分数和粗糙Heston模型中的投资组合优化

2022-6-10 20:30:41

分馏地粗糙赫斯顿模型中的投资组合优化*和SASCHA DESMETTRE+，摘要。我们考虑了[16]所启发的赫斯顿波动率模型的分数版本。在这个模型中，我们处理电力效用函数的投资组合优化问题。使用分数部分的适当表示，然后进行合理的近似，我们表明可以将问题转换为经典的随机控制框架。这种方法适用于分数过程。我们推导了显式解，并得到了积分波动率的拉普拉斯变换的副产品。为了消除一些不需要的特征，我们引入了一种新的基于Marchaud分数阶导数的粗糙路径模型。我们提供了一个数值研究来强调我们的结果。关键词：分数随机过程；赫斯顿模型；崎岖的道路；随机控制；Hamilton-Jacobi-Bellman方程；Feynman Kac代表1。引言【19】的随机波动率模型是目前金融衍生品定价的标准模型，大量相关文献强调了这一点；比较扩展教科书[33]和其中的参考文献，以获得全面的概述。在连续时间投资组合优化的背景下，赫斯顿模型与[37、4、23、27、1]中使用的随机控制方法以及[21]中使用的鞅方法相比，前者关注的是找到一种能够最大化终端财富预期效用的交易策略。大量文献对赫斯顿模型的分数变量进行了研究，该模型使用Hurstindex H>1/2的分数布朗运动作为波动过程的驱动力，从而模拟长期记忆效应，包括。

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2022-6-10 20:30:44

[5, 26].从[14]中观察到的波动性是粗糙的开始，当前的文献采用了一种新的观点：粗糙的赫斯顿模型，它使用分数布朗运动，Hurstindex H<1/2作为波动过程的驱动力，结合了更好的隐含波动性表面，如[14]所示，已经非常流行；比较例如[16，7]。随后，出现了许多关于期权定价、路径模拟、渐近性以及分数和粗糙环境基础的论文；比较一下[2、8、20、30、11、15]，举出几个例子。众所周知的图也反映了粗糙路径理论日益重要的普遍意义【29，12】。另一方面，长期以来，分数模型和粗糙模型中的投资组合优化很少受到关注。在早期的研究中，[35]涉及分数布莱克斯科尔斯市场中的默顿问题。然而，随着粗糙波动率模型的日益普及，这些模型中的随机控制方法和投资组合优化最近被处理如下：例如，在[6]中，对于一类由路径驱动的受控微分方程，值函数满足Hamilton-Jacobi-Bellman型方程。在具体的最优投资组合设置中，[9，10]使用价值的鞅失真表示*卡尔斯鲁厄理工学院数学系（KIT），德国卡尔斯鲁厄D-76128。+数学系，TU Kaiserslautern（TUK），D-67663 Kaiserslautern，德国。+奥地利格拉茨大学数学与科学计算研究所，AT-8010 Graz。c0000（版权所有人）2 N.B–AUERLE和S。

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2022-6-10 20:30:47

当标的资产的收益率和波动率是分数Ornstein-Uhlenbeck过程的函数时，DESMETTREfunction建立最佳值的一阶近似值。在本文中，我们使用经典的随机控制方法，在分数和粗糙Heston模型中求解了具有幂效用函数的投资者的最优投资组合问题。当然，直接应用随机控制方法是不可能的，因为相应的随机过程（波动率和股价过程）是非马尔可夫的；比较例如[31]。然而，我们通过分数部分的适当表示以及区域合理近似表明，可以将问题转换为经典框架。因此，我们的计算基于基础挥发性过程的有限维近似，灵感来自于[3，17]中分数过程的有效表示。然后将原始优化问题的解作为近似问题的极限。这一过程产生了这类问题的数值解法。此外，作为副产品，我们推导了分数和粗糙情况下的Feynman-Kac型公式，将相关偏微分方程的解描述为积分波动过程的Laplacetransform。在粗略的情况下，我们使用了一个新的波动率模型，该模型基于马绍德分数阶导数，似乎弥补了以前模型的一些缺点。事实证明，在使用分数波动率模型进行投资组合优化时，必须非常小心。

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mingdashike22

2022-6-10 20:30:50

这一方面是由于这些模型的一般行为，但也由于依赖性属性。本文概述如下：第2节介绍了金融市场模型和赫斯特参数H情况下的优化问题∈ (, 1). 这里我们使用分数里曼-刘维尔积分（比较[16]）来计算波动率。在第3节中，我们提供了优化问题的有限维近似，通过求解相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程得出了一个解，并验证了所获得的解是非最优的。第4节说明近似分数模型的解收敛于原始分数模型的解。在第5节中，我们重点介绍了Hurst参数H的合适粗糙Heston模型的定义∈ （0），并求解相应的最优投资问题。第6节接着阐述了分数和粗糙的赫斯顿模型，并评估了推断出的最优投资策略的行为。附录中包含了一些证明和辅助结果。2、金融市场模型与优化问题假设(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）是一个过滤的概率空间，T>0是一个固定的时间范围。我们考虑一个只有一种债券和一种风险资产的金融市场。债券按照ODST=rStdt（2.1）演变，r>0为利率。股票价格过程S=（St）由dst=St给出（r+λνt）dt+√νtdBSt（2.2）其中（BSt）是（Ft）-布朗运动，λ>0是常数。波动过程（νt）是一个v：=v的“分数”Cox-Ingersoll-Ross过程≥ 0：νt=v+Γ（α）Zt（t- s） α-1Zsds（2.3），其中α=2H- 1.∈ （0，1），Hurst指数为H∈, 1.anddZt=κ（θ- Zt）dt+σpZtdBZt（2.4），Z：=Z≥ 0是通常的Cox-Ingersoll-Ross模型。

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mingdashike22

2022-6-10 20:30:54

假设常数κ、θ、σ为正，并满足Feller条件2κθ≥ σ. 这意味着（Zt）保持概率为1的严格正态。“粗糙波动率”案例H∈ （0，）将在以后考虑。（BZt）也是（Ft）-布朗运动。我们假设（BSt）和（BZt）与分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化相关3相关ρ∈ (-1，1），即hBS，BZit=ρt。注意，（2.3）中出现的积分对于α定义良好∈ （0，1）自Γ（z）：=R∞e-ttz公司-对于z>0，1dt定义得很好。运算符iαf（t）：=Γ（α）Zt（t- s） α-1f（s）ds（2.5）是α阶的经典左分数Riemann-Liouville积分，也称为Euler变换（参见[34]中的定义2.1]）。其中，它具有limα的性质→0Iαf（t）=f（t）（2.6）逐点（参见[34]中的定理2.7），这意味着在极限情况下α↓ 0我们得到了[19]的经典Heston模型。自Zt起≥ 0几乎可以肯定我们得到了νt≥ ν几乎可以肯定≥ 0、t、h可显示（见【16】）≥ 0 thatCov（νt+h，νt）=Γ（α）Zt+hZt（t- s） α-1（t+h- u） α-1Cov（Zs，Zu）dsdu（2.7），其中cov（Zs，Zu）=σθ2κe-κs-u |+z- θκe-κ（s∧u）-2κ（2z- θ） e类-κ（s+u）（2.8）和s∧ u=最小值（s，u）。这意味着波动过程（νt）具有长期依赖性。此外，操作符Iα具有平滑特性（有关模拟结果，请参见第6节）。备注2.1。[8] 给出一个分数/粗糙Heston模型的替代公式，它比（2.3）和（2.4）给出的分数CIR过程更接近分数布朗运动的Mandelbrot-vanness表示。

