如果πQ（A）<+∞, 当πQ（A）=∏Q（A）=sup时NXj=1Euj公司Xj+YjY∈ L（Q），NXj=1EQjYj公司≤ A.（49）=最小λ∈R+λNXj=1EQjXj公司+ A.+NXj=1Evj公司λdQjdP.如果另外两个表达式中的任何一个严格小于t hanPNj=1uj(+∞), 那么πQ（A）=最小λ∈R++λNXj=1EQjXj公司+ A.+NXj=1Evj公司λdQjdP. （50）证明。再次，我们证明了情况A=0，因为Remar k4.4可用于获得一般情况A 6=0。来自MΦ L L（Q）我们得到：πQ（0）：=supNXj=1Euj公司Xj+YjY∈ MΦ，NXj=1EQjYj公司≤ 0≤ ∏Q（0）≤ 啜饮NXj=1Euj公司Xj+YjY∈ L（Q），NXj=1EQjYj公司≤ 0≤ 最小λ∈R+λNXj=1EQjXj公司+NXj=1Evj公司λdQjdP（51）芬切尔不等式。确定投资组合：=Y∈ MΦ| NXj=1EQjYj公司≤ 0.关于C理论的假设。3成立，不等式（51）表明πQ（0）<+∞ 对于所有X∈ MΦ。有限维conenλhdQdP，dQNdPi，λ≥ 0o个 LΦ*是闭合的，然后根据双极定理C=nλhdQdP，dQNdPi，λ≥ 0度。因此，集合（C）+在TheoremA的陈述中。3是精确的HDQDP，DQNDPIO和定理。3证明了πQ（0）等于（51）的theRHS。我们同样可以证明（50）。综上所述，我们提供了最大化问题中有无固定测度滚动4.10的极小极大对偶性。以下情况成立：π（A）=minQ∈QvπQ（A）=πbQ（A）<+∞ ,其中，Bq是定理4.5中的极大极小度量。证据这是第4.5条和第4.9条提案的直接结果。引理4.11。对于所有Q∈ Q我们有∏Q（A）=SQ（A），如果bQ是定理4.5中的极大极小测度，那么π（A）=πbQ（A）=πbQ（A）=SbQ（A）。（52）证明。让Y∈ 五十、 Q∈ Q、 an：=等式n【Yn】和Zn：=Yn- 一

As L+RN=L，Zn∈ Lnand∏Q（A）=supY∈ L（E“NXn=1un（Xn+Yn）#| NXn=1EQn[Yn]=A）=supa∈RN，Z∈L（E“NXn=1un（Xn+Zn+an）#| EQn[Zn]=0，NXn=1an=A）=supa∈RN，PNn=1an=A（supZ∈L：EQn[锌]=0NXn=1E[氮（Xn+锌+氮）]）=超氧化物歧化酶∈RN，PNn=1an=ANXn=1supZn∈Ln{E[un（Xn+Zn+an）]| EQn[Zn]=0}=supa∈RN，PNn=1an=ANXn=1supYn∈Ln{E[un（Xn+Yn）]| EQn[Yn]=an}=supa∈RNPNn=1an=ANXn=1UQnn（an）=SQ（A）。（52）中的第一个等式来自推论4.10，第二个等式来自（49）。4.4主要结果定理4.12。取Q=Qvand集L=TQ∈QvL（Q）。假设3.10下，对于anyX∈ MΦ和任意A∈ R a SO RTE存在，即（bQ）∈理论4.5中定义的BA×Qvde和ban：=EbQn【bYn】，n=1，N、 （53）满足：1。对于每个n，bYnis是UbQnn（ban）的最佳值∈ {1，…，N}，2。ba是SbQ（A）3的最佳值。通过∈ B和PNN=1bYn=A P-A.s.证明。1） ：我们证明UbQnn（ban）=EhunXn+bYni<un(+∞), 对于所有n=1，N，因此表明BYNIS是UbQnn（ban）的最佳值。阿斯宾∈ Ln对于所有n=1，N、 然后通过对bqnn（ban）的定义，我们得到：supnE[un（Xn+Z）]Z∈ Ln，EbQn【Z】≤ bano=：UbQnn（ban）≥ 埃亨Xn+bYni、 如果对于某些指标，最后一个不等式是严格的，我们将得到矛盾πbQ（A）=π（A）Thm。4.5=NXn=1EhunXn+bYni<NXn=1UbQnn（禁止）≤ SbQ（A）=πbQ（A），（54），其中我们在第一个和最后一个等式中使用了（52）。尤其是EhunXn+bYni<un(+∞), 对于所有n=1，N事实上，如果后者与联合国同等(+∞), 然后，在R的一个紧致子集上不应达到其最大值，这不是情况。2） ：从（33）中，我们知道A=PNn=1EbQn[bYn]=PNn=1ban。从（52）我们得到了sbq（A）=π（A）Thm。4.5=NXn=1EhunXn+bYni=NXn=1UbQnn（禁止）≤ SbQ（A）。3） ：我们已经知道了∈BA：=B∩ {Y∈ （L（P））N | PNn=1Yn≤ A} 。

