最优投资策略和无差异的精确解

2022-6-10 20:48:39

非差别偏好下最优投资策略和差别价格的精确解。Gaudenziand M.H.Vellekoopdipartmento di Scienze Economiche e Statistiche，意大利乌迪内大学，马塞利诺。gaudenzi@uniud.itAmsterdam荷兰阿姆斯特丹大学经济与商业学院经济学院，m.h。vellekoop@uva.nlNovember28，2021摘要我们提出了一种算法，用于计算有限状态空间上效用优化问题在一类非差别偏好下的精确解。我们证明，最优策略必须位于平面内的离散网格上，这使我们能够降低问题的维数，并确定一种非常有效的方法来获得这些策略。我们还展示了如何在先验规定的误差范围内获得值函数的快速近似值，并使用这些值来复制具有已知闭式解的投资问题的结果。这些结果表明了我们的方法的有效性，它可以用来获得没有明确公式的问题的数值解。1引言数学金融中的一个经典问题涉及风险厌恶型投资者对风险资产的最优投资。默顿（Merton）的开创性工作中推导出了风险与回报之间权衡的明确解决方案，这些解决方案是此类问题的特征。他的工作表明，风险偏好和资产价格动态假设的某种组合会导致连续时间内的随机控制问题，这一问题可以明确解决。在最广为人知的例子中，假设风险资产价格是几何布朗运动，风险容忍度在财富中是线性的。

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2022-6-10 20:48:42

在这种情况下，最优投资策略在财富方面也是线性的，如果投资者拥有最优财富，则可以推导出投资于风险资产的财富比例的显式公式。这一结果在许多方面都得到了推广。在线性风险容忍度结构下，更广为人知的恒定相对风险规避（CRRA），可以处理更复杂的资产动态。例如，当描述风险资产动态的一些参数以确定性的方式随时间变化时，人们仍然可以获得相对简单的最优投资策略特征。由此产生的策略在财富方面再次呈线性，但效率将随时间而变化。卡夫（Kraft）[7]表明，当风险资产价格由赫斯顿（Heston）[6]引入的随机波动率模型生成时，这一点也成立。通常认为，随机波动率模型可以更真实地描述股票价格。推广的另一个方向也使用几何布朗运动过程来描述资产价格，这一假设也被称为Black-Scholesdynamics，因为它在著名的期权定价论文[2]中使用，但选择了不同的偏好。被称为对称调整双曲线绝对风险厌恶（SAHARA）的效用函数类也会生成封闭形式的解。在这种情况下，最优投资策略不是线性的，甚至不是单调的，因为当财富水平较低时，风险厌恶总是积极的，但并不总是增加。因此，这种偏好可以用来描述投资者“为复苏而赌博”的现象，这意味着一旦财富水平变得非常低，他们可能会承担更多风险。对于大多数效用函数和权益动力学，对于连续时间内的最优投资问题，都无法得到封闭形式的解。

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2022-6-10 20:48:45

因此，人们必须借助数值方法来生成最佳策略的适当近似值。这使得计算更加耗时，当将最优策略用作进一步计算的输入时，这尤其是一个问题。例如，当一个人想要确定一项资产或或有权益的差异价格，而该资产或或有权益无法使用市场上的其他资产完美地应用时，就是这种情况。复制（连续时间）意味着可以定义一个不断更新的投资组合，该投资组合产生的回报与某个或有债权完全相同。如果是这种情况，没有套利意味着或有债权的价格与建立复制它的初始投资组合的成本相同。但无法复制的索赔，即导致市场不完整的索赔，不能使用此类方法定价。此类索赔售价的另一种定义是，索赔卖方（因此获得索赔价格的人）应在出售索赔与获得索赔价格补偿或不出售索赔之间，在其预期效用方面有所不同。类似地，此类索赔的购买价格应以这样的方式选择，即在最初支付该价格并在之后收到索赔的付款，在索赔的整个生命周期内产生与不支付其价格和不收到其现金流完全相同的预期效用。这表明，这些差异定价方法总是导致两个不同的最优投资问题必须解决。当考虑索赔支付和初始买卖交易时，一次涉及最优投资，而另一次涉及无索赔时的最优投资。

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2022-6-10 20:48:48

要求这两个问题的解决方案相同，这就隐含地定义了索赔的价格，即差异价格。实际上，没有那么多不同的定价问题可以明确解决。因此，人们常常不得不依赖基于离散时间动力学的数值近似。在本文中，我们将证明，如果风险偏好由一类分段线性的效用函数描述，则可以在离散时间内找到最优投资和差别定价问题的精确解。我们要求资产价格在有限状态空间上是马尔可夫的，我们以考克斯、罗斯和鲁宾斯坦的二项式模型为典型例子。我们表明，我们定义的这类效用函数具有某些属性，如果它们在描述最优策略的动态规划方程下向后传播，则这些属性是继承的。因此，我们可以证明存在有效的算法，可以生成这些策略的精确解以及相关的价值函数或差异价格。我们的技术基于（w，b）平面上构建的网格，其中w是总财富，b是投资于风险资产的财富。这种网格由两组具有不同斜率的平行线组成，我们证明了最优策略必须始终位于该网格上。这一特性使我们能够确定一种方法，据我们所知，这种方法以前从未被提出过，可以非常有效地确定最佳策略。

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2022-6-10 20:48:51

当涉及到更多的风险因素时，如随机波动性成分，我们仍然可以将对这些更复杂问题的分析简化为设计一个合适的网格，其中最重要的是最优策略，这证明了我们提出的方法的灵活性。我们还表明，如果愿意允许小误差，可以定义非常有效的算法，生成精确最优投资政策和价值函数的近似值。可以保证这些误差小于先验规定的误差容限。以前，在期权定价的背景下，曾使用分段线性函数（以其奇点为特征）来确定精确和近似的解，参见【5】。为了说明算法的工作原理，我们定义了上述股权模型的离散版本，并使用我们特定类别的效用函数的成员来近似相应的风险偏好。这使我们能够以非常高的精度再现针对这些非常特殊的情况得出的最佳策略。然而，我们认为，我们的方法在不知道投资问题连续时间版本的封闭式策略的情况下，或者当人们想要研究离散时间环境中具有非差别偏好的投资者的最佳行为时，特别有用。本文的结构如下。在下一节中，我们定义了资产价格动态和不可区分偏好，它们共同表征了最优投资问题。在第3节中，我们证明了本文的主要结果，然后在第4节中，我们将我们的算法应用于一些示例案例。