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2022-6-10 20:30:57

我们选择了接近于[16]的公式，因为结果表明，与该问题对应的Hamilton-Jacobi-Bellmann方程与[8]中模型对应的方程更容易处理。利用α∈ （0，1）（t- s） α-1Γ（α）=Z∞e-（t-s） xu（dx），其中u（dx）=dxxαΓ（α）Γ（1- α）（2.9）我们用Fubini定理νt=v+ZtZ得到∞e-（t-s） xZsu（dx）ds=v+Z∞中兴通讯-（t-s） xZsdsu（dx）=v+Z∞Yxtu（dx），其中Yxt：=中兴通讯-（t-s） xZsds。（2.10）使用部分积分，我们发现（Yxt）满足随机微分方程Yxt=（Zt- xYxt）dt。（2.11）优化问题是在这个市场中找到自我融资的投资策略，最大限度地提高终端财富的预期效用。作为效用函数，我们选择功率效用函数U（x）=γxγ，γ<1，γ6=0。参数γ表示投资者的风险规避。γ越小，风险厌恶程度越高。下面我们用πt表示∈ R时间t时投资于股票的财富份额。1-π是在时间t投资于债券的财富份额。如果πt<0，则意味着股票卖空，πt>1对应于信贷。这个过程π=（πt）被称为投资组合策略。可接受的portfolio4 N.B¨AUERLE和S.DESMETTREstrategy必须是一个（Ft）适应的过程，以便所有积分都存在。可容许投资组合策略下的财富过程π由随机微分方程dWπt=Wπt（r+πtλνt）dt+Wπtπt给出√νtdBSt，（2.12），其中我们假设W=W>0是给定的初始财富。优化问题由v（w，v，z）定义：=supπEw，v，zγWπTγ（2.13）其中Ew，v，zi是给定W=W，ν=v，Z=zan的条件期望，且至上数接管所有可接受的投资组合策略。投资组合策略π*如果达到最大值，则为最佳值。

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2022-6-10 20:31:01

该问题被视为具有状态过程（Wπt）的优化问题，它是非马尔可夫的，标准的随机控制方法无法应用。通过（2.10）中波动率的交替表示，该问题可以“马尔可夫化”，但仅在x>0的有限维过程（Wt、Yxt、Zt）内。因此，我们通过寻找有限维近似来解决这个问题。备注2.2。当然，假设决策者可以观察到股票价格过程是合理的。通过观察（St），我们还能够观察二次变量hsit=ZtSuνudu，（2.14），这意味着（νt）是可观察的。使用（2.3），这意味着（Zt）是可观察的，而定义（Yxt）。因此，在该模型中假设νt、yx和zt的知识是现实的。优化问题的有限维近似思想是考虑表示νt=v+Z∞Yxtu（dx），其中Yxt：=中兴通讯-（t-s）分数挥发性过程（νt）的xZsds（3.1），由动力学νt=v+Γ（α）Zt（t）给出- s） α-1Zsds，dZt=κ（θ- Zt）dt+σpZtdBZt，（3.2），并通过原子数有限的离散测量接近u。因此，我们使用u的量化，定义如下（这也在[3]中使用）：设Zn：={0<ξn<…<ξnn<∞} 对于i=0，…，确定各间隔（ξni，ξni+1）上u的重心，n- 1 byxni+1：=Rξni+1ξnixu（dx）Rξni+1ξniu（dx），（3.3）和i=0时原子上的质量，n- 1 byqni+1：=Zξni+1ξniu（dx）。（3.4）相应的度量由un给出：=nXi=1qniδxni（3.5），其中δxis是x上的Dirac度量。在下面的内容中，我们假设znsaties：（i）ξn→ 0和ξnn→ ∞ 对于n→ ∞,（ii）δ（Zn）：=最大值=0，。。。，n-1 |ξni+1- ξni |→ 0表示n→ ∞,（三）锌锌+1。分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化5利用这些定义，我们得到：引理3.1。假设f∈ L（u）和序列（Zn）满足上述（i）-（iii）。

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可人4

2022-6-10 20:31:04

然后是ZFDun→Zfdu，n→ ∞ （3.6）如果f≥ 0和f是凸的。此外，收敛性是单调递增的。这个引理的证明和所有其他更长的证明被推迟到附录中。现在让我们用νnt：=v+Z来描述有限维近似波动过程∞Yxtun（dx）=v+nXi=1qniYxnit（3.7），其中u在（3.5）中定义。然后，直接应用前面的引理，现在意味着以下结果：定理3.2。在引理3.1的假设下，它适用于t≥ 0该νnt↑ n的νt（3.8）→ ∞ 几乎可以肯定。证据我们必须证明这一点∞Yxtun（dx）→Z∞Yxtu（dx）（3.9），其中Yxt=Rte-（t-s） xZsds。显然对于固定ω∈ Ohm 固定t>0，函数x 7→ Yxt（ω）是非负且凸的（请注意，Zs（ω）表示所有大于0正的s）。因此引理3.1意味着νnt↑ νt对于n→ ∞ 几乎可以肯定。我们现在考虑（3.7）中的（νnt），而不是（2.3）中的（νt）。本节中的所有随机过程都依赖于n（除了（Zt）），但为了简化符号，我们没有在符号中明确表示这种依赖关系。因此，近似股价过程的动力学由DST=St给出（r+λv+nXi=1qiYxit）dt+VUTv+nXi=1qiYxitdBSt公司（3.10）如前所述，对于x>0，我们有dyxt=（Zt- xYxt）dt（3.11）dZt=κ（θ- Zt）dt+σpZtdBZt。（3.12）近似财富过程的随机微分方程为thusdWπt=Wπtr+πtλv+nXi=1qiYxitdt+Wπtπtvuutv+nXi=1qiYxitdBSt公司。（3.13）我们考虑的优化问题与（2.13）中的上述过程相同。这导致了一个有限维经典随机最优控制问题。我们必须考虑值函数sv（t，w，y，…，yn，z）：=supπEt，w，y，。。。，yn，zγWπTγ. （3.14）式中，Et，w，y，。。。，yn，Zi是给定的条件期望，Wt=w，Yxit=yi，Zt=z在时间t。与之前一样，投资组合策略是（Ft）适应的过程。

