关于带摩擦的拟sure超边对偶

2022-6-10 19:00:21

具有摩擦的拟sure超边对偶* 1和Matteo Burzoni** 2牛津大学密歇根大学（University of MichiganUniversity of Oxford）2019年9月19日摘要我们证明了模型不确定性下具有比例交易成本的离散时间金融市场的超边缘对偶性。摩擦通过偿付能力锥进行建模，如卡巴诺夫（1999）的原始模型，该模型适用于Bouchard和Nutz（2015）的准确定性设置。我们的方法可以消除Bouchard等人[2019]中考虑的第二类无套利的限制性假设，并在更自然的无严格套利条件下显示二元性。此外，我们将结果推广到具有投资组合约束的模型。关键词：模型不确定性、超边际、比例交易成本、投资组合约束、稳健金融。理学硕士（2010）：90C15、90C39、91G99、28A05、46A20。JEL分类：C61，G13.1简介社会经济现象通常受到随机性的强烈影响，而非例外。从K night的开创性工作（参见，g.Knight【1921】）开始，风险和不确定性之间的区别就这种随机性的性质而言已被广泛接受。如果有可用的概率描述（例如，掷一枚公平的硬币），我们通常将情况称为风险。相反，如果一种情况不能用概率术语完全描述，我们称之为不确定。原因很简单，可能是缺乏客观模型（例如，赛马的结果；见Bayraktar和Munk【2017】及其参考文献）或缺乏信息（例如，从成分未知的瓮中提取）。数学金融领域的经典文献主要关注风险，而对奈特不确定性问题的关注最近才从Avellanda et al.（1995）开始。

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2022-6-10 19:00:24

特别是，在Bayraktar和Zhou【2017】、Bouchard和Nutz【2015】和Inaciaio et al【2016】、Burzoni et al【2019】、Cheridito et al【2017】的准确定框架中，在无摩擦离散时间市场中，对套利理论和相关的超边缘对偶性等基本主题进行了系统研究。在风险下，Kabanov[1999]引入了具有比例交易成本的离散时间市场的经典模型。该模型由一组锥K描述：={Kt}t=0，。。。，t其决定：i）可接受的策略；ii）偿付能力要求；iii）定价机制。更准确地说，后者被称为一致价格系统，它们本质上是在对偶锥K中取值的鞅过程*t、 Bartl等人【2017年】、Bayraktar和Zhang【2016年】、Bouchard和Nutz【2016年】、Burzoni【2016年】、Dolinsky和Soner【2014年】在不确定性案例中考虑了此类模型的实例，然而*Erhan Bayraktar部分得到了国家科学基金会DMS-1613170拨款的支持，部分得到了Susan M.Smith主席的支持。**Matteo Burzoni感谢ETH基金会和牛津大学胡克研究奖学金的支持。建立一个准确定的超边缘对偶性的问题一直没有解决。最近，Bouchard等人[2019]采用随机化方法获得了一个最终结果（其他应用见alsoAksamit等人[2019]，Bayraktar和Zhou[2019]，Deng等人[2018]）。

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2022-6-10 19:00:27

其目的是构建一个有效的无摩擦价格过程：i）有摩擦市场中期权的超边际价格与无摩擦市场中相应的超边际价格一致；ii）marti ngale测度类的期权价格与原始市场的一致价格体系类的期权价格相同。当实现这两个属性时，Bouchard和Nutz（2015）的无摩擦结果便产生了二元性。为了执行该计划，第二类无套利假设（NA（P））起到了至关重要的作用，这确保了无套利市场的构建是自动无套利的。NA（P）规定，如果头寸在时间t+1时是准肯定有偿付能力的，则在时间t时必须是准肯定有偿付能力的。这种条件具有很大的限制性，因为它无法用于单期市场的基本示例，即使市场参与者无法获得确定的偿付能力（见【Bayraktar和Zhang，2016，备注11】）。在本文中，我们不需要强假设NA（P），并且在更自然的无严格套利（NAs（P））条件下证明了超边对偶。后者确保在不承担任何风险的情况下不可能实现盈利，因此，它概括了无摩擦市场中的经典无风险条件。从技术角度来看，我们也没有假设Bouchard等人[2019]中的其他不必要假设：i）我们不要求交易成本是一致有界的，换句话说，对于某些c>0的情况，相对于所选数量的买卖价差不一定是[1/c，c]的子集；ii）我们不需要技术假设K*t型∩Rd+={0}对于任何t=0。T

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2022-6-10 19:00:31

从建模的角度来看，我们的方法允许将以前的结果扩展到组合约束过程C：=（Ct）t=0，。。。，Tde确定了市场上可接受的策略。据我们所知，即使在参考概率测度P固定的经典情况下，这些结果也是新的。正如Bouchard等人【2019年】所述，我们假设所谓的有效摩擦假设，并采用随机化方法。我们首先构建了一个类似于Bayraktar和Zhang【2016】的反向过程，并基于动态规划方法（参见B urzoni和iki【2019】对相关鞅选择问题的广泛研究）。此过程生成一个新的CONE集合K*= （▄K*t） t=0，。。。t通常不同于原始K，并且在条件NAs（P）下显示为非空。值得注意的是，不可能直接将Bouchard et al.（2019）的结果（或对其的直接改编）应用于▄K*. 事实上，一般来说K*twill只有一个解析图，与K的Borel可测性相反*t、为了应用Bouchard和Nutz【2015】的结果，钻孔可测量性假设至关重要。为了克服这一困难，我们提出了一种新的随机化方法。我们不会将fr ictionless process^设计为采用▄K中的值*但我们考虑一类合适的概率^P，以得到^St∈K*每次t^P-q.s。与Bouchard et al.（2019）类似，我们最终证明，所需的二元性可以从无摩擦市场的二元性结果中推断出来。特别是，我们在这里使用了Bayraktar和Zhou【2017】的数据，其中考虑了可能的投资组合约束。我们通过指定常用的符号和设置来结束介绍。第2节阐述了超级对冲的双重性。

