基于大数据的数学及格率优化方法

2022-6-10 20:03:15

一种基于大数据的数学大学低年级课程通过率优化方法Fernando A Moralesa、Cristian C Chicab、Carlos A Osorioa、Daniel Cabarcas JaaEscuela de Matem'aticas Universidad National de Colombia、Sede Medell'nCarrera 65'59A–110、Bloque 43、of 106、Medell'n'Colombia Departmento de Economo'305A、Universidad EAFIT。Carrera 49#7 Sur-50，Bloque 38，of 501，Medellin-ColombiaAbstracts本文提出了一种基于大数据的方法，用于提高数学大学低年级课程的通过率，包括几个部分。我们建议将学生-讲师合作伙伴关系作为优化过程的基石。首先，在可用的历史数据中，使用统计分段和编程技术计算学生和讲师的成功概率。接下来，使用整数规划模型，该方法找到学生和讲师的最佳配对，以最大限度地提高学生身体的成功机会。最后，本文将分析我们的方法作为一个经济过程，以及它对第三世界公立大学的重要性。关键词：大数据、优化、概率建模。2010年理学硕士：97B10、68U01、68R05、65C051。众所周知，提高数学课程的通过率对世界各地的学术机构来说至关重要。

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2022-6-10 20:03:18

对于公立大学来说，这一目标变得更加重要，因为它们部分或全部资助了其注册本科生的教育；根据国家法律和学生的经济分层。普遍的共识是，为学生创造更好的条件将提高学生的成功率。因此，应对这一挑战的大部分工作有两个主要方向：（i）传统的踏板式教学法，其主要目的是在两个方面改进课程内容的呈现：数学话语的呈现，即课程改革、课程材料的开发和讲师教学实践的改进。后者的一部分是教学评估的开放性问题，向教师反馈学生在课堂上的感受。（ii）在数学学习中使用技术。数据的回忆和认知过程中资源影响的测量是一个过程：LMS平台和实时反馈接口的开发【1】。另一条流探讨了如何利用上述收获的信息来改进学习过程【2】：有针对性的问题集和培训测试【3】、确定有利的教学方法和学习模式/风格【4】、确定经度和本材料基于哥伦比亚国立大学HERMES 45713 f项目支持的工作。*相应的AuthorEmail地址：famoralesj@unal.edu.co（Fernando A Morales）提交给arXiv的预印本2020年10月9日弱点、学习练习与技能培养的评估【4】、问题解决方法、学生在学习过程中的互动平台【5】。

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2022-6-10 20:03:21

此外，还可以使用大数据来评估学习，而不是改进教学技术，例如早期发现有风险的学生[6]。目前的工作属于第二类，在这种情况下，利用大数据制定政策，提高高等教育产出，同时不降低成本。更具体地说，该方法将建议学生身体/构成的优化设计，以最大限度地提高通过率。这种设计是由良好的师生伙伴关系驱动的，而不是同伴多样性或同伴互动标准（见[8，9]）。该方法的第二个方面是，它基于期望值的计算（以学生的细分为条件），而不是统计回归（线性或非线性），因为它追求概率模型的构建，而不是生产函数的构建（见[8，10]）。此外，输入数据库（该方法的输入）从一个学术术语更新到下一个学术术语，因此，它似乎更等同于明智地重新计算条件期望术语，而不是追求钻机id回归模型。此外，考虑到当前的计算工具和可能性，一旦将该方法编码为analgorithm，所提出的更新方法将以零成本增加实现。这是主要原因，我们将介绍和解释我们的方法，主要是以算法的形式。我们的方法从一所公立大学的数据库开始，从2010年2月到2017年7月，为期15个学期，包含了该大学的学术表现和人口统计信息。描述性统计的第一阶段允许通过相关性确定成功因素。

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2022-6-10 20:03:24

第二阶段回顾历史绩效（总共15个学期），确定细分结果，然后计算每个相关讲师的历史效率，条件是细分的分位数。接下来，它使用西格尔编程以两种不同的方式找到学生与教师的最佳匹配。该方法的第三个阶段将相关因素随机化，即上课组的比例、指定的田径教师数量、课程中的节数（组）等。这旨在进行蒙特卡罗模拟，以发现长期改进的预期值。这些因素被视为随机变量，具有根据经验知识计算的概率分布，记录在数据库中，每个蒙特卡罗模拟都是由算法的一个随机实现产生的。1.1. 经济公正公共高等教育是否构成公共产品，是经济学中广泛关注的一个课题（参见，例如，[11]和[12]）。一方面，它通过发挥分配作用造福于整个社会，低收入阶层的学生可以接受高等教育，改善他们未来的就业前景。另一方面，公立高等教育的入学机会有限。。最后一个特征表明，为什么将公立高等教育归类为公益，这是经济学家们争论的问题，因为公益必须面向所有个人。

