系统最优风险转移均衡

2022-6-24 08:11:36

系统最优风险转移均衡*Alessandro Doldi+Jean-Pierre FoukeMarco Frittelli§Thilo Meyer BrandisP2020年6月29日摘要我们提出了一个系统最优风险转移均衡（SORTE）的新概念，其灵感来自于伯尔曼的均衡风险交换的经典概念。我们提供了有效的一般假设，以保证这种排序的存在性、唯一性和帕累托最优性。在B¨uhlmann和t the sort定义中，每个代理都在预算约束下通过最大化其预期效用来理性行事。这两种方法都受到预算限制的影响。在B–uhlmann定义中，分配预算约束的向量是先验的。相反，在SORTE方法中，分配预算约束的向量是通过求解系统效用最大化内生确定的。SORTE优先考虑问题的系统方面，以优化整体系统性能，而不是个人理性。关键词：均衡、系统效用最大化、最优风险分担、系统风险。数学学科分类（2010）：91G99；91B30；60A99；91B50；9 0B50。JEL分类：C02；D5.1引言我们引入了系统最优风险转移均衡的概念，用SORTE表示，它将平衡风险交换的古典B–uhlmann理论与基于系统预期效用优化的资本配置结合起来。*慕尼黑大学数学系，Theresienstrasse 39，80333慕尼黑，德国，弗朗西丝卡。biagini@math.lmu.de.+意大利米兰大学Matematica分校，Via Saldini 50，20133，意大利米兰，亚历山德罗。doldi@unimi.it.加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，fouque@pstat.ucsb.edu.

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2022-6-24 08:11:39

NSF拨款DMS-1814091支持的工作。§米兰理工大学Matematica分校，Via Saldini 50，20133意大利，米兰，marco。frittelli@unimi.it.P德国慕尼黑大学数学系，Theresienstrasse 39，80333慕尼黑，meyerbr@math.lmu.de.The我们认为，资本配置和风险分担均衡可以应用于许多方面，例如：金融机构、代理人或国家之间的均衡；保险和保险市场；单个企业各业务部门之间的资本分配；投资者财富分配。在本文中，我们将这些公共关系问题的参与者（金融机构或企业或国家）称为代理人；由这N个代理组成的类作为系统；代理人的个人风险（或随机捐赠或未来收益和损失）作为风险向量X：=（X，…，XN）；数量Y：=（Y，…，YN），可作为随机分配在代理之间交换。我们通常指的是中央监管机构或CCP，或中央银行（CB）的执行经理。现在，我们将介绍我们的方法的主要概念，并将细节和mathema Ticalrigoous演示留给下一节。在一个单周期框架中，我们考虑了N个agent，每个agent的特征是一个凹的、严格单调的效用函数un:R→ R和原始风险Xn∈ L(Ohm, F、 P），对于n=1。。。，N在这里(Ohm, F、 P）是概率spa c e和L(Ohm, F、 P）是实值F-可测随机变量的向量空间。西格玛代数在最后时刻T表示所有可能的可测量事件。E[·]表示P下的期望。给定另一个概率测度Q，等式[·]表示Q下的期望。为了简单起见，我们假设利率为零。我们将使用粗体符号来表示向量。1.

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2022-6-24 08:11:42

B¨uhlmann的风险交换均衡我们回顾B¨uhlmann对纯交换经济（或再保险市场）中风险交换均衡的定义。代理人n的初始财富由xn表示∈ R和变量xn表示该代理的原始风险。在这个生态法则中，每个代理人都被允许和其他代理人交换风险。每个代理人必须同意在最终时间接收（如果是正的）或提供（如果是负的）金额（ω），以交换在初始时间支付（如果是正的）或接收（如果是负的）的金额，其中Q是一些pricingprobability度量。HenceeYnis是一个时间T可测的随机变量。为了最终实现这一风险分担程序，交易所变量seynhavot满足清算条件nxn=1eYn=0 P-a.s。正如B¨uhlmann[12]和[13]中所述，我们说一对（eYX，QX）是一个风险交换平衡Mif：（a）对于每个n，Eynx最大化：Ehun（xn+xn+eYn- 方程（EQX[eYn]）Imong all variableseYn；（b） PNn=1eYnX=0 P-a、 s。很明显，仅对于平衡定价测度QX的某些特定选择，（a）中问题的最优解Eynx也将满足（b）中的条件。此外，（b）中的清算条件要求所有代理接受在初始时间T交换amounteYnX（ω）。定义：=（Y∈ （L）(Ohm, F、 P））N | NXn=1Yn∈ R）（1）也就是说，CRis是一组随机向量，其余分量之和为P-a.s.非终结数。观察符号Yn的变化：=xn+eYn-EQX[eYn]，我们得到每个n的变量EQX[Yn]=xn，并且最优解YnXstill属于CRand satisfyingNXn=1YnX=NXn=1xnP-a.s。

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2022-6-24 08:11:45

（2）正如可以经常检查的一样，supeynehun（xn+xn+eYn- EQX[eYn]）i=supYn{E[un（Xn+Yn）]| EQX[Yn]≤ xn}。因此，风险交换均衡定义中的上述两个条件可以等效地重新表示为每个n的s（a’），ynx在所有满足EQX[Yn]的变量中最大化：E[un（Xn+Yn）]≤ xn；（b’）YX∈ CRandPNn=1YnX=PNn=1xnP-a.s。我们注意到，这里的数量xn∈ R预先签署给每个代理。2、系统最优（确定性）分配为了简化表示，我们现在假设每个代理人的初始财富已经在符号Xn中吸收，因此Xn表示初始财富加上代理人n的原始风险。我们假设系统拥有总资本a∈ 如有必要，可在以后使用。该金额可能是中央银行分配的，也可能是系统中以前交易的结果，或者可能是政府临时收取的。这笔钱可以代表在一个业主社区中收集的保险或基金（作为未来投资的担保）。关于A的进一步解释，另请参见Biagini等人[7]第5.2节中的相关讨论。在任何情况下，我们认为数量A是由外源决定的。该金额分配给代理，以优化整体系统满意度。如果我们用an表示∈ R代理人n收到的现金（如果是正的）或提供的现金（如果是负的），则代理人n处置的蒂梅特财富将为（Xn+an）。最优向量aX∈rN可根据以下总时间标准确定（NXn=1E[un（Xn+an）]| a∈RNs。t、 NXn=1an=A）。（3）请注意，每个代理都没有优化自己的效用函数。

