最优投资自由边界的全局闭式逼近

2022-6-11 00:01:03

最优投资停止问题自由边界的全局闭式逼近*, Jie Xing+和Harry Zheng摘要在本文中，我们研究了在有限时间范围内同时具有最优控制和最优停止的效用最大化问题。值函数可以用一个变分方程来描述，该方程涉及一个完全非线性偏微分方程的自由边界问题。利用对偶控制方法，我们得到了一类效用函数（包括幂函数和非nHARA效用函数）的对偶值函数和相关对偶自由基的渐近性质。我们构造了对偶fr e e e边界的全局闭合d形近似，这大大减少了计算成本。利用对偶关系，我们找到了最优投资停止问题的最优值函数、交易策略和EXercise边界的近似公式。数值算例表明，该方法具有鲁棒性好、精度高、速度快等优点。2010 MSC:49L20，90C46关键词：最优投资停止问题，对偶控制方法，自由边界，全局闭式近似。1引言在效用最大化方面有广泛的研究。两种主要的ap方法是随机控制（动态规划，HJ B方程）和凸对偶（静态优化，鞅表示）。seeFleming和Soner（1993）、Karatzas和Shreve（1998）、Pham（2009）以及其中的参考文献对效用最大化这两种方法进行了出色的阐述。终端财富效用最大化的一种变体是，投资者可以在到期之前或到期时停止投资，以获得预期效用的总体最大值，这自然会导致混合最优控制和停止问题。

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2022-6-11 00:01:06

这条线上的早期工作包括：关于值函数在初始时间的性质的Deskaratzas和Wang（2000）和Dayanik和Karatzas（2003），关于变分方程粘性解的存在性的Ceci和Bassan（2004），关于值函数在初始时间的等价性的Henderson和Hobson（2008）*西南财经大学经济数学学院，中国成都，611130（电子邮件：mjt@swufe.edu.cn). 这项工作得到了国家自然科学基金（GrantNo.11671323）、新世纪大学优秀人才计划（中国国家自然科学基金项目编号NCET-12-0922）和中央大学基础研究基金（JBK1805001）的资助。+西南财经大学经济数学学院，中国成都，611130（电子邮件：1160202Z1010@2016.swufe.edu.cn).通讯作者。英国伦敦SW7 2BZ帝国理工学院数学系（电子邮件：h。zheng@imperial.ac.uk).马尔可夫链过程和功率效用。以上文献均未讨论自由边界问题。Jian et al.（2014）应用对偶变换方法将具有幂效用的非线性变分方程转化为线性Pd的等效自由边界问题，并定性分析了fr ee边界和最优策略的性质。Guan等人（2017年）将这项工作进一步扩展至看涨期权类型终端支付和电力公用事业的问题。众所周知，确定变分方程的自由边界是一个困难的问题，见Peskir和Shiryaev（2006）。一个很好的例子是A M er ican选项定价问题。自由边界将运动区域从连续区域中分离出来，并建立了一个难以求解的积分方程，见Detemple（2005）。

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2022-6-11 00:01:10

与美式期权定价问题相比，寻找最优投资停止问题的自由边界更为困难，因为前者在连续区域有一个非线性PDE和一个非Lipschitz连续效用函数，并且可能有一个或多个自由边界，而后者在连续区域有一个线性PDE和一个Lipschitz连续支付函数，并且唯一的自由边界。Jian et al.（2014）和Guan et al.（2017）中的特征变换是将原始非线性变分方程简化为对偶线性变分方程的正确方向，然而，找到自由边界仍然是一个具有挑战性的开放问题。本文研究了一般效用函数的最优投资停止问题，要求财富高于一个阈值，该阈值可以是负债或最低生活标准，称为投资组合保险。使用Jian et al.（2014）和Guan et al.（2017）中的对偶变换方法，我们将原始变分方程转换为线性偏微分方程的等效自由边界问题，并证明存在唯一的光滑自由边界，该边界满足一类效用函数的积分方程，包括幂和非HARAutilities，见定理3.3和3.7。然后，我们应用渐近分析来描述自由边界在到期时间趋于零和有限时的限制行为，见定理3.8和3.9。我们构造了一个与具有匹配极限行为的自由边界具有相同性质的simp-le函数，并将其用作自由边界元的全局闭式近似，这一点受到Xie等人的启发。

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2022-6-11 00:01:13

（2014）对于仅具有简单时间的抵押贷款支付问题，与我们的非利普希茨状态依赖支付和双重过程的初始值未知相比，状态独立支付和过程的初始值已知。最后，利用对偶关系，我们恢复原始值函数和相应的自由边界，见定理3.11。本文的主要贡献是，我们给出了一类一般效用函数最优投资停止问题自由边界的全局闭式近似（GCA）。GCA有几个决定性的好处：它提供了一个简单的解析公式，用于分离停止区域和延续区域，它为对偶值函数提供了一个半封闭形式的积分表示，这使得在延续区域中找到最佳交易策略成为可能，并导致快速高效的计算。成功的关键是对偶最优停止问题fr-ee边界渐近性质的显式表征。据作者所知，这是首次在最优投资停止问题的文献中报告此类结果。数值试验表明，与二项式树方法相比，GCA方法准确且快速，二项式树方法本身在解决最优投资停止问题方面是实用且有效的，见示例4.2。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们引入了最优投资停止问题，将HJB变分方程转化为一个等价的对偶变分方程，证明了对偶解的存在唯一性及其性质，并给出了原问题的相应结果。

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2022-6-11 00:01:16

在第3节中，我们给出了一类效用（包括幂和非HARA效用）的主要结果，定理3.7说明了自由边界是单调光滑的，并且满足积分方程，定理3.8和3.9描述了当到期时间为零或不确定时自由边界的渐近行为，定理3.11构造了自由边界的GCA。我们还举了两个例子（例子3.4和3.6）来说明效用最大化与投资组合保险的根本区别。在第4节中，我们进行了一些数值测试，以比较GCA和二叉树方法得出的结果，并表明建议的GCA是准确、快速和稳健的。在第五节中，我们给出了主要结果的证明。第6节结束。为了方便读者，附录提供了定理2.2的证明。2最优投资停止问题我们考虑一个具有概率空间的完全市场(Ohm, F，P）和标准布朗运动W产生的自然过滤（Ft），满足通常条件。它由一个利率r>0的无风险储蓄账户和一个满足以下随机微分方程（SDE）dSt=uStdt+σStdWt的风险资产组成，其中u>0是股票增长率，σ>0是股票波动率。Let（Xt）0≤t型≤t忽略财富过程和πt投资者在时间t的风险资产中持有的财富量。

