πT-1，T（h（ST））∈ PT公司-1，T（h（ST））。使用引理3.1，我们得到-2，T（h（ST））=PT-2，T-1（πT-1，T（h（ST）），πT-2，T（h（ST））=πT-2，T-1（πT-1，T（h（ST）），我们可以在πT之后继续递归-1，T（h（ST））=h（T-1，ST-1） 其中h（T- 1，·）saties（4.23），是凸的，其域等于R，因此h（T- 1，z）≥ 0表示所有z≥ 0和MT-1=米∈ [0, ∞). 看看我们能区分三种情况。如果ST-1=0或kuT-1=kdT-1=1，πT-1，T（h（ST））=h（ST-1） 和h（T- 1，z）=h（z）=h（T，z）满足所有要求的条件。如果kdT-1<kuT-1= +∞,πT-1，T（h（ST））=h（kdT-第一个-1） +百万装货单-1.- kdT公司-第一个-1.= h（T- 1，ST-1） 带H（T- 1，z）=h（kdT-1z）+Mz1.- kdT公司-1.= 林库→+∞ku公司- 1ku- kdT公司-1h（kdT-1z）+1- kdT公司-1ku- kdT公司-1h（库兹）,使用（4.24）。上述r.h.s.中的项大于h（z）=h（T，z）的凸性sinceku- 1ku- kdT公司-1kdT-1z+1- kdT公司-1ku- kdT公司-1kuz=z.作为kdT-1.∈ [0，1]和M∈ [0, ∞), h（T- 1，z）≥ 0表示所有z≥ 0，我们得到了- 1，·）是域等于R的凸函数，因为h是so。函数h（T- 1、·）也满足（4.23）（见（4.24））。最后一次-1=limz→+∞kdT公司-1h（kdT-1z）kdT-1z+米1.- kdT公司-1.= M、 最后一种情况是-16=0和kuT-16=kdT-1和kuT-1< +∞. 很明显，（4.25）意味着（4.23）。此外，作为kdT-1.∈ [0，1]和kuT-1.∈ [1, +∞),λT-1=kuT-1.- 1切口-1.- kdT公司-1.∈ [0、1]和1- λT-1=1 - kdT公司-1切口-1.- kdT公司-1.∈ [0，1]/30和（4.23）表示h（T- 1，z）≥ 0表示所有z≥ 0，h（T- 1，·）是凸的，因为h是so，所以域等于R。此外，MT-1=λT-1kdT-1里姆兹→+∞h（kdT-1z）kdT-1z+（1- λT-1） 库特-1里姆兹→+∞h（库特-1z）kuT-1z=M，因为λT-1kdT-1+ (1 - λT-1） 库特-1= 1.备注4.2。在我们的模型中，欧洲应急目标h（ST）的最大超级套期保值成本是一个价格，与我们在二项模型ST中得到的价格完全相同∈ {kdt-第一个-1，库特-第一个-1} a.s.，t∈ {1，…，T}。

此外，在推论2.20中，我们可以证明AIP条件在每一时刻都成立，当且仅当某些欧洲看涨期权的超级套期保值价格为非负时。这种推广的优点是提供了一种统计原理来计算最小价格和超级套期保值策略，请参见下一节。4.2. 数值试验4.2.1。校准在本节中，我们假设离散日期由tni=iTn，i给出∈ {0，…，n}其中n≥ 1、我们假设Kutni-1=1+σtni-1便士TNI和kdtni-1= 1 - σtni-1便士tni公司≥ 0，其中t 7→ σ是[0，T]上的正Lipschitz连续函数。请注意，关于乘数kutni的假设-1和kdtni-1仅限于Stni+1Stni- 1.≤ σtniptni+1，a.s.（4.26）根据定理4.1，我们推断出欧洲看涨期权（ST- K） +由hn给出tni、Stni由（4.23）定义，终端条件hn（T，x）=g（x）=（x- K） +。我们扩展了函数hnon[0，T]，使得hn在每个区间[tni，tni+1[，i]上是常数∈ {0，…，n}。Milstein[23]提出了这样一个方案，当终端条件，即Payoff函数/31是光滑的时，证明了一个收敛定理。精确地说，函数序列（hn（t，x））n≥1均匀收敛到h（t，x），扩散方程的解：th（t，x）+σtxxxh（t，x）=0，h（t，x）=g（x）。（4.27）在【23】中，假设P溶液的连续导数。D、 解h一致有界。CallPayoff函数g并非如此。相反，P.D.E.解的连续导数在地平线日期爆炸，见【22】。在[2]中，证明了当Payoff函数不光滑时，如果P.D.E.解的连续导数。