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mingdashike22

2022-6-10 20:48:55

在最后一节中，我们得出结论并讨论了我们方法的可能扩展。2优化问题在本节中，我们指定了我们的模型并介绍了我们的主要假设，这些假设涉及风险资产的行为和投资者的风险偏好。资产价格动态是在离散时间的有限范围内考虑的，必须是马尔可夫的。资产价格被限制在一个格子上，在这个格子中，每个价格都有两个可能的后续价格值，一个时间步之后。投资者的偏好必须对应于一个效用函数，该函数是一组特定函数的成员，我们称之为H.2.1类风险资产的最优投资我们定义了给定到期日T>0和树大小n∈ N{0}二叉树=N[m=0Tm，Tm=N（m）[k=0{（mt、 Smk）}，带N（m）∈ N时间步m、Smk>0和函数u:T时可能的资产值的数目→ 研发：T→ R，从回报率的角度描述风险集合的可能转移，并且应满足（（m+1）t、 u（米t、 Smk）·Smk）∈ Tm+1，（（m+1）t、 d（米t、 Smk）·Smk）∈ Tm+1，对于所有0≤ m级≤ n和0≤ k≤ N（m）。我们采取t=t/n，确定无风险回报率R（t）=er（t）t要求所有（t，S）的u（t，S）>R（t）>d（t，S）∈ T从（t，S）到（t+t、 u（t，S）S）将发生，用p（t，S）表示，并过渡到（t+t、 d（t，S）S）因此具有概率1- p（t，S）。无风险利率u（t，S）的平均回报率由p（t，S）u（t，S）+（1）定义-p（t，S））d（t，S）=eu（t，S）该经济体的风险中性概率q（t，S）满足q（t，S）u（t，S）+（1-q（t，S））d（t，S）=R（t）=er（t）tsop（t，S）=eu（t，S）t型-d（t，S）u（t，S）-d（t，S），q（t，S）=R（t）-d（t，S）u（t，S）-d（t，S）。函数N、u、d、r和u需要在我们的设置中指定，然后p和q遵循前面的方程式。

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mingdashike22

2022-6-10 20:48:58

Cox、Ross和Rubinstein[4]引入的著名标准二叉树模型对应于选择n（m）=m，u（t，S）=d（t，S）=eσ√t、在本规范中，r（t）=r，u（t，S）=r+σ。在这种经济中，我们的目标是在一组允许的投资策略φt（Xt）上实现预期效用最大化，该投资策略必须在所有过程的Φ集中，该二项式假设可以扩展到例如三项式规范，但由于每一个三项式步骤都可以用两个重组二项式步骤来描述，因此我们将自己限制在二项式情况下。时间t=m的函数树t上的t和给定的向量状态过程Xt=（St，Wt，Yt）∈ Rl（带l≥ 2）除当前股价和当前财富Wt外，还可能包含在向量Yt中收集的时间t已知的其他信息。该向量可能为空或包含额外的可观察信息；例如，我们将在后面的章节中讨论随机波动或不可处理过程的情况。函数φ∈ Φmap{0，t、。。。，nt：=t}×Rlto R，并对投资于风险资产S的财富价值进行解释。对于实线上的给定效用函数U（即递增和凹函数），我们定义了优化问题maxφ∈ΦE[U（WφT）]（1）受试者拖φT+t=φt（Xt）St+tSt+（Wφt- φt（Xt））R（t）（2），其中（t，St）∈ T是我们在树T上定义的马尔可夫链，Wφ=W，W∈ R给定。2.2不可区分偏好我们将始终假设我们的投资问题（1）的效用函数U在实线（U）上的一类H函数中∈ H）定义如下。定义1 H类由函数f:R组成→ R这样1。f是分段线性的，在不可微分的地方有一定数量的点，2。f为凹面，3为凹面。

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2022-6-10 20:49:01

存在一个“x”∈ 使得f（x）对于x是常数≥ (R)x。紧接着，任何f∈ H在其整个域R上是连续的，且其右侧导数f0+（x）=limy↓xf（x）和左侧导数EF0-（x） =石灰↑xf（x）存在。由于对于足够大的值，导数等于零，并且只能减小，因此H中的函数正在增大。根据凹度，右侧导数必须始终等于或小于左侧导数，我们称之为唯一（日益）有序点的有限集，其中这两个导数不相等，即f0+（x）<f0-（x），奇异值集，表示为（xk）k=1，。。。，N、见【5】。A函数f∈ H的唯一特征是其奇异值，值（fk）k=1，。。。，Nin的奇异值和最小奇异值f0处的左侧导数-（x）。引理1假设f，f∈ H和let ci∈ R表示i=1。。。6.（i）对于c，c≥ 0我们有cf+cf在H中，x也是→ f级(-x） +xf-（x）对于f.（ii）的第一个奇异值，假设c、c>0且cc<0，并确定f（x）=cf（cx+c）+cf（cx+c）。设置F=arg maxx∈Rf（x）是一个非空的紧凑型intervalin R（可能由一个点组成）。证据（i）中的第一句话是即时的。函数x→ f级(-x）是concaveif fis，并添加xf-（x）使函数在x足够大的情况下保持不变。对于（ii），我们首先注意到f（x）的-∞ 对于x→ +∞ 对于x→ -∞ f在R上是连续的，这意味着它达到了最大值fmaxon R-1（{fmax}）是有界且闭合的。因为f是凹的，所以这个集合必须是一个区间。