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2022-6-10 20:03:27

这种争论不是本文的重点，但它突出了公立高等教育的两个重要属性（再分配作用和有限的入学机会），这与理解这项工作的贡献有关。哥伦比亚政府实施了不同的战略，以缓解受教育机会有限的问题，实施了“家庭入学”等计划，这是一项旨在提高年轻人入学率的福利计划；以及“Pilo Paga爵士”（Ser Pilo Paga），这是一项以绩效为基础的财政援助计划，旨在提高最贫困人群的高等教育入学率。尽管这些策略提高了高等教育的入学率（如[13]所示），但世界银行（WorldBank）的一份报告（[14]）显示，37%的开始学士学位课程的学生退出高等教育系统（如果包括短期课程，百分比高达53%）。这些数字表明，仅仅通过增加原始覆盖率是无法解决公立高等教育的有限入学问题的。高等教育机构需要降低辍学率的策略，需要帮助学生提高通过率、gra和其他方面的机制。在哥伦比亚，截至2016年，只有49.42%的学生能够接受高等教育（官方信息athttps://www.mineducacion.gov.co/portal/.)本文提供了一种机制——一种算法——来潜在地帮助高等教育机构改善学生福利的此类指标（通过率和g分数）。

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2022-6-10 20:03:31

我们的方法是理解大学，不仅是一个提供教育的机构，也是一个理性的调节机构，它能够优化地分配资源，以加强学生群体的社会福利。在整篇论文中，我们将强调从经济学角度对问题的解释和/或重要性；这些评论将给读者一个相关的警告。1.2. 组织和符号文件组织如下。在第2节中，我们简要描述了研究案例设置及其数据库。在第3节中，可用的历史信息通过统计细分和编制过程进行量化。在第4节中，介绍了两种优化机制，制定了一个整数规划问题，并对历史行为进行了评估，即，如果该方法在过去应用，则计算理论结果。在第5节中，我们使用历史记录将研究案例随机化，以生成研究案例的随机和合理实例，并应用优化方法进行蒙特卡罗模拟，同时观察其渐近行为。最后，第6节给出了结论。我们结束描述数学符号的介绍。对于任意自然数N∈N、符号def={1，2，…，N}表示前N个自然数的集合/窗口。对于任何集合E，我们用它的基数和（E）其动力装置。我们站起来Ohm 作为一般有限概率空间Ohm, (Ohm),P其中所有结果的可能性相等，即事件概率函数满足（{ω}）=|Ohm|-1对于所有ω∈ Ohm. 特别是对于任何事件E Ohm 它认为p（E）def=| E||Ohm|=有利结果的数量可能结果的总数。

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2022-6-10 20:03:33

（1）一个特别重要的概率空间是SN，其中SN表示[N]中所有p项的集合，其元素通常由π、σ、τ等表示。随机变量将用竖直大写字母表示，即x、Y、Z、。。。，这些变量的期望值和方差分别为e（X）和Var（X）。向量（确定或随机）用字母表示，即p、g、X。。。等。确定性矩阵用大写字母表示，即A、G、T。2、研究案例及其数据库在这项工作中，我们的研究案例是哥伦比亚国立大学（University of lombia at Medell）低年级数学课程的表现。该学院是哥伦比亚国立大学的一个分支机构，是哥伦比亚哥伦比亚大学排名最好的高等教育机构；它分为建筑、科学、人文和经济科学、农业和工程学院（Facultadde Minas）。学院分为学校和/或系。该大学提供27个本科课程和85个研究生课程，根据学校/系的不同，分为专业、理学硕士和博士。每学期平均招生10000名本科生和2000名gr毕业生，毕业率分别为1240和900。工程学院数量最多，因此对数学低年级课程的要求很高，对校园生活产生了深远的影响；其教学和评估由数学学院负责。数学学院是理学院的一部分，它教授两种类型的课程：专业化（高等本科和研究生数学课程）和服务（低年级）。

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2022-6-10 20:03:37

后者是：基础数学（BM、大学代数）、微分学（DC）、积分学（IC）、向量学（VC）、微分方程（ODE）、向量与解析几何（VAG）、线性代数（LA）、数值方法（NM）、离散数学和应用数学。这些课程的总需求量平均为每学期7200次注册。最后两门课程《离散数学》和《应用数学》的入学率很低，且不稳定，因此，它们的数据不适合进行统计分析，将在下文中删除。另一方面，剩下的课程非常适合大数据分析，因为它的海量性；见下表1。在今年的一个典型学期中，DC IC VC VAG LA ODE BM NM Total2010 1 1631 782 381 1089 983 668 848 142 65242013 2 1446 1212 549 1187 1103 786 846 326 326 74552016 2 1569 1296 594 1355 1009 1019 1111 284 8237平均值不适用于1445.9 1122.9 549.8 1146.5 988.7 801.8 905.4 267.5 7228.5表1：历史入学样本。该表显示了2010年1月至2017年1月期间每门课程的平均注册人数，以及该时间窗口内三个学期的样本。课程分为80到140个部分（8到22个部分，具体取决于注册人数）（因为cl教室的物理容量）。没有分级作业，但学生有问题单以及可选的复习课。至于评分等级，5.0是最大值，3.0是最小通过等级，等级只保留一个小数点。

