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（23）基础BM Z[u]tca也可以解释为（xt，yt，zt）在Z轴上的投影，即从（0，0，1）到（0，0，zt）的有符号双曲线距离。因此，限制Z[u]t≤ DTd自然是令人满意的。证明的一个关键步骤是，在固定时间T内，DTd=qXT+YT+（Z[u]T）以Z[u]T为条件，（24），这有效地意味着（xT，YT，zT）和起始点（0，0，1）之间的双曲线距离与基础BMs（xT，YT，Z[u]T）的欧氏距离（0，0，0）具有相同的分布。此外，这个恒等式成立，条件是Z[u]T。根据这个恒等式，它得出qxt+yTd=φZ[u]T，qXT+YT+（Z[u]T）,或xTd=cosθφZ[u]T，qXT+YT+（Z[u]T）,其中θ是均匀分布的随机角。证明方程（24）中只有一个u的值就足够了，因为其余的都是根据吉萨诺夫定理得出的。偏离原始证明，u=-选择1是为了利用Hheat内核。根据方程式（23）的导数，rTdrT=zTsinh DTdDT，从p（t，D）：Prob（rT∈ drT，zT∈ dzT）=p（T，DT）2πrTdrTdzTzT=√2πTDTe-2T（T+DT）dDTdzTzT。来自dzT/zT=dZ[-1] T，也可以看到prob（zT∈ dzT）=√2πTe-2TZT·dzTzT。因此，条件概率为asProb（rT∈ drT | ZT）=概率（rT∈ drT，zT∈ dzT）探针（zT∈ dzT）=DTTe-2T（DT+T-ZT）dDTzT=DTTe-2吨DT公司-（Z）[-1] T）滴滴涕。概率可以解释为条件概率Prob（qXT+YT+（Z[-1] T）∈滴滴涕（ZT）。双曲正态随机波动率模型25附录B。NSVh分布的矩推导滚动5。

规范NSVh分布的中心矩|un=E（|FnS），对于2≤n≤ 4，表示为|u=ρwλ（w- 1) + ρ*w1+λ- w=eS时为11+λ≥ 0，|u=ρwλ（w- 1） （w+2）+3ρρ*wλw3+λ- 13 + λ-w1+λ- 11 + λ, 和|u=ρw2λ（w- 1） （w+2w+3w- 3) + 6ρρ*wλww5+λ- 15 + λ- 2w3+λ- 13+λ+w1+λ- 11 + λ+ρ*-w1+λw5+λ- 15+λ+（w3+λ+1）w3+λ- 13 + λ-w1+λ- 11 + λ.（20） 原始形状的中心力矩可缩放为un=E（（FT-\'FT）n）=（σ/α）nun，偏度和外峭度表示为s=~u/~u3/2和κ=~u/~u-分别为3。对于正常的SABR（λ=0），得到了进一步的简化表达式：|u=w-1，s=ρ（w+2）√w- 1，κ=（w-1)4ρ+ 1（w+3w+6w+5）+1. （21）证明。我们首先计算力矩，以Z[u]T:E为条件X2nA【u】TZ[u]T= E（cos2nθ）Eφ2nZ[u]T，qXT+YT+（Z[u]T）=（2n- 1)!!nt菜单√TZ公司∞ure公司-rcosh（r√T）- cosh（u√T）ndr，其中u=| Z[u]T|/√T和（2n- 1)!! = （2n- 1） （2n- 3) ···3 · 1. 该公式与E的公式相当A【u】TnZ[u]T在Matsumoto和Yor【2005a】的命题5.3中给出。前两个值以闭合形式计算：EXA[u]TZ[u]T= T欧盟√Tm（u，√T）EXA[u]TZ[u]T= 3Te2u√Tm（u，2√T）- cosh（u√T）m（u，√T）其中m（u，) =N（u+) - N（u- )2. e-n（u）。从中，可以很容易地获得[u]皮重的前两个条件矩A【u】TZ[u]T= EXA[u]TZ[u]T和EA【u】TZ[u]T=EXA[u]TZ[u]T.Kennedy等人[2012]在normalSABR模型的背景下得出了λ=0的相同结果。26 CHOI、LIU和SEOThe给出了XA[u]的无条件矩XA[u]S=w2+2u- 12+2uEXA[u]S=-w2+2uw6+2u- 16+2u+（w4+2u+1）w4+2u- 14 + 2u-w2+2u- 12 + 2u,其中w=eS。

随后，力矩的表达式遵循fromEFS= Eρ（eZ[u]S- eλS/2）+ρ*EXA[u]SZ[u]TEFS= Eρ（eZ[u]S- eλS/2）+3ρρ*（eZ[u]S- eλS/2）eXA[u]SZ[u]TEFS= Eρ（eZ[u]S- eλS/2）+6ρρ*（eZ[u]S- eλS/2）eXA[u]SZ[u]T+ ρ*EXA[u]SZ[u]T替换u=（λ- 1)/2.