模型M的BIC可以写为（一些作者使用否定的形式）BIC（M）=2 log（L（M | D））- log（n）dim（M），其中n表示数据点的数量，dim（M）表示模型中的参数数量。从给定的一组模型中，BIC最大的模型被视为较好的模型。自然，一种模型比另一种模型“好”多少的指标是BIC中的差异，其中严格大于10的aBIC差异被视为模型优越性的有力证据。BICDifference 138.5 10表3。穆迪数据集上非马尔可夫模型和马尔可夫模型之间的BIC差异。表3中的结果让我们相信，我们的非马尔可夫模型在没有过度拟合的情况下，能够更好地捕捉现实，并且与马尔可夫模型（CTMC）相比，具有足够的简约性。4.5. 示例和测试作为时间映射的违约概率：马尔可夫与非马尔可夫。非马尔可夫理论的一个重要方面是它如何影响TPM和转移概率的估计。2020年2月日量化金融PdRS2019 QF ARXIV备注4.2（获取转移概率和模型模拟）在标准马尔可夫设置中，使用（3.1）计算TPM。在非马尔可夫模型中，我们没有这样一个简单的关系，因此我们不得不使用蒙特卡罗技术。在这种情况下，我们在一开始的每个评级中规定了多家公司（我们总共使用了10家），并根据Point流程模型模拟了各个过渡。通过记录各公司在不同时间点的评级（见下文），我们可以在多个时间范围内构建过渡矩阵，就像构建经验LTPM一样。我们动量模型的模拟类似于标准CTMC的模拟，即根据当前状态模拟“跳跃时间”，然后模拟要跳入的新状态。

这里的主要区别是动量模型中存在的时间和历史依赖性的增加复杂性。为了模拟固定公司的跳跃时间，我们使用了在不同强度下引入的标准接受/拒绝方法（Ogata 1981，算法2）。对于每个可接受的跳变时间，我们然后根据该时间计算跃迁概率，并模拟跳变到下一个状态。然后，我们对每家公司重复此过程，直到达到所需的时间范围。当使用CTMC马尔可夫模型和我们的非马尔可夫模型时，了解违约概率在时间上的演变是如何变化的，这一点尤其令人感兴趣。使用校准模型，图5将各种评级的违约概率作为时间映射进行了详细说明。0 0.5 1 1.5 2时间（年）01234违约概率10-6AAAMarkov非Markov置信区间0.5 1.5 2时间（年）01234违约概率10-4BA0.5 1 1.5 2时间（年）00.0050.010.0150.02违约概率0.5 1.5 2时间（年）00.10.20.30.4违约概率图5。各模型给出的不同评级的违约概率随时间的变化。从图5可以得出的第一个观察结果是，非马尔可夫模型产生了较高的违约概率，但Ca评级除外（对于评级Caa，非马尔可夫违约概率也较低）。原因正是数据中的非马尔可夫性。在马尔可夫框架中，所有评级相同的公司都被视为相同的公司，因此，如果非马尔可夫模型允许，一家投资级公司不太可能继续快速降级。另一方面，公司可能在违约前进入Ca评级，因此在momentummodel中，一些处于该评级的公司有一个额外期限，使得违约的可能性更大。

这意味着我们可以考虑更多的默认值，同时保持Q矩阵Ca到C的入口更小。在马尔可夫模型中并非如此，因此从Caone产生足够的默认值会使Q矩阵条目变大。因此，马尔可夫模型高估了初始评级为Ca的债务人的违约概率。违约概率：经验违约概率Vs.马尔可夫违约概率Vs.非马尔可夫违约概率。为了测试这些结果的可靠性，我们可以将每个校准模型估计的一年违约概率与我们从数据中观察到的情况进行比较。为此，我们确定了一些时间范围T（此处为一年），并考虑在此期间违约或未撤销的所有公司。WethFebruary，2020量化金融PdRS2019 QF ARXIV然后根据公司在时间零点和时间点的评级，在此期限内构建经验TPM。仅关注违约概率，我们得到了表4中的结果。ModelRatings投资等级投机等级AAA Aa A Baa Ba B Caa实证0 0 0 0 0.0004000 0.0005 0.0012 0.0064 0.0563非马尔可夫1×10-64 × 10-60.0000125 0.0000734 0.0011 0.0052 0.0298 0.0845Markov 3×10-82.5 × 10-74.86 × 10-70.0000271 0.0002 0.0031 0.0407 0.1635#公司per413 1313 2232 2318 2021 4504 1333 59评级为t=0表4。将每个模型的一年违约概率与经验观察结果进行比较。作为参考，我们在穆迪数据集中明确添加了开始时间t=0时每个评级的公司数量。表4中的结果很有趣，因为它们突出了模型中的显著差异。不幸的是，从投资级别开始，我们没有足够的数据来全面评估这一级别的违约概率。一年内违约的唯一级别是观察到的Baa，高于两个模型的预测。

