我们首先假设V∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）。为了简化问题，让我们引入以下线性二阶算子或Lη，其中η∈ Rd，（2.10）Lηv（T，X，R）：=十、∑Xvrr+b·Xvr-ηxv+f(-η） 虚拟现实（T，X，R）。注意，由于f.经典启发式推导和命题2的连续性，该算子在η中是连续的。2.建议V应满足-Vt+supξ∈RdLξV=0，（2.11）V（0，X，R）=limT↓0V（T，X，R）=（u（R），如果X=0-∞, 否则（2.12）初始条件下奇点背后的直觉是，在给定时间段内不会导致投资组合完全清算的策略将受到严重惩罚。备注2.7。（i） Si nce f为正，lim | x|→∞f（x）=∞, 等式（2.11）使得每（t，x，r）的Vr（t，x，r）>0是合理的∈ ]0，T]×Rd×R。然而，这与T heorem2一致。4，这意味着值函数在其第三个参数中具有严格的正部分导数。（ii）让我们表示byf*（z） ：=supx（x·z）- f（x））f的芬切尔-勒让德变换，这是一个有限凸函数，由于f的假设（见洛克费拉（1997）中的定理12.2）。有了这个，等式（2.11）可以等价地写成（2.13）- Vt+b·XtVr+X∑XVrr+Vrf*xVVr= 0我们现在假设V∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）。下一个定理表明它是（2.11）的一个经典解。定理2.8。让V∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）是最大化问题（2.1）的值函数。nv是f（2.11）的经典解，初始条件为（2.12）。验证定理。在下一步中，我们给出了满足（2.11）初始条件（2.12）的齿函数w与我们的值函数V重合的充分条件。这种所谓的验证论证基本上依赖于它的引理（更多细节见Touzi（2013）或Pham（2009）。

由于值函数V的最优控制的存在性和唯一性，我们只需要相关SD E的强解的存在性，以确保w=V。作为合适的生长条件，我们将一如既往地假设w位于两个CARA值函数之间。定理2.9。设T>0和w∈ C1,1,2（]0，T[×Rd×R）∩ C（]0，T]×Rd×R）是这样的，使得下面的不等式hold（2.14）V（T，x，R）≤ w（t，x，r）≤ V（t，x，r），其中Vi，i=1，2，如（2.5）所示。根据我们需要的其他假设，我们有以下两种说法。（i） 假设（2.15）为0≥ -wt（T）- t、 x，r）+supξ∈RdLξw（T）- t、 x，r）表示所有（t，x，r）∈ [0，T[×Rd×R和（2.16）limt↓0w（t，x，r）=（w（0，0，r）≥ u（r），如果X=0-∞, 否则[0，T]×Rd×R.西北≥ 假设（2.17）0=-wt（T）- t、 x，r）+supξ∈rdt（ξ）- t、 x，r）表示所有（t，x，r）∈ [0，T[×Rd×R和（2.18）limT↓0w（t，x，r）=（u（r），如果x=0-∞, 否则此外，ass ume（2.19）wr（T- t、 对于[0，t[×Rd×r.（a）上的所有t，x，r）>0，则连续函数bξ：]0，t]×Rd×r7-→ 定义为（2.20）bξ（t，x，r）：=F*xw（t，x，r）wr（t，x，r）满足感-wt（T）- t、 x，r）+supξ∈RdLξw（T）- t、 x，r）=-wt（T）- t、 x，r）+Lbξ（t-t、 x，r）w（t）- t、 如果我们进一步假设SDE（2.22）存在一个强解（bX，bR），那么对于[0，t]×Rd×r.（b）上的每一个（t，x，r），x（2.21）=0dRt=（Xt）σdBt+b·Xtdt- f(-bξ（t，Xt，Rt））dt，dXt=-bξ（t，Xt，Rt）dt，R | t=0=Rand X | t=0=X，这样bξ（·，bX，bR）∈˙X2A（T，X），那么我们在[0，T]×Rd×R上有w=V。前面的SDE的解是唯一的，并且给定by（Xξ）*t、 Rξ*t） ，其中ξ*表示价值函数V（T，X，R）的最优清算策略f。此外，最优控制由ξ以反馈形式给出*t=bξ（t- t、 快速公交 λ） a.s.备注2.10。

（i） 在效用函数u是指数效用函数的凸组合的特殊情况下，即u（x）=λu（x）+（1- λ） 带λ的u（x）∈ ]0，1[andui，i=1，2，指数效用函数，可以很容易地证明（使用引理3.2）存在满足（2.15）的w以及边界条件Limt↓0w（t，x，r）=（w（0，0，r）=λu（r）+（1- λ） u（r），如果X=0-∞, 另外，关于[0，T]×Rd×R。然而，引理3中的第一个不等式。2在一般情况下是严格的，在l类中也是严格的。（ii）证明（2.22）强解的有效性（和唯一性）可能非常具有挑战性，因为F*xw（t，x，r）wr（t，x，r）最多应该是连续的，不满足任何全局Lipschitz连续性，因为商项和F*可以是超线性的。（iii）通过公式（2.20），我们有一个数值计算op tim a l清算策略的方法。然而，这需要首先计算值函数的梯度，这通常不是一项容易的任务。此外，如上所述，SDE中的系数不满足任何（全局）Lipschitz条件，因此（据我们所知）没有已知的转换方法可用于求解SDE（2.22）。2.4. HJB方程的粘度解。到目前为止，我们已经在最大化问题（2.1）和HJB方程（2.11）的经典解之间建立了联系。不幸的是，只有当函数V的值足够平滑时，这种方法才有效，然而，即使在确定性的情况下，也可能无法满足这一点（参见Yong and Zho u（1999），第4章，示例2.3）。为了克服这个困难，我们将在下面使用粘度溶液的概念。由于我们的值函数是连续的，我们将把我们的框架限制为连续粘性解。

