随机生成一个组分配矩阵G。上面描述的随机设置总结在伪代码7中。我们结束本节d显示树表。表9包含随机变量NS分段数的置信区间。容量分布向量SF以及XGPAare的置信区间如表1 0所示，仅适用于微分微积分课程；由于GPA范围的长度，表格被拆分为五行以适应页面格式。最后，表1和表2给出了由算法75.2生成的组分配矩阵G的示例。方法和概率空间的规范化为了衡量所提出方法的增强，现在需要对结果进行规范化，如第4节等式（8）中算法的历史评估，其中，学术表现变量的改善被分为当前学期的历史表现。在蒙特卡罗模拟的情况下，“历史表现”的概念根本不适用，因为学生和/或讲座的分配实际上没有发生。我们通过两种不同的方式来处理这一事实定义5（标准化方法）。我们介绍以下规范化方法。（a） 随机归一化。

根据方法IA或SA，针对随机分配的教员或学生进行规范化。数据：NE随机变量分布，XGPArandom变量分布，n随机变量分布，平均部分频率，变量分析过程：DC，IC。。。，纳米。TEN n u red讲师名单结果：随机分组分配矩阵G.初始化；计算NE的实现和XGPA的实现；计算GPA，输入：（NE，XGPA）；调用RandInputAlgorithm 1，输入：（GPA列表）；计算NS的实数；计算S，输入：（NS，sf，分析课程）；解决问题em 16输入输出：（S，NE）；如果df（1）>0，则运行增加/减少节数贪婪算法5；如果df（2）>0，则运行增加/减少capa城市算法6；S←x（3）K，i:i∈ [s（2）K]，K∈ 我;返回选择←x（3）K，i:i∈ [s（2）K]，K∈ 我;返回发件人←x（3）K，i:i∈ [s（1）K]，K∈ 我;return sendcute随机分组矩阵赋值G，输入：（S，GPA）；算法7：随机设置算法（b）期望归一化。根据各自的方法IA或SA，对教师或学生的预期分配进行规范化。在第一种情况下，计算标准化很简单，在第二种情况下，需要用其他术语说明ExpectedAssignation的概念。为此，我们需要给出一些中间数学结果和定义定理2。让K∈Nbe固定出租T（i，k）：i，k∈ [K]做一个矩阵。

确定随机变量：SK→R、 XIA（σ）def=Xk∈ [K] T型k、 σ（k）.然后，E夏=KXi，k∈ [K] T（K，i）=Ksum（T），（19），其中sum（T）def=P（K，i）∈[K] ×[K]T（K，i）=Pk∈ [K] Pi∈[K] T（K，i）。参数SCOURSEDC IC VC VAG LA ODE BM NM上限20 11 5 17 10 7 7 3下限16 0 0 2 0 0 0.0000 0.0133 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0064 0.0000[31，45]0.0030 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0712 0.0000[46，60]0.0403 0.0310 0.0000 0.0044 0.0000 0.0609 0.0000[61，75]0.3802 0.0330 0.0000 0.710 12 0.0572 0.0222 0.6125 0.0667[76，90]0.1155 0.0048 0.0000 0.11340.0083 0.0000 0.2056 0.0000[91，105]0.1034 0.0588 0.0133 0.0675 0.0763 0.0095 0.0300 0 0.0333[106，120]0.1640 0.2115 0.0300 0.1035 0.2939 0.0429 0.0133 0.0333[121，135]0.0629 0.3417 0.2600 0.0000 0.1791 0.3937 0.0000 0.2889[135，150]0.1104 0.3193 0.6833 0.0000 0.3852 0.5317 0.0000 0.5778表9：截面随机变量数NS和容量分布向量sf，课程：全部。