动量模型可能无法捕捉这种概率的一个原因是我们设置动量参数的方式，即投资和推测集，而Baa正处于转折点。另一方面，这一数字是从较少的默认值中估计出来的，因此会出现较大的错误。比较马尔可夫模型和非马尔可夫模型，我们的模型使得投资级违约的可能性更大，这并不奇怪。对于投机等级，我们观察到，在非马尔可夫模型中，Ca和Caa公司的一年违约概率较低，这些估计更接近于经验观察。这正是由于前面提到的原因，公司降级为Ca和Caa“毒害”马尔可夫环境中的数据。这意味着在马尔可夫世界中，一家公司最初被评为AA或Ca的风险比实际风险更高。模型之间的差异可能会对银行监管的资本要求产生很大影响。虽然非马尔可夫模型使大多数评级风险高于马尔可夫模型，但我们认为它能更准确地反映违约风险。备注4.3（删失数据的限制）遗憾的是，在我们的研究中，由于删失数据，我们仅限于小时间范围。也就是说，由于默认值是吸收的，所以一旦公司发生故障，我们就会将该信息保持到终端时间。然而，许多公司在退出前几年才进行评级，因此，如果我们在更长的时间内观察经验性胎压监测系统，它们是用较少的（非违约）数据构建的。由于我们不想使用马尔可夫假设，因此似乎没有一种方法可以合并这些丢失的数据。因此，我们只能在短时间尺度上获得“准确”的数字。5.

总结在本文的第一部分中，我们展示了如何使用新的闭式表达式在离散观测数据水平上评估连续时间马尔可夫链转移矩阵中的错误。这些结果将置信区间的计算减少到当前方法所需时间的一半以下。此外，具有实际意义的是，通过使用Delta方法，我们的结果可以直观地解释模型输出中的不确定性，即违约概率。在第二部分中，我们展示了在评级转换中捕捉非马尔可夫效应的重要性。与经验违约概率和经典马尔可夫链模型相比，我们发现马尔可夫链模型在某些投机等级上高估，在投资等级上低估。我们通过提供一个能够更好地捕捉违约概率（在经验上观察到的情况下）的简约模型来解决这个问题。此外，非马尔可夫模型指出，投资等级的违约概率明显更高，而这些值未经经验观察，因此更为谨慎。2020年2月日量化金融PdRS2019 QF ARXIV我们认为，我们提出的模型提供了更准确的现实视图，因此应在信用风险建模中加以考虑。这些观察结果进一步突出了理解所谓模型风险的重要性及其在一般定量风险分析中的潜在影响。致谢与资助作者要感谢野村银行伦敦分行的R.P.Jena博士、拜仁银行慕尼黑分行的M.Fischer教授、苏黎世保险集团的H.Thompson和M.Chen以及爱丁堡大学的M.de Carvalho博士的有益评论。