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2022-6-10 20:03:40

评估包括三项考试，学生同时参加；使用软件包SiDEx的ai d执行活动-Ohm an d快速-Ohm 它负责评估和监督活动的后勤工作，包括分级阶段的组织。更具体地说，为了毕业过程的公平性和一致性，一个特殊的问题是由一个评分员对所有学生进行d级评分，也就是说，这是一个集中评分过程。正如上述制度政策的顺序所述，数据在统计上具有可比性。此外，基于纸张的测试管理器Sidex-Ohm 引入s高水平的欺诈控制，因为其学生座位分配算法；这进一步提高了数据的可靠性。2.1. 数据库该大学允许对其数据库进行有限的访问，以完成这项工作。这些信息以五个单独的表传递，这些表使用Pandas（最新组装数据）合并到一个数据库中。csv包含108 940行，他们每个人都有以下领域的信息：（i）学生的个人信息：o出生年份o电子邮件o身份证号码o姓氏和姓名o性别（ii）学生的一般学术信息：o大学入学年份（AA，学术年龄）o职业o学业平均成绩（GPA）（iii）学生相对于国家的学术信息：o课程o课程代码o学术学年o学期o年级o完成vs取消do尝试次数o取消次数（iv）与课程相关的学生管理信息：o节号o时间表o节容量o注册学生人数o教员ID号o教员姓名o终身与伴随教员标记1（行的含义）。

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2022-6-10 20:03:42

一个注册对应一行是不可理解的，例如，如果某个学生在同一学期注册DC和LA，则为每个注册创建一行，重复上面（i）和（ii）项中列出的所有信息。当一个人因为之前的失败或失败而需要重修一门课程时，情况也是如此。3、量化：变量、细分和专业在目前的工作中，我们假设讲师是成功的最重要因素之一，更具体地说，目标是实现最佳的师生合作关系；在这一点上，我们与[8，9]有所不同，后者提出，班级组成应该由同龄人互动决定。为此，有必要根据学生群体的相关特征对其进行培养。3.1. 分割因子的确定计算组合数据中考虑的定量因子的相关矩阵。csv；在表2中，我们展示了微分微积分课程的相关矩阵。从Gr ade行可以看出，年级变量中最重要的因素是学业平均成绩（GPA），其次是学业年龄（AA）和年龄。然而，GPA的影响是AA的四倍，而年龄因素的影响是相同的。此外，从GPA数据来看，很明显，成绩之后最重要的因素正是学业年龄和年龄（学生越年轻，GPA越高）。在一种情况下，对于剩余的课程，可以观察到类似的相关矩阵。因此，我们将GPA作为年级变量中唯一重要的定量因素。备注2。值得一提的是，班级规模对学生表现的影响一直是广泛讨论的主题，但没有达成共识。

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2022-6-10 20:03:46

虽然[15、10]报告了在减少班级规模方面的巨大优势，但[16]没有发现任何影响。在我们的特殊情况下，表2表明路段通行能力不仅与坡度变量不相关，而且与GPA变量也不相关。此外，路段通行能力与Cancellations（d rop out）变量不相关。因素部分年龄AA#入学成绩#取消#尝试GPACACACACITY学生考试能力1.0000-0.0108 0.0570 0.8334 0.0074 0.0003 0.0393 0.0180年龄-0.0108 1.0000 0.3069-0.0168-0.2031 0.0775 0.1384-0.2082AA 0.0570 0.3069 1.0000 0.0416-0.2164 0.1668 0.4294-0.1667#入学学生0.8335; 34-0.0168 0.0416 1.0000 0.0252 0.0131-0.0041 0.0325 等级0.0074-0.2031-0.2164 0.0252 1.0000-0.1247-0.0241 0.8207#取消0.0003 0.0775 0.1668 0.0131-0.1247 1.0000 0.3101-0.0686#尝试0.0393 0.1384 0.4294-0.0041-0.0241 0.3101 1.0000-0.0401 GPA 0.0180-0.2082-0.1667 0.0325 0.8207-0.0686-0.0401 1.000表2：定量因素相关性表，课程：微分微积分。该表显示了感兴趣的变量（部门能力、年龄、AA、#注册学生、成绩、#取消、#尝试、GPA）的相关矩阵。还有两个双变量有待分析，即通过/失败（PF）和性别。如果我们一般用x表示二元变量，用Y表示感兴趣的变量，则点双列相关系数由p bdef=M给出- MσrNNN。（2）这里，索引0，1是二元变量X的值。对于i=0，1，Mi是组/事件{X=i}中数据点的变量Y的平均值，Nidenotes是每个组的总体{X=i}，N=N+N表示总总体，σ表示变量Y的标准偏差。表3显示了二进制通过/失败（PF）变量与定量因素之间的相关性分析。

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2022-6-10 20:03:49

在年级变量分析中，及格/不及格变量中最重要的因素是学业平均成绩（GPA），其次是学业年龄（AA）和年龄。然而，在这种情况下，GPAI的影响是AA和年龄因素影响的三倍。同样，我们将GPA作为通过/失败变量中唯一重要的定量因素。接下来，下表4总结了性别变量与学业成绩变量的相关性分析，即成绩、GPA和及格/不及格（PF）。很明显，性别变量在学业表现变量中的发生率可以忽略不计，但基础数学（BM）课程的GPA除外，其中女性表现稍好。由于这种独特的相关性现象不存在于剩余的因素来源C IC VC VAG LA ODE BM NM截面容量0.0058 0.0139-0.0296-0.0986-0.0147 0.0448-0.0451 0.0840 Age-0.1757-0.2554-0.3048-0.1879-0.2444-0.2555-0.0892-0.3333a-0.1783-0.2855-0.3012-0.1550-0.2230-0.3841-0.0209-0.273 31#在校生0.0070 0.0276 0.0172-0.0410 0.0602 0.1258-0.03740.1916等级0.8072 0.7987 0.7864 0.8145 0.7959 0.7999 0.7988 0.7922#取消-0.1129-0.1397-0.1420-0.1299-0.1178-0.1647-0.0096-0.1489#尝试-0.0988-0.1635-0.1683-0.1374-0.1399-0.1577-0.0054-0.2065 GPA 0.6062 0.5892 0.5884 0.6445 0.6063 0.5341 0.6125 0.5828表3：通过/失败与定量因素，双列相关表，课程：全部。我们显示了与每门课程的及格/不及格变量相比，每个变量（课时能力、年龄、AA、#注册学生、成绩、#取消、#尝试、GPA）的双列相关性。从现在起，性别变量将被忽略。

