些条件下，尽管均衡具有多重性，博弈结果可能是唯一的。De Angelis和Ferrari【13】建立了非零和双人游戏中单方控制和最佳停车时间之间的联系。Mannucci【37】和Hamadene以及Mu【21】考虑了有限时间范围内有界速度下的燃料跟随者问题，并通过不同的技术确定了两人博弈中NE的存在性。最近，[20]比较了N人博弈和制造商博弈中的燃料跟随器问题。

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mingdashike22

2022-6-10 17:15:31

所有这些工作都没有燃料约束，基本上建立在一维随机控制问题上。此外，除[20]外，所有这些论文都限于N=2的情况。据我们所知，我们的工作是第一次完成基于原始二维控制问题的N人随机博弈的数学分析。在我们的工作中，受控动力学是在受控秩相关SDE的框架中重新构建的。无控制的秩相关SDE出现在“上游”问题[1]和随机投资组合理论[15]，包括研究充分的Atlas模型[5，24]。符号和组织。在整篇论文中，我们用粗体字母表示向量/矩阵，例如xxx和xxx。实向量xxx的转置表示为xxxT。对于向量xxx，kxxxk表示其lnorm。对于矩阵XXX，kXXXk表示其谱范数。本文的组织结构如下。第2节介绍了N-playergame的数学公式。第3节提供了一个验证定理，用于验证博弈NE的有效条件以及NE策略的Skorokhod问题的存在性。第4节研究游戏CPCPC，第5节研究游戏CdCdCd。根据这两个游戏的见解，第6节分析了一般的N人游戏CCC。第7节比较了游戏CpCpCp、CDCDCDC和CCC，讨论了游戏价值及其经济含义，并在受控等级依赖DES的框架内统一了相应的受控动态。2、问题设置受控动态。Let（Xit）t≥0为玩家i的位置，1≤ 我≤ N

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nandehutu2022

2022-6-10 17:15:34

在没有控制的情况下，XXXt=（Xt，···，XNt）由随机微分方程（SDE）控制：dxxt=bbb（XXXt）dt+σσ（XXXt）dBBBt，XXX0-= （x，···，xN），（2.1），其中BBB：=（B，···，BN）是过滤概率空间中的标准N维布朗运动(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），漂移bbb（·）：=（b（·），··，bN（·））和协方差矩阵σσ（·）：=（σij（·））1≤i、 j≤N、正如后面第3.3节所解释的，我们考虑托卡斯蒂克博弈的弱公式。为了确保SDE的存在性和唯一性，假设bbb（·）和σσ（·）满足条件H1。bbb（·）和∑∑∑（·）是有界连续的，且∑∑（·）是一致椭圆的，即存在α>0，使得ξT∑∑∑（xxx）σ∑>（xxx）ξ≥ α|ξ|，对于所有xxx∈ RN，ξ∈ 注册护士。假设H1确保（2.1）[42]存在弱解。在本文的剩余部分，微型发电机L isL：=Xibi（xxx）xi+xi，j（σσσ（xxx）σσ（xxx）T）i，jxixj，（2.2），其中σσσ（xxx）σσσ（xxx）假设为每个xxx的正定义∈ 注册护士。如果控件应用于Xit，那么Xit将演变为dxit=bi（XXXt-)dt+σσi（XXXt-)dBBBt+dξi+t- dξi-t、 Xi0-= xi，（2.3），其中σσi是协方差矩阵σσ的第i行。这里是控制（ξi+，ξi-) 是一对非递减和c\'adl\'ag进程。换句话说，（ξi+，ξi-) 是有限变量过程ξ的最小分解，ξi：=ξi+- ξi-.4郭欣、汤文彬和徐仁远的目标。游戏是让玩家i最小化，对于所有人（ξi+，ξi-) 在适当的容许控制集中，在有限的时间范围内，以下目标函数EZ∞e-αthi（Xt，···，XNt）dt。（2.4）这里α>0是一个常数贴现因子。在这个游戏中，玩家通过各自的目标函数hi（xxx）：RN进行交互→ R+。H2。

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mingdashike22

2022-6-10 17:15:37

每个hi（xxx）是两次可区分的，k≤ ||你好（xxx）| |≤ 对于某些K>K>0。例如，hi（xxx）=h（xi-PNj=1xjN）带h（·）≥ 0是playeri位置与所有玩家中心之间的距离函数。请注意，在目标函数（2.4）中，没有控制成本。有了这个公式，NE for game（2.4）的明确解决方案结构简洁而富有洞察力。完全有可能考虑一个N人游戏，需要额外的控制成本。例如，我们可以研究[26]的游戏配方，并按比例控制成本。我们推测，虽然分析会涉及更多内容，但解决方案结构会相似。这将是未来分析的一个有趣问题。可接受的控制策略。表示ˇξIta是玩家i到时间t消耗的控件/资源的累积量。当ξ是有限变化时，则存在唯一分解，从而ξit：=ξi+t- ξi-t、因此71ξit：=ξi+t+ξi-t、这里ξi+和ξi-是非递减和c ` adl ` ag过程，可进一步以不同形式分解，dξi±t=d（ξi±t）c+ξi±t，（2.5），其中d（ξi±t）cis为连续分量，且ξi±t：=ξi±t- ξi±t-是dξi±t的跳跃分量。等效地，我们可以写出ξi±t=（ξi±t）c+Ps≤t型ξi±s。同时，我们考虑了随机对策的一个弱公式。（有关随机控制问题弱公式的更多讨论，请参见[43，第2章，第4.2节]和[18，第5节]）。

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可人4

2022-6-10 17:15:40

也就是说，（BBBt，t≥ 0）是具有某种过滤（Ft，t）的N维布朗运动≥ 0），N人游戏isSN（xxx，yyyy）的可容许控制集SN（xxx，yyy）：=（ξξξ：ξi∈ UiNfor 1≤ 我≤ N、 NXi=1Z∞aijYjt公司-PMk=1aikYkt-dˇξit≤ yj，1≤ j≤ M、 Pξitξkt6=0= 0表示所有t≥ 0和i 6=k），（2.6），其中u：=n（ξ+，ξ-) : ξ+和ξ-Ft是否可逐步测量，c\'adl\'ag，非递减，EZ∞e-αtdξ±t< ∞ 和ξ+0-= ξ-0-= 0o，andYjt=yj-NXi=1ZtaijYjs-PMk=1aikYks-dˇξ为∈ R+和Yj0-= yj，（2.7），aij=0或1表示1≤ 我≤ N和1≤ j≤ M、对于所有i=1，···，N，PMj=1aij>0，对于所有j=1，··，M，pni=1aij>0。以下是容许控制集SN（xxx，yyy）的直觉。在这个游戏中，我将根据所有玩家的当前位置和可用资源做出决策。除此适应性约束外，允许的控制集SN（xxx，yyy）规定了每个玩家的资源分配策略。对于M种不同类型的资源，定义AAA：=（aij）i，j∈ RN×Mto是aij=0或1的相邻矩阵x。然后，AAA描述了玩家和可用有限燃料游戏5资源类型之间的关系，aij=1表示j类型的资源可供玩家i使用，aij=0表示j类型的资源对玩家i不可访问。对于所有i=1，····，条件pmj=1aij>0表示每个玩家i至少可以访问一种资源，对于所有j=1，····，M，条件pni=1aij>0表示每个资源j至少可用于一个玩家。当玩家i想要行使控制权时，她将消耗与所有可用资源成比例的资源。一旦所有可用资源达到零级，她将停止消费。这导致了（2.7）表达式中的整数形式。