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2022-6-10 20:31:07

在下面的内容中，我们推导出该优化问题对应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。用G（t，w，y，…，yn，z）和t表示泛型函数∈ [0，T]，w>0，yi≥ 0，z>0。由G（T，w，y，…，yn，z）=γwγ给出了6 N.B¨AUERLE和S.Desmettre边界条件。为了便于记法，我们设置β：=v+Pni=1qiyi。因此，HJB方程reads0=supu∈RnGt+Gww（r+uλβ）+nXi=1Gyiz- 西仪+ Gzκ（θ- z） +gwwuβ+Gzzσz+Gwzwuσρpzβo.（3.15）我们将首先证明此HJB方程的经典解存在，并且可以在不相关的情况下精确给出ρ=0。定理3.3。HJB方程（3.15）的解存在于一定的时间间隔[0，T∞] andis代表t∈ [0，T]，T≤ T∞, w>0，yi>0，z>0，由g（t，w，y，…，yn，z）=γwγg（t，y，…，yn，z）c（3.16）给出，c=1-γ1-γ+γρ和可微g满足0=cgt+gγr+λβγ1- γ+ cnXi=1gyi（z-西医）+cgzκ(θ -z） +λγσρ√zβ1- γ+σczgzz。（3.17）在不相关的情况下，ρ=0，函数g可以通过g（t，y，…，yn，z）=exp显式给出φ（T- t） +nXi=1ψi（t- t） yi+Д（t- t） z式中ψi（T- t） =ηqiZT-te公司-η：=γλ1的xisds（3.18）-γ、Д和φ是普通微分方程Дt（t）的解- t） =ηZT-tZ公司∞e-xsun（dx）ds- κИ（T- t） +σД（t- t）（3.19）φt（t- t） =γr+vη+Д（t- t） κθ。（3.20）边界条件为Д（0）=φ（0）=0。备注3.4。请注意，（3.19）是一个Riccati方程，并且（3.20）可以在已知ν的解后显式求解。在下面的讨论中，需要注意的是，部分微分方程（3.17）的解g可以通过费曼-卡茨定理表示为积分波动率的拉普拉斯变换。定理3.5。对于T，边界条件g（T，y，…，yn，z）=1的偏微分方程（3.17）的解g∈ [0，T]，T≤ T∞, w>0，yi>0，z>0写为g（t，y。

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mingdashike22

2022-6-10 20:31:11

，yn，z）=Et，y，。。。，yn，z“eRTtγrc+γλ（1-γ） cνnsds#（3.21），其中常数c已在上一个定理中定义，|νnt=v+Pni=1qniYxnitanddYxt=（|Znt- x▄Yxt）dt（3.22）d▄Znt=κ(θ -Znt）+λγσρ1- γq▄Znt▄ntdt+σqZntdBZt。（3.23）在不相关的情况下，ρ=0，我们得到了分数和粗糙HESTON模型中的νt=~νtPORTFOLIO优化证明。这一陈述源自[18]中的定理1，其中我们将Xiofprocess X的组件识别为进程▄Z，▄Yj，j=1，n、 [18]中出现的f前面的函数c由c（t，y，…，yn，z）=γrc+γλ（1）给出- γ） c类v+nXi=1一气. （3.24）我们还有bn+1（t，y，…，yn，z）=κ（θ- z） +λγσρ1- γqz（v+Xqiyi）（3.25）此外，文[18]中的函数g和h在这里由g给出≡ 0，小时≡ 1、还要注意的是，满足了[18]中定理1的（A1）、（A2）和（A3’）。定理3.6。[验证]假设G（t，w，y，…，yn，z）：=γwγG（t，y，…，yn，z），如（3.21）所示。那么对于t∈ [0，T]，T≤ T∞, 最优投资策略（π*t）对于问题（3.14），由π给出*t=λ1- γ+cσγ1- γsZtνntgzg，（3.26）和V=G，即G与值函数一致，前提是rtgcwγsπ*s√νnsdBSsandRtGzσ√zsdbzs是真鞅。在不相关的情况下，ρ=0，我们有π*t型≡λ1-γ和值函数可以写成v（t，w，y，…，yn，z）=γwγexpφ（T- t） +nXi=1ψi（t- t） yi+Д（t- t） z, （3.27）式中，ψiare在（3.18）中给出，ψ和φ是（3.19）和（3.20）的解。备注3.7。注意，在ρ=0的情况下，最优投资组合策略根本不取决于波动率。这在股票的布朗运动与波动过程不相关，且升值率与波动率存在一定关系的情况下是典型的（见例[1]）。它对应于我们的模型中精确为λ的默顿比。4.

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2022-6-10 20:31:15

分式优化问题我们现在通过取极限n来解决问题（2.13）→ ∞ 在上一节的结果中。特殊情况ρ=0将在第4.2.4.1节中单独讨论。相关案例。从定理3.5中我们知道，近似值函数本质上是由积分过程的拉普拉斯变换（￠νnt）给出的。我们讨论了（3.23）中给出的考虑因素（Znt），并讨论了如果n趋于∞. 为此，我们将其写为▄Znt=▄Z+Ztκ（θ-Zns）+λγσρ1- γqZnsvuutv+nXi=1qniZse-（s）-u） xi▄Znududs+σZtq▄ZnsdBZs。（4.1）对于下一个结果，我们将（~Znt）视为DR[0，T]中的随机元素∞] 并表示为=>弱收敛。引理4.1。它认为（Znt）=> （Zt）在Skorohod拓扑中，并且（Zt）满足▄Zt=▄Z+Ztκ（θ-Zs）+λγσρ1- γqZssv+Z∞Zse公司-（s）-u） x▄Zuduu（dx）ds+σZtq▄ZsdBZs。（4.2）8 N.B¨AUERLE和S.Desmettre因此，我们有一个极限（Zt）的收敛性，该极限满足通过积分替换和得到的SDE。我们继续财富过程本身。随机微分方程（3.13）可以显式求解，我们得到了任意容许的投资组合策略πWπ，nT=wexpZT公司r+πsνns（λ-πs）ds+ZTπspνnsdBSs. （4.3）在下面的内容中，我们表示Vn（w，v，z；π）：=Ew，v，zhγ（wπ，nT）γi，（4.4）Vn（w，v，z）：=supπVn（w，v，z；π），（4.5）v（w，v，z；π）：=Ew，v，zhγ（wπT）γi，（4.6），然后可以显示引理4.2。假设对于固定策略π，序列（Wπ，nT）是一致可积的。Thenlimn公司→∞Vn（w，v，z；π）=v（w，v，z，π）。Vn（w，v，z）的值在定理3.3和定理3.5中明确给出，且极限v：=limn→∞Vn因单调收敛而存在（见引理7.2）。最后我们得到了Theorem 4.3。[ε-最优策略]假设引理4.2的假设是有效的。