所有课程均显示可变节数NS的上限和下限以及置信区间。间隙GPA0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0上限0.0021 0.0027 0.0031 0.0031 0.0035 0.0031 0.0044 0.0040 0.0047 0.0046下限0.0012 0.0013 0.0017 0.0017 0.0024 0.0016 0.0031 0.0021 0 0 0 0.0028间隙GPA1.1 1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0上限0.0047 0.0045 0.0055 0.0053 0.0055 0.0056 0.0051 0.0073 0.0082 0.0084下限0.0026 0.0025 0.0032 0.0028 0.00310.0038 0.0033 0.0049 0.0058 0.0056间隔GPA2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0上限0.0114 0.0119 0.0147 0.0191 0.0208 0.0277 0.0328 0.0348 0.0420 0.0858下限0.0077 0.0076 0.0105 0.0142 0.0165 0.0210 0.0250 0.0287 0.0332 0.0672间隔GPA3.1 3.2 3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0上限0.0571 0.0566 0.0671 0.0668 0.0630 0.0668 0.0625 0.0527 0.0496 0.0421下限0.0506 0.0489 0.0565 0.0594 0.0558 0.0549 0.0526 0.0440 0.0404 0.0357间隔GPA4.1 4.2 4.3 4.4 4 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0上限0.0373 0.0255 0.0209 0.0161 0.0136 0.0081 0.0055 0.0029 0.0011 0.0002下限0.0282 0.0201 0.0160 0.0115 0.0088 0.0032 0.0014 0.0002 0.000表10：随机变量：XGPA，课程：不同的课程。显示了微分微积分课程的分布能力向量sf和XGPA的置信区间。证据考虑以下计算夏=KXσ∈ SKXIA（σ）=K！Xσ∈ SKXk公司∈ [K] T型k、 σ（k）=KXk公司∈ [K] Xσ∈ SKT公司k、 σ（k）=KXk公司∈ [K] Xi∈ [K] Xσ∈ SKσ（k）=iTk、 σ（k）=KXk公司∈ [K] Xi∈ [K] T型k、 我Xσ∈ SKσ（k）=i1=（k- 1)!KXk公司∈ [K] Xi∈ [K] T型k、 我.从这里开始，方程式（19）遵循琐事。备注12。

请注意，在位置2中，以下情况成立（i）可以理解，概率空间是Ohm ≡ 所有结果的可能性相同。（ii）假设给定了一个学期的设置，即：具有能力的部分的数量、部分的构造和一组教授该课程的结构。然后，T=CAPV，J是分段数，e（XIA）是将讲师随机分配给指定学生的可用分段时的预期表现，即IA方法。我们的下一步是，在指定讲师将学生随机分配到可用部分时，能够计算出一个组的预期表现。由于搜索空间的丰富性，这项任务更加复杂。我们开始介绍一些符号。定义6。让N，L，J∈N、 p=（p，…，pL）∈NL，g=（g，…，gJ）∈定义1中的NJbe。（i） 让c：[N]→ [五十] 是每个学生i的分类函数。e、 ，对于每个学生n∈ [N] 它指定标签c（N）∈ [五十] 描述他/她所属的公司。（ii）定义学生分配概率空间Ohmdef=nω：[n]→ [J] :ω-1（j）= gj，所有j∈ [J] o.（20）（iii）对于固定元件ω∈ Ohm, 确定矩阵Gω∈RL×J，其条目由gω给出(l, j）=n∈ [N] ：c（N）=l, ω（n）=j=c-1(l) ∩ ω-1（j）, l ∈ [五十] ，j∈ [J] 。备注13。在定义6中，请注意以下（i）学生分类函数满足以下条件：ldef公司=c-1(l)对于所有人l ∈ [五十] 。（ii）学生分配空间的一个元素ω是这样的：每个人被分配到一个部分，每个部分都是满的（回忆一下求和条件（3））。（iii）在我们的研究中，N名注册学生的名单完整地描述了分类函数c：[N]→ [五十] 和一个截面赋值函数ω∈ Ohm1, 2, . . . , N、 c（1），c（2），c（N），ω（1），ω（2）。

，ω（N）。第一行表示身份，第二行表示文件分类。因此，只有thir-drow才能像在该模型中那样进行决策或随机化。（iv）对于每个ω∈ Ohm 矩阵Gω显然是定义2中介绍的组分配矩阵。提案3。让N，L，J∈N、 p=（p，…，pL）∈NL，g=（g，…，gJ）∈定义1中的NJbe。然后跟踪TAPVGω=JXj=1TAPVGωj、 j=Xn公司∈ [N] TAPV公司ω（n），c（n）, 总而言之ω∈ Ohm. （21）证明。考虑以下标识xn∈ [N] 抽头Vω（n），c（n）=X个(l,j）∈ [五十] ×[J]NXn=1c（n）=l, ω（n）=jTAP Vω（n），c（n）=Xj公司∈[J] X个l ∈ [五十] 抽头VjlNXn=1c（n）=l, ω（n）=j=Xj∈[J] X个l ∈ [五十] 抽头VjlGω(l, j） =Xj∈【J】抽头VGωj、 j,i、 e.结果成立。备注14。如果假设为所有j分配给j部分的教员TJI∈ J、 即讲师分配函数π∈ SJof Pro b lem 2是恒等式，那么前面的结果表明TAPVGω=JXj=1TAPVGωj、 π（j）=Xn公司∈ [N] TAPV公司ω（n），c（n）, （22）对于每个ω∈ Ohm. 因为中间的表达衡量了集团的整体表现，所以右边的表现也一样。因此，将decl作为随机变量放在上面表达式的左侧是有意义的。定义7。让N，L，J∈N、 p=（p，…，pL）∈NL，g=（g，…，gJ）∈NJbe定义1和le tT∈RJ×L=T（j，l) : k∈ [J] ，则，l ∈ [左], 成为固定矩阵。定义学生作业绩效变量XSA：Ohm →R、 XSA（ω）def=Xn∈ [N] T型ω（n），c（n）. （23）在计算随机变量X的期望值之前，需要使用组合数学的一些结果。备注15（定义7）。定义7中的绩效矩阵为每个讲师在给定细分的每个要素中的绩效提供了衡量标准，如定义2所述。