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2022-6-10 20:03:53

最后，需要强调的是，考虑到性别和通过/失败（PF）变量的双重性质，所有相关系数都是一致的，即双序列点、Pearson和Spearman以及Kendall。FACTORCOURSEDC IC VC VAG LA ODE BM NMGrade 0.0545 0.0584 0.0240-0.0485 0.0154 0.0164-0.0740-0.0405GPA-0.0425-0.0441-0.0419-0.0766-0.0343-0.0824-0.1159-0.0663及格/不及格（PF）0.0509 0.0382 0.0166-0.0373 0.0103 0.0085-0.0535-0.0226表4：性别与学业成绩变量，课程：全部。每个课程都会显示每个变量（年级、GPA、及格/不及格）与性别变量之间的双列相关性。从前面的讨论中可以清楚地看到，在所分析的变量中，GPA是唯一在acad emic绩效变量等级和通过/失败上具有显著影响的变量。因此，这将被用作划分学生群体的唯一标准。从现在起，我们的分析将集中在平均成绩和及格/不及格变量作为成功的衡量标准，而GPA将用于第3.2节讨论的细分目的。在表e 5中，显示了所有服务课程这些变量的全球平均值（从2010-1年到2017-1年）。3.2. 细分过程学生群体的划分应按课程进行。对于参加课程的每组，算法计算10个GPA数值区间的区间[0，5]的分区我l: l ∈ [10], 所以大约百分之十的人口包含在l对于所有人l ∈ [10]. 同样，如果绘制相对频率的直方图，如图1所示，曲线和任何间隔之间的面积应在0.1左右。因此，如果fgpai是GPA变量的相对频率lfGPAdx~ 全部为0.1l ∈ [10].

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2022-6-10 20:03:57

下面的伪代码1总结了上述过程。VARIABLECOURSEDC IC VC VAG LA ODE BM NMGrade 2.6849 2.7829 3.2198 2.8616 3.0233 3.1170 2.8308 3.1893GPA 3.2213 3.3527 3.4969 3.2386 3.3201 3.4548 3.2696 3.5330通过/失败0.5010 0 0 0.5339 0.7151 0.5901 0.6398 0.6846 0.5441 0.6924尝试次数1.7382 1.9140 1.4996 1.5205 1.5495 1.7710 1.0549 1.4115表5：学业成绩变量平均值，课程：全部。显示了2010-1至2017-1年间每门课程学生的平均成绩（根据变量等级、GPA和及格/退学分数计算）。0 1 2 3 4 5kPa标度0.00.20.40.60.81.01.2GPA相对频率（a）示例DC。GPA柱状图，2010-1至2017-1.0学期1 2 3 4 5GPA等级0.00.20.40.60.81.01.2GPA相对频率2011-1学期2015-1学期1（b）DC示例。GPA直方图，2010-1和2015-1学期。图1：差异微积分GPA归一化直方图。图（a）显示了数据库集合数据中可用的所有这些测量值的归一化频率直方图。csv。图（b）显示了仅两个学期的归一化直方图，用于光学目的。请注意，在这两种情况下，归一化直方图下方的区域正好等于一个区域。数据：数据库：AssembledData。csv。年和学期。分析课程：DC，IC。。。，纳米。结果：GPA分割区间的极值我l: l ∈ [左]; 极值=[0，n 1，n 2，…，5]初始化；列表GPA← 排序（散列GPA变量fromAssembledData.csv[（课程=分析课程）&（年=y）&（学期=s）]）；极值0← 0;对于i∈ [10] doextremes i公司←i×ListGPA的长度;endif列表极端值包含重复的极端值← 删除极端算法1中的重复：学生分段标记3。

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2022-6-10 20:04:00

请注意，算法1旨在生成十个分段，但最后一条指令考虑删除之前定义的十一个极端中的一些点，以防重复。如图1（b）所示，当某一特定GPA值过于频繁时，就会出现这种情况，2011-1学期的GPA峰值为3。如图1（a）所示，在其他学期也可以观察到类似的峰值。3.3. 演讲者表现的计算演讲者作为成功因素的处理完全是根据研究案例量身定制的，不能将其视为一般方法，预期（平均）表现将根据成绩和通过/失败变量进行计算。为了计算教员的表现，首先要进行细分过程我l: l ∈ [左]（如第3.2款所述）必须完成。接下来，计算遵循以下两个原则（i）附属原则和分为不同组的TEN u red（轨道或非轨道）讲师。（ii）如果特定讲师的经验（数据库AssembledData.csv中的完整PERSO n a l教学日志）在第I段中l经分析，累计不到30人，其绩效如下l由他/她所属的组（附属或终身）在该组中的平均表现来代替，即受分析部分约束的学业成绩变量（APV）的条件期望：eAPV公司讲师=x, 参见【17、18】。备注4。兼职和终身教官的分离是因为在分析机构内，不同群体的工作条件、期望以及结果存在显著差异。特别是，兼职教员既不稳定，也不是全职人员。因此，这两个群体几乎没有可比性。

