你能听到市场的形状吗？几何套利与谱套利

2022-5-9 04:46:55

你能听到市场的形状吗？几何套利和光谱理论伊西莫·法里内利科雷动力学GmbHScheuchzerstrasse 43CH-8006苏黎世邮政：simone@coredynamics.chandHideyuki东河大学高达信息科学系Narashino校区2-2-1-Miyama，Funabashi-ShiJ-274-8510 ChibaEmail:hideyuki。takada@is.sci.toho-u、 ac.JP2021年9月28日摘要利用规范对称性，几何套利理论重新构造了任何资产模型，允许通过随机本金束进行套利，其曲率度量“瞬时套利能力”。现金流捆绑是关联向量捆绑。其连接的零特征空间拉普拉斯参数化了与统计测度等价的所有风险中性测度。当且仅当0在拉普拉斯分布谱中时，市场满足无免费午餐和消失风险（NFLVR）条件。Jarrow–Protter–Shimbo的资产泡沫理论及其分类和分解倾向于不满足NFLVR的市场。资产名义空间的欧拉特征和现金流束同调群的不消失性都是NFLVR的拓扑障碍。关键词：套利市场；随机微分几何；光谱理论；套利的拓扑结构；资产泡沫及其分解。医疗辅助队：91G80（初级）；60G46,58C40（二级）。内容1简介2几何套利理论背景42.1经典市场模型。42.2市场模型的几何重构：基本要素。92.3市场模型的几何重构：投资组合。102.4不同几何框架下的套利理论。

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2022-5-9 04:46:58

112.4.1主要纤维束的市场模式。112.4.2 Nelson D弱差别市场模型。122.4.3作为曲率的套利。132.4.4预期效用最大化和CAPM公式。163光谱理论183.1现金流作为相关向量束的一部分。183.2与市场模型相关的拉普拉斯联系。193.3套利泡沫。244套利的拓扑障碍324.1由高斯-博内-切恩定理引起的套利的拓扑障碍。324.2博希纳-韦策恩-奥克定理对套利的拓扑阻碍。375结论411随机过程的广义导数411引言本文发展了一种称为几何套利理论（GAT）的概念结构，将一般市场中的套利建模与谱理论联系起来。GAT用随机微分几何术语重新表述了经典的随机金融，以描述套利。GAT方法的主要思想包括对基本金融工具构成的市场及其作为主要金融工具组合的期限结构进行建模。该市场的金融特征，如无套利和均衡，然后根据标准的不同几何结构进行表征，如与该组合中的自然连接相关的曲率。主纤维束理论在理论物理学中得到了广泛的应用，作为一种语言，通过提供一个不变的框架来描述物理系统及其动力学，自然法则可以得到最好的表述。

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2022-5-9 04:47:01

这些想法可以应用于数学金融和经济学。市场是一个金融经济系统，可以用适当的本金捆绑来描述。市场规律在数值变化下的不变性原则可以被视为规范不变性。诸如“无免费午餐，无风险消失”（NFLVR）和“无无无限利润，有风险有界”（NUPBR）等概念都具有几何特征，其结果就是资本资产定价模型（CAPM）。Malaney和Weinstein在经济指数问题的背景下首次提出了计量理论是描述经济学的自然语言的观点[Ma96，We06]。Ilinski[Il00，Il01]和Young[Yo99]提出将套利视为规范连接的曲率，类似于一些物理理论。独立地，Cliff and Speed[SmSp98]进一步发展了Flesaker和Hughston的基本工作[FlHu96]，并利用不同几何体的技术在随机建模之前降低资产模型的复杂性。近年来，关于允许套利的市场模型的研究开始受到Omes的重视，这是非常值得关注的，参见[Ru13，HuP r15]。通过本文，我们的目的是证明，通过随机微分几何方法，我们可以获得经典方法无法获得的真正的新结果。本文的结构如下。第2节回顾了经典随机金融和几何套利理论。套利被视为代表市场的主捆绑的曲率，它定义了与之相关的套利数量。