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2022-6-10 20:49:04

3主要结果上述资产价格属性和风险偏好的组合现在将允许我们证明一些结果，这些结果将导致最优投资政策的明确特征。3.1动态规划动态规划原理（参见示例[1]）给出了树上某一时刻X状态下优化问题的值函数Vt，xf的向后递归。对于本文所考虑的问题，我们将能够给出值函数▄Vt，Xt=maxφt，φt+t、，。。。，φTE[U（WφT）| Xt]使用财富函数，对于状态向量其余部分的每个值，财富函数以H为单位。例如，在本节中，我们使用一个状态Xt=（St，Wt），并将writeVt，St（Wt）作为它在这种状态下的值。我们使用符号βt，St（Wt）表示最小值，这使得由φt（Xt）=βt，St（Wt）定义的策略φ最优。这意味着，根据（2）和动态规划原理，vt，S（w）=maxb∈RHt，S（w，b），Bt，S（w）=arg maxb∈RHt，S（w，b），βt，S（w）=min{b:b∈ Bt，S（w）}，带HT，S（w，b）=R（t）-1.p（t，S）Vt+t、 u（t，S）S（wR（t）+b（u（t，S）- R（t））+（1- p（t，S））Vt+t、 d（t，S）S（wR（t）+b（d（t，S）- R（t）））. （3）函数Ht、S:R→ R和Vt，S:R→ R为每（t，S）定义∈ T对于每（T，S），我们必须有VT，S=U∈ tn这意味着在最后时刻T，所有节点tn中的值函数都是H类函数。在本节中，我们将说明thisproperty在所有早期状态下都由value函数继承。我们通过假设对于任何给定的（t，S），Vt+t、 u（t，S）砂Vt+t、 d（t，S）属于这一类，通过证明Vt，S也是如此。为了减轻符号，我们将从现在起抑制函数u和R对（t，S）的依赖性，以及在不会出现混淆时R对时间的依赖性。

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2022-6-10 20:49:08

例如，Ht，S的表达式变为Ht，S（w，b）=R-1[私人+t、美国（wR+b（u- R））+（1- p） Vt公司+t、 dS（wR+b（d- R））]。（4）为了证明在应用动态规划方程时，H类值函数的性质是保持不变的，我们用xui表示，i=1。。。Nuand xdj，j=1。。。Nd Vt的奇异值+t、美国和Vt+t、分别为dS。我们还设置xu=xd=-∞, xuNu+1=xdNd+1=+∞. 我们从（4）中可以看出，对wR+b（u）的点（w，b）进行特征化是有用的-R）等于Vt的奇异值+t、我们在哪里-b（R-D）等于Vt的奇异值+t、 dS。我们将此子部分称为网格G。因此，我们定义N={（i，j）：1≤ 我≤ Nu，1≤ j≤ ...Nd}thesetsDij={（w，b）∈ R： xui<wR+b（u- R） <xui+1，xdj<wR- b（R- d） <xdj+1}，网格G=SNui=1Cui∪SNdj=1CdjforCui={（w，b）∈ R： wR+b（u- R） =xui}，（5）Cdj={（w，b）∈ R： wR公司- b（R- d） =xdj}。（6）为了给网格的每个点提供唯一的坐标，我们还定义了：Luij={（w，b）∈ R： wR+b（u- R） =xui，xdj≤ wR+b（d- R） <xdj+1}Ldij={（w，b）∈ R： wR+b（d- R） =xuj，xui≤ wR+b（d- R） <xui+1}Lij=Ldij∪ 路易斯。在接下来的引理中，我们取（t，S）为t中的任意点。引理2每w∈ R、 b类→ Ht，S（w，b）是凹的，对于每个b∈ R、 w→ Ht，S（w，b）为凹面。对于这两个函数，导数在与网格相交时严格递减，即（w，b）∈ G、证明。在这两种情况下，函数都是凹分段线性函数和线性函数的组合之和。这样的组合返回一个凹的分段线性函数。与网格相交意味着（w，b）对于某些j（或两者）在CUI中或在CDJ中。这意味着Vt的导数+t、美国（wR+b（u-R））或Vt+t、 dS（wR-b（R-d））通过奇点值的定义严格减小，而其他导数必须保持不变或减小。

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nandehutu2022

2022-6-10 20:49:12

在下一个引理中，我们证明了如果b是一个最大化Ht，S（w，b）的点，对于某个w，并且b不在网格上，那么函数Ht，Sis在所属的平行四边形Dijto的闭包Dijo中是常数。此外，对于这一点，在Dij之外不存在其他最优点b。图1：网格。请注意，此处取正值的奇异值显示了更清晰的图像，但它们当然也可能是负值。引理3如果b∈ （Bt，S（w）∩ Dij）然后Ht，S（w，b）=Ht，S（w，b）>Ht，S（w，b）表示所有（w，b）∈ Dijand all（w，b）6∈ Dij公司。证据函数Ht在Dij上是线性的，因为它是线性函数与（固定）线性函数的两个组合的总和，只要我们保持在Dij。如果b是函数b的内部最大值→ Ht，S（w，b）对于w的固定值，函数必须对所有b（w，b）保持不变∈ Dij公司。自B的导数→ 当（w，b）时，Ht，S（w，b）严格减小∈ G和引理1的第（ii）部分表明，在Dij之外不可能有最优点（w，b）。引理4最优轨迹B={（w，β（w））| w∈ R} 是G的子集，包含LuNu，Nd。证据根据引理3，如果最优点（w，β（w））不在G上，而是在平行四边形Dij中，那么Dij中具有相同w值的所有点都是最优的，Dijar之外的任何点都不是该w的最优点。由于β（w）被定义为给定w的所有最优点的最小值，我们必须具有（w，β（w））∈ G、平行四边形DNu，Nd包含网格G上最后一个交点以外的财富值，因此函数Ht，Sis在DNu，Nd上保持不变。这意味着，DNu、NDI中的每个点都是最优的。对于超过最后一个交点的w值，我们可以得出如下结论（w，β（w））∈ 北卡罗来纳州卢努。引理5（t，S）∈ 函数βT，Sand Vt，在其域证明上是连续的。让w∈ R、根据引理3，（w，β（w））必须在网格G上。