一个可能的性能矩阵由第3.3节中算法2的预期性能矩阵输出给出。理想的绩效矩阵T应包括分析5中提到的关于教师的更具体信息（例如，同侪评分、自我评估、校友评分、教学奖和其他）。引理4。（i） 学生作业空间的基数为|Ohm| = NJYj=1gj！。（24）（ii）让n∈ [N] ，j∈ [J] 固定并定义集合Ohmn、 jdef=ω ∈ Ohm : ω（n）=j.那么|Ohmn、 j |=（n- 1)!（gj- 1)!气∈ [K] i 6=jgi！证据（i） 设ω为Ohm 并用扩展的方式写，即ω（1），ω（2），ω（N），1，2，N、 显然，ω是多重集的置换1, 1, . . . , 1 |{z}g次，2，2，2 |{z}g次，J、 J，J{z}gJ次=1克，2克。J·gJ. （25）从初等组合学可知，多重集（25）的置换数由表达式（24）给出，参见[22]中的定理3.5。（ii）首先我们分析集合的情况OhmN、 j.回想表达式（20），我们可以写OhmN、 j=ω：[N]→[J] ：ω（N）=J，|ω-1（i）|=gi，对于所有i∈ 【J】. 可以直接看到sete有一个双射Ohmdef公司=ω：[N-1] → [J] :ω-1（一）=egi，尽管我∈ 【J】其中，定义如下：定义=（gi，i 6=j，gi- 1，j=i。在sete上应用上一部分Ohm, 因此OhmN、 J统计结果。对于一般情况Ohmn、 j，取置换σ∈ 由σ（k）定义=N、 k=N，N，k=N，k否则。观察地图Д：Ohmn、 j→ OhmN、 jd由Д（ω）def=ω定义o σ显然是一个双射。因此|Ohmn、 j |=|OhmN、 j |证明是完整的。定理5。随机变量XSAis的实验XSA公司=NgtT第（26）页证明。

按定义|Ohm|EXSA公司=Xω∈ OhmNXn=1Tω（n），c（n）=NXn=1Xω∈ OhmTω（n），c（n）=NXn=1JXj=1Xω∈ Ohmω（n）=jTω（n），c（n）=NXn=1JXj=1Tj、 c（n）Xω∈ Ohmω（n）=j（27）回顾引理4（ii），它如下XSA公司=|Ohm|NXn=1JXj=1Tj、 c（n）（N）- 1)!（gj- 1)!易∈ [J] i 6=jgi=|Ohm|NXn=1JXj=1gjTj、 c（n）（N）- 1)!易∈ [J] gi=NJXj=1NXn=1gjTj、 c（n）=NJXj=1gjLXl = 1Xn∈ [N] c（N）=lTj、 c（n）=NJXj=1gjLXl = 1Tjlpl=NLX公司l = 1便士lJXj=1Tjlgj。（28）这里，第二个等式使用id实体（gj-1)!=gjgj！第三个使用表达式（24）以及明显的索引交换。第四个等式是一个方便的总和关联，而fifthmerily使用的是| c-1(l)| = pl. 从这里，结果很简单。备注16。Letπ∈ SJbe是一个置换，设aπ及其相关置换矩阵aπ=beπ（1），beπ（2），beπ（J）,哪里北京：j∈ 【J】是RJ的规范基础。那么，如果in结构tj:j∈ 【J】通过排列π分配给相应的部分∈ 除了恒等式之外，随机变量XSA（ω）（如（23）中所定义）通过takingdef=TAPVAπ来计算每个ω的组的全局性能∈ Ohm（如备注14所述）。因此，在不丧失一般性的情况下，可以假设π∈ SJ是身份。最后，我们定义了定义8。算法3的随机版本将有两种方法。（i） 定义n 5中引入的随机归一化方法定义在等式8中。然而，重要的是要观察到，这次vmt，ρmtand Xmtdef=PJj=1抽头VGhj、 πh（j）都是随机变量。（ii）Secon d，定义5 b中引入的预期归一化方法，使用γmtdef=100vmt计算-EXmt公司EXmt公司, mt公司∈ {IA，SA}。（29）此处，EXmt公司如果mt=IA，则由定理2给出，如果mt=SA，则由定理5给出。同样，vmtandγmtarebth随机变量。备注17。