根据命题4.7，我们推导出a=NXn=1EbQn[bYn]≤NXn=1bYn≤ A、 现在我们将注意力转向唯一性和帕累托最优，但我们需要一个额外的性质和一个辅助结果。定义4.13（定义4.18 in【7】）。我们说B （L（P））Nis在截断下闭，如果foreach Y∈ B有我的∈ N和cY=（cY，…，cNY）∈ Rn使PNn=1cnY=PNn=1Yn：=cY∈ R和所有m≥ mYYm：=易{∩Nn=1{Yn{m}}+cYI{∪Nn=1{| Yn|≥m} }∈ B、 （55）备注4.14。我们强调，示例3.17中介绍的所有集合都满足closednessunder截断。引理4.15。设B在截断下是闭合的。然后每A∈ 澳大利亚储备银行∩ L文学士。证据修复任何Q∈ Qvand的论证如[7]中的命题4.20所示：让Y∈ 文学士∩ L L（Q）并考虑m的ym∈ N如（55）所述，其中w.l.o.g.我们假设mY=1。请注意，PNn=1Ynm=cY（=PNn=1Yn≤ A） 对于所有m∈ N、 根据Ymand（55）的有界性，我们得到了ym∈ B∩ 所有M的MΦ∈ N、 此外，Ym→ Y P-m的a.s→ ∞ , 因此，自| Ym |≤ 最大{| Y |，| cY |}∈ L（Q）表示所有m∈ N、 als o Ym公司→ Y在L（Q）中表示m→ ∞ 通过支配收敛。现在，如果Q~ P我们可以直接应用命题4.7得到pnn=1EQn[Yn]≤PNn=1Yn≤ A、 如果我们只有Q<< P我们可以看到（48）仍然成立，特别是（Ym）minplace的选择是（kn）n，因为Ymis的构造几乎肯定是P。定义∏（A）：=sup（E“NXn=1un（Xn+Yn）#| Y∈ L∩ B、 NXn=1Yn≤ A） 。（56）引理4.16。设B在截断下是闭合的。如果bQ是定理4.5中的极大极小测度，那么π（A）=∏（A）=πbQ（A）=∏bQ（A）=SbQ（A）。（57）证明。很明显，自从BA∩ MΦ 文学士∩ L我们有π（A）≤ ∏（A）仅根据定义（29）和（56）。现在观察引理4.15，我们有BA∩ L BA，因此∏（A）≤ ∏bQ（A）。等式链随后是引理4.11。定理4.17。设B在截断下是闭合的。

在定理4.12的相同假设下，对于任何X∈ MΦ和A∈ R分拣机是唯一的，并且是两个TSV=（Y）的帕累托最优分配∈ L∩ BNXn=1Yn≤ A P-A.s.）和V=（Y∈ LNXn=1EbQn【Yn】≤ A） 。（58）证据。使用命题4.9和推论4.10得到任何Q∈ Qv∏Q（A）=πQ（A）≥ π（A）。（59）设（eY、eQ、ea）为分类器，（bY、bQ、ba）为定理4.12中的分类器。通过1）和2）在SORTE的定义中，以及Lemma4.11，我们看到Ey是∏eQ（A）=SeQ（A）的最佳值。此外，eY∈ 文学士∩ 婴儿引理4.15。我们可以通过方程（30）得出结论，π（A）≥NXn=1EhunXn+eYni=πeQ（A）eQ.（49）=πeQ（A）Cor.4.10≥ π（A），它告诉我们π（A）=πeQ（A）=PNn=1EhunXn+eYni、 根据orem4.5，我们还得到π（A）=PNn=1EhunXn+bYni、 然后，eY∈BA（引理4.15）和∏（A）=π（A）（引理4.16）意味着eY和eY都是∏（A）的最优值。通过公用设施u的严格凹度，uN，∏（A）最多有一个最佳值。由此，再加上极大极小测度的唯一性（见定理4.5），我们得到（eY，eQ）=（bY，bQ）。我们从方程式（53）和备注3.8推断，alsoea=ba。为了证明帕累托最优性，请观察定理4.5通过∈ 文学士 L是∏（A）的唯一最优值（见引理4.16），因此它也是∏bQ（A）的唯一最优值。然后，命题3.2给出了帕累托最优性，没有料到（58）中两个集合的∏（V）分别是∏（A）和∏bQ（A）。4.5分拣机对X和BWe的依赖性从定理m4.12的证明中可以看出，分拣机的三重定义（显然）取决于A的选择。我们现在重点研究此类三重定义如何依赖于X。为此，我们首先专门研究案例B=CR。建议4。在定理4.12的假设下，对于B=CR，变量dbqdpandx+bY是σ（X+····+XN）（本质上）可测量的。证据根据定理4.12和定理4.17，我们得出（bλ，bQ）是方程（31）的RHS的最佳值。