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2022-6-24 08:11:48

作为向量a∈RNisdeterministic，已知时间t=0，因此代理必须同意仅在该初始时间提供或接收资金。然而，在假设最终age nts对其他代理的总体可靠性也有信心的情况下，可以将上述第1项和第2项中概述的两种方法结合起来，以进一步提高最佳总体预期系统效用，同时保证每个代理将优化其自身的单一预期效用，考虑到系统分配的聚合预算约束。当然，可信赖的另一种假设是规则由CB执行。我们用Ln表示 L(Ohm, F、 P）容许随机变量的空间，并假设Ln+R=Ln。我们将考虑地图pn:Ln→ 代表定价或成本函数的R，每个代理一个。正如我们将看到的，在一些相关情况下，所有年龄的nts将采用相同的函数Lp=…=pN，然后将其解释为均衡定价函数，如上面的B¨uhlmann设置，其中pN（·）：=等式[·]。然而，我们不必将其视为先验i。相反，我们要求映射pN满足所有n=1。。。，N:i）pnis单调递增；ii）pn（0）=0；iii）pn（Y+c）=所有c的pn（Y）+c∈ R和Y∈ 自然对数。此类假设尤其意味着pn（c）=所有常数c的c∈ R、此类函数的相关示例为pn（·）：=方程n[·]，（4），其中，n=1的概率测度。。。，N、另一个例子是pn=-ρn，对于凸风险度量ρn。现在，我们将应用上述第1项和第2项中概述的两种方法来描述非系统最优风险转移均衡的概念。3.

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2022-6-24 08:11:52

系统最优风险转移均衡。如第1项所述，如果向代理人n分配了一定的金额，该代理人可以按pn（eYn）的价格购买，以优化运行（an+Xn+eYn- pn（eYn））i.定价函数pn，n=1。。。，N必须进行选择，以便最佳解决方案验证清算条件nxn=1eYn=0 P-a.s。然而，如第2项所示，anis不是外源分配给每个代理，而是整个系统只能处理总量a。因此，通过以下问题的解（eYnX，pnX，anX）给出了在代理之间分配A的最佳方法：supa∈RN（NXn=1Supeynehun（an+Xn+eYn- pnX（eYn））ioNXn=1an=A），（5）NXn=1eYnX=0 P- a、 s。（6）从（5）和（6）可以很容易地得出最优解（eYnX，pnX，anX）ful fillsnxn=1pnX（eYnX）=0。（7）进一步，让Yn：=an+eYn-pnX（eYn），根据pnX的现金可加性，我们推断pnX（Yn）=an+pnX（eYn）-pnX（eYn）=anandPNn=1YnX=PNn=1an+PNn=1eYnX-PNn=1pnX（eYnX）=PNn=1，与之前一样，上述优化问题可以重新表述为assupa∈RN（NXn=1supYn{E[un（Xn+Yn）]| pnX（Yn）≤ an}NXn=1an=A），（8）NXn=1YnX=A P- a、与（7）类似，我们有一个解（YnX，pnX，anX）satifiespnn=1pnX（YnX）=a，by（8）和（9）。（5）和（8）中的两个最佳值重合。我们看到，虽然每个代理都根据其会议表现良好，但预算约束pnX（Yn）≤ a不是优先分配的，而是通过聚合优化问题内生确定的。最优值确定了每个代理的最优风险分配。结果是anX=pnX（YnX）。

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2022-6-24 08:11:54

显然，（5）中的最优值大于（或等于）第（3）中的最优值，这在经济上可以转化为这样一种说法，即允许交易所也在终端时间增加系统性能。除了（9）中的条件外，我们还通过要求thatYX对最优解引入了更多可能的约束∈ B、（10）其中B CR.在本文中，见第3.4节，我们对上述讨论进行了修正，并证明了（8）、（9）和（10）的解（YnX、pnX、anX）的存在，我们称之为系统最优风险转移均衡（sorter）。我们证明了pnX可以选择为特定形式pnX（·）：=EQnX[·]，对于概率向量QX=（QX，…，QNX）。关键的一步，Theorem4.5，是证明相关pr问题的对偶表示和优化器的存在（29）。对偶公式的优化器提供了确定函数lnx（·）：=EQnX[·]的最佳概率向量qx。最优QXdepe的特征在可行分配集B上。当没有强制约束时，即当B=CR时，则QxTep的所有分量均相等。因此，我们发现，在B¨uhlmann的框架中，单一均衡定价指标的隐含假设在我们的理论中是特定选择B=CR的结果，但对于一般B，情况并非总是如此。此时，读者手头上可能有第3.5节和第5节中描述的指数效用函数的示例，其中我们获得了最优解YX、均衡定价测度qx和最优向量aX的显式表达式。备注1.1。

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2022-6-24 08:11:58

我们强调，存在多个均衡定价度量QX=（QX，…，QNX）是存在非平凡约束集B的自然结果。事实上，即使在B–uhlmann设置中，如果我们添加非常简单的约束，单一均衡定价度量也可能不再存在。考虑以下aB¨uhlmann风险交换平衡的扩展。让B CRbe固定。我们说一对（eYX，QX）是一个约束风险交换均衡，如果：（a2）对于每个n，Eynx最大化：Ehun（xn+xn+eYn- 方程（EQX[eYn]）Imong all variableseYn；（b2）eYX∈ B和Pnn=1eYnX=0 P-a、 s。我们用下一个例子来说明这样一个均衡（具有一个概率QX）通常不存在。我们给出的例子很简单，但很有启发性，因为它表明，平衡的abs e nc e不是由技术假设（如可积条件）产生的，而是由附加约束引起的结构问题。这里我们为它提供了直觉。假设两个孤立的代理系统在适当的假设下有自己的（无约束）平衡，并且这两个平衡不会相互抵消。如下一个例子所示，我们可以将这两个系统视为一个由两个孤立的集群组成的单一大系统，通过增加约束来表达后一个属性。那么就证明了这种单一系统不可能存在均衡（具有独特的定价措施）。示例1.2。为了忽略所有可积性问题，在这个示例中，我们假设Ohm 是一个有限集，具有其所有子集的西格玛代数和统一概率测度。考虑N=4，un（x）：=（1- e-αnx），αn>0，n=1，4和一些向量x∈ R、 andX∈ （L）∞).