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2022-6-10 19:00:34

第3节的内容是建设无摩擦市场。最后，我们在第4节中证明了主要结果，并展示了它如何扩展到半静态交易。注：对于拓扑空间X，BXis是Borel-sigma代数。P（X）是（X，BX）上的全概率测度类，δxdenotes是X上的Dirac测度∈ 十、对于概率测度P和集合R P（X）我们说P<< R i f存在▄P∈ R使得P<<若P.A财产持有f或任何P，则称其持有R-q.s∈ R、定义在X上并在Rd的幂集中取值的映射U称为多函数（或随机集），并用U:X表示=> 对于X上的sigma代数G，多功能U称为G-可测if，对于任意开集O Rd，我们有{x∈ X:U（X）∩ O 6=} ∈ G、 A地图f:X→ RDF（x）∈ U（x），对于任何x∈ dom U：={x∈ X:U（X）6=}称为U的选择器。我们用L（G；U）表示U的G-可测选择器类。对于U:X×X=> Rd和x∈ X固定，符号U（X；·）指被视为X（多重）函数的随机集。给定一类概率R P（X），U（X；·）的（条件）准肯定支撑，用suppRU（X；·）表示，是最小的闭集F Rdsuchtthat U（x；·） F，R-q.s.对于适用于给定过滤G的随机集U：=（Ut）Tt=0的集合，我们用L（G）表示-; U） H类过程，使得Ht+1∈ 每t=0，…的L（Gt；Ut）。T- 最后，对于两个Rd值过程H和S，我们定义（Ho S） t：=Pt-1u=0Hu+1·（Su+1- Su）。设置。让T∈ N是固定的时间范围，I：={0，…T}。为了以后使用，我们还定义了-1:= {-1.T- 1}. 我们考虑过滤空间(Ohm, F、 Fu，F，Fu）被赋予一类（可能是非支配的）先验P P(Ohm) 描述为以下内容。-Ohm是给定的抛光空间。我们选择Ohm := OhmT、在哪里Ohmt表示（t+1）的乘积Ohm. 任意ω∈ Ohm用ω=（ω，…）表示。

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2022-6-10 19:00:37

，ωt），带ωs∈ Ohm对于任何0≤ s≤ t、 -我们设置F：=BOhm以及它的普遍完成。同样，过滤F={Ft}t∈土地面积={Fut}t∈i由Ft给出：=BOhmtand futts通用完成。-对于每个t∈ 一、 PTI是一组随机概率Ohm用解析图和Pisnon随机。我们设置，P={P · · · PT公司-1： Pt公司∈ L（未来；Pt），t型∈ {0，…，T- 1} }，类L（Fut；Pt）是Jankov-Von Neumann定理中的非空（见[Bertsekas和Shreve，1978，命题7.49]），因此P通过Fubini定理得到了很好的定义。2主要结果我们考虑了卡巴诺夫（1999）引入的具有比例交易成本的金融市场的一般模型。该模型完全由一组随机凸闭锥来描述：={Kt}t∈我 Rdwith d≥ 2，称为偿付能力锥。这些代表了以d基础资产的实物单位表示的头寸集，这些头寸可以在零投资组合中以零成本变现。我们假设任何具有非负坐标的位置都是可解的，即Rd+ 千吨级。集合-KT代表零成本可用的投资组合类别。我们假设对于任何t，K是可测量的∈ 我和Knon random在一起。以下是coneK的标准符号 Rdwe用K表示*:= {x∈ Rd:x·k≥ 0k∈ K} 它的双锥和o:= -K*它的极锥。我们通过引入市场上可容许头寸的一些约束，推广了Kabanov[1999]的模型。它们由一组随机的凸闭conesC表示：={Ct}t∈我 Rd，这样每个CTI都是可测量的。零成本策略η：=（ηt）t∈如果满足ηt，则可接受∈ Atfor任意t∈ 一、式中：=（ξ∈ L（Fut；Ct）：ξ=tXs=0-带ks的ks∈ Ks，P-q.s。 0≤ s≤ t）。换句话说，η满足（Ct）t施加的约束∈i并且它是以零成本可用的投资组合之和获得的。

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2022-6-10 19:00:40

我们用HK表示可接受策略的类别，省略了对C的依赖，因为它将在本文中固定。假设2.1。我们假设int（K*t） 6= f或任何t∈ 一、此外，我们假设CT Ct+1对于任何t=0，T- 第一个假设称为有效摩擦假设。第二种是指允许在两个时段之间不进行交易。后者在无约束的情况下（即Ct）显然是令人满意的≡ Rdfor任意t∈ 一、定义2.2（NAs（P））。无严格套利条件成立，如果∈ 一、在∩L（Fut；Kt）={0}。这一条件是对classicalone准肯定设置的直接概括（参见，例如，Kabanov等人【2003年】和最近的论文K¨uhn和Molitor【2019年】中关于这一概念稍微较弱的变量）。定义2.3（SCPS）。一对（Z，Q）和Q<< 如果Zt∈ int（K*t），Q-a.s。t型∈ I和Ho Z是Q-局部超鞅H∈ L（Fu-; C）。其解释是，（Z，Q）定义了一个无摩擦无套利价格过程，该过程与{（Kt，Ct）}t定义的交易成本模型相符∈一、我们很快用SCP集和规范化SCP类来表示，即对于任何t，满足Zdt=1的SCP∈ 一、我们现在准备讨论这篇论文的主要结果。让G：Ohm → Rdbe是一个Borel可测量的随机向量，表示期权在标的资产的物理单位方面的最终回报。G的超边际价格由πK（G）：=infny给出∈ R:η ∈ HKT值+ηt- G∈ KT，P-q.s.o，（2.1），其中edis是Rd定理2.4的规范基的dthvector。假设NAs（P）。对于任何Borel可测随机向量G，πK（G）=sup（Z，Q）∈序号【G·ZT】。（2.2）此外，当πK（G）<∞.第4节给出了定理2.4的证明。

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2022-6-10 19:00:43

当只允许动态交易时，主要困难在于建立定理2.4。在下面的定理4.12中，我们将对偶性扩展到允许在有限数量的期权中买入并持有头寸的情况。在下文中，使用额外的无约束组件扩展原始市场将更加方便。更准确地说，我们可以考虑市场“K”，其中“Kt：=Kt×R+”和“Ct：=Ct×R”∈ 一、这也满足了假设2.1。很容易看出，πK（G）=πK（\'G），其中\'G=[G；0]。在双面，i:S→\'Swith i（Z，Q）=（[Z；1]，Q）显然是一个双射，且Q[G·ZT]=等式[\'G·ZT；1]]。备注2.5。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设（Kt，Ct）已经在上述形式中，对于任何t∈ 一、我们将Bayraktar和Zhang【2016】的一些结果应用于投资组合约束的情况。这些将在下一节中有用。考虑随机集的集合▄K：={▄Kt}t∈一、通过向后递归定义如下。我们让K*T： =K*Tand▄K*t： =K*t型∩conv（Γt）+C*t型, t=t- 1.0，（2.3），其中，ω∈ Ohm固定，Γt（ω）：=支持（ω）~K*t+1（ω；·）。我们将kt定义为K的对偶*t对于任何t∈ 一、以下是Bayraktar和Zhang【2016】中引理6和命题4在当前背景下的推广。这些证明是类似的，我们将其推迟到附录中。引理2.6。K*每个t的thas分析图∈ 一、提案2.7。如果K满足假设2.1和NAs（P），则K也同样适用。特别是int（K*t） 6= P-q.s.f或所有t∈ 一、 3随机化方法在本节中，我们构造了一个扩大的可测空间（^）Ohm,^F，^Fu，^F，^Fu）赋予了可测概率类^P。在这个空间上，我们构造了一个价格过程^S=（^St）t∈Iwhichre提供了一个无摩擦的金融市场∈K*t^P-q.s。

