这里的想法是，如果调查是有系统的，那么约束的Cm可能是无约束的。它之所以具有约束力，是因为调查成本高昂，从而减少了它所面临的预期惩罚。其结合程度取决于预算相关参数B和κ：见（27）|G | S（a）| G | S（b）图8：引入约束：两种可能的场景。我们处于何种情况，这是一个先验的相当不清楚的事实。表示OK=O∩ CK。Ok是第4.2.2节中得出的一组有效罚款，在预算约束下仍然可行。在预算限制下，这些处罚仍然有效。此外，通过直接计算，我们得出当C在OK中变化时，| G |描述区间|G | min（K），,式中| G | min（K）：=1.- （2K）3/2. （28）在| G | min（K）的右侧（在（| G |，S）平面）截断之前的有效边界是预算约束下的有效边界的一部分。根据以上讨论，关键问题是要知道| G | min（K）左边发生了什么。定理11表明，没有惩罚可以实现|G |<|G | min（K）（即我们处于panel（b）的情况下）。这立即暗示了约束边界的特征：定理10约束C下的有效边界≤ K是截断| G |≥|定理7的有效前沿的G | min（K），并通过惩罚inOK精确实现。定理10是以下结果：定理11让K≤ 1/2.

在约束C下≤ K、 不知情交易员的预期损失至少为| G|≥ |G | min（K）。该下限由0的需求计划Xα获得≤ α ≤ 1.-√2K，仅通过xα，其中xα（v）=v 0≤ v≤ αα<v≤ α +√2Kv v>α+√2公里-Xα(-v） v<0。这些需求计划由惩罚Cα实施，其中Cα（x）=KI | x |>α。定理11表明，不能用C实现| G |<G | min（K）∈ CKand提供实现| G |=| G | min（K）的函数Cα。虽然Cα意味着未知情交易者的预期损失相同，但它们都意味着不同的预期交易后标准差。尤其是，α6=0的所有Cα都不是有效惩罚。我们通过几次讨论来补充证明，因此在单独的部分中呈现。5.1.2定理11和直觉步骤1的证明：将问题转化为约束条件下的距离最大化问题。回忆方程（21）：| G |=-Z（v- X（v））dv。这意味着获得定理的界相当于显示Maxc∈CKZ（v- X（v））dv=（2K）3/2，（29），受X（v）最大化净利润ψC（.，v）的约束。设g（v）=v- X（v），所以我们在寻找g的上界。引理5和约束C下≤ K、 我们得到：Zg=Zv dv-ZX（v）dv=- πN（1）≤ K、 （30）这是因为，当v=1时，IT至少可以实现净利润- C（1）≥- K、 因此，根据约束条件（i）Rg，（29）中的最大值小于或等于Upzg≤ K、 和（ii）g（0）=0≤ g（v）和v 7→ v- g（v）是非递减的。（i） 来自（30），（ii）是最优需求计划X属性的直接结果。注意引理5是多么重要，因此Milgrom和Segal（2002）的结果是多么有效。

曾经注意到C（1）≤ K表示净利润的下界为1，引理5允许（i）以节省的方式合并约束X是最大化器，（ii）减少两个约束-C≤ K和X必须将ψC-最大化为单个条件Rg≤ K、 这特别方便，因为这是最大化问题中的一个Lbound。缺少X必须是非递减的事实，这转化为v 7→ v-g（v）是非递减的，主体toRg的最大值=K（和0≤ g（v）≤ v） 将是标准的：为了“尽可能无条件地分散质量”，可以选择g（v）=vIv≥v*带RV*v dv=K。然而，这是不可行的，因为它违反了单调性约束。gα：v 7→ v- 因此，Xα（v）是自然的候选最大化器，因为它们以类似的方差最大化精神构造，但尊重单调性约束。gα都具有相同的Lnorm，但在不同的时间间隔内远离零。这暗示了一个事实，即对于一般函数g，当试图在RG上找到一个界时，我们将无法知道g在哪里必须是小的或大的，因此对g的把握很小。然后，我们的想法是考虑g的重分函数Д，因为（i）可以用Д的矩重建g的矩（见步骤3）和（ii）g在哪里大并不重要，只是它的大频率有多高。事实上，所有的gα都有相同的重划分函数，这表明这是正确的观点。图9：使用重划分函数对任意函数f和x 6=y进行gf变换，设τx，yf=f（y）- f（x）y- x、 因为x是非递减的，所以我们有τx，yg≤ 1（31）对于所有x 6=y。现在，定义Д（z）=u（{x，g（x）≥ z} ）。第2步：（31）表示τx，yД≤ -1（32）对于所有x<y，使得Д（y）>0。g受单调性约束（即v 7→ v- g（v）必须是非递减的），我们需要将其转换为一个约束。

