请注意，在集合上Ohm:= {（τ，z）∈ OhmTv（τ，z）- g（z）≤ L[v]}，我们自动得到v（τ，z）- g（z）≥ F【v】≥ F【v】=v（τ，z）- g（z），因此v（τ，z）≥ v（τ，z）。在现场Ohm:={（τ，z）∈ OhmTv（τ，z）-g（z）>L[v]}，我们有L[v]≥ F【v】≥ F【v】=L【v】。我们现在的处境是≥ L【v】表示（τ，z）∈ Ohm和v（τ，z）≥ v（τ，z）表示（τ，z）∈OhmT- Ohm. 我们可以将最大值原理（见（Lieberman，1996，定理2.7））应用于Ohm得出v（τ，z）的结论≥ v（τ，z）开Ohm.为了证明问题（2.8）解的存在性，我们构造了一个罚函数β（t）∈C（R）满足（见Friedman（1982））β（t）≤ 0, β(0) = -C（C>0），β（t）=0，t≥ ，β′（t）≥ 0，β′（t）≤ 0，β（t）→ 0，如果t>0，则→ 0，β（t）→ -∞, 如果t<0，则→ 0，其中Cis是一个待确定的常数。由于系统（2.8）位于无界域中，我们应用有界域来逼近最小值L【vR】，vR-g级= 0，（τ，z）∈ OhmRT:=0，θT/2× (-R、 R），（A.1）vR（τ，z）=g（z），（τ，z）∈ pOhmRT，（A.2）其中pOhmRTis抛物线边界，运算符L和g（z）在（2.9）中定义。考虑（A.1）-（A.2）的惩罚问题：L[v，R]+β（v，R- g） =0，（τ，z）∈ OhmRT，（A.3）v，R（τ，z）=g（z），（τ，z）∈ pOhmRT.（A.4）By（Friedman，1982，定理8.2），对于fix ed和R，问题（A.3）-（A.4）有唯一的解决方案v=v，R∈ W1,2p(OhmRT），1<p<+∞.引理A.2。对于任何固定的R>0，都有一个独特的解决方案vR∈ C（“”OhmRT）∩ W1,2p(Ohm问题（A.1）-（A.2）的RT），1<p<+∞. Moreoverg（z）≤ vR（τ，z）≤C（eBτ+pp-1z+1），（τ，z）∈ OhmRT，（A.5），其中C定义为（2.5），B=|（pp-1)- κpp-1.- ρ| + 1.证据通过（Friedman，1982，定理8.2），我们立即得出存在由vR定义的唯一解：=lim→0v，p问题（A.1）-（A.2）和vR∈ C（“”OhmRT）∩ W1,2p(OhmRT）。变分不等式（A.1）表示（A.5）中的第一个不等式。要获得（A.5）中的第二个不等式，请表示w（τ，z）=C（1+eBτ+pp-1z）。

根据（2.5），我们注意到- g=w-英国（ez）≥ w- （￠C（1+epp-1z）- Kez）≥ 凯兹≥ Ke公司-R≥ 表示小和（τ，z）∈ OhmRT.根据β的定义，这意味着β（w- g） =0。因此，通过选择B=|（pp-1)- κpp-1.- ρ|+1，我们有[w]+β（w）- g） =▄CeBτ+pp-1zB-聚丙烯- 1.+聚丙烯- 1κ + ρ+Cρ≥ 0.上述最后一个不等式源自A和B的定义。根据比较原则，weobtainv，R≤ w英寸OhmRT.现在让→ 0，我们完成证明。现在我们可以完成定理2.2的证明。证据通过设置R=n（n∈ 在（A.1）-（A.2）中，我们写出了变分问题（A.1）-（A.2）asL[vn]=f（τ，Z），（τ，Z）∈ OhmnT，vn（τ，z）=g（z），z∈ pOhmnT，f（τ，z）=I{v=g}L[g]（z），其中Ia是集合A的指示函数。结合（A.5），我们推断，对于任何固定ξ>0，以下W1,2p内部估计适用于n>ξ：kvnkW1,2p(OhmξT）≤ Cξ，（A.6），其中Cξ是一个常数，取决于ξ，但不取决于n，和k·kW1,2p(OhmξT）是Sobolevspace W1,2p中的范数(OhmξT）。让ξ=1英寸（A.6）。通过弱紧性和Sobolev嵌入，存在{vn}的子序列{vn（1）}，使得vn（1）→ W1,2p中的v（1）弱(OhmT） andkvn（1）- v（1）kC(OhmT）→ 让ξ=2 in（A.6），子q为{vn（1）}，而不是{vn}。通过弱紧性和sobolev嵌入，存在{vn（1）}的子序列{vn（2）}，使得vn（2）→ W1,2p中的v（2）弱(OhmT） andkvn（2）- v（2）kC(OhmT）→ 此外，我们有v（2）=v（1）OhmT、 通过归纳，我们得出结论，存在vn（m）的子序列vn（m-1） 在上OhmMsuch thatvn（米）→ W1,2p中的v（m）弱(OhmmT）和KVN（m）- v（m）kC(OhmmT）→ 此外，v（m）=v（j）inOhmjT，1≤ j≤ m级- 我们定义v=v（m）if（τ，z）∈ Ohm对于任何m>0。我们在图中考虑序列vm（m）。

对于任何N>0的情况，由于vm（m）是vm（N）的子序列，如果m>N，我们推导出该vm（m）→ v（N）=W1,2p中的v弱(OhmNT）和kvm（m）- vkC公司(OhmNT）=kvm（m）- v（N）kC(OhmNT）→ 0、让m→ ∞ 在系统中，min{L[vm（m）]，vm（m）- g} =0，（τ，z）∈ OhmmT，vm（m）（0，z）=g（z），z∈ pOhmmT，我们发现v是问题（2.8）的解。不等式（2.10）后面是R→ ∞ 在不等式（A.5）中。引理A.1和（2.10）暗示了唯一性。最后，我们证明了（2.11）。在运动区域Sz，我们有Vz（τ，z）=g′（z）=U′K（ez）ez≤ 0和- vz（τ，z）+vzz（τ，z）=U′K（ez）e2z>0。注意，上述不等式在时间τ=0和Cz边界处也成立。由于Cz中的L[v]=0，我们有L[vz]=0和L[-vz+vzz]=0表示（τ，z）∈ 捷克。最大值原则意味着Vz≤ 0和-（τ，z）的vz+vzz>0∈ 捷克。对vτ进行旋转≥ 0，我们定义（τ，z）=v（τ+δ，z），对于小δ>0。从（2.8）中，我们知道w（τ，z）满足{L[w]，w- g} =0，（τ，z）∈~Ohm电话：=0，θT/2- δ×R，w（0，z）=v（δ，z）≥ g（z）=v（0，z），z∈ R、 应用比较原理（引理A.1），我们得到w（τ，z）=v（τ+δ，z）≥ v（τ，z），τ∈0，θT/2- δ, z∈ R、 因此我们有vτ≥ 0