请注意，可以找到一个更一般的定义（在有界函数类中），例如拐点和Soner（2006）。然而，有了这个定义，强有力的比较原则将意味着tV再次是连续的。2.4.1. 该值函数是HJB方程的相对余弦解。让我们从介绍粘度溶液的抽象定义开始（参见Touzi（2013）或Fleming and Soner（2006））。考虑一个非线性二阶退化偏微分方程（2.23）F（T- t、 x，r，v（t）- t、 x，r），vt（t，x，r），xv（t，x，r），vr（t，x，r），vrr（t，x，r））=0，其中F是[0，t]×Rd×r×r×r×r×r×r的连续函数，取inR值，固定t>0和（t，x，r）∈ ]0，T]×Rd×R。我们必须对F施加如下的交叉抽运。假设2.11（椭圆度）。适用于所有（t、x、r、q、p、s、m）∈ ]0，T]×Rd×R×R×R×Rd×Rand a，b∈ R、 我们假设（2.24）F（T）- t、 x，r，q，p，s，m，a）≤ F（T）- t、 x，r，q，p，s，m，b）如果a≥ b、 定义2.12。设v:]0，T]×Rd×R-→ R是一个连续函数。（1） 我们说t hat v是（2.23）的粘度亚溶液，如果对于每一个φ∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）和very（T*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R，当v-在（T）处达到局部最大值-T*, 十、*, R*) ∈]0，T]×Rd×R，我们有（2.25）F（，v，νT，xа，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) ≤ 0.（2）我们说v是（2.23）的粘度超解，如果对于每一个φ∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）和每隔（T*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R，当v- 在（T）处达到局部最小值-T*, 十、*, R*) ∈ ]0，T]×Rd×R，我们有（2.26）F（，v，νT，xа，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) ≥ 0.（3）如果v是粘性下解和上解，我们说v是方程（2.23）的粘性解。备注2.13。

值得注意的是，如果最大值（或最小值）（T- T*, 十、*, R*) 是全球性的和/或严格的（有关更多详细信息，请参见Barles（20 1 3））。此外，我们可以假设世界劳工组织。g、 那v（T- T*, 十、*, R*) = ~n（T）- T*, 十、*, R*), 因为我们可以使用定义为ψ（T）的函数ψ-t、 x，r）：=~n（t-t、 x，r）+v（t-T*, 十、*, R*)-~n（T）- T*, 十、*, R*). 函数φ称为v的测试函数。以下结果证明了这一概念的引入。定理2.14。va l ue函数V是初始条件（2.12）下Hamilton-Jaco-bi-Bellman方程（2.11）的粘度解。2.4.2。比较p-ri-nciples和唯一性结果。为了证明（2.11）在初始条件（2.12）下的唯一粘度解是（2.11），可以方便地在（2.11）中加载一个线性项。我们首先从定义转换方程（2.27）的经典解开始- Vt+βV+supξ∈RdLξV（T）- t、 x，r）=0，其中β<0和（t- t、 x，r）∈ ]0，T]×Rd×R定义2.15。A函数U（分别为V）∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）称为（2.27）的下解（分别，上解），如果U（分别，V）完全满足以下不等式：≤- Ut+βU+supξ∈RdLξU（T）- t、 x，r）分别。，0≥- Vt+βV+supξ∈RdLξV（T）- t、 x，r）适用于所有人（t、x、r）∈ [0，T[×Rd×R.下一个引理表明，我们可以考虑这种有用形式的HJB方程的w.l.o.g.引理2.16.假设U（resp.，V）∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）是（2.11）的下解（分别为上解）。然后，U（T）- t、 x，r）：=exp（β（t）- t） ）U（t- t、 x，r）（分别为V（t）-t、 x，r）：=exp（β（t）- t） V（t）- t、 x，r）是（2.27）的底土解（分别是上解）。证据通过简单的计算。备注2.17。

在经典的情况下，常见的论点，包括惩罚超级解，然后朝着相反的方向努力（例如，参见Pham（2009）f或多项式的情况），似乎不起作用。如果我们同意前面提到的工作的想法，我们将寻找一个函数，使得f或每个ε>0，U次解和v超解应保持（2.28）lim | x |，r|→∞sup[0，T[（U- Vε）（T）- t、 x，r）≤ 0表示所有ε>0，其中Vε=ε+V是上解。然而，（Vε）rhas必须严格为正，才能使Vε成为一个上解，这似乎很难（甚至不可能）在（2.28）i估计时获得（还记得施加在U和V上的增长条件以及初始条件中的奇点）。2.4.3. 粘度溶液的强比较。由于我们的值函数是连续的，我们可以将关联比较原则限制为连续函数（即，我们这里不讨论下半连续函数或上半连续函数的定义）。注意，无界粘度溶液有几个比较原则；例如，Koike和Ley（2011）的非线性退化抛物方程的比较原理。然而，由于inKoike和Ley（2011）的第（13）、（14）和（15）条要求在我们的案例中未得到满足，因此该方法不能在这里应用。为了在我们的框架中证明强比较原理，我们首先需要在主题和超级喷射的帮助下引入粘度溶液的等效定义（例如，参见Pham（2009））。定义2.18。设U是[0，T]×Rd×R上的连续函数。