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何人来此

2022-6-10 17:15:43

请注意，分母始终不小于被积函数的数值，因为被积函数符合约定=0。以N=4，M=6为例，矩阵AAA如图1所示。资源分配策略如图1b所示，可用资源量和类型1和类型2的Yo分别为。当玩家想要控制数量时, 说 ≤ y+y，她将随机使用类型1和类型2中的资源。所以一号玩家将yy+Y来自资源1和yy+Y来自资源二。最后，条件P(ξitξkt6=0）=所有t的0≥ 0和i 6=k排除了N个玩家中任意两个同时跳转的可能性，这有助于在控件涉及跳转时设计可行的控制策略。此条件不是限制，而是应解释为正则化。另见【6、20、30】。当有多个玩家想同时跳转时，可以简单地设计一个适当的顺序，例如通过索引玩家和他们的跳转顺序，以便他们按顺序移动。AAA级=1, 1, 0, 0, 0, 00, 0, 1, 0, 1, 00, 0, 0, 0, 0, 10, 0, 0, 1, 0, 0（a）关系。（b）资源分配策略。图1：。相邻矩阵AAA的示例，当N=4且M=6时，参与者和资源之间的关系。博弈公式和博弈准则。让ξξ：=（ξ，···，ξN）作为玩家的控制。设xxx：=（x，···，xN）和yyy：=（y，··，yM）。然后，随机博弈是每个参与者i最小化ji（xxx，yyy；ξξξ）：=EZ∞e-αthi（XXXt）dt，（2.8）受（2.3）和（2.7）中的动力学约束，并受（2.6）中的约束。有两种特别有趣的游戏。一种是所有玩家集中资源的游戏，这样Nxi=1ˇξi∞≤ y<∞. （2.9）当N=1时，这是一个单人游戏，对应于【8，26】中充分研究的有限燃料控制问题。

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nandehutu2022

2022-6-10 17:15:51

我们将此游戏称为池游戏CpCpCp。很明显，就相邻矩阵AAA而言，这对应于M=1，AAA=[1，1，···，1]T∈ RN×1。另一种是一种游戏，玩家在前面分配资源，以便ξi∞≤ yi，（2.10），其中yi是我可以练习的球员控制的总量。这个游戏叫做CdCdCd，M=N，AAA=INININ。最后，我们将具有一般矩阵AAA的游戏称为游戏CCC。我们将在NE准则下分析N人博弈。回想一下N-playergames中NE的定义。6 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu定义2.1。容许控制的元组ξξξ*:= (ξ1*, · · · ξN*) 是N人对策（2.8）的NE，如果对于每个ξi∈ u使（ξξ）-我*, ξi）∈ 序号（xxx，yyy），Ji（xxx，yyy；ξξξ*) ≤ 冀xxx，yyy；ξξξ-我*, ξi,式中ξξ-我*= (ξ1*, · · · , ξi-1.*, ξi+1*, · · · , ξN*) 和（ξξ）-我*, ξi）=（ξ1*, · · · , ξi-1.*, ξi，ξi+1*, · · · , ξN*). 给出NEs的控制称为纳什均衡点（NEP）。关联值函数ji（xxx，yyy；ξξξ*) （i=1，2，···，N）被称为玩家i.3的游戏值。NE对策解：验证定理和Skorokhod问题在本节中，我们提出了获得NE解的一般策略。首先，我们试探性地推导出值函数的拟变分不等式（QVIs）（第3.1节），然后通过验证定理（第3.2节）将其用于推导NEP的有效条件。我们强调，第3.1节中的QVIS和第3.2节中的验证定理都适用于（2.3）中给出的一般微分过程。为了明确起见，我们进一步假设h1。bi=0，i=1，2，···，N，σ∑σ=IIIN。此外，我们假设hi（xxx）：=hxi-PNj=1xjN, 这样h2。

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大多数88

2022-6-10 17:15:56

h是对称的，h（0）≥ 0，his在R+和k上不增加≤ h类≤ 对于某些0<K<K，这些附加条件仅用于促进NEP的施工，以及解决第3.3节中提出的相应Skorokhod问题。假设h2下h的一个基本示例是二次函数h（x）=ax+b，其中a∈ [k，k]和b≥ 我们的假设也适用于更一般的函数类。取h为偶数函数，如h=f，其中f为偶数函数，在R+上不增加，在k和k之间有界。有许多这样的函数f。一个特殊的例子是f=A（常数），它将给出h（x）=ax+b（二次函数）。另一个可能的例子是f=b+c exp(-dx），c>0，d>0。在最初的有限燃料问题[8]中，作者处理了二次成本h（x）=x。后来Karatzas[26]注意到，结果可以扩展到满足假设H2.3.1的任何成本函数。拟变分不等式。我们首先根据游戏（2.8）的NE概念（见定义2.1），启发式推导出游戏价值的相关QVIs。关键思想是利用定义2.1中引入的条件最优条件。也就是说，player i用最优解ξi解单agent最优控制问题*当其他药剂应用ξξξ时-我*. 首先，我们定义RN×RM+的以下分区。表示Ai RN×RM+作为ithplayer的行动区域，Wi：=（RN×RM+）\\A作为她的等待区域。让A-i： =∪j6=iAjand W-i： =∩j6=iWj。然后，玩家的操作如下：玩家i控制当且仅当进程（XXXt，YYYYT）进入Ai时。这种划分通常通过拟变分不等式来定义，也是要导出的解的一部分。接下来，为（xxx，yyy）定义中间运算符ΓasΓjvi（xxx，yyy）=MXk=1ajkykPMs=1ajsysvik（xxx，yyyy），（3.1）∈ RN×RM+和i，j=1，2，···，N。

