图4显示了实际数据的结果。图2：以统一概率将国家与产品联系起来的矩阵示例。社区内概率设定为0.6，社区间概率设定为0.1。图4未显示任何特殊结构。为了看到更多的结构，让我们把技术和地理分开。这里的目标是代表集体模仿的过程，但要考虑地理社区。换言之，我们想模拟一个事实，即同一地理区域的国家往往向同一进口商出口。我们通过将进口商的维度添加到矩阵M中来实现这一点。因此，我们将在下面使用信息Mc，i，p，其中c是出口国的指数，i是进口商，p是交易产品。我们将“fl atten”（或“加宽”）这个三维矩阵，使其成为具有非常广泛列Mc的二维矩阵，（i-p） ，其中行是出口商c，但每列是进口商产品组合。米歇尔·科西亚（MicheleCoscia）最早看到了这一点，并通过考虑进口商的地理维度，将电子商务与集群联系起来。图3：连接国家与产品的矩阵示例，因为它是国家与能力矩阵、产品与所需能力矩阵相互作用的结果。在每个社区中，我们都建立了一种嵌套模式，其中一些国家有许多能力，而其他国家只有少数能力。我们还包括一些产品可以在国家生产的可能性，无论它们属于哪个社区。下图（图5）显示了该矩阵。正如可以观察到的，italso也显示出一个三角形图案。我们构造其对应的C矩阵，并计算特征值以指示有多少簇。

最后，我们绘制了三维左特征空间（右6面板图中的顶行图形）和三维右特征空间。在共识动力学的背景下，这些国家集群的含义如下：多样化将首先在社区内发生，然后在全球范围内发生。一旦社区达成共识，社区内的国家将以同样的方式“融合”在一起。图4：与图1和图2相同，但仅使用出口商及其产品的2015年实际数据（出口商与进口商产品对比见图5）。正如可以看到的那样，社区在这方面的表现不太明确。5方法说明5.1关于处理真实数据的一些评论在国家层面研究集体学习的过程与在城市层面研究相比有一些好处。特别是，通过研究国家间的贸易，可以看到不同社会生产产品和在全球范围内竞争的能力。不同的国家依赖不同的机构，有不同的法律和政治制度。但是，由于世界很大，竞争非常激烈，潜在买家的数量也非常多，因此生产具有竞争力的产品的能力是一个国家拥有的能力数量的准确指示。为了确定一个地方的能力，并研究能力如何在国家间流动，或者国家如何获得多样化的能力，有必要了解一个地方持续、显著和系统地生产什么。简而言之，我们应该确定一个地方c是否“有竞争力地”生产产品p。怎样图5：出口商（行）与进口商产品（列）矩阵中的实际数据。特征值密度通过计算大型特征值的数量，提供了出口商社区数量的感觉。

ECI值分布的密度进一步表明了社区的数量。然而，社区在左侧特征空间（每个点都是导出器）上变得清晰，这显示在三行面板上。我们为出口商的五大洲涂上颜色，支持出口商属于同一地理社区的观点。下面一行的3个面板显示了正确的特征空间，我们假设它提供了出口商潜在能力的衡量标准。基本思想是将观察到的产量与预期产量进行比较：竞争力的衡量=观察到的产量预期产量。（24）从数学上讲，我们写这个asRc，p=Xc，pE[Xc，p]，（25），其中E[·]是期望算子。每一个期望都会明示或暗示地假设一个世界的模型。要回答一个地方的竞争力如何，我们需要定义一个简单的世界模型，即“零模型”。一个特殊的零模型是假设各国生产的产品应与其总产量的比例相同，即该产品在全球总产量中所占的份额：E【Xc，p】=XcXPX总计.这定义了被称为显示比较优势（或城市经济学和区域科学背景下的区位商）的度量。如果是Xc，则在产品中预列c国的出口值p:Rc，p≡Xc，p/PpXc，pPcXc，p/Pc，pXc，p.（26）这可以使用矩阵运算R=XT（Xc）来计算-1·X·xp-1） 式中，Xt是矩阵X值的总和，Xc是平方对角矩阵，其元素是按国家划分的总出口量，Xp是平方对角矩阵，其元素是按产品划分的总出口量。Xc、pare的值通常呈重尾分布。也就是说，它们的大小可以跨越几个数量级。

