所以我们得到了那个Limn→∞Ew、v、zhγ（W*,nT）γi=γwγexp（γrT）Ew，v，zhexpλγ2(1 - γ） ZTνsdsi=γwγexpφ（T）+φ（T）z.现在我们必须考虑（7.27）的左侧。根据引理3.1的证明，我们知道对于任何πlimn→∞Wπ，nT=WπT。现在从Fatou引理我们最终得到（在γ的情况下≥ 0我们使用0作为下界，如果γ<0，我们假设一致可积）lim infn→∞Ew，v，zhγ（Wπ，nT）γi≥ Ew、v、zhlim infn→∞γ（Wπ，nT）γi=Ew，v，zhγ（WπT）γi。这意味着现在对于所有容许策略（πT）Ew，v，zhγ（WπT）γi≤γwγexp（γrT）Ew、v、zhexpλγ2(1 - γ） ZTνsdsi、 剩下要说明的是，可以得到上界。插入最优投资组合策略π的候选者*≡λ1-财富方程SDE中的γyieldsEw，v，zhγ（Wπ？T）γi=γWγEw，v，zhexpZTγr+λ（1- 2γ)2(1 - γ） νsds+ZTλγ1- γ√νsdBSsi=γwγEw，v，zhexpγrT+λγ2（1- γ） ZTνsdsMTiwithMT=exp-ZTλγ（1- γ） νsds+ZTλγ1- γ√νsdBSs.26 N.B–AUERLE和S.DESMETTRELet（FZt）是仅由（BZt）生成的过滤。然后，由于（BZt）和（BSt）不相关，我们通过条件作用得到，并且由于E【MT】=1（这类似于【28】中的示例4），因此Ew，v，zhγ（Wπ？T）γi=γWγEw，v，zhEw，v，zhexpγrT+λγ2（1- γ） ZTνsds机器翻译FZTii=γwγexp（γrT）Ew，v，zhexpλγ2(1 - γ） ZTνsds我指的是这句话。定理5.4的证明我们首先考虑近似值。对于任意可容许投资组合策略π，我们得到wπ，nT=wexpZT公司r+πsa（νns）（λ-πs）ds+ZTπspa（νns）dBSs. （7.28）注意π是（Ft）-适应并因此独立于n。自π起*≡λ1-根据定理5.3，γ是n-thapproximation的最佳值，我们得到了新的，v，zhγ（Wπ，nT）γi≤ Ew、v、zhγ（W*,nT）γi（7.29），其中我们写W*,n代替Wπ*,nT。插入最优投资组合策略π*利用定理5.1中的Feynman-Kac结果，得到右手侧视图，v，zhγ（W*,nT）γi=γwγexp（γrT）Ew，v，zhexpλγ2(1 - γ） ZTa（νns）dsi。

（7.30）通过单调收敛，我们得到limn→∞Ew、v、zhexpλγ2(1 - γ） ZTa（νns）dsi=Ew、v、zhexpλγ2(1 - γ） ZTa（νs）dsi、 （7.31）根据随机It^o积分的定义，我们得到了sincelimn→∞EhZTπs（pa（νs）-通过ztπspa（νns）dBSsL的单调收敛，pa（νns））dsi=0（7.32）→ZTπspa（νs）dBSs（7.33），这意味着L-收敛。我们总共得到了→∞ZT公司r+πsa（νns）（λ-πs）ds+ZTπspa（νns）dBSs=ZT公司r+πsa（νs）（λ-πs）ds+limn→∞ZTπspa（νns）dBSs。（7.34）由于Skorokhod表示定理所暗示的L收敛几乎肯定收敛于合适的概率空间，我们得到→∞Wπ，nT=WπT.（7.35）现在我们从Fatou引理中最终获得了lim infn→∞Ew，v，zhγ（Wπ，nT）γi≥ Ew、v、zhlim infn→∞γ（Wπ，nT）γi=Ew，v，zhγ（WπT）γi.（7.36），这意味着现在对于所有容许策略（πT）Ew，v，zhγ（WπT）γi≤γwγexp（γrT）Ew、v、zhexpλγ2(1 - γ） ZTa（νs）dsi、 （7.37）分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化27最后，右边的值正是投资组合策略π的值函数*t型≡λ1-γ. 确认。Desmettre感谢DFG研究培训组1932工程科学创新随机模型的支持。S、 Desmetre还得到了澳大利亚科学基金（FWF）项目F5508-N26的支持，该项目是特别研究项目“准蒙特卡罗方法：理论与应用”的一部分。此外，作者感谢纳维·格拉兹的支持。参考文献【1】B–auerle，N.，Z.Li，《具有Wishart波动性的金融市场的最佳投资组合》。Journalof Applied Probability 50（4）（2013），1025-1043。[2] 拜耳，C.，P.Friz，J.Gatheral，《粗糙波动下的定价》。量化金融16（6）（2016），887-904。[3] Carmona，P.，L.Coutin，G.Montseny，一些高斯过程的近似。随机过程的统计推断3（2000），161-171。[4] 查科，G.，L.M。

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