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2022-6-10 20:49:15

假设存在 > 0，这样对于所有b∈ [β（w），β（w）+], Ht，S（w，b）为常数且（w，b）∈ Dij公司。由于Dij上的（w，b）中的Ht，S（w，b）是线性的，因此函数b→ Ht，S（w，b）对于所有值wand b也必须是常数，以便（w，b）∈ 对于Dij之外的点（w，b），它必须获得比这个常数更小的值。通过将β（w）定义为所有可能最优点的最小值，我们得出结论，Dijare最优点（w，β（w））两侧的所有点都是最优点（w，β（w））。这证明了β在点w处的连续性。现在假设β（w）是b的唯一最大值→ Ht，S（w，b）。Let（wn）n≥1b收敛到wand setβn=β（wn）的序列。我们知道，最优点必须在网格上，网格由一定数量的非垂直线组成。因此，序列βn必须有界。如有必要，我们可以假设βn收敛到值b∈ R、 so（wn，βn）收敛到（w，b）。为了证明βt，Sin w的连续性，我们必须证明b=β（w）。自从w→ Ht，S（w，β（w））是连续的，对于任何给定的 > 0aδ>0，使得Ht，S（w，β（w））>Ht，S（w，β（w））- 对于w∈ 【w】- δ、 w+δ]。假设wn∈ 【w】- δ、 n的w+δ]≥ nδ；对于这样的n，通过（wn，βn）的最优性，我们得到了Ht，S（wn，βn）≥ Ht，S（wn，β（w））>Ht，S（w，β（w））- . 取极限并使用（w，b）→ Ht，S（w，b）是连续的，因为它是连续函数的组合，我们得出结论，Ht，S（w，b）≥ Ht，S（w，β（w）），但根据函数β的定义，我们也有Ht，S（w，b）≤ Ht，S（w，β（w））。这意味着Ht，S（w，b）=Ht，S（w，β（w））。由于对应于wis的最佳点唯一，我们得到b=β（w），这证明了w的连续性→ β（w）在w处。βt，S的连续性意味着Vt，S的连续性。引理6（t，S）∈ 函数Vt，在其域R上是凹的。

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2022-6-10 20:49:19

函数w→ （w，β（w））通过引理3、5和w在网格G上连续移动→ β（w）在网格线的两个交点之间是线性的。因此，我们只需要在点w处建立凹度，其中（w，β（w））位于此类断面上，因为在所有其他点中，Vt是凹度函数与（固定）线性函数的两个组合的总和，因此是凹度函数。设wbe为与交点相对应的值：（w，β（w））∈（Cui∩ Cdj）对于某些i∈ {1，…，Nu}和j∈ {1，…，Nd}。为了建立Vt的concavity，Sin w，我们计算了Vt的左侧和右侧导数，在这一点上。如果w大于wbut足够接近wwe，则必须具有（w，β（w））∈ Cuior（w，β（w））∈ cdj表示dβ+dw（w）等于-R/（u）- R）或R/（R）- d）我们使用符号β表示函数βt，Shere来减轻符号。分别按（5）和（6）。从（4）我们知道vt，S（w）=R-1（私人+t、 uS（wR+β（w）（u- R））+（1-p） Vt公司+t、 dS（wR+β（w）（d- R）），我们注意到右侧的第一项对于（w，β（w））是常数∈cui而第二项对于（w，β（w））是常数∈ Cdj。因此，我们可以得出，在w=w时，右侧导数V+t，S（w）等于r-1(1 - p） V+t+t、 dS（xdj）·（R+（d- R）-俄罗斯-R） =V+t+t、 dS（xdj）·1-p1级-秦始皇-1pV+t+t、 uS（xui）·（R+（u-R） RR（右后）-d） =V+t+t、在第二种情况下，美国（xui）·PQ。既然我们选择了最优策略，它应该等于两个策略中的最大值：V+t，S（w）=max{1-p1级-qV+t+t、 dS（xdj），pqV+t+t、美国（徐汇）}。（7）为了求出左侧导数，我们考虑了小于w但足够接近w的w值。同样，我们必须得到Dβ-dw（w）等于-R/（u）- R）或R/（R）- d）通过再次计算V的值-t、对于这两种可能性，现在选择其中最小的一种，我们发现：V-t、 S（w）=最小值{1-p1级-qV-t型+t、 dS（xdj），pqV-t型+t、美国（徐汇）}。

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2022-6-10 20:49:22

（8）现在我们必须证明V+t，S（w）≤ 五、-t、通过比较（7）和（8）的右侧来完成证明。这可以通过我们选择β（w）的最优性条件来确定。因为这个选择是通过最大化分段线性函数b来决定的→ 我们必须有这个+bHt，S（w，β（w））≤ 0≤-bHt，S（w，β（w））和至少一个不等式必须严格。自从+bHt，S（w，β（w））=R-1pV0+t+t、美国（xui）（u- R） +R-1(1 - p） V0-t型+t、 dS（xdj）（d- R）-bHt，S（w，β（w））=R-1pV0-t型+t、美国（xui）（u- R） +R-1(1 - p） V0+t+t、 dS（xdj）（d- R）我们有PQV0+t+t、美国（xui）≤1.-p1级-qV0-t型+t、 dS（xdj），1-p1级-qV0+t+t、 dS（xdj）≤pqV0-t型+t、 uS（xui），其中至少有一个不等式是严格的。但我们也有v0+t+t、美国（xui）<V0-t型+t、 uS（xui），V0+t+t、 dS（xdj）<V0-t型+t、 dS（xdj），通过Vt的凹度+t、美国和Vt+t、美国。利用这四个不等式比较（7）和（8）的右侧，我们确定V+t，S（w）≤ 五、-t、 S（w）保持不变，这就完成了证明。定理1我们有Vt+t、美国，Vt+t、 dS公司∈ H=> Vt，S∈ H、证明。我们检查了定义1对于Vt，S的性质：有限集外的分段线性和可微性遵循以下事实（w，β（w））∈ G对于allw，G中的点的Vt，Sis线性，其中（w，β（w））不在交点的G子集中∪我∪j（Cui∩ Cdj），以及交叉集是有限的这一事实。引理5中显示了Vt，Sis凹。Vt，Seventuallybecomes常数的事实来自引理4，因为它表明，对于w largeenough（w，β（w））∈ 北卡罗来纳州卢努。这是因为Ht，Sis在LuNu，Nd上是常数，因为它是函数Vt的线性组合+t、美国和Vt+t、在其最后一个奇异值之外的点上计算的数据，其中它们是常量。