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2022-6-10 20:31:19

让ε>0，并选择足够大的n，以便|(R)V- Vn |<ε以及| Vn（w，v，z；πn）-V（w，V，z；πn）|<ε，其中πnis是近似n的最优策略。然后πnisε是原始投资组合问题的最优策略（2.13）。证据自“V=limn”→∞supπVn（·；π），（4.7）V=supπlimn→∞Vn（·；π），（4.8）我们得到≥ 五、因此，接下来是0≤ 五、- V（·，πn）≤\'\'V- V（·，πn）≤ |\'\'V- Vn |+| Vn- V（·；πn）|≤ ε（4.9），表示该陈述。因此，我们可以通过求解近似问题来解决原始问题，直至达到任意小的误差。在不相关的情况下，可以精确地解决原始问题。我们将在下一节中这样做。4.2. 不相关案例。当ρ=0时，我们得到更明确的结果。我们首先考虑定义值函数的微分方程（3.19）和（3.20）。请注意，第二微分方程不依赖于n。用于ν的Riccati方程正式转变为n→ ∞至Дt（t- t） =ηZT-tZ公司∞e-xsu（dx）ds- κИ（T- t） +σД（t- t）（4.10）带边界条件Д（0）=0。使用（2.9）我们得到∞e-xsu（dx）=sα-1Γ（α）（4.11）和进一步的ZT-tsα-1Γ（α）ds=（T- t） αΓ（α+1）。（4.12）分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化9最后，在极限情况下，微分方程组（3.19），（3.20）由νt（t）给出- t） =η（t- t） αΓ（α+1）- κИ（T- t） +σД（t- t）（4.13）φt（t- t） =γr+vη+Д（t- t） κθ（4.14），边界条件Д（0）=φ（0）=0。下一个引理：引理4.4给出了这些微分方程之间的关系，这些关系可能很明显，但必须加以说明。取（3.19）的溶液和（4.13）的溶液。然后，它认为φn（t）→ ^1（t）在t中按点表示n→ ∞.这个结果可以用来证明定理4.5。

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2022-6-10 20:31:22

[分数路径问题的解]当ρ=0时，问题（2.13）的最优投资组合策略由π给出*t型≡λ1-γ和值函数可以写成v（w，v，z）=γwγexpφ（T）+φ（T）z（4.15）式中，Д和φ是（4.13）和（4.14）的溶液。如果γ<0，我们必须假设（Wπ，nT）对所有π都是一致可积的。备注4.6。如果我们在（4.13）和（4.14）中设置v=α=0，则得到的微分方程与具有CIR波动率的经典Heston模型的微分方程相同（参见例[23]）。这意味着在极限情况下α→ 0时，所考虑的模型对应于经典的赫斯顿模型。另请参见第2节中的讨论。定理4.5中的值函数给出了时间点t=0时的最大期望效用。在OREM 3.6中，给出了任意起始时间点t的最佳值∈ [0，T]。在这种情况下，价值取决于通过变量yi=Yxit实现的波动率的历史。当然，可以从分数赫斯顿模型中的（3.27）值函数中得出n→ ∞. 为此，我们必须考虑附加项pni=1ψi（T- t） yi出现在指数中。对于n→ ∞ 我们获得LIMN→∞nXi=1ψi（T- t） yi=limn→∞ηnXi=1qiyiZT-te公司-xisds=ηZ∞YxtZT公司-te公司-xsdsu（dx）。（4.16）该术语可用（Zt）表示如下：Z∞YxtZT公司-te公司-xsdsu（dx）=Z∞Yxtx公司1.- e-x（T-t）u（dx）=Z∞Zteuxx公司e-德克萨斯州- e-T xZuduu（dx）。（4.17）因此，在给定Wt=w，（Zs）0的情况下，分数Heston模型在时间t的值函数≤s≤t=（zs）0≤s≤t、 zt=z，可写为γwγexpφ（T- t） +^1（t- t） z经验值ηZ∞Zteuxx公司e-德克萨斯州- e-T xZuduu（dx）, （4.18）式中，如前所述，Д和φ是（4.13）的溶液。现在进一步注意-德克萨斯州≤e-T x- e-txx（T- t）≤ -e-T x（4.19）10 N.B–AUERLE和S。

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2022-6-10 20:31:25

desmettre（4.18）中的最后一个因子以下面的byexp为界ηZ∞Zteuxx公司e-德克萨斯州- e-T xZuduu（dx）≥ 经验值η（T-t） Z∞Ztex（u-T）Zuduu（dx）= 经验值η（T）-t） ZtZ公司∞ex（u-T）u（dx）Zudu= 经验值η（T-t） Γ（α）Zt（t- u） α-1祖杜≥ 经验值η（T-t） Γ（α）T1-αZtZudu> 1（4.20）这表明，鉴于对（Zt）中一些历史数据的了解，增加了分数赫斯顿模型中的值函数。这可能是意料之中的，因为应利用波动率的正相关性。确实，假设T-t是固定的，t和t都在增加。因为平均Zu≈ θ、该因子随Tα增长，即历史收益越大，投资组合价值越大。备注4.7。众所周知，当设γ时，具有对数效用函数的投资组合优化问题，即U（x）=ln（x）可以在幂效用问题的极限内得到↓ 显然，在这种情况下，策略π*t型≡ λ是最佳值。这可以从优化问题的直接研究中看出。5、粗糙波动率情况α∈ (-1.-)现在设α=2H- 1.∈ (-1.-) 带赫斯特指数H∈0,. 在这种情况下，我们无法使用定义（2.3），该定义仅适用于指数α>0。此外，定义的dtiα+1f（t）也不能应用，因为这要求f是绝对连续的，但是我们必须插入（Zt）的路径，它几乎是H¨older正则的（见附录）。相反，我们在这里使用所谓的Marchaud分数导数。是为α∈ (-1.-) 定义如下（见[34]，第13.1节）Dα+1f（t）=f（t）t-α-1Γ(-α)+α + 1Γ(-α） Ztf（t）- f（s）（t）- s） α+2ds（5.1）与Riemann-Liouville分数阶导数一致，前提是f是可微的（见[34]，第13节），并且定义为α+1<δ的H¨olderδ-连续函数≤ 1、由于δ<在我们的应用中，α必须来自区间(-1.-).

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2022-6-10 20:31:29

因此，波动过程现在定义为ν：=v≥ 0通过：νt=v+Ztt-α-1Γ(-α)+α + 1Γ(-α） ZtZt公司- Zs（t- s） α+2ds（5.2），其中againdZt=κ（θ- Zt）dt+σpZtdBZt（5.3），Z：=Z≥ 波动过程的路径（5.3）表现出粗糙的行为，如第6节所示。注意LIMα→-1Dα+1f（t）=f（t）（5.4），这意味着在极限情况下α↓ -1我们再次得到了经典的赫斯顿模型。现在利用α∈ (-1.-) 我们有（t- s）-α-2=Γ(-α） α+1Z∞e-（t-s） x？u（dx），其中？u（dx）=xα+1dxΓ(-α）分数和粗糙HESTON模型中的Γ（α+1）（5.5）投资组合优化11我们使用Fubini定理νt=v+Ztt得到-α-1Γ(-α） +Zt（Zt- Zs）Z∞e-（t-s） x？u（dx）ds=v+Ztt-α-1Γ(-α） +Z∞Zt（Zt- Zs）e-（t-s） xdsu（dx）=v+Ztt-α-1Γ(-α） +Z∞Yxt▄u（dx）（5.6），其中▄Yxt：=Zt（Zt- Zs）e-（t-s） xds。（5.7）使用部分积分，我们发现（~Yxt）满足随机微分方程d ~Yxt=x（1- e-tx）κ（θ- Zt）- xYxtdt+x（1- e-tx）σpZtdBZt。（5.8）不幸的是，事实证明ν不是概率为1的正。为了弥补这一缺点，我们将a（νt）视为具有a:R的波动率→ R+充分平滑，即股票价格过程S=（St）现在由DST=St给出（r+λa（νt））dt+pa（νt）dBSt. （5.9）因此，在可接受的投资组合策略π下的财富过程由随机微分方程dWπt=Wπt（r+πtλa（νt））dt+Wπtπtpa（νt）dBSt的解给出，（5.10），其中我们假设W=W>0是给定的初始财富。我们希望解决相同的优化问题（2.13），并按照第3节的要求进行，即我们考虑有限维近似νnt：=v+Ztt-α-1Γ(-α） +Z∞Yxt▄un（dx）=v+Ztt-α-1Γ(-α） +nXi=1qniYxnit。（5.11）近似股价过程的动力学由DST=St给出（r+λa（νnt））dt+qa（νnt）dBSt（5.12）近似财富过程的随机微分方程为thusdWπt=Wπtr+πtλa（νnt）dt+Wπtπtqa（νnt）dBSt。