很明显，如果g在速度1时增加，则Д在速度1时减少。我们在这里展示的是，如果g在小于1的速度下增加，那么Д在大于1的速度下减少。由于y>0，集合{u，g（u）≥ y} 是非空的，所以我们可以考虑u+=inf{u，g（u）≥ y} 。因为g（0）=0≤ x我们还可以定义-= sup{u≤ u+，g（u）≤ x} 。由于（31），函数g不能向上跳，因此g（u-) = x和g（u+）=y。通过u的构造-和u+，我们有：[u-, u+） {u，g（u）∈ （33）自τu起-,u+g≤ 1、我们有：u+- u-≥ g（u+）- g（u-) = y- x、 （34）我们现在可以得到（32）：τx，yν=u（{u，g（u））≥ y} )- u（{u，g（u））≥ x} ）y- x=-u（{u，g（u））∈ （x，y）}）y- x个≤ -u（[u-, u+）y- x个≤ -1、3号线使用（33），4号线是（34）的结果。步骤3：将g的力矩表示为φ力矩的函数。回想一下thatZg=ZZg=2Zy（y）dy.（35）的确，Zg（y）dy=ZZI0≤s≤g（y）ds dy=Zuu、 g（u）≥ sds=Zuu、 g（u）≥√sds=2ZyИ（y）dy，使用变量y的变化=√s、 （35）中的另一个等式也得到了类似的证明。步骤4：转化为关于转换的功能最大化问题。使用前面的讨论，supC∈CKZ（v- X（v））dv≤ 2个辅助单元∈Φ≤KZyИ（y）dy≤ 2个辅助单元∈ΦKZyИ（y）dy（36），其中Φ≤Kis可测函数集φ : [0, 1] → [0，1]，supx，yτx，yД≤ -1，RИ（y）dy≤ K和ΦK={Д∈ Φ≤K、 RИ=K}。显然，在（36）中，第1行的右侧等于第2行的项。定义ДK（z）=最大值√2公里- z、 0或0的0≤ z≤ 1、请注意∈ ΦK.如果Д∈ ΦK，Д（0）≥ ^1K（0）。否则，使用τ0，yν≤ -1，^1（y）≤ φ(0) - y<ДK（0）- y≤ ^1K（y）。因此，RД（y）dy将严格小于K=RφK（y）dy = φ - ^1K：我们证明了这一点(0) > 0. 此外，根据结构，R（y） dy=0。定义=inf{y，（y）≤ 0}.因为τy，yν≤ -1、我们有（y）≤ y>yand为0（y）≥ y<y时为0。