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何人来此

2022-6-10 17:15:59

此处viyk：=不及物动词yk（i=1，2，···，N，k=1，2，··，M）。假设玩家j采取了可能次优的行动ξj，+>0，然后根据资源分配策略（2.7），对于参与者i，vi（xxx，yyy）≤ vixxx-j、 xj+ξj，+，yyy-aj1yPMk=1ajkyk，···，AJMYPMK=1ajkyk！ξj，+！。（3.2）通过出租ξj+→ 0，我们有0≤ -Γjvi（xxx，yyy）+vixj（xxx，yyy）。（3.3）有限燃料博弈7接下来，我们提供了推导QVIs的启发式方法。允许ξi：=ξi（xxx，yyy）是具有联合状态位置（xxx，yyy）的球员i的控制权。时间（xxx，yyy）∈ W-i、我们有ξj=0表示j 6=i。因此，玩家i的博弈成为一个经典的控制问题，有三种选择：ξi=0，ξi，+>0，和ξi，-> 0、第一种情况ξi=0意味着，通过简单的随机演算，-αvi+hi（xxx）+Lvi≥ 通过与（3.3）中类似的参数，第二种情况ξi，+>0对应于-Γivi+vixi≥ 0和第三种情况ξi，-> 0对应于-Γivi- vixi公司≥ 因为三个选择中的一个是最优的，所以它们的一个特性就是一个等式。也就是说，对于（xxx，yyy）∈ W-i、最小值-αvi+hi（xxx）+Lvi，-Γivi+vixi，-Γivi- vixi公司= 0。（3.4）何时（xxx，yyy）∈ Aj，玩家j将控制，控制量为(ξj，+，ξj，-) 6= 0. 因此，vj（xxx，yyy）≤ vjxxx-j、 xj+ξj，+，yyy-aj1yPMk=1ajkyk，···，AJMYPMK=1ajkyk！ξj，+！，（3.5）vj（xxx，yyy）≤ vjxxx-j、 xj公司- ξj，-,yyy年-aj1yPMk=1ajkyk，···，AJMYPMK=1ajkyk！ξj，-!, （3.6）和（3.5）-（3.6）中的一个不等式为等式。这会导致以下情况-Γjvj+VJVXJ，-Γjvj- vjxjo=0。（3.7）对于参与者i 6=j，我们应该有vi（xxx，yyy）=vixxx个-j、 xj+ξj，+，yyy-aj1yPMk=1ajkyk，···，AJMYPMK=1ajkykξj+什么时候ξj，+>0是玩家j的最佳选择，vi（xxx，yyy）=vixxx个-j、 xj公司- ξj，-,yyy年-aj1yPMk=1ajkyk，···，AJMYPMK=1ajkykξj，-什么时候ξj，-> 0是球员j的最佳选择。由于“无同步跳跃”条件（2.6），这一点保持不变。

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mingdashike22

2022-6-10 17:16:04

直觉上，这意味着当球员j跳起时，球员i没有跳起的动机。因此(-Γjvi+vixj=0，在{（xxx，yyy）上∈ RN×RM+- ΓVvj+vjxj=0}，-Γjvi- vixj=0，在{（xxx，yyy）上∈ RN×RM+- Γjvj- vjxj=0}。（3.8）注意：ξi，±→ 0，方程（3.4）、（3.7）和（3.8）描述了Wiand nearboundary中的行为Wi。此外，我们可以证明（3.4）、（3.7）和（3.8）与Ai中的跳跃行为是一致的。要看到这一点，-PMj=1aijyjPMk=1aikykviyj±vixi=0具有线性解决方案vi（xxx，yyy）=a±xi+PMj=1aijyj+b对于一些a，b∈ R、很容易检查ifPMk=1aikyk≥ > 0，aijyj-aijyjPMk=1aikykPMk=1aikyk- =aijyjPMk=1aikyk，这意味着等待区域外的分配策略（跳跃方向）是线性的。因此，非微小跳跃也满足Ai中的HJB方程（3.4）。一致性属性也适用于（3.8）。总之，我们有以下QVIs:min-αvi+hi（xxx）+Lvi，-Γivi+vixi，-Γivi- vixi公司= 0，打开∩j6=客栈-Γjvj+VJVXJ>0度∩n-Γjvj- vjxj>0oo，（3.9a）- Γjvi+vixj=0，开{-Γjvj+vjxj=0}，（3.9b）- Γjvi- vixj=0，打开{-Γjvj- vjxj=0}。（3.9c）上述条件与每个玩家的NE条件最优性一致，并描述了控制玩家与非控制玩家之间的相互作用；这些条件确保所有选手8辛果、汤文彬和徐仁远以最佳方式控制并按顺序推动基本动力，直到到达共同等待区。3.2. 验证定理。接下来，我们提出了一个验证定理，该定理给出了NEP的充分条件。给定函数vi（具有充分的规律性），我们根据vi（i=1，2，····，N）定义动作和等待区域（Aiand Wi），如下所示：Ai=A+i∪ A.-i、（3.10）式中，A+i：={（xxx，yyy）∈ RN×RM+|- Γivi- vixi=0}和A-i： ={（xxx，yyy）∈ RN×RM+|- Γivi+vixi=0}。此外，Wi=（RN×RM+）\\a和W-i=∩j6=iWj。定理3.1（验证定理）。

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mingdashike22

2022-6-10 17:16:08

假设H1-H2保持，进一步假设Aj∩ Ai= 对于alli 6=j，其中Ai、WI和W-i根据（3.10）定义。对于每个i=1，···，N，假设it层的策略ξi*∈ u满足以下条件（i）ξξξ*:= (ξ1*, · · · , ξN*) ∈ 序号（xxx，yyy）。（ii）vi（·）满足QVIs（3.9）。（iii）对于任何ξi∈ u使（ξξ）-我*, ξi）∈ 序号（xxx，yyy），P（（xxx-我*t、 Xit，YYYYT）∈ W-i） =1表示所有t≥ 0，其中（XXX-我*t、 Xit，yyyy）在（ξξξ）以下-我*, ξi）。（四）六（xxx，yyy）∈ C（W-i） viis凸（xxx，yyy）∈ W-i、（v）EhRTe-2αtvixj（XXX-我*t、 Xit，YYYYT）dti<∞ 对于所有T>0，其中（XXX-我*t、 Xit，yyyy）在（ξξξ）以下-我*, ξi）∈序号（xxx，yyyy），以便（iii）保持不变。（vi）对于任何（XXX-我*t、 Xit，yyyy）在（ξξξ）下-我*, ξi）∈ 序号（xxx，yyyy），以便（iii）保持，vi（xxx，yyy）满足通用性条件→∞e-αTE不及物动词XXX个-我*t、 Xit，YYYYT= 0.（3.11）（vii）对于j 6=i，t≥ 0和（XXX-我*t、 Xit，yyyy）在（ξξξ）下-我*, ξi），ˋξj*t=Z[0，t]{（XXX-我*s-,Xis公司-,YYYY年-)∈Aj}dˇξj*s、（3.12）此外，对于（XXX*t、 YYY年*t） ξξ以下*,ˇξi*t=Z[0，t]{（XXX-我*s-,YYY年*s-)∈Ai}dˇξi*s、（3.13）然后ξξξ*是通过（3.9）的解具有值函数的NEP。即vi（xxx，yyy）≤ Ji（xxx，yyy；（ξξξ）-我*, ξi）），对于所有ξ∈ u使（ξξ）-我*, ξi）∈ SN和vi（xxx，yyy；ξξξ*) = Ji（xxx，yyy；（ξξξ）-我*, ξi*)).证据必须证明，对于所有（ξξξ-我*, ξi）∈ SN（xxx，yyy），对于每个i=1，···，N，Ji（xxx，yyy；ξξξ*) ≤ Ji（xxx，yyy；（ξξξ）-我*, ξi））。有限燃料游戏9召回（2.1）和（2.7）。来自条件（iii），受控（ξξξ-我*, ξi）∈ 序号（xxx，yyy），（xxx-我*t、 Xit，YYYYT）∈ W-ia。s