不要放得太多。假设Tnis接近于0，我们可以用理论价格极限h（t，St）在任意时刻t，根据（4.27）确定看涨期权的观察价格，以推断确定性函数t 7的评估→ 实际数据的σtandtest（4.26）。该数据集由法国指数CAC 40的历史值和2017年10月23日至2018年1月19日3个月到期的欧洲看涨期权价格组成。S的观测值分布如图1所示。图1：。观察价格的分布。对于多次冲击，将观察到的价格与Black和Scholes公式得出的具有时间依赖性波动率的理论价格相匹配（见（4.27）），我们推导出相关的隐含波动率t 7→ σ并计算满足（4.26）的观测值比例：/32图2。满足（4.26）的观测值比率，作为走向的函数。罢工4800 4900 5000 5100 5200 5300 5400 5500 5600 5700 5800 5900 6000比率96,7%95,1%95,1%88,5%86,9%80,3%70,5%78,7%75,4%77,0%73,8%75,4%72,1%5100以下罢工的结果令人满意。注意，当罢工增加较少时，看涨期权的价格数据可用，因为罢工相对于当前价格s太大，见图1。这可以解释我们结果的退化。4.2.2. 超级对冲价格我们在一些数据集上测试从定理4.1推导出的最大超级对冲成本，这些数据集由2015年1月5日至2018年3月12日法国指数CAC40的历史每日收盘值组成。我们选择的时间间隔[0，T]相当于由5个工作日组成的一周，因此离散日期为ti，i∈ {0，···，4}，n=4。

我们首先评估σti，i∈ {0，···，3}为σti=maxSti+1Sti- 1./qti+1，我∈ {0，···，3}，（4.28），其中max是在52周的一年滑动样本窗内取得的经验最大值。请注意，该估算是无模型的，与前一小节中的情况不同，它不依赖于走向。因此，我们估计52周的波动率，并在第三周实施对冲策略。然后，我们通过滑动一周的窗口重复该过程，我们观察到股票价格的经验平均值Sis等于4044。对于支付函数g（x）=（x- K） +，我们实施与定理4.1给出的超级套期保值成本相关的策略。超级混合成本由h（0，S）给出，使用（4.25），我们计算超级混合策略（θ*ti）i∈{0,...,3}. 我们用VT表示我们策略的终值，从最小价格V=π0，T=h（0，S）：VT=V+Xi=0θ开始*ti公司Sti+1。我们研究了超套期保值误差εT=VT- （ST- K） +用于不同的打击。K=4700的情况。K=4700的超级套期保值误差εt的分布如图3所示：图3。超级套期保值误差分布εT=VT- （ST- K） +。误差的经验平均值εTis为12.76，其标准偏差为21.65。与SWH的经验平均值的大值（等于4844）相比，这一结果相当令人满意。注意，我们观察到（ST- K） +\'282.69。这从经验上证实了我们建议的方法的有效性。{εT<0}的经验概率等于14.29%，但95%的风险值为-10.33这证实了我们的战略是保守的。/34图4。V/S比值的分布。V/Sis的经验平均值为5.61%，其标准偏差为5.14%。