请注意，在这种特殊情况下，Y：=eiA- ejA公司∈ B∩ 所有i、j和所有可测量集A的MΦ∈ F、 让Q∈ Q、 然后从（47）PNn=1（方程n【Yn】- Yn）≤ 0和soQi（A）- 1A级- Qj（A）+1A≤ 0，即Qi（A）- Qj（A）≤ 0、同样取Y：=-eiA+ejA∈ B、 我们得到Qj（A）- Qi（A）≤ 因此Q中向量的所有分量都相等。设G：=σ（X+···+XN）。那么对于任何λ∈ R++和任意Q=[Q，…，Q]∈ Q我们有：λNXn=1EQn[Xn]+A+NXn=1E越南λdQndP= λE“NXn=1Xn！dQdP#+A！+NXn=1E越南λdQdP=λE“NXn=1Xn！EdQdPG#+ A+NXn=1EE越南λdQdPG≥λNXn=1EXnE公司dQdPG+ A+NXn=1E越南λEdQdPG,在上一个不等式中，我们利用了tower性质和Jensen不等式，如v，Vn是凸面的。现在请注意，EhdQdPGide定义了一个增益概率度量（在整体上为F，初始西格玛代数），并且该度量仍然属于Q，因为其所有成分都是相等的。因此，方程（31）中的最小值可以等效地取λ∈ R++（asbefore）和Q∈ Q∩L(Ohm, G、 P）N、 福比的主张来自（32）。有趣的是，这种对X的分量和的依赖性也适用于伯尔曼平衡（见[13]第16页和[11]）。备注4.19。在一组代理中，如例3.17所示，上述结果可以清楚地概括：向量bq的第i个分量，因为i属于第m个组，只取决于X的分量之和，X对应的索引属于第m个组本身。同样值得一提的是，如果我们取B（I）=RN，我们会看到Bq和By的每个分量都是X的相应分量的可测函数。

这是合理的，因为在这种情况下，最终每个代理人只能与其自己分享和交换风险，我们正在考虑的模型的系统性特征将丢失。除了例3.17中的例子外，我们现在还提供了一些可能的可行集合B的其他例子，并研究了概率度量fr om B的依赖性。例4.20。考虑一个可测量的分区a，阿科夫Ohm 和一组分区i，IKof{1，…，N}，如例3.17所示。取相关聚类B（I），B（IK）定义见（23）。然后se tB：=KXi=1B（Ii）Ai！∩ CR（60）满足假设3.10，并在截断下关闭，因为它可以直接检查。可以将（60）中的集合n视为依赖于场景的c聚类。（60）的一个特殊简单情况如下。对于可测量集a∈ F取A=Ohm \\ A、 然后设置CRA+RNAis的形式（60），并由所有Y∈ （五十） 确保（i）存在一个re al数σ∈ Pnn=1Yn=σP的R-a、 s.在a上，（ii）存在向量b∈ Rn使Y=b P-a、 （iii）σ=PNn=10亿（回想一下Y∈ CRby（60））。让我们用下面的实例来激励示例4.20。假设监管机构为每家银行建立了一个额外的风险敞口阈值Di。如果i银行的头寸低于这样的阈值，我们不能认为系统让该银行参与风险交易太危险了。因此，在集群示例中，关于事件{Xi≤ 我们可以要求银行不要干涉。