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2022-6-11 00:01:19

通过持续的自我融资策略，财富过程（Xt）0≤t型≤Tevolves asdXt=rXtdt+σπt（θdt+dWt），其中θ=u-rσ是风险的市场价格，（πt）0≤t型≤t金融时报渐进式可测量且令人满意的投资组合过程[RT |πt | dt]<∞.最优投资停止问题由upπ，τEhe给出-βτU（X0，x，πτ- K） i，其中U是效用函数，τ∈ [0，T]是Ft适应的停止时间，β>0是效用折扣因子，K>0是最小财富阈值。如果K=0，那么问题是标准效用最大化，有投资和停止。结果表明，K>0和K=0将导致非HARA效用的最优交易策略完全不同，这表明不能通过设定K=0来简单地将投资组合保险问题转化为标准效用最大化问题，从而得到一个似乎被简化的等效问题，详细讨论见示例3.4和3.6。假设2.1。U∈ Cis是[0，∞), 满足U（0）=0，U(∞) = ∞, U′（0）=∞ , U′型(∞) = 0，对于x，U（x）<C（1+xp）≥ 0，其中C>0，0<p<1是常数，U（x）=-∞ 对于x<0。定义值函数asV（t，x）=supτ，πEhe-β(τ -t） U（Xt，x，πτ- K） | Xt=xifor（t，x）∈ （0，T）×（K，∞). 然后，V满足以下HJB变分方程（见Guan等人（2017））：min-五、t型- supπLπ[V]，V- U（x- K）= 0（2.1）（t，x）∈ （0，T）×（K，∞), 式中，lπ[V]=rxVx- βV+π（u-r） Vx+πσVxx，Vx表示xV（t，x）、V和Vxx的定义类似。边界和终端条件由v（t，K）=0，t给出∈ （0，T），V（T，x）=U（x- K），x∈ （K，∞). （2.2）假设V（t，·）是严格凹的，则Lπ[V]的最大值在π处达到*t=-θσVxVxx，（2.3）和（2.1）相当于tomin-五、t+θVxVxx- rxVx+βV，V-U（x- K）= 0（2.4）（t，x）∈ （0，T）×（K，∞).我们使用对偶方法求解变分方程（2.4）。

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2022-6-11 00:01:22

U的双重功能(·-K）定义为▄UK（y）：=supx>K[U（x-K）- xy]=▄U（y）- Ky，y>0，其中▄是U的对偶函数。很容易检查▄UKis连续可微、递减、严格凸，▄UK（0）=∞ 和- 肯塔基州≤英国（y）≤~C+~Cypp-1.- Ky，（2.5），其中▄C=最大值NC，（Cp）p-1[p-1.- 1] o.将双值函数定义为▄V（t，y）=supt≤τ≤特赫-β(τ -t） UK（Yτ）| Yt=yi，其中（Yt）0≤t型≤这是一个满足SDEdYt=（β）的双重过程- r）年初至今- θYtdWt。（2.6）然后，双值函数满足以下变分方程（见Guan等人（2017））：min(-Vt型-θyVy y- (β - r） y▄Vy+β▄V，▄V-UK）=0（2.7）（t，y）∈ （0，T）×（0，∞), 终端条件为▄V（T，y）=▄UK（y），y∈ (0, ∞).definez=对数y，τ=θ（T- t），v（τ，z）=v（t，y）。然后v满足以下变分方程：min{L[v]，v- g} =0（2.8）（τ，z）∈ OhmT： =（0，θT/2）×R，初始条件为v（0，z）=g（z），对于z∈ R、式中，L【v】=vτ- vzz+κvz+ρv，g（z）=UK（ez），（2.9）和常数ν，ρ，κ由ν=2rθ，ρ=2βθ，κ=ν定义- ρ + 1.下一个结果显示了变分方程（2.8）的唯一解的存在性，每个变量都具有单调性。用W1,2p表示(OhmT） Sobolev空间和W1,2p，loc(OhmT） W1,2p，loc定义的局部Sobolev空间(OhmT）：={v∈ W1,2p（Q）， Q OhmT} 。定理2.2。问题（2.8）有一个统一的解决方案v∈ C（“”OhmT）∩ W1,2p，位置(OhmT）对于1<p<+∞ ,满意G（z）≤ v（τ，z）≤C（eBτ+pp-1z+1），（τ，z）∈ OhmT、（2.10）式中，B=|（pp-1)- κpp-1.- ρ|+1和▄C=最大值（Cp）p-1[1/p- 1] o.此外，v satifiesvz≤ 0, -vz+vzz>0，vτ≥ 0，（τ，z）∈ OhmT、（2.11）证明。见Ap pendix。由于▄V（t，y）=V（τ，z），利用定理2.2，我们可以很容易地得出▄V的相应结果。推论2.3。

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2022-6-11 00:01:26

问题（2.7）有唯一的解决方案V∈ C（[0，T]×（0，∞)) ∩W1,2p，loc（[0，T）×（0，∞))对于1<p<+∞, 满足英国（y）≤V（t，y）≤C（eB（T-t）扬子石化-1+1），（t，y）∈ [0，T）×（0，∞),式中，B=Bθ/2和B，~C在定理2.2中给出。此外，V在t和D上减小，在y上严格凸，令人满意→0-Vy（t，y）=+∞, 石灰→∞-~Vy（t，y）：=a≤ K、 t型∈ （0，T）。（2.12）证明。见第5节。备注2.4。我们可以通过定义V（t，x）=infy>0[°V（t，y）+xy]（2.13），轻松找到条件为（2.2）的变分HJB方程（2.4）的强解V∈ （0，T）和x∈ （K，∞), V在x中是严格凹进和严格凹进的，详见Jian et al.（2014）。3主要结果在本节中，我们考虑形式为▄UK（y）=JXj=1的双重效用函数-qjyqj- Ky，（3.1），其中q<q<···<qJ<0。示例3.1。如果J=1且q=γγ-1如果0<γ<1，则▄U（y）是功率效用U（x）=γxγ的对偶函数。如果J=2且q=-3，q=-1，则▄U（y）是非哈拉效用U（x）=H的双重函数-3（x）+H-1（x）+xH（x），其中H（x）=(-1+√1+4x）1/2，见卞和郑（2015）。定义φ：=L【g】，其中L在（2.9）中定义。直接计算得出φ（z）=L[g]（z）=JXj=1Ajeqjz- νKez，（3.2），其中Aj=qj- κ - ρ/qj。请注意A<A<···<AJ。将z坐标中的延拓区域定义为Cz：={（τ，z）；v（τ，z）>g（z），0<τ≤θT/2}，运动区域为Sz：={（τ，z）；v（τ，z）=g（z），0<τ≤ θT/2}。对于我们的主要结果，我们需要以下假设。假设3.2。模型参数满足K＞0和A＞0。现在我们可以证明自由边界的存在。定理3.3。假设3.2成立。然后存在一个由z（τ）定义的唯一自由边界z（τ）：=inf{z；v（τ，z）>g（z）}，0<τ≤ θT/2。