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nandehutu2022

2022-6-10 17:16:11

将It^o-Meyer公式【38，定理21】应用于e-αtvi（XXX-我*t、 Xit，yyyy）产量-αTvi（XXX-我*T、 XiT，yyyy）]- vi（xxx，yyy）=EZTe-αtLvi公司- αvidt+EZTe-αtNXj=1vixjdBjt+NXj=1，j6=iEZ[0，T）e-αt（vixjdξj*,+t型- vixjdξj*,-t）-NXj=1，j6=iEZ[0，T）e-αtΓjvi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξj*,+t+dξj*,-t型+ EZ[0，T）e-αt（vixidξi，+t- vixidξi，-t）- EZ[0，T）e-αtΓivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξi，+t+dξi，-t型+ EX0≤t<Te-αt不及物动词-NXj=1vixjXjt公司-MXk=1viykYkt公司,其中，IandJare在（3.1）中有定义。在这里vi：=vi（XXX-我*t、 Xit，YYYYT）- 六（XXX）-我*t型-, 退出-,YYYYT-), vixj：=vixj（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-), viyk：=viyk（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-), Xj公司*t： =Xj*t型- Xj公司*t型-, Xit：=Xit- 退出-, 和Ykt：=Ykt-Ykt公司-关于上述方程1的RHS≤ i、 j≤ N和1≤ k≤ M根据[3，定理3.2.1]，条件（v）意味着it^o积分-αtPNj=1vixjdBjtis是鞅。因此EhRTe-αtPNj=1vixjdBjti=0。（iv）中的凸性条件意味着EP0≤t<Te-αt(不及物动词-PNk6=ivixkXk公司*t型-vixi公司退出-PMj=1viyjYjt）≥接下来是EZ[0，T）e-αt（vixidξi，+t- vixidξi，-t）- EZ[0，T）e-αtΓivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξi，+t+dξi，-t型= EZ[0，T）e-αtvixi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) - Γivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξi，+t+EZ[0，t）e-αt-vixi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) - Γivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξi，-t型≥ 由于条件（ii）和（iv），最后一个不等式成立。更准确地说，vi（xxx）满足了W中的HJB方程（3.9a）-i、与（iv）一起，我们有以下概率1，vixi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) - Γivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) ≥ 0,-vixi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) - Γivi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-) ≥ 对于每个j 6=i，几乎可以肯定，我们有dξj*t6=0仅当（XXXt，YYYYT）∈ W-我∩ Aj。

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大多数88

2022-6-10 17:16:15

以及条件（ii）和（3.9b）-（3.9c），EZ[0，T）e-αt（vixj（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT-)dξj*,+t型- vixj（XXX-我*t型-, 退出-,yyyy）dξj*,-t）-EZ[0，T）e-αtΓjvi（XXX-我*t型-, 退出-,YYYYT）dξj*,+t+dξj*,-t型= EZ[0，T）e-αtvixj公司- Γjvi（XXX）-我*t型-, 退出-,yyyy）dξj*,+t型+-vixj公司- Γjvi（XXX）-我*t型-, 退出-,yyyy）dξj*,-t=0。条件（ii）也意味着Lvi- αvi≥ -h、综合以上所有因素，e-αTEvi（XXX-我*T、 XiT，YYYYT）+EZTe-αthXXX个-我*t、退出dt公司≥ 六（xxx，yyy）。（3.14）让T→ ∞, 不等式（3.14）和条件（vi）导致理想的不等式。10 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu（3.14）中的等式适用于ξi=ξi*由（3.13）和P（XXX）*t、 YYY年*t）∈ ∩Ni=1Wi= 所有t均为1≥ 0和容许集合（2.6）中的“无同时跳跃”条件，其中（XXX*t、 YYY年*t）是ξξ下的动力学*. 假设给出了满足验证定理（定理3.1）的博弈值vi（i=1，2，···，N），下一步是构建相应的NE策略。这是通过解决一个Skorokhodproblem，将在下一小节中讨论。3.3. 斯科罗霍德问题。在这里，我们提出了在附加假设H1-H2下构建NE策略的必要工具。由于Kang和Williams[25]，分析的关键是在一般域中弱构造反射布朗运动。为了更进一步，我们需要一些词汇表。设G=∩我∈IGibe是Rn+m中的一个非空域，其中I是一个非空的索引集，对于每个I∈ 一、 gi是Rn+m中的一个非空域。为简单起见，我们假设I={1，2，···，I}，其中···=I。对于每个I∈ 一、设nnni:Rn+m→ Rn+mbe单位法向量字段Git指向Gi。表示rrri（·）：Rn+m→ Rn+mas反射方向开启Gi。固定bbb∈ Rnandσσ∈ Rn×Nas无反射扩散过程的常数漂移和协方差。

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何人来此

2022-6-10 17:16:18

设ν表示（G，B（G））上的概率测度，其中B（G）是G上的Borelσ-代数。Skorokhod问题是在G中发现一个反射的扩散过程，使得初始分布遵循ν，扩散参数为（bbb，σσσ），且反射方向为沿面Gi。对于每个垂直方向，rrri（i∈ 一），表示rrr+I：=（ri，1，···，ri，n）作为rrrian的前n个分量的向量，表示rrr-i： =（ri，n+1，···，ri，n+m）作为rrri的下m个分量的向量。请注意，R-i、 k=ri，k+nb，按照通常的索引规则（k=1，···，m）。针对随机博弈，以下定义是对[25，定义2.1]的直接修改。定义3.2。与数据（G，bbb，σσσσ，{rrri}Ii=1，ν）相关的约束半鞅反射布朗运动（SRBM）是一个{Ft}适应的n维过程XXX定义在一些过滤概率空间上(Ohm, F、 {Ft}，P）这样：（i）P-a.s.，XXXt=WWWt+Pi∈IR[0，t）rrr+i（XXXs，YYYs）dηIs适用于所有t≥ 0，（ii）在P下，wwwt是一个具有漂移向量bbb、协方差矩阵σσ和初始分布ν的n维Ft-Brownian运动，（iii）dYjt=Pi∈IR[0，t）rrr-i、 j（XXXt，YYYYT）dηItan和Yjt≥ 0表示j=1，2，···，m，（iv）表示每个i∈ 一、 ηiis一个一维过程，使得P-a.s.，（a）ηiis连续且不递减，ηI=0，（b）ηit=R（0，t）{（XXXs，YYYs）∈Gi公司∩G} dηIs适用于所有t≥ 0，（v）P-a.s.，（XXXt，YYYYT）具有连续路径和（XXXt，YYYYT）∈ G代表所有t≥ 0，这里xxx是受控的扩散过程，yyy是资源水平。域G限制XXXT和YYYYT的动态。对于每个（xxx，yyy）∈ Rn+m，设I（xxx，yyy）={I∈ 一：（xxx，yyy）∈ Gi}。让U（S）表示闭集{（xxx，yyy）∈ Rn+m：距离（（xxx，yyy），S）≤ } 对于任何 > 0和S Rn+m.如果S=, 设置U（S） = 对于任何 > 我们列出了以下关于域G和反射方向{rrri，i的假设∈ 一} ：A1。