U在点（t）处的第二阶超喷射*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R是集合J2，+U（T- T*, 十、*, R*) 元素的数量（\'q，\'p，\'s，\'m）∈ R×Rd×R×R满足u（T- t、 x，r）≤ U（T）- T*, 十、*, R*) + \'q（t- T*) + p·（x）- 十、*) + \'s（r- R*)+\'m（r）- R*)+ o（| t）- T*| + |十、- 十、*| + |R- R*|). （2.29）类似地，我们可以定义连续函数V的二阶主语，定义在[0，T]×Rd×R，在点（T）处*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R:这是一组元素（\'q，\'p，\'s，\'m）∈R×Rd×R×R满足v（T- t、 x，r）≥ V（T）- T*, 十、*, R*) + \'q（t- T*) + p·（x）- 十、*) + \'s（r- R*)+\'m（r）- R*)+ o（| t）- T*| + |十、- 十、*| + |R- R*|). （2.30）我们用J2表示该集合，-V（T）- T*, 十、*, R*).备注2.19。让我们*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R]是（V）的局部极小值- ν）（T）- t、 x，r），其中∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）。然后，给出了φyieldsV（T）的二阶泰勒展开式- t、 x，r）≥ V（T）- T*, 十、*, R*) - ~n（T）- T*, 十、*, R*) + ~n（T）- t、 x，r）=V（t- T*, 十、*, R*) - νt（t）- T*, 十、*, R*)（t）- T*) + x k（T）- T*, 十、*, R*)（十）- 十、*)+νr（T）- T*, 十、*, R*)（r）- R*) +νrr（T）- T*, 十、*, R*)（r）- R*)+o（| t）- T*| + |十、- 十、*| + |R- R*|), （2.31）这意味着（2.32）(-~nt，xаx，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) ∈ J2，-V（T）- T*, 十、*, R*).同样，对于U，我们考虑（t*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R是（U）的局部最大化R-ν）（T）-t、 x，r）。然后，U（T）- t、 x，r）≤ U（T）- T*, 十、*, R*) + ~n（T）- t、 x，r）- ~n（T）- T*, 十、*, R*)= U（T）- T*, 十、*, R*) - νt（t）- T*, 十、*, R*)（t）- T*) + x^1（T- T*, 十、*, R*)（十）- 十、*)+νr（T）- T*, 十、*, R*)（r）- R*) +νrr（T）- T*, 十、*, R*)（r）- R*)+o（| t）- T*| + |十、- 十、*| + |R- R*|), （2.33）暗示（2.34）(-~nt，xаx，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) ∈ J2，+U（T）- T*, 十、*, R*).实际上，逆属性也成立：对于任意（q，p，s，m）∈ J2，+U（T）- T*, 十、*, R*), 存在∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）使得(-~nt，xаx，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) = （q，p，s，m）。参见引理4.1 Incoming和Soner（2006），了解这样一个φ的构造。

下一个引理提供了方程（2.27）粘度解的另一个特征。引理2.20。设v是[0，T]×Rd×R上的一个连续函数。（i）那么，v是[0，T]×Rd×R上（2.27）的粘性子解，当且仅当所有（T，x，R）∈ [0，T[×Rd×R和all（q，p，s，m）∈ J2，+v（T）- t、 我们有（2.35）0≤ q+βv（T- t、 x，r）+x∑xm+b·xs+supξ∈研发部ξP- sf（ξ）.（ii）v分别是[0，T]×Rd×R上的（2.27）粘性上解，当a且仅当forall（T，x，R）∈ [0，T[×Rd×R和dall（q，p，s，m）∈ J2，-v（T）- t、 我们有（2.36）0≥ q+βv（T- t、 x，r）+x∑xm+b·xs+supξ∈研发部ξP- sf（ξ）.有了这一点，就可以建立以下强比较原则。下一节给出的第一部分证明将类似于inPham（2009）中的证明，由于增长和边界条件，需要进行一些修改。此外，由于我们使用粘性解的局部定义，并且考虑的函数是经济连续的，所以我们不需要惩罚上解。特别是，我们不需要在证明的最后一部分使用Crandall-Ishii引理：事实上，在我们的HJB方程中，二阶导数项只是一维的，因此我们只需要应用泰勒公式，分别找到U和V的子和超喷射的足够元素，以实现一个相互作用。定理2.21。假设U（分别，V）是（2.27）的连续粘度亚溶液（分别，连续粘度上溶液），定义为[0，T]×Rd×R，满足生长条件（2.37）V（T，x，R）≤ v（t，x，r）≤ V（t，x，r）代表所有（t，x，r）∈ ]0，T]×Rd×R（其中v可以选择为U或v）。

此外，假设U和V满足边界条件lim supt→0U（t，x，r）- V（t，x，r）≤ 0表示固定的x，r∈ Rd×R.（2.38）然后U≤ V在[0，T]×Rd×R上。下面的唯一性结果直接来自上述定理。推论2.22。（2.1）中定义的价值函数是（2.11）在初始条件（2.12）下的唯一vis Costity解。备注2.23。在一维框架中，添加ε>0的εVxxin方程（2.27）形式的项，不会改变前面定理的结论：事实上，我们可以一步一步地应用与定理2证明中相同的参数。21.获得强对比结果的类似结论。这使我们能够通过非简并抛物线方程来近似我们的简并抛物线方程，这将产生一个强大的比较结果。在我们的最优控制问题中，相应的设置是通过设置：dXt=-ξt+εdWt，其中（Wt）是与（Bt）无关的布朗运动。有了这个，我们可以导出相应的非退化HJB方程-Vt+XσVrr+εVxx+b·X Vr+supξ∈Rd（ξ·十五- f（ξ）Vr）。在d维框架中，情况可能会变得更加复杂，我们必须使用Crandall Ishii引理等来找到与s二阶项相关的相应子和超射流，以证明非退化抛物方程的比较结果。3.证明。1.理论证明2。8.我们把证据分成两个命题。提议3.1。让V∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）是最大化问题（2.1）的v值函数。