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2022-6-11 00:01:29

（3.3）使连续区域CZ和练习区域SZ可以分别写入asCz=（τ，z）；z>z（τ），0<τ≤ θT/2（3.4）和SZ=（τ，z）；z≤ z（τ），0<τ≤ θT/2. （3.5）证明。见第5节。示例3.4。在本例中，我们考虑非HARA效用（J=2，q=-3，q=-K>0时为1 in（3.1））。由于A<A，我们讨论以下三种情况。案例1：A≥ 存在（3.3）定义的唯一自由边界z（τ）。情况2：A<0<A和A+4AνK>0。存在两个由z（τ）定义的自由边界z（τ）和z（τ）：=inf{z；v（τ，z）=g（z）}，0<τ≤ θT/2，（3.6）和z（τ）：=s up{z；v（τ，z）=g（z）}，0<τ≤ θT/2，（3.7），使得连续区域和运动区域由CZ给出=（τ，z）；z<z（τ）或z>z（τ），0<τ≤ θT/2（3.8）和SZ=（τ，z）；z（τ）≤ z≤ z（τ），0<τ≤ θT/2. （3.9）此外，z（τ）随着limitslimτ的增大而增大，而z（τ）随着limitslimτ的减小而减小→0z（τ）=-日志-A.-pA+4AKν2A，（3.10）和Limτ→0z（τ）=-日志-A+pA+4AKν2A。（3.11）案例3：A≤ 0或A<0<A和A+4AνK≤ 0、没有自由边界，在到期之前停止不是最佳选择。由于证明有点技术性，我们将其保留在第5节中。图1（a）-（c）说明了上述三种情况，其中CZ为连续区域，SZ为执行区域。备注3.5。例如3.4，简单代数表明Ai=Aiβ+bi，i=1，2，其中a=8/（3θ），a=4/θ，b=-2（2+r/θ），b=-2（1+r/θ）。表示b yβ：=-ba=θ+r，β：=-ba=θ+r。然后A≥ 0等于β≥ β和A≤ 0等于β≤ β. 对于A<0<A或β<β<β的情况，我们需要检查A+4AνK的符号，这需要更详细的b但仍然是简单的分析。用β表示：=β+srKθ+r+rK公司-rK，β：=β-srK公司θ+r+rK公司-rK。很容易确定β<β<β<β。结果是A+4AνK≤ 0等于β≤ β ≤ β.

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2022-6-11 00:01:32

结合以上讨论，我们得出结论，实施例3.4中案例1的参数条件等效于β≥ β、例2至β<β<β，例3至0<β≤ β. 回想一下，β是效用贴现系数。我们看到当β很小时（β≤ β），没有自由边界；当β在中间时（β∈ （β，β）），有两个自由边界；当β较大时（β≥ β），有一个自由边界。阈值β和β是决定不同最优交易策略的关键。（a）（b）（c）（d）图1：（a）K>0，a≥ 0; （b） K＞0，A＜0＜A，A+4AνK＞0；（c） K>0，A≤ 0或A<0<A，A+4AνK≤ 0; （d） K=0，A<0<A。下一个示例是当投资组合保险值K设置为0时，描述示例3.4中讨论的最佳行使和延续区域f或非哈拉效用。示例3.6。我们假设K=0，并且与示例3.4中的非H ARA效用相同。在这种情况下，我们有β=β。案例1：A≥ 0（相当于β≥ β). 没有自由边界，最好立即停止。情况2：A<0<A（相当于β<β<β）。存在唯一的自由边界定义byz（τ）：=inf{z；v（τ，z）=g（z）}，0<τ≤ θT/2。（3.12）此外，z（τ）随limitslimτ增加→0z（τ）=对数-AA公司, （3.13）limτ→∞z（τ）=∞. （3.14）案例3：A≤ 0（相当于β≤ β). 没有自由边界，在到期之前停止也不是最佳选择。我们在第5节留下证据。图1（d）说明了上述Czthecontinuation区域和SZTheExercise区域的情况2。示例3.4和3.6表明，当K=0和K>0时，最优交易策略存在根本性差异。

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2022-6-11 00:01:35

例如，当A<0<A时，存在唯一的自由边界分叉=0，而K>0时存在两个自由边界或没有自由边界，这意味着在存在K>0的投资组合时，必须使用不同的最优交易策略，并且不能简单地将问题简化为标准效用最大化问题。通过假设3.2，我们可以直接验证（3.2）定义的φ（z）d严格递减，并且存在唯一的z∈ R使得φ（z）=0。（3.15）定理3.7。假设3.2成立。然后，由（3.3）定义的自由边界z（τ）与limτ严格相关→0z（τ）=z，其中Zi由（3.15）和z（τ）定义∈ C[0，θT/2]∩C∞（0，θT/2）。此外，z（τ）满足以下积分方程-Z∞zG（τ，z（τ）- y） φ（y）dy+ZτG（τ- s、 z（τ）- z（s））φ（z（s））z′（s）ds=0，（3.16），其中G是由G（τ，z）定义的格林函数=√4πτexp-（z）- κτ)4τ- ρτ. （3.17）证明。见第5节。接下来，我们对自由边界进行渐近分析，并构造对偶问题的全局逼近。我们使用积分方程（3.16）研究了接近到期的自由边界的渐近行为。定理3.8。假设3.2成立。然后，由（3.3）定义的自由边界z（τ），对于0<τ<1，满足近似yz（τ）≈ z- 2A级√τ、其中A是以下方程的正解-A.-√πA+AZe-Aη3η+η（1+η）dη=0。（3.18）方程（3.18）的数值解为≈ 0.56292056798247.证据见第5节。下一个结果给出了由（3.3）定义的自由边界z（τ）的渐近性质，即成熟散度τ趋于有限。定理3.9。假设3.2成立，z*是方程Jxj=1的唯一解-qj（qj- λ） e（qj-1） z- K（1- λ） =0，其中λ=（κ-pκ+4ρ）。然后，自由边界由（3.3）satieslimτ定义→∞z（τ）=z*.证据见第5节。示例3.10。

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2022-6-11 00:01:38

简单计算表明，对于功率效用（J=1 in（3.1）），我们有z=q-1对数νA，z*=q- 1日志Q（1- λ)λ - q、对于非HARA效用（J=2，q=-3，q=-1在（3.1）中，我们有z=-日志-A+pA+4AνK2A，z*= -日志-（q）- λ） +q（q- λ） +（q- λ)(1 - λ）（q）- λ).根据假设3.2和qj- λ>0，j=1，2（见（5.28）），我们可以验证上述对数函数内的表达式为正。现在，我们寻求一个由（3.3）定义的简单近似公式f或z（τ）（i）它具有渐近展开z-2A级√τ对于小τ和（ii）它接近z*对于大τ。对于这一点，我们可以看到formz的近似值*（τ）：=z-2Ar1- e-bτb，其中b>0。为了使其与大τ行为相匹配，我们需要b=4A（z-z*). 因此，（3.3）定义的自由边界z（τ）的全局闭式近似值由z给出*（τ）：=z- （z）- z*)p1级- e-b*τ、 b类*=4A（z- z*). （3.19）下一个结果给出了带条件（2.2）的问题（2.4）自由边界的全局闭合形式近似。定理3.11。设对偶效用函数由（3.1）给出，假设3.2成立。莱茨*（τ）在（3.19）中，是（3.3）定义的自由边界z（τ）的全局闭合形式近似（GCA）。然后，条件为（2.2）的问题（2.4）的唯一自由边界严格递减，并由x（t）=-英国经验值z*（θ（T- t） /2）, 0≤ t型≤ 此外，原始值函数由V（T，x）=V（T，I（T，x））+xI（T，x）给出，最优反馈控制由π给出*t=θσI（t，x）~Vy y（t，I（t，x）），（3.20），其中▄V是双值函数，近似由▄V（t，y）=▄UK（y）给出-ZτZ∞z*（s） G（τ- s、年- w） φ（w）dwds，（3.21）τ=θ（T- t） /2，并且y=I（t，x）是方程的唯一解，对于x>K，Vy（t，y）+x=0。见第5节。备注3.12。