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可人4

2022-6-24 08:12:01

此外，takeB=Y∈ CR | Y+Y=0，Y+Y=0.因此，X和B模拟了一个由4个代理组成的单一系统，该系统只能以受限的方式交换风险（代理1与代理2，代理3与代理4），因此，该系统实际上由两个孤立的代理群集组成。那么，一般不存在约束风险交换均衡。自相矛盾的是，假设（eYX，QX）是一个受约束的风险交换均衡。很容易验证（[eYX，eYX]，QX）是相对于[X，X]和[X，X]的（无约束的）风险交换均衡（即满足（a）和（b）（N=2）。类似地，（[eYX，eYX]，QX）是关于[X，X]和[X，X]的（无约束）风险交换均衡。这意味着使用方程式（2）in¨uhlmann[13]thatexpη（X+X）E[exp（η（X+X））]=dQXdP=expθ（X+X）E[exp（θ（X+X））]，η=α+α，θ=α+α，这显然给出了一个矛盾，因为X是任意的。然而，请注意，在本例中，如果我们允许使用可能不同的定价度量，即如果我们可以用向量QX替换度量QX，则存在约束均衡。这相当于将（a2）替换为下面的（a3），即要求：（a3）对于每个n，eynx最大化：Ehun（xn+xn+eYn- 方程式（EQnX【eYn】）所有变量均为零；（b2）eYX∈ B和Pnn=1eYnX=0 P-a、 s。那么这种平衡就存在了。事实上，根据B¨uhlmann[13]中的结果，我们可以保证关于[X，X]和[X，X]的风险交换e平衡（[eYX，eYX]，QX）的存在，以及关于[X，X]和[X，X]的风险交换平衡（[eYX，eYX]，QX）的存在。然后（【eYX，eYX，eYX，eYX】，【QX，QX，QX，QX】）满足（a3）和（b2）。结论是，即使在B¨uhlmann的情况下，约束的存在也意味着多重均衡定价。从数学角度来看，这一事实在我们的设置中很容易理解，如假设3.10所述。

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2022-6-24 08:12:05

约束越多，可行向量集越小∈ B使得pnn=1eYnX=0，这反过来意味着B的极性集更大（我们将用Q表示w，请参见第4节第4项中的定义。只有当我们被允许在这个较大的集合Q中选择pricingvector QXin时，均衡才存在，但Q中的元素不需要具有所有相等的组成部分。从经济上讲，可能会出现多种定价措施，因为风险交换机制可能会被限制为代理人群体，如本例中所示，并且代理人来自不同的集群可能会采用不同的均衡定价措施。有关集群的更多详细信息，请参见示例3.17和4.20。B–uhlmann均衡（YX）满足两个相关属性：帕累托最优（不存在可行的分配Y，使得所有代理与YX相等或更好，至少其中一个更好）和个人理性（每个代理与YnXthan相比更好）。满足这两个属性的任何可行分配都被称为最优风险分担规则，见Barrieu和El Karoui【4】或Jouini等人【30】。我们证明了一个排序器是唯一的（一旦定价函数的类别被限制为pn（·）=EQn[·]）。我们还证明了帕累托最优，参见定义3.1和理论4.17中的精确公式。然而，分拣员缺乏个人理性。这在第5.2节的玩具e示例中显示，但从方程式（8）中的表达式也可以看出。如前所述，每个代理都表现得很理性，实现了预期效用的最大化，但受到预算约束pnX（Yn）≤这是通过额外的系统最大化问题（supa）全局确定的∈RN{…| PNn=1an=A}），将优先级分配给系统性能，而不是每个单独的代理。

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2022-6-24 08:12:08

在SORTE中，我们用这样一种系统诱导的个人理性取代了个人理性，这也表明了SORTE和最优风险分担规则的概念之间的差异。我们还指出，通过使用适当的集合B，可以适当缓解或加强风险分担机制的参与，见e。g、示例4.20：限制子系统的风险共享。从技术角度来看，我们将不依赖与inf卷积概念相关的任何方法和结果，inf卷积是一种常见的工具，用于证明存在最优风险分担规则（参见示例[4]或[30]），因为我们不要求效用函数是加性的。我们的证明基于（系统）效用最大化的双重方法。第4.1节对此进行了总结。此外，第5节详细讨论了指数情况。备注1.3。按照一般均衡和风险分担文献中的惯例，我们可以考虑更一般的问题来代替（8）和（9）∈RN（NXn=1supYn{E[γnun（Xn+Yn）]| pnX（Yn）≤ an}NXn=1an=A），（11）NXn=1YnX=A P- a、 s.，（12）式中，正权重γ=（γ，…，γN）∈ 一位社会规划师表示，RN可能是外生选择的。在这种更一般的问题中，平衡通常取决于所选的权重。然而，在本文中，我们关注的是均衡的存在性、唯一性和帕累托最优性，对于这种分析，我们可以在不丧失普遍性的情况下限制我们对功利主义选择γ=…=γN=1，正如我们现在所解释的。很容易检查给定的u，不满足我们的假设（即假设3.10（a）），相关函数x 7→ uγn（x）：=γnun（x），n=1。

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2022-6-24 08:12:11

，N将满足相同的假设3。10.（a）和so（11）可写成∈RN（NXn=1supYn{E[uγn（Xn+Yn）]| pnX（Yn）≤ an}因此，从技术上讲，对非功利设置（γ6=1）中平衡的存在性、唯一性和帕累托最优性的研究归结为（8）和（9）中的一个。当然，研究向量γ的最优解的依赖性，并分析平衡点相对于效用函数的稳定性，可能是有意义的。在第5.3节中，我们讨论了指数效用函数的这个问题，但一般情况留待将来研究。文献回顾：本pap源自Biaginiet al.【6】和【7】提出的系统风险方法。在【7】中，主要关注的是系统风险度量ρ（X）：=infY的分析∈ BCR（NXn=1Yn | E“NXn=1un（Xn+Yn））#≥ B），B∈ R、（14）将系统风险计算为最小资本nn=1Yn∈ 保护aggre网关系统的R（EhPNn=1un（Xn+Yn）i≥ B）通过将随机分配yn注入单个机构Xn。分拣机的概念受到以下效用最大化问题的启发，与风险最小化问题（14）相关，supY∈ BCR（E“NXn=1un（Xn+Yn）#| NXn=1Yn≤ A），A∈ R、（15）[7]中也介绍了这一点。有关系统性风险度量的相关论文有Feinstein et al.【23】、Acharya et al.【2】、Armenti et al.【3】、Chen et al.【17】、Kromer et al.【32】。有关系统性风险文献的详细概述，请参见赫德（Hurd）[29]和福克（Fouke）与朗萨姆（Lang sam）[27]。关于Arrow-Debreu平衡的回顾（见Debreu【20】；关于有限维情况，见Mas Colell和Zame【34】），我们参考了F¨ollmer和Schied【26】的第3.6节，这与我们的设置很接近。