nv是（2.11）的上解，即V完全满足不等式（3.1）- Vt+supξ∈RdLξV（t，x，r）≤ 0代表所有（t、x、r）∈ ]0，T]×Rd×R。在证明上述命题之前，我们将简要描述（2.11）的一个易于构造的超解。引理3.2。设V，eV是（2.11）和dε的两个上解≥ 那么V+εeV又是（2.11）的一个解。证据我们写作-（V+εeV）t+X∑X（V+εeV）rr+b·X（V+εeV）r+supξ∈研发部ξ · x（V+εeV）- f（ξ）（Vt+εeV）r≤ -Vt+X∑XVrr+b·xvr+supξ∈Rd（ξ·十五- f（ξ）Vr）+εeVt+X∑XeVrr+b·XeVr+supξ∈研发部ξ · xeV- f（ξ）eVr≤ 0，其中第一个不等式之后是求和的上确界。提案证明3.1。在下面的证明中，我们使用了经典论证（例如，见Crandall等人（1992））。然而，由于stra t egiesξ的燃料约束条件以及V的爆破初始条件，需要进行一些调整。为此，让（t，x，r）∈ [0，T[×Rd×Rd，η]∈ 和ε>0，使得t+ε<t。我们定义ξ∈˙XA（[t，t]，x）作为ξs:=（η，如果s∈ [t，t+ε[,，-十、-εηT-（t+ε），如果s∈ [t+ε，t]，并考虑相应的过程（Xξs，Rξs）来验证Xξt=X，Rξt=R∈ n足够大，我们引入了停止时间τk:=infs>t|（s）- t、 Xξs- x、 Rξs- r）/∈ [0，1/k[×B（0，α）×]- α; α[,其中B（0，α）表示半径α>0且以原点为中心的球。应用定理2。6产量0≥ EV（T）- τk，Xξτk，Rξτk）- V（T）- t、 x，r）= E-ZτktVt（T- s、 Xξs，Rξs）ds+ZτktVr（T- s、 Xξs，Rξs）dRξs+ZτktxV（T）- s、 Xξs，Rξs）dXξs+ZτktVrr（T- s、 Xξs，Rξs）dhRξ是= EZτkt- Vt（T- s、 Xξs，Rξs）+LξV（T）- s、 Xξs，Rξs）ds+EZτkt（Xξs）σVr（T）- s、 Xξs，Rξs）dBs,再加上它^o代表穆拉。

由于τk的定义，最后的期望值消失（Doob的可选抽样定理），由此我们推断（3.2）EZτkt- Vt（T- s、 Xξs，Rξs）+LξV（T）- s、 Xξs，Rξs）ds≤ 0.由于被积函数s的a.s.连续性，对于足够大的k，我们有τk=t+1/k。因此，利用中值定理，我们得到（3.3）kZτkt- Vt（T- s、 Xξs，Rξs）+LξV（T）- s、 Xξs，Rξs）DSA.s.收敛到（3.4）- Vt（T- t、 x，r）+LηV（t- t、 x，r），当k到单位时。此外，（3.3）在k中是一致有界的。事实上，由于τk的定义，过程Xξ和Rξ是有界的，相关积分中的Vt、vr和LξV也是有界的，因为它们在前面的两个量中都是连续的（并且因为我们可以找到δ>0，因此对于足够小的k，我们有τk<T）-δ) . 因此，我们可以使用最小收敛定理来获得kZτkt- Vt（T- s、 Xξs，Rξs）+LξV（T）- s、 Xξs，Rξs）ds-→K→∞-Vt（T- t、 x，r）+LηV（t- t、 x，r）。再加上不平等（3.2），我们最终得到（3.5）- Vt（T- t、 x，r）+LηV（t- t、 x，r）≤ 0.由于我们任意选择η，由于η的连续性，我们现在可以取最后一个不等式左侧的上确界-→ LηV，这是证明的结论。提议3.3。让V∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）是最大化问题（2.1）的v值函数。nV是（2.11）的一个子解，也就是说，V完全是不等式（3.6）- Vt+supξ∈RdLξV（t，x，r）≥ 0代表所有（t、x、r）∈ ]0，T]×Rd×R.证明。我们遵循图兹（20-13）的观点，主张3.5。我们假设存在（t，x，r），这样-Vt（T- t、 x，r）+supη∈RdLηV（T）- t、 x，r）<0，并使用ε-最大化子扭转矛盾。

我们定义了~n（T- t、 x，r）=V（t- t、 x，r）+δ|（x，r）- （x，r）|。因为我们有- ν）（T）- t、 x，r=0，x（V）- ν）（T）- t、 x，r=0，（V）- ν）r（T）- t、 x，r=0，（V）- ν）t（t）- t、 x，r=0，（V）- ν）rr（T）- t、 x，r）=-δ、 自从地图（x，r）-→ - infξ∈Rd（x·ξ）- f(-ξ） r）=rf*xr在Rd×]0上是连续的，∞[，它跟在H（t，x，r）后面：=-νt（t）- t、 x，r）+supξ∈RdLξ（T）- t、 对于足够小的δ，x，r）<0。对于η>0的小区，我们定义了以下社区η=（t，x，r）|（t- t、 x- x、 r- r）∈ ] - η、 η[×B（0，η）×]- η、 η[和h（t，x，r）<0of（T）- t、 x，r）。此外，我们设定（3.7）ε=min（T-t、 x，r）∈Nη（η）- V）=δminNη|（T）- t、 x，r）- （T）- t、 引入以下停止时间τ：=inf{s>t|（s，xξs，rξs）/∈ Nη}，带ξ∈X2A（[t，t]，X）。由于相应状态过程的路径连续性，我们有（T- τ、 Xξτ，Rξτ）∈ Nη，所以- V）（T）- τ、 Xξτ，Rξτ）≥ ε、 P-a.s.，使用（3.7）。因此，应用It^o公式，我们得到了EHVT- τ、 Xξτ，Rξτ- V（T）- t、 x，r）i=EhVT- τ、 Xξτ，Rξτ- φT- τ、 Xξτ，Rξτ+ φT- τ、 Xξτ，Rξτ- ~n（T）- t、 x，r）i≤ -ε+Eh~nT- τ、 Xξτ，Rξτ- ~n（T）- t、 x，r）i=-ε+EZτt- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds+ EZτt（Xξs）σаr（T）- s、 Xξs，Rξs）dBs.由于被积函数在随机区间[t，τ]上的有界性，最后的期望值消失。而且- ηt+Lξ（s，Xξs，Rξs）≤ 在[t，τ]上，我们使用了上述不等式：V（t- t、 x，r）≥ ε+E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ-Zτt- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+LξνT- s、 Xξs，Rξsds≥ ε+E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ.现在取右边ξ的上确界，并使用定理2。6，我们推断（因为ε不依赖于nξ）V（t- t、 x，r）≥ ε+supξ∈X2A（[t，t]，X）E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ= ε+V（T）- t、 x，r），这与ε>0是矛盾的。因此，断言如下。3.2. 理论证明2。9.证据。