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2022-6-10 20:04:03

另一方面，根据数学学院的需要，有一个内部策略，即通过低年级课程轮换教师。因此，由于雇佣和教学轮换政策，兼职讲师很少在一个文件段I内积累30名或以上的学生经验l.备注5（经济角度）。通过学生成绩和及格/不及格变量来衡量教师的表现，将教师视为一个转换函数，其中输出（学生成绩）是相对于输入（学生背景）来衡量的，这在过去是常态（参见，例如，[19]）。然而，正如【19】和【20】中所指出的，这种方法有几个问题。其中一些问题是：很难准确衡量学生的背景，对负责教学难度更大的学生的教师存在偏见，以及不同教师之间学生成绩的不可比性。尽管如此，关于如何测量结构器性能的新进展一次又一次地出现。在[21]中，R.A.Berk提出了12种衡量教学效果的策略，其中一些是：体育评级、自我评价、校友评级、教学奖励等。

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2022-6-10 20:04:06

最后，考虑到我们工作的算法性质，我们只需要一个讲师绩效变量就可以提出优化方法，但算法本身适用于任何定量测量，正如上文所述。性能计算在以下pseucodeData：数据库：组合数据中进行了描述。csv。分析课程：DC，IC。。。，纳米。学业成绩变量（APV）：年级、及格/不及格分组我l: l ∈ [左].结果：分析后的cou rse的性能哈希表，以每个分段间隔为条件我l: l ∈ [左]对于所选的学业绩效变量（APV）：APV绩效终身[l], APV性能伴随[l], APV绩效讲师[l], l ∈ [五十] 初始化；讲师列表← 从集合数据中散列讲师列表。csv[课程=分析课程]；Tenu红色列表← 从讲师列表中选择终身讲师；伴随列表← 讲师列表- 终身制名单；对于l ∈ [五十] doX=表：AssembledData中的哈希APV字段。csv[（课程=分析课程）&（GPA）∈ 我l) & （讲师∈ 终身制名单）]；APV绩效终身[l] ←E（X）；X=表：AssembledData中的哈希APV字段。csv[（课程=分析课程）&（GPA）∈ 我l) & （讲师∈ 伴随列表）]；APV性能伴随[l] ←E（X）。endfor（结束）l ∈ [五十] 结构器中的dofor∈ 讲师从表：AssembledData列出doX=哈希APV字段。csv[（课程=分析课程）&（GPA）∈ 我l) & （讲师=讲师）]；如果X的长度>=3 0，则NAPV性能讲师[l] ←E（X）。结构器中的elseif∈ NAPV绩效讲师终身名单[l] ←APV绩效终身[l]ElseAppV性能讲师[l] ←APV性能伴随[l]endendendendAlgorithm 2：教员绩效的计算4。核心优化算法和历史评估本节介绍核心优化算法。

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2022-6-10 20:04:10

根据第3.3节所述的大数据分析，从本质上讲，它是将以前的算法与一个整数规划模块的集成，该模块的目标函数是最大化学术绩效变量（成绩和通过/失败）的期望。针对数据库中记录的每门课程和每学期，实现了两种方法。一、讲师分配（IA）。假设已经确定了学生的组，指派寻求最佳预期绩效伙伴关系的讲师：讲师一致的小组。这在整数规划中称为工作分配问题。二、学生作业（SA）。假设各部分（具有给定容量）及其对应的讲师固定，将学生分配到可用部分，以优化学生-教师合作的预期绩效。这是线性优化中生产问题的整数规划版本。为了正确建模整数规划，我们首先引入一些符号定义1。让N，L，J∈Nbe分别是学生总数、细分项目总数和部门总数。让p=pl: l ∈ [左]∈NL，g=gj:j∈ 【J】∈NJbe各专业段的学生人数和各专业段的能力，尤其是以下总和条件成立。九、l = 1便士l=JXj=1gj=N.（3）备注6。请注意，条件Pjj=1gj=N意味着这些区段的容量没有松弛变量。这是由于研究案例，与其他大学相比，其他大学可能会出现大量的闲置能力。定义2。让N，L，J∈N、 p∈NL，g∈定义1中的NJbe。（i）我们说矩阵G∈如果所有项都是非负整数和xj，则RL×Jis是组赋值矩阵∈ [J] G级(l, j） =pl, l ∈ [五十] ，Xl ∈ [五十] G级(l, j） =gj，j∈ [J] 。