此外，还可以考虑s对称的情况：一家地位太好的银行，比如说放弃价值Aj，将不会愿意与所有其他银行分担风险，因此只能作为孤立的个人或“更安全”银行集团的一员参与游戏。这些需求和许多其他需求（比如考虑随机阈值）都可以使用示例4.20中介绍的构造进行建模。值得注意的是，如例3.17所示，假设一个约束集的形式如示例4.20所示，将强制Qv中概率向量的特定行为。引理4.21。设B如Ex ample4.20所示，设Q∈Qv。修复任何i∈ {1，…，K}和分区Ii=（Iim）m的任意组Iimof。然后所有组件Qj，j∈ Iim，同意F | Ai：={F∩ Ai，F∈ F} 。证据我们认为，在简单的情况下证明该陈述比提供完全正式的证明（这需要不必要的复杂符号）更具启发性。这是“不失一般性”的，因为很清楚如何推广该方法。为此，让我们考虑K=2（即A=Ac）和B（i）：=CR，B（i）：=RN的情况。对于任何F∈ Fand i，j∈ {1，…，N}我们可以取Y：=（1F（ei- ej））1A+01Ato获得Y∈ CRA+RNA，PNj=1Yj=0。通过定义Qvwe获取任何Q∈ Qv该Qi（A∩ F）- Qj（A∩ F）≤ 0，并且改变i，j产生Qi（A∩ F）=Qj（A∩ F）对于任何i，j=1，N、 F级∈ F、 5指数情况我们现在专门分析指数设置，其中un（x）：=1- 经验值(-αnx），n=1，N表示α，αN>0。（61）这使我们能够为范围广泛的约束集B（即示例3.17中介绍的所有约束集）提供明确的公式，因此，对于不同的效用，排序E的稳定性属性将是显而易见的。5.1显式公式我们考虑一组B=B（I）形式的约束，如示例3.17所示。

给定X∈ MΦ和M∈ {1，…，h}，我们设置：βm：=Xn∈Imαnβ：=NXn=1αnXm：=Xn∈ImXn，R（n）：=αnPNk=1αk，n=1。。。N，α：=（α，…，αN），ER[ln（α）]=NXn=1R（N）ln（αN）。定理5。1、拿u，UNA由（61）给出，B=B（I），如例3.17所示。对于定理4.12中定义的L和Qde，分类如下所示bYk=-Xk+αkXmβm- dm（X）+αkhAβ+ln（αk）- ER[ln（α）]ik∈ ImdbQkdP=exp-Xmβm进出口商品-Xmβmi=：dbQmdPk∈ Imbak=EbQk[bYk]k=1，N（62），其中dm（X）：=hXj=1βjβlnE经验值-Xjβj- 自然对数E经验值-Xmβm.证据（61）中的实用程序满足假设3.10（a）和假设3.10（B）以及截断下的封闭性，因此定理4.12和4.17保证了存在性和唯一性。回想一下，从B的选择中，我们可以得到每个Q的值∈ Qv，Q的所有分量都等于每个索引子集Im。很容易检查Vn（λy）=λyαnlnλαn+λαny lny-λαny+1。（63）现在替换y=dQndP∈ Qvin上述表达式，并将期望值带到getE越南λdQndP= φn（λ）+λαnEdQndPlndQndP, φn（λ）=λαnlnλαn-λαn+1。（64）让Kλ、 dQdP是（31）中要优化的函数。设置ξ：=NXn=1αnlnαn, φ（λ）=NXn=1φn（λ）=λξ+βλlnλ- λβ+N。然后从（64）我们推导出kλ、 dQdP= λNXn=1EQn【Xn】+A！+φ（λ）+NXn=1λαnEdQndPlndQndP. （65）设置u：=NXn=1αnE“dbQndPlndbQndP！#+A+NXn=1EbQn[Xn]。（66）来自（65）和（66）Kλ，dbQdP！=λu+λ（ξ+βln（λ）- β） +N。在λ中微分得到的相关一阶条件产生唯一解Bλ=ex p-u + ξβ可在K中替换·,dbQdP屈服Kbλ，dbQdP！=-bλβ+N。