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nandehutu2022

2022-6-24 08:12:14

在Arrow-Debreu均衡理论中，B¨uhlmann[12]和[13]证明了纯交换经济中存在风险交换均衡。从Borch【11】的开创性研究开始，这种风险分担均衡就以不同的形式进行了研究，其中Pareto最优分配被证明是凹效用函数的共单调，a和B¨uhlmann和Jewell【14】。在详细介绍之前，已经强调了与B–uhlmann的设置和我们的方法之间的差异。Barrieu和El Karoui[4]引入了凸风险测度的卷积作为研究风险分担的基本工具。Jouini等人[30]获得了法律确定的货币效用函数的最优风险分担的存在性，然后由Acciaio[1]和Filipovi\'c和Svindland[25]将其推广到非单调ris k测度的情况，由Carlier和Dana[15]和Carlier等人[16]将其推广到多变量风险，以实现Mastrogiacomo和Rosazza Gianin[35]提出的次加性和准i凸性测度。Dana和Le Van【19】、Hea th和K u【28】、Tsanakas【39】、Weber【40】等也对风险分担进行了进一步的研究。Embrechts等人[22]通过显式构造研究了基于分位数的风险度量的风险分担问题，并在[21]中研究了异质信念。在菲利波维奇（Filipovi\'c）和库珀（Kupper）[24]中，资本和风险转移被建模为通过一组不确定的金融工具对资本和风险进行（确定性确定的）再分配。研究了存在性问题，引入了平衡的相关概念。最近，Liebrich和Svindland得到了进一步的扩展[33]。2注释SLET(Ohm, F、 P）是一个概率空间，并考虑以下概率向量集(Ohm, F）请注意：=Q=（Q，…，QN）|这样Qj<< P对于所有j=1。。。，N.对于概率测度向量Q，我们写Q<< P表示Q<< PQN公司<< P

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2022-6-24 08:12:17

类似于Q~ P设置L(Ohm, F、 P；RN）=（L（P））N.对于Q∈ Plet L（Q）：=L(Ohm, F、 Q；R）是Q的向量空间- 可积随机变量与L∞（Q）：=L∞(Ohm, F、 Q；R）是Q的空间-本质上有界的随机变量。设置L+（Q）=Z∈ L（Q）Z≥ 0季度- a、 s。和L∞+（Q） ={Z∈ L∞（Q） | Z≥ 0季度- a、 s.}。对于Q∈ PNletL（Q）：=L（Q）×。。。×L（QN），L+（Q）：=L+（Q）×。。。×L+（QN），L∞（Q）：=L∞（Q） ×···×L∞（QN），L∞+（Q）：=L∞+（Q） ×···×L∞+（QN）。对于每个j=1。。。，N考虑一个向量子空间ljr和R Lj公司 L(Ohm, F、 P；R）和se tL：=L×。。。×LN（L（P））N.现在考虑一个子集Q Pn并假设对（L，Q）满足每个Q∈ QL系列 L（Q）。我们可以把它看作Lj，例如，L∞或者一些Orlicz空间。我们的优化问题将在稍后指定的向量空间上确定。对于每个n=1。。。，N、让联合国：R→ R为凹形且严格递增。固定X=（X，…，XN）∈五十、对于（Q、a、a）∈ Q×RN×R deneuqnn（an）：=sup{E[un（Xn+Y）]| Y∈ Ln，EQn【Y】≤ an}，（16）SQ（A）：=sup（NXn=1UQnn（an）| A∈RNs。t、 NXn=1an≤ A），（17）∏Q（A）：=sup（E“NXn=1un（Xn+Yn）#| Y∈ 五十、 NXn=1EQn【Yn】≤ A）。（18）显然，这些数量也与X有关，但由于X在整个分析过程中保持不变，我们可以避免在符号中明确规定这种依赖关系。随着unis的增加，我们可以在UQnn（an）、SQ（A）和∏Q（A）的定义中，用等式代替预算约束中的不等式。当向量Q∈ Q是一个S，我们可以考虑两个问题。首先，对于每一个n，UQnn（an）是在预算约束方程n[Y]下，经典的一维期望效用最大化问题m的最优值，且其方差为x≤ an，由实数an和与Qn相关的估值运算符EQn[·]确定。

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nandehutu2022

2022-6-24 08:12:20

其次，如果我们将Quantitypn=1un（·）解释为系统的聚合效用，那么∏Q（A）是整个系统X的最大预期效用，在所有Y中∈ L满足总体预算约束nn=1EQn【Yn】≤ A、注意，在这些问题中，向量Y不需要属于CR，而只需要属于向量空间l。我们将在引理4.11中显示非常明显的等式SQ（A）=∏Q（A）。3关于均衡的几个概念3.1帕累托分配定义3.1。给定一组可行的分配V L和向量X∈ 五十、根据∈ V是V ifY的Paretoallocation∈ V和E【un（Xn+Yn）】≥ Ehun（Xn+bYn）ifor all n（19）意味着E[un（Xn+Yn）]=Ehun（Xn+bYn）ifor all n。一般来说，帕累托分配不是唯一的，毫不奇怪，以下版本的第一福利orem是正确的。确定优化问题∏（V）：=supY∈VNXn=1E[un（Xn+Yn）]。（20）提案n 3.2。Whenverby公司∈ V是∏（V）的唯一最优解，则是V的帕累托分配。证据LetbY对于∏（V）是最佳的，因此EhPNn=1un（Xn+bYn）i=∏（V）。假设存在Y，使得（19）成立。作为Y∈ 我们有：E“NXn=1un（Xn+bYn）#=∏（V）≥ E“NXn=1牛顿（Xn+Yn）#≥ E“NXn=1un（Xn+bYn）#，by（19）。因此Y也是∏（V）的最优解。最优解的唯一性意味着Y=by。3.2系统效用最大化下一个定义是效用最大化问题，在N个代理系统的情况下。定义3.3。修复Q∈ Q、这对（YX，aX）∈ L×RNis a Q-预算A的最优分配∈ R if1）对于每个n，YnXis对于UQnn（anX）是最优的，2）轴对于SQ（A）是最优的，3）YX∈ 五十、注意，在上述定义中，向量Q∈ Q是外源指定的。给定总预算ta∈ R、矢量aX∈ RN最大化所有可行方案中的系统效用NN=1UQnn（an）∈RN（PNn=1an≤ A）并且ynx在所有可行分配Y中最大化单代理期望效用E[un（Xn+Y）]∈ Lns。t。

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2022-6-24 08:12:23

方程n【Y】≤ anX。自Q起∈ 给定Q，预算约束qn【Y】≤ 所有人都有明确的焦虑∈ L我们不需要表单的附加条件∈ 经典的单主体效用最大化的一个简单化产生了以下存在性结果。提案n 3.4。在Assumption3.10（a）下，为一些Q选择Q={Q}∈ Qv（见（26））和Q~ P设置L=L（Q）×····×L（QN），并设X∈ MΦ（见（79））。然后是a Q-O存在最佳分配。证据可使用第4.2节【7】中使用的相同参数获得收益。Let（YX，aX）∈ L×RNbe a Q-优化配置。由于引理4.11，∏Q（A）=SQ（A）和∏Q（A）=SQ（A）=supa∈RN，PNn=1an=ANXn=1supYn∈Ln{E[un（Xn+Yn）]| EQn[Yn]=an}=NXn=1supYn∈Ln{E[un（Xn+Yn）]| EQn[Yn]=anX}，其中我们将预算约束中的不等式替换为等式，作为非单调的。因此，具有总体预算约束A的系统效用最大化问题∏Q（A）减少为n个单代理最大化问题的总和，然而，其中每个代理的预算约束由anX=EQn[YnX]分配，向量ax使系统的总体性能最大化。我们还将在分类器的编号中恢复此功能，其中概率向量将由内生确定，而不是像本例中那样由先验指定。3.3风险交换均衡我们在此正式确定了B–uhlmann在纯交换经济中的风险交换均衡，【12】和【13】，已在导言第1项条件（a’）和（B’）中提及。设Q为概率测度的向量集，所有分量均为Q：=Q∈ PN | Q=…=QN公司.为了与定义3.3保持一致，我们对相应的条件保持相同的编号。定义3.5。修复A∈ R、 a∈ RN使PNN=1an=A。

