无鞅测度定价 - 外文文献专区

2022-6-10 06:48:49

不含鞅计量的定价朱利安·巴蒂斯特、劳伦斯·卡拉索斯、艾曼纽尔·伊皮内特、1,3巴黎多芬大学、巴黎研究大学、塞雷梅德、法国北爱尔兰共和国、UMR、杜马·德拉特雷·德塔西尼广场，法国巴黎塞德斯16号，邮编75775。电子邮件：baptiste@ceremade.dauphine.fr，emmanuel。lepinette@ceremade.dauphine.frL法国兰斯香槟大学阿尔登分校研究中心，92 916 Paris La D’efense，Franceand LMR，eonard de Vinci P^ole Universitaire，研究中心，FranceEmail:laurence。carassus@devinci.frGosaef，突尼斯科学学院，2092 Manar II Tunis，Tunis。摘要：几十年来，无套利（NA）条件和可套利测度在金融资产定价理论中发挥了重要作用。我们提出了一种基于凸对偶而非鞅测度对偶估计超复制成本的新方法：我们的价格将使用芬切尔共轭和双共轭来表示。超级套期保值问题内在地导致了一种称为无即时收益（AIP）的NA弱条件。我们提出了AIP的几个特征，并研究了它们与无套利的经典概念之间的关系。我们也给出了一些有希望的数值澄清。关键词和短语：金融市场模型，超级套期保值价格，无套利条件，条件支持，本质上确界。2000 MSC:60G44，G11-G13.1。金融资产G的公允价格问题是经济和金融理论的核心。销售价格应该是一个足以启动G对冲策略的金额，即到期价值始终高于G的策略。要求该金额的上限似乎也是很自然的。这就是所谓的超级复制价格，它是由[7]在交易成本的二项式设置中产生的。

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2022-6-10 06:48:52

描述和计算超级复制价格已成为数学金融理论的核心问题之一。到目前为止，它与无套利（NA）条件密切相关。该条件断言，从零财富开始，不可能达到正财富（几乎为非负/2严格正，概率测度为正）。描述NA条件，或者更一般地说，无免费午餐条件，可以得出资产定价的基本定理（简称FTAP）。该定理证明了不存在套利条件与存在等价风险中性概率测度（也称为partingale测度或定价测度）之间的等价性，这些测度是等价概率测度，在此概率测度下（贴现）资产价格过程是鞅。这一点最初在【13】、【14】和【20】中正式化，而在【10】中，FTAP是在NA条件下的一般离散时间设置中制定的。关于这一主题的文献非常多，我们参考了[11]和[17]来了解一般概况。在NA条件下，G的超级复制价格等于在风险中性概率测度下计算的G的（折扣）期望的上确界。这就是所谓的超复制价格或超边缘定理的对偶公式。我们参考了[29]和[12]以及其中的参考文献。在本文中，超套期保值或超复制价格是某些超套期保值策略的初始值。

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2022-6-10 06:48:55

我们不对金融市场进行任何假设，并从头开始分析超级套期保值价格及其上限值，即所谓的上限超级套期保值成本。在温和的假设条件下，我们证明了一步超级混合价格集可以用芬切尔-勒让德共轭表示，而数量上的超级复制成本是由芬切尔-勒让德双共轭得到的。因此，我们在这里使用凸对偶，而不是通常的基于NA条件下鞅测度的财务对偶。为此，我们使用了条件本质上确界的概念。利用可测量的选择技术，我们证明了Y函数的条件本质上确界等于在随机集上计算的函数的通常上确界，即Y的条件支持（见命题2.9）。我们获得的定价公式（见（2.13））表明，如果初始股票价格y不属于y期末股票价值条件支持的凸包，则超级套期保值成本等于-∞. 为了排除这种可能性，我们假设不存在即时利润（AIP）的情况。AIP是定价的内生条件，实际上非常弱：如果初始信息微不足道，则一段时间的即时收益是一种从0开始的策略，并在时间1导致确定性严格正收益。我们提出了AIP条件的几个特征。特别是，我们证明了AIP等价于任何固定看涨期权的超级混合价格的非负性。我们还详细讨论了AIP/3与其他无套利条件之间的联系，如第一类和第二类无套利、无风险套利[15]和无无界利润（有界风险[19]）。所有这些条件都不等同于AIP，最差的是无风险套利。

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大多数88

2022-6-10 06:48:59

在AIP条件下，我们表明，相对于条件支持的凸面包络，一步最小超套期保值成本是支付的凹面包络。芬切尔传奇性（Fenchel Legendreduality）已经被用于获得超级复制价格的双重表示，这要归功于定义（见[24，示例4.2]和[25，定理10和推论15]）。在[25，定理10]中，结果是在假设可以从0超复制的声明集是闭合的情况下显示的，这在NA下成立。我们的方法有所不同，因为我们没有对市场做出任何假设，实际上，我们也没有寻求（最小）超级对冲价格的双重表示。然后，我们考虑多期框架。我们证明了全局极限条件和局部极限条件是等价的。我们研究了NAIP、NA与不存在弱即时利益（AWIP）条件之间的联系。我们证明了AIP条件是最弱的，我们还提供了AIP与AWIP条件等价的条件，以及通过绝对连续鞅测度刻画的条件。然后，我们将重点放在一个特定但仍然是一般的设置上，在这里，我们提出了一个计算对流期权超级套期保值价格的草书方案。我们得到了与[8]和[9]中相同的计算方案，但此处仅通过假设AIP而不是更强的NA条件来获得。我们也给出了一些数值例子。我们将法国指数CAC 40的历史数据校准到我们的模型中，并实施看涨期权的超级对冲策略。我们的程序某种程度上是无模型的，因为它只基于统计估计。本文的组织结构如下。在第2节中，我们研究了单周期框架，而在第3节中，我们研究了多周期框架。

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2022-6-10 06:49:01

第4节提出了凸payoff的显式定价和数值实验。在本简介的剩余部分中，我们将介绍我们的框架和符号。让(Ohm, （Ft）t∈{0，…，T}FT，P）是一个完整的过滤概率空间，其中T是时间范围。对于任意σ-代数H和任意k≥ 1，我们用L（Rk，H）表示H-可测和Rk值随机变量集。我们考虑一个非负过程S：={St，t∈ {0，…，T}，}这样∈ L（Rd，Ft）代表所有t∈ {0，…，T}。向量图显示了所考虑金融市场中风险资产的价格。交易策略由一个过程θ给出：={θt，t∈ {0，…，T- 1} ，}使得/4θt∈ L（Rd，Ft）表示所有t∈ {0，…，T- 1},. 向量θt表示投资者在时间t和时间t+1之间持有的d风险资产。我们假设交易是自我融资的，无风险资产的价格恒定等于1。从初始资本x开始的投资组合θ在时间t的值∈ R由vx给出，θt=x+tXu=1θu-1.苏，哪里Su=Su- 苏-1适用于u≥ 1和xy是x和y的标量积。单周期框架集H和F是F的两个完全次σ-代数 Fand分别表示初始和最终信息。莱蒂∈ L（Rd，H）和Y∈ L（Rd，F）是两个非负态变量。它们代表d风险资产的初始和最终价格。最后，我们介绍g：Ohm ×R→ R和相关导数g（Y），其中g（Y）：ω→ g（Y）（ω）=g（ω，Y（ω））。本节的目的是在适当的假设下，获得P（g）的特征、g（Y）的一步超级对冲（或超级复制）价格及其最大值。该设置将在第3节中使用选项H=Ft、F=Ft+1、Y=St+1和Y=St定义2.1。