（67）我们现在猜测通过（62）定义的测量向量Bq是最优的，并计算相关的u：u=NXn=1EbQn[Xn]+A+NXn=1αnE“dbQndPlndbQndP！#=A+hXj=1E”Xj公司dbQjdP#+hXj=1βjE“dbQjdPln经验值-Xjβj#+hXj=1βjEdbQjdPln进出口商品-Xjβj我.因此u=A-hXj=1βjlnE经验值-Xjβj（68）并将（67）替换为bλ的显式公式，我们得到kbλ，dbQdP！=-βexp-βA+ξ+hXj=1βjlnE经验值-Xjβj+ N（69）使用方程（32），我们确定，对于（62）中给出的度量，bYk=-Xk公司- v′nbλdbQdP！k=1，N通过（63）（λ=1）我们得到，对于k∈ Im，v′k（y）=αklnyαkandv′kbλdbQdP=αklnαk+αkln经验值-Xmβm-A+μβ进出口商品-Xmβm我=αklnαk-αkXmβm+A+μβ-αklnE经验值-Xmβm公式（68）=αklnαk-αkXmβm+A+ξβ+αkdm（X）。因此对于k∈ Imwe havebYk=-Xk+αkXmβm+A+ξβ- dm（X）-αklnαk.一个简单的计算yieldsbY∈ MΦ，Pk∈ImYk公司∈ R和pnn=1bYn=A，因此∈ 文学士∩ MΦ。MoreOver公司-Xk+bYk= 经验值-αkαkXmβm+A+ξβ- dm（X）-αklnαk=αkexp-Xmβm经验值-A+ξβexp（dm（X））=αkexp-Xmβm进出口商品-Xmβmiexp-A+ξβ经验值hXj=1βjβlnE经验值-Xjβj.因此xn=1Eh1- 经验值-αnXn+bYni=-NXn=1αnexp-βA+ξ+hXj=1βjlnE经验值-Xjβj+ NEq。（69）=Kbλ，dbQdP！（70）这意味着nxn=1EhunXn+bYni=Kbλ，dbQdP！。（71）总之，我们有kbλ，dbQdP！公式（71）=NXn=1EhunXn+bYnibY公司∈ 文学士∩MΦ≤苏比∈ 文学士∩MΦNXn=1E【un（Xn+Yn）】Thm。（4.5）=最小λ>0Q∈QvK公司λ、 dQdP≤ Kbλ，dbQdP！。因此，BY是（30）LHS中优化问题的（唯一）最优值，（bλ，bQ）是（31）中最小化问题的（唯一）最优值。此外，设置ban：=EbQn【bYn】，n=1，N、 分类器（正如alr eady所言，存在且唯一）由bQ，ba.备注5.2。

我们观察到，在上述证明的最后部分，我们还得到了最大系统效用的明确公式：supY∈ 文学士∩MΦNXn=1E【un（Xn+Yn）】Thm。（4.5）=Kbλ，dbQdP！（72）其中Kbλ，dbQdP在（70）中给出。5.2玩具示例在以下两个示例中，我们比较了X=0的最简单情况下的B¨uhlmann平衡和分类器：=（0，…，0）和A=0。在下面的公式中，我们使用众所周知的事实：supY∈L（Q）{E[un（Y）]| EQ[Y]≤ x} =1- e-αnx-H（Q，P），其中H（Q，P）=E【dqdplot（dQdP）】是Q的相对熵<< P例5.3（B–uhlmann平衡溶液）。当X：=0时，则xn=PNk=1Xk=0，因此在B–uhlmann中定义的最佳概率度量qxd为：dQXdP：=e-βXNEhe-βXNi=1，（73），即QX=P。取a=0=（0，…，0）。我们计算qxn（0）=UPn（0）：=sup{E[un（0+Y）]| EP[Y]≤ 0} = 1 - e-αn0-H（P，P）=1- 1=0，因为H（P，P）=0，所以nxn=1UPn（0）=0。因此，当un（0）=0时，每个n的最优解显然是YnX=0。结论：与X相关的B¨uhlmann平衡解：=0（且A=0）为偶（YX，QX）=（0，P）。这里，向量a先验地等于（0，…，0）。示例5.4（分拣机）。从定理5.1中，X：=0，A=0，我们得到：最优概率测度bq再次与P一致；最优比为：bYn=αn[ln（αn）- ER[ln（α）]：=禁止。（74）回顾BQ实际上是优化问题π（0）的一个极大极小测度（参见定理4.12的证明），我们可以说SP（0）=SbQ（a）引理。4.16=π（0）（70），（72）=N- βe-ξβ（75）注意，如果αn等于所有n，则SP（0）=0，但通常p（0）=n- βe-ξβ≥ 的确，Jens-en不等式：e-ξβ=eER[ln（α）]≤ ER[eln（α）]=ER[α]：=NXn=1αnαnPNk=1αk=nβ。从（74）中，我们推断，所有n的αnare等式当且仅当所有n的ban=0，但通常情况下，ban可能与0不同。