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2022-6-24 08:12:26

这对（YX，QX）∈ L×Qis arisk交换均衡（预算A和分配A∈ RN）if：1）对于每个n，YnXis对于UQnXn（an）是最优的，3）YX∈ CR，PNn=1YnX=A P-A.s.定理3.6（B¨uhlmann，[13]）。对于两倍不同、凹形、严格增加的效用u，联合国：R→ R，使得他们的风险厌恶为正Lipschitz，对于L=（L∞（P））N，Q=Qand X∈ 五十、存在一个非唯一的帕累托最优风险交换均衡。证据见【13】。在具有预算a的风险交换均衡中，向量a∈ Rn使得Pnn=1an=A等时分配，而最优交换变量yx和均衡价格测度qx都是内生确定的。相反，在a Q中-最优分配定价测度是先验的，而最优分配yx和最优预算ax是内生的。我们现在将引入一个概念，该概念要求从系统预算a.3.4系统最优风险转移均衡（SORTE）中内生恢复三重（YX、QX、aX）。方程式（8）（9）和（10）中提出的新均衡概念现在可以形式化如下。为此，回顾一下（1）CRand fix a凸锥的定义 CRof容许分配，例如RN+B=B。定义3.7（SO RTE）。三重（YX、QX、aX）∈ L×Q×RN是一个系统最优的风险转移均衡，预算为a∈ R如果：1）对于每个n，YnXis对于UQnXn（anX）是最优的，2）轴对于SQX（A）是最优的，3）YX∈ B CRandPNn=1YnX=A P-A.s.备注3.8。它来自于每个unthatPNn=1anX=A和EQnX[YnX]=anX的单调性。HenceNXn=1EQnX[YnX]=NXn=1anX=A，且NXn=1YnX=NXn=1EQnX[YnX]P-A.s.（21）本文的主要目的是提供有效的基因ral假设，以保证分类器的存在性、唯一性以及良好的性能。备注3.9。

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2022-6-24 08:12:29

我们将显示三元组（YX、QX、aX）的存在∈ L×Q×RN验证定义3.7中的三个条件。因此，我们还获得了（5）、（6）、（10）或（8）、（9）、（10）中所述的模拟中的分类器的存在性，以验证引言中所述的条件（i）、（ii）和（iii）（另见备注4.3）。在续集中，我们将在以下假设3.10下工作。假设3.10。（a）公用设施：u，联合国：R→ R是凹的，严格增加Limx的可微函数→-∞un（x）x=+∞ 林克斯→+∞un（x）x=0，对于任何n∈ {1，…，N}。此外，我们假设以下性质成立：对于任何n∈ {1，…，N}和Qn<< 体育课越南λdQndP< +∞ 对于某些λ>0<==> E越南λdQndP< +∞ 对于所有λ>0，（22），其中vn（y）：=supx∈R{un（x）- xy}表示un的凸共轭。（b）约束条件：b CRis是一个凸锥，概率闭合，使得RN+B=B。备注3.11。特别是，假设3.10（b）意味着所有常量向量都属于b。条件（22）与效用函数上的合理渐近弹性条件有关，该条件在[38]中介绍。这种假设，即使很弱（见[8]第2.2节），也是保证经典效用最大化问题最优解存在的基础（见[8]和[38]）。定理3.12。存在系统最优风险转移均衡（YX，QX，aX），其中QX，qnx相当于P。定理3.13。在额外假设B是封闭的（定义4.13）下，系统最优风险转移均衡是唯一的，是帕累托最优配置。形式陈述和证明推迟到第4节，定理4.12和定理4.17。备注3.14。先验地，没有理由认为Q-最优分配YXin定义3.3也会满足约束nn=1YnX∈ R

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2022-6-24 08:12:32

分拣机的存在实际上是概率度量QX存在的结果，因此QX最优分配YXin定义3.3也满足额外的风险转移约束Tpn=1YnX=a P-a.s。备注3.15。如果没有定义3.7中2）所表示的额外特征，对于所有轴满足PNN=1anX=A的选择，存在定义3.5意义上的平衡（YX，QX）（见定理3.6）。然后，分类器的唯一性是条件2）中最优解唯一性的序列。备注3.16。取决于三个对象（Y、Q、a）中的哪一个∈ L×Q×RNwe保持不变，我们得到了不同的平衡概念（见上述各种定义）。与第3.2节系统框架中的mo再分类效用优化问题相比，风险交换均衡和排序的特征是条件pnn=1YnX=a P-a.s.和均衡定价向量QX的存在。对于平衡的两个概念（定义3.5和分类），每一位参与者都在理性地通过最大化其预期效用来实现行为，给出了一个预算约束。这两种方法因预算建设不同而不同。在布尔曼的定义中，向量a∈ 分配预算约束的RN（EQnX[Yn]≤ a）是事先规定的。相反，在SORTER方法中，向量a∈ RN，其中pnn=1an=A，表示预算约束方程qnx【Yn】≤ ANI是通过优化条件2中的问题来确定的），因此通过考虑c计数，最优系统效用SQX（a），其（通过定义）大于B–uhlmann平衡中的系统效用nn=1UQnXn（an）。SO RTE优先考虑问题的系统方面，以优化整体系统性能。第5.2节提供了一个玩具示例，展示了布尔曼平衡和分类器之间的差异。示例3.17。