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2022-6-10 20:49:25

从定理和前面引理的证明中，我们现在可以很容易地推导出一个算法来确定树上每个状态下的值函数和最优投资策略。推论1假设Vt+t、美国和Vt+t、 D具有奇异值xu<xu<…<xuNuand xd，xd<…<XDN分别为，letvui=Vt+t、 uS（xui），vdi=Vt+t、 dS（xdi），zui=V-t型+t、 uS（xui），zdi=V-t型+t、 dS（xdi）。然后xk，Vt的奇异值，Sin倒序，其值vk=Vt，S（xk）在这些点，最优策略βk=βt，S（xk）和左侧导数szk=V-t、 S（xk）满足，对于k≥ 1，xk=R-1（qxuik+（1-q） xdjk），βk=（xuik- xdjk）/（u- d），zu=pqzuik，zd=1-p1级-qzdjk，zk=zu∧ zd，vk=vk-1.- zk公司-1（xk- xk公司-1），iuk+1=iuk- 1{zk=zu}，idk+1=idk- 1{zk=zd}。（9） iu=Nu，id=Nd，v=R-1（pvuNu+（1-p） vdNd），z=x=0。对于某些k证明，当iuk=0或idk=0时，以相反顺序的奇异值序列停止。我们知道点（xk，βk）必须采用Cuiuk的形式∩ CdidkS因为它们必须由引理4和Vt的导数在网格G上，所以S不应该在点xkso上连续，所以它们必须在网格的交点上。引理4也表明，LuNu，Ndis线在B中，因此网格上财富价值最高的交点必须是CuNu∩ CdNd，通过W的连续性→ （w，β（w））。这将以相反的顺序给出第一个奇异值，因此iu=Nuandid=Ndand，v=R-1（pvuNu+（1-p） vdNd）。直接计算表明，网格上的交点由CUIUK给出∩ Cdidk=（R-1（Qxiuk+（1-q） xdidk），（xiuk- xdidk）/（u- d），那么当我们证明zk=zu时，我们就完成了∧ zd。但这是从（8）中得出的结论。3.2减少奇异值的数量在树的每个点上获取值函数的技术给出了精确的结果，但由于在每个时间步，每个节点中奇异值的数量都会翻倍，因此计算成本很高。

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2022-6-10 20:49:28

然而，通过使用[1]中介绍的方法，我们可以减少计算中涉及的点数。这为值函数生成了一个可以更快计算的近似值，同时将近似误差保持在我们可以预先指定的显式范围内。其思想是在每一步去除一些奇异值，以简化值函数的计算，同时控制这种消除过程产生的误差。我们确定给定的最大误差水平 > 0，我们通过删除奇异值来修改每个值函数Vt，在计算之后立即修改，因此在计算后续时间步之前使用。我们这样做的方式是，新值最多只能起到Vt，Sdi的作用从Vt，儿子，他们的整个领域。更准确地说，为了构造函数Vt的近似值，它具有奇异值xi，i=1。。。，N、对应的值vi=Vt，S（xi），我们按以下方式删除奇异值。我们将k=1设为k=1，并从xik开始，我们试图找到最大奇异值，对于该奇异值，在（xik，xi）与（xi，vi）连接的直线（xik，vik）之间的间隔距离[xik，xi]小于: 这意味着我们定义了setI={i>ik:supx∈[xik，xi]| vik+（x-xik）六-维克西-xik公司- Vt，s（x）|<}.如果此集合为空且ik=max{i:i，则设置ik+1=1+ik∈ 一} 如果它不是空的。请注意，通过（xik，vik）和（xi，vi）的直线之间的距离随着i的增加而增加，这是由于Vt，S的凹度。确定ik+1后，我们删除所有点xik+1。。。xik+1，然后我们对k的下一个值重复该过程。

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nandehutu2022

2022-6-10 20:49:31

我们继续，直到达到倒数第二个奇异值。我们不会在第一个奇异值之前和最后一个奇异值之后修改函数Vt，sb。使用此程序，我们获得了一个新的值函数Vt，它再次属于H类，但奇异值的数量减少，与Vt不同，小于在整个领域。既然我们有了它，对于每一个w：| Vt+t、 dS（w）-Vt+t、 dS（w）|<, |Vt公司+t、美国（w）-Vt+t、美国（w）|<,意味着（t，S）中的新值函数将为▄Vt，S（w）=R-1以上∈RpVt+t、美国（wR+b（u- R））+（1- p） Vt+t、 dS（wR+b（d- R）（）≤ R-1以上∈R（p[Vt+t、美国（wR+b（u- R））+] + (1 - p） [Vt+t、 dS（wR+b（d- R））+] )= Vt，S（w）+.使用一个模拟参数，我们发现Vt，S（w）≥ Vt，S（w）- 因此我们有| Vt，S（w）-Vt，S（w）|< 对于所有w，在替换Vt后获得的财富w的最优策略βt，S（w）+t、美国和Vt+t、 dSby▄Vt+t、美国和Vt+t、 dS可分别不同于未进行替换的情况，但其产生的值Vt，S（w）不同或小于原始值Vt，S（w）。3.3扩大风险因素的数量我们现在考虑另一个风险因素Y的情况，该因素不可交易，但可能影响从最终财富中扣除的或有权益的终值。因此，我们现在定义了一个多项式树，其节点的特征是（t、S、Y），其中S仍然代表可以交易的股票的股票价值，Y是一个不能交易的因素，但可能与S相关或驱动S的动力学（同时在每一步仍然导致两个不同的回报值），例如赫斯顿模型中的随机波动性。我们现在有t=n[m=0Tm，Tm=m[k=0m[l=0{（mt、 Smk，Yml）}。