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2022-6-11 00:01:41

在连续域中，最优反馈控制π*可以使用原始值函数使用（2.3）或使用双值函数使用（3.20）进行计算。由于强对偶关系，这两种方法将产生相同的最优交易策略。一般来说，找到初值函数比找到对偶值函数更困难，因为前者满足连续区域中的非线性偏微分方程，而后者是线性偏微分方程。如果对偶自由边界已知，对偶值函数有一个积分表示，可以计算最优控制。这就是GCA发挥关键作用的地方。如果没有GCA，几乎不可能确定连续区域中的最优控制，因为原始值函数和对偶值函数都依赖于未知的自由边界。4数值例子在本节中，我们比较了使用全局闭式近似（GCA）和二叉树方法（BTM）得出的数值结果。我们现在简要解释一下如何使用BTM来解决我们的问题。BTM不能直接应用于解决原始投资停止问题，但是，它可以用来解决双重最优停止问题，这本质上是一个美国期权定价问题，还有一个额外的困难，即必须从方程Vy（t，y）+x=0中找到双重过程的初始值y，而要确定V来解决问题，我们使用以下程序。首先，我们确定一个任意的y>0，并为整个过程y构建一个二叉树，然后使用d y动态规划方法来解决对偶最优停止问题，并在时间0处找到值Vy（0，y）。然后，我们检查▄Vy（0，y）+x的符号：如果为正，我们通过设置y=y/10来减小▄Vy（0，y）的值；如果为负数，我们通过设置y=10y来增加▄Vy（0，y）的值。

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2022-6-11 00:01:45

重复该过程并获得▄Vy（0，y）。如果▄Vy（0，y）+x和▄Vy（0，y）+x具有相同的设计，我们设置y=y并重复上述过程；如果它们有不同的符号，我们发现了一个由yand y组成的区间，其中包含方程Vy（t，y）+x=0的解。然后使用对分法以线性收敛的方式确定y。一旦确定了对偶过程的初始值y，我们就可以很容易地得到对偶问题的值V（0，y）和自由边界。最后，利用对偶关系，我们可以找到原始问题的最优值和自由边界。示例4.1。我们讨论了最优投资停止问题（2.4）的自由边界和最优策略，在示例3.1中定义了电力公用事业和非HARA公用事业的条件（2.2）。使用的参数为u=0.1，β=0.1，r=0.05，σ=0.3，K=1，γ=0.5，T=1。二项式树方法的时间步数为N=700，可提供4个小数点精度。这些参数满足假设3.2。在图2中，我们使用全局闭式近似（GCA）和二叉树方法（BTM）绘制了电源和非HARA实用程序的最佳执行边界。很明显，GCA和BTM产生具有相同形状和非常小的g AP的自由边界。在图3中，我们描述了最优财富的样本路径以及使用GCA的电力和非HARA公用事业的相应最优交易策略。

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2022-6-11 00:01:48

我们可以看到，最优交易策略在时间τ之后变为零，最优财富过程在终端时间T之前第一次到达自由边界，τ是投资风险资产的最佳停止时间，最优财富变为Xt=Xτer（T-τ）对于τ≤ t型≤ T0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t1.41.421.441.461.481.51.521.54延续区域运动区域CABTM（a）0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t1.51.551.61.651.71.75延续区域运动区域CABTM（b）图2：（a）与电力公司BTM相比的最佳运动边界；（b）与BTM相比，非HARA效用的最佳运动边界。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t1.11.21.31.41.51.6（，X）路径1路径2自由边界练习区域继续区域0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1t0.10.20.30.40.50.70.80.9（，*）路径1的最佳策略0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1t1.11.21.31.41.51.61.71.8（，X）路径1路径2自由边界练习区域继续区域0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.6 0.7 0.8 0.9 1t0.20.40.60.81.21.4（，*）路径1的最优策略路径2的最优策略（b）图3：（a）初始财富x=1.4的两条不同财富样本路径和电力效用的最优策略。（b）两种不同的财富样本路径，初始财富x=1.5，以及非HARA效用的最优策略。示例4.2。在这个例子中，我们比较了初始时通过闭式近似和b二叉树方法获得的最优值和最优策略。（i）对于功率和非HARA效用，我们比较了n GCA和BTM之间的数值结果。使用的参数为u=0.1，β=0.1，r=0.05，σ=0.3，K=1，γ=0.5，T=1，T=0，初始财富x=1.5，二叉树方法的时间步数N=700。

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2022-6-11 00:01:51

数值结果如表1所示。（ii）在表2中，我们给出了功率和非HARA效用下BTM和GCA之间绝对和相对差异的平均值和标准偏差。我们确定K=1，T=1，T=0，initialwealth x=1.5，二叉树方法的时间步数N=700。restparameters是随机选择的：10个样本u来自均匀分布的区间[0.05，0.15]，r在[0.02，0.08]，β在[0.05，0.15]，σ在[0.10，0.40]，γ在[0.2，0.6]。我们还要求参数满足假设3.2。从表2中的数字中，我们观察到GCA和BTM最优值之间的差异非常小，而GCA的计算时间f远小于BTM。GCA显示正确且快速。与最优值相比，同时使用BTM和GCA计算最优策略的误差更大。

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2022-6-11 00:01:54

这并不奇怪，因为最优策略是用值函数的导数计算的。表1：GCA和BTM之间的比较，例如4.2（i）。电力公司非哈拉电力公司最优值最优策略最优值最优策略GCA值1.4128 0.6558 1.5094 0.6776BTM值1.4031 0.7454 1.5116 0.6846差异0.0096 0.0899 0.0022 0.0069相对差异0.0069 0.1206 0.0015 0.0101 GCA 22.7s 10.9s 11.4s 5.6BTM 1683.2s 1664.2s 2777.6s 2744.6s稳定2：GCA和BTM之间的比较，例如4.2（ii）。电力公司非哈拉电力公司最优值最优策略最优值最优策略平均偏差0.0074 0.0969 0.0034 0.0281标准偏差0.0050 0.1495 0.0062 0.0462平均相对偏差0.0050 0.0745 0.0022 0.0630标准相对偏差0.0033 0.1145 0.0045 0.0919平均时间GCA 23.2s 8.2s 23.0s 9.3sAvg时间BTM 2640.6s 2878.6s 2844.2s5在本节中，我们提供论文结果的详细证明。5.1推论证明2.3证明。一切都是定理2.2的简单翻译。我们只需要显示（2.12）保持。对于某些固定的y>0和y<y，使用▄UK（0）=∞ V在y中的凸性，我们有Vy（t，y）≤V（t，y）-V（t，y）y- y≤V（t，y）-英国（y）y- y、这给了limy→0-Vy（t，y）= +∞ . 同样，对于某些固定的y>0和y<y，使用（2.5），我们得到0≤ -Vy（t，y）≤ -V（t，y）-V（t，y）y- y≤ -英国（y）-V（t，y）y- y≤ --肯塔基州-V（t，y）y- y、这给了limy→∞-Vy（t，y）:= 一≤ K、 5.2定理3.3的证明。在运动区域，我们立即得到vz=gz。在延拓区域中，sincevz（0，z）=gz，vz（τ，z）=gz表示（τ，z）∈ Cz，通过假设3.2和qj<0，我们得到了l[gz]=φ′（z）=JXj=1Ajqjeqjz- Kνez≤ 另一方面，在延拓域中，它认为L[vz]=0。所以我们有L[vz- 广州]≥ 0在延续区域中。