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2022-6-24 08:12:35

我们现在考虑一个代理集群的例子，已经在[7]中介绍过。Forh公司∈ {1，···，N}，设I：=（Im）m=1，。。。，hbe{1，···，n}的某些部分。我们介绍以下家族b（I）=（Y∈ L（RN）| d=（d，···，dh）∈ 右侧：Xi∈ImYi=dmm=1，···，h） CR.（23）对于给定的I，值s（d，···，dh）可能会改变，但每个h组中的元素I由分区I固定。很容易看出，B（I）是一个包含RN的线性spa ce，并且在概率收敛方面是闭合的。我们指出，fa mily B（I）允许两种极端情况：（I）当h=N时，出现最强的限制，即我们考虑的正是N组，在这种情况下，B（I）=r对应于无风险分担；（ii）相反，我们只有一组h=1，B（I）=CRis是最大的可能类别，与系统中所有代理之间的风险分担相关。这是布尔曼平衡定义中考虑的唯一情况。备注3.18。如引言中所述，与B–uhlma神经网络的概念相比，分类器的另一个特点是，除了toPNn=1Yn=Ath外，还可以要求最优解属于预先分配的可容许分配集B，满足假设3.10（B）。特别是，我们允许选择集合B=Rn或B=CR。最佳概率QxDeppe nd的特征位于容许集合B上。对于B=CR，QXturn的所有成分都符合B e等式。我们还知道（见引理4.21），对于B=B（I），qx的所有成分都等于所有I∈ Im，每组Im。第n4.5.3.5节“指数情况下的显式公式”中提供了额外的集合样本。我们认为，在B=CR的指数情况下，预测分类问题的显式解决方案现在是有指导意义的。

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2022-6-24 08:12:38

这是第5节中详细讨论的更一般情况的特殊情况。定理3。19、取指数效用sun（x）：=1- 经验值(-αnx），n=1，N表示α，αN>0。然后，B=CRis的分类器由bYk=-Xk+αkXβ+αkhAβ+ln（αk）- ER[ln（α）]ik=1，NdbQkdP=exp-Xβ进出口商品-Xβi=：dbQdPk=1，Nbak=EbQk[bYk]k=1，N（24）式中，β：=PNn=1αN，X：=PNn=1Xn，R（N）：=αnPNk=1αkforn=1。。。N，α：=（α，…，αN），ER[ln（α）]=PNn=1R（N）ln（αN）。4定理3.12和定理3.13的证明我们需要引入以下概念和符号：1。假设3.10中的效用函数产生了Orlicz空间结构：见附录A。1函数Φ和Φ的详细信息和定义*, Orlicz空间LΦ和Orlicz Hear t MΦ。在这里，我们只想回顾一下巴拿赫空间中的以下内容∞（P） MΦ LΦ L（P）和thatdQdP∈ LΦ*表示LΦ L（Q）。从现在起，我们假设X∈ MΦ。2、对于任何A∈ R we setBA：=B∩ {Y∈ （L（P））N | NXn=1Yn≤ A P-A.s.}。观察B∩ MΦ是一个凸锥。3、我们为X引入以下问题∈ 概率测度向量的MΦ与<< P、带DQDP∈ Lφ*,πQ（A）：=sup（NXn=1E[un（Xn+Yn）]Y∈ MΦ，NXn=1EQn【Yn】≤ A）。（25）注意，在（25）中，向量Y不需要属于CR，而只需要属于向量空间MΦ。为了证明问题mπQ（A）的最优解的存在性，有必要在（25）中扩大域。4.Q是由Q定义的概率度量向量集：=（Q<< PdQdP，dQNdP∈ LΦ*,NXn=1EYndQndP公司≤ 0, Y∈ B∩ MΦ）。以自然的方式识别Radon-Nikodym导数和测度，Q是归一化e d的集合（即组件期望值等于1），B极性中的非负向量∩ 双系统中的MΦ（MΦ，LΦ*).

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可人4

2022-6-24 08:12:42

在我们的N维系统单周期设置中，集Q与多周期随机证券市场中的鞅测度集起着同样重要的作用。5、我们引入以下Q的凸集：Qv：=Q∩(dQdP，dQNdP∈ Lφ*dQndP≥ 0 n∈ {1，…，N}，NXn=1E越南dQndP< +∞).(26)6. SetL：=\\Q∈QvL（Q）×···×L（QN），Q：=Qv。（27）注释That MΦ L的乘积结构为L=L×·········································································-定义在Qv上的th分量，取相应的图像Qn：=Projn（Qv）（由一系列概率度量组成，均与P绝对连续）。设置项次：=TQ∈QnL（Q）。那么L=L×···×LN。我们将考虑优化问题（16）、（17）和（18），在（27）中特别选择（L，Q），并将表明，在这种选择下，πQ（A）=∏Q（A）。O注意，如果所有公用设施都从上方受限，则要求PNN=1EhvndQndPi<+∞ 是冗余的，但如果我们允许公用设施是无限的，这就变得非常重要了。我们还需要一些额外的定义和符号：a）双对数中圆锥体co（Qv）的双极性LΦ*×···×LΦ*N、 \\ Q∈QvL（Q）×···×L（QN）,isB：=Y∈\\Q∈QvL（Q）×···×L（QN）NXn=1EQn【Yn】≤ 0, Q∈ Qv.很容易验证B∩ MΦB、 B）对于任何A∈ R我们定义了挫折：=Y∈\\Q∈QvL（Q）×···×L（QN）NXn=1EQn【Yn】≤ A. Q∈ Qv我们将证明Bais是域BA的正确扩展∩ 为了得到原问题最优解的存在性。c） {ei}i=1，。。。，Nis是RN的正则基。引理4.1。双对中（MΦ，LΦ*), 考虑极坐标（B∩ B的MΦ）∩ MΦ。然后（B∩ MΦ）∩ （L+）是由Q证明生成的圆锥体。从B包含所有常量向量这一事实的带定义中，我们可以得出以下结论：所有向量都是形式为ei的RNof- EJ属于B∩ MΦ。

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2022-6-24 08:12:45

那么对于所有Z∈ （B）∩ MΦ）和所有i，j∈ {1，…，N}我们必须有：EZi公司- EZj公司≤ 因此，Z∈ （B）∩ MΦ）表示EZ= · · · = E锌和so（B∩ MΦ）∩ （L+）N=R+·Q，（28），其中R+：={b∈ R、 b类≥ 0}.引理4.2。Qev：={Q∈ Qvs。t、 Q~ P}6=.证据条件B 卷曲B∩ MΦ （CR∩ MΦ∩ {PNn=1Yn≤ 0}），因此极性满足相反的包含：（CR∩ MΦ∩ {PNn=1Yn≤ 0}) （B）∩ MΦ）。现在观察任意向量（Z，…，Z），对于Z∈ L∞+, 属于（CR∩MΦ∩{PNn=1Yn≤ 0}). 特别是，（B∩MΦ）包含以下形式的向量ε+Z1+ε，ε+Z1+εε>0且Z∈ L∞+, E[Z]=1。这样一个向量的每个分量的期望值都等于1，属于L∞+满足ε+Z1+ε≥ε1+ε. 所有这些条件都意味着存在一个概率向量Q∈Q使得dqdp>0 P- a、 s.带PNN=1EhvndQndPi<∞, 因此Qev6=.4.1证明方案定理3.12的证明受到效用最大化中经典的对偶理论的启发，例如参见[18]和[31]，以及[5]中发展的极大极小方法。更准确地说，我们的路线图如下：1。首先，在Remark4.4中，我们展示了如何将问题m减少到A=0.2的情况。我们考虑π（A）：=sup（NXn=1E[un（Xn+Yn）]Y∈ MΦ∩ B、 NXn=1Yn≤ A P-A.s.）。（29）在定理4.5中，我们专门化了定理A.3中得到的关于一般凸锥的对偶性，用于凸c one c=B上的最大化问题π（0）∩MΦ并证明：（i）π（0）优化器的存在性，它属于B；（ii）π（0）对偶问题优化器bq的存在性。我们需要关于效用函数和集合B的所有假设，以及定理A中所述的辅助结果。附录中的4。命题4.7也将显示B闭包中的元素∩MΦ满足关键条件pnn=1EQn【Yn】≤PNn=1Yn∈ R代表所有Q∈ Q、 4。