因此：ZyИ（y）dy-ZyИK（y）dy=Zy（y） dy=Zyy（y） dy+Zyy（y） dy公司≤ yZy公司（y） dy+yZy（y） dy公司≤ 图10：最大化器g的变换Д必须为ДK。（i）从点Д（0）<ДK（0）（y轴上的最厚点）开始，Д（实心黑色曲线）保持在虚线下方，因此其积分小于灰色区域的面积，其本身低于K。（ii）穿过ДK后，Д必须保持在ДK下方。在这里，交叉通过向下跳跃的Д发生。因此，（36）中的上确界只能通过函数ДKand等于zyДK（y）dy=Z来获得√2Ky(√2公里- y） dy=（2K）3/2，这建立了定理的界。步骤5：（29）中的最大值仅通过需求计划（Xα）α获得∈[0,1-√2K]定义在定理中。首先，很容易看出这些需求计划在（29）中达到了最大值。这表明他们是唯一这样做的人。设X是在惩罚C下获得的需求计划∈ C、 C类≤ K、 让我们假设它在（29）中达到最大值。如步骤2所示，考虑与g（v）=v相关的函数- X（v）。然后，函数Д为（36）的最大值，通过步骤3，Д=ДK。Sincesupxg（x）≥ sup{x，Д（x）>0}=sup{x，ДK（x）>0}=√2K，g（v）的上确界至少为√2K。让我们注意一下：supvg（v）=supvsups∈[0，v]g（s）。自τ起。，。g级≤ 1，函数g（v）=sups∈[0，v]g（s）是连续的：g（v）的上确界和g（v）的上确界是在点v处获得的。因为τ。，。g级≤ 1，v≥√2K和v∈ 【五】-√2K，v]，g（v）≥ v- 五+√2K。自g起≥ 0，我们获得ZG≥零电压-√2公斤≥零电压-√2K（v- 五+√2K）dv≥ k等于当且仅当g=0外[v-√2K，v]和g（v）=v- 五+√2K超过[v-√2K，v]。但必须有相等，因为g∈ ΦK。因此g具有上述形式，需求函数X由X（v）=v给出- g（v）等于理论中所述的Xα，α=v-√2K。步骤6：很容易看出需求计划Xα是由惩罚escα实现的。

这样就可以得出定理的证明结论。定理10的一个结果是，不可能从监管者的选择中推断出她是否受到约束。在非金钱的情况下，受约束性预算约束的监管者的行为就像一个不受约束的监管者，会减少未知情交易者的损失。在下一节中，我们研究了罚款的情况，并表明，与之前的结果相比，限制的引入创造了新的效率点。理论上，如果观察到调节者选择了其中一个点，就意味着她受到了约束。5.2罚款我们现在考虑监管机构收取的罚款。为简单起见，我们维持常数α的假设，并假设▄C上的电位上限不受约束。我们认为，监管机构必须有一个预期中的平衡预算。预算约束（26）转化为ακ≤ B+E[C（X（v））]。（37）如果B≥ ακ，由于我们假设▄C上的潜在上限没有约束力，因此没有约束，我们回到第4节研究的情况。因此，有趣的情况是B<ακ。定义12有效曲面∑是由任何C∈ C这样没有C∈ C可以弱地（i）增加G，（ii）减少S，（iii）增加F，至少（i），（ii）或（iii）中的一个事实上是严格的。回想一下，G、S和F分别表示未知情交易员的损益、预期交易后标准差和预期收集的数据。

在方便的情况下，我们使用符号G（X）、S（X）或F（X）表示需求表X.5.2.1有效表面的表征J是一组指标J：=（x，y），0≤y1+y≤ x个≤ y≤ 1..定理13空间（G，S，F）中有效曲面∑的参数方程为（vv- 1);√+（vv+vv）;vv（3- 2伏- 五）（五、五）∈Jand这完全是通过需求计划（Xv，v）（v，v）实现的∈JVV，v（v）=0伏∈ [0，v]vv-v（v- v） 五∈ （五，五）五∈ （五、1）-十五、五(-v） v<0。这些需求函数可以通过惩罚（Cv，v）（v，v）来实现∈J∈ 其中，Cv，v（x）=（v | x|-v2vx | x|≤ vvv | x |>v。图11：有效表面∑。图12：在财政预算约束下的有效需求计划和惩罚函数。证明定理11和定理13有一个关键的区别。在这里，加权目标的最自然的条件优化者，即逐点最小化器，被证明是一个可实施的需求计划。由于逐点最小化是一项简单的任务，定理13的证明相当简单。在提供REM 11时，这种方法是不可能的。证据作为引理5的结果，在平衡状态下，预期满足度[C（X（v））]=ZX（v）v-X（v）dv-Z（1- v） X（v）dv，我们在约束E[C（X（v））]≥ K、 通过引理6，预期贸易后标准偏差的上限约束转化为约束TZVx（v）dv≥ K、 这导致我们考虑以下最小化问题：minXZX（v）v-X（v）dv+γK-ZX（v）v-X（v）dv+Z（1- v） X（v）dv+ ηK-ZvX（v）dv,对于某些重量γ，η≥ 通过收集项，我们得到该程序等价于tominXZX（v）γ + (1 - 2γ - η） v+γ- 1X（v）0的dv（38）≤ v≤ 1，定义值：[0，v]→ Rx 7→ x个γ + (1 - 2γ - η） v+γ- 1台情况1：γ>1。Pv是一个具有正加载系数的二阶多项式对[0，v]的限制。