当byn=ban时，最优解by也是如此。当ban<0时，就会违反个人理性。结论：与X=0（且A=0）相关的分类溶液是三重态（bY，P，ba），其中=ba在方程（74）中赋值。上述比较表明，即使X=0且a=0，分拣机也不是B–uhlmann平衡。当αnare都相等时，B¨uhlmann和SORTE解重合，假设所有代理都具有相同的风险厌恶。备注5.5。在本例中，请注意，我们可以通过| Yn |控制分拣机中agentn的风险分担组件Ynof≤αmin【ln（αmax）】- ln（αmin）]。假设tαmin<αmax，并考虑表达式forbYn=banin（74）。如果αj=αminthen the corres pondingbYj<0，则绝对值相对较大（除以αmin），而如果αk=αmaxthecorres pondingbYk>0，则绝对值相对较小（除以αmax）。5.3对重量和稳定性的依赖性我们现在提供了对重量依赖性的详细研究，如Remark1.3所述，在指数情况下。给定γn∈ (0, +∞), n=1，N和u，不令人满意的假设3.10（a），我们记得uγn（x）：=γnun（x），n=1，我们用vγN（·）表示它们的凸共轭。这些函数uγn满足假设3.10（a）。在我们的指数设置和截短闭合情况下，不同的权重只会导致分拣机在初始和最终时间的分配转换，而不会影响最佳度量：建议n 5.6。考虑u，（61）中给出了UNA，并取相关的uγ，uγNas以上。假设B满足假设3.10（B），并在截断下闭合。呼叫bQ，ba与u关联的唯一分类器，联合国，以及类似定义通过γ、bQγ、baγ作为与uγ相关的唯一分类器，uγN.然后bYkγ=bYk+gk（γ）k=1，NdbQkγdP=dbQkdPk=1。

，Nbakγ=bak+gk（γ）k=1，Nwheregk（γ）：=αkPNn=1αnlnγnPNn=1αn-αklnγk=αk（ln（γn）- ER[ln（γ）]）k=1，N证据对于一般的集合B，我们这里只提供一个证明的草图。使用公式v，vN，在一些计算之后，可以显式地编写minimax表达式（31）。然后使用梯度公式（32）推导（76）。一个更直接的证明，仅适用于例3.17中描述的m的集合B，基于uγn（x）：=γnun（x）=γn的观察结果- γnexp(-αnx）=γn- 经验值-αnx个-αnln（γn）.因此通过γ、bQγ、baγ可以通过解的简单计算得到bQ，ba,这在定理m5.1中明确给出，使用Xn-αnln（γn），n=1，N代替X。A附录A。1 Orlicz空间和效用函数我们考虑在Orlicz空间上定义的效用最大化问题，有关Orlicz空间的更多详细信息，请参见[36]。这有很多优点。从数学的角度来看，它比L更一般∞, 但同时它简化了分析，因为拓扑旋转顺序是连续的，并且对偶空间中没有奇异元素。此外，在[9]中已经表明，Orlic z设置是嵌入效用最大化问题的自然设置，正如自然可积条件E[u（X）]>-∞ 由E[φ（X）]<+∞.让u：R→ 满足limx的凹增函数→-∞u（x）x=+∞. 考虑φ（x）：=-u型(- |x |）+u（0）。然后φ：R→ [0, +∞) 是一个严格的Young函数，即它在R上是有限值、偶数和凸的，φ（0）=0且limx→+∞φ（x）x=+∞. Orlicz空间Lφ和OrliczHeart Mφ分别由Lφ定义：=十、∈ L（R）| E[φ（αX）]<+∞ 对于某些α>0, （76）Mφ：=十、∈ L（R）| E[φ（αX）]<+∞ 对于所有α>0, （77）当赋予Luxemburg范数时，它们是Banach空间。

mφ的上逻辑对偶是Orlicz s空间Lφ*, 其中凸共轭φ*φ的，由φ定义*（y） ：=supx∈R{xy- φ（x）}，y∈ R、 也是一个严格的Young函数。注意e[u（X）]>-∞ 如果E[φ（X）]<+∞. （78）备注A.1。众所周知，我∞（P；R） Mφ Lφ L（P；R）。此外，来自Offentchel不等式xy≤ φ（x）+φ*（y） 我们得到（α| X |）λdQdP≤ φ（α| X |）+φ*λdQdP对于某些概率测度Q<< 我们立即推断出dqdp∈ Lφ*表示LφL（Q；R）。给定效用函数u，···，uN:R→ R、 满足上述条件，利用关联的杨氏函数φ，····，φN，我们定义Φ：=Mφ×····×MφN，LΦ：=Lφ×····×LφN.（79）A.2辅助结果引理A.2。让v：[0+∞) → R∪ {+∞} 是一个凸函数，假设其限制为（0+∞) 具有实际价值和可区分性。让Q<< P是给定的概率测度λdQdP∈ L（P）表示所有λ>0。然后，在（0+∞) 和实值，可扩展到[0+∞) 通过使用limx→0v′（x）∈R∪ {- ∞}. 此外，dQdPv′λdQdP∈ L（P）表示所有λ>0.2。如果g是这样的，那么g+g∈ L∞+（P），然后是vgdQdP∈ L（P）。3、如果v′（0+）=-∞, v′(+∞) = +∞ v是严格凸F（γ）：=EhdQdPv′γdQdPiis在（0+∞) 和R.Proof。引理2/8。以下对偶表示成立：定理A.3。让我们，联合国：R→ R是严格的增函数和凹函数。让C MΦ是一个凸锥，对于每个i，j=1，N、 ei公司- ej公司∈ C、 用C表示双对数（MΦ，LΦ）中圆锥体C的极性*)C：=Z∈ LΦ*s、 t.NXj=1EYjZj公司≤ 0 Y∈ C.SetC：=Z∈ 反恐精英。t、 E类Z= · · · = E锌= 1., （C） +：=Z∈ 反恐精英。t。