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何人来此

2022-6-10 17:16:21

G是Rn+msuch thatG=∩我∈IGi，（3.15）其中每个i∈ 一、 gi是Rn+m中的非空域，Gi6=Rm+nand边界Giis C.A2。对于每个 ∈ （0，1）存在R() > 0，这样对于每个i∈ 一、（xxx，yyy）∈ Gi公司∩ G和（xxx，yyy）∈G满足k（xxx，yyy）- （xxx，yyy）k<R(), 我们有nnni（xxx，yyy），（xxx，yyy）- （xxx，yyy）≥ -k（xxx，yyy）- （xxx，yyy）k.有限燃料游戏11A3。函数D：[0，∞) → [0, ∞] D（0）=0和D() = supI公司∈一、 I6=sup{dist（（xxx，yyy），∩我∈我(Gi公司∩ G））：（xxx，yyy）∈ ∩我∈国际单位(Gi公司∩ G） }，用于 > 0满意() → 0作为 → 0.A4。存在一个常数L>0，因此对于每个i∈ 一、 rrri（·）是一个从Rn+minto Rn+Mw的统一Lipschitz连续函数，其中Lipschitz常数为L，krrri（xxx，yyyy）k=1（xxx，yyy）∈ Rn+m.A5。有一个常数a∈ （0，1），向量值函数ccc（·）=（c（·），··，cI（·））和ddd（·）=（d（·），··，dI（·））来自G转化为RI+，以便每个（xxx，yyyy）∈ G、（i）Pi∈I（xxx，yyy）ci（xxx，yyy）=1，貂∈I（xxx，yyy）DPi∈I（xxx，yyy）ci（xxx，yyy）nnni（xxx，yyy），rrrk（xxx，yyy）E≥ a、（ii）Pi∈I（xxx，yyy）di（xxx，yyy）=1，貂∈I（xxx，yyy）DPi∈I（xxx，yyy）di（xxx，yyy）rrri（xxx，yyy），nnnk（xxx，yyy）E≥ a、定理3.3。假设A1-A5，存在与数据相关的受限SRBM（G，bbb，σ∑∑，{rrri，i∈ 一} ，ν）。定理3.3的证明很容易改编自【25，定理5.1】，其中我们构造了一个受约束SRBM的近似序列（随机游动），并使用不变性原理建立弱收敛。4、博弈CPCPP的纳什均衡本节分析了博弈CPCPP的NE。第4.1节推导了HJB方程的解。第4.2节从HJB解决方案构建受控流程。第4.3节推导了游戏CPCP的NE。回想一下，在游戏CPCP中，AAA=[1，1，···，1]T∈ RN×1，唯一资源y=y-NXi=1ˇξItan和Y0-= y、（4.1）4.1。

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nandehutu2022

2022-6-10 17:16:24

求解HJB方程。定义xi：=xi-Pj6=ixjN- 1对于1≤ 我≤ N、（4.2）是从xit到（xj）j6=i中心的相对位置。对于游戏CpCpCp，如果Ai∩ Aj=, HJB系统简化（HJB Cp）最小值-αvi+hN- 1Nexi公司+NXj=1vixjxj，-viy+vixi，-viy公司- vixi公司= 0，用于（xxx，y）∈ W-我，-viy公司- vixj=0，表示（xxx，y）∈ A+j，j 6=i，-viy+vixj=0，对于（xxx，y）∈ A.-j、 j 6=i。现在我们寻找阈值函数fN:R+→ R如此fn∈ C（R+，R），当x>0时，fN（x）<0，limx↓0fN（x）=∞,存在唯一的x>0，使得fN（x）=0。（4.3）很容易看出，对于满足条件（4.3）的fN（x），z- fN（z）=xi- 当▄xi时，y有一个唯一的正方向≥ f-1N（y），表示为xi+。我们考虑fN（x）到(-∞, 0）通过定义fN（x）=fN(-x）对于x<0。然后，通过对称性，z+~fN（z）=~xi+y有一个唯一的负根，当▄xi≤ -f-1N（y），表示为xi-. 请参见图2以获取图示。特别是，我们有fN（xi+）≥ 0 wheny≥ x+～xiand～xi≥ 0、类似▄fN（xi-) ≥ y时0保持≥ -x个- 西安xi≤ 0.在引理4.2.12中验证了后面（4.14）和条件（4.3）中构造的这样一个F，XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN Xu，然后指定ithplayer的动作区域A和等待区域WI为asA+i：=E+i∩ Qi，A-i： =E-我∩ Qi，Ai=A+i∪ A.-i、和Wi：=（RN×R+）\\Ai，（4.4），其中e+i：=（xxx，y）∈ RN×R*+: 进出口银行≥ f-1N（y）, E-一：=（xxx，y）∈ RN×R*+: 进出口银行≤ -f-1N（y）, （4.5）对于E+i，1：=（xxx，y）∈ E+i：y≥ xi+x, E+i，2：=（xxx，y）∈ E+i：y<xi+x, （4.6）E-i、 1：=（xxx，y）∈ E-i： y型≥ -xi- x个, E-i、 2：=（xxx，y）∈ E+i：y<-xi- x个, （4.7）和{Qi}Ni=1 RN×R+的不相交和凸分区，使得Qi∩Qj=（E+i∪E-（一）∩（E+j∪E-j）∩WNEfor i 6=j，∪Ni=1Qi=RN×R+和αppp+（1- α） qqq∈ Qjfor allα∈ [0，1]如果购买力平价∈ Qjand qqq∈ qj对于某些j=1，2，···，N。