（i） 据了解，为了在数值实验中应用大数定律1，上述随机变量将被视为独立、相同分布的变量序列，即。，v（n）mt:n∈N,X（n）mt:n∈N,ρ（n）mt:n∈N和γ（n）mt:n∈N; 其中，指数n表示蒙特卡罗模拟的迭代。（ii）可以直接看到γ（n）mt:n∈N汇聚在Ces\'aro sense鞋头五（1）公吨EX（n）公吨-1.- 1.（iii）定义Z（n）mtdef=X（n）mt，自v（n）mt:n∈N和X（n）mt:n∈N是独立的，它认为ρ（n）mt=v（n）mt- X（n）mtX（n）mt=v（n）mtX（n）mt- 1=v（n）mtZ（n）mt- 1Ces\'aro----→n→ ∞E五（1）公吨EZ（n）mt- 1=E五（1）公吨EX（n）公吨- 1.（30）上述表达式的右侧包含变量调和平均值的倒数X（n）mt:n∈N. 清晰地γ（n）mt:n∈N和ρ（n）mt:n∈N收敛（在塞萨罗意义上）到不同的极限。不幸的是，对于算术平均数，调和函数没有方程（26）所能比拟的简单表达式。因此，它只能用数字来处理；这将在n extsection中完成。5.3. 蒙特卡罗模拟算法和数值结果第5.1节和第5节讨论了变量的随机化及其规范化。2分别在下面的伪CO d e 8中进行了总结。蒙特卡罗模拟结果的一个具体示例如图3所示，而相应的注册学生的bod y/构成如表12所示。表11中总结了几种微分演算模拟的结果。经过多次实验，发现Ces ` aro均值的收敛水平在800次以上。

即使我们正在模拟一个高度复杂的随机过程的行为，很明显，实际上无法得出收敛率的结论，Ce s’aro平均值稳定的阈值从一个实验到另一个实验发生了显著的变化。这是因为每次实验都定义了许多部分，如表12所示的招生机构/学生组成，一组矩阵分配和一些终身讲师NT，fr。从这里开始，迭代过程如算法8所示。因此，如表11所示，开始三元组（NS、G、NT）在模拟之间发生了实质性变化。当从一个课程切换到另一个课程时，这些变化变得更加显著，如表13所示，报告了算法在其余七个服务课程中的性能。观察随机（定义5 a）与预期（定义5 b）归一化方法之间的差异也很重要。这在方法性能的模拟中并不重要（见图3（a）和（b）），在其相应的Ces ` aro平均值i的行为中是负的。e、 ，无论采用何霍森归一化方法（见图3（c）和（d）），从数值角度来看，渐近行为差异最小。后者也可以在表11和13中观察到。备注18（图3）。图3描述了蒙特卡罗模拟可变通过率的增强（Ces\'aro表示增强）结果，包括教师和学生分配方法。它证实了第4.1小节的结果，学生作业法（SA）比教师作业法（IA）产生更好的结果，并表明这不仅仅是我们数据集的特殊性。