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2022-6-11 00:01:57

通过比较，我们得到了- 广州≥ 因此，如果（τ，z）∈ Cz，即v（τ，z）>g（z），然后对于任何z>z，v（τ，z）- g（z）≥ v（τ，z）- g（z）>0，由此推断（τ，z）∈ 捷克。这表明CZ的每个τ-截面是连接的。自由边界z（τ）的存在性如下。我们得到（3.3）和（3.4）。此外，（3.5）遵循（3.4）。5.3示例3.4的证明。情况1：如果A>0，从T heorem 3.3，我们知道存在一个由（3.3）定义的唯一自由边界z（τ）。如果A=0，则A>A=0，定理3.3意味着存在由（3.3）定义的唯一自由边界z（τ）。案例2：我们现在证明（3.6）-（3.9）。在∧处表示th：={（τ，z）；z（τ）≤ z≤ z（τ），0<τ≤θT/2}。由于A<0<A，A+4AνK>0且φ（z）=ez（Ae-4z+Ae-2z- νK），则方程φ（z）=0存在两个根。我们用zI表示这两个根，zII用zI<zII表示。通过直接计算，我们得出：-日志-A.-pA+4AKν2A，zII=-日志-A+pA+4AKν2A。然后从运动区域的定义Sz={（τ，z）；v（τ，z）=g（z），0<τ≤ θT/2}和变分方程（2.8），我们有L[v]=L[g]=φ（z）≥ 0表示（τ，z）∈ 深圳。这意味着SZ（τ，z）；φ（z）≥ 0, 0 < τ ≤ θT/2=0 < τ ≤ θT/2，zI≤ z≤ 齐伊.这表明τ-截面{z；v（τ，z）=g（z），0<τ≤ 运动区域sz的θT/2}有界。因此，（3.6）-（3.7）中的z（τ）和z（τ）定义良好。通过z（τ）和z（τ）的定义，我们得到了Sz Λ. 现在，我们证明∧ 深圳。（5.1）自（τ，z）；z=z（τ）或z=z（τ），0<τ≤ θT/2 Sz公司（τ，z）；φ（z）≥ 0, 0 < τ ≤ θT/2,我们有∧（τ，z）；φ（z）≥ 0, 0 < τ ≤ θT/2. 假设（5.1）为假。当存在一个非空子集时，N=Cz∩∧和抛物线边界pN编号OhmT-捷克。“此处”OhmTdenotes th eclosure ofOhmT、 ThusL【v】=0，（τ，z）∈ N，L【g】=φ（z）≥ 0，（τ，z）∈ N，v=g，（τ，z）∈ 请注意。根据比较原则，v≤ g在N中，这意味着N=. 因此产生了矛盾。

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2022-6-11 00:02:00

因此，（5.1）成立。所以∧=Sz，即（3.9）成立。（3.8）遵循（3.9）。接下来，我们证明了两个自由边界的单调性。如果z（τ）不增加，则存在τ<τ，使得z（τ）>z（τ）。自vτ≥ 0（见（2.11）），我们有g（z（τ））=v（τ，z（τ））≥ v（τ，z（τ））>g（z（τ）），这是一个矛盾。因此，z（τ）在增加。类似地，z（τ）正在减小。最后，我们证明了（3.10）和（3.11）。Iflimτ→0z（τ）>zI，则对于满足limτ的任何z→0z（τ）>z>zI，τ=0，我们有0=vτ- vzz+κvz+ρv=vτ+φ（z）>0，其中最后一个等式来自于vτ≥ 0和φ（z）>0表示zI<z<zII。这是一种矛盾。因此，（3.10）成立。通过类似的论证，我们可以得到（3.11）。案例3：事实上，如果≤ 0或A<0<A，A+4AνK≤ 0，则L[g]=φ（z）=ez（Ae-4z+Ae-2z- νK）≤ 因此，g是pr ob lemL[v]=0（τ，z）的子解∈ OhmT、（5.2）v（0，z）=g（z），z∈ R、（5.3）表示问题（5.2）-（5.3）的解为 v。然后通过比较，我们得到 v- g级≥ 0英寸OhmT、因此，v也是问题（2.8）的解决方案。5.4示例3.6的证明。情形1和情形3可以很容易地证明如下：由于K=0，我们有L[g]=φ（z）=Ae-3z+Ae-z≥ 如果为，则为0≥ 0或φ（z）≤ 如果为，则为0≤ 0，因为关系A<A。如果φ（z）≤ 0，然后通过与示例3.4中的证明相同的参数，我们得出结论，不存在自由边界，在到期之前停止不是最优的。Ifφ（z）≥ 0，则v=g是问题（2.8）的解，这意味着没有自由边界，最好立即停止。接下来我们证明案例2。我们可以在示例3.4的证明中使用类似的参数来显示z（τ）的（3.12）、（3.13）和单调性。我们只需要证明（3.14）。如果z（τ）有界，那么我们有limτ→∞z（τ）<∞.

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2022-6-11 00:02:03

表示limτ→∞z（τ）：=a。我们重写问题（2.8）asL[v]=I{z≥z（τ）}φ（z），（τ，z）∈ OhmT、 v（0，z）=g（z），z∈ R、式中，Ia是集合A的指示函数。根据格林恒等式，我们有v（τ，z）=z∞-∞G（τ，z- y） g（y）dy+ZτZ∞z（τ-s） G（s，z- y） φ（y）dyds，其中G是（3.17）定义的格林函数。设∧（τ）=e-3z（τ）-3Aτ+e-z（τ）-Aτ，∧（τ）=A√πe-3z（τ）Zτe-3AsZ公司∞z（τ-s）-z（τ）+（κ+6）s√东南方-ηdηds，∧（τ）=A√πe-z（τ）zτe-AsZ公司∞z（τ-s）-z（τ）+（κ+2）s√东南方-ηdηds。由于v（τ，z（τ））=g（z（τ）），我们有∧（τ）+∧（τ）+∧（τ）+∧（τ）=g（z（τ））。根据支配收敛定理，我们得到了limτ→∞∧（τ）=A√πe-3aZ∞e-3AsZ公司∞(κ+6)√东南方-ηdηds，=-κ + 6√πe-3aZ∞e-（κ+ρ）tdt<∞.由于A<0<A，我们有limτ→∞Λ(τ) ≤ Ae-亚利桑那州∞e-ASD<∞,limτ→∞Λ(τ) = ∞.As limτ→∞g（z（τ））=g（a）<∞, 这导致了矛盾。因此，我们得出z（τ）是递增的且无界的，即（3.14）成立。5.5定理的证明3.7证明。根据定理3.3，变分问题（2.8）可以写成：z>z（τ），0<τ≤ θT/2，（5.4）v（τ，z）=g（z）表示z≤ z（τ），0<τ≤ θT/2，（5.5）vz（τ，z（τ））=gz（z（τ）），0<τ≤ θT/2，（5.6）v（0，z）=g（z），z∈ R、其中，L和g的定义如（2.9）所示。首先，我们认为z（τ）是非递增的。否则，存在一些0<τ<τ，例如z（τ）<z（τ）。那么既然vτ≥ 0（见（2.11）），我们得到0=v（τ，z（τ））- g（z（τ））≥ v（τ，z（τ））- g（z（τ））>0，其中第二个不等式源自自由边界z（τ）的定义。这导致了矛盾。然后我们声称z（τ）<zforτ>0。（5.7）设v=v- g、我们写出变分问题（2.8）asmin{L[\'v]+φ（z），\'v}=0，（τ，z）∈ OhmT、（5.8）(R)v（0，z）=0，z∈ R、（5.9）其中φ（z）由（3.2）定义。设U为解toL[U]=-φ（z），（τ，z）∈ Ohm := {（τ，z）∈ OhmTz>z}，（5.10）U（τ，z）=0，（τ，z）∈ pOhm, （5.11）其中pOhm 是的抛物线边界Ohm.由于φ（z）严格递减且z>z，乘以（3.15），我们得到L[U]=-φ（z）>0英寸Ohm.