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nandehutu2022

2022-6-10 20:49:35

（10）风险资产的动态仍如前所述，但ymlm的价值可能具有不同的结构。在每个时间步，可以从（t，S，Y）到达的节点是（t+t、美国，uY，（t+t、美国，~ dY），（t+t、 dS、~uY）和（t+t、 dS，~dY），概率分别为puu、pud、pdua和pddre。我们假设Y是一个无法交易的风险因素，所以我们仍然只允许投资股票S和现金。在本节中，我们的状态为X=（St，Yt，Wt），我们将为最小值写入Vt，Xt=Vt，St，Yt（Wt）和βt，St，Yt（Wt），使φt（Xt）=βt，St，Yt（Wt）定义的策略φ达到最优。这意味着vt，S，Y（w）=maxb∈RHt、S、Y（w、b）、Bt、S、Y（w）=arg maxb∈RHt，S，Y（w，b），βt，S，Y（w）=min{b:b∈ Bt，S，Y（w）}，带ht，S，Y（w，b）=R-1（puuVt+t、美国，uY（wR+b（u- R））+普瓦特+t、美国，~ dY（wR+b（u- R））+pduVt+t、 dS，~uY（wR+b（d- R））+pddVt+t、 dS，~dY（wR+b（d- R）））。（11）我们定义pu=puu+Pud，pd=pdu+pdd=1- puand writeHt，S，Y=R-1（puVt+t、美国（wR+b（u- R））+pdVt+t、 dS（wR+b（d- R）））。像以前一样，我们抑制了一些符号；例如，d是▄d（t，S，Y）的缩写，puu（t，S，Y）等的puuan缩写。请注意，PUUI本身是S和Y在下一个时间步中都达到其两个可能性的“上限”值的概率的简写符号。对于函数VT+t、 uS（w）=puupuVt+t、美国uY（w）+pudpuVt+t、美国、~ dY（w）、Vt+t、 dS（w）=pdupdVt+t、 dS、~uY（w）+pddpdVt+t、 dS，~dY（w）。这两个函数在H中，它们有奇异值xuiand xdiw，可以通过组合Vt的奇异值来找到+t、美国、UY和Vt+t、美国，通过合并Vt的+t、 dS、UY和Vt+t、分别为dS、~DY。通过对构成函数的相应值求和，可以很容易地确定相应的值Vui和vdican。

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2022-6-10 20:49:39

然后我们回到了定理1的情形，因为我们可以写出，S，Y（w，b）=R-1（puVt+t、美国（wR+b（u- R））+（1-pu）Vt+t、 dS（wR+b（d- R）））。对于功能Vt+t、美国和Vt+t、这意味着我们可以使用推论1中描述的算法来计算树的每个点的值函数。这种结构表明，我们可以处理股票动态依赖于不可交易因素的情况。我们现在展示了如何利用这一点来处理一个最优投资组合问题，该问题涉及赫斯顿[6]提出的均价随机波动率模型。在该模型中，假设平方波动率过程Y和对数股价过程lns满足随机微分方程dYt=κ（θ-~Yt）dt+ωqYtdWt，（12）d（lnSt）=（u-~Yt）dt+q~YtdWt，（13）对于给定的（~Y，ln~S）=（σ，lns），其中{（Wt，Wt），t∈ [0，T]}是相关系数ρ的相关标准布朗运动过程，u、κ、ω、θ和r是严格的正常数。现在我们定义了随机过程（Ym，ln-Sm），时间m=0。。。n-1作为连续时间过程（~Yt，lnSt）的离散对应物：Ym+1=Ym+κ（θ- （Ym）+）t+ηYm+1ωp（Ym）+t、（14）ln Sm+1=ln Sm+（u-Ym）t+ηSm+1p（Ym）+t、其中变量（ηSm，ηYm）为i.i.d.分布在m中，其中p1,1：=P（ηSm=+1，ηYm=+1）=P-1.-1： =P（ηSm=-1，ηYm=-1） =（1+ρ）p-1,1：=P（ηSm=-1，ηYm=+1）=p1，-1： =P（ηSm=+1，ηYm=-1) =(1 - ρ).注意，我们采用方差过程（Ym）+=max{0，Ym}的正部分来确保这个过程的正性。此选项对应于Lord etal的完全截断方案。在[8]中。这将生成一个不重新组合的树，因此我们对其进行如下修改。设Smaxm=max{s:P（Sm=s）>0}，并对Smim、ymax和yminmanually进行定义。

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2022-6-10 20:49:42

我们采取Sm=（Smaxm- Sminm）/mzandYm=（Ymaxm- Yminm）/mv对于某些mv，mz∈ N+表示我们将如何定义网格，然后使用Smk=Sminm+k定义（10）中的树节点集TSmandYml=Yminm+lYm。树上表示动态过程状态的节点（t，S，Y）的形式必须为（t，S，Y）=（mt、 Smk，Yml）对于一些m，k和l。从这种状态，可以过渡到形式（t）的四种可能的新状态+t、 g的SRS，YηSm+1，YRS，YηYm+1）∈ 其中，YηSm+1=exp（（u-Y）t+ηSm+1√Y型+t），~RS，YηYm+1=（Y+κ（θ-Y+）t+ηYm+1ω√Y型+t）/Y。这通常不会给出形式的新状态（（m+1）t、 Sm+1k*, Ym+1l*)对于某些k*和l*, 因为树没有重新组合。但在文献[11]中，我们发现，如果我们在这四个点中的每一个点上使用基于网格上四个点的线性插值，并且距离目标位置最小，则仍然可以保证树上的过程在连续时间内弱收敛于对应的过程。我们在这里也遵循这种方法，因此确定koand losuch thatSm+1kS（η）≤ SRS，Yη≤ Sm+1kS（η）+1，Ym+1kY（η）≤ Y▄RS，Yη≤ Ym+1kY（η）+1，表示η∈ {-1，1}并使用线性组合vt+t、 SRS，YηS，YRS，YηY=Xi=0Xj=0epijV（m+1）t、 Sm+1kS（ηS）+i，Ym+1kY（ηY）+j（15），线性插值权重Sep=SRS，YηS- Sm+1kS（ηS）Sm+1·YRS，YηY- Ym+1kY（ηY）Ym+1，ep=Sm+1kS（ηS）+1- SRS，YηSSm+1·Ym+1kY（ηY）+1- Y▄RS，YηYYm+1，ep=Sm+1kS（ηS）+1- SRS，YηSSm+1·YRS，YηY- Ym+1kY（ηY）Ym+1，ep=SRS，YηS- Sm+1kS（ηS）Sm+1·Ym+1kY（ηY）+1- Y▄RS，YηYYm+1。这些权重可以被解释为新的概率，因为从当前状态（t、S、Y）开始的四个不同转变分别被划分为四个未来状态（t+δt、~S、~Y），总共产生十六个转变。