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2022-5-9 04:47:04

[Fa15]和[FaTa21]中省略了证明，在[Fa15]和[FaTa21]中，利用随机微分几何的形式背景为几何套利理论提供了严格的数学基础，如lworthy[El82]、Em\'ery[Em89]、Hackenbroch和Thlama ie r[HaTh94]、Hsu[Hs02]、Schwartz[Schw80]和Stroock[St00]。第三节研究了套利与特殊理论之间的关系。与主体捆绑相关的向量捆绑表示与资产对应的现金流，并带有由连接引起的协变差异。Neumann边界条件下的连接拉普拉斯算子是一个自伴随算子，其谱包含0当且仅当市场模型满足NFLVR条件。如果0具有简单的多重性，那么市场是完整的，反之亦然。特征值0的特征空间包含关于s统计测度的可能ris k-中性测度的Radon–Nikodymo导数的所有候选。完全无套利市场的Jarrow–Protter–Shimbo资产泡沫理论被扩展到允许套利机会的市场。对于不一定满足NFLVR条件的模型，证明了泡沫的分类及其分解结果。强调了与Platen–Health真实世界定价的联系。在第4节中，与资产名义空间的外部代数扭曲的现金流束是一个Dirac束，我们可以在其上应用Atiyah–Singer指数定理，该定理是带边界流形的Gauss–Bo nnet–Chern定理的形式，从中我们可以推断NFLVR条件的拓扑结构，资产名义空间欧拉特征的非消失性。

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2022-5-9 04:47:08

通过Bochner-Weitzenb–ock公式，我们得到了NFLVR的另一个特征，即扭曲现金流束的Dirac-Laplacian离散谱中存在0。此外，我们还获得了NFLVR的另一个拓扑障碍，即现金流束同源群的不完整性。第5节总结并在附录A中回顾了Nelson的随机导数。2几何套利理论背景在本节中，我们解释了[Fa15]中介绍的几何套利理论的概念，我们参考这些概念进行证明和示例。2.1经典市场模型在本小节中，我们总结了经典的al设置，将在第2.4节中以不同的几何术语重新表述。我们基本上遵循[HuKe04]和最终参考[DeSc08]。我们假设连续时间交易，交易日期为[0+∞[.这是一个足够普遍的假设，足以嵌入有限和有限离散时间的情况，以及连续时间内具有有限原点的情况。请注意，虽然在现实世界中，只有离散时间的交易occ urs是真实的，但这些是先验的，实际上可以是时间连续统中的任何点。这激发了连续时间随机函数的技术效应恩斯。不确定性由过滤的概率空间建模(Ohm, A、 P），其中P是统计（物理）概率度量，A={At}t∈[0,+∞[A的一个增加的亚σ-代数族]∞, 及(Ohm, A.∞, P）是一个概率空间。假设过滤A满足通常的条件，即：o右连续性：对于所有t∈ [0, +∞[；oA包含A的所有空集∞.该市场由许多资产组成，指数为j=1，N、其名义价格由向量值半鞅S[0+∞[×Ohm → RN，用（St）t表示∈[0,+∞[并适应过滤A。

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2022-5-9 04:47:11

随机过程∈[0,+∞[描述时间t=0时第j项资产在现金单位中的价格。更准确地说，我们假设存在第0项资产现金，这是一个严格正的s e半鞅，根据St=exp（Rtdu ru）演化，其中可积半鞅（rt）t∈[0,+∞[代表现金账户提供的持续利率。一个人总是提前知道自己银行账户的利率是多少，但这可能会不时发生变化。因此，现金账户被视为与其他风险资产相比的无风险资产。随后，我们将主要利用贴现价格，定义为^Sjt:=Sjt/St，代表以当前现金单位计算资产价格。我们指出，没有必要假设资产价格为正。然而，必须至少有一项非常积极的资产，在我们的例子中，这就是现金。如果我们想通过选择另一种资产而不是现金作为参考来重新规范价格，也就是说，将其作为我们的基准，那么该资产必须有一个严格的正向价格过程。更准确地说，通用数字是原始资产j=0，1，2，N、其名义价格由一个严格正随机过程（Bt）t重新表示∈[0,+∞[.然后，原始资产的贴现价格用半鞅^Sjt:=Sjt/Bt表示。我们假设不存在交易成本，允许卖空。注意，交易成本的存在可能是现实模型的一个严重限制。过滤a不一定是由价格过程（St）t产生的∈[0,+∞[；允许使用价格以外的信息来源。所有代理都可以访问相同的信息结构，即过滤A。让v为正实数。