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2022-6-10 20:31:32

（5.13）这里定义的有限维经典随机最优控制问题是v（t，w，~y，，~yn，z）：=supπEt，w，~y，。。。，yn，zγWπTγ. （5.14）式中，Et，w，~y，。。。，yn，zi是给定的条件期望，Wt=w，▄Yxit=▄yi，Zt=z，时间t。与之前一样，投资组合策略是（Ft）适应的过程。在下面的内容中，我们推导出该优化问题对应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。用G（t，w，~y，~yn，z）和t表示泛型函数∈ [0，T]，w>0，~yi≥ 0，z>0。边界条件由G（T，w，~y，~yn，z）=γwγ给出。为了便于记法，我们设置12 N.B¨AUERLE和S.Desmetreβ：=a（v+zt-α-1Γ(-α） +Pni=1▄气▄意）。因此，HJB方程reads0=supu∈RnGt+Gww（r+uλβ）+nXi=1Gyixi（1- e-txi）κ（θ- z）- xi易+ Gzκ（θ- z） +Gwwwuβ+Gzzσz+σznXi=1nXj=1Gyiyjxixj（1- e-txi）（1- e-txj）+σznXi=1Gyizxi（1- e-txi）+Gwzwuσρpzβ+nXi=1Gwyiρwuσpzβxi（1- e-txi）o.（5.15）为了求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们从定理3.3的证明中相同的变换开始。使用Ansatz G（t，w，~y，~yn，z）=γwγf（t，y，~y，~yn，z）和f（t，y，~yn，z）=1，并将其插入（5.15），其中我们使用缩写hi（t）=xi（1- e-txi）我们得到：0=supu∈Rnft+f（r+uλβ）γ+nXi=1fyihi（t）κ（θ- z）- xi易+ fzκ（θ- z） +（γ）- 1） γuβf+fzzσz+σznXi=1nXj=1fyiyjhi（t）hj（t）+σznXi=1fzyihi（t）+fzγuσρpzβ+nXi=1fyiγuσρpzβhi（t）o.（5.16）最大化u givesu*t=λ1- γ+σρ1 - γrzβfzf+Pni=1fyihi（t）f. （5.17）如果ρ=0，我们再次得到u*t=λ1-γ与t、w、~y、…、无关，yn。插入最大点yields0=ft+fγλβ1- γ+fγr+nXi=1fyihi（t）κ（θ-z）- xi易+fzκ（θ-z） +σzfzz+σznXi=1nXj=1f▄yi▄yjhi（t）hj（t）+σznXi=1fz▄yihi（t）+zfγσρ1- γfz+nXi=1fyihi（t）+σρλγ1 - γpzβfz+nXi=1fyihi（t）. （5.18）不幸的是，这一偏微分方程相当复杂，必须用数值方法求解。

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2022-6-10 20:31:35

如果ρ=0，我们得到：定理5.1。假设ρ=0，对于T，存在边界条件为f（T，~y，~yn，z）=1的偏微分方程（5.18）的经典解f∈ [0，T]，T≤ T∞, w>0，~yi>0，z>0。然后可以写为f（t，~y，~yn，z）=Et，~y，。。。，yn，z“eRTtγr+γλ1-γa（νns）ds#其中（νnt）由（5.11）给出。该证明类似于定理3.5的证明以及[18]中给出的Feynman-Kac定理。分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化13备注5.2。从第6节中的模拟结果可以看出，如果我们以正确的方式选择模型参数，（νt）的路径保持正，概率非常高。特别注意，对于α↓ -1在极限条件下，我们得到了经典的Heston模型，其中路径为正，概率为1。此外，在域D上：={（t，y，yn，z）：v+zt-α-1Γ(-α） +Pni=1qiyi>0}我们得到了（5.18）的经典解。附录中显示了这一点。验证HJB方程确实产生值函数的方法与α>0的情况相同。我们得到：定理5.3。[验证]假设存在一个偏微分方程（5.18）的解f，其中ρ=0，边界条件f（T，y，yn，z）=1。对于t∈ [0，T]，T≤ T∞, 最优投资策略（π*t）由π给出*t型≡λ1 - γ、值函数可以写成v（t，w，~y，~yn，z）=γwγf（t，y，~yn，z）。（5.19）证明。如前所述，证明与定理3.6基本相同。我们只需要用γwγf（t，y，y，yn，z）和νtby a（νt）替换G（t，w，y，~yn，z）。现在的最后一步是限制n→ ∞ 并考虑无近似的优化问题。这里我们得到：定理5.4。

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2022-6-10 20:31:37

[粗路径问题的解决方案]假设存在一个偏微分方程（5.18）的解决方案f，条件是ρ=0，边界条件f（T，y，，，yn，z）=1。α问题（2.13）的最优投资组合策略∈ (-1.-) 由π给出*t型≡λ1-γ和值函数可以写成v（w，v，z）=γwγE0，~y，。。。，yn，z“eRTγr+γλ1-γa（νs）ds#（5.20），其中（νt）由（5.6）给出。如果γ<0，我们必须假设（Wπ，nt）对所有π都是一致可积的。6、模拟结果为了说明过程（2.3）和（5.2）的分数和粗糙行为，我们推导并实现了相应的显式前向欧拉方法，这是受调查的启发[13]；所得方案适用于常数步长h>0：νk=ν+hαk-1Xj=0（k）- j） α- （k）- j-1） αΓ（α+1）Zj, （6.1）νk=ν+Zkk-α-1Γ(-α)+Γ(-α） hα+1（α+1）（α+0.5）k-1Xj=0Zk公司- Zj（k- j） δ（k）- j- 1)α+1-δ-（k）- j） α+1-δ, （6.2）其中，我们选择δ接近，但小于0.5。在接下来的分析中，如果没有另行说明，我们选择的步骤大小为h=0.001。14 N.B–AUERLE和S.DESMETTRE6.1。分数波动率案例。图1显示了Cox-IngersollRoss过程（2.4）及其相应股票价格过程的五个样本路径，以及α的分数波动率过程（2.3）和分数股票价格过程（2.2）∈ {0.05、0.5、0.95}和ρ∈ {-0.7，0，0.7}，其中剩余模型参数已选择asT=1，S=100，r=0.02，λ=0.5，θ=0.05，κ=6，v=0，z=0.05。（6.3）我们从图1中推断出，在极限情况α下，也直观地收敛到经典Heston模型↓ 0为真。我们观察到α值越高，分数路径的平滑度越高。