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2022-6-10 20:49:45

在我们的树上，我们通过简单地采用类图2中四个值函数的线性组合来实现这一点：四个后续值函数（黑色）中的每一个都基于四个nearbyvaluation函数（红色）。H、因为这会产生一个再次属于H类的函数，并且可以使用相关的奇异值集非常有效地确定该函数。图2说明了结构：可能不在网格上的点的四个过渡被网格上的十六个过渡所取代，由于权重为正且和为一，这些可以解释为树上的一组新概率。现在我们用（15），asHt，S，Y（w，b）=R来写（11）-1XηS∈{-1,1}XηV∈{-1,1}pηS，ηVVt+t、 SRS，YηS，SRS，YηY（wR+（RS，YηS- R）（b）≈ R-1XηS∈{-1,1}XηV∈{-1,1}pηS，ηVXi=0Xj=0epijVt+t、 Sm+1kS（ηS）+i，Ym+1kY（ηY）+j（wR+（RS，YηS- R） b）=R-1XηS∈{-1,1}pηS'Vt+t、 ηS（wR+（RS，YηS- R） b）其中“Vt”+t、 ηS=XηV∈{-1,1}Xi=0Xj=0pηS，ηVepijVt+t、 Sm+1kS（ηS）+i，Ym+1kY（ηY）+j/’pηS’pηS=XηV∈{-1,1}Xi=0Xj=0pηS，ηvepij图3：电力公司案例。两种功能+t、 1和“Vt”+t，-1在H中，它们具有奇异值，可以通过组合函数的奇异值vt找到+t、 Sm+1kS（ηS）+i，Ym+1kY（ηY）+jof，它们是线性组合。然后我们回到Theorem1的情况，可以应用推论1中的算法。4个数字示例我们现在将我们的方法应用于完全和不完全市场中的一组不同的投资和差别定价问题。4.1最优投资组合选择在我们的第一个数字示例中，我们计算了Black-Scholes经济中投资者的最优策略和最优价值函数，其中债券每单位时间的收益率r为常数，股票的平均收益率u和波动率σ为常数。

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2022-6-10 20:49:48

我们考虑T=1（年）的投资期限，并使用带时间步长的标准二叉树t=t/n，so u=1/d=exp(√σt），R=exp（Rt） q=（u-R） /（u-d）随着时间的推移都是恒定的。除非另有规定，否则我们取r=1%、σ=10%和u=1.5%。4.1.1恒定相对风险规避情况我们首先考虑效用函数u（x）=（x1-γ- 1)/(1 -γ），（16）图4：指数效用案例。对于γ=，具有恒定的相对风险规避（CRRA）。如果我们采取小的时间步，我们的离散时间设置中围绕初始财富值和初始股票值S=5的价值函数，即Vn0，S（w），应与默顿推导的连续时间极限值函数一致【9】。该值函数和相应的最优投资策略，areVcont0，S（w）=eξTU（w），βcont0，S（w）=u-rγσw，ξ=（1- γ）（r+（u-r） 2γσ）。我们使用H类近似函数表示终端财富的效用函数，通过定义n个等距奇点（xUi）i=1。。。n间隔【wmin，wmax】。我们使用NU=50个初始奇点，n=20个时间步。结果如图3所示。红线对应于默顿推导的连续时间限制内的最优策略，蓝线显示了我们算法的结果。我们注意到，尽管最优策略表现出相当不同的行为，但价值函数非常接近。4.1.2恒定绝对风险厌恶案例类似地，我们分析指数偏好，其对应于恒定溶质，而不是相对风险厌恶。

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2022-6-10 20:49:52

这意味着U（x）=-经验值(-γx）和Vcont0，S（w）=eξTU（werT），βcont0，S（w）=u-rerTγσ，ξ=-(u-r） 2σ。我们保持其他参数与上一小节中的相同。这种情况的结果如图4所示。图5：指数差异价格和看跌期权的delta。4.2完整市场中的差异定价我们可以使用CARA或CRRA效用函数来检查由我们的股票价格树和无风险资产生成的完整市场中普通衍生品的价格。如引言中所述，在T>0的日期支付ψ（ST）的欧式期权在时间零点的效用指数π是方程V0的解，S（w）=V*0，S（w+π），其中V和Vcare值函数与VT，S（w）=U（w）和V*T、 S（w）=U（w- ψ（S））。这意味着我们今天将相同的价值分配给一笔财富w，而没有衍生工具，我们知道我们必须在到期日T支付付款ψ（ST），但通过获得价格π来补偿，以增加我们当前的财富w。在这里考虑的考克斯-罗斯-鲁宾斯坦（Cox-Ross-Rubinstein，CRR）模型等完整市场中，我们可以用股票和债券创建一个单独的投资组合，该投资组合完美地实现了支付，其初始价格等于期权的CRR值。这意味着π必须等于这个值，由于我们用来支付期权和股票的股票和债券投资之间存在着完美的分离，我们用来创建优化剩余财富效用函数的投资组合w。表明效用差异价格等于CRRprice，因此需要我们的算法生成现在所需的非线性最优股票投资，被称为.