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2022-6-24 08:12:48

理论。然后再次将3应用于不同的集合C=nY∈ MΦ| PNn=1EQn【Yn】≤ 0o，导出命题4.9，该命题建立了πQ（0）和πQ（a）的对偶性，前提是指定了可执行概率向量Q。5、极大极小对偶：π（A）=minQ∈QvπQ（A）=πbQ（A），则是上述结果的简单结果（见推论4.10）。这种对偶性是证明分类器存在的关键工具（见定理4.12）。然后在定理4.17中证明了唯一性和帕累托最优性。备注4.3。请注意，在π（A）的定义中，没有提及概率向量Q。然而，π（A）的dua l公式的优化器是概率向量bq（这将是分类器中的均衡定价向量）。即使在方程（8）、（9）、（10）中，我们不需要形式为pn（·）=EQn[·]的定价函数，这种特殊的线性表达式自然会出现在对偶公式中。4.2极大极小逼近备注4.4。只是在这句话中，我们需要稍微改变一下符号：我们将最大化问题的依赖关系，在初始点上展开。为此，我们将写出πX（A）：=supNXj=1Euj公司Xj+YjY∈ 文学士∩ MΦ,πQX（A）：=supNXj=1Euj公司Xj+YjY∈ MΦ，NXj=1EQjYj公司≤ A..通过使用以下简单观察，可以将由πX（A）（和类似的由πQX（A））表示的最大化问题简化为与π·（0）相关的问题（分别为πQ·（0））：∈ RNwithPNj=1aj=A考虑πX（A）=supNXj=1Euj公司Xj+YjY∈ B∩ MΦ，NXj=1Yj≤ A.= 啜饮NXj=1EhujXj+aj+（Yj- aj）我Y∈ B∩ MΦ，NXj=1Yj公司- aj公司≤ 0= 啜饮NXj=1EhujXj+aj+Zj我Z∈ B∩ MΦ,其中，第一个等式成立，因为我们假设RN+B=B。最后一行表示原始问题，但A=0和不同的初始点。

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nandehutu2022

2022-6-24 08:12:51

这一事实将用于定理4.5的证明结论中。在下面的定理中，我们遵循一个极大极小过程，该过程受到了[8]中采用的技术的启发。定理4。在假设3.10下，我们有π（A）：=supY∈ 文学士∩MΦNXj=1Euj公司Xj+Yj= maxY公司∈BANXj=1Euj公司Xj+Yj（30）=最小值∈Qminλ∈R++λNXj=1EQjXj公司+ A.+NXj=1Evj公司λdQjdP. （31）（31）中的最小化问题允许一个唯一的最优值（bλ，bQ）∈ R++×Q带bq~ P（30）中的最大化问题承认了一个唯一的优化∈ BA，BYJ给定=-Xj公司- v′jbλdbQjdP！，j=1。。。，N、（32）属于BA。此外，NXj=1EbQjhbYji=A，NXj=1EQjhbYji≤ A.Q∈ Qv。（33）证明。我们首先证明了情况A=0的结果。步骤1我们无法显示SUPB∩MΦNXj=1Euj公司Xj+Yj<NXj=1vj（0）=NXj=1uj(+∞) 十、∈ MΦ（34），以便我们能够应用定理。3，选择C：=B∩ MΦ。我们区分了两种可能的情况：PNj=1uj(+∞) = +∞ orPNj=1uj(+∞) < +∞.对于PNJ=1uj(+∞) = +∞: 观察任何Q∈ Qv（引理4.2非空）和λ>0，我们得到nxj=1Euj公司Xj+Yj≤NXj=1E（Xj+Yj）λdQjdP+NXj=1Evj公司λdQjdP≤NXj=1EXj公司λdQjdP+NXj=1Evj公司λdQjdP.我们利用了上述芬切尔不等式和Qv的定义。观察最后一行不依赖于n Y且是有限的，并使用众所周知的关系vj（0）=uj(+∞), j=1，N、我们的结论是SUPB∩MΦNXj=1Euj公司Xj+Yj< +∞ =NXj=1vj（0）。对于PNJ=1uj(+∞) < +∞: 如果（34）中的不等式不严格，对于任何最大化序列（Ym），通过单调c收敛，mwe将具有Thanxj=1E[uj(+∞)] -NXj=1Euj公司Xj+Yjm= ENXj=1uj公司(+∞) - uj（Xj+Yjm）-→在取一个子序列之前，我们可以假设收敛也是几乎肯定的。因为所有术语sinpnj=1uj公司(+∞) - uj（Xj+Yjm）是非负的，我们还可以看到uj（Xj+Yjm）→muj公司(+∞)几乎可以肯定，对于e非常j=1，N通过效用的严格单调性，这意味着对于每个j，Yjm→m级+∞.