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2022-6-10 20:31:41

此外，如（2.7）和（2.8）所示，分数波动率过程的长期依赖性是可以明显检测到的，这也符合分数模型中价值函数（4.18）的递增行为，具有不断增长的历史。6.2. 粗略波动率案例。图2显示了α的Cox-Ingersoll-Ross过程（2.4）及其相应的股票价格过程、粗糙波动率过程（5.2）和粗糙股票价格过程（5.12）（a（νt）=νt |）的五个样本路径∈ {-0.95, -0.75, -0.55}和ρ∈ {-0.7，0，0.7}，其中其余模型参数已按（6.3）所示进行选择。分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化150 0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=0.7]0 0.2 0.4 0.6 0.8 16080100120140St[=0]0 0.2 0.4 0.6 0.8 16080100120140St[=0.7]0.2 0.4 0.6 0.8 100.050.10.150.175Zt0 0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=0.7；=0.05]0.2 0.4 0.6 16080100120140St[=0；=0.05]0 0.2 0.4 0.6 0.8 16080100120140St[=0.7；=0.05]0 0.20.4 0.6 0.8 100.050.10.150.175t[=0.05]0.2 0.4 0.6 0.8 180100120ST[=0.7；=0.5]0.2 0.4 0.6 0.8 18090100110120St[=0；=0.5]0 0.2 0.4 0.6 18090100110120St[=0.7；=0.5]0.2 0.4 0.6 0.8 100.020.040.060.08t[=0.5]0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=0.7；=0.95]0.2 0.4 0.6 0.8 18090100110120St[=0；=0.95]0 0.2 0.4 0.6 18090100110120St[=-0.7；=0.95]0.2 0.4 0.6 0.8 100.020.040.060.08t[=0.95]图1。α的分数波动率与股价路径∈ {0.05，0.5，0.95}与经典Heston模型相比。16 N.B–AUERLE和S。

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2022-6-10 20:31:44

DESMETTRE0 0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=0.7]0 0.2 0.4 0.6 0.8 150100150St[=0]0.2 0.4 0.6 0.8 150100150St[=-0.7]0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.050.10.150.2Zt0 0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=0.7；=-0.95]0.2 0.4 0.6 0.8 160801010140ST[=0；。=-0.95]0.2 0.4 0.6 0.8 16080120120140ST[=-0.7；=-0.95]0.2 0.4 0.6 0.8 100.050.10.150.2t[=-0.95]0.2 0.4 0.6 0.8180100120140St[=0.7；=-0.75]0.2 0.4 0.6 0.8 16080100120140St[=0；=-0.75]0.2 0.4 0.6 0.8 180100120140St[=-0.7；=-0.75]0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.2-0.100.10.2t[=-0.75]0.2 0.4 0.6 0.8 150100150200St[=0.7；=-0.55]0.2 0.4 0.6 0.8 150100150St[=0；=-0.55]0 0.2 0.4 0.6 0.8 150100150St[=-0.7；=-0.55]0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.500.5t[=-0.55]图2。α的粗波动率和股价路径∈ {-0.95, -0.75, -0.55}与经典Heston模型相比。分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化17我们从图2中推断，在粗糙情况下，在极限情况下，预期收敛到经典HESTON模型α↓ -1适用。我们观察到，当α值接近最大可能值时，路径的粗糙度增加-. 请注意，在这种情况下，路径的完整性对股价有显著影响。我们还发现，如第5节所述，粗波动率过程在概率为1的情况下不会保持正的影响，而且这种影响越明显，路径越粗。我们希望强调，这种行为高度依赖于粗糙CIR过程起始值Vo的选择，我们选择v=0，以获得收敛limα→-1（νt）=图2所示的zta。

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2022-6-10 20:31:48

在这方面，图3显示，例如，在α=-0.75对于选择v=3，z=0.15.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.050.10.150.20.250.3t[=-0.75；v0=0.15]图3，粗糙挥发性过程保持严格的正值。α=-0.75，v=0.15。图4进一步描述了从a:R中选择函数a（νt）的绝对值和指数函数→ R+具有不同的起始值v。因此，我们推断这两种选择都会产生所需的效果。为了完整起见，我们在图2.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.050.10.150.20.25 | t |[=-0.75；v0=0]0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1250.150.1750.2exp（t）[=-0.75；v0=0.15]图4中的插图中插入了股票价格方程中的绝对值。α=-0.75.18 N.B–AUERLE和S.DESMETTRE6.3。最佳终端财富。为了说明在ρ=0的情况下，分数和粗挥发性过程对最优终端财富的影响，图5描述了最优财富过程wπ？t=wexprt+Ztλ1 - γνs-λ(1 - γ） νsds+Ztλ1- γ√νsdBSs, （6.4），我们通过明确求解SDE（2.12）并插入最优（Merton）投资组合策略获得，其中我们选择了额外的模型参数asw=1000，γ=-2.（6.5）我们观察到，波动路径的粗糙度（RHS）会导致最优财富路径的方差更高，就像平滑情况（LHS）一样，α值越接近-.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 198099010001010102010301040105010601070Wt*=0=0.5=0.950 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 19801000102001040106010801100wt*=-1=-0.75=-0.55图5。

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2022-6-10 20:31:51

α的分数最优终端财富∈ {0.5，0.95}（LHS）和α的最佳终端财富∈ {-0.75, -0.55}（RHS），与经典Heston模型相比（α=0，α=-1).6.4. 长期行为。为了总结我们的模拟研究，我们比较了分数（α=0.75）和粗糙（α=-0.75）波动性过程，以及图6中相应的股价过程。再次，根据分数模型中价值函数（4.18）的递增行为，我们观察到，从长期来看，分数股票价格过程在不同的相关性水平上达到了不切实际的高值。这是由分数波动率过程的上升趋势造成的，如图6中的样本路径所示。相比之下，由粗略波动过程的绝对值驱动的粗略股价过程在合理范围内变动。因此，我们建议仅在短期投资期限内使用分数模型，而整体模型似乎也适用于长期投资期限。7、附录7.1。Cox-Ingersoll-Ross模型的H¨older连续性。下面的引理可能是常见的知识，但由于我们还没有在某处找到它，我们将提供一个证明。我们把主要思想归功于[32]。引理7.1。（2.3）中给出的（Zt）的路径几乎是-H–older连续的。证据我们使用Kolmogorov的连续性定理，该定理指出，对于满足以下条件的随机过程（Xt）|Xt公司- Xs |α≤ K | t- s | 1+β对于正常数K，α，β，存在（Xt）的修正，路径为0<γ<βα的γ-H¨oldercontinuous。