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2022-6-10 06:49:04

或有索赔（Y）的超级套期保值价格集P（g）由超级套期保值策略的初始值θ：P（g）={x组成∈ L（R，H）， θ ∈ L（Rd，H），x+θ（Y- y）≥ g（Y）a.s.}。g（Y）的最大超级套期保值成本由p（g）：=ess infHP（g）确定。本研究的核心是有条件的基本ess的概念，将在下面的第2.5部分中定义。我们还将使用Y Suphy的有条件支持，该支持在下面的定义2.2中介绍。在第2.2节中，我们从以下步骤推导出P（g）和P（g）的特征：为了便于记法，我们假设y（ω）≥ 0和Y（ω）≥ 所有ω为0∈ Ohm./ 观察超级套期保值价格集可以使用传统的基本上确界重写（见（2.8））。证明在温和条件下，Y函数的条件本质上确界等于随机集suppHY上计算的函数的通常上确界（见命题2.9）。3、认识到超级套期保值价格可以使用芬切勒让德共轭来书写（见（2.9））。4、掌握超级套期保值价格集的基本知识，并完成三个第一步，以确认Fenchel Legendre biconjugate（见（2.11））。使用经典的凸双共轭定理（见（2.12）和命题2.15）来评估最小超级套期保值成本。有了这一定价公式（见（2.13）），即时利润（AIP）缺失的条件似乎是内生的。在第2.3节中，我们发展了AIP的概念，提出了AIP条件的几个特征，并将其与经典的无套利NA条件进行了比较。2.1. 有条件的支持和有条件的必要性本节是本文的工具箱。我们回顾了一些结果和符号，这些结果和符号将在本文其余部分中使用，无需进一步参考。莱思：Ohm ×Rd→ R

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2022-6-10 06:49:07

h（ω，·）的有效域由dom h（ω，·）定义：={x∈ Rd，h（ω，x）<∞}如果dom h（ω，·）6= h（ω，x）>-∞ 对于所有x∈ Rd.接下来，如果h是h-正规被积函数（参见[28]中的定义14.27），则h为 B（Rd）-可测量且在x中是下半连续的（l.s.c.在后文中，请参见[28，定义1.5]），如果H对于某些度量是完整的，则反之成立，请参见[28，推论14.34]。注意，如果Z∈ L（Rd，H）和他的H B（Rd）-可测量，然后是h（Z）∈ L（Rd，H）。随机集K：Ohm Rdis表示，对于Rd的所有开集O，子集{ω∈ Ohm, O∩ K（ω）6=} ∈ H、如果K是Rd的H-可测闭值随机集，则K允许Castaing表示（ηn）n∈N（见[28]中的定理14.5）。这意味着K（ω）=cl{ηn（ω），n∈ N} 对于所有ω∈ dom K={ω∈ Ohm, K（ω）∩ Rd6=}, 在Rd中取闭包。首先，我们引入X的条件支持∈ L（Rd，F）与H/6定义2.2有关。设u为H-随机核（即所有ω∈ Ohm, u（·，ω）是B（Rd）上的概率，u（A，·）是H-可测量的所有A∈ B（Rd））。我们确定随机集Du：Ohm Rdby:Du（ω）：=\\A. Rd，闭合，u（A，ω）=1. （2.1）对于ω∈ Ohm, Du（ω） Rdis称为u（·，ω）的支持。让X∈ L（Rd，F），当u（A，ω）=P（X）时，我们用suppHX表示（2.1）中定义的集合∈ A | H）（ω）是Xknowing H的条件定律的正则版本。随机集suppHX被称为x相对于H的条件支持。备注2.3。当H是平凡的sigma代数时，suppHX只是X的通常支持（参见[1]的p441）。[1]的定理12.7和12.14表明p（X∈ .|H）提供独特的支持支持 Rd使得我们有p（X∈ suppHX | H）=1 a.s.即suppHX为a.s.非空。为简单起见，我们假设Y（ω）∈ 所有ω的suppHY（ω）∈ Ohm.此外，作为0≤ Y<∞, Dom供应=Ohm.引理2.4。

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2022-6-10 06:49:10

Du是非空、闭值、H-可测和图可测随机集（即图（Du））∈ H B（Rd））。证据从（2.1）中可以清楚地看出，对于所有ω∈ Ohm, Du（ω）是Rd的一个非空闭子集。我们证明Du是H-可测的。设O是Rd中的固定开集，uO：ω∈ Ohm 7.→ uO（ω）：=u（O，ω）。由于u是一个离散的内核，所以uOis是可测量的。通过定义Du（ω），我们得到{ω∈ Ohm, Du（ω）∩ O 6=} = {ω ∈ Ohm, uO（ω）>0}∈ H、 Du是可测量的。现在使用[28]的定理14.8，图（Du）∈ HB（Rd）（重新定义Du为闭值），Du为H图可测。2可以将可测量性纳入基本上确界的定义中（关于经典基本上确界的定义和存在性证明，请参见[17，第5.3.1节”）。[3]针对单实值随机变量，以及[18]针对向量值随机变量族和随机偏序（见[18，定义3.1和引理3.9]）。命题2.5的提出和证明是为了完整性和教学目的。作者感谢T.Jeulin提出了这个（优雅的）证据。提案2.5。让H F是概率空间上的两个σ-代数。设Γ=（γi）i∈Ibe实值F-可测随机变量族。存在唯一的H-可测随机变量γH∈ L（R∪{∞}, H）表示满足以下特性的DESS supHΓ：1。每一个我∈ 一、 γH≥ γia。s、 2。如果ζ∈ L（R∪ {∞}, H）满意度ζ≥ γia。s我∈ 一、然后ζ≥ γHa。s、条件本质信息对称定义。证据考虑到同胚arctan，我们可以将我们的自我限制为[0，1]中的γitaking值。我们用Pγi | Ha表示γi已知H.Letζ的条件allw的正则版本∈ L（R∪ {∞}, H）使ζ≥ γia。s我∈ 一、这相当于PγI | H（]- ∞, x] ）| x=ζ=1 a.s.和suppHγi] - ∞, ζ] a.s.遵循定义2.2。

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2022-6-10 06:49:13

设∧γi | H=sup{x∈ [0，1]，x∈ 补充γi}。（2.2）然后∧γi | H≤ ζa.s.，很容易看出∧γi | His H-可测。利用经典的本质上确界，我们得到ess supi∧γi | H≤ ζa.s.和ess supi∧γi | His H-可测。我们得出结论，γH=ess supi∧γi | Ha。s、因为每一个我∈ 一、 P（γI∈ suppHγi | H）=1（见备注2.3）。2标记2.6。设Q是关于P的绝对连续概率测度。设Z=dQ/dP，eqq是Q下的期望值∈ 一、 ess supHΓ≥ γia。s、 ess supHΓ是H-可测的，ess supHΓ≥E（Zγi | H）E（Z | H）=等式（γi | H）。（2.3）受[3]中定理2.8的启发，我们可以很容易地展示以下tower定律性质。引理2.7。让H H F是σ-代数，letΓ=（γi）i∈Ibe是实值F-可测随机变量族。然后，ess supHess supHΓ= ess supHΓ。引理2.8。假设d=1，考虑X∈ L（R+，F）。那么，我们有一个a.s.，即ess infHX=inf suppHX，ess supHX=sup suppHX，ess infHX∈ suppHX，在集合{ess infHX>-∞},ess supHX公司∈ suppHX，在集合{ess supHX<∞},convsuppHX=[ess infHX，ess supHX]∩ R、（2.4）/8其中convsuppHX是suppHX的凸面包络，即包含suppHX的最小凸面集。证据前两项陈述源自ess supHXin提案2.5的构建（见（2.2））。假设ess infHX/∈ 某些非空测度子集∧上的suppHX∈ H of{ess infHX>-∞}. 由于suppHX是H可测且闭值的，通过一个可测的选择参数，我们推导出r的存在性∈ L（R+，H），使得R>0和（ess infHX-r、 ess infHX+r） R\\suppHX on∧。作为X∈ suppHX a.s.（见备注2.3）和X≥ 根据infHX a.s.，我们推断≥ ess infHX+r在∧上，这与ess infHX的定义相矛盾。下一条语句类似地显示出来，最后一条语句紧跟其后。2以下命题是本文的主要内容之一。它扩展了ess supHX=supx这一事实∈供应XX a.s。