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2022-5-9 04:47:14

v-容许策略x=（xt）t∈[0,+∞[是一个可预测的可整合过程，It^o integralRtx·dS≥ -v a.s.为所有t≥ 0，x=0。如果某个策略对某些v是v-容许的，则该策略是允许的≥ 0.定义1（套利）。让进程（St）[0+∞[是一个半鞅和（xt）t]∈[0,+∞[可能是一种允许的自我融资策略。让我们考虑交易时间T≤ ∞. 投资组合财富时间t由Vt（x）：=V+Rtxu·dSu给出，我们将L的子集表示为k(Ohm, AT，P）包含所有此类VT（x），其中x是任何可接受的自我融资策略。我们定义如下：oC:=K- L+(Ohm, AT，P）；oC:=C∩ L∞(Ohm, AT，P）；o\'C:L中C的关闭∞关于范数拓扑VV:=（Vt）t∈[0,+∞[Vt=Vt（x），其中x为V-容许值;o VVT：=及物动词（Vt）t∈[0,+∞[∈ VV;V-容许自我融资策略的终端财富。让我∞+(Ohm, AT，P）是L中的正随机变量集∞(Ohm, AT，P）。我们说S满足：o（NA）无套利当且仅当C∩ L∞+(Ohm, AT，P）={0}；o（NFLVR）没有风险消失的免费午餐当且仅当∩ L∞+(Ohm, AT，P）={0}；o（NUPBR）无无界有界风险的利润当且仅当某些V>0时在LF中有界。[DeSc94]和[Ka97]阐明了这三种不同类型套利之间的关系，并证明了以下结果。定理2。（NFLVR）<=> （NA）+（NUPBR）。（1）资产第一定理3。当且仅当存在等价的局部鞅测度P时，市场（S，A）满足NFLVR条件*.备注4。在资产定价的第一个基本定理中，我们假设价格过程是局部有界的。

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大多数88

2022-5-9 04:47:17

如果S是有界的，则NFLVR等价于鞅测度的存在性。但如果没有这个额外的假设，NFLVR只意味着一个局部鞅测度的存在，即一个不是鞅的局部鞅。这种区别很重要，因为证券价格过程是严格的局部鞅，而不是概率下的鞅*与资产价格泡沫的存在有关。定义5（完整市场）。市场（S，A）在[0，T]上已完成，如果所有C∈ L+（P*, 在：={C:Ohm → [0, +∞[C在- 可测量的，和EP*[|C |]+∞} 存在一种可接受的自我融资策略，比如C=VT（x）。定理6（资产定价第二基本定理）。假设（S，A）满足FLVR条件，当且仅当等价局部鞅P*这是独一无二的。定义7（主导地位）。第j安全性Sj=（Sjt）t∈[0.T]在[0，T]上不确定，如果这里没有可容许策略（xt）T∈[0，T]使得：Sj+（x·S）T≥ SjTa。s、 P[Sj+（x·s）T>SjT]>0。（2）我们说，S满足[0，T]上的无优势条件（ND），当且仅当每个Sj，j=0，1，N在[0，T]上不确定。定义8（经济）。一个经济体由（S，a）给定的市场和有限数量的投资者k=1，以他们的信仰、信息、偏好和天赋为特征的。此外，还有一种消费品是易腐的。现金账户中消费品单位的价格表示为ψ=（ψt）t∈[0，T]。我们假设ψ是严格正的。k-thinvestor的特征