这也是令人满意的，因为不完整市场中的理论超级对冲价格通常等于S（例如，当D=0和ku=∞, 特别是当S的动力学由（离散的）几何布朗运动建模时，请参见[8]）。请注意，-50的损失与2016年6月24日发生的所谓黑色星期五周有关。欧洲市场风险资产大幅下跌，主要原因是英国脱欧投票。特别是，CAC 40从S=4340感觉到ST=4106，损失为-星期五打八折。K=S的情况。我们知道现在的“at the money”情况。误差的经验平均值εT=VT- （ST- K） +为35.69，标准差为34.11。我们观察到E（S）=4844，E（ST- K） +38.15，概率P（εT<0）=9.82%，95%的风险值为-11.41.V/Sis的经验平均值为1.51%，标准差为0.47%。不对称情况。现在，我们提出另一种可能更自然的模型参数估计：kdtnj-1和kutnj-1按KDTNI估算-1=minStniStni-1，库特尼-1=maxStniStni-1，如前所述，经验最小值和最大值在52周的一年滑动样本窗口内进行。/35不对称情况，其中K=4700。K=4700的超级套期保值误差εt的分布如图5：图5所示。超级套期保值误差分布εT=VT- （ST- K） +。误差的经验平均值εTis为9.47，标准偏差为14.20。与SWH的经验平均值的大值（等于4844）相比，这一结果相当令人满意。经验概率{εT<0}等于8.04%，95%的风险值为-1.81这证实了我们的战略是保守的。图6：。

比值V/S的分布。V/Sis的经验平均值为5.52%，其标准偏差为5.22%。/36不对称情况，其中K=S。图7：图7中表示了K=S的超级套期保值误差εtf的分布。超级套期保值误差的分布εT。误差的经验平均值εT=VT- （ST- K） +为33.37，其标准偏差为32.78。概率P（εT<0）=12.5%。95%的风险值为-9.29.图8：。比值V/S的分布。V/Sis的经验平均值为1.47%，其标准偏差为0.49%。/37我们现在比较两种方法的结果如下表所示。εT的V/s变异平均值εT变异（εT<0）VaR 95%对称5.61%5.14%12.76 21.65 14.29%-10.33不对称5.52%5.22%9.47 14.20 8.04%-1.81图9。K=4700的两种估计方法的比较。Sis4844,93的平均值和（S）的平均值- K） +为278,73。εT的V/s变异平均值εT变异（εT<0）VaR 95%对称1.51%0.47%35.69 34.11 9.82%-11.41不对称1.47%0.49%33.37 32.78 12.50%-9.29图10。K=S的两种估计方法的比较。Sis4844,93的平均值。非对称方法的性能优于对称方法，这并不奇怪。5、推论2.10的附录证明。对于所有X∈ X，ess supH{h（X），X∈ X}≥ h（X）a.s.和as ess supH{h（X），X∈ X}是H-可测的，我们得到a.s.ess supH{H（X），X∈ X}≥ ess supHh（X）ess supH{h（X），X∈ X}≥ supX公司∈Xess supHh（X）。相反，对于所有X∈ X，supX∈Xess supHh（X）≥ h（X）a.s.If supX∈Xess supHh（X）是H-可测的，我们可以得出这样的结论：a.s.supX∈Xess supHh（X）≥ ess supH{h（X），X∈ X}。利用命题2.9，我们得到a.s.supX∈Xess supHh（X）=supX∈Xsupx∈suphxh（x）=supx∈∪十、∈XsuppHXh（x）。自从∪十、∈XsuppHX是H-可测且闭值的，引理2.12意味着supx∈∪十、∈XsuppHXh（x）是H-可测的，证明是完整的。2/38参考文献【1】Aliprantis，C.D。