因此，它在0、v或满足一阶条件时达到其最小值，例如在x（v），并且x（v）在0时达到最小值≤ x（v）≤ v、 给定thatx（v）=（2γ+η- 1） 五- γγ - 代数表明arg max Pv=0伏≤γ2γ+η-1x（v）γ2γ+η-1.≤ v≤γγ+ηv>γγ+η。设v=γ2γ+η-1和v=γγ+η。我们已经得到，对于定理中给出的函数Xv，v，等式arg max Pv=Xv，v（v）成立。直接计算表明，Xv，vis由Cv，v实现。这意味着我们已经找到了一个可实现的需求计划，该计划在（38）点方向上使积分最大化，这意味着Xv，vis是程序（38）的一个最小值，并且是唯一的一个，因为（38）中积分的点方向最小值具有唯一的解决方案。情况2：γ≤ 1.Pv现在可以是线性的，也可以是负前导系数，这意味着它的最小值可以在0或v处达到。代数表明arg max Pv=v（对于0≤ v≤ 1） 当且仅当γ+2η≥ 1（39）和V≥ v*:=γη +3γ-,其中，根据条件（39），v*∈ [0, 1]. v=v=v时*我们和前面一样得出结论，Xv，vis是（38）的唯一极小值。最后，如果（39）不满足，则（38）的最小值等于零，这对应于定理中定义的X1,1。最后，很容易看出，上面构造的（v，v）将集合J描述为γ，η≥ 0vary，J是定理中规定的指数族。因此，J中的任何指数都对应一个有效的需求函数。

这表明（Xv，v）（v，v）∈Jis高效需求函数系列。证明是完整的，因为我们得到的最大值集为γ，η≥ 0 vary是连通的，这意味着我们已经找到了有效曲面的所有点。5.2.2各种监管机构预算的有效性（G，S）边界假设监管机构有预算B，这转化为约束F=E[C（X（v））]≥ Fmin：=ακ- B、 定义14:Fmin有效边界是一组非支配点inF（Fmin）：={（G（X），S（X）），由一些C∈ C带E[C（X（v））]≥ Fmin}。我们现在可以从有效曲面∑（表示πGS：（G，S，F）7构建Fmin-efficient前沿→ （G，S）平面上的投影：引理9有效前沿是πGS（σ）的点集∩ {F≥ Fmin}）在πGS（∑）中不占优势∩ {F≥ Fmin}）。证据参见附录A。这意味着要获得有效边界，必须首先投影∑的相关点（G、S、F），然后选择平面上有效的点（注意，第二步是必要的，因为有效曲面上的点的投影通常不是有效边界的点）。∑是通过解决一个优化问题发现的，从中可以几何地推导出Fmin-efficient前沿：我们不需要再次解决最小化问题。我们现在可以提供Fmin有效边界：见图13.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 | G | 0.380.40.420.440.460.480.50.520.540.560.58SFmin=0.08Fmin=0.07Fmin=0.055Fmin=0图13：各种约束下的效率（| G |，S）边界F≥ Fmin。关于非金钱处罚的案例，出现了一个重要的差异。这里，有效边界不是在没有约束的情况下得到的边界的截断。