为了证明（i），让ξ∈X2A（T，X），T∈ ]0，T[，和τkbe定义如下：τk:=infs>0，| wrT- s、 Xξs，Rξs| > K∧ t、 注意τk-→ t、 a.s.，当k-→ ∞. 这是o的公式，然后yieldsw（T- τk，Xξτk，Rξτk）- w（T，X，R）=Zτk- wt（T）- s、 Xξs，Rξs）+Lξw（T- s、 Xξs，Rξs）ds+Zτk（Xξs）σwr（T）- s、 Xξs，Rξs）dBs，其中最后一项是真鞅（由于Xξ的τ和可积性的定义）。因此，通过对双方的期望，我们可以实现w（T）- τk，Xξτk，Rξτk）- w（T，X，R）=EZτk- wt（T）- s、 Xξs，Rξs）+Lξw（T- s、 Xξs，Rξs）ds.方程（2.15）则意味着（3.8）Ehw（T- τk，Xξτk，Rξτk）i≤ w（T，X，R）。为了将k发送到左侧的完整性，我们需要建立序列（w（t））的一致可积性- τk，Xξτk，Rξτk）。由于w是从上方有界的，因此有必要证明序列（w）的有界性-（T）- L中的τk，Xξτk，Rξτk(Ohm, F、 P）。为此，我们写W-（T）- τk，Xξτk，Rξτk）≤V（T）- τk，Xξτk，Rξτk）≤ E经验(-ARξT）|Fτk≤ E经验(-2ARξT）| Fτk,其中，第一个不等式跟在（2.14）后面，第二个不等式跟在引理2.1后面，最后一个不等式跟在詹森不等式后面。自∈˙X2A（T，X），因此E经验(-2ARξT）| Fτk= E经验(-2ARξT）]≤ ξ先生*T（2A2）+1，因此（（w-（T）-τk，Xξτk，Rξτk）在L中有界(Ohm, F、 P）。序列（w（T-因此，τk，Xξτk，Rξτk）是一致可积的，利用Vitali的收敛定理，我们得到了（3.9）limk→∞Ew（T）- τk，Xξτk，Rξτk）= Ew（T）- t、 Xξt，Rξt）≤ w（T，X，R）。现在我们不能把t从下面送到t。为此，我们考虑以下的稳定时间序列σk:=infnt≥ 0（T）- t） fXξtT- T≥ 击倒取胜∧ T.注意σk-→ T、 a.s.，当k进入实体时。我们想展示（3.10）Ew（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}-→K→∞0.从（2.14）我们得到了Ew（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}在E和E之间V（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}还有EV（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}.

因此，有必要证明（3.11）EVi（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}-→ 0.现在引理2.1意味着Vi（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}≤ E[E]经验(-空气ξT）| Fσk{σk<T}= E经验(-空气ξT）{σk<T}.利用勒贝格控制的收敛定理，我们得到经验(-空气ξT）{σk<T}-→ 0k→∞,这证明了（3.11）。另一方面，我们有w（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk=T}= Ew（0，0，Rξσk）{σk=T}≥ Eu（Rξσk）{σk=T}= EURξT,我们在不等式中使用（2.16）。因此，（3.9）意味着（RξT）{σk=T}i+Ew（T）- σk，Xξσk，Rξσk）{σk<T}≤ w（T，X，R），并将k发送到工厂u（RξT）≤ w（T，X，R）。在最后一步中，取ξ的上确界∈X2A（T，X）我们推断（T，X，R）≤ w（T，X，R），这证明了（i）。现在我们来证明（ii）。多亏了Remark2。7，结合假设（2.19），我们可以重写（2.17）如下=- wt+x∑xwrr+b·x wr+wrf*xwwr（T）- t、 x，r）。然后，Rockafellar（1997）中的定理26.5（注意TF具有超线性增长，严格凸，并且在Rd上连续可差）暗示(f）-1= F*被定义为一个完整的概念。因此，设置bξ（t，x，r）：=F*xw（t，x，r）wr（t，x，r）我们得到t hatbξ在t、x、r和ful fill（2.21）中也是连续的，这证明了（ii）中的（a）部分。为了证明（b）部分，假设SDE（3.12）存在一个强解（X，R）dRt=（Xt）σdBt+b·Xtdt- f(-bξ（t，Xt，Rt））dt，dXt=-bξ（t，Xt，Rt）dt，R | t=0=Rand X | t=0=X。设置τkas之前，我们用它推断出^o的公式（t- τk，Xτk，Rτk）- w（T，X，R）=Zτk- wt（T）- s、 Xs，Rs）+Lbξw（T- s、 Xs，Rs）ds+Zτk（Xs）σwr（T）- s、 Xs，Rs）dBs，其中最后一项是真鞅（见上述论证）。

因此，接受期望会降低w（T）- τk，Xτk，Rτk）- w（T，X，R）=EZτk- wt（T）- s、 Xs，Rs）+Lbξw（T- s、 Xs，Rs）ds,通过使用（2.21），我们可以得到（3.13）Ew（T）- τk，Xτk，Rτk）= w（T，X，R）。上述相同的ar公式允许我们将k发送到实体，从中我们获得（3.14）Ew（T）- t、 Xt，Rt）= w（T，X，R）。类似地，上面相同的参数也允许我们设置t=t。等式（2.18）意味着我们必须有XT=0才能建立v（T，X，R）≥ EURT= Ew（0，0，RT）= w（T，X，R），其中第一个等式来自（2.18）。因此，我们证明了w≤ 五、利用（i）中建立的反向不等式，我们最终得到w=V。因此得出（X，R）=（Xξ*, Rξ*), 由于最优策略的唯一性（定理2.3）。此外，ξ*t=bξ（t- t、 Xξ*t、 Rξ*t） ，（P λ） -a.s.，这是证据的结论。3.3. 这是托雷的证明。14.至于经典案例，证明将分为两个命题。提议3.4。值函数V是初始条件为（2.12）的Hami l ton-Ja-cobiBellman方程（2.11）的粘性s upe rs解。证据我们必须为每个人展示这一点∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）和每隔（T*, 十、*, R*) ∈[0，T[×Rd×R，当V- 在（T）处达到局部最小值- T*, 十、*, R*) ∈ ]0，T]×Rd×R，wehave0≥ -νt（t）- T*, 十、*, R*) +十、*∑x*νrr（T）- T*, 十、*, R*) + b·x*νr（T）- T*, 十、*, R*)+ supξ∈研发部ξx k（T）- T*, 十、*, R*) - νr（T）- T*, 十、*, R*)f（ξ）=- νt+supξ∈RdLξ（T）- T*, 十、*, R*). （3.15）证明的思想与命题3几乎相同。1，但由于V不是必需的，我们现在不能应用它的^o公式。然而，我们可以使用一个测试函数φ代替，并按如下步骤进行：let（t*, 十、*, R*) ∈ ]0，T]×Rd×R等于V- 在（T- T*, 十、*, R*).