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大多数88

2022-6-10 19:00:46

对于任何t∈ I（下面的推论3.5）是无套利的（下面的命题3.9）。我们选择^Ohm:= Ohm×Rd-1和设置^Ohm =^OhmT、其中^Ohmt表示^的（t+1）倍积Ohm. 我们捐赠Ohm 过滤F：={Ft}t∈一、其中，对于每个t∈ 一、 ^Ft：=英尺 BRd公司-我们用^fut表示^F的普遍完成。类似地，^F：=B^Ohm^fu是它的普遍完成。我们简短地表示（ω，θ）∈^Ohmt对于具有ωs的形式（ω，…，ωt，θ，…，θt）的元素∈ Ohm和θs∈ 研发部-1，对于任何s=0，t、约束集合扩展到^Ohm以显而易见的方式。由于没有混淆的来源，我们仍然用C={Ct}t来表示t hem∈一、接下来，我们构建价格过程^S。回想一下，对于任何t∈ 一、 Ktis Borel可测量，因此也可测量K*t、此外，int（K*t）根据假设2.1，为非空。根据【Bouchard和Nutz，2016，引理A.1】，存在St∈ L（Ft；int（K*t））。S自K起*t型 Rd+我们可以规范化sto，例如最后一个组件，以便Sttakes values inK*,0t：={y∈ K*t： yd=1}，t∈ 一、（3.1）我们将Borel可测价格过程定义为，St（ω，θ）=[St（ω）θt，…，Sd-1t（ω）θd-1t，1]，（ω，θ）∈^Ohm, t型∈ 一、（3.2）最后一个组件用作数字。本节的其余部分致力于为每t构造所需的概率度量集^P∈ 一、我们定义了随机集Θt（ω）：={θ∈ 研发部-1： ^St（ω，θ）∈ 整数（▄K*t（ω））}，ω∈ Ohmt、（3.3）引理3.1。每t∈ 一、这是一个解析图。证据在证明中，我们将重复使用这样一个事实，即解析集的类是闭的、欠可数的并和交，而通过Borel可测函数的解析集的图像又是解析的。第1步。

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2022-6-10 19:00:50

对于任何t∈ 一、考虑随机集▄K*,d-1t：=p rojRd-1（yenK*,0t）项目接管第一个d- 1坐标和▄K*,0与（3.1）中的▄K类似。观察t hat，graph（▄K*,d-1t）=项目Ohmt×Rd-1.图表（▄K*t）∩Ohmt×Rd-1× {1}. （3.4）引理2.6，图（~K）*t）（3.4）中的交点也是解析的。由于投影是连续映射，我们得出以下结论：图（~K*,d-1t）是分析性的。第2步。我们现在显示setAvt：=(ω, θ) ∈ Ohmt×Rd-1： θit=yiSit（ω），y∈K*,d-1t（ω）+v对于任意v∈ 研发部-1和t∈ 一、这与附录中的L emma A.1一起产生了这一主张，因为图（Θt）是来自Avt的可数个分析集的交集。注意功能f：Ohmt×Rd-1× Ohmt×Rd-17→ Ohmt×Rd-1定义的asf（ω，y，￠ω，s）=ω、 ys，yd码-1sd-1.ω = ~ω(ω, -1.-1） ω6=￠ω是Borel可测的。回顾St>0和K*t型 Rd+，我们有那个avt=f图表（▄K*,d-1t+v），图表（~St）∩Ohmt×Rd-1+,其中，S是第一个d给出的过程- 1 S的分量。由于▄S是Borel可测量的，所以图（▄St）是一个B-orel集。此外，从步骤1开始，图（▄K*,d-1t+v）是一个分析集。由于f是可测量的，我们得出结论，Avtis是分析的。推论3.2。对于任何t∈ 一、随机集ΔΘt（ω）：={Δθ∈ P（Rd-1) : θ ∈ Θt（ω）}有解析图。证据ΔΘ图是Θtvia图的图像，映射为（ω，θ）7→ （ω，Δθ），这是一种嵌入（参见【Aliprantis and Border，2006，定理15.8】）。由于通过连续函数的分析集的图像再次是分析的，因此论文如下。对于t∈ {0，…T- 1} 我们定义了随机集^Pt（ω）：={P∈ P（^）Ohm) :^P|Ohm∈ Pt（ω），^P（图Θt+1（ω；·））=1}，ω∈ Ohmt、（3.5）我们将定义扩展到t=-1带^P-1： ={P∈ P（^）Ohm) :^P（图Θ）=1}，这是一个非随机集，因为Kitself是非随机的。提案3.3。（3.5）中定义的随机集^pts具有解析图。证据修复t∈ 我-1.

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2022-6-10 19:00:53

为了便于记法，将At+1表示为：=图Θt+1，这是解析函数3.1。功能1At+1：Ohmt×^Ohm→ 因此，R是上半解析的。不难看出函数φ：Ohmt×P（^Ohm) → R使得φ（ω，^P）=E^P[1At+1（ω；·）]是上半解析的（参见[Bouchard and Nutz，2015，引理4.10]的证明）。因此，集合{（ω，^P）∈ Ohmt×P（^Ohm) :^P（图Θt+1（ω；·））=1}=φ-1([1, ∞ )),是解析的，因为φ是上半解析的。具体而言，本文针对t=-1、现在0≤ t型≤ T- 1、回想一下地图πOhm: P（^）Ohm) → P（Ohm), 每个^P∈ P（^）Ohm) 它处于边缘位置Ohm, Borel是否可测量（见【Aliprantis and Border，2006，定理15.14】）。因此，正如在[Bouchard et al.，2019，引理2.12（i）]的证明中，集合{（ω，^P）∈ Ohmt×P（^Ohm) :^P|Ohm∈ Pt（ω）}也是解析的。综上所述，观察图（^Pt）是两个先前集合的交集。现在，我们证明这个类在一组足够丰富的事件上是非空的。引理3.4。假设NAs（P）。集合Nt：={ω∈ Ohmt： ^Pt（ω）=} 对于任何t∈ 我-1、特别是，对于集合N：=∪t型∈我-1Nt。证据修复t∈ 我-1、对于t=-1从命题2.7来看，Θ是非随机和非空的，因此没有任何东西可以显示。假设0≤ t型≤ T- 设Dt+1：=dom（Θt+1），它是引理3.1的解析形式。在命题3.3的证明中，函数φ：Ohmt×P(Ohm) → 使得φ（ω，P）=EP[1Dt+1（ω；·）]是上半解析的。我们推导出setBt：={（ω，P）∈ Ohmt×P(Ohm) : φ（ω，P）=1}∩ 图（Pt）（3.6）是分析图，因此，它在Ohmt、用N′t表示：=（项目Ohmt（Bt））C∈ 傅。我们证明，在NAs（P）下，N′是P极的。要看到这一点，请观察dct+1={ω∈ Ohmt+1：int（▄K*t+1（ω））=},是命题2.7中的P极性。假设存在P∈ 使得P（N′t）>0，并用{Pt}t表示∈Iits分解。