当然，O中的惩罚将实现F≥ Fminar仍然是最小效率边界的一部分，但出现了新的约束效率点（虚线弧），这与之前并非最优的惩罚函数和需求计划有关。对于Fminverylarge，最小边界甚至不会与无约束边界相交。要了解原因，请注意，C实现的O ismax{F（X），X中惩罚下的最大期望值∈ O} =最大值0≤K≤1/2公里1.-√2公里=≈ 0.074，通过K=。这意味着如果Fmin>，O中的罚款不允许平衡监管机构的预算。事实上，提供最高期望值（不考虑S和G）的惩罚是C，1（在定理13中定义），它给出F=。从引理9中，我们知道失效前沿点对应于∑中的点，这意味着它们与OREM 13中定义的表格Xv、vde的需求计划相关。了解预算约束如何≥ Fmin修改了最佳策略的性质，图14绘制了Fmin有效边界上使用的（v，v）图，用于Fmin的各种值。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1v100.10.20.30.40.50.60.70.80.91v2Fmin=0.08Fmin=0.07Fmin=0.055Fmin=0图14：与各种约束相关的有效需求函数Xv的指数（v，v）≥ Fmin。如图所示，红色填充点对应于（v，v）≈ （0.48，0.61）表示需求计划表X0.48,0.61（其中Xv，见定理13），并表示当监管机构的预算约束为Fmin=0.07时，该需求计划表实现了效率边界的一个点。当Fmin=0时，我们得到线v=v，在这种情况下，Xv，vis由惩罚执行∈ O、 符合第4.2.2节。我们观察到，随着Fmin的增加，需要扩大差距v-v

直觉是，需求表XV、vbest中【v，v】上的线性部分解决了insidertrader的大型企业和大型交易量之间的交易，并允许收集相对较高数量的预期企业。例如，回想一下，暗示最高预期产量（1/12）的需求计划有v-v=。当监管机构必须通过收集资金来平衡预算时，一些以前的最佳策略不再可行，因为它们不会诱导内幕交易者支付足够的预期资金。出现了新的约束点，修改了有效惩罚的类别，以及均衡需求计划和价格函数-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2d=X（v）+u-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81P（X）（d）P（Xv2，v2）P（Xv1，v2）图15：价格函数的新模式。v=0.5和v=0.75。图15比较了无邻接约束的需求计划表Xv、vand和有约束的需求计划表Xv、v所隐含的价格函数。相反，顶部（Xv，v）、P（Xv，v）没有浮动部分，并且到处都在增加。特别是，在无约束的情况下，随机价格部分是离散的：在正概率下，它将等于P（Xv，v）的一个纵坐标。相反，在巨大预算约束的情况下，随机价格具有连续密度。参考Bagnoli，M.、S.Viswanathan和C.Holden（2001）：“关于市场标记模型中线性需求libria的存在”，数学金融，11（1），1-31。Boulatov，A.、A.Kyle和D.Livdan（2013）：“单周期Kyle’85模型中均衡的唯一性”，工作文件。Kyle，A.（1985）：“持续拍卖和内幕交易”，《计量经济学》，53（6），1315–1335。McLennan，A.、P.Monteiro和R.Tourky（2017）：“关于Kyle模型平衡的唯一性”，数学。芬南。

经济。，11, 161–172.Milgrom，P.和I.Segal（2002）：“任意选择集的包络定理”，计量经济学，70（2），583-601。Rochet，J.-C.和J.-L.Vila（1994）：“不正常的内幕交易”，《经济研究评论》，第61131-152页。SEC（1998年）：“内幕交易：美国视角”，SEC Staff的演讲。额外的证据A。1支架标准化[-1，1]假设u~ U型(-a、 a）和v~ U（b，c），a>0，b<c。我们想将这些噪声项和惩罚c的非平衡映射到归一化噪声的平衡。设C（x）=σC（ax）-1.≤ x个≤ 1、Cde在C中定义了一个惩罚。设（X，P）为K（C）在均匀噪声分布下的平衡[-1，1]，允许的需求I=[-1, 1]. 设Φ为线性应用程序映射[b，c]到[-1，1）]：Φ（v）=c- bv公司-c+bc- b与引理1类似，预期价格函数必须为^P（x）=m+σx2a，其中m=b+c，σ=c- b、 对于任何v∈ [b，c]，IT ismaxx的最大化计划∈[-a、 a]xv- m级-σ2ax- C（x）。这可以重写为asmaxx∈[-1,1]（ax）v- m级-σ2a（ax）- C（ax）。或：（aσ）maxx∈[-1,1]xv/σ- m/σ-x个- C（x），通过x的定义，该程序的解由x给出v-mσ= X（Φ（v））。再确认IT的实际需求是x=ax，我们得到x（v）=axv- mσ= aX（Φ（v））。我们也可以用P来表示价格函数。由于Φ是线性的，我们可以写ep（d）=E[v | d]=Φ-1（E[Φ（v）| X（v）+u=d]=Φ-1.EΦ（v）| aX（Φ（v））+a（u/a）=d= Φ-1.Ev | X（v）+u=承兑交单= Φ-1.P（承兑交单）,因为v=Φ（v）和u=u/a是独立的u(-1，1）变量。所以噪声的平衡u~ U型(-a、 a）和v~ U（b，c），处罚c和可受理要求I=[-a、 a]可以映射到K（C）的平衡，具有归一化噪声和容许需求I=[-1, 1].