此外，让η∈ Rd和ε>0使得t*+ ε<T，定义ξ∈˙XA（[t*, T]，x）作为ξs:=（η，如果s∈ [t]*, T*+ ε[,-十、-εηT-（t）*+ε） ，如果∈ [t]*+ ε、 [T]。我们考虑满足Xξt的相应过程（Xξs，Rξs）*= 十、*, Rξt*= R*, 并选择α>0，使最小值在区域[T]上是全局的- T*- α、 T- T*+ α] ×B（x）*, α） ×[r]*- α、 r*+ α]. 此外，我们还引入了以下停止时间序列τk:=infs>t*（s）- T*, Xξs，Rξs）/∈ [0，k[×B（x*, α） ×[r]*- α、 r*+ α].理论2。6意味着对于足够大的k，0≥ E[V（T）- τk，Xξτk，Rξτk）- V（T）- T*, 十、*, R*)]≥ E[~n（T）- τk，Xξτk，Rξτk）- ~n（T）- T*, 十、*, R*)]= EZτkt*- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds+ EZτkt*（Xξs）σаr（T）- s、 Xξs，Rξs）dBs,结合它的^o引理，在第二个不等式中，我们使用了V的最小性质- 在（T）处- T*, 十、*, R*). 由于τ和f的定义，即期望中的项是真鞅，因此最后一个表达式消失了。因此，（3.16）EZτkt*- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds≤ 此外，由于被积函数的a.s.连续性（在s中），对于k largeenough，我们有τk=t+1/k，因此我们可以使用与命题3相同的参数s。1到getEkZτkt*- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds-→K→∞-νt（t）- T*, 十、*, R*) + Lηη（T）- T*, 十、*, R*).结合（3.16）我们推断（3.17）- νt（t）- T*, x、 r）+Lη~n（T）- T*, 十、*, R*) ≤ 0.由于我们任意选择η，现在可以取η的上确界∈ Rd，由于η的连续性-→ Lη~n，它产生断言。提案3.5。值函数V是具有初始条件（2.12）的Hamilton-Ja-cobiBellman方程（2.11）的粘性底土。证据

我们必须为每个人展示这一点∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）和每隔（T*, 十、*, R*) ∈[0，T[×Rd×R，当V- 在（T）处的局部最大值- T*, 十、*, R*) ∈ ]0，T]×Rd×R，wehave0≤ -νt（t）- T*, 十、*, R*) +十、*∑x*νrr（T）- T*, 十、*, R*) + b·x*νr（T）- T*, 十、*, R*)+ supξ∈研发部ξx k（T）- T*, 十、*, R*) - νr（T）- T*, 十、*, R*)f（ξ）=- νt+supξ∈RdLξ（T）- T*, 十、*, R*). （3.18）与前面的命题一样，目前的证明与经典类似命题（命题3.3）的证明走的路线相同，但将其^o公式应用于t est函数^。让我们∈ C1,2,2（]0，T]×Rd×R）和（T）- T*, 十、*, R*) 使（3.19）V（T- T*, 十、*, R*) - ~n（T）- T*, 十、*, R*) < V（T）- t、 x，r）- ~n（T）- t、 x，r），代表（t）- t、 x，r）在（t）附近- T*, 十、*, R*), 通过与（3.18）相矛盾的方式假设（t，x，r）：=- νt+supξ∈RdLξ（T）- T*, 十、*, R*) < 0.进一步假设（3.19）的左边等于零，而不失一般性，如Remark2所述。13.回忆一下社区η=（t，x，r）|（t- T*, 十、- 十、*, R- R*) ∈ ] - η、 η[×B（0，η）×]- η、 η[和h（t，x，r）<0of（T）- T*, 十、*, R*) 来自命题3。3，第二组（3.20）2ε=最大值Nη（V）- 我们注意到ε>0，因为（3.19）。因为V的连续性- 以及v（T- T*, 十、*, R*) - ~n（T）- T*, 十、*, R*) = 0，必须存在（T- t、 x，r）∈ Nη这样的t（η）- V）（T）- t、 x，r）≤ -ε.现在，我们取ξ∈˙X2A（[t，t]，X）并引入停止时间τ：=inf{s>t|（s，Xξεs，Rξs）/∈ Nη}。由于状态过程的连续性，我们有（T- τ、 Xξτ，Rξτ）∈ Nη，这意味着（V- ν）（T）- τ、 Xξτ，Rξτ）≤ 2ε，由于（3.20）。