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2022-6-10 06:49:16

（见（2.2）），并允许将条件本质上确界计算为随机集上的经典上确界。提案2.9。让X∈ L（Rd，F）使得dom suppHX=Ohm 和leth：Ohm ×Rd→ R为H B（Rd）-x中的l.s.c.可测函数。然后，ess supHh（x）=supx∈补充xh（x）a.s.（2.5）该命题有以下简单的扩展。证据被推迟到附录中。推论2.10。让X L（Rd，F）使得dom suppHX=Ohm 对于allX∈ X和∪十、∈XsuppHX是一个H-可测闭值随机集。设h：Ohm ×Rd→ R为H B（Rd）-在x中为l.s.c.的可测函数。然后，ess supH{h（x），x∈ X}=supx∈∪十、∈XsuppHXh（x）a.s.（2.6）注意，如果x是可数的，∪十、∈XsuppHX显然是H-可测量的。如果x=L（Rd，F），则∪十、∈XsuppHX=Rd，这也是H-可测的，也是闭值的。命题2.9的证明基于以下两个有用的引理。/9引理2.11。让K：Ohm Rdbe是一个H-可测闭值随机集，使得dom K=Ohm 让h：Ohm ×Rd→ R在x中为l.s.c.然后，supx∈Kh（x）=supn∈Nh（ηn），（2.7），其中（ηn）n∈Nis是K.Proof的Castaing表示。Letω∈ Ohm. As（ηn（ω））n∈N K（ω），h（ω，ηn（ω））≤ supx公司∈K（ω）h（ω，x）和supnh（ηn）≤ supx公司∈Kh（x）。让x∈ K（ω）=cl{ηn（ω），n∈ N} ，由hh（ω，x）的下半连续性≤ lim infnh（ω，ηn（ω））≤ supnh（ω，ηn（ω））。我们得出结论，supx∈Kh（x）≤ 证明了supnh（ηn）和（2.7）。2Lemma 2.12。让K：Ohm Rdbe是一个H-可测闭值随机集，使得dom K=Ohm 让h：Ohm×Rk×Rd→ R为HB（Rk）B（Rd）可测函数，使得h（ω，x，·）是所有（ω，x）的l.s.c∈ Ohm ×Rk。然后（ω，x）∈ Ohm ×Rk7→ s（ω，x）=supz∈K（ω）h（ω，x，z）是h B（Rk）-可测量。证据引理2.11表示s（ω，x）=supnh（ω，x，ηn（ω）），其中（ηn）n∈Nis是K的Castaing表示。

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2022-6-10 06:49:19

这意味着对于任何固定的c∈ R{（ω，x）∈ Ohm ×Rd，s（ω，x）≤ c} =\\n{（ω，x）∈ Ohm ×Rd，h（ω，x，ηn（ω））≤ c} 。因为h是h B（Rk） B（Rd）-可测和ηnis H-可测，（ω，x）7→h（ω，x，ηn（ω））是h B（Rk）-可测量，命题2.9的s.2Proof也是如此。作为P（X∈ suppHX | H）=1（见备注2.3）我们有该supx∈suppHXh（x）≥ h（X）a.s.和ess supHh（X）的定义意味着supx∈suppHXh（x）≥ ess supHh（X）自supx以来每年∈补充引理2.4和2.12可测量的xh（x）isH。Let（γn）n∈Nbe suppHX的Castaing表示。引理2.11意味着supx∈suphxh（x）=supnh（γn）。固定一些有理数ε>0，设置zε=1B（γn，ε）（X），其中B（γn，ε）是中心γ和半径ε的闭合球。注意E（Zε| H）=P（X∈ B（γn，ε）| H）>0。事实上，如果它不保持trueP（X∈ 在某些H上，Rd\\B（γn，ε）| H）=1∈ H使得P（H）>0，根据定义2.2，suppHX H上的Rd\\B（γn，ε），与γn相矛盾∈ 供应商。通过对本质上确界的定义，我们得到了ess supHh（X）≥ h（X）/10a。s、 ess supHh（X）是H-可测的。这意味着所有固定ω∈ Ohmε、在哪里Ohmε为全量，即supHh（X）（ω）≥E（Zεh（X）| h）E（Zε| h）（ω）=RB（γn（ω），ε）（X）h（ω，X）PX | h（dx；ω）E（Zε| h）（ω）≥Rinfy公司∈B（γn（ω），ε）h（ω，y）B（γn（ω），ε）（x）PX | H（dx；ω）E（Zε| H）（ω）≥ infy公司∈B（γn（ω），ε）h（ω，y）。由于h是l.s.c.（回想一下[28，定义1.5，方程式1（2）]，我们得到了thatlimε→0通知∈B（γn，ε）h（y）=lim infx→γnh（x）=h（γn）。所以在全度量集上∩ε∈Q、 ε>0Ohme、 ess supHh（X）≥ h（γn）。把这个supremum覆盖所有n，我们得到了这个supHh（X）≥ supnh（γn）=supx∈suppHXh（x）≥ ess supHh（X）a.s.2.2。Fenchel Legendre conjugate和bi conjugate to expresssuper复制价格和成本我们现在可以执行本节开头宣布的计划的第1点到第4点。提案2.13。P（g）=ess supH（g（Y）- θY）+θY，θ∈ L（Rd，H）+ L（R+，H）。（2.8）假设g是H-正规被积函数。

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可人4

2022-6-10 06:49:22

那么，对于θ∈ L（Rd，H），we gethatess supH（g（Y）- θY）=supz∈供应（g（z）- θz）=f*(-θ） a.s.（2.9），其中f*是f i.e.f的Fenchel-Legendre共轭*（ω，x）=supz∈Rd（xz- f（ω，z））f（ω，z）=-g（ω，z）+δsuppHY（ω，z），（2.10）/11其中，如果z，δC（ω，z）=0∈ C（ω）和+∞ 其他的此外，我们还有p（g）=-f**（y） a.s.（2.11），其中f**是f i.e.f的Fenchel Legendre双共轭**（ω，x）=supz∈Rd（xz- f*（ω，z））。请注意，最大超级套期保值成本不是先验价格，即P（g）的一个元素，因为后者可能是开放区间。备注2.14。芬切尔-勒让德对偶在金融数学中已经被多次使用。尤其是，Pennanen获得了超级复制价格的双重表示，这要归功于定义（见[24，示例4.2]和[25，定理10和推论15]）。[25，定理10]的证明也是基于凸双共轭定理，但结果是在假设可以从0超复制的权利要求集R（见（2.15））是闭合的情况下显示的，这在无套利条件下成立。在文献[26]中，通过动态规划，在不依赖inf紧性的线性条件下，证明了一般随机优化问题中对偶间隙的存在与否。经典数学金融问题中的这一条件相当于无套利条件（见[26，示例1]）。我们的方法有所不同，因为我们没有对市场做出任何假设，我们从双共轭表示中推断出市场应该满足的条件。特别是，目标并不是由于偏差或鞅度量而获得双重表示。证据