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2022-6-11 00:02:06

根据最大值原理（见（Lieberman，1996，定理2.7）），在Ohm. 然后Hopf\'slemma（见（Lieber-man，1996，引理2.8））得出τ>0时的Uz（τ，z）>0。根据（5.8）-（5.11），我们有L[\'v]≥ -φ（z）=L[U]和'v（τ，z）≥ 0=U（τ，z）（τ，z）∈ pOhm. 根据比较原则（Lieberman，1996，推论2.5），我们可以看到≥ U>0英寸Ohm. 这意味着z（τ）≤ z、否则，存在一些z∈ （z，z（τ）），使得v（τ，z）=0。如果存在一些τ>0，使得z（τ）=z，则我们有v（τ，z（τ））=U（τ，z（τ））=0。霍普夫引理（见（Lieber-man，1996，引理2.8））表示“vz（τ，z（τ））>Uz（τ，z（τ））>0。由于“vz（τ，z（τ））=0，对于任何τ>0的情况，这会导致矛盾。证明了So（5.7）。因此，我们有limτ→0z（τ）≤ z、如果limτ→0z（τ）<z，则f或某些z∈ （limτ→0z（τ），z），by（5.4），wehaveL[v]|τ=0=[vτ- vzz+κvz+ρv]|τ=0=0。这导致Vτ|τ=0=[vzz- κvz- ρv]|τ=0=-φ（z）<0，其中φ后面的最后一个不等式严格递减，φ（z）=0，z<z。这与vτ（0，z）的事实相矛盾≥ 0（见（2.11））我们现在证明z（τ）∈ C[0，θT/2]。如果这不是true，则存在一些τ∈ [0，θT/2），使得z<z，其中z=limτ→τ+z（τ），z=limτ→τ-z（τ）。根据（5.7），我们有z，z≤ z、对于任何z∈ [z，z]，根据（5.4），我们有[v]|τ=τ=[vτ- vzz+κvz+ρv]|τ=τ=0。对于任何z∈ [z，z]，这导致vτ|τ=τ=[vzz- κvz- ρv]|τ=τ=-φ（z）≤ 0，其中φ后面的最后一个等式是递减的，φ（z）=0，z，z≤ z、通过（2.11），这意味着φ（z）=0表示任何z∈ [z，z]，而φ是一个严格的递减函数。这自相矛盾。因此z（τ）∈ C[0，θT/2]为真。此外，我们可以使用Friedman（1975）提出的bootstrap论证得出以下结论：z（τ）∈ C∞（0，θT/2）。为了验证这个定理中的其余结果，通过（5.5），我们得到v（τ，z（τ））=g（z（τ）），τ>0。（5.12）在τ中微分（5.12），通过（5.6），我们得到vτ（τ，z（τ））=0。

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2022-6-11 00:02:09

（5.13）Fur Themore，（5.4）impliesL[v]（τ，z（τ））=vτ（τ，z（τ））- vzz（τ，z（τ））+κvz（τ，z（τ））+ρv（τ，z（τ））=0，这导致vzz（τ，z（τ））=κgz（z（τ））+ρg（z（τ）），τ>0。（5.14）根据（5.13）和定理2.2，我们推导出延拓域中的vτ=0，vτ（τ，z（τ））=0，0<τ<θT/2，vτ（0，z）≥ 0，z∈ R、 Hopf引理和极大值原理意味着vτ>0在延拓区域，vτz>0at（τ，z（τ））。微分（5.6）在τ中，我们有vτz（τ，z（τ））+vzz（τ，z（τ））z′（τ）=gzz（z（τ））z′（τ）。By（5.14），vzτ（τ，z（τ））=-φ（z（τ））z′（τ）>0，（5.15）由于φ急剧减小（5.7），我们得出-φ（z（τ））<-φ（z）=0，τ>0。因此，我们得到z′（τ）<0。确定自由边界积分方程的标准方法从（3.17）定义的格林函数G开始，满足[G]=Gτ- Gzz+κGz+ρG=0。用u（τ，z）=vτ（τ，z）和i（z，τ，s）=z表示∞z（s）G（τ- s、 z- y） u（s，y）dy.（5.16）注意lims→τG（τ-s、 z-y） =δ（z-y），其中δ是狄拉克δ函数，因此对于任何z>z（τ），lims→τI（z，τ，s）=u（τ，z）。考虑到这一点，我们可以通过在s=0和s=τ之间积分Is（z，τ，s），将解u（τ，z）与初始条件联系起来。差异（5.16），还注意到u（s，z（s））=vs（s，z（s））=0（见（5.13）），屈服强度（z，τ，s）=-Z∞z（s）Gτ（τ- s、 z- y） u（s，y）dy+Z∞z（s）G（τ- s、 z- y） us（s，y）dy。简单计算，使用分部积分，给出∞z（s）G（τ- s、 z- y） us（s，y）dy=Z∞z（s）G（τ- s、 z- y） [乌兹- κuz- ρu]（s，y）dy=-G（τ- s、 z- z（s））uz（s，z（s））+z∞z（s）[Gzz- κGz- ρG]（τ）- s、 z- y） u（s，y）dy=-G（τ- s、 z- z（s））uz（s，z（s））+z∞z（s）Gτ（τ- s、 z- y） u（s，y）dy。因此，Is（z，τ，s）=-G（τ- s、 z- z（s））uz（s，z（s））。积分为（z，τ，s）f，从s=0到s=τ，我们得到u（τ，z）-Z∞zG（τ，z- y） u（0，y）dy=-ZτG（τ- s、 z- z（s））uz（s，z（s））ds。（5.17）现在我们计算y的u（0，y）≥ z