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可人4

2022-6-10 17:16:27

条件Qi∩ Qj=（E+i∪ E-（一）∩ （E+j∪ E-j）∩ WNEfor i 6=j意味着玩家i和玩家j不能同时跳转，但可以同时应用连续控制（在公共等待区域的边界上）。我们可以定义以下映射∏（xxx，y）=xxx个-i、 xi++Pk6=ixkN-1., fN（xi+）, if（xxx，y）∈ 气∩ E+i，1，（xxx）-i、 xi- y），0, if（xxx，y）∈ 气∩ E+i，2，xxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi-,fN（xi-), if（xxx，y）∈ 气∩ E-i、 1、，（xxx）-i、 xi+y），0, if（xxx，y）∈ 气∩ E-i、 2。（4.8）映射∏（·）在∪Iasince{Qi}Ni=1不相交。注意，∏（·）将（xxx，y）转换为E+i，1的边界，即。，E+i，1：={（xxx，y）∈ RN×R+：y=fNxi, 0<x≤ x} 时间（xxx，y）∈ 气∩ E+i，1，并将（xxx，y）转换为“零资源”平面{（xxx，y）∈ RN×R+：y=0}当（xxx，y）∈ 气∩ E+i，2，沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1非零第i个和第（N+1）个分量。LetWNE：={（xxx，y）∈ RN+1：| exi |<f-1N（y），y>0，1≤ 我≤ N}∪{（xxx，y）∈ RN×R+：y=0}（4.9）=∩Ni=1E-我∪ E+ic、是公共非作用区域，并假设分区{Qi}Ni=1满足以下假设：H3-Cp.对于任何（xxx，y）∈ ∪iAi，∏（xxx，y）∈ 拥有。条件H3 C表示如果（xxx，y）∈ Ai，那么在playeri控制之后，动态将在Wneri区域。对于N=2的特殊情况，我们可以取Q={（x，x，y）∈ R×R+| x- x个≥ 0}和Q={（x，x，y）∈ R×R+| x- x> 0}。因此，假设H3 CPI很容易满足。验证推迟到附录B。我们寻求解决方案vi（xxx，y）∈ C（W-i）如果| exi |<f-N（y），其形式为：vi（xxx，y）=pN（exi）+AN（y）coshexir2（N- 1） αN！，（4.10）其中Pn（x）：=EZ∞e-αthN- 1Nx+rN- 1NBt！dt，（4.11），其中bt是一维布朗运动。请注意，pN（exi）是-αvi+h（N-1Nexi）+PNj=1vixjxj=0，对应于等待区域，以及coshq2（N-1） αNexi是解决-αvi+PNj=1vixjxj=0。

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大多数88

2022-6-10 17:16:30

如果没有资源，则vi（xxx，y）=pN（exi），因此AN（0）=0。下面的引理总结了pN的基本特性，可以通过简单的计算进行验证。因此省略了顶部。有限燃料游戏13引理4.1。在假设H1-H2下，（4.11）满足度中定义的pN（x）：pN（x）≥ 0和pN（x）≤ x为0≥ 0; pN（x）=pN(-x） andkα≤ pN（x）≤x的Kα∈ R、（4.12）平滑原则指出，沿延拓setW和-i和动作集Ai，vi在超平面上具有一定的正则性。现在应用平滑原理，我们得到vixixi=viyy=-vixiyat边界y=fN（exi），exi>0。这取决于vixi+viy=0，我们期望vi∈ C（W-i）。为了看到这一点，我们对形式（4.10）进行了两次区分，边界y=fN（exi）处的条件vixi+viy=0和vixixi+vixiy=0导致AN（fN（x））=-pN（x）coshxr2（N- 1） αN！+pN（x）sN2（N- 1） αsinhxr2（N- 1） αN！x=f-1N（y），AN（fN（x））=pN（x）sN2（N- 1） αsinhxr2（N- 1） αN！- pN（x）N2（N- 1） αcoshxr2（N- 1） αN！x=f-1N（y）。（4.13）因此，fN（x）=pN（x）-N2（N-1） αpN（x）pN（x）qN2（N-1） αtanhxq2（N-1） αN- pN（x），（4.14）andAN（y）=pN（x）sN2（N- 1） αsinhxr2（N- 1） αN！-pN（x）N2（N- 1） αcoshxr2（N- 1） αN！x=f-1N（y）。（4.15）引理4.2。根据假设H1-H2，（4.14）中定义的满足条件（4.3）。此外，曲线y=fN（x）在x处与{x>0}相交，AN（fN（x））=0，xis是r2（N）的唯一正函数- 1） αNtanhzr2（N- 1） αN=pN（z）pN（z）。（4.16）证明。首先，我们证明了fn在R+上是递减的。回想fNfrom（4.14）的表达式，我们声称当z≥ 0和limz↓0fN（z）=-∞. 要看到这一点，pN（z）-N2（N-1） αpN（z）≥ 0 forz≥ 引理4.1中的0。表示q（z）=pN（z）qN2（N-1） αtanhzq2（N-1） αN- pN（z）。很容易看出q（0）=0。此外，q（z）=pN（z）qN2（N-1） αtanhzq2（N-1） αN+ pN（z）coshzq2（N-1） αN- pN（z）<0表示z>0，q（z）=0表示z=0。

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nandehutu2022

2022-6-10 17:16:34

这是因为pN（z）≤ 0（z≥ 0）引理4.1，cosh（z）≥ 1（z≥ 当且仅当z=0时，cosh（z）=1。设s（x）=pN（x）-N2（N-1） αpN（x）。所以fN（x）=s（x）/q（x）。很明显，对于x>0，fN（x）<0（因为s（x）>0和q（x）<0）。现在我们把s（x）和q（x）的渐近性看作x→ 0+. 通过泰勒展开，q（x）=pN（0）sN2（N- 1） αxr2（N- 1） αN+o（x）- pN（0）x+o（x）=o（x）。由于pN（x）<0，对于x>0，我们有s（x）≥ pN（x）=pN（0）x+o（x）。因此，fN（x）=s（x）/q（x）→ -∞作为x→ 0+. 这意味着fN（x）→ ∞ 作为x→ 0+. 类似地，z+~fN（z）=exi+y自fN起有一个单负根(-x） =fN（x）。14辛国、汤文品和徐仁元证明了（4.16）的唯一正根。定义r（z）=pN（z）pN（z），其中pN（x）在（4.11）中定义。注意，r（0）=pN（0）pN（0）=ER∞e-αthqN公司-1 NBTdt公司ER∞e-αthqN公司-1 NBTdt公司. 假设H2，pN（0）=0，kα<pN（0）<kα，r（z）=pN（z）pN（z）-（pN（z））（pN（z））。除了引理4.1，我们还有r（0）=∞ 和r（z）≤ 0.此外，由于k≤ h类≤ K和h≥ 对于某些常数c，我们有limx→∞r（x）=0。此外，定义（x）=q2（N-1） αNtanhxq2（N-1） αN, 然后很容易检查f（0）=0，对于x，f（x）>0≥ 0，andlimx→∞f（x）=q2（N-1）因此，f（x）=r（x）具有唯一的正解。4.2. 受控动力学。