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2022-6-10 19:00:56

通过定义Bt，每ω的Pt（ω，DCt+1）>0∈ 因此，随机变量ZOhmDCt+1（ω；ω′）Pt（ω；dω′），ω∈ Ohmt、在N′t上严格正。由于P（N′t）>0，通过对P积分Pt公司-1我们得到P（DCt+1）>0。这是一个矛盾，因为DCt+1是P极的。仍然需要证明N′t=Nt。包含内容遵循Bt的定义。Takenow Ptan Fut Bt和Δθt+1的可测量选择器∈ L（Fut+1；ΔΘt+1），其中ΔΘt+1定义在推论3.2中。因为任意ω的Pt（ω，dom（Θt+1））=1∈ （N′t）C，我们可以在dom（Θt+1）的补码上任意扩展Δθt+1，并且，尽管有轻微的符号滥用，我们仍然用Δθt+1来表示它。产品测量Pt 对于任何ω，Δθt+1延伸至^Pt（ω）∈ （N′t）C。这表示（N′t）C （Nt）C本文如下。推论3.5。假设NAs（P）。对于任何t∈ 我-1，^St+1∈ 整数（▄K*t+1）^P-q.s.和任何（ω，θ）∈ NCt×Rd-1，supp^Pt（ω）St+1（ω，θ；·）=supp（ω）~K*,0t+1（ω；·）。证据IT来自Pt 对于任何Δθt+1，Δθt+1延伸至^pt∈ L（Fut+1；ΔΘt+1）和Pt是Btin（3.6）的可测量选择器。推论3.5表明，价格过程^S的参数θ的作用是“跨越”反向递归（2.3）给出的双锥。我们设置^P：={^P-1. · · · ^PT-1： ^Pt∈ L（Fut；^Pt），t型∈ 我-1}.这个类是通过Fubini定理很好地定义和构造的，正如对P所做的那样。事实上，从引理3.4来看，集合Ntis P-极性，因此，我们可以任意将任何^ptt扩展到一个普遍可测的核，尽管有点滥用符号，我们仍然用^pts表示。通过构造，我们得到了轨迹集在▄K内部取值的概率*等于1，即^P(ω, θ) ∈^Ohm :^St（ω，θ）∈ 内景K*t（ω）, t型∈ 我= 1.^P∈^P.（3.7）我们最终表明，从满足NAs（P）的模型（K，P）开始，衍生无摩擦市场（^S，^P）满足下面定义3.7的无套利条件。定义3.6。

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2022-6-10 19:00:59

我们说，当Ht+1时，过程H是egy的容许st r∈ L（^Fut；Ct）和自我融资条件（Ht+1- Ht）·St=0^P-q.s.保持0≤ t型≤ T- 1、允许策略的类别用^Hr表示。定义3.7（NA（^P））。如果（H），则无套利条件成立o^S）T≥ 0^P-q.s.表示（Ho^S）T=任何H的0^P-q.S∈^Hr。为了使用Bayraktar和Zhou【2017】的无摩擦对偶结果，我们需要验证论文中的假设3.1和5.1。请注意，在Bayraktar和Zhou【2017】的符号中，集合Ht对应于此处考虑的约束集合Ct。在NAs（P）下，推论3.5和命题2.7意味着supp^Pt（ω）（^St+1（ω；·））-^St（ω））= 研发部-1×{0}，^P-q.s.，其中，对于集合U Rd，span（U）表示其线性外壳。我们推断，Bayraktar和Zhou【2017】的集合Ht、Ht（^P）和CHT（^P），它们都与第一个d- 1套Ct的组件。由于CTI是一个凸闭锥，因此满足假设3.1 i）-ii）和5.1 i）。【Bayraktar和Zhou，2017年，备注5.2】足以验证假设5.1 ii）。特别是，我们表明at（ω，P）：=supx∈Ct（Ω）x·E^P[^St（^ω；·）]，^ω∈^Ohmt、 ^P∈ P（^）Ohm),Borel是可测量的。要看到这一点，请观察D：={（^ω，^P）：E^P|^St（^ω；·）|<∞} 当^S是Borel可测量时，是Borel可测量的（例如，参见[Bouchard and Nutz，2015，Lemma4.10]的证明）。此外，函数F（（^ω，^P），x）：=x·E^P[^St（^ω；·）]是一个特征映射，即当（^ω，^P）固定时，它在x中是连续的，当x固定时，它在（^ω，^P）中是可测量的。根据【Rockafellar和Wets，1998，示例14.15】，随机集F（（ω，P），Ct（ω））是可测量的。最后，对于anyc来说，限制为D也是Borel可测量的∈ R、 A-1t（（c，∞]) ∩ D={（ω，P）：F（ω，P），Ct（ω））∩ （c），∞) 6= } ∩ D、设^Q：={Q<<^P:Ho^S是Q-局部-超鞅H∈ L（^Fu）-; C） }。

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能者818

2022-6-10 19:01:02

以下是Bayraktar和Zhou【2017】的第3.2条，在我们的上下文中也是有效的。对于ω∈ Ohm固定，NA（^Pt（ω））对应于单周期市场的NA（^P）（^St（ω），^St+1（ω；·））。定理3.8。以下是等效的：1。NA（^P）；2、对于任何0≤ t型≤ T- 1，N′t：={（ω，θ）∈^Ohmt： NA（^Pt（ω））失效}∈ Fuis是一个^P-极集；3、对于任何P∈^P t存在Q∈^Q使P<< Q、证明。与[Bayraktar和Zhou，2017，定理3.2]的证明唯一不同的是，^Pt（ω）可能在P极集Nt上有空值∈ 傅。回顾图^Ptis分析命题3.3。因此，dom（^Pt）也是一个分析集。1.=> 2.【Bayraktar和Zhou，2017，引理3.3】证明了这一点。证明了（N′t）Cis等于集合{ω∈ Ohmt：（λ）*∩ Ct）（ω）-Λ*（ω） }，其中我们表示∧（ω）=su pp^Pt（ω）（^St+1（ω；·）-^St（ω））。在我们的框架中，上述集合必须与dom（^Pt）相交，dom（^Pt）是解析的，因此，相交是普遍可测量的。同样的证明得出N′是P极的。2.=> 3、基于【Bayraktar和Zhou，2017，引理3.4】。通用可测核qt定义Q∈^Q是在P极集合之外构造的，尤其是，它们被选为dom（Ξ）=（N′t）C的集合Ξ的选择器。在我们的框架中，相同的Ξsatifiesdom（Ξ）=（Nt∪ N′t）C，它仍然是普遍可测的P极。同样的证据可以得出结论。3.=> 1、为标准。提案3.9。NAs（P）表示NA（^P）。证据修复t∈ {0，…，T- 1}. 从定理3.8中，我们只需要证明NAs（P）意味着集合N′是^P极的。假设存在H∈ L（^Fut；Ct），这样t有（^ω）·^St+1（^ω；·）-^St（^ω）≥ 0，^Pt（ω）-q.s.推论3.5意味着H（^ω）（弱）将{St（^ω）}从集SUPPT（ω）~K中分离出来*t+1（ω；·），对于^P-极集合的补集中的任何^ω。这种分离延伸到（ω）＝conv（ω），用（2.3）表示的闭凸壳。