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2022-6-24 08:12:55

这显然与解释相矛盾∈ B、步骤2我们将证明方程（30）和（31），其中贝恩位置上的上确界为最大值，因为我们将在后面的步骤（步骤4）中表明，该上确界实际上是最大值。我们观察到∩ MΦBsupB公司∩MΦNXj=1Euj公司Xj+Yj≤ supBNXj=1Euj公司Xj+Yj.此外，通过Fenchel不等式supbnxj=1Euj公司Xj+Yj≤ infλ∈R+，Q∈QλNXj=1EQjXj公司+NXj=1Evj公司λdQjdP.方程（30）和（31）遵循定理A.3，将凸锥C替换为B∩ MΦ和方程（28）表明（C）+=Q。步骤3我们证明ifbλ和Bq是方程（31）中的最优值，然后ByJ：=-Xj公司- v′jbλdbQjdP在B中定义一个元素。观察Bλ最小化函数r++ γ 7→ ψ（γ）：=NXj=1γEbQjXj公司+ E“vjγdbQjdP！#！这是实值的和凸的。我们还利用单调收敛定理和引理。2.1。通过凸性存在的右导数和左导数满足±ψdγ（γ）=NXj=1E“XjdbQjdP#+NXj=1E”v′jγdbQjdP！dbQjdP#，因此函数是可微分的。由于λ是ψ的最小值，这意味着ψ′（bλ）=0，这意味着可改为：NXj=1E“xjdbqdjdp#+E“v′jbλdbQjdP！dbQjdP#！=0，（35），即NXj=1EbQjhbYji=0。（36）现在考虑最小化q 7→NXj=1bλEQjXj公司+ Evj公司bλdQjdP对于fixedbλ和Q，在Qv中变化。设againbQ，bη：=dbQdP，为最佳值，并考虑另一个q∈ Qv，η：=dQdP。根据假设3.10，表达式pnj=1EhvjλdQjdP定义λ的所有选项。通过vjwe的凸性和可微性，可以观察到bληjv′jbλbηj≤bλbηjv′jbλbηj+ vj公司bληj- vj公司bλbηj.因此由Lemma提出。2.1. andbQ，Q∈ 我们的结论是ηjv′jbλbηj+∈ L（P）。（37）为了证明负部分也是可积的，我们取bq，Q的凸组合∈ Qv，它仍然属于Qv。

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2022-6-24 08:12:58

通过bη的最优性，函数x 7→ ^1（x）：=NXj=1bλEXj公司(1 - x） bηj+xηj+ Ehvjbλ(1 - x） bηj+xηj我, 0≤ x个≤ 1的最小值为0，因此0处的右导数o必须是非负的，因此：NXj=1ddx(1 - x） bλEXjbηj+ xbλEXjηj≥ -NXj=1ddxEhvj(1 - x） bλbηj+xbληji、（38）定义Hj（x）：=vj(1 - x） bλbηj+xbληj观察x↓ 0按凸度0≤-x（Hj（x）- Hj（0））+Hj（1）- Hj（0）↑-bλv′jbλbηjηj+bλv′jbλbηjbηj+Hj（1）- Hj（0）.（39）现在用增量比率明确写出方程式（38），并加上和减去实数EhPNj=1（Hj（1）- Hj（0））ito getlimx↓0NXj=1xh公司(1 - x） bλEXjbηj+ xbλEXjηj-bλEXjbηji+E[Hj（1）- Hj（0）](40)≥ 林克斯↓0NXj=1E-x（Hj（x）- Hj（0））+Hj（1）- Hj（0）. （41）财务限额微不足道。观察到，通过（39）和单调收敛定理，我们也可以计算第二个极限，然后推导出：NXj=1bλEXj公司ηj- bηj+ E[Hj（1）- Hj（0）]≥NXj=1Eh-bλv′jbλbηjηj+bλv′jbλbηjbηj+Hj（1）- Hj（0）因此+∞ >NXj=1bλEXj公司ηj- bηj≥ ENXj=1-bλv′jbλbηjηj+bλv′jbλbηjbηj= ENXj=1bλv′jbλbηjηj--bλv′jbλbηjηj++bλv′jbλbηjbηj.SincePNj=1v′jbλbηjbηj∈ LemmaA的L（P）。2.1，且Pnj=1v′jbλbηjηj+∈ L（P）通过方程（37），我们推导出Pnj=1v′jbλbηjηj-∈ L（P）使0≤v′jbλbηjηj-≤NXj=1v′jbλbηjηj-∈ L（P）。我们得出结论，v′jbλbηjηjde在L（P）×····×L（P）中定义一个向量，hencebY∈ L（Q）×···×L（QN）Q∈ Qv。（42）此外，等式（38）可以重写为：0≤NXj=1bλEXj公司ηj- bηj+NXj=1bλEhv′jbλbηjηj- bηji、（43）现在重新排列（43）0中的术语≤ -NXj=1bλEXjbηj+ Ehv′jbλbηjbηji+NXj=1bλEXjηj+ Ehv′jbλbηjηji和us e（35）：0≤ 0-NXj=1bλ呃-Xj公司- v′jbλbηjηji= -bλNXj=1EbYjdQjdP.这证明nxj=1EQjhbYji≤ 0Q∈ Qv（44），然后∈B、步骤4（BY的可选性）根据我们的长期假设3.10，众所周知(-v′（y））=v（y）- yv′（y），y≥ 0

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2022-6-24 08:13:01

因此，我们通过直接替换uj（Xj+bYj）=uj得到-v′jbλdbQjdP！！=-bλdbQjdPv′jbλdbQjdP！+vjbλdbQjdP！andNXj=1EhujXj+bYji=bλ-NXj=1E“dbQjdPv′jbλdbQjdP#+NXj=1E“vjbλdbQjdP！#。现在使用（35）中的表达式替换第一个RHS术语：NXj=1EhujXj+bYji=bλNXj=1EbQj【Xj】+NXj=1E“vjbλdbQjdP！#。然后，在（31）中，bλ，bQ的最优性紧随其后。现在，利用我们在步骤2中的发现和b的最优性，方程（30）的证明现已完成。步骤5（通过∈ B）根据引理4.2，存在一个Q∈ Qev：={Q∈ Qvs。t、 Q~ 从（42）我们知道v′jλdbQjdP∈ L（Qj），λ>0。此外，对于每j=1，N、 v′j（0+）=-∞, 所以QjdbQjdP=0=0、作为Q~ P，这反过来意味着PdbQjdP=0= 0，对于每j=1，NHencebQ公司~ P理论。4现在可以应用于K：=（B∩ MΦ）和Qevto get\\Q∈QevclQ公司（B）∩ MΦ）- L+（Q）=Z∈\\Q∈QevL（Q）s.t.NXj=1EQjZj公司≤ 0 Q∈ Qev公司. （45）阿斯比∈带Bis包含在（45）的RHS中，我们推断它属于（4 5）的LHS。现在通过方程式（36），我们可以看到，通过Satifiespnj=1EhbYjdbQjdPi=0，这意味着：∈ clbQ公司B∩ MΦ, （46）B的L（bQ）×···×L（bQ）-（norm）闭包∩ MΦ。尤其是abQ（因此P）-a.s.bw中元素的极限，其在概率P中是闭合的，因此∈ B、步骤6（33）中的条件在（36）和（44）中得到证明。我们以独特性作为结论。通过效用的严格凸性和B的凸性，很明显，最大化问题由supBPNj=1E给出uj公司Xj+Yj最多允许一个最佳值。现在很明显，如果（bλ，bQ）和（eλ，eQ）是极大极小表达式（31）的最优值，那么它们都会产生两个最优值，如前面的步骤所示。原始问题解的唯一性impliesbY=eY。根据假设3.10。（a）函数v′，v′Nare内射，因此我们得出bλdbQdP=eλdeQdP。

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