通过相同的过程，可以进行反向映射。缺席处罚，X（v）=2ac-bv公司- ac+bc-波段v处的利润由x（v）给出v-b+c-c- b4aX（v）=交流电- bv-c+b.一旦v超出B+c±rc，这将补偿成本K- 当v∈ {b，c}，其中它等于a（c- b） 。最后，我们注意到感兴趣的模型数量（S、G和F）被一一映射，并且无论选择的支持度如何，其排名都是相同的，即断言“S<S”、“G<G”或“F<F”不取决于我们考虑的支持度。因此，选择[-1，1]当我们假设均匀分布和集中的无信息交易者需求时，噪声的支持就不会失去一般性。A、 2命题1使用引理6，我们可以-G=ZX（v）v-X（v）dv=1-√3秒-ZX（v）dv。（40）通过Cauchy-Schwarz不等式ZvX（v）dv≤ZvdvZX（v）dv（41）≤ZX（v）dv-ZX（v）dv≤ -ZvX（v）dv=-(1 -√3S）。把这个插入（40），我们得到≥√3秒- 1 +(1 -√3S）。（42）该不等式确定了给定G的最大可能S。但（42）中存在等式，当且仅当Cauchy-Schwarz界（41）中存在等式。如果且仅当左侧的两个函数是共线的，即如果X（v）与v成正比：X（v）=βv，则为这种情况≤ X（v）≤ 0的1≤ v≤ 1, β ∈ [0; 1]. 我们最后指出，如果β∈ [0；1]和γ∈ [0; ∞] 定义为γ=2β-, 二次惩罚C（x）=γx（v）=βv.A.3引理8我们首先需要引入一些定义：设f是定义在[0，1]和x上的函数∈ [0, 1]. 我们定义：D-f（x）=lim supx%xf（x）- f（x）x- x、 D-f（x）=lim infx%xf（x）- f（x）x- x、 可以类似地定义D+f（x）和D+f（x）。

让我们回顾一下局部最大值函数满足的一阶条件。如果x*是f的局部最大值，则：D+f（x*) ≤ 0，D-f（x*) ≥ 0我们还将使用以下实分析结果：引理10任何在]0，1]上具有空左导数的连续函数f都是连续的。设C为惩罚函数，使其策略满足任何v∈ [0，1]，X（v）要么是0，要么是v。因为它的策略是非递减的，所以对于任何v都存在X（v）=0∈ [0，v[和X（v）=任何v的v∈]v、 1）。此外，惩罚函数C在]v，1]上必须是连续的。确实，如果v>v≥ v、 使用X（v）=v，v的事实v-v- C（v）≤ vv-v- C（v），因此，由于C是非递减的，0≤ C（v）- C（v）≤ vv-v- vv-v.将极限值视为v到v，我们可以看到C在v处是右连续的。因为根据假设，它在[0，1]上是左连续的，所以惩罚函数C在[v，1]上是连续的。让我们证明C在v，1]上有一个空的左导数。如果v∈]v、 1]，我们知道，在v:v时，v是一个利益最大化者∈ 参数maxxfv（x）：。使用lowerleft导数D的一阶条件-如上所述，在v，D-fv（v）≥ 0.自D起-fv（v）=-D-C（v），我们得到-C（v）≤ 然而，C在增加，所以左下和左上导数必须是正的：0≤ D-C（v）≤ D-C（v）。因此：D-C（v）=D-C（v）=0。这意味着成本函数C在任何v上都允许左导数∈]v、 1]，左导数的值为零。因此，C是连续的，并且在[v，1]上有一个空的左导数。利用引理10，我们得到C在]v，1]上是常数。让我们用K表示这个区间上C的值。IT不交易v∈ [0，v）。