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2022-6-10 19:01:06

因此，我们可以重写H（ω）∈在-^St）*(^ω). 此外，从条件H（^ω）∈ Ct（^ω）=C**t（ω），我们还有H（ω）∈At+C*t型-^St）*(^ω). 最后，（2.3）表示int（≈K*t） int（在+C时*t）。我们推断h（ω）6=0=>^St（^ω）/∈ 整数（▄K*t（ω））。根据推论3.5，^St∈ 整数（▄K*t） ^P-q.s.，因此，{ω∈^Ohmt： H（^ω）6=0}是^P-极性。4超边缘对偶本节致力于定理2.4的证明。为此，我们将primaland和对偶问题与第3节构建的^Sand诱导的无摩擦市场中的随机对应问题进行比较。利用无摩擦情况下已知的对偶结果，我们得到了结果。原始问题的平等性。我们首先观察到，对K或K使用可接受的策略会产生相同的超边际价格。引理4.1。πK（G）=πИK（G）。证据自Kt起~Kt，不等式(≥) 是微不足道的。现在让我们（y，|η）∈ R×HKbe是G的超边。我们证明存在η∈ hk使得ηT=△ηTand，因此，（y，η）是一个超边缘锻件。通过定义，我们可以写出|ηT=PTt=0-kt对于某些 kt∈ L（Fut；~Kt），对于任何t∈ 一、我们观察到，从（2.3）中，~Kt=~K**t型=K*t型∩conv（Γt）+C*t型*= Kt+（Γ*t型∩ Ct）。来自【Bayraktar和Zhang，2016，引理8】，~kt=f+g，带f∈ L（Fut；Kt）和g∈L（未来；~Kt+1∩ Ct）。迭代相同的过程直到时间T- 1并回顾▄KT=KT，我们得到▄KT=ftt+。ftT，对于某些fts∈ L（Fut；Ks），s∈ {t，…t}。此外，gts：=PTu=s+1管长至L（Fut；~Ks+1∩ Cs）对于s=t，T- 1、请注意，FTS仅为s定义≥ t、对于s<t，我们将fts设置为0，以便我们可以重写▄kt=PTs=0fts。现在确定kt：=Pts=0fstandηt：=Ptu=0-库福尔t∈ 一、显然，ηT=°ηTso thatyed+°ηT- G∈ 千吨级=> yed+ηT- G∈ 千吨级。我们只剩下证明ηt∈ L（Fut；Ct）表示任何t∈ 一、为此，观察t=时，Tit从ηt=～ηt开始。t=0时。

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2022-6-10 19:01:09

T- 1，我们有tXu=0ku=tXu=0tXs=0fus+TXs=t+1fus=tXs=0（ks+gst），其中，对于第二个等式，我们在第一项中交换求和顺序，并在第二项中使用gstin的定义。上述方程式的读数为ηt=～ηt+Pts=0gst。Byconstruction，gst∈ CtP-q.s.。此外，可容许性|η意味着|ηt∈ CtP-q.s.通过证明CTI是一个凸锥，论文如下。我们现在考虑由^S定义的无摩擦市场中的超边缘问题。请注意，^Hr中的交易策略（见定义3.6）原则上可能取决于变量θ。由于该变量仅起作用，一般的^Fu可预测过程无法持续识别香港的元素。为此，我们需要将可接受策略的类别减少到只依赖于变量ω的策略。定义4.2。一致策略H={Ht}t∈Iis是满足Ht+1的Rd值进程∈L（未来 {, Rd}；Ct）对于任何0≤ t型≤ T- 1且以下自我融资条件成立：supθ∈ Θt（Ht+1- Ht）·St（·θ）=0 P-q.s。0≤ t型≤ T- 1.（4.1）我们用^H表示所有自我融资一致策略的集合。备注4.3。回想一下，^S的最后一个组件用作num'eraire。H的自融资条件∈^Hris标准，即要求-（Hdt+1- Hdt）与PD一致-1i=1（命中+1- Hit）^Sit^P-q.s.另一方面，一致的策略只取决于ω变量，因此在数值中的位置需要能够覆盖^St价格的最坏情况，这解释了（4.1）。我们在下面展示，对于任何一致的策略，（4.1）的左侧是可测量的。根据可接受策略的选择，可以在扩大的市场中计算随机变量g的两个相应的超边际价格：^πr（g）：=infy∈ R:H∈^hrt此类y+（Ho^S）T≥ g、 ^P-q.s。, （4.2）^π（g）：=infy∈ R:H∈^H使得y+（Ho^S）T≥ g、 ^P-q.s。.