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2022-6-11 00:02:12

根据（5.4），我们有u（0，y）=vτ（0，y）=vzz（0，y）- κvz（0，y）-ρv（0，y）=-L[克]=-φ（y）。uz（s，z（s））=vτz（s，z（s））由（5.15）给出。由于u（τ，z（τ））=vτ（τ，z（τ））=0（见（5.13）），在（5.17）中设z=z（τ），我们得到（3.16）。5.6定理的证明3.8证明。我们假设z（τ）=z- 2A级√τ+o(√τ), τ → 0。（5.18）直接计算表明，（3.16）中的第一项由以下公式得出：-Z∞zG（τ，z（τ）- y） φ（y）dy=JXj=1-AjeqjAjτ+qjz（τ）erfcz- z（τ）+（κ-2qj）τ√τ+νKe-ντ+z（τ）erfcz- z（τ）+（ν）- ρ - 1)τ√τ, （5.19）其中，erfc（z）是由erfc（z）定义的互补误差函数=√πZ∞ze公司-ηdη。通过泰勒展开式和（5.18），我们得到了eqjajτ+qjz（τ）=eo(√τ） +qj（z-2A级√τ+o(√τ））=eqjz（1- 2qjA√τ+o(√τ））（5.20）e-ντ+z（τ）=ez（1- 2A级√τ+o(√τ)).同样，泰勒展开式给出了A（1+o（1））+κ- 2qj√τ= erfc（A（1+o（1）））-κ - 2qj√πe-A.√τ+o(√τ）（5.21）anderfc（A（1+o（1））+ν- ρ - 1.√τ） =erfc（A（1+o（1）））-ν - ρ - 1.√πe-A.√τ+o(√τ). （5.22）由于φ（z）=0，由（5.19）-（5.22）得出-Z∞zG（τ，z（τ）- y） φ（y）dy=JXj=1-Ajeqjz公司1.- 2qjA√τ+o(√τ)erfc（A（1+o（1）））-κ - 2qj√πe-A.√τ+o(√τ)+νKez1.- 2A级√τ+o(√τ)erfc（A（1+o（1）））-ν - ρ - 1.√πe-A.√τ+o(√τ)= -φ（z）erfc（A（1+o（1）））-JXj=1Ajeqjz(-2qjA√τ） erfc（A（1+o（1）））-κ - 2qj√πe-A.√τ+νKez(-2A级√τ） erfc（A（1+o（1）））-ν - ρ - 1.√πe-A.√τ+ o(√τ)=A erfc（A（1+o（1）））-√πe-A.√τJXj=1qjAjeqjz- νKez+ o(√τ). （5.23）我们使用变换t=ζτ和denote？ζ=1- ζ.

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kedemingshi

2022-6-11 00:02:15

那么（3.16）中的第二项可以由zτG（τ- s、 z（τ）- z（s））φ（z（s））z′（s）ds=JXj=1AjZτ√4πte-[z（τ）-z（τ-t）-κt]4t-ρt+qjz（τ-t） z′（τ- t） dt公司- νKZτ√4πte-[z（τ）-z（τ-t）-κt]4t-ρt+z（τ-t） z′（τ- t） dt=JXj=1Aj√τZ√4πζe-[z（τ）-z（(R)ζτ）-κζτ ]4ζ τ-ρζτ+qjz（\'ζτ）z′（\'ζτ）dζ- νK√τZ√4πζe-[z（τ）-z（(R)ζτ）-κζτ ]4ζ τ-ρζτ+z（\'ζτ）z′（\'ζτ）dζ：=（第1项）+（第2项）。使用展开式Z′（\'ζτ）=-A（(R)ζτ）-1/2（1+o（1）），方程JZ（(R)ζτ）-ρζτ=eqjz（1- 2Aqjq？ζτ+o(√τ），我们得出（项1）=JXj=1AjeqjzτZ√4πζe-[z（τ）-z（(R)ζτ）-κζτ]4ζτz′（(R)ζτ）dζ-JXj=1AAjeqjzZ√4πζe-[2A(√ζτ -√τ） +o(√τ）]4ζτ·（1+o（1））-2Aqjq？ζτ+o(√τ)(ζ)-1/2dζ。类似地，可以得到（项2）=-νKezτZ√4πζe-[z（τ）-z（(R)ζτ）-κζτ]4ζτz′（(R)ζτ）dζ+AνKezZ√4πζe-[2A(√ζτ -√τ）+o(√τ） ]4ζτ·（1+o（1））-2Aq？ζτ+o(√τ)(ζ)-1/2dζ。由于φ（z）=0，这导致（项1）+（项2）=2AJXj=1qjAjeqjz- νKez· （1+o（1））√τZ√4πζe-[2A(√ζτ -√τ） +o(√τ）]4ζτdζ+o(√τ).（5.24）通过（3.16），（5.23）和d（5.24），我们得出√πe-A.- A erfc（A）=2AZ√4πζe-[2A(√ζτ -√τ）]4ζτdζ。根据tr公式η=1-√ζ√ζA，我们推导√πe-A.-2A级√πZ∞Ae-ηdη=√πZAe-η2 A（A- η）（A+η）dη。（5.25）让F（A）=√πAe-A.-er fc（A）-√πZAe-ηA（A-η）（A+η）dη。通过直接计算，我们得到f′（a）=-A.√πe-A+√πZAe-η(-6A+2Aη）η（A+η）dη<0，F（0）=+∞ 和F(+∞) = -这意味着方程（5.25）存在唯一解。最后，（3.18）从Z开始∞Ae-ηdη=√π-扎伊-ηdη和（5.25）。5.7定理3.9的证明为了证明定理3.9，我们需要以下引理。引理5.1。存在一些z*∈ R su ch thatlimτ→∞z（τ）=z*.证据首先，我们考虑以下问题-ψ′（z）+κψ′（z）+ρψ（z）=0 f或z>a，ψ（z）=g（z）表示z≤ a、 ψ′（a）=g′（a），（5.26）limz→∞ψ（z）=0。表示P（z）：=JXj=1-qj（qj-λ） e（qj-1） z- K（1- λ），（5.27），其中λ=κ-√κ+4ρ. 假设3.2和A<A<…<AJ，我们有κ+4ρ-(κ-2qj）=-4qjAj>0，这导致qj- λ=pκ+4ρ- κ+2qj>0。

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2022-6-11 00:02:18

（5.28）这意味着p′（z）<0，limz→∞p（z）=-K（1-λ） <0和limz→-∞p（z）=∞. 因此，存在一个∈ R使得p（a）=0。（5.29）现在问题（5.26）的解由ψ（z）=g（a）eλ（z）给出-a）对于z>a，ψ（z）=g（z）表示z≤ a、（5.30）其中a由（5.29）定义。我们将证明（5.30）定义的函数ψ（z）满足以下变分方程min{-Ψ′′+ κΨ′+ ρΨ, Ψ - g} =0，z∈ R、（5.31）首先，对于任何z>a，由于ψ是问题（5.26）的解，我们只需要验证ψ（z）>g（z）。表示Φ（z，c）=g（c）eλ（z-c）。c中的微分Φ（z，c）我们有cΦ（z，c）=eλ（z-c） +cp（c），其中p（c）由（5.27）定义。这意味着Φ（z，·）在(-∞, a）（a，z）严格递减。因此，对于任何z>a，我们有ψ（z）=Φ（z，a）>Φ（z，z）=g（z）。因此，对于任何z>a，ψ满足（5.31）。其次，对于任何z≤ a、 sin ceφ（z）=PJj=1Ajeqjz-Kνez=0，κ=ν-ρ+1，qj-λ>0（见（5.28）），我们有νezp（z）=νezp（z）- φ（z）=JXj=1eqjz[-νqj（qj-λ) - Aj]+λKνez=JXj=1eqjz[-νqj（qj-λ) + (λ - 1） Aj]=JXj=1-4qjeqjz（qj- λ)[κ(2 - 2qj）+(-2+2qj）pκ+4ρ+4qj- 4]< 0.由于p（z）严格递减且p（a）=0，我们推导出z>a。这导致-对于z，g′′＋κg′＋ρg=L【g】=φ（z）＞0≤ a、其中，最后一个不等式源自φ严格递减的事实，φ（z）=0，且a<z。因此，对于任何z≤ a、现在变分不等式（5.31）意味着min{L[ψ]，ψ- g} =0，（τ，z）∈ OhmT、 ψ（z）≥ g（z）=v（0，z），z∈ R、根据比较原理（见引理A.1），我们有v（τ，z）≤ ψ（z）（τ，z）∈ Ohm然后我们推导出z（τ）≥ a、否则，根据z（τ）（见（3.3））和（5.30）的定义，存在一些z∈ （z（τ），a）使得v（τ，z）>g（z）=ψ（z）。矛盾出现了。由于z（τ）在减小（见定理3.7）并且有一个下限，因此存在一些z*∈ R使得limτ→∞z（τ）=z*.我们现在可以证明定理3.9。证据