特别值得一提的是，我们的空模型预测输出的对数正态分布度量（见第2.2节的讨论）。方程（26）的特殊定义中的除法和乘法使这种可变性和Rc、phave值变得更加偏斜和极端。然而，人们通常更感兴趣的是，通过使用表现更为“温和”的数量来描述场所的生产过程的竞争力。那么，如何“驯服”矩阵的值，比如Rc，p？一种方法是简化问题并创建Mc，如果Rc，p=1，否则p>1，否则为0。这种二值化有几个动机，其中之一就是减少噪音。阈值Rc，p=1是自然的，因为它将“超出预期”值与“低于预期”值分开。然而，该操作还隐藏了低于或高于该阈值的特定变化中包含的潜在重要信息，更不用说某些值可能大于阈值，但实际上可能不具有统计意义。因此，自然变换就是取对数。问题是Xc，p的许多值以及Rc，p的值都是零。因此，直接应用对数是不合适的。在取对数之前加1，虽然经常这样做，但log1p（Rc，p）≡ log（Rc，p+1）也不合适，因为1部分地在变量中创建了一个特征量表，鉴于其广泛的统计分布，事实上可以用“无标度”分布更好地描述。因此，一个建议是实现以下分段功能：eRc，p=0，如果Rc，p=0,1+r-1日志（r）log（Rc，p），否则，（27），其中r≡ minc，p（Rc，p | Rc，p>0）。

此转换很有用，因为itmapsRc，p=r←→eRc，p=r，Rc，p=0←→eRc，p=0，Rc，p=1←→eRc，p=1。因此，它尊重Rc的通常界限，pbut近似正态分布。有一种更不可知和通用的方法来计算“竞争力”的度量。简单地说，方程（25）试图估计残差。因此，我们可以简单地创建一个回归模型（线性）真正发生的是，Rc，phas是一个近似等于1的内在特征尺度，但其变化是乘性的。加上1完全改变了分布，这就是为什么log（1+Rc，p）不是正态分布的随机变量。或非线性，取决于需要），并检索此类回归的残差。区分“超出预期”和“低于预期”的自然阈值为0。例如，可以将方程（26）推广为asRc，p=yc，p- cyc，p，（28）式中，yc，p=log（Xc，p+1）和cyc，pis根据模型yc，p=β+βlog（XpXc，p）+βlog（XcXc，p）+εc，p，使平方误差最小化的OLS估计。注意，我们可以将1添加到Xc，p，因为Xc的特征尺度pareso远大于1。这些回归类型的残差Rc，p≡ 如果想要使模型复杂化，并添加变量来控制人口规模、地理位置或自然资源的存在（仅举几个可能性），则可以进一步推广cεc，p。5.2关于产品/国家/地区的最近性/相似性的一些评论指出，关联性原则和集体模仿假设存在一些相似性矩阵。我们从哪里得到这些相似矩阵，或者我们如何构建它们？这里有一些关于计算产品相关性的方法的可能性和注意事项，我们将其编码在一个与每个pairp和p相关的相似矩阵中。