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2022-6-10 06:49:25

作为x∈ P（g）当且仅当存在θ∈ L（Rd，H）使x- θy≥ g（Y）- θY a.s.，我们通过对（2.8）成立的条件本质上限的定义（见命题2.5）得出结论。然后（2.9）来自命题2.9。引理2.4将生效。首先，它意味着δsuppHYisH B（Rd）-可测量和l.s.c.因为dom f=suppHY为非空（见备注2.3）f*（ω，·）是凸的，l.s.c.作为a ffne函数的上确界。因此x 7→ f*(ω, -x）也是l.s.c.和凸面。此外，使用引理2.12，f*（ω，x）=supz∈suphy（ω）（xz+g（ω，z））是H B（Rd）-可测量。我们得到/12 a.s.p（g）=ess infH{f*(-θ） +θy，θ∈ L（Rd，H）}=-ess supH{θy- f*(θ), θ ∈ L（Rd，H）}=- supz公司∈Rd（zy- f*（z））=-f**（y）。第一个等式是（2.8）的直接结果，第二个等式微不足道。我们证明了第三个。首先，注意ess supH{θy- f*(θ), θ ∈ L（Rd，H）}与ess supH{θy}重合- f*(θ), θ ∈ L（Rd，H）∩ dom f*}. 此外，asf*是H B（Rd）-可测量，图dom f*= {（ω，x）∈ Ohm ×Rd，f*（ω，x）<∞} ∈ H B（Rd）和dom f*是H-可测的（见[28，定理14.8]）。自（ω，z）7→ zy（ω）-f*（ω，z）是H B（Rd）-可测函数和f*（ω，·）是凸的和thusu。s、 c.在dom f上*（ω），我们可以应用推论2.10，得到a.s.ess supH{θy- f*(θ), θ ∈ L（Rd，H）∩ dom f*} = supz公司∈dom（f*)（zy- f*（z））=supz∈Rd（zy- f*（z））。现在我们介绍执行程序第5点所需的符号。让h：Rd→ R、 conv h是h的凸包络，即由h支配的最大凸函数：conv h（x）=sup{u（x），u凸和u≤ h} 。凹面包络对称定义，并用conc h表示。Wealso将h的（下）闭合h定义为最大l.s.c.函数，该函数由h主导，即h（x）=极限→xh（y）。上部闭合对称。

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2022-6-10 06:49:28

很容易看出conv h（y）=sup{αy+β，α∈ Rd，β∈ R、 h（x）≥ αx+β，x个∈ Rd}。众所周知（参见示例【28，定理11.1】）*= （转换h）*= （h）*= （转换h）*.此外，如果conv h合适，则h**也是正确的，凸的，l.s.c.和H**= conv h.（2.12）我们现在可以获得最小超边缘成本的表示。/13提案2.15。假设g是一个H-正规被积函数，并且存在一些凹函数，使得g≤ 供应时和供应时∞ onconvsuppHY公司。那么，a.s.p（g）=浓度（g，suppHY）（y）- δconvsuphy（y）（2.13）=inf{αx+β，α∈ Rd，β∈ R、 αz+β≥ g（z），z∈ 供应}-δconvsuphy（y），（2.14），其中g相对于suphy的相对凹包络由conc（g，suphy）（x）=inf{v（x），v是凹的，v（z）给出≥ g（z），z∈ 补充}。请注意，[8]和[6]已将超级套期保值价格表示为凹面包络，但这是在无套利条件下通过鞅测度使用超级复制价格的双重表示进行的。证据我们想用（2.12）来计算p（g）。f的凸包络可以写成如下（见[28，命题2.31]）：conv f（x）=infPni=1λif（xi），n≥ 1，（λi）i∈{1，…，n}∈ Rn+，（xi）i∈{1，…，n}∈ Rd×n，x=Pni=1λixi，Pni=1λi=1}。对于某些n，设x=Pni=1λixif≥ 1，（λi）i∈{1，…，n}∈ Rn+使得Pni=1λi=1和（xi）i∈{1，…，n}∈ Rd×n.假设x/∈ Convsuphy公司。然后（见[28，命题2.27，定理2.29]），至少存在一个xi/∈ suppHY andf（xi）=+∞ 还有conv f（x）=+∞.

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2022-6-10 06:49:30

如果x∈ Convsuphy，按定义Conv f（x）=-混凝土（g，suppHY）（x）。由于convsuphy非空（见备注2.3），当且仅当conc（g，suphy）（x）<+∞ 对于所有x∈ convsuphy，这也适用于ceconc（g，suphy）≤ φ < ∞ 在Convsuphy上。对于所有x∈ CONVSUPHY，conc（g，suppHY）（x）≥ g（x）>-∞, 我们得到thatconc（g，suppHY）（x）∈ R可以写为conv f=-浓度（g，suppHY）+δconvsuppHYa。s、并使用命题2.13和（2.12）p（g）=-f**（y） =-conv f（y）=conc（g，suppHY）（y）- δconvsuphy（y）a.s.这相当于假设存在α，β∈ R、这样g（x）≤ 所有x的αx+β∈ 供应/142.3. AIP条件命题2.15表明，如果/∈ Convsuphy，欧洲索赔p（g）的最大超级hedgingprice等于-∞. 这导致了我们现在提出的缺乏即时利益的自然概念。值得注意的是，这个概念是与NA条件相反的超级复制问题所固有的。设R是所有F-可测声明的集合，这些声明可以从0超级复制。R=θ（Y- y）- +, θ ∈ L（Rd，H），+∈ L（R+，F）. （2.15）那么，P（0）={x∈ L（R，H）， θ ∈ L（Rd，H），x+θ（Y- y）≥ 0 a.s.}=(-R）∩ L（R，H）。请注意，0∈ P（0），so P（0）≤ 0.我们认为，当P（P（0）<0）>0时，即如果有可能以负的超级对冲价格超级复制或有目标0，则会有一个即时收益。定义2.16。如果P（P（0）<0）>0，则存在即时利润（IP）。相反的情况是，如果p（0）=0 a.s.我们认为不存在即时利润（AIP）条件成立。我们知道提出了AIP条件的几个特征。我们将在引理2.22和备注2.23中讨论与经典无轨条件的联系，并表明AIP确实非常弱。提案2.17。当且仅当下列条件之一成立时，AIP成立。1、y∈ CONVSUPHY a.s.或0∈ convsuppH（Y- y） a.s.2。σsuppH（Y-y）≥ 0 a.s。