在这种情况下，因为我们知道0≤ X（v）≤ v、 我们一定有x个∈ [0，v]，xv-x个≤ C（x）。通过左手项的连续性和右手项不递减的事实，我们得到x个∈ [0，v]，xv-x个≤ C（x）。x=v必须相等，否则在v的右邻域上选择x（v）=v将不是最优的。出于同样的原因，C不能在v处跳跃。这意味着vv-v= K、 或v=√2K，因此C必须属于O。反过来假设C∈ O、 然后对于0≤ v<v，内幕交易者如果进行交易，将产生负预期收益，因此X（v）=0。对于v>v，有两种情况需要考虑。（i） 它播放x≥ v、 在这种情况下，预期罚款K显示为沉没成本，最佳选择是x=v，导致净利润为v- K、 （ii）IT播放x∈ [0，v）。网络性能为Xv-x个- C（x）=xv-x个- C（x）+x（v- 五）≤ x（v）- 五）≤ v（v- v） 其中第二行使用C∈ O、 自1995年以来- K=v-v=（v+v）（v- v） >v（v- v） ，首选选项（i）。因此，如果C∈ O、 X（v）=0表示| v |<vand X（v）=v表示| v |>v，从而得出证明结论。A、 4引理9（i）我们首先表明，Fmin-efficient前沿包含在πGS（σ）的点集中∩ {F≥ Fmin}）在πGS（∑）中不占优势∩ {F≥ Fmin}）。让（G，S）处于有效边界。根据定义，有X个是由C实现的∈ C这样G=G（X），S=S（X），F：=E[C（X（v））]≥ Fmin。只有两种情况是可能的：（a）（G、S、F）∈ ∑or（b）（G，S，F）在所有可实现点的闭包（in R）中由一个非支配点（G，S，F）支配，这正是∑。

（（G，S，F）通过构造一个序列（Gn，Sn，Fn）来获得，其中每个点支配前一个点，并将（G，S，F）定义为其极限，或将（G，S，F）定义为（Gn，Sn，Fn），如果程序停止于N），则为（Gn，Sn，Fn）。在情况（a）中，我们看到（G，S）=πGS（G，S，F）∈ πGS（∑）∩ {F≥ 因为它位于Fmin有效前沿，所以它不能在该空间中占主导地位。在（b）的情况下，由于（G，S）处于有效边界，我们必须有G=和S=沙F≥ Fmin，so（G，S）=πGS（G，S，F）∈ πGS（∑）∩ {F≥ Fmin}），我们的结论与案例（a）相同。（ii）让我们展示另一个包含项。只要证明一个点在inF（Fmin）中被控制，它在πGS（∑）中被控制就足够了∩ {F≥ Fmin}）。Let（G，S）∈ πGS（∑）∩ {F≥ Fmin}）和F与该点相关。假设（G，S）在F（Fmin）中占主导地位，比如（G，S），与F相关≥ Fmin。如前所述，（G、S、F）∈ ∑or（G，S，F）由∑中的一个点控制。在这两种情况下，这意味着∑中都存在一个点∩ {F≥ Fmin}，其投影占主导地位（G，S）。这就是证明。B稳健性检查：高斯噪声的情况B。1高斯噪声下X和P的形状第3.4节中的哪些影响是均匀噪声特有的，哪些影响是更可靠的分布假设？需求函数X的定性行为不取决于噪声的分布。例如，考虑成本C（x）=KI | x |>x，K，x>0。当无罚款的最优需求量低于x时，在罚款C下保持最优。然后，it将其需求限制在xin，以避免预期罚款K，只要交易不允许平均收回K。对于非常大的v（| v |>v或某些v>0），IT将切换回交易。这会在需求函数±v上产生跳跃。