和英国边境。《有限维分析：AHitchhicker指南》，Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学的基本原理]。Springer Verlag，柏林，第3版，2006年。[2] 巴蒂斯特·J·和E·L·伊皮内特。扩散方程：非光滑Payoff函数的局部波动性二叉树函数格式的收敛性。应用数学金融，0,0（2018），1-22。[3] Barron E.N.、Cardaliaguet、P.和R.Jensen。带应用程序的条件EssentialSuprema。Appl Math Optim 48229-2532003。[4] BarronE.N.和R.Jensen提出了期权定价的随机控制方法。运筹学数学，15,149-791990年。[5] Bensaid B.、Lesne J.P.、Pag\'es H.和J.Scheinkman。含交易成本的衍生资产定价。数学鳍2, 63-86, 1992.[6] Beiglb¨ock，M.和M.Nutz。鞅不等式与确定性对应。《概率论电子杂志》第19、95、1-15期，2014年。[7] Bensaid，B.、Lesne J.P.、Pag\'es H.和J.Scheinkman。含交易成本的衍生资产定价。数学鳍2, 63-86, 1992.[8] Carassus，L.、Gobet，E.和E.Temam。2006年3月，在日本草松立命馆大学举办的“随机过程和数学金融国际研讨会”上，一类金融产品和模型明确了超级复制价格。[9] Carassus L.和T.Vargiolu。超级复制价格：可以。《ESAIM：会议记录与调查》，2017年。[10] Dalang E.C.、Morton A.和W.Willinger。随机证券市场模型中的等价鞅测度与无套利。《随机与随机报告》，29185-2011990。[11] Delbaen F.和W.Schachermayer。套利的数学。Springer Finance，2006年。[12] F¨ollmer H.和D.Kramkov。

约束下的可选分解，概率论和相关领域109，1-251997。[13] 哈里森J.M.和D.M.克雷普斯。多期证券市场中的鞅与套利，《经济理论杂志》，第20期，381-4081979年。[14] Harrison J.M.和S.Pliska。连续交易理论中的鞅和随机积分，随机过程及其应用11，215-260，1981。[15] Ingersoll，J.E.Jr.财务决策理论。Rowman&Little field，1987年。[16] 集值积分与集值概率理论：综述。E、 Pap，《测量理论手册》编辑，Elsevier，14617-6732002年。[17] Kabanov Y.和M.Safarian。具有交易成本的市场。数学理论。Springer Verlag，2009年。[18] 卡巴诺夫·Y.和E·L·伊皮内特。关于arandom偏序的本质上确界。《数理经济学杂志》，第49、6、478487页，2013年。[19] 卡拉萨一世和卡达拉斯。半鞅金融模型中的num'eraire投资组合。《金融与随机》，11447-4932007年。[20] Kreps D.《拥有众多社区的经济体中的套利与均衡》。《数理经济学杂志》8，15-351981。[21]L’epinette E.和I.Molchanov。随机集的条件核和条件凸壳。https://arxiv.org/abs/1711.10303，2017年预印本。[22]L’epinette E.和T.Tran。具有比例交易成本的局部波动模型中的近似套期保值。《应用数学金融》，21，4313-3412014。[23]Milstein，G.N.非线性抛物方程数值解的概率方法。偏微分方程的数值方法，18，4490-5222002。[24]Pennanen T.随机优化和数学金融中的凸对偶。运筹学数学，36（2），340-3622011。[25]Pennanen T.非流动市场中的套利和贴现。MathematicalFinance，21页。

519-540, 2011.[26]Pennanen T.和A-P Perkkio无对偶映射的随机规划。《数学规划》，136页，91-110，2012年。【27】Rockafellar，R.T.凸分析，普林斯顿大学出版社，1972年。【28】R.T.Rockafellar和R.J.-B.Wets。《变分分析》（Grandlehren der Mathematischen Wissenschaften）[数学科学基本原理]，2002年，第317卷。Springer Verlag，柏林，1998年。ISBN 3-540-62772-3。[29]Schal M.离散时间金融市场的鞅测度和套期保值。运筹学数学，24509-5281999年。