作者要感谢两位匿名的推荐人，感谢他们的评论和建议，以澄清手稿。G、 dos Reis感谢葡萄牙科学技术基金会（Fundacao para a Ci^encia e a Tecnologia）通过项目【UID/MAT/00297/2019】（Centro de Matemática eAplicacoes CMA/FCT/UNL）提供的支持。M、 Pfeuffer承认DZ Bank Foundation和Universit"atsbund Erlangen Nuremberg提供的资金（拨款【S020/10264/17】）。G、 史密斯获得了麦克斯韦研究所分析及其应用研究生院、英国工程和物理科学研究委员会资助的博士培训中心（grant[EP/L016508/01]）、苏格兰资助委员会、爱丁堡大学和赫里奥瓦特大学的支持。本文中表达的观点仅为作者的观点，并不代表其雇主、穆迪分析公司、其母公司（穆迪公司）或其附属公司的观点。参考《公司债券评级漂移的影响》。《金融分析师杂志》，1992,48，64–75。Andersen，P.K.、Borgan，O.、Gill，R.D.和Keiding，N.，《基于计数过程的统计模型》，2012年，Springer Science&Business Media。Andersen，P.K.、Hansen，L.S.和Keiding，N.，《非齐次马尔可夫过程截尾观测中转移概率的非参数和半参数估计》。《斯堪的纳维亚统计杂志》，1991年，第153-167页。Bacry，E.、Mastromatteo，I.和Muzy，J.F.、Hawkes processes in Finance。市场微观结构和流动性，2015，11550005。Bielecki，T.R.，Crépey，S.和Herbertsson，A.，投资组合信用风险的马尔可夫链模型。《牛津信用衍生品手册》，第10章，第327–382页，2011年，牛津大学出版社。Bladt，M.和Sorensen，M.，离散观测马尔可夫跳跃过程的统计推断。

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取1> > 0，使得对于i 6=j，qij<1/. 此外，我们假设相邻混合，即∈ {2，…，h- 1} ，qi，i±1> 和q1,2>.我们将满足此条件的生成矩阵空间表示为∧.当一个人从事信用风险工作时，这一假设是一个微不足道的约束，因为它要求：（a）公司可以通过一个评级进行升级或降级，这显然是事实；（b）评级的变化不会太快，这也是实际情况。Let（X（t））t≥0是有限状态空间{1，…，h}上的随机过程。与X（t）相关的是，对于状态空间中的i，j，Kij（t）是间隔[0，t]中从i到j的跳跃次数，Si（t）是间隔[0，t]中状态i的保持时间。EM算法由以下公式给出：（i）取初始强度矩阵Q和一个较小的正值, so Q∈ Λ.（ii）当不满足收敛标准且Q∈ Λ,（1） E步：计算公式[Kij（T）| P]和公式[Si（T）| P]。（2） M步：为所有i 6=j设置qij=EQ[Kij（T）| P]/EQ[Si（T）| P]，并适当设置qii。（3） 设置Q=Q（其中Qis是qs的矩阵）并返回到E-step。（iii）结束while并返回Q.By（dos Reis和Smith 2018，定理2.10），前提是算法未达到∧的边界,我们（在分布和参数上）收敛到一个稳定点。通常，E-step-in-theEM算法需要进行数值计算，但是dos Reis和Smith（2018）继Van Loan（1978）和Inamura（2006）之后得出了以下结果。命题A.2设Ei为长度h的列向量，其在条目i处为1，在其他地方为零，进一步定义2h×2h矩阵C（αβ）γ和C（α）φas，C（αβ）γ：=Q Qαβeαe |β0 Q和C（α）φ：=Q eαe |α0 Qα, β ∈ {1，···，h}。考虑在n个时间点0观察到的CTMC X≤ t<t<···<tn；用y表示链在时间ts上的状态，即y：=X（ts）。