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大多数88

2022-6-10 06:49:33

式中σD（z）=supx∈D(-xz）是-D3.P（0）∩ L（R-, H） ={0}或R∩ L（R+，H）={0}。备注2.18。在d=1的情况下，（2.4）意味着前面的条件等价于y∈ 【ess infHY，ess supHY】∩ R a.s./15示例2.19。AIP条件在实践中很容易检查。Ford=1，Z=Y/Y。要检查AIP，请计算suppHZ或ess infHZand ess suppHZ并与1进行比较。例如，设Z=e（u-σ） +σ（Bt+1-Bt）其中（Bt）t∈R+是布朗运动，H=σ（{Bu，0≤ u≤ t} ）和f=σ（{Bu，0≤ u≤ t+1}）。然后suppHZ=[0，∞) AIP是正确的。我们在示例2.25中提出了AIP易于验证的其他情况。命题2.15的假设满足g=0，我们得到p（0）=-δconvsuphy（y）a.s.因此，AIP在且仅在ify时成立∈ ConvSuphy a.s.或等效0∈ convsuppH（Y- y） a.s.和AIP相当于1。利用命题2.13，我们得到p（0）=ess supH(-θ（Y- y）），θ∈ L（Rd，H）+ L（R+，H）。命题2.9意味着θ∈ L（Rd，H）ess supH(-θ（Y- y））=supx∈补充（Y）-y）(-θx）=σsuppH（Y-y）（θ）。所以，P（0）∩ L（R-, H） ={0}当且仅当σsuppH（Y-y）≥ 0 a.s.和2。和3。是等效的。为了得到证明，还需要证明σsuppH（Y-y）≥ 0a。s、等于0∈ convsuppH（Y- y） a.s.第一句话是σsuppH（y-y） =σconvsuppH（y-y）。所以，对于任何闭凸集D∈ Rd，σD≥ 0当且仅当0∈ D、如果0∈ D很明显σD≥ 0。假设0/∈ D、然后byHahn-Banach定理存在一些β>0和一些θ∈ Rd \\{0}这样的-xθ≤ -所有x的β∈ D和σD（θ）≤ -随后为β<0。2冠状动脉2.20。当且仅当p（g）时，AIP条件成立≥ 0 a.s。

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可人4

2022-6-10 06:49:36

对于一些非负H-正规被积函数g，存在一些凹函数，验证g≤ φ < ∞.特别是，当且仅当某些欧洲看涨期权的超级对冲成本为非负时，AIP条件才成立。请注意，在AIP下，一些非零看涨期权的价格可能为零（参见下面的示例2.28）。证据假设AIP条件为true。然后，从定义2.16，/16我们得到p（0）=0 a.s.作为g≥ 0，很明显p（g）≥ p（0）=0 a.s。相反，假设存在一些IP。命题2.15意味着p（g）=conc（g，suppHY）（y）- δconvsuphy（y）。IP和提案2.17导致P（y∈ convsuphy）<1和，sinceconc（g，suphy）（y）≤ φ < ∞,P（P（g）=-∞) > 证明了反之。2我们现在将AIP条件与经典的无套利NAone进行比较，NAone的定义如下。定义2.21。如果θ为，则无套利NA条件成立∈L（Rd，H），θ（Y- y）≥ 0 a.s.意味着θ（Y- y） =0 a.s.或同等ifR∩ L（R+，F）={0}。引理2.22。AIP条件严格弱于NA条件。备注2.23。AIP条件是为定价问题量身定制的。即使存在套利机会，也可以给出超级套期保值价格（参见下面的示例2.28）。请注意，IP是一种非常强大的策略。假设H是平凡的，那么IP对应于某个θ∈ Rd使得θ（Y-y）是决定论的，而且是绝对积极的。因此，在期望效用最大化问题中，排除IP而不是NA可能是不够的。我们将其与英格索尔（Ingersoll）（见[15]）提出的其他套利概念进行了比较，并将其与世界上的一系列国家进行了一步设置。第一类套利机会是经典套利。第二类套利机会θ是当前负承诺的有限责任投资。

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2022-6-10 06:49:39

当我们假设存在无风险资产时，它意味着θ（Y- y）不是决定论的，但总是大于某个严格正的决定论数。最后，无风险套利机会是一种具有恒定正收益的非积极投资。这一概念相当于我们在微不足道的初始过滤背景下的IP概念（回想一下，存在无风险资产）。如果H不再是微不足道的，那么无风险套利就是IP，但反过来就不再是真的了。风险有界的无界利润是θ∈ L（Rd，H）使得p（θ（Y- y）≥ 0）=1和P（θ（Y- y） >1）>0。让我们证明，一个人可以有AIP和一些风险有界的无界利润。固定d=1并选择一些随机变量Y和Y，使ess infHY=Y和P（Γ）>0，其中Γ={ess supHY>Y+1}。这里，AIP成立（回忆备注2.18）。观察/17（Y- y）≥ ess infHY公司- y=0 a.s.如果y- y≤ 1 a.s.然后P（Γ）=0，即矛盾。因此，等于1的常数策略是一个有界风险的无界利润。证据从命题2.17和定义2.21可以清楚地看出，NA意味着AIP。固定d=1并选择一些随机变量Y和Y，使得ess infHY=Y和P（Γ）>0，其中Γ={ess supHY>Y}。此处，AIP Holdstue（回忆备注2.18）。观察（Y- y）≥ ess infHY公司- y=0 a.s.如果y- y=0 a.s.然后P（Γ）=0，即矛盾。所以恒量策略等于1是一个套利机会。2我们现在提出了当d=1时NA和AIP之间等效的条件。引理2.24。假设d=1，且P（ess infHY=y）=P（ess supHY=y）=0。那么AIP和NA是等价条件。引理2.24适用于ess infHY=0，ess supHY=∞ 和y∈ (0, ∞).证据我们已经看到NA意味着AIP。假设AIP保持不变。使用备注2.18，y∈ 【ess infHY，ess supHY】∩ R a.s.Letθ∈ L（R，H）使得θ（Y- y）≥ 0

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2022-6-10 06:49:43

关于集{θ>0}∈ H、我们有那个Y≥ y henceess infHY公司≥ y≥ ess infHY。我们推断P（θ>0）=0。同样，我们得到P（θ<0）=0，最终θ=0。2示例2.25。我们现在提供另一个示例，其中AIP成立，并且在d=1的情况下严格弱于NA。首先，注意，如果存在Q，Q 使得（y，y）是Q-超鞅和Q-次鞅，那么AIP成立。实际上，对于i，让Zi=dQi/dP∈ {1, 2}. Asess infHY公司≤ Y≤ ess supHY a.s.，ess supHY和ess infHY是H-可测的，我们得到a.s.ess supHY≥ 等式（Y | H）≥ y（见（2.3））和ess infHY≥等式（Y | H）≤ y、因此，备注2.18意味着AIP成立。让我们考虑一下M∈ L（（0，∞), F），因此ess infH（M）<M<ess supH（M）a.s.我们定义：=M- ess infH（M）>0且y=αHess supH（M）-ess infH（M）>0，其中αH∈ 选择L（R，H），使得αH∈ （ess infH（M）ess supH（M），1）a.s.Morever，我们假设αH=1在非空集AH上∈ 这是我们唯一的选择。根据构造，AIP成立，因为ess infH（Y）=0<Y，且SS supH（Y）=ess supH（M）- ess infH（米）≥ y、假设NA成立，那么/18根据FTAP，存在Q~ P使得等式（Y | H）=Y。这意味着Y=等式（M | H）- ess infH（M）=αHess supH（M）- ess infH（M）。特别是，我们在AH上有等式（M | H）=ess supH（M）。这与假设M<ess supH（M）a.s.相矛盾。我们还可以直接表明θ=-1这是一个套利机会。的确-1AH（Y- y） =1AH（ess supH（M））- M）这是非常积极的。2我们现在提供AIP条件下最大超级对冲成本的特征。推论2.26。假设AIP成立。设g是H-正规被积函数，这样就存在一些凹函数，验证g≤ ^1on suppHY和Д<∞ 在Convsuphy上。那么，a.s.p（g）=conc（g，suppHY）（y）（2.16）=inf{αy+β，α∈ Rd，β∈ R、 αx+β≥ g（x），x个∈ 补充}。如果g为凹形且u.s.c.，则p（g）=g（y）a.s.证明。