相反，它是一个强大的。实验随机归一化，ρmtExpected归一化，γmtEnrollment Sections讲师人数100×vIAρIA100×vSAρSA100×vIAγIA100×vSAγSANSPK∈ IsKNT1 0.3097 2.9059 0.3056 2.9044 1355 15 62 0.4595 3.2880 0.4588 3.2854 1445 14 83 0.4373 3.2655 0.4414 3.2653 1225 14 74 0.4158 3.2689 0.4130 3.2663 1456 15 75 0.4357 2.9680 0.4315 2.9651 1296 14 66 0.4943 3.1690 0 0 0 0.5053 3.1697 1547 15 87 0.5099 3.4486 0.5008 3.4439 6 1550.4937 3.3720 0.4841 3.3666 1532 16 89 0.4080 3.1254 0.4009 3.1301 1444 15 710 0.4843 3.4498 0.4807 3.4454 1546 168平均值0.4448 3.2261 0.4422 3.2242 1440.2 15.0 7.3表11：蒙特卡罗模拟总结。下表显示了不同微积分课程的蒙特卡罗模拟总结，每次进行10次实验和800次迭代。数据：数据库：AssembledData。csv分析课程：DC，IC。。。，纳米。优化方法：mt∈ {IA，SA}。NT随机变量分布迭代次数：NIResult：所选方法、课程和学术绩效变量的相对增强值ρmt、γmt表。初始化；调用算法7；nt公司←计算NT的实现；调用算法2，输入：（AssembledData.csv，分析课程，APV，组分段我l: l ∈ [左]);用于迭代∈ [倪]多利斯特← 计算nt讲师的随机列表；调用RandInputAlgorithm 3，输入：（组分配矩阵G，讲师列表，分析课程，APV，组分段我l: l ∈ [左], mt）；APVmt评估[迭代]←ρmt，γmt.endAlgorithm 8：蒙特卡罗模拟算法6。结论和未来工作本研究得出了几个结论。一、 从建模的角度来看（I）实施了一种方法，旨在提高大规模大学低年级数学课程的学习成绩。

它基于整数规划和大数据分析来计算相关的成本函数s，而约束条件（如节数和0.00.20.40.60.100迭代）0.00.20.40.60.81.01.21.41.6增强百分比T=IA，随机归一化MT=IA，预期归一化（a）示例DC。增强结果通过MonteCarlo模拟。讲师分配方法（IA）。0 20 40 60 80 100迭代12345678增强百分比MT=SA，随机归一化MT=SA，预期归一化（b）示例DC。增强结果通过MonteCarlo模拟。学生作业方法（SA）。0 20 40 60 80 100迭代0.500.550.600.650.700.750.800.85增强百分比T=IA，随机归一化MT=IA，预期归一化（c）示例DC。Ces\'a ro表示增强结果通过蒙特卡罗模拟。讲师分配方法（IA）。0 20 40 60 80 100迭代3.23.43.63.84.0增强百分比T=SA，随机归一化MT=SA，预期归一化（d）示例DC。Ces“aro”表示增强结果通过蒙特卡罗模拟。学生分配法（SA）。图3：示例：微分微积分课程。注册1441名学生，15个部门，8名终身讲师，100次迭代。所有图表显示mt的归一化ρmtvsγmt∈ {IA，SA}。相应的能力）由行政来源确定。整数规划有两种机制：优化分配教师（IA方法）或优化分配学生（SA方法）。（ii）采用两种测量方法探讨学业成绩；通过率和等级。在对数据进行相关分析后，确定在这些统计变量开始和发生地震时已知的一个相关因素是GPA。

因此，根据GPA（见表6）（iii）确定了学生的比例以及学生的身体组成。由于其典型的统计稳健性，该方法的历史评估得出的年级变量增强水平较差。然而，通过率产生了更令人满意的结果；足以进行更深入的分析，如第5节介绍的方法的随机性及其渐近性评估。（iv）该算法的渐近分析是通过对注册人群和管理因素进行随机分析来完成的，统计上基于数据库集合数据中报告的经验观察结果。csv。蒙特卡罗实验表明，方法d不会产生一个执行片段[0，2.2]（2.2，2.7）（2.7，3.0）（3.0，3.1）（3.1，3.3）（3.3，3.5）（3.5，3.7）（3.8，4.1）]（4.1，5.0）总计1 6 1 15 5 13 8 8 4 8 6 742 10 6 14 3 5 7 11 5 5 743 9 9 9 8 6 9 1 15 5 744 11 13 1 5 3 8 8 8 8 6 745 5 9 12 7 11 6 9 5 756 7 6 3 11 11 11 1 7 7 747 12 7 7 2 10 6 7 898 7 11 11 2 12 14 8 9 9 899 11 18 7 6 10 9 10 10 9 10 7 7 14 16 8 6 10411 14 8 14 8 8 8 8 8 8 8 8 20 4 14 14 14 14 0 14 11 12 11 11 11 11 11 6 21 21 21 21 14 4 18 11 11913 15 15 9 15 16 11 3 11 9 11914 1420 5 17 15 12 4 9 9 11916 15 13 25 6 16 10 9 17 8 134总计152 148 210 75 161 171 169 69 167 119 1441表12：算法7的随机实现示例，即。