因此，利用它的^o引理，我们得到了超高压T- τ、 Xξτ，Rξτ我- V（T）- t、 x，r）≤ 2ε+EhаT- τ、 Xξτ，Rξτ- ~n（T）- t、 x，r）i- ε≤ ε+EZτt- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds+EZτt（Xξs）σаr（T）- s、 Xξs，Rξs）dBs,其中，最后一项消失，因为整数和在随机区间[t，τ]上有界。而且,- ηt+Lξ（s，Xξs，Rξs）≤ 0在[t，τ]上，我们有v（t- t、 x，r）≥ -ε+E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ-Zτt- νt（t）- s、 Xξs，Rξs）+Lξφ（T）- s、 Xξs，Rξs）ds≥ -ε+E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ.通过取ξ的上确界，我们结合定理2推断。6（因为ε不依赖于ξ）：V（T- t、 x，r）≥ -ε+supξ∈X2A（T，X）E五、T- τ、 Xξτ，Rξτ= -ε+V（T）- t、 x，r），这与ε>0相矛盾。证据到此结束。3.4. 定理2.21的证明。Lemm a2的证明。20.我们只证明（我）。假设v full fill fill of the不等式（2.35）f或all（t，x，r）∈ [0，T[×Rd×R和all（q，p，s，m）∈ J2，+v（T）-t、 x，r）。拿∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）并考虑（T*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R]使得（V- ν）（T）- t、 x，r）的局部最大值为（t*, 十、*, R*). 由于注释2.1.9中的（2.31），完整的填充物（2.25），这意味着v是粘度子溶液。假设v是一个粘性子解，且let（q，p，s，m）∈ J2，+v（T）- T*, 十、*, R*). 如备注2所述。19.上文中，存在∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）使得(-~nt，xаx，аr，аrr）（T- T*, 十、*, R*) = （q，p，s，m）。通过使用（2.30）和（2.31），我们得到（T- T*, 十、*, R*) 是v的局部最大化子- φ. 因此，全填充（2.25），这证明了（q、p、s、m）全填充（2.35）。理论证明2。21.假设（2.38）为真，并通过存在（t）的矛盾来支持*, 十、*, R*) ∈ [0，T[×Rd×R]使得（U- V）（T）- T*, 十、*, R*) > 0

自从你- 在[0，T]×Rd×R上连续，我们可以假设w.l.o.g是U的上确界- 紧子集上的V附加在（T）上- T*, 十、*, R*), i、 e.，（3.21）`m=supK[0，T[×Rd×R（U- V）（T）- t、 x，r）=（U- V）（T）- T*, 十、*, R*) > 0，其中K为紧凑型，内部非空。在下文中，我们将使用Kruˇzkov（1970）首次开发的变量加倍技术。对于任何ε>0，考虑函数Φε（t，t′，x，x′，r，r′）：=U（t，x，r）- V（t′，x′，r′）- νε（t，t′，x，x′，r，r′，（3.22）νε（t，t′，x，x′，r′）：=ε|T- t′|+|x- x′|+|r- r′|.（3.23）设[0，η]×B（0，r）×r*- α、 r*+ α]  K是（t）的紧凑邻域*, 十、*, R*), 式中0<η<T，0<α<r*, r>0。连续函数Φε在紧邻域[0，η]×B（0，r）×r上达到其最大值*- α、 r*+ α] ，用mε表示，在某些（T- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）。我们将证明（3.24）mεn→ \'m和（T）- tεn，t- t′εn，xεn，x′εn，rεn，r′εn）→ 0，对于具有εn的序列（εn）→ 0.首先，注意\'m=Φε（T- T*, T- T*, 十、*, 十、*, R*, R*)= （U）- V）（T）- T*, 十、*, R*) - ε（T）- T*, T- T*, 十、*, 十、*, R*, R*)≤ U（T）- tε，xε，rε）- V（T）- t′ε，x′ε，r′ε）- ε（T）- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）（3.25）=mε≤ U（T）- tε，xε，rε）- V（T）- t′ε，x′ε，r′ε）。（3.26）自- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）ε>0属于紧集[0，η]×B（0，r）×r*-α、 r*+ α] ，我们可以找到一个序列（T- tεn，t- t′εn，xεn，x′εn，rεn，r′εn），其中εn↓ 0，收敛到某个（T-~t，t-~t′，~x，~x′，~r，~r′），a s n→ ∞. 序列（U（T）的有界性-tεn，xεn，rεn）-V（T）-t′εn，x′εn，r′εnεn（T）-tεn，t-t′εn，xεn，x′εn，rεn，r′εn）由于不平等（3.25），nis也有界（从上方）。因此，通过使用（3.23），我们必须-~t=t-~t′，~x=~x′，~r=~r′，以及`m=U（t-~t，~x，~r）- V（T）-~t，~x，~r），应用不等式（3.26）和m的定义。因此，我们可以假设w.l.o.g。

t这t=t*, ~x=x*, ~r=r*. 将εngo设为0 in（3.26），我们得到m≤ 画→∞mεn≤ （U）- V）（T）- T*, 十、*, R*) = μm，从而证明了（3.24）。此外，我们还有ε∈ C1,1,2（]0，T]×Rd×R）和（T）- tε，xε，rε）是（t，x，r）的局部最大值→ U（T）- t、 x，r）- ε（T）- t、 t- t′ε，x，x′ε，r，r′ε，（3.27）分别。，（T）- t′ε，x′ε，r′ε）是（t′，x′，r′）的局部极小值→ V（T）- t′，x′，r′）+ε（t- tε，t- t′，xε，x′，rε，r′）。（3.28）我们现在的目的是使用公式（2.33）和（2.31）来确定J2、+U（T）的适当元素-tε，xε，rε）和J2，-V（T）- t′ε，x′ε，r′ε）。为此，我们计算了以下导数：（νε）t（t- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）=ε（tε- t′ε，（νε）r（t- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）=ε（rε）- r′ε），x（ε）（T）- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）=ε（xε）- x′ε，（νε）rr（T）- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）=ε。因为ε-R*ε、 r′ε-R*ε→ 当εg为0时，由于（3.24），我们可以选择一个邻域[0，η]×B（0，r）×r*- αε，r*+ （t）的αε]*, 十、*, R*) 使得αεε→ 0，当ε变为0时。使用这个和（3.27），插入（t，x，r）7的导数→ ε（T）- t、 t- t′ε，x，x′ε，r，r′ε）- tε，xε，rε）在（2.33）中，我们得到了u（t- t、 x，r）- U（T）- tε，xε，rε）≤ -ε（T）- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）+νε（t- t、 t- t′ε，x，x′ε，r，r′ε=-ε（tε）- t′ε）（t- tε）+ε（xε- x′ε）（x- xε）+ε（rε- r′ε）（r- rε）-3ε（r）- rε）（r- rε）+o（|t- tε|+| x- xε|）≤ -ε（tε）- t′ε）（t- tε）+ε（xε- x′ε）（x- xε）+ε（rε- r′ε）（r- rε）+2αε3ε（r- rε）+o（|t- tε|+| x- xε|+| r- rε|）。使用R emark2。19.我们由此证明（3.29）(-ε（tε）- t′ε），ε（xε- x′ε），ε（rε）- r′ε），2αε3ε）∈ J2，+U（T）- tε，xε，rε）。在下一步中，我们寻找J2的一个dequate元素，-V（T）- t′ε，x′ε，r′ε）。