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2022-6-10 20:04:13

（4）此外，通过Gdef定义集团分配空间=G：G是组分配矩阵.（二）出租tj:j∈ 【J】是分配给课程的讲师。对于固定APV∈等级，通过/不通过预期性能矩阵TAPV∈RJ×Las矩阵，其中心为TAPV（j，l) APV是否为可变性能，对应于分段间隔I内的讲师TJl.（iii）Gi ven集团分配矩阵G和教员团队tj:j∈ J, 确定选择performancematrix CAPVbyCAPVdef=TAPVG。（5）备注7。观察以下（i）CAPV（j，i）测量在分区{G（k，i）}Lk=1的分区gi上讲师的平均表现。（ii）从组合数学中重新调用，m PAR中n的弱组合是一个满足PMI=1ai=n的非负整数序列（a，…，am）（见[22]）。请注意G级(l, j）：j∈ 【J】是p的弱组成l对于每个l ∈ [五十] 还有那个G级(l, j） :l ∈ [左]是gjfor every j的弱组合∈ [J] 。（iii）回顾APV的预期性能矩阵TAPVF∈等级，通过/不通过, 从算法2第3.3节中构建的文件APVPPerformance讲师哈希表中恢复。接下来，我们介绍整数问题问题1（指令ors赋值方法）。让N，L，J∈定义1中的Nbe，设ξ=ξ（i，j）：i∈[一] ，j∈ 【J】∈0, 1L×Jand L和CAPVbe，如定义2中的固定组分配矩阵G和f acultyteamtj:j∈ J. 然后，讲师分配问题由viadef=maxξ给出∈ {0,1}L×JJXi=1JXj=1CAPV（i，j）ξ（i，j），（6a）受制于：JXi=1ξ（i，j）=1，j∈ [J] ，JXj=1ξ（i，J）=1，我∈ [J] 。（6b）问题2（学生作业问题）。定义1中引入的符号和chosenfaculty团队tj:j∈ J, 设π是sj中的一个置换，使得tπ（j）是al l j的j部分的指导员∈ [J] 也就是说，选择讲师分配给各部门。

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mingdashike22

2022-6-10 20:04:16

然后，学生的作业问题由vsa=maxG给出∈ GJXj=1TAPVG公司j、 π（j）= 最大值∈ GJXj=1CAPVj、 π（j）. （7）备注8。（i）观察问题2的约束仅为等式（4）的约束；这些完全包含在条件G中∈ G、（ii）注意，尽管问题2的搜索空间明显大于问题1的搜索空间，但前者的最优值不必大于或等于后者的最优值。然而，在实践中，下面的数值结果表明，情况确实如此，这并不是因为搜索空间包括在内，而是因为搜索空间大小的巨大差异。为了评估该方法带来的经济效益，有必要计算历史效益的最佳效益率，即，如果∈ G、 πh∈ sj分别是给定学期h的历史组组成和教员分配，然后，由于方法mt，相对增强ρmt由ρmtdef=100vmt给出-JPj=1塔夫格j、 πh（j）JPj=1塔夫格j、 πh（j）, mt公司∈ {IA，SA}。（8）最后，我们在下面的算法3中描述了优化算法备注9（经济角度：IA和SA解决方案为帕累托均衡）。（i） IA和SA问题是由社会福利驱动的两个调度公式。大学作为中央监管机构，旨在解决此类时间表问题，以改善其社区（即学生和教授）的社会福利。给定组分配矩阵G，IA方法寻求找到匹配对（讲师，部分），以最大限度地提高讲师的总体平均绩效，但每个讲师必须只教授一个部分。另一方面，SA方法寻求找到一个组分配矩阵G，给出一个完整的匹配对（讲师，章节）。

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mingdashike22

2022-6-10 20:04:19

更具体地说，学生群体的分布使总体平均成绩最大化。（ii）与帕累托公平相对应的解决方案和vSAare配置，即任何个人都无法改善其福利（在此特定情况下的成功机会）而不会降低系统中另一个人的福利的情况。本着同样的精神，参数ρmta是对帕累托均衡偏离的度量。请注意，IA方法比SA方法更容易实现，前者只需要分配讲师，而后者需要重新分配整个学生群体。数据：数据库：组合数据。csv。年和学期。分析课程：DC，IC。。。，纳米。学业成绩变量（APV）：成绩、通过/不通过。组分段我l: l ∈ [左].APV绩效讲师[l], l ∈ [五十] 。优化方法：mt∈ {IA，SA}。结果：对于所选课程、年份和学期，方法mt的相对增强值ρmt。初始化；课程表← hashAssembledData。csv[（课程=分析课程）&（学年=y）&（学期=s）]；讲师列表← 从课程表中哈希讲师列表；讲师绩效← 哈希APV性能讲师[讲师∈ 讲师名单]；截面列表← 课程表中的哈希节列表l ∈ [五十] dofor j公司∈ J doTAPV公司(l, j）← hashAPVInstructors性能[（讲师=讲师列表（j））&（分段=Il)];生长激素(l, j）← 长度（哈希CourseTable[（Section=j）&（Segmentation=Il)])Endindif mt=IA thenCAPV← TAPVGh，vIA← 解决问题1，输入：CAPV。elsep公司←PJj=1G(l, j） :l ∈ [左], g级←PL公司l = 1克(l, i）：i∈ 【J】, π ← 分项清单；vSA公司← 解决问题2，输入：（TAPV，p，g，π）。结束πh← 分项清单；ρmt← 计算公式（8），输入：TAPV、Gh、πh、vmt.算法3：Op timi ZATION算法4.1。