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2022-6-10 06:49:46

第一个等式是提案2.15的直接结果。如果G是凹形的，u.s.c.，则结果微不足道。2当d=1时，我们通过计算凸导数的最小超边缘成本来完成一个周期的研究。在这种情况下，成本实际上是一个超级套期保值价格，我们明确地得到了超级套期保值策略。推论2.27。假设AIP为true，d=1。让g：R→ Rbe一个dom g=R且limx的非负凸函数→∞x个-1g（x）=M∈ [0, ∞), 那么a.s.p（g）=θ*y+β*= g（ess infHY）+θ*（y）- ess infHY），（2.17）θ*=g（ess supHY）- g（ess infHY）ess SUHY- ess infHY，（2.18）其中我们使用约定θ*== 如果ess supHY=ess infHYa，则为0。s、和θ*=g级(∞)∞= 如果ess infHY<ess supHY=+∞ a、 s.此外，p（g）∈ P（g）。示例2.28。在d=1的情况下，我们计算AIP下看涨期权的价格。设G=G（Y）=（Y- K） +对于某些K≥ 0./19o如果K≥ ess supHY然后Y- K≤ ess supHY公司- K和G=0。当AIP条件成立时，p（g）=p（0）=0如果K≤ ess infHY然后Y- K≥ ess infHY公司- K和G=Y- K、当gis凹面和u.s.c.时，p（g）=g（y）=y- K a.s.o如果ess infHY≤ K≤ ess supHY。那么（2.18）和（2.17）意味着p（g）=ess supHY- 凯斯苏菲- ess infHY（y- {ess supHY 6=ess infHY}上的ess infHY）和0 else。所以p（g）=0，当且仅当ify=ess infHY或ess supHY=ess infHY。非负买入期权的价格为零。最后，我们给出了AIP下的买入价格计算示例，但如果存在一些套利机会。我们选择一个将在第4节中研究的简单模型。我们假设ess infHY=dy a.s.和ess supHY=uya。s、对于备注2.18中的两个常数u和d，AIP等于tod∈ [0，1]和u≥ 1、如果d=1（且u>1）或u=1且（0≤ d<1），但NA条件不成立。

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2022-6-10 06:49:49

假设d=1，u>1。如果K∈ [是，∞), AIP下的超级复制价格为0，如果为K≤ 是的，是的- K、假设u=1和0≤ d<1。如果K∈ [0，y]，AIP下的超级复制价格为y- K和if K≥ y为零。证据由于g是凸的，g相对于Supphy的相对凹包络是在区间convsuppHY和（2.17）和（2.18）的极值点上与g重合的函数，见备注2.18。然后使用（2.17），我们得到θ*Y+β*≥ g（Y）a.s.（回想一下Y∈ suppHY）这意味着（2.17）thatp（g）+θ*（Y）- y）≥ g（Y）a.s.（2.19）和p（g）∈ P（g）如下。23、多阶段框架3.1。每t的多期超级套期保值价格∈ {0，…，T}，在T时可以从零初始禀赋超级复制的所有权利要求的集合由tt定义：=（TXu=T+1θu-1.苏- +T、 θu-1.∈ L（Rd，Fu-1), +T∈ L（R+，FT））。（3.20）/20一些或有权益的（多期）超级套期保值价格和（多期）最高超级套期保值成本的集合gT∈ L（R，FT）在皮重给定的时间，对于所有t∈ {0，…，T}，byPT，T（gT）={gT}和πT，T（gT）=gTPt，T（gT）={xt∈ L（R，Ft），R∈ RTt，xt+R=gTa。s、 }（3.21）πt，t（gT）=ess infFtPt，t（gT）。与单期情况一样，很明显，在πt，t（gT）的意义上，最大超级套期保值成本不一定是一个价格/∈ Pt，T（gT）当Pt，T（gT）未闭合时。我们现在定义了本地版本的超级对冲价格。让gt+1∈ L（R，Ft+1），则gt+1的一步超级套期保值价格集及其相关的超级套期保值成本由PT，t+1（gt+1）给出=xt公司∈ L（R，Ft）， θt∈ L（Rd，Ft），xt+θtSt+1≥ 燃气轮机+1a。sπt，t+1（gt+1）=ess infFtPt，t+1（gt+1）。以下引理在假设内部（全球）超级复制成本是一个价格的情况下，建立了本地和全球超级混合价格之间的联系。它还提供了动态规划原理。引理3.1。

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2022-6-10 06:49:51

让gT∈ L（R，FT）和t∈ {0，…，T}。然后，T（gT） Pt，t+1（πt+1，t（gT））和πt，t（gT）≥ πt，t+1（πt+1，t（gT））。此外，假设πt+1，t（gT）∈ Pt+1，T（gT）。然后，T（gT）=Pt，T+1（πT+1，T（gT））和πT，T（gT）=πT，T+1（πT+1，T（gT））。备注3.2。我们将在命题3.9中给出πt+1，t（gT）的条件∈ Pt+1，T（gT）。在AIP下，如果在每一步，πt+1，t（gT）∈ Pt+1，T（gT）如果πT+1，T（gT）=gT+1（St+1），对于一些“好”Ft正规被积函数gT+1，我们将从推论2.26中得到πT，T（gT）=conc（gT+1，supportftst+1）（St）a.s。我们将在第4节中提出一个非常普遍的设置，其中这是正确的。证据设∏T，T={gT}，对于所有T∈ {0，…，T- 1} ∏t，t（gT）={xt∈ L（R，Ft），θt∈ L（Rd，Ft），pt+1∈ ∏t+1，t（gT），xt+θtSt+1≥ pt+1a。s、 }。/21集合∏t，t（gT）在时间t包含某些价格pt+1的所有超级套期保值价格∈ 时间t+1时的∏t+1，t（gT）。首先，我们证明∈ {0，…，T}Pt，T（gT）=∏T，T（gT）。（3.22）时间T清晰可见。让t∈ {0，…，T}。让xt∈ Pt，T（gT）。那么所有的人都存在∈ {t，…，t- 1} ，θu∈ L（Rd，Fu）使xt+PT-1u=t+1θu-1.Su+θT-1.装货单≥ gTa。s、 Soxt+T-2Xu=t+1θu-1.Su+θT-2.装货单-1=xt+T-1Xu=t+1θu-1.苏∈ ∏T-1、T（gT）和xt+PT-2u=t+1θu-1.苏∈ ∏T-2，T（gT）和递归xt∈ ∏t，t（gT）。相反，让xt∈ πt，t（gT），则存在θt∈ L（Rd，Ft）和pt+1∈πt+1，t（gT），使得xt+θtSt+1≥ pt+1a。s、然后为pt+1∈ πt+1，t（gT），存在θt+1∈ L（Rd，Ft+1）和pt+2∈ πt+2，t（gT），使得pt+1+θt+1St+2≥ pt+2a。s、前进到T，pT-1+θT-1.装货单≥ gTa。s、，我们得到xt+PTu=t+1θu-1.苏≥ gTa。s、和xt∈ Pt、T（gT）如下。这实现了（3.22）的证明。让xt∈ Pt，T（gT），则存在θT∈ L（Rd，Ft）和pt+1∈ Pt+1，T（gT）使得（回忆（3.22））xt+θTSt+1≥ pt+1≥ ess infFtPt+1，T（gT）=πT+1，T（gT）a.s.第一条陈述如下。第二个直接来自（3.22）和πt+1，t（gT）∈ Pt+1，T（gT）。23.2.