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2022-6-10 19:01:12

（4.3）我们想证明，在无冲突市场中，仅使用一致的策略，G的超边际价格等于G^STin的超边际价格。为了实现这一目标，让我们首先阐述一致战略的自我融资条件。对于任何0≤ t型≤ T- 1，让Ht：=Ht+1- Htand定义F（ω，x）：=Pd-1i=1命中（ω）xi，这是一个Charath\'eodory映射。重新调用集合▄K*,d-引理3.1中步骤1的1具有解析图，因此，它是普遍可测量的（参见[Bayraktar and Zhang，2016，引理12]）。根据【Rockafellar和Wets，1998，示例14.15】，随机集F（ω，~K*,d-1t）再次可测量。我们定义φt（ω）：=sup F（ω，~K*,d-1t（ω））。观察φ对于任何c∈ R、 φ-1t（（c，∞]) = {ω ∈ Ohmt： F（ω，K）*,d-1t（ω））∩ （c），∞) 6= } ∈ Futandφ-1吨({∞}) = ∩c∈Qφ-1t（（c，∞]) ∈ 未来。我们还发现，自我融资条件（4.1）可以改写如下。- Hdt=supθ∈ Θtd-1Xi=1Hit^Sit（·，θ）=supx∈K*,d-1td-1Xi=1Hitxi=φt，（4.4），其中第二个等式来自推论3.5。定义A∞:= ∪T-1t=0φ-1吨({∞}).引理4.4。让P∈ P、 H类∈^H.o假设P（A∞) > 0。那么，对于任何n∈ N、存在^Pn∈^P使^Pn|Ohm= Pand^Pn（Pd-1i=1Hit^Sit公司≥ n）对于某些0，大于0≤ t型≤ T- 1;o 假设P（A∞) = 0。那么，对于任何n∈ N、存在^Pn∈^P使^Pn|Ohm= PandPd公司-1i=1Hit^Sit公司≥ -Hdt公司-n、 ^Pn-a.s.适用于任何0≤ t型≤ T- 1.证明。对于固定的P，我们可以采用H的Borel可测量版本（因此也可以采用φt）。我们将特征映射^F（ω，θ）：=F（ω，^St（ω，θ））定义为0≤ t型≤ T- 1和F，但不同的是，现在F是以ω为单位的Borel可测量的。根据[Rockafellar和Wets，1998，示例14.15 b）]，随机集ω→ {θ×Rd-1： ^F（ω，θ）≥ n} ω→ {θ ∈ 研发部-1： ^F（ω，θ）≥ φt（ω）-n} ，是Borel可测的，因此，它们有Borel可测图。通过将它们的图与图（Θt）相交，我们得到了两个解析集。

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2022-6-10 19:01:15

扬科夫·冯·诺依曼定理证明了普遍可测选择器θ的存在性∞tand′θ<∞t分别。如果P（A∞t）对于某些0，大于0≤ t型≤ T- 1我们让\'θt=\'θ∞对于s 6=t，我们让θsbe为Θs的任意选择器。如果P（A∞) = 0我们让\'θt=\'θ<∞t对于任何0≤ t型≤ T- 1和θTan是ΘT的任意选择器。由于P是固定的，我们采用上述选择器的Borel可测量版本。在这两种情况下，回想一下mapθ→ Δθ是Rdinto P（Rd）的一个嵌入，我们从核集合中构造一个概率测度^pn^Pt（ω，…，ωt；ω′，θ′）：=Pt（ω，…，ωt；dω′） δ′θt+1（ω，…，ωt；ω′）（θ′），对于0≤ t型≤ T- 1并将其扩展到^P-1： =P-1. 任意P的δ′θ-1.∈ P(Ohm). 已施工的^pnsaties^Pn|Ohm= P和所需的属性。引理4.5。πИK（G）=π（G·ST）。证据不平等(≥). 如果G的超边缘策略集为空，则π▄K（G）=∞这种不平等的情况微不足道。假设（y，η）∈ R×HKis是指G.definet+1的超边缘：=ηt，t=0，T- 1、因为▄kt是一个凸锥，ηT- ηT-1.∈ -~ktbyadministrability，我们有thatyed+ηT- G∈~KT=> yed+ηT-1.- G∈~KT。对于P极集合外的任意ω和任意st∈K*,0t（ω），0≤ （yed+ηT-1(ω) - G（ω））·sT≤ y+HT（ω）·sT+T-1Xt=0kt（ω）·st- G（ω）·sT=y+T-1Xt=0Ht+1（ω）·（st+1- st）- G（ω）·sT，其中第二个不等式来自kt∈KT用于任何t∈ 一、 P-q.s.回顾，从（3.7）中，我们有∈K*t^P-q.s.，它遵循y+（Ho^S）T≥ G·^ST^P-q.s.仍需证明，在不丧失一般性的情况下，η可以选择为H是可容许的。来自η∈ 我们有那个Ht=ηt- ηt-1.∈ -Kt=(-K*t）*. 特别是，这意味着Ht·St≤ 0^P-q.s.，因此，δt：=Hdt+supθ∈ Θtd-1Xi=1Hit^Sit（·，θ）≤ 0 P-q.s.考虑新策略▄η，即h▄ηt=ηt- edPtu=t的0δuF∈ 一、自命中=Hitfori=1。

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2022-6-10 19:01:18

d- 1和-Hdt=-Hdt+δt，自融资条件如下（4.4）。此外，再次使用（4.4），我们也有（|ηt- §ηt-1） ·x个≤ 0表示任意x∈K*,0t，表示￠ηt- §ηt-1.∈ -~Kt。最后，￠ηt∈ L（Fut；Ct），因为它与第一个d的ηt重合- 1协调，最后一个不受约束（见备注2.5）。我们通过观察Thayed+￠ηT得出结论-1.- G=yed+ηT-1.- edPT公司-1t=0δt- G属于▄KTS除外-1t=0δt≤ 0P-q.s.～kt是一个包含Rd+的凸锥。不平等（≤). 如果G·^sti的超边缘策略集为空，则^π（G·^ST）=∞ 这种不平等的情况微不足道。假设（y，H）∈ R×H是G·ST的超边。我们设置kT：=0，kT：=Ht- Ht+1和ηt：=Ptu=0-kufor任意t∈ 一、假设Firstp（kdt=∞) > 0表示某些P∈ P和t∈ 一、引理4.4，对于任意n∈ N、存在^Pn∈^P使-（Hdt+1- Hdt）（ω）≥d-1Xi=1-套件^Sit≥ n、 ^Pn-a.s.其中第一个不等式来自（4.1）。请注意，左边的第一项是在时间t平衡战略H的成本，因为n是任意的和Pn∈任意n的^P∈ N、我们推导出^π（G·ST）=∞ 这种不平等的情况微不足道。对于其余的证明，我们假设对于任何t∈ I（实际上，P-q.s.版本kdt{kdt<∞}是普遍可测量的）。从（4.4），kt（ω）·x≥ anyx为0∈K*,0t，表示kt（ω）∈~Kt（ω）。我们现在用（y，η）重写（y，H）的超边缘性质。对于a^P-极集合外的任何（ω，θ），我们有0≤ y+T-1Xt=0Ht+1（ω）·（^St+1-^St）（ω，θ）- G（ω）·^ST（ω，θ）=y+T-1Xt=0-kt（ω）·（^ST）-^St）（ω，θ）- G（ω）·^ST（ω，θ）=（yed+ηT（ω）- G（ω））·^ST（ω，θ）+T-1Xt=0kt（ω）·^St（ω，θ）。（4.5）我们声称这意味着：0≤ （yed+ηT（ω）- G（ω））·^ST（ω，θ），^P-q.s。