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2022-6-10 20:49:55

π的值可由V0计算得出，S（w）=V*0，S（w+π）为π=（V*0，S）-1（V0，S（w））- w、在我们的整个市场中，w的所有值都应相同。相应的初始值, i、 e.我们将投资的股票数量，以复制图6：看跌期权的CARA价值函数和差异价格。单个选项的支付，可通过以下方式找到 =β*0，S（w）- β0，S（w）Sand也不应依赖于w。例如，我们采用期限为T=1的看跌期权，执行价格介于K=3和K=7之间，而当前股价等于S=5。图5中指数效用差异价格和增量的结果与相应的CRR值表现出良好的一致性。我们发现对于其他效用函数也有同样好的一致性。4.3不完全市场中的差异定价我们现在来看一个市场不完全的例子。由于这意味着不可能实现完美的无风险复制，因此衍生工具没有普遍的价格：任何代理同意为某一未来支付的效用差异价格现在将取决于其风险偏好。我们使用Zariphopoulou和Musiela模型在[10]中引入的经济，以及可交易股票和另一个相关但不可交易的价格过程Y：dSt=uSStdt+σSStdWSt，dYt=uYYtdt+σYYtdWYt，dhWS，WYit=ρdt。在恒定图7：为（离散化）Heston动力学推导的最优策略下，他们推导出了未来时间T>0时Payoff G（YT）在时间零点的效用差异价格π的显式表达式。绝对风险规避偏好U（x）=-e-γx和零利率。这个价格π等于π=ln E[Eγ（1-ρ） g（YT）dQdP]γ（1- ρ），dQdP=e-uSσSWST-uS2σST.（17）在该模型的离散时间版本中，我们使用了与之前相同的经济参数，但利率为零，并确定了行使K=S=5的a乘以a认沽期权的价格。

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mingdashike22

2022-6-10 20:49:58

我们发现Nu=50个奇点和n=20个时间步的结果如图6所示，这与基于（17）的蒙特卡罗模拟发现的理论值进行了比较。4.4随机波动下的最优投资Kraft[7]给出了Heston随机波动模型中最优投资策略的显式形式。当u- r=λYtin（13）对于给定的λ>0，电力公司（16）的最优投资策略等于b（w）=wγ-1(λ + γ-1(1 - γ） ρσλ）ea（T-t）- 1ea（T-t）（k+a）+a-kwithk=κ- (1 - γ-1） ρλσ，c=γγ+ρ（1-γ），B=-λ(1-γ） 2cγ，a=√k+2Bσ。对于参数值r=10%、σ=25%、到期日T=0.25、相关性ρ=0.10、波动率ω=39%、平均回复κ=1.15和水平θ=16%，我们在不同时间点找到了最佳策略的下图。我们使用风险规避参数γ=和波动性风险参数λ的市场价格=。图7中的图表是用50个时间步计算的，125图8：撒哈拉案例。（对数）股价方向上的网格点和（平方）波动方向上的50个网格点。我们从20个奇点开始。我们显示了到成熟期一半的结果，即网格中间的t=t/2。（t，S，Y）的其他分数给出了同样好的结果。4.5非线性最优策略的一个例子在我们迄今为止所处理的例子中，最优投资政策的闭式解是可用的。这些都是当前财富的线性函数。我们现在证明，我们的算法也可以准确地表示更复杂的策略，这对于对称调整的双曲型绝对风险厌恶偏好（SAHARA）类是最优的。

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2022-6-10 20:50:00

这种偏好的特征是效用函数uα，β（w）=1- αw+pβ+w-αw+αpβ+w其中，α>0是一个不等于1的风险规避参数和βa标度参数。在前面介绍的Black-Scholes动力学下，最优策略变为[3]βcontt，St（w）=（u- r） ασpw+b（t），b（t）=βe-（r）-((u-r） /（ασ））（T-t）。相应的值函数满足V0，S（w）=Uα，b（t）（w），因此其具有与终值相同的函数形式，但具有不同的时间相关缩放参数。通过取极限α，可以找到这个效用函数族的另一个成员→ 1但我们不会在这里考虑这种情况。图8显示了α=2和β=2.66的75个奇点和20个时间步的计算结果。布莱克-斯科尔斯经济参数与之前的情况保持不变。我们再次发现，价值函数和最优策略的一致性非常好，尽管后者对于该规范不是线性的。5结论和进一步研究我们已经表明，如果假设描述投资者偏好的效用函数是分段线性的，那么树上资产价格的离散时间最优投资和差异定价问题是如何精确解决的。我们用它来重现一些已知问题的精确近似，这些问题的闭式解已在文献中推导出来。然而，我们认为，如果我们的方法可以用于解决方案未知的情况，那么它将特别有用。例如，当参数形式未知，但必须根据基于有限数量实验的经验证据进行近似计算时，就是这种情况。

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2022-6-10 20:50:03

当效用函数的详细行为未知但其一般形状已知时，我们的方法可用于计算基于粗分段线性近似的最优投资策略。我们还注意到，在我们的框架中，很容易纳入导致财富变化的国家依赖性支付，因为这种支付可以简单地通过价值函数的水平移动来表示。这项工作的许多扩展可能很有趣。在本文中，我们将自己局限于多个风险因素可能影响单个风险资产的情况，但我们不处理可能投资多个风险资产的情况。在确定必须包含最优投资策略的网格时，引入这种可能性将引入更多的平行线集，这显然使高效算法的分析和设计复杂化。我们希望在今后的工作中解决这一问题。参考文献[1]Dimitri P.Bertsekas和Steven E.Shreve。随机最优控制：离散时间情形。雅典娜科学出版社，2007年。[2] F.Black和M.Scholes。期权和公司负债的定价。J、《政治经济学》，81:637–6541973年。[3] A.Chen、A.A.J.Pelsser和M.H.Vellekoop。使用SAHARA效用函数建模非单调风险规避。《经济理论杂志》，146（5）：2075–20922011。[4] J.C.考克斯、S.A.罗斯和M.鲁宾斯坦。期权定价：一种简化的方法。《金融经济学杂志》，7:229–2631979年。[5] M.Gaudenzi、M.A Lepellere和A。萨内特。美式路径相关期权定价的奇点法。《计算金融杂志》，14:1460–15592010。[6] S.赫斯顿。随机波动率期权的闭式解，应用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6:327–3431993。[7] H.卡夫。

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