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2022-6-10 06:49:54

多期AIPWe现在定义了时间t的全球和本地即时利润的概念。全球（分别为本地）利润意味着可以从时间t的负成本超级复制时间t（分别为时间t+1）支付的索赔0。我们将看到它们是等效的。定义3.3。修复t∈ {0，…，T}。timet的全局立即数（IP）是Pt，t（0）的非空元素∩ L（R-, 英尺）。我们说，如果t处没有全局IP，那么AIP条件在t时成立：Pt，t（0）∩ L（R-, Ft）={0}。/22A时间t的局部立即数（LIP）是Pt的非空元素，t+1（0）∩L（R-, 英尺）。我们说（ALIP）条件在t时成立，如果t时没有localIP:Pt，t+1（0）∩ L（R-, Ft）={0}。最后，我们说如果AIP（resp.ALIP）条件在时间t对所有t都成立，那么AIP（resp.ALIP）条件成立∈ {0，…，T}。下面的定理3.4提出了（AIP）条件的几个特征。定理3.4。当且仅当以下断言之一成立时，AIP成立。1、ALIP为真。2、St∈ CONVSUPFTST+1a。s、或0∈ CONVSUPFFT（St+1- St）所有t的a.s∈{0，…，T- 1}.σsuppFt（St+1-St）≥ 所有t均为0 a.s∈ {0，…，T- 1}.4、πt，t（0）=所有t的0 a.s∈ {0，…，T}。备注3.5。在d=1的情况下，之前的条件等效于oess infFtSt+1≤ St公司≤ ess支持+1a。s、尽管如此，t∈ {0，…，T- 1}.o ess infFtSu≤ St公司≤ ess supFtSua。s、适用于所有u∈ {u，…，T}。2之间的等价关系。第一项（分别为第二项）来自（2.4）（分别为引理2.7）。证据在时间T，PT，T（0）={0}，因此AIP在T和πT保持不变，T（0）=0。我们通过归纳证明，如果0∈ Pt+1，T（0），如果AIP在时间T+1保持，则为0∈ Pt，T（0）和以下等价物为真：πT，T（0）=0 a.s。<=> St公司∈ CONVSUPFTST+1a。s<=> σ支持（St+1-St）≥ 0 a.s。<=> AIP在时间t保持<=> ALIP在时间t保持不变。因为对于所有t，AIP在时间t等于AIP∈ {0, . . .

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2022-6-10 06:49:57

，T}，这证明了AIP，1之间的等价性。，2. , 3. 和4。考虑t∈ {0，…，T- 1} ，假设归纳假设在t+1，0时成立∈ Pt+1，T（0），AIP在时间T+1保持。当πt+1时，t（0）=0∈ Pt+1，T（0），引理3.1表明Pt，T（0）=Pt，T+1（0）和πT，T（0）=πT，T+1（0）。这意味着AIP时间t等于时间t的ALIP，并且与命题2.17/23一起，定义2.16表明诱导步骤在时间t成立，并且πt，t+1（0）=0∈ Pt，t+1（0）=Pt，t（0）。23.3. 在本节中，我们本着无免费午餐的精神，研究了一种比AIP更强的条件，即通过考虑set RTt的关闭。之前，我们回顾了经典的多周期无套利NA条件。定义3.6。无套利NA条件适用于所有t∈ {0，…，T}，RTt∩ L（R+，FT）={0}。很容易看出，NA条件也可以公式化为：V0，θT≥ 0 a.s.意味着V0，θT=0 a.s.回想一下，时间T时零索赔的所有超级混合价格集由Pt，T（0）=(-RTt）∩ L（R，Ft）（见（3.20）和（3.21））。因此（见定义3.3）AIP读作RTt∩ 对于所有t，L（R+，Ft）={0}∈ {0，…，T}。很明显，NA条件意味着AIP条件，而通过引理2.22的反例，等价性并不成立：AIP条件严格弱于NA条件。我们现在介绍一种较弱的IP形式。定义3.7。如果对所有人都适用，则不存在弱即时利益（AWIP）条件∈ {0，…，T}RTt∩ L（R+，Ft）={0}，其中RTTI的闭包是关于概率收敛的。我们将在引理3.10中看到，AIP条件不一定等同于AWIP。之前，在d=1的情况下，我们证明了在一个额外的封闭条件下，AWIP可能等价于AIP条件。

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2022-6-10 06:50:00

它还通过（绝对连续）鞅测度提供了非特征化。定理3.8。假设情况d=1。以下陈述是等效的：1。AWIP保持。/242、每t∈ {0，…，T}，存在Q P，其中E（dQ/dP | Ft）=1等于（Su）u∈{t，…，t}是一个Q-鞅。AIP持有和RTt∩L（R，Ft）=RTt∩L（R，Ft）表示每t∈ {0，…，T}。该证明基于经典的哈恩-巴拿赫定理参数，例如参见教科书【11】和【17】。备注3.9。从上面可以看出，AIP和AWIP是等效的ifRTtis关闭。因此，我们通过引理3.10推断，在AIP条件下，RTtis不必循环。现在假设P（ess infFtSt+1=St）=P（ess SUFFST+1=St）=0 for all t∈ {0…，T- 1}. 然后，使用引理2.24，AIP等价于NA。在NA下，集合RTtis在每t的概率中闭合∈ {0…，T- 1} 而第3.8条意味着AWIP、AIP和NA是等效条件。证据首先我们证明1。意味着2。假设AWIP持有并固定一些t∈ {0，…，T}。我们可以假定过程S在P下是可积的，而不失一般性。在AWIP下，我们有RTt∩L（R+，Ft）={0}，其中闭包取L。因此，对于everynonzero x∈ L（R+，Ft），Hahn-Banach定理存在一个非零Zx∈ L∞（R+，FT）使得（回想一下，RTtis是一个圆锥体）EZxx>0和Zxξ≤ 每ξ0∈ RTt。自从-L（R+，英尺） RTt，我们推断thatZx≥ 0，我们重新规范化Zxso，使kZxk∞= 让我们考虑这个族={{E（Zx | Ft）>0}，x∈ L（R+，Ft）\\{0}}。考虑任何非空集Γ∈ Ft.取x=1Γ∈ L（R+，Ft）\\{0}，由于（ZxΓ）>0，我们推导出Γ与{E（Zx | Ft）>0}有一个非空相交。通过[17，引理2.1.3]，我们推导出一个最多可数的亚家族（xi）i≥因此，unionSi{E（Zxi | Ft）>0}是完全测量的。