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2022-6-10 19:01:21

（4.6）为了证明该权利要求，观察（4.5）中的第一项仅通过最后一个分量θT依赖于θ，而（4.5）中的第二项仅依赖于第一个分量θT- 1θ的分量。Fixn公司∈ N、 P∈ P、引理4.4和（4.4）中存在^Pn∈^P使^Pn|Ohm= P和kt·^St=d-1Xi=1kit^Sit+kdt≤n、 ^Pn-a.s.自n起∈ N和P∈ P是任意的，我们推断（4.6）成立，并且证明了该主张。Itremains表示ξ=yed+ηT- G、 ξ·^ST≥ 0^P-q.s。=> ξ ∈~KTP-q.s.假设，通过矛盾，存在一个集合a和一个概率P∈ P使得P（A）>0和ξ（ω）/∈任意ω的KT（ω）∈ A、在不丧失一般性的情况下，我们可以取ξ的Borel可测版本。回想一下，假设▄KT=KT是Borel可测量的，因此b：={（ω，y）∈ Ohm ×Rd：ξ（ω）·y<0}∩ 图形（int（▄K*T））是Borel可测量自【Bouchard and Nutz，2016，L emma A.1】。此外Ohm 包含A。由于B是Borel，根据Jankov Von Neumann定理，存在一个UniversallyMeasureable映射sT：Ohm → Rdwith图形sT B、自图表sT 图形（int K*T）我们可以对最后一个分量进行标准化，根据【Rockafellar和Wets，1998，Theorem14.16】，存在进一步可测量的随机向量‘θtsatizingξ（ω）·ST（ω，’θT（ω））<0，ω ∈ A、对于任何0，也取Θt的\'θta选择器≤ t型≤ T- 1、对于上述任何一个选择器，我们采用Borel可测量版本。现在考虑概率测度^P∈^P从核^Pt（ω，…，ωt；ω′，θ′）：=Pt（ω，…，ωt；dω′） δ′θt+1（ω，…，ωt；ω′）（θ′），带^P-1： =P-1. 任意稀疏P的δ′θ-1.∈ P(Ohm). 注意，^P∈^P和^P|Ohm= P、 Byconstruction，^P（ξ·ST<0）≥ P（A）>0，这与假设相矛盾。双重问题的平等性。

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2022-6-10 19:01:24

摘自【Bayraktar and Zhou，2017，引理5.7】any^Q∈^Qt表示崩解（^Qt）t=0，。。。T-其中，^Qt是^Qt（^ω）的通用可测量选择器：=^P∈ P（^）Ohm) :^P<<^Pt（ω），E^P|^St（^ω；·）|<∞ 安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯安第斯^St（^ω；·）]≤ 0y∈ Ct（ω）, ^ω ∈^Ohmt、（4.7）对于t=0。T- 1、类似地，市场K的标准化SCP集由分解（Qt）t=0，。。。T-1of Q满意度|Zt（ω；·）|<∞ 和EQt【y·】Zt]≤ 0, y∈ t=0时的Ct（ω），（4.8。T- 1、提案4.6。对于任意随机向量G∈ Fu，sup（Z，Q）∈SEQ[G·ZT]=sup^Q∈^QE^Q【G·ST】。（4.9）证明。假设（Z，Q）∈通过构造，这是一幅Charath’e地图。根据Implicit映射定理（参见【Rockafellar and Wets，1998，定理14.16】），存在anF自适应过程（θt）t∈iθt：Ohmt型→ 研发部-并且使得^St（ω，θt（ω））=Zt（ω）。（4.10）用（Qt）t表示∈我-1给定Ft的Q的条件概率集合-1，扩展t ot=-具有任意Q的1-1.∈ P(Ohm). 我们使用Δθtas作为随机核，并构造概率^Q：=（Q-1. δθ) · · · （QT-1. ΔθT）。由于（Z，Q）满足（4.8）和（4.10）成立，我们推断∈此外，很明显，等式[G·ZT]=E^Q[G·ST]。相反，假设^Q∈^Q.我们将（Z，Q）定义为Q：=^Q|Ohm而且，对于每个t∈ 一、 Zt：=E^Q[^St | Ft]。用（^Qt）t表示∈我-1（分别为（Qt）t∈我-1） ^Q的解体（分别为Q）。Fr om E^Qt[y·^St+1（^ω；·）]≤ 0表示任何y∈ Ct根据Ctis Ft可测量的事实，我们推断，对于任何t=0，…，qtsaties（4.8），T-1、此外，自^Q<<^P，根据^P的定义，我们得到：i）Q<< P和ii）ZT取整数（~K）中的值*t）任何t的Q-a.s∈ 一、我们得出（Z，Q）∈此外，我们显然有EQ[G·ZT]=E^Q[G·ST]。4.1定理2.4的证明。我们现在准备证明本节的主要结果。

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2022-6-10 19:01:27

请注意，从引理4.1和4.5中，我们只能推断出当一个人限制在扩大的市场中进行一致的交易时，原始问题的等式（与（4.3）相比）。仍然需要证明的是，使用（4.2）中定义的随机策略可以获得相同的价格，换句话说，我们需要证明^π（G·ST）=^πr（G·ST）。由美国表示（^Ohmt、 t）g类：^Ohmt型→ R只通过θt依赖于θ的上半解析函数，即g（ω，θ）=g（ω′，θ′），(ω, θ), (ω′, θ′) ∈^Ohmt、 ω=ω′，θt=θ′t。单周期情况。我们首先获得了T=1的结果，这将构成一般情况下的构建块。提案4.7。假设T=1和g∈ 美国（^OhmT、 T）。如果NA（^P）为真，则^π（g）=^πr（g）。证据不等式^π（g）≥ πr（g）是平凡的。反之，设Bn（0）为圆心为0，半径为n的封闭球inrdw∈ N、交叉点▄K*,0∩ Bn（0）是Rd的Ona紧子集×{1}上的紧集形式-1、回顾^Pfrom（3.5）和letP的定义-1.∈ P(Ohm) 要专横。我们定义了^Pn：={（P-1. δθ) ^P：θ∈ On，^P∈^P}^P.用^pnreplacement^P表示^π和^πrin方程（4.2）和（4.3）的类似物，并注意，通过构造，{πn（g）}和{πrn（g）}分别在^π（g）和^πr（g）的基础上增加序列。我们现在使用inBouchard et al.（2019）的极大极小参数来推断出^πn（g）=infH∈Csupθ∈ Onsup^P<<^PE^P[g- H·（^S）-^S）]=supθ∈ OninfH公司∈Csup^P<<^PE^P[g- H·（^S）-^S）]=^πrn（g）。回想一下，圆锥体K*,0是非随机的。因此，在扩大的市场中，唯一相关的变量是θ。为了证明上述观点，充分观察函数（H，θ）7→ sup^P<<^PE^P[g- H·（^S）-^S）]=支持<<^PE^P[g- H·S]- H·^S（ω，θ）对于θfixed在H中是凸的，对于H fixed在θ中是模糊的。因此，我们可以应用极大极小定理[Terkelsen，1972，推论2]。