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2022-6-10 20:31:54

鉴于（2.3），我们只需处理分数和粗糙HESTON模型190 2 4 6 8 100200400600800100012001401600ST[=-0.7；=0.75]0 2 4 6 8 100200400800100012001400ST[=0；=0.75]0 2 4 6 8 10050010001500St[=0.7；=0.75]0 2 4 6 8 100.20.250.30.350.40.450.50.550.6t[=0.75]0 2 4 6 8 100100200400500600700ST[=-0.7；=-0.75]0 2 4 6 8 100100200300400500600700800St[=0；=-0.75]0 2 4 6 8 100100300400500600700800ST[=0.7；=-0.75]0 2 4 6 8 100.1750.20.2250.250.275exp（t）[=-0.75]图6。分数和粗糙波动率过程与相应股票价格过程的长期行为比较。Rt公司√ZudbZu，因为其余部分是连续的。下面让p>2，并考虑hZtpZudBZu-ZspZudBZu2pi=EhZtspZudBZu2pi≤ KpEh公司ZtsZudu公司圆周率≤ Kp（t- s） p-1EhZtsZupdui=Kp（t- s） p-1ZtsE【Zup】du，其中我们将Burkholder-Davis-Gundy不等式用于第一个不等式，将H¨older不等式用于第二个不等式。众所周知，Zt具有非中心卡方分布，因此最后一个积分是有限的。因此，我们可以应用Kolmogorov continuitytheorem，并得出（Zt）对路径进行了修改，路径为0<γ的γ-H-older连续路径<-p7.2. （5.18）的经典解。注意，ν的初始值应选择正值，例如我们在域D内开始：{（t，y，…，yn，z）：v+zt-α-1Γ(-α） +Pni=1qiyi>0}。只要过程（νt）保持正值，它就在D中，在这个域上，我们可以跳过绝对值，得到偏微分方程0=ft+fγλ（v+zt-α-1Γ(-α） +Pni=1▄气▄意）1- γ+fγr+nXi=1fyihi（t）κ（θ-z）- xi易+fzκ（θ-z） +σzfzz+σznXi=1nXj=1f▄yi▄yjhi（t）hj（t）+σznXi=1fz▄yihi（t）（7.1），边界条件f（t，▄y，▄yn，z）=1。现在再次使用Ansatzf（t，~y。

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2022-6-10 20:31:57

，~yn，z）=expφ（T- t） +nXi=1ψi（t- t） yi+Д（t- t） zφ（0）=ψi（0）=ψ（0）=0，我们得到了ψi（T）的（5.18）解- t） =ηИqiZT-te公司-xisds（7.2）20 N.B¨AUERLE和S.Desmettre，其中η：=γλ1-γ、Д和φ是普通微分方程Дt（t）的解- t） =ηt-α-1Γ(-α)-κИ（T-t） +σД（t-t）-ηhn（t）κ-σД（T-t）-σηhn（t）（7.3）φt（t- t） =γr+vη+θκ^1（T- t） +hn（t）. （7.4）hn（t）：=RtRT-tR公司∞e-x（s+u）~un（dx）duds和边界条件Д（0）=φ（0）=0。注意，由于Picard-Lindel¨oforem，普通微分方程（7.3）和（7.4）都有解。因此，我们在D.7.3上得到了（5.18）的经典解。其他证明。附录的这一部分包括更长的证明和辅助引理。引理3.1的证明：对于n∈ N定义函数tn（x）：=N-1Xi=0xni+1[ξni，ξni+1]（x），x≥ 显然，它认为tn（x）→ x代表n→ ∞ 根据假设（i）-（iii）。因此，我们有zfdun=nXi=1qnif（xni）=n-1Xi=0Zξni+1ξniu（dx）f（xni+1）=Zξnnξnf（tn（x））u（dx），这意味着第一个收敛声明，因为f是连续的，因此也有界于紧区间。现在，假设Zn+1仅从Znby偏离一个点。我们显示RFDun≤Rfdun+1。如果该点加在（0，ξn）或（ξnn）上，∞) 该语句紧跟在f之后≥ 现在假设一个点ξ被加上（ξni，ξni+1）。让我们用xn+1i+1和xn+1i+2表示Zn+1中取代xni+1的两个新点。我们得到：xni+1=Rξni+1ξnixu（dx）Rξni+1ξniu（dx）=Rξnixu（dx）Rξniu（dx）·Rξniu（dx）Rξni+1ξniu（dx）+Rξni+1ξxu（dx）·Rξni+1ξniu（dx）Rξni+1ξniu（dx）。因此，对于f的凸性，它遵循f（xni+1）≤ f（xn+1i+1）Rξniu（dx）Rξni+1ξniu（dx）+f（xn+1i+2）Rξni+1ξniu（dx）Rξni+1ξniu（dx）两边乘以Rξni+1ξniu（dx）意味着将Rξni+1ξniu（dx）f（xni+1）替换为ξniu（dx）f（xn+1i+1）+Rξni+1ξniu（dx）f（xn+1i+2）增加该值。

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2022-6-10 20:32:00

因此，单调收敛随之而来。定理3.3的证明：为了简化该Hamilton-Jacobi-Bellman方程，我们选择了通常的分离Ansatz，其中G（t，w，y，…，yn，z）=γwγf（t，y，…，yn，z）和由f（t，y，…，yn，z）=1给出的边界条件。将此Ansatz插入（3.15），我们得到：0=supu∈Rnft+f（r+uλβ）γ+nXi=1fyi（z- 西医）+fzκ（θ）- z） +（γ）- 1） γuβf+fzzσz+fzγσuρpzβo。在u给定条件下最大化此表达式*（y，…，yn，z）=λ1- γ+σρ1 - γrzβfzf。分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化21注意，对于ρ=0，这将减少到u*=λ1-γ与t、w、y、…、无关，yn。插入最大点屈服强度0=ft+fγλβ1- γ+fγr+nXi=1fyi（z- 西仪）+fzκ(θ - z） +λγσρ√zβ1- γ+σzfzz+γσρz1- γfzf。（7.5）为了进一步简化方程，我们使用Ansatzf（t，y，…，yn，z）=g（t，y，…，yn，z）c（7.6），c=1-γ1-γ+γρ和g（T，y，…，yn，z）=1。有关类似的转换，请参见[37,23,1]。插入导数并重新排列项将导致0=cgt+gγr+λβγ1- γ+ cnXi=1gyi（z- 西医）+cgzκ(θ - z） +λγσρ√zβ1- γ+σczgzz。对于该偏微分方程，满足了[18]中的条件（A1）、（A2）和（A3’）（另见定理3.5），这意味着经典解的存在（见[18]中的定理1]）。请注意，只有在一定的时间间隔[0，T]内才能满足装置条件（A3e∞].让我们更详细地考虑ρ=0的情况。在这种情况下，c=1，f=g。剩余Pde由0=ft+fγλβ1给出- γ+fγr+nXi=1fyi（z- 西医）+fzκ（θ）- z） +σzfzz。这里我们使用Ansatzf（t，y，…，yn，z）=expφ（T- t） +nXi=1ψi（t- t） yi+Д（t- t） z（7.7）φ（0）=ψi（0）=Д（0）=0。请注意，这种方法是a ffine模型的典型方法。已经证明，它在许多随机波动率模型中是成功的（参见。