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可人4

2022-6-10 17:16:38

给定候选对策值（HJB Cp），我们通过证明具有无界域的Skorokhod问题的弱解（XXXt，Yt）的存在性，推导出相应的NEP，其中域的边界取决于扩散项XXXt和退化项YYYYT。回想一下（4.9）中定义的区域wne，并注意到wne在RN+1中是无界的，有2N个边界。对于i=1，2，···，N，定义WNEasFi={（xxx，y）的2N个面∈ WNE |（xxx，y）∈ E+i}，Fi+N={（xxx，y）∈ WNE |（xxx，y）∈ E-i} 。然后，每个面的法线方向由（i=1，2，···，N）nnni=ci给出-N- 1, · · · , -N- 1, 1, -N- 1, · · · , -N- 1，（f）-1N）（y）,nnni+N=ci+NN- 1，···，N- 1.-1，N- 1，···，N- 1，（f）-1N）（y）,ITH组件为±1。ci，cN+i规范化常数，使knnik=knnnN+ik=1。表示每个面上的反射方向asrrri=ci（0，····，-1, · · · , 0, -1），rrrN+i=cN+i（0，···，1，···，0，-1），ITH分量为±1。ci，cN+i规范化常数，使krrrik=krrrN+ik=1。雀巢战略定义如下。案例1：（XXX0）-, Y0-) = （xxx，y）∈ 拥有。可以检查（4.9）中定义的wne和{rrri}2Ni=1de上述满足假设A1-A5。（A1-A5的可满足性见附录A）。根据OREM 3.3，Skorokhod问题的数据解决方案较弱WNE，{rrri}2Ni=1，bbb，σσ，xxx∈ WNE公司.案例2：（XXX0）-, Y0-) = （xxx，y）/∈ WNE，也就是说，存在我∈ {1，···，N}这样（XXX0-, Y0-) ∈ 人工智能。（1） If（xxx，y）∈ A+i∩E+i，1，然后xi≥ f-1N（y）和y≥ ~xi+x。在这种情况下，玩家i将立即从Xi0移动-= xito Xi=Xi++Pk6=ixkN-1在时间0，其中xi+是唯一的正根，因此z-fN（z）=xi- y、这将减少Y0的初始资源-= y到y=fN（xi+）≥ 0.fN（xi+）≥ 0保留至今≥ x+~xiwhen（xxx，y）∈ E+i，1。

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能者818

2022-6-10 17:16:42

其他玩家的动态保持不变，即Xj0-= Xj=xjforj 6=i和1≤ j≤ N假设H3 Cp，我们有（XXX，Y）=xxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi+, fN（xi+）=∏（XXX0-, Y0-) ∈ 拥有。（2） If（xxx，y）∈ A+i∩ E+i，2，然后xi≥ f-1N（y）和y<xi+x。在这种情况下，playeri将立即从Xi0移动-= 西托Xi=Xi- y和初始资源Y0-= 在时间0时，y减小到y=0。其他玩家的动态保持不变，即Xj=Xj0-= xjj表示j 6=i和1≤ j≤ N、假设H3 Cp，我们有（XXX，Y）=（xxx）-i、 xi- y），0= ∏（XXX0-, Y0-) ∈ 拥有。（3）类似地，如果（xxx，y）∈ A.-我∩ E-i、 1，然后▄xi≤ -f-1N（y）和y≥ -xi- x、玩家我将立即从Xi0移动-= 西托Xi=Xi-+Pk6=ixkN-1时间0，其中xi-是唯一的负根，因此z+~fN（z）=~xi+y和Y0-= y现在是y=~fN（xi-) ≥ 其他玩家的动态有限燃料游戏15图2。初始控制演示（XXX0-, Y0-) = （xxx，y）/∈ 拥有。保持不变，即Xj=Xj0-= 对于j 6=i和1，xj≤ j≤ N、假设H3 Cp，我们有（XXX，Y）=xxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi-,fN（xi-)= ∏（XXX0-, Y0-) ∈ 拥有。（4）如果（xxx，y）∈ A.-我∩ E-i、 2，然后▄xi≤ -f-1N（y）和y<-xi- x、在这种情况下，玩家i将立即从Xi0移动-= xito Xi=Xi+y，这将改变Y0-= 在时间0时，y到y=0。其他玩家的动态仍在改变，即Xj0-= 对于j 6=i和1，Xj=Xj≤ j≤ N、假设H3 Cp，我们有（XXX，Y）=xxx个-i、 xi+y, 0= ∏（XXX0-, Y0-) ∈ 拥有。4.3. N人游戏的NE。结合第4.1节和第4.2节中的结果，并基于第3节中开发的验证定理，我们得到了N-playergame（2.8）和约束（4.1）的以下NE定理。定理4.3（N人游戏CpCpCp的NE）。假设H1-H2和H3-Cp。

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何人来此

2022-6-10 17:16:46

定义ui∈ RN×R+→R byui（xxx，y）=pN（exi）+AN（y）coshexiq2（N-1） αN如果| | xi |≤ f-1N（y），y=0，uixxx个-i、 xi++Pk6=ixkN-1., fN（xi+）if（xxx，y）∈ E+i，1，ui（xxx）-i、 xi- y），0if（xxx，y）∈ E+i，2，uixxx个-i、 Pk6=ixkN-1+xi-,fN（xi-)if（xxx，y）∈ E-i、 1，ui（xxx）-i、 xi+y），0if（xxx，y）∈ E-i、 2、（4.17）和定义六：RN×R+→ R asvi（xxx，y）=ui（xxx，y）if（xxx，y）∈ W-i、六xxx个-j、 xj++Pk6=jxkN-1，fN（xj+）if（xxx，y）∈ A+j∩ E+j，1对于j 6=i，vixxx个-j、 xj公司- y、 0个if（xxx，y）∈ A+j∩ E+j，2对于j 6=i，vixxx个-j、 Pk6=jxkN-1+xj-,fN（xj-)if（xxx，y）∈ A.-j∩ E-j、 1对于j 6=i，vixxx个-j、 xj+y，0if（xxx，y）∈ A.-j∩ E-j、 2对于j 6=i，（4.18），其中oa和wi在（4.4）中给出，E±i、1和E±i，2在（4.6）-（4.7）中给出，fN（·）由（4.14）-（4.16）定义，且fN（x）=fN(-x）对于x<0.16的XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN XU，Exis定义为（4.2），AN（·）定义为（4.15）xi+是z的唯一正根- fN（z）=exi- y时xi≥ f-1N（y）和xi-是z+~fN（z）=exi+y的唯一负根，当▄xi<-f-1N（y）。那么Vi是与NEPξξξ相关的对策值*= (ξ1*, · · · , ξN*). 即vi（xxx，y）=JiCp（xxx，y；ξξξ*).此外，受控过程（XXX*, Y*) ξξ以下*见第4.2节。证据首先，ui（xxx，y）∈ 构造的C（RN×R+）：y=0附近的Cregularity源自（4.15），而f-1N（y）→ xas y公司→ 0和AN（fN（x））=0。要看到z- fN（z）=exi- y有一个唯一的正根，这有助于证明fn在R+上递减。这一事实如Lemma4.2所示。现在让我们检查定理3.1中的条件（i）-（vii）。（i）根据第4.2节的分析，当（xxx，y）∈ 恩，NE策略是案例2中规定的Korokhod问题的解决方案，这是一个连续的过程。时间（xxx，y）/∈ 情况1中规定的初始推力满足“无同步跳跃”条件。