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2022-6-10 19:01:30

If^πr（g）≥ 画→∞^πrn（g）=∞, 然后^πr（g）≥ ^π（g）完全成立，证明是完整的。假设限制是有限的。设ε>0为任意值，对于anyn∈ N、让Hn∈ Cbe是^πn（g）的ε-最优策略，即^πn（g）+ε+Hn·（^S（ω，θ）-^S（ω，θ））≥ g（ω，θ），（4.11），对于a^P-极集合外的任何（ω，θ）和任何θ∈ 在…上如果{Hn}n∈N Cis有界，我定义了一个收敛的子序列。用“H”表示其极限。从（4.11），在×{1}↑K*,0和πr（g）≥ 画→∞^πrn（g）=limn→∞πn（g），它保持πr（g）+ε+’H·（S-^S）≥ g、 ^P-q.s其中^π（g）≤ πr（g）+ε。我们现在证明，如果{Hn}n∈N Cis无界，它与SNA（^P）相矛盾。这与ε>0的任意值一起产生所需的不等式。若要查看此除法，请使用CN：=kHnk（4.11）的两侧。由于假定^πn（g）=^πrn（g）有界，因此^πn（g）/cn收敛到0。Hn/cn属于Rd的紧致球，因此，存在“H WITH k”Hk=1这样的Hn/cn→(R)H（直至提取子序列）。请注意，H∈ Csince Cis已关闭的目录。通过与上述相同的论证，这意味着“H·（^S-^S）≥ 0，^P-q.s.回顾（3.7），条件NA（^P）意味着“H=0”，这是一个矛盾，因为k“Hk=1。证据到此结束。注意，如果G：Ohm → Rdis是一个Borel可测向量，G·ST:Ohm → R是一个仅通过θT依赖于θ的Borel可测函数。特别是命题4.7，连同引理4.1和引理4.5，得出πK（G）=πR（G·ST）。定理2.4对于T=1的证明。根据提案3.9，NAs（P）将NA（^P）用于扩大的市场。根据引理4.1、引理4.5和命题4.7，πK（G）=πr（G·^ST），这是G·^ST在扩大市场中的超边际价格。

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2022-6-10 19:01:33

我们证明了πK（G）=πr（G·ST）=sup^Q∈^QE^Q[G·^ST]=sup（Z，Q）∈序号【G·ZT】≤ sup（Z，Q）∈序号【G·ZT】。事实上，第二个等式源自【B ayraktar and Zhou，2017，定理4.3】，在观察到当Cis为圆锥体时，上述论文中的aq是有限的当且仅当^Q∈^Q.第三个等式来自命题4.6，最后一个不等式来自▄ S、 Converse不等式源自标准参数。根据【Bayraktar和Zhou，2017，定理4.3】，当价格确定时，在扩大的市场中存在最优的超边缘策略。引理4.1和4.5的证明提供了原始市场中最优策略的构造。多期案例。根据【Bayraktar和Zhou，2017，引理3.4】，（4.7）中的^Qtas每0≤ t型≤ T- 1、给定gt+1∈ 美国（^Ohmt+1，t+1），我们定义为：Ohmt型→ R为gt（^ω）=sup^Q∈^Qt（^ω）E^Q[gt+1]（4.12）g′t：Ohmt×Rd→R为g′t（ω，h）=supθ∈ Θt（ω）{gt（ω，θ）- h·^St（ω，θ）}，（4.13），其中Θtas在（3.3）中。可以显示gt∈ 美国（^Ohmt、 t）。事实上，可测性性质完全来自于证明的第一行中的相同论点【Bouchard和Nutz，2015，引理4.10】。此外，GT仅通过^St依赖于θ，因此，仅通过θt（见（3.2））。现在回想一下，两个上半解析函数之和也是上半解析函数（参见[Bertsekas and Shreve，1978，引理7.30]）。由于^Stis B orel可测量，我们推断gt- h·^sti是（ω，h，θ）的上半解析函数。从引理3.1和[Bertsekas和Shreve，1978，命题7.47]我们推断g′是上半解析的。设▄Ptbe为上的概率集Ohmt×Rd-1×^Ohm由￠Pt（ω）给出：={（Δω δθ) ^P：（ω，θ）∈ 图Θt，^P∈^Pt（ω）}，ω∈ Ohmt、回想一下，推论3.2中的随机集^ptan和ΔΘ具有解析图。

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2022-6-10 19:01:36

从mapx 7开始→ δxis嵌入与映射（P，Q）7→ PQ是连续的（见[Bertsekas和Shreve，1978年，引理7.12]），因此也有解析图。引理4.8。对于任何0≤ t型≤ T- 1、函数f：Ohmt×Rd×Rd→定义的asf（ω，h，x）=supP<<Pt（ω）EP燃气轮机+1- h·St- x·（^St+1-^St）（4.14）是一个普遍可测的正规被积函数。证据D enote by f▄P（ω，h，x）上确界为t的（4.14）右侧的函数。F r om【Rockafellar和Wets，1998，推论14.41】我们需要检查：1。对于任意（ω，h）∈ Ohmt×Rd，函数f（ω，h，·）是下半连续的。2、对于任意x∈ Rd存在ε′>0，因此，对于所有ε∈ （0，ε′），函数ψε：（ω，h）7→ 在fx中∈Bε（x）f（ω，h，~x）是普遍可测的，其中Bε（x）表示半径ε以x为中心的闭合球。由于fP（ω，h，·）对于每一个P都是连续的，并且连续函数的点态上确界是下半连续的，因此第一种说法如下。任意考虑ε>0。我们首先表明，对于任何（ω，h），ψε（ω，h）=supP<<Pt（ω）inf▄x∈Bε（x）f▄P（ω，h，▄x）。这源于极大极小定理的应用（参见[Terkelsen，1972，推论2]）。Bε（x）是一个紧集，对于固定的▄x，映射f▄P（ω，h，▄x）在▄P中是线性的（因此是凹的）。另一方面▄P<<~Pt（ω）}是一个凸集，对于固定的▄P，映射f▄P（ω，h，▄x）是有限的（henceconvex）并且在▄x中是连续的。我们可以重写inf▄x∈Bε（x）f▄P（ω，h，▄x）=f（ω，h，▄P）+f（ω，P），其中f=E▄燃气轮机+1- h·St, f=- supx∈Bε（x）EPx·（^St+1-^St）.上半解析函数Ohm ×Rd×P(Ohm) （见【Bouchard和Nutz，2015，Lemma4.10】）。我们认为fis是一个Borel可测函数（因此是上半解析函数）。给出这个定理，我们观察到f+f再次是上半解析的。

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