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2022-6-11 00:02:22

我们只需要显示z*= a、其中a在（5.29）中定义。我们重写问题（2.8）asL[v]=I{z≤z（τ）}φ（z），（τ，z）∈ OhmT、 v（0，z）=g（z），z∈ R、式中，Ia是集合A的指示函数。根据格林恒等式，我们有v（τ，z）=z∞-∞G（τ，z- y） g（y）dy+ZτZz（τ-s）-∞G（s，z- y） φ（y）dyds，其中G是（3.17）定义的格林函数。由于自由边界（τ，z（τ））=g（z（τ）），直接计算表明g（z（τ））=z∞-∞G（τ，z（τ）- y） g（y）dy+ZτZz（τ-s）-∞G（s，z（τ）- y） φ（y）dyds=JXj=1-qj公司√4πτeqjz（τ）+qjAjτZ∞-∞exph公司-（y）- z（τ）+κτ- 2qjτ）4τidy- K√4πτez（τ）-ντZ∞-∞exph公司-（y）- z（τ）+κτ- 2τ）4τidy+JXj=1AjZτ√4πseqjz（τ）+qjAjsZz（τ-s）-∞exph公司-（y）- z（τ）+κs-2qjs）4sidyds- νKZτ√4πsez（τ）-νsZz（τ-s）-∞exph公司-（y）- z（τ）+κs-2s）4sidyds=JXj=1-qjeqjz（τ）+qjAjτ- Kez（τ）-ντ+JXj=1AjZτeqjz（τ）+qjAjsNz（τ- s）- z（τ）+κs- 2qjs√2秒ds公司- νKZτez（τ）-νsNz（τ- s）- z（τ）+κs-2秒√2秒ds，其中N（·）是标准正态变量的累积分布函数。出租τ→ ∞,利用支配收敛定理和分部积分，我们得到了g（z*) =JXj=1AjZ∞eqjz公司*+qjAjsN公司κs- 2qjs√2秒ds公司- νKZ∞ez公司*-νsNκs- 2秒√2秒ds=JXj=1-2qjeqjz*1 +κ - 2qjpκ+4ρ-凯兹*1 +κ - 2pκ+4ρ=g（z*) -JXj=1κ- 2qj2qjpκ+4ρeqjz*-κ - 2pκ+4ρKez*.简单的代数计算得到p（z*) = 0=p（a），其中p在（5.27）中定义。因此，limτ→∞z（τ）=z*= a、 5.8定理的证明3.11证明。将y坐标中的连续区域定义为Cy={（t，y）；▄V（t，y）>▄UK（y），0≤ t<t}，运动区域为Sy={（t，y）；▄V（t，y）=▄UK（y），0≤ t<t}。y坐标中的运动边界由y（t）定义：=inf{y；▄V（t，y）>▄UK（y）}表示0≤ t<t。然后可以导出y（t）byy（t）的全局ap近似值≈ 经验值z*(τ)= 经验值z*θ（T- t） /2个.从对偶变换中，我们知道▄Vy（t，y）=-x、在自由边界上，我们有▄Vy（t，y（t））=▄U′K（y（t））。

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大多数88

2022-6-11 00:02:25

结合上述关系，我们找到了近似的自由边界x（t）。从（5.17）开始，同时注意u（0，y）=-φ（y）和uz（s，z（s））=-φ（z（s））z′（s），我们有vτ（τ，z）=-Z∞zG（τ，z- y） φ（y）dy+ZτG（τ- s、 z-z（s））φ（z（s））z′（s）ds=-Z∞zG（τ，z- w） φ（w）dw+ZτG（η，Z- z（τ- η））φ（z（τ- η））z′（τ- η） dη=-τhZτZ∞z（τ-η） G（η，z- w） φ（w）dwdηi。将上述方程从τ=0积分到τ=τ，并注意v（0，z）=g（z），我们得到v（τ，z）- g（z）=-ZτZ∞z（τ-η） G（η，z- w） φ（w）dwdη=-ZτZ∞z（s）G（τ- s、 z- w） φ（w）dwds，其中φ在（3.2）中定义。我们用整体闭式近似z来近似自由边界z（τ）*（τ）在（3.19）中，得到对偶值函数≈V（t，y）的近似值为（注z=log y，τ=θ（t- t））~V（t，y）≈英国（y）-ZτZ∞z*（s） G（τ- s、年- w） φ（w）dwds。（5.32）根据推论2.3，存在唯一解y*= I（t，x）到方程Vy（t，y）+x=0，对于x>K。然后原始值函数由V（t，x）=infy>0（~V（t，y）+xy）=V（t，I（t，x））+xI（t，x）乘以（5.32）f或任何（t，x）得到∈ [0，T）×[K+∞). 最后，我们计算了最优策略π*t、因为vx=y*= I（t，x），Vxx（t，x）=-~Vy y（t，I（t，x）），我们导出π*t=-θσVxVxx=θσI（t，x）~Vy y（t，I（t，x））。6结论本文利用双控制方法对最优投资停止问题进行了严格的分析。该分析涵盖一类效用函数，包括power和nonHARA效用。通过发展对偶问题的近似公式，导出了最优值函数和最优策略的近似公式。

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2022-6-11 00:02:28

对于非HARA效用，如果假设3.2不成立，则对偶问题可能存在两个自由边界或没有自由边界，并且我们无法使用本文开发的方法d来描述自由边界的限制行为，因为到期时间趋于零或不完整，这使得找到自由边界的全局闭合形式近似成为可能。我们把这个留到以后的工作中去。确认。作者非常感谢两位匿名评论者，他们的建设性意见和建议有助于改进前一版本的论文。ReferencesBian，B.和Zheng，H.（2015）。具有一般效用函数的投资模型的收费公路性质和收敛速度，《经济动力与控制杂志》，51，28–49。Ceci，C.和Bassan，B.（2004年）。混合最优停止和随机控制问题，具有离散过程的半连续最终报酬，随机和随机报告，76323–337。Dayanik，S.和K aratzas，I.（2003年）。关于一维微分的最优停止问题，随机过程及其应用，107，173–212。Detemple，J.（2005）。美式衍生品：估值与计算，查普曼与霍尔出版社。Fleming，W.和Soner，S.（1993年）。受控马尔可夫过程和粘度解，Springer。弗里德曼，A.（1982）。《变分原理与自由边界元问题》，约翰·威利和儿子出版社，纽约。弗里德曼，A.（1975）。一维抛物变分不等式与自由边界的光滑性，泛函分析杂志，18151–176。Guan，C.H.、Li，X.、Xu，Z.Q.和Yi，F.H.（2017）。《金融、数学控制及相关领域中的随机控制问题和相关fr EEBoundary》，7（4），563–584。Henderson，V.和Hobson，D.（2008年）。

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