Zj公司≥ 0表示所有j假设是这样∈ CNXj=1Euj公司Xj+Yj< +∞ 十、∈ MΦ。ThensupY公司∈ CNXj=1Euj公司Xj+Yj= 最小λ∈R+，Q∈（C）+λNXj=1EXjdQjdP+NXj=1Evj公司λdQjdP.如果上述两个表达式中的任何一个严格小于Pnj=1uj(+∞), thensupY公司∈ CNXj=1Euj公司Xj+Yj= 最小λ∈R++，Q∈（C）+λNXj=1EXjdQjdP+NXj=1Evj公司λdQjdP.证据遵守第一个t X 7→ ρ（X）：=- 苏比∈ CPNj=1Euj公司Xj+Yj是Fr'echet晶格MΦ上的非递增、单位值、凸泛函。只有凸性是不明显的：要显示它，请考虑X，Z∈ MΦ和Y，W∈ C、 对于任何0≤ λ ≤ 1，我们有凹度λNXj=1Euj公司Xj+Yj+ (1 - λ） NXj=1Euj公司Zj+Wj≤NXj=1Euj公司λ（Xj+Yj）+（1- λ） （Zj+Wj）=NXj=1Euj公司λXj+（1- λ） Zj公司+λYj+（1- λ） Wj公司≤ -ρ（λX+（1- λ） Z）为λY+（1- λ） W∈ C、 从而取得了Y，W的最高权力∈ C我们得到λ(-ρ（X））+（1- λ)(-ρ（Z））≤ -ρ（λX+（1- λ） Z）。现在可以应用扩展的Namioka-Klee定理（见[10]Theo-rem A.3），我们得到ρ（X）=max0≤Z∈LΦ*NXj=1EPXj公司(-Zj）- α（Z）,其中α（Z）：=supX∈MΦNXj=1EPXj公司(-Zj）- ρ（X）= supX公司∈MΦNXj=1EPXj公司(-Zj）+ 苏比∈ CNXj=1Euj公司Xj+Yj= 苏比∈ CsupX公司∈MΦNXj=1EPXj公司(-Zj）+NXj=1Euj公司Xj+Yj= 苏比∈ CNXj=1EPYj（Zj）+ 苏普∈MΦNXj=1EPWj公司(-Zj）+NXj=1Euj公司Wj公司. （80）现在注意-U（z）：=PNj=1-uj（zj）表示z∈ 定义了一个连续的、凸的、性质函数，其Fenchel变换形式为(-U）*（w） ：=supz∈RN（hz，wi- (-U（z））=supz∈RN（hz，wi+U（z））=supz∈RN（U（z）- 赫兹，-wi）=NXj=1vj(-wj）。现在，我们在[37]第53 4页应用推论，L=MΦ，L*= LΦ*, F（x）=-U（x）来查看SUPW∈MΦNXj=1EPWj公司(-Zj）+NXj=1Euj公司Wj公司= EP公司NXj=1vj（Zj）将其替换为（80），我们得到：α（Z）=supY∈ CNXj=1EPYjZj公司+ EP公司NXj=1vj（Zj）.现在观察有两种可能性：oZ∈ C、 在这种情况下，α（Z）=EPhPNj=1vj（Zj）等于0∈ Co或α（Z）=+∞, 自v起。