同样的概念也可以应用于国别相似性矩阵Hidalgo等人（2007年）：φ（p，p）=min{Pr（p | p），Pr（p | p）}（29），其中Pr（p | p）可以设置为平均国家的分数，如果它们也有Mc，p=1，则p=1更一般地说，可以简单地尝试列之间的各种相似性度量（参见Cha，2007年的度量回顾）。例如，关联矩阵grc的列，p：φ（p，p）=cor（~ eR（p），~ eR（p））。（30）o一般来说，人们通常试图推断产品生产之间是否存在任何统计相关性。仅相关性测量线性依赖关系。因此，问题是Pr（p，p）是否仅仅是边际概率Pr（p）Pr（p）（这将意味着独立性）的乘积。如果Pr（p，p）较大，则产品为正相关，如果Pr（p，p）较小，则产品为负相关。这表明了一种称为“逐点互信息”的依赖性度量（Reshef et al.，2011是一种特别感兴趣的度量）：φ（p，p）=logPr（p，p）Pr（p）Pr（p）. （31）我们可以采取其他更“公式化”的方法。因此，原始产品空间可以在数学上“非压缩”为：Pr（p | p）=Pr（p，p）Pr（p）=N（p，p）/NcN（p）/Nc=PcMc，pMc，pPcMc，p=PcMc，pMc，pu（p）。（32）对称矩阵：Φ=minU-百万吨，百万吨-1..其他选项可视为这些矩阵组合的推广：oΦ=MTM/Nc（对称[联合频率]）oΦ=MT·D-1·M（对称[“分集归一化”联合频率]）oΦ=MT·D-2·M（对称[“平均概率”）oΦ=U-100万吨/立方米-1（对称[互信息]）5.3 ECI的常规计算ECI的实际计算使用相似度M·U-1·MT，其中u是矩阵，其对角线值是乘积的泛素。让我们看看为什么使用此规范。设矩阵M的大小为C×P。

这是一个已离散化的矩阵，如果产品p出口到国家c，则Mc、pis为1，否则为0。从这个矩阵中，可以创建两个随机矩阵。首先，“国家到产品”的右随机（即行随机或行归一化）转移矩阵，R=D-1·M，其次是“产品到国家”的左随机（即列随机或列归一化）转移矩阵，L=M·U-1、Alje van Dam和Koen Frenken正在研究关联和推广相似性度量，其中D是矩阵，其对角线元素是国家的多样性，~D=M·~1，同样地，对于U，其对角线是~U=MT·~1，向量包含产品出口的国家数（即其普遍性）。我们使用符号diag（~ x）表示向量x和其他值的对角化为零的矩阵，使用符号diag（~ x）表示向量为1的矩阵。两个注释：o矩阵R与右侧的向量相乘时取的平均值。考虑一个向量，其中每个元素都是每个乘积的一个属性。那么R·~y是每个国家的平均财产价值矩阵L与左边的向量相乘时取的平均值。这一次，考虑另一个一般向量xTin，其中每个元素都是每个国家的财产。那么~xT·L是每种产品性能的平均值。回想一下，我们使用的是“随机”矩阵，不是因为我们在对随机过程建模，而是因为基于平均的关联性和集体模仿原则。让我们构造“国家到国家”的左随机转移概率矩阵，C=R·LT=D-1·M·U-1.MT。可以看出，这可以写成C=D-1S，其中S表示国家相似性χ（c，c）的元素。

因此，这是方程式（11）中隐含的矩阵的一个可能版本。为了数学上的方便，我们假设随机矩阵是不可约的非周期的。当使用真实数据构造C时，它是不可约的，因为所有国家至少生产一种其他国家也生产的产品，而且它是非周期的，因为通过构造，它具有自循环。现在，让lit和ribe分别表示第i个左特征向量和右特征向量，使特征值按递减值排序，1=γ≥γ≥ · · · ≥ γC.各国的ECI列表定义为右次显性特征向量，~ ECI≡ ~r： C·~ECI=λ~ECI。（33）请记住，我们采用正确的特征向量，因为矩阵C在右边乘以M，这表示各国的产品产量根据集体模仿原则发生变化的现象。很容易证明国家多样性的向量d与ECI的向量正交，一旦你意识到~d实际上是主导左特征向量（有时称为“perron”特征向量，或者简单地说，是由C定义的离散马尔可夫链的平稳分布）。因此，在C的左边乘以~d，并将C展开为其分量，~dT·C=~dT·（R·LT），=~dT·（d-1·M·U-1·MT），=~ dT·（诊断1/~天· M） ·（诊断（1/~ u）·MT），=（~ T·M）·（诊断（1/~ u）·MT），=~ uT·（诊断（1/~ u）·MT），=~ T·MT，=（M·~ 1）T，=~ dT。（34）因此，~dt是与特征值γ=1相关的C的左特征向量，这（根据Perron-Frobenius定理）可以得出结论，~dt是主导左特征向量。这意味着，根据离散马尔科夫链的经典结果，由C定义的随机过程的平稳分布为π=~ d/Pcdc。