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可人4

2022-6-10 20:32:03

[1, 21]).我们获得：0=-（φt+nXi=1yiψit+zДt）+γr+γλβ1- γ+nXi=1ψi（z- xiyi）+Дκ（θ）- z） +σzИ。（7.8）插入β=v+Pni=1yiqi，重新排列术语并使用缩写η：=γλ1-γ磨损率为0=-φt+γr+vη+Дκθ+nXi=1yi- ψit+ηqi- ψixi+z- ψt+nXi=1ψi- κφ +σφ. （7.9）22 N.B¨AUERLE和S.Desmettre由于该方程必须满足所有z和qi，因此最终得到以下一般微分方程系统，其中i=1，n： ψit（T- t） =ηqi- xiψi（T- t） ^1t（t- t） =nXi=1ψi（t- t）- κИ（T- t） +σД（t- t） φt（t- t） =γr+vη+Д（t- t） κθ。（7.10）ψi的第一微分方程是线性的，显式解以及边界条件ψi（0）=0由ψi（T）给出- t） =ηqixi（1- e-xi（T-t））=ηqiZT-te公司-xisds。（7.11）因此我们得到nxi=1ψi（T- t） =ηnXi=1qiZT-te公司-xisds=ηZT-tZ公司∞e-xsun（dx）ds。（7.12）因此，剩余的微分方程可以写成Дt（t- t） =ηZT-tZ公司∞e-xsun（dx）ds- κИ（T- t） +σД（t- t）（7.13）φt（t- t） =γr+vη+Д（t- t） κθ。（7.14）边界条件为Д（0）=φ（0）=0。一旦知道ν，立即解决（7.14）的问题。因此，当ν的普通微分方程有解时，就满足了解的存在性。然而，由于系数的连续性，Picard-Lindel的存在定理保证了这一点。然而，请注意，只能在有限的时间间隔内保证存在[0，T∞]. 定理5.3的证明：假设G=γwγgcis如所述。然后是通过定义HJB方程的解。为了得到V=G，我们证明了对于任意投资策略π，我们有thaet，y，。。。，yn，z（WπT）γγ≤ G（t，w，y，…，yn，z），（7.15）和最优策略π？我们有，y，。。。，yn，z“Wπ？Tγγ#=G（t，w，y，…，yn，z）。

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2022-6-10 20:32:06

（7.16）自G∈ C1,2，我们通过It^o公式得到了一个可接受的投资策略π，即（为了简单起见，我们写W而不是Wπ）G（T，WT，YxT，…，YxnT，ZT）=G（T，W，y，…，yn，z）+ZTtGwWsπspνnsdBSs（7.17）+ZTtGzσpZsdBZs+ZTtnGt+GwWs（r+πsλνns）+Gzκ（θ- Zs）+nXi=1Gyi（Zs- xiYxis）+GwwWsπsνns+gzzzσ+GwzWsπsσρpZsνnsods≤ G（t，w，y，…，yn，z）+ZTtGwWsπspνnsdbs+ZTtGzσpZsdBZs，分数和粗糙HESTON模型中的投资组合优化23，我们使用（3.15）获得了最后一行中的表达式。右边是T中的thusa局部鞅。对于γ>0，我们有G>0，右侧是一个超鞅，因此，使用G（T，WT，YxT，…，YxnT，ZT）=wγ/γ，我们得到，y，。。。，yn，zG（T，WT，YxT，…，YxT，ZT）= Et，y，。。。，yn，z（WπT）γγ≤ G（t，w，y，…，yn，z），即（7.15）保持不变。关系式（7.15）也适用于有界容许策略和γ<0，sincethenEt，y，。。。，yn，zZTtGwWsπspνnsdBSs= Et，y，。。。，yn，zZTtGzσpZsdBZs= 0 .关系式（7.16）如下所示：当我们插入（π*t）在方程（7.17）中，我们通过定义（π）得到*t） thatG（t，WT，YxT，…，YxnT，ZT）=G（t，w，y，…，yn，z）+ZTtGwWsπ*spνnsdBSs+ZTtGzσpZsdBZs。取条件期望Et，y，。。。，yn，zon双方，并利用假设来暗示声明。引理7.2。如（3.23）所示，给出（▄Znt）。如果ρ≤ 0我们有Znt≥锌+1吨，t型≥ 0= 1、特别是PZnt≤ Zt，t型≥ 0= 1，其中（Zt）在（2.4）中给出。如果ρ≥ 0我们有Znt≤锌+1吨，t型≥ 0= 最后，（~Znt）的语句结转到（~νt）。证据该证明遵循与[36]中定理1.1的证明相同的方式。请注意，（▄Znt）永远不会变为零，证明中的函数ρ可以选择为ρ（x）=√x、由于引理3.1，我们在漂移项（~Znt）中对n具有单调性。引理4.1的证明：我们使用了[24]中的命题5.1。

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2022-6-10 20:32:09

首先可以证明（~Znt）是相对紧凑的。根据【25】定理2.1，我们必须证明（i）limK→∞supnP（|Znt |>K）=0，0≤ t型≤ T、（二）林氏↓0lim支持→∞支持≤TE[最小值{1，| Znt+h-~Znt |}]=0。但这是真的，因为在ρ的情况下（~Znt）可以由（Zt）限定≤ ρ情况下为0，按（￠Zt）≥ 此外，我们还写了▄Znt=（Fn（▄Zn），Fn（▄Zn））dtBZt公司其中fn（z）t=κ（θ- zt）+λγσρ1- γ√ztvuutv+nXqniZte-（t-s） xiznsds（7.18）F（z）t=κ（θ- zt）+λγσρ1- γ√ztsv+Z∞中兴通讯-（t-s） xzsdsu（dx）（7.19）Fn（z）t=σ√zt（7.20）F（z）t=σ√zt。（7.21）我们接下来必须证明，当（zn）→ （z）在Skorohod拓扑中，然后也是（zn，Fn（zn））→（z，F（z））在Skorohod拓扑中。由于z和F（z）都是连续的，这可以归结为紧致区间上的均匀收敛。仍需证明Fn（zn）→ F（z）统一24 N.B¨AUERLE和S.DESMETTREon紧致区间if（zn）→ （z）。这可以通过查看平方根下的表达式来完成：nXi=1qniZte-（t-s） xiznsds公司-Z∞中兴通讯-（t-s） xzsdsu（dx）(7.22)≤nXi=1qniZte-（t-s） xi | zns- zs | ds+ZtnXi=1qnie-（t-s） xi-Z∞e-（t-s） xu（dx）zsds（7.23）≤Z∞中兴通讯-（t-s） x | zns- zs | dsu（dx）+ZtnXi=1qnie-（t-s） xi-Z∞e-（t-s） xu（dx）zsds（7.24）由于引理3.1，最后一项收敛于零，由于| zns，第一项收敛于零- zs |→ 假设为0 u.o.c。最后，该陈述源自【24】中的命题5.1。引理4.2的证明：根据定理3.2和随机It^o积分的定义，我们获得了sincelimn→∞EhZTπs(√νs-pνns）dsi=0，通过ztπspνnsdBSsL的单调收敛→ZTπs√νsdbss表示L-收敛。我们总共得到了→∞ZT公司r+πsνns（λ-πs）ds+ZTπspνnsdBSs=ZT公司r+πsνs（λ-πs）ds+limn→∞ZTπspνnsdbs。由于Skorokhod表示定理所暗示的L收敛几乎肯定收敛于一个合适的概率空间，我们得到→∞Wπ，nT=WπT。一致收敛意味着这一陈述。

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