，Vn从下面开始限定。因此- 苏比∈ CNXj=1Euj公司Xj+Yj= 最大值0≤Z∈LΦ*NXj=1EPXj公司(-Zj）- α（Z）= 最大值0≤Z∈C-NXj=1EPXjZj公司+ EP公司NXj=1vj（Zj）= - 最小0≤Z∈CNXj=1EPXjZj公司+ EP公司NXj=1vj（Zj）. （81）此外，因为对于e非常i，j=1，N ei- ej公司∈ 我们可以像emma4.1中那样进行论证，从而推断出∩ （L+）N=R+·（C）+。将其替换为表达式（81）we getsupY∈ CNXj=1Euj公司Xj+Yj= 最小λ∈R+，Q∈（C）+λNXj=1EXjdQjdP+NXj=1Evj公司λdQjdP.为了证明最后一个说法，观察到如果右手边的最佳λ为0，我们将有SUP∈ CNXj=1Euj公司Xj+Yj=NXj=1vj（0）=NXj=1uj(+∞),这与我们的假设相矛盾。定理A.4。让你，不满足假设3.10。让K MΦ是一个凸锥，对于所有i，j∈ {1，…，N}ei- ej公司∈ K并假设Qev6=, 其中QEV：=Q~ P | dQjdP∈ LΦ*j、 E类vj公司dQjdP< +∞,NXj=1EQj千焦≤ 0k∈ K LΦ*.然后用clQ（…）表示L中的闭包Q×···×LQN公司关于标准kXkQ：=PNj=1Xj公司L（Qj）我们有∈QevclQ公司K- L+（Q）=W∈\\Q∈QevL（Q）| NXj=1EQjWj公司≤ 0 Q∈ Qev公司.证据我们修改了[8]定理4中的过程。夹杂物（LHS RHS）可以直接检查。相反方向（RHS LHS），假设我们有一个k∈ RHS和a Q∈ Qevwithk公司/∈ clQ公司K- L+（Q）, 那是k/∈ 左侧。我们强调，通过构造nxj=1EQj千焦≤ 0Q∈ Qev。（82）在双重系统中L（Q），L∞（Q）设置clQK- L+（Q）是凸的且σL（Q），L∞（Q）-通过lattertopology和norm topology的兼容性关闭。因此，我们可以利用Hahn-Ba-nach分离定理得到aclassbξ∈ L∞（Q） 0=supW时∈（K）-L+（Q））NXj=1EbξjWjdQjdP<NXj=1EbξjkjdQjdP. （83）我们现在以组件方式工作。首先，请注意[-1bξj<0]Nj=1∈ 0- L∞+（Q） K- L+（Q），因此bξj≥ 每j=1，…，0 Qj-a.s，N、 HencebξjdQjdP≥ 每j=1，…，0 P-a.s，N、 此外，因为我∈ { 1, . . .

，N}ei- ej公司∈ K、 我们有bξdQdP= · · · = EbξNdQNdP. （84）因此，对于每j=1，NPbξjdQjdP>0> 0因为如果不是这样，方程（84）中的所有项都将为空，这将使bξdQdP=···=bξNdQNdP=0，这与（83）相矛盾。因此，vectordQjdP：=EhbξjdQjdPibξjdQjdPis很好地定义并确定了概率测度向量[Q，…，QN]。我们有三个<< P、 dQjdP∈ LΦ*j、 根据方程式（83），将其与（84）supW结合起来∈KNXj=1E“WjdQjdP#≤ 0<NXj=1E“kjdQjdP#。（85）如果我们可以证明Q∈ Qev，我们会得到一个与（82）相矛盾的结果。但这不一定是真的，因为我们不能保证Q，QN公司~ P作为Q∈ Qev，我们有Q~ 对于Qabove，我们有Q<< Q、 dQkdQk∈ L∞（Qk）=L∞（P）。取λ∈ （0，1），并通过dqkλdP确定Qλ：=λdQkdP+（1- λ） dQkdP。我们现在证明t Qλ∈ Qev。很容易检查tha t0<λ≤dQkλdQk≤ (1 - λ） dQkdQk+λ，所以Lemma。2.2. g=gk：=dQkλdQk，以及EhvkdQkdPi<+∞  k=1，N（Q∈ Qevby施工），yieldsEvk公司dQkλdP= Evk公司dQkλdQkdQkdP= Evk公司gkdQkdP< +∞,  k∈ {1，…，N}，λ∈ （0，1）.此外，Q∈ Qevandλ>0意味着Qkλ~ P对于所有k=1，N、 这与方程（85）一起，yieldsNXj=1E“WjdQjλdP#≤ 0W∈ K λ ∈ （0，1）。我们可以得出以下结论：Qλ∈ Qev，λ ∈ （0，1）.同时NXj=1E“kjdQjλdP#=λNXj=1EkjdQjdP+ (1 - λ） NXj=1E“kjdQjdP#---→λ→0NXj=1E“kjdQjdP#公式（85）>0，这与公式（82）相矛盾。我们得出结论，RHS 左侧。参考文献【1】B.Acciaio。具有非单调货币泛函的最优风险分担。《金融与随机》，11（2）：267–289。，2007年【2】V.V.Acharia、L.H.Pedersen、T.Philippon和M.Richardson。衡量系统性风险。《金融研究回顾》，30（1）：2–47，20 17。[3] Y.Armenti、S.Crepey、S.ape au博士和A.Papapantoleon。

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