因此，由于左特征向量与右特征向量正交，所以~liT·~rj∝ δi，j，我们得出的结论是~dT·~ECI=0，这是Kemp Benedict（2014）之前已经注意到的结果。所有这些相同的结果都适用于乘积空间矩阵，P=RT·L，除了所有“左”与“右”互换。即，次优势左特征向量是乘积复杂度指数PCIs的列表，而优势右特征向量与泛素列表成比例。在文献中，有时会说，经济复杂性指数可以通过假设产品具有复杂性，国家的复杂性是其出口产品的平均复杂性，产品的复杂性是其出口国家的平均复杂性来公理化定义。据称，这是这两个向量的唯一定义。换言之，该主张是~xT·L=~ YT和~R·y=~ x唯一地定义了向量~xT和~y，并且这些向量分别对应于国家和产品的经济复杂性。然而，事实并非如此。矩阵C和P的任何一对右/左特征向量都具有这种精确特性，因此这并不能唯一地定义“复杂性”的含义。现在，ECI值已被证明与各国的收入水平和收入增长呈正相关（Hidalgo和Hausmann，2009）。对ECI物理意义的清晰而直接的解释还有一个额外的复杂性，即M不是正方形。一般来说，C小于P，这意味着P最多可以有C个线性独立的列，这反过来意味着一些产品将具有重复的“productcomplexities”值。这就模糊了它与集体知识和经济增长指标的联系。

造成这种混乱的原因，首先是因为它作为专有技术的直接衡量标准的令人敬畏的解释，其次是因为对其独特性的混淆。致谢这些笔记旨在作为对经济复杂性感兴趣的学生和研究人员的教材。他们只是一个庞大研究议程的一小部分，其贡献者遍布全球，这里介绍的一些结果具有广泛的影响力。然而，哈佛大学国际发展中心（Centerfor International Development）的生长实验室（Growth Lab）、其主任里卡多·豪斯曼（RicardoHausmann）和研究主任弗兰克·内夫克（Frank Neffke）以及与CID所有研究人员、研究员和访客的对话，都得到了特别的认可，在那里，这些想法每天都会被讨论、分析、辩论和提出。参考Cha，S.-H.（2007）。概率密度函数之间距离/相似性度量的综合调查。城市，1（2）：1。Coifman，R.R.和Hirn，M.J.（2014）。用于更改数据的差异图。应用与计算谐波分析，36（1）：79–107。Coifman，R.R.和Lafon，S.（2006年）。差异地图。应用与计算谐波分析，21（1）：5–30。Coifman，R.R.、Lafon，S.、Lee，A.B.、Maggioni，M.、Nadler，B.、Warner，F.和Zucker，S.W.（2005）。几何差异作为调和分析和数据结构定义的工具：差异图。《美国国家科学院院刊》，102（21）：7426–7431。DeGroot，M.H.（1974）。达成共识。《美国统计协会杂志》，69（345）：118–121。Gomez Lievano，A.、Patterson Lomba，O.和Hausmann，R.（2016）。解释城市现象的普遍性、规模和变化。《自然与人类行为》，1:0012。Hausmann，R.、Hidalgo，C.、Bustos，S.、Coscia，M.、Chung，S.、Jimenez，J.、Simoes，A.和Yildirim，M.（2011）。经济复杂性图谱。豪斯曼，R。

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