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2022-6-10 20:04:22

历史评估在本节中，我们将根据历史结果的平均值评估拟议方法的增强效果。为此，我们只需将算法1、2和3集成到主alg算法中，通过时间循环来评估每个学期的表现，然后将结果存储在表格中，这在算法4中完成。需要注意的是，除数据库外，所有剩余的输入数据都必须由用户定义。微分微积分课程的数值结果总结在表6中，如图2所示。结果表明，学生分配法（SA）比教师分配法（IA）产生更好的结果，后者适用于学业成绩变量：通过/失败和平均。这种差异不仅发生在平均值上，而且发生在每个观察到的实例（学期）上，这是由于问题1和2的搜索空间之间的大小差异，如备注8所述。另一方面，可以观察到，通过/失败变量比平均变量对优化过程更加敏感。同样，这种现象不仅发生在增强的平均值上，前者大约是后者的三倍，而且在算法分析的每个学期都会发生支配。后者之所以成立，是因为，为了提高平均变量，学生的成绩应该得到普遍提高，而通过率的提高并不那么苛刻。优化方法的结果对所有剩余的低除数课程产生类似的效果。因此，在下文中，我们将只关注通过/失败变量的分析，这是本文的标题。

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2022-6-10 20:04:26

将保留这两种优化方法以供进一步分析，这不是因为效率（显然SA会产生更好的结果），而是因为高等教育机构在实施解决方案时可能面临的管理限制。显然，从管理的角度来看，机构实施IA而不是SA更容易，同样重要的是，尽管1.4%或7%的增长乍看起来可能并不显著，但考虑到表1中显示的典型入学人数，这一好处是巨大的，表5显示了学生通过d课程所需的平均尝试次数。此外，拉丁美洲公立大学尽管存在严重的预算限制（如我们的研究案例），但仍大量资助学生，这一事实与该方法的结果更为相关。数据：数据库：AssembledData。csv。分析课程：DC，IC。。。，纳米。学业成绩变量（APV）：成绩、通过/不通过。优化方法：mt∈ {IA，SA}。结果：所选方法、课程和学业表现变量的相对增强值ρmt表。初始化；年∈ [2010、2017]dofor学期∈ [2] docall算法1，输入：（Assembled Data.csv，Year，sement，analysisted Course）；调用算法2，输入：（AssembledData.csv，分析课程，APV，分组我l: l ∈ [左]);调用算法3，输入：（AssembledData.csv，年份，学期，分析课程，APV，GroupSegmentation我l: l ∈ [左], mt）；APVmt评估[年度，学期]← ρmt.endendAlgorithm 4：历史评估算法2010-12010-22011-12011-22012-12012-22013-12013-22014-12014-22015-12015-22016-12016-22017-10246810Enhancement Percentage讲师分配方法学生分配方法（a）示例DC。

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mingdashike22

2022-6-10 20:04:29

增强结果APV=通过Rat e.2010-12010-22011-12011-22012-12012-22013-12013-22014-12014-22015-12015-22016-12016-22017-10.00.51.01.52.02.53.0增强百分比讲师分配方法学生分配方法（b）示例DC。增强结果APV=平均值。图2：示例：微分微积分课程。两个图都显示了mt的增强结果ρmt∈ {IA，SA}优化方法。教师作业方法（IA）用蓝色表示，而学生作业方法（SA）用红色表示。图（a）显示了通过/失败变量的结果。图（b）显示了平均变量的结果。备注10（经济视角：图2）。正如第4.1小节开头所述，学生作业法（SA）比教师作业法（IA）产生更好的结果。这与欧共体经验主义观点中的以下观点相一致：当个人有更多的工具参与时，他们在社会福利方面的福祉就会增加。学术APV=及格/不及格APV=平均学期mt=IA mt=SA mt=IA mt=SA2010-1 2.0482 5.8891 0.7868 1.83932013-1 0.9090 5.8924 0.4230 2.08702016-1 2.0939 8.2952 0.4391 2.1050平均1.3811 7.0432 0.5501 2.1584表6：相对增强样本，ρmt，课程：Diffee rentia l微积分。我们展示了20 1 0-1至2017-1年间微分微积分课程的平均相对提高；以及同一时间窗口内的三个学期的样本。随机分析和预测评估迄今为止，该方法已根据历史记录进行评估，即将其运营时间与15个记录学期的运营时间进行比较。本节的目的是对该方法的有效性进行蒙特卡罗模拟，并应用大数定律估计算法的性能增强。

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2022-6-10 20:04:32

为了完整起见，我们在下文中给出了其证明和详细信息，见【18】。定理1（大数定律）。允许Z（n）：n∈N是一个独立的、分布相同的随机变量序列，期望u=E（Z（1）），然后Z（1）+Z（2）+。Z（n）n- u> 0----→n→ ∞0，（9）即序列Z（n）：n∈N在Ces\'aro意义上收敛到u。为了实现蒙特卡罗模拟，我们首先将几个因素/变量随机化，这些因素/变量定义了每门课程的学期设置，见第5.1节。接下来，我们将在第5.2节中讨论规范化标准，以使enhanceme n t模拟具有可比性。最后，我们在第5.3节中给出了这两种方法的蒙特卡罗模拟结果，模拟该方法优点的随机变量（定理1中的Z（n）），以及其Ces'aro均值（Z（1）+Z（2）+的演化+定理1）中的Z（n）来确定所提出算法的渐近性能。在本节中，我们采用了一种符号约定，标签和输入算法将引用在前几节中开发的相应alg算法的随机版本。例如，RandInputAlgorithm 3，Input t：（组分配矩阵G，讲师列表，分析课程，APV，组分割我l: l ∈ [左], mt），参考上述算法3，但输入数据不同；为便于澄清，随机生成的输入数据加下划线。这种符号的引入是为了说明的简洁：避免编写一种算法，其逻辑ic与其确定性版本基本相同。5.1. 变量随机化将以相同的方式随机化四个因素：美国红色讲师人数、注册学生人数、学生GPA列表和组数。