所有这些影响与噪声假设无关。就非线性而言，价格函数的定性行为是稳健的。需求表X中的平坦部分导致价格函数P中的陡峭部分。实际上，当X作为v的函数缓慢增加时，X可能增加了一点的信息（通过观察d=X（v）+u获得）意味着v很可能增加了很多。同样，X的陡峭部分会诱发P的弯曲部分。由于惩罚的引入为X产生了陡峭和倾斜的截面，因此它为P产生了倾斜和陡峭的截面。通常不成立的是P有不连续性。这是由于均匀分布具有不连续密度的事实[-1,1]. 通常，噪声密度必须具有不连续性，才能获得价格函数的不连续性。对于连续的噪声密度，跳跃将替换为P快速增加的部分。为了支持这些论点，我们报告了高斯噪声（u，v）模型的平衡点（X，P~ N（0，1））和罚金C。我们考虑与上述相同的罚金C：大型交易的二次、线性和常数。B、 2图7在高斯噪声下我们通过假设高斯噪声重复图7的构造：u，v~ N（0；1）。我们获得图19。在考虑的惩罚函数中，非零交易的固定成本C（x）=KIx6=0表现最好。这与uniformnoise情况下的结果一致。

与之前一样，其他惩罚是次优的，并且点的轨迹，-G） 它们的形状非常相似。在高斯噪声的情况下，我们无法正式证明存在性（甚至更少的唯一性）。我们所做的是对方程（5）和（6）运行定点算法，并假设收敛到的函数确实对应于精确平衡。图16：二次惩罚下的IT需求和定价，高斯情形c（x）=αx，α=2。左面板：IT需求X。右面板：价格函数P。图17：线性惩罚下的IT需求和定价，高斯案例c（x）=α| x |，α=2。左面板：IT需求X。右面板：价格函数P。图18：恒定惩罚下的IT需求和定价，高斯案例c（x）=KI | x |>x，K=1，x=0.5。左面板：IT需求X。右面板：价格函数P。图19:S的轨迹，-G） 对于不同的惩罚函数-高斯噪声。C讨论：Bagnoli、Viswanathan和Holden（2001）考虑了一个静态Kyle模型，其中NT与噪声u和基本hasdistribution v进行交易。我们提供了一个非正式讨论，其中有两个结果补充了Bagnoli、Viswanathan和Holden（2001）的结果。结果1是新的。结果2为他们的工作的特定案例提供了替代证据。回想一下，当做市商观察集合{x；u}时，该模型被称为与单个订单相关，其中x是insidertrader的订单，而当做市商观察x+u时，该模型被称为与聚合订单相关。设v=E[v]，我们不必假定它为0。我们专注于增加需求时间表X。

我们得到以下结果1（单个订单）模拟均衡策略X必须在v中有效。由于q和u不可区分，价格函数由p（{q，u}）=（X）给出-1（u）+X-1（q））。因此，IT的最大化计划是MaxQQv- 欧盟十、-1（u）-十、-1（q）.由于X（v）=u在分布中，v=X-分布为1（u），程序将减少到最大QQv-v-十、-1（q）.由于X是一个平衡策略，在q=X（v）处计算的该表达式的导数必须为零：0=v-v-十、-1（q）-qX（X-1（q））=v- v-X（v）2X（v）。因此，X必须满足ODEX（v）（v- v） =X（v），即X是a ffene（实际上在v中是线性的- v） 。我们已经看到，如果不可能以一种有效的方式模仿噪音，我们就无法达到模仿平衡。然而，如果这是可能的，我们会自动得到一个平衡：结果2（单个订单和聚合订单），如果v中存在X递增和线性- v如X（v）=u在分布中，P是相应的pricingfunction，（X，P）是一个平衡对于单个订单，此结果直接来自上述参数：indeedX-1因此，满足q=X（v）的一阶条件确实是全局最大值的特征。然后，我们注意到结果扩展到了聚合订单的情况。实际上，由于X（v）和u是不可区分的，通过对称性[X（v）| X（v）+u]=E[u | X（v）+u]=E[X（v）+u | X（v）+u]=X（v）+uso，因为X是线性的，P（X+u）=X-1（x）+x-1（u）与之前一样，因此X（v）仍然是最佳需求。