一组矩阵作业G和一些终身讲师，用于微分微积分课程。课程随机归一化，ρmtExpected归一化，γmtEnrollment Sections讲师100×vIAρIA100×vSAρSA100×vIAγIA100×vSAγSANSPK∈ IsKNTDC 0.4448 3.2261 0.4422 3.2242 1440.2 15.0 7.3IC 0.3267 2.8094 0.3196 2.8104 1068.0 8.2 5.1VC 0.1684 1.9797 0.1800 1.9923 586.6 4 4.1 2 2.4VAG 0.4070 3.1366 0.4079 3.1474 1080.8 14.5 6 6 6.2LA 0.2131 3.2906 0.2009 3.2788 1078.2 8.0 4.2 4.2ODE 0.4323 5.6270 0.4269 5.6332 798.2 6.4 3.1BM 0.5706 3.0775 0.5909 3.0791 910.9 11.1 3.0NM 0.3750 3.3825 0.3405 3.3920 263.1 2.3 1.7表13：MonteCarlo模拟，每个课程有800次迭代。相对加速度值，取决于启动参数NS、G、NT其显著的随机性继承了算法输出值的不确定性。（v） 如果学生采用分配法（SA），则通过交叉表8和表13计算各课程的加权平均数，可以粗略估计出3.3%的规模效益。每学期大约有240名学生通过各自的课程，从长远来看，这对学校来说是一个巨大的收获。（vi）alg算法4和8本可以调整为仅保留终身讲师的部分。然而，作者建议放弃这种艺术设置，因为它对研究案例有偏见。（vii）作者认为，对于该方法的增强水平，无法得出一般结论。一方面，它具有足够的通用性和灵活性，可以在任何拥有大量合作伙伴的机构实施，因此可以使用大型数据库。

另一方面，目前工作中形成的实验表明，需要在科学的基础上评估其有效性。（viii）仅通过应用第3.2节（算法1）中描述的分段过程，将年龄作为一个因素也是可能的工程安装l: l ∈ 【eL】). 首先，根据第3.3节（算法2，输出TAge）中的年龄变量计算讲师的表现。Secon d，根据相关值对其影响进行加权，即方程（5）中的成本稳定可以修改为asC=TAPVG+TAGEG。（31）这里可以理解，组矩阵eg是根据年龄变量分段构建的工程安装l: l ∈ 【eL】. 根据与表2中报告的年级变量的相关性，提出了加权系数：年龄：0.2，GPA：0.8，即第二个是第一个的4倍（有关这些类型模型的进一步讨论，请参见[8]）。然而，由于该方法的灵活性，它允许以同样的方式引入任何数量的适合当前案例的变量。二、从经济角度来看（i）该方法的效益提高3.3%，乍一看似乎很低。然而，重要的是要强调，这一改进只对应于终身讲师的详细ed处理，而兼职讲师则是一般性的，因为他们是不稳定的人员。如表13所示，终身讲师所占比例不到参与培训团队的50%。接下来，如果稳定的人员比例增加，该方法将提供更准确的结果，也许更乐观。（ii）这项工作中提出的方法为高等教育机构提供了一种机制，帮助其学生提高通过率和成绩。

这是通过解决两个不同的社会福利计划（IA和SA方法）来实现的。在这种方法下，大学被视为提供教育的主体，也是理性的调节主体，能够优化配置部分资源，以提高学生群体的社会福利。（iii）该方法有两个重要特点，在哥伦比亚等大学辍学率高、高等教育投资低的国家尤为重要：o通过帮助学生提高通过率和成绩，解决了高辍学率的问题；o该方法不需要大学投入大量资金才能实施。理论上，只有数据和有能力的人才能实施。（iv）这项工作还提供了一种方法来衡量（和监测）在给定时间，帕累托均衡中的f ar是如何成为一个机构的。这一点很重要，因为它提供了一种确定是否达到预期增强效果的方法。三、 从未来工作的角度来看（i）本文采用了两种方法，即在学生固定的情况下分配教师（IA）和在教师固定的情况下分配学生（SA），这两种方法都归结为线性优化问题，分别为1和2。然而，同时移动教师和学生不再是一个线性问题，而是一个双线性优化问题（见[24，25]）。这一观点将在今后的工作中进一步探讨。（ii）到目前为止，目前的工作假设分配学生和/或教师是由被分析机构的行政管理部门决定的。然而，在我们的研究案例中，学生位置的决定是不同的，使用基于GPA竞争的机制来分配从最高得分者到最低得分者的优先级。