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2022-6-10 20:04:35

首先，我们仅通过从经验数据中计算95%的置信区间，将整数值统计变量随机化，然后假设该因素的影响可以由均匀分布在该置信区间上的随机变量建模，见【17】。定义3。设x为标量统计变量，平均值为x，标准偏差为σ，样本量为n。（i）如果x是实值，其95%置信区间由IXDEF=h'x给出- 1.96σ√n、 \'x+1.96σ√镍。（10）（ii）如果x是整数值，则其95%的置信区间由IXDEF=h给出\'\'x- 1.96σ√n,\'x+1.96σ√n我∩Z、（11）其中x，·, · :R→r分别注意地板和天花板功能。以上所列统计变量的随机化在很大程度上依赖于从数据库中挖掘的经验分布。准论文1。（i）设x为标量统计变量，则其相关随机变量x在其置信区间Ix上均匀分布，即x~ Unif（Ix），其中置信区间由（11）或（10）定义，具体取决于变量x是整数还是实值。（ii）让x=xi除息的∈Rdbe是一个向量统计变量，则其相关随机变量由x给出=十、除息的, 其中xi是与xifor all i相关联的随机变量∈ [d] 如上所述。由此不难计算出随机变量的置信区间（或范围），如表7和表8所示。相反，在初始化处理时，需要进一步考虑截面和GPA变量。参数SCOURSEDC IC VC VAG LA ODE BM NM上限值3 3 5 5 5 5 4下限值6 3 4 3 3 3 2平均值7.2667 4.0667 2.6000 5.1333 3.7333 3.5333 3.3333 1.6667标准偏差0.7037 1.1629 0.7368 1.9952 1.2228 0.9155 1.0465 0.6172表7：随机变量：终身教官人数NT，课程：全部。

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2022-6-10 20:04:38

显示所有课程中随机变量“终身教官人数NT”的上限和下限、平均值和标准差。参数ScourseDC IC VC VAG LA ODE BM NM上限1554 1203 586 1243 1045 882 974 301Lower Extreme 1337 1043 513 1050 932 721 837 234平均1445.9333 1122.8667 549.8000 1146.5333 988.6667 801.8000 905.4000 267.5333标准偏差213.4446 156.8642 70.9969 188.8304 110.7229 158.4433 134.2971 65.4847表8：随机变量：注册学生人数NE，课程：全部。显示所有课程中随机变量“终身制学生人数NE”的上限和下限、平均值和标准差。Sections变量是具有不同容量的几个部分的列表。对数据的统计扫描表明，该列表是一个最不可预测的变量，因为路段通行能力在15到150之间，每个值的相对频率都很低。因此，决定在INTEGER Intervaldefinition 4中对部门能力进行分组。给定整数间隔的列表idef=[15, 30], [31, 45], [46, 60], [61, 75 ], [76, 90], [91, 105], [106, 120], [121, 135], [136, 150], （12）对于每学期和每门课程，章节频率变量由FDEF给出=nsIPK公司∈ 检验：I∈ 我, （13）其中nsi是容量属于区间I的区段数∈ 一、次级论文2。截面变量S完全由组数变量NS定义，如下方式：df=lNSsfm。（14）这里，sf是方程式（13）中引入d的sf的平均向量，可以理解为天花板函数· 应用于向量的每个分量。最后，GPA变量被视为论文3中的以下变量。每学期定义xdef=xi：我∈ [50], 其中xi是GPA等于toi的注册学生的相对频率；尤其是RPI∈ 【50】xi=1。

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2022-6-10 20:04:41

让XGPAbe将相关的随机变量添加到相对频率x的列表中，如假设1所述。然后，随机变量GPA由GPADEF给出=东北XGPA, （15）式中，NE是注册学生数随机变量，可以理解为上限函数·应用于向量的每个分量。备注11。请注意，随机变量S和GPA都是标量和向量的乘积。然而，对于S，标量是一个随机变量NS，向量sf是确定性的，而在GPA的情况下，标量和向量XGPAare是随机变量。向量变量的随机化存在差异。到目前为止，S=s（1）K:K∈ 我正在生成一个容量在I（方程式（12））中声明的范围内的分区列表，这将引入一套稍后将使用的宽松裤，以使注册学生人数NE与总分区容量相匹配。一旦扳平比分，比赛将分几个步骤进行∈ IsK=NE时，将随机生成一个组分配矩阵G（如定义2（i））。第1步。解决以下数据拟合Pr问题（其解决方案请参见[23]）问题3。给出S的两个实现=s（1）K:K∈ 我和NE，考虑整数问题df（1）=minXK公司∈ Is（1）KXi=1xK，i- 氖: xK，i∈ K、就我而言∈s（1）K和K∈ 我. （16）表示为x（1）K，i:i∈ [s（1）K]，K∈ 我问题（16）的最优解。如果df（1）≡ 0然后跳到下面的步骤4。第2步。决定是否更方便增加或减少截面数s（1）K7→ s（2）K根据这种情况，使用贪心算法5，修改路段的通行能力，从大路段到小路段，并获取DF（2）def=XK公司∈ Is（2）KXi=1x（1）K，i- 氖< df（1）。

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