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可人4

2022-6-10 17:16:49

注意：当燃油用完时，dynamics XXXT将变得不受控制，并在不受控制的情况下自由移动。（ii）现在我们检查验证定理中的条件（ii），即（4.18）中定义的满足Qvi（3.9）的条件。它包括以下三个步骤。其思想是应用隐函数定理，计算遵循[8，p.58]中的引理。第1步是验证（4.18）中规定的满意度-αvi+hN- 1Nxi+NXj=1vixjxj≥ 0（4.19）（xxx，y）∈ W-对于（xxx，y）不等式是严格的∈ A和平等在W中保持。因为pN（~ xi）是-αvi+hN-1Nxi+PNj=1vixjxj=0和coshq2（N-1） αNxi是解决-αvi+PNj=1vixjxj=0，pN（exi）+AN（y）coshexiq2（N-1） αN满意度-αvi+hN-1Nxi+PNj=1vixjxj=0。因此（4.19）适用于（xxx，y）∈ 平等拥有。用www表示ppp=（www，z）∈ RNand z∈ R+。购买力平价时∈ A+i∩ E+i，1，我们有vi（ppp）=vi（qqq），其中qqq：=万维网-i、 wi++Pk6=iwkN-1，fN（wi+）= π（ppp）将ppp转换为E+i的边界，即。，E+i：={（xxx，y）| y=f-1Nxi} 沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1，除第i个和第（N+1）个分量为-请注意，当ppp=（www，z）时∈ E+i，1，我们有z≥ wi+X和fN（wi+）≥ 0。（见图2）。根据隐函数定理，vixixi（ppp）=vixixi（qqq）+fN（wi+）vixiy（qqq）1-fN（wi+）=vixixi（qqq），自vixixi=-vixiyon y=fN（▄xi）。为了更清楚地看到这一点，请用www表示ppp:=（www，z）∈ R和y∈ R+这样的PPP∈ 艾岛∩ E+i，1。并表示qqq：=（www-i、 wi公司- θ、 z- θ）这样z- θ=fN（￠wi- θ). 通过对vi的定义，我们得到vi（ppp）=vi（qqq）。取z的导数- θ=fN（￠wi- θ）关于wileads to-θwi=fN（▄wi- θ)1.-θwi公司, 因此θwi=-fN（▄wi-θ)1-fN（▄wi-θ).

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大多数88

2022-6-10 17:16:54

Thenvixi（购买力平价）=不及物动词wi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)=1.-θwi公司vixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ) - viy（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwi公司=1.-θwi公司vixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） +vixi（www-i、 wi公司- θ、 y型- θ)θwi=vixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ).有限燃料博弈17最后第二个等式成立，因为Wi上的vixi+viy=0∩ A+i.同样，vixixi（购买力平价）=七wi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)=1.-θxivixixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ) - vixiy（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwi公司=1.-θwi公司vixixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） +vixixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θxi=vixixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ). （4.20）第二个方程成立，因为Wi上的vixixi+vixiy=0∩ 类似地，对于j 6=i，我们有vixjxj（ppp）=vixjxj（qqq）。为了证明这一点，取z的导数- θ=fN（￠wi- θ）关于wjj，对于j 6=i和j≤ N、我们有-θwj=fN（￠wi）- θ)-N-1.-θwi公司,因此θwj=N-1fN（▄wi-θ)1-fN（▄wj-θ). 因此，vixj（购买力平价）=不及物动词wj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)= -vixi（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwj公司- viy（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwj+vixj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） =vixj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ).最后一个等式成立，因为Wi上的vixi+viy=0∩ A+i.同样，我们有VIXJXJ（购买力平价）=vixj公司wj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)= -vixixj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwj公司- vixjy（www-i、 wi公司- θ、 z- θ)θwj+vixjxj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） =vixjxj（www-i、 wi公司- θ、 z- θ） =vixjxj（qqq）。第二个方程成立，因为Wi上的vixixj+vixjy=0∩ 因此，当ppp=（www，z）时∈ A+i∩ E+i，1，-αvi（ppp）+hN- 1Npi+NXj=1vixjxj（购买力平价）=- αvi（qqq）+hN- 1N~qi+NXj=1vixjxj（qqq）+ h类N- 1Npi- h类N- 1Nqi> -αvi（qqq）+hN- 1Nqi+NXj=1vixjxj（qqq），其中qi=qi-PNj=1，j6=iqjN-1和▄pi=pi-PNj=1，j6=ipjN-1=▄wi。最后一个不等式成立，因为▄pi>▄qi>0，h是凸的，且对称于0。现在是qqq∈ E+i，我们有-αvi（qqq）+hN-1Nqi+PNj=1vixjxj（qqq）=0。

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mingdashike22

2022-6-10 17:16:57

因此-αvi+hN-1Nxi+PNj=1vixjxj≥ ppp为0：=（www，z）∈ Wi公司∩E+i，1。购买力平价时：=（www，z）∈ A+i∩ E+i，2，我们有vi（ppp）=vi（qqq），其中qqq：=万维网-i、 wi公司- z、 0个= π（ppp）将ppp转换为{（xxx，y）∈ RN×R+| y=0}沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1。在这种情况下，vi（ppp）=pN（ewi- z） +安（0）cosh（ewi- z） q2（N-1） αN根据定义。Hence18 XIN GUO、WENPIN TANG和RENYUAN XU-αvi（ppp）+hN-1Npi+通过直接计算，PNj=1vixjxj（ppp）=0。购买力平价也有类似分析：=（www，z）∈ A.-i、第二步是展示Vixi+viy≤ 0，和- vixi+viy≤ 0，用于（xxx，y）∈ W-i、和（4.21）（vixi+viy=0，对于（xxx，y）∈ A+i-vixi+viy=0，对于（xxx，y）∈ A.-i、（4.22）让我们首先检查一下（4.22）。购买力平价时：=（www，z）∈ A+i∩E+i，1，表示qqq：=wwwi，wi++Pk6=iwkN-1，fN（wi+）=π（ppp），将ppp转换为E+i的边界，即。，E+i：={（xxx，y）| y=fNxi} 沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1。然后根据（4.18）的定义，vi（ppp）=vi（qqq）=ui（qqq），vixi（ppp）=1-fN（wi+）vixi（qqq）+fN（wi+）1-fN（wi+）viy（qqq），viy（ppp）=-1.-fN（wi）+vixi（qqq）-fN（wi+）1-fN（wi+）viy（qqq）。因此，vixi（ppp）+viy（ppp）=0。购买力平价时：=（www，z）∈ A+i∩ E+i，2，我们有vi（ppp）=vi（qqq），其中qqq：=万维网-i、 wi公司- z、 0个= π（ppp）将ppp转换为{（xxx，y）∈ RN×R+| y=0}沿方向（0，0，···，-1, 0, · · · , -1) ∈ RN+1。在这种情况下，vi（ppp）=pN（ewi-z） +安（0）cosh（ewi- z） q2（N-1） αN根据定义。然后通过简单的计算，vixi（ppp）+viy（ppp）=0。同样地，-（xxx，y）的vixi+viy=0∈ A.-i、对于（4.21），通过对称性可以检查0的第一个不等式≤ xi≤ f-1N（y）。

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