然后，观测值之间的预期跳跃和保持时间为，EQ[Kij（t）| y]=n-1Xs=1exp（C（ij）γ（ts+1- ts））ys，h+ys+1（exp（Q）（ts+1- ts）））ys，ys+1，等式[Si（t）| y]=n-1Xs=1exp（C（i）φ（ts+1- ts））ys，h+ys+1（exp（Q）（ts+1- ts）））ys，ys+1。当我们只能访问具有相同观测长度的TPMs P观测序列时，等式[Kij（T）| P]=MXu=1hXs=1hXr=1Pusr（T）exp（C（ij）γt）s、 h+r（exp（Qt））s，r，EQ[Si（T）| P]=MXu=1hXs=1hXr=1Pusr（T）exp（C（i）φt）s、 h+r（exp（Qt））s，r，其中M=T/T（观察次数），Pu是第u次观察的TPM。粗略地说，上面的公式是将TPM中的每一行包含等量的信息（观察值）。当知道状态N之间的跃迁数量时，Pusr（t）被Nsr（u）取代，其中Nsr（u）是观察u中观察到的跃迁数量。M步就是这两个数量的比率，因此结果产生了EM算法步骤的闭合表达式，使算法更快（见dos Reis和Smith（2018）中的结果）。2020年2月4日量化金融PdRS2019 QF ARXIV附录B：定理3.3的证明依赖于多元delta方法，参见（Lehmann and Casella 1998，定理8.16）。命题B.1（δ法）Let（X1ν，…，Xsν），ν=1，n、 E[Xiν]=ξi和cov（Xiν，Xjν）=σij的n个独立的随机变量s元组。设“Xidenote”为经验平均值，“Xi：=PνXiν/n”，并假设h是具有连续第一偏导数的s参数的实值函数。然后√nh（\'X，…，\'Xs）- h（ξ，…，ξs）Dist公司--→ N（0，v），v=XiXjσijh类ξih类ξj，假设v>0。我们现在有必要的材料来证明我们的结果。定理3.3的证明。渐近正态性假设意味着命题B.1的期望和协方差假设。

此外，根据基于似然推理的标准结果，σ≈ -H（^Q）-1（见（Knight 2000，第5.4章））。对于概率矩阵的偏导数，紧接着是第3.1节中的参数。还要注意，这种表示法意味着pijexist和的第一个偏导数是连续的。为了完成证明，我们只需要证明（3.4）的RHS是严格正的。首先，最大值H为负定义（因此H-1也是负定义），因此pij公司/在MLE周围V^Q6=0。观察后者是定理的一个假设，从而得出结论。附录C：点流程概述让我们讨论一下如何将历史依赖性嵌入到模型中。我们对强度为λt=u+Ztφ（t- s） dNs。Hawkes过程用于模拟许多不同的现象，从地震发生到高频交易，参见Ogata（1988）和Bacry et al.（2015）。设置φ=0会产生一个恒定的强度，这相当于马尔可夫设置。然而，φ允许我们根据过去的事件改变强度，这是动量的关键，因为过去的降级会影响未来的过渡。正如引言中所述，霍克斯过程只是一个计数过程（推广泊松过程），因此这意味着已经发生了阿拉廷转变，而不是我们进入的评级。后者是关键，我们考虑在某些状态空间上取值的过程：这种过程称为标记点过程（MPPs），参见（Daley和Vere-Jones 2003，第6.4节）。MPP是乘积空间T×K上的点过程，也就是说，对于K=1，2，…，我们返回一组值{tk，κK}。

，其中tkas是点过程的事件时间（强度λ），κkof是与事件相关的“标记”。这些概念是我们将要使用的，但总的来说，TKC可以是多维的，例如包括空间依赖性。在我们的例子中，我们有κk∈ {1，…，h}也就是说，它表示确保标记点过程得到明确定义的评级。（Daley and Vere Jones 2003，p.251）中给出了单一实现MPP的可能性，L=Ng（T）Yi=1λ*g（ti）f*（κi | ti）e-RTλ*g（u）du，其中我们有以下符号，ngi是事件发生的集合，λgis是强度，f是所谓的马克分布。这个*表示强度和标记分布取决于以前的事件。即时间ti的强度，λ*g（ti）取决于之前的事件，{（t，κ），…，（ti-1，κi-1)}. 还要注意λ的区别*g（ti）不依赖于标记κi，但允许标记κiis依赖于时间ti。下标g是一种常用的表示法，用来表示这是地面过程，在我们的例子中，这只是升级/降级的时间安排。通过允许强度、跳跃次数和标记分布取决于之前的事件，我们可以很容易地改变升级/降级的概率，从而将评级动量嵌入到过程中。有关MPP可能性的更多详细信息，请参见（Daley and Vere Jones 2003，第7.3节）。我们认为MPP是解决这一特定问题的一个好选择，原因之一是人们可以将其视为CTMC的自然概括。从可能性来看，这是显而易见的，因为让λ=qind f=qij/qiwe恢复CTMC的可能性。