为此，和之前一样，我们计算（t′，x′，r′）7的导数→ ε（T）-tε，t-t′，xε，x′，rε，r′）在（t-t′ε，x′ε，r′ε）。在（T）处插入- t′ε，x′ε，r′ε）到（2.31），我们结合（3.28）：V（t- t、 x，r）- V（T）- t′ε，x′ε，r′ε）≥ ε（T）- tε，t- t′ε，xε，x′ε，rε，r′ε）- ε（T）- tε，t- t′，xε，x′，rε，r′）=ε（t′ε）- tε）t- t′ε）-ε（x′ε）- xε）（x- x′ε）-ε（r′ε）- rε）（r- r′ε）+3ε（r′）- r′ε（r′）- r′ε）+o（|t′）- t′ε|+|x′- x′ε|+|r′- r′ε|）。≥ε（t′ε）- tε）（t- t′ε）-ε（x′ε）- xε）（x- x′ε）-ε（r′ε）- rε）（r- r′ε）-2αε3ε（r′）- r′ε）。+o（|t′）- t′ε|+|x′- x′ε|+|r′- r′ε|）。这显示了t（3.30）(-ε（tε）- t′ε），ε（xε- x′ε），ε（rε）- r′ε），-2αε3ε) ∈ J2，-V（T）- t′ε，x′ε，r′ε），多亏了Remark2。19.将引理2.20应用于粘度亚解U，我们得到0≤ -ε（tε）- t′ε）+βU（t- tε，xε，rε）+ε（rε- r′ε）b·xε+αεxε∑xε3ε+εsupξ∈研发部ξ（xε）- x′ε）- （rε）- r′ε）f（ξ）, （3.31）与（3.29）结合使用。类似地，利用引理2的粘性上解性质。V为20，以及（3.30），我们得到0≥ -ε（tε）- t′ε）+βV（t- t′ε，x′ε，r′ε）+ε（rε）- r′ε）b·x′ε-αεx′ε∑x′ε3ε+εsupξ∈研发部ξ（xε）- x′ε）- （rε）- r′ε）f（ξ）. （3.32）从（3.32）中减去（3.31），我们得到0≤ β（U（T- tε，xε，rε）- V（T）- t′ε，x′ε，r′ε））+ε（rε- r′ε）b·（xε- x′ε）+αε3εxε∑xε+x′ε∑x′ε.现在将ε发送到0，并使用αεε，rε- r′ε，|xε- x′ε|→ 0，当ε→ 0，我们得到（3.33）0≤ β（U）- V）（T）- T*, 十、*, R*).因为β<0，（3.33）与（3.21）相矛盾。因此，我们已经证明≤ V on]0，T]×Rd×R。推论2的证明。22.设U是（2.11）的另一个解，初始条件（2.12）满足生长条件V（t，x，r）≤ U（t，x，r）≤ V（t，x，r），代表所有（t，x，r）∈ ]0，T]×Rd×R。那么我们就有了极限→0U（t，x，r）- V（t，x，r）= 0表示固定的x，r∈ Rd\\{0Rd}×R，可以推广到Rd×R。因此，利用定理2.21，我们推导出U≤ 五、

由于U和V分别是粘性子解和上解，我们通过翻转递减不等式得出结论。参考资料。巴勒斯。介绍一阶Hamilton-Jacobi方程的粘性解理论及其应用。在《汉密尔顿-雅可比方程：近似、数值分析和应用》数学课堂讲稿2074卷中。，第49-109页。斯普林格，海德堡，2013年。内政部：10.1007/978-3-642-36433-42。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-36433-4_2.M.G.克兰德尔、石井和P.L.狮子。二阶偏微分方程粘性解用户指南。公牛艾默尔。数学Soc，27（1）：1-671992。W.H.弗莱明和H.M.索纳。受控马尔可夫过程和粘性解决方案，第25卷。斯普林格·维拉格，2006年。小池秀子和奥莉。具有梯度超线性项的退化椭圆偏微分方程无界粘性解的比较原理。J.数学。肛门。应用程序。，381(1):1 10–120, 2011.ISSN 0022-247X。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.03.009.S.N.克鲁兹科夫。具有多个自变量的一阶拟线性方程组。小地毯某人。（新南威尔士州），81（123）：228-2551970。拉兹格姆先生。状态约束期望效用最大化问题的正则性。预印本，可在arXiv网站在线获取。org，2015年。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1510.03079.H.范。《金融应用的连续时间随机控制和优化》，《随机建模和应用概率》第61卷。斯普林格·维拉g，柏林，2009年。ISBN 9 78-3-540-89499-5。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-89500-8.R.罗卡费拉。凸分析。普林斯顿大学是数学界的里程碑。普林斯顿大学出版社，普林斯顿，新泽西，1997年。1970年原版普林斯顿平装书的再版。A.席德和T.肖内伯恩。非流动性市场中的风险规避和最优清算策略动态。

《金融与科技期刊》，13（2）：181-2042009。A.Schied、T.Schoneborn和M.Tehranchi。投资者的最优一揽子清算是确定性的。阿普尔。数学《金融》，17（6）：471-4892010。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/13504860903565050.T.肖尼伯恩。非流动性市场中的交易执行。最优随机控制与多重不平衡。博士论文，柏林大学，2008年。图兹。最优随机控制，随机目标问题和反向SDE，第29卷Fields Institute专著。斯普林格，纽约；菲尔兹数学科学研究所，多伦多，2013年6月1日。ISBN 978-1-4614-4285-1；978 -1-4614-4286-8. 第13章由Ang\'es Tourin撰写。杨俊彦和侯锡彦。随机控制：哈密顿系统和HJB方程，数学应用第43卷（纽约）。斯普林格·维拉格，纽约，1999年。ISBN0-387-98723-1。