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2022-6-10 06:50:03

因此，Z=∞Xi=1-Izzi公司≥ 0表示E（Z | Ft）>0，我们定义Q 使dQ=（Z/E（Z | Ft））dP。作为子集{PTu=t+1θu-1.Su，θu-1.∈ L（R，Fu-1） }是RTt中包含的线性向量空间，我们推导出（Su）u∈{t，…，t}是一个Q-鞅。我们现在证明2。意味着3。假设每t∈ {0，…，T}，存在Q P使得（Su）u=t，。。。，这是一个E（dQ/dP | Ft）=1的Q鞅。/25让我们定义u∈ {t，…，t}，ρu=EP（dQ/dP | Fu），然后ρu≥ 0和ρt=1。考虑γt∈ RTt公司∩ L（R+，Ft），即γt为Ft，可测量，其形式为γt=PT-1u=tθuSu+1- +T、由于θuis Fu可测量，θuSu+1在Q已知fu的情况下给出了广义条件期望，我们假设EQ（θuSu+1 | Fu）=0。塔定律意味着a.s.γt=等式（γt | Ft）=t-1Xu=tEQ（等式（θuSu+1 | Fu）| Ft）- 均衡器(+T | Ft）=-均衡器(+T | Ft）。因此γt=0 a.s.，即AIP保持不变。还有待证明RTt∩ L（R，Ft）RTt公司∩ L（R，Ft）。首先考虑一个一步模型，其中（Su）u∈{T-1，T}是ρT的Q-鞅≥ 0和ρT-1= 1. 假设γn=θnT-1.装货单- n+T∈ L（R，FT-1）概率收敛于γ∞∈ L（R，FT-1). 我们需要证明γ∞∈RTT公司-1.∩ L（R，FT-1).在FT上-1-可测集∧T-1： ={lim infn |θnT-1| < ∞}, 根据[17，引理2.1.2]，我们可以假设w.l.o.g.θnT-1收敛到某个θ∞T-1因此n+t也是收敛的，我们可以得出结论γ∞∧T-1.∈ RTT公司-1.∩ L（R，FT-1).否则，打开Ohm \\∧T-1，我们使用归一化序列∈ {1，…，d}θn，iT-1： =θn，iT-1/（|θnT）-1| + 1), ~n+T：=n+T/（|θnT）-1| + 1).通过[17，引理2.1.2]，我们可以假设取d+1的子序列a。s、 θnT-1.→~θ∞T-1, ~n+T→ ~∞+Tand￠θ∞T-1.装货单- ~∞+T=0 a.s.注意|θ∞T-1 |=1 a.s.首先考虑子集∧T-1:= (Ohm \\ ∧T-1) ∩{~θ∞T-1= 1} ∈ 英尺-1其中装货单≥ 0 a.s.自等式(ST∧T-1 |英尺-1） =0a。s、，我们得到ρTST∧T-1=0 a.s.因此ρTγn∧T-1= -ρTn+T∧T-1.≤ 0a。s

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大多数88

2022-6-10 06:50:06

取极限，我们得到ρTγ∞∧T-1.≤ 0 a.s.和，自γ起∞∈L（R，FT-1），我们推断ρT-1γ∞∧T-1.≤ 0 a.s.回想一下ρT-1=1因此γ∞∧T-1.≤ 0 a.s.和γ∞∧T-1.∈ RTT公司-1.∩ L（R，FT-1). 关于子集(Ohm \\ ∧T-1) ∩ {~θ∞T-1= -1} 我们可以进行类似的论证，结论遵循一步模型。现在，我们通过递归在多步骤模型中显示结果。修复一些s∈{t，…，t-1}. 我们显示RTS+1∩L（R，Fs+1） RTs+1∩L（R，Fs+1）表示/26 s的属性相同，而不是s+1。假设（Su）u∈{s，…，T}是aQ鞅，其中EP（dQ/dP | Fu）=ρu≥ 0表示u∈ {s，…，T}和ρs=1。假设γn=TXu=s+1θnu-1.苏- n+T∈ RTs∩ L（R，Fs）收敛于γ∞∈ L（R，Fs）。如果γ∞= 没有什么可以证明的。与前面一样，关于Fs可测集∧s：={lim infn |θns |<∞}, 我们可以假设w.l.o.g.θnsconverge toθ∞s、因此在∧sTXu=s+2θnu上-1.苏- n+T=γn- θnsSs+1→ γ∞- θ∞sSs+1，根据归纳假设，PTu=s+2θnu-1.苏- n+Talso收敛为RTs+1的元素∩L（R，Fs+1），我们得出结论γ∞∧s∈ RTs∩L（R，Fs）。在…上Ohm \\ ∧s-1，我们像以前一样使用归一化过程，并推导出质量Txu=s+1|θ∞u-1.苏- ~∞+T=0 a.s.对于某些|θ∞u∈ L（R，Fu），u∈ {s，…，T- 1} 和▄∞+T≥ 0，使|￠θ∞s |=1 a.s.然后我们讨论∧s：=(Ohm \\ ∧s-1) ∩ {~θ∞s=1}∈ Fsand∧s：=(Ohm \\ ∧s-1) ∩ {~θ∞s=-1} ∈ 分别是。当￠θ∞s=1，我们推断Ss+1+TXu=s+2￠θ∞u-1.苏- ~∞+T=0 a.s.，即。Ss+1∈ Ps+1，T（0）因此Ss+1≥ πs+1，T（0）=0 a.s.在AIP下，见定理3.4。自EQ起(Ss+1∧s | Fs）=0 a.s.，ρs+1Ss+1∧s=0 a.s.So，ρs+1γn∧s=TXu=s+2θnu-1ρs+1∧s苏- n+Tρs+1∧s∈ RTs+1∩ L（R，Fs+1）。因此ρs+1γ∞∧s∈ RTs+1∩ L（R，Fs+1）通过归纳法。Asρs+1γ∞∧sadmitsa广义条件期望已知Fs，我们利用tower/27定律推导出a.s∧sE（ρsγ∞|Fs）=E（ρs+1γ∞∧s | Fs）=TXu=s+2∧sEθ∞u-1E级dQdP苏|富-1.|Fs公司- 1∧sE(∞+Tρs+1 | Fs）≤ 0，自（Su）u∈{s，…，T}是一个Q-鞅。因此ρsγ∞∧s≤ 0 a.s。

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2022-6-10 06:50:09

ρs=1，γ∞∧s≤ 0 a.s.以便γ∞∧s∈ RTs∩ L（R，Fs）。最后，请注意，AIP条件意味着一旦equalityRTt∩ L（R+，Ft）=RTt∩ L（R+，Ft）每t保持一次∈ {0，…，T}。2Lemma 3.10。AIP条件不一定等同于AWIP。证据假设d=1。让我们考虑一个积极的过程∈{0，…，T}，这是一个P鞅。我们假设ess infFS<Sa。s、，当ess infFs=0 a.s时，尤其是当s为几何布朗运动时，它保持不变。让usde FIST：=Stfor t∈ {1，…，T}和S：=ess infFS。我们有ess INFF≤无砂supFS≥ ess infFS=Shence AIP在时间0时有效（见备注2.18）。此外，根据鞅性质（见定理3.8），AIP和alsoAWIP在t的任何时间都成立∈ {1，…，T}。让我们假设AWIP在t=0时成立。利用定理3.8，存在ρT≥ 0，E（ρT）=1，这样s是Q鞅，其中dQ=ρTdP。因此，E（ρTS） =0。自从S> 通过假设，我们推断ρT=0，因此存在矛盾。24、AIP下凸支付的明确定价本节的目的是在D=1的特定模型中获得一些结果，ess infFt-1St=kdt-第一个-1a。s、和ess supFt-1St=kut-第一个-1a。s、对于everyt∈ {1，…，T}带（kdt-1） t型∈{1，…，T}，（kut-1） t型∈{1，…，T}和是确定性非负数。我们得到了与[9]中相同的计算方案（见（4.23）），但仅假设AIP而非NA。我们还提出了一些数值实验。4.1. 算法定理4.1。假设该模型由ess infFt定义-1St=kdt-第一个-1a。s、和ess supFt-1St=kut-第一个-1a。s、其中（kdt-1） t型∈{1，…，T}，（kut-1） t型∈{1，…，T}和是确定性非负数。/28o当且仅当kdt时，AIP条件成立-1.∈ [0，1]和kut-1.∈[1, +∞] 对于所有t∈ {1，…，T}。o假设AIP条件成立。设h:R→ R是dom h=R的非负凸函数，使得limz→+∞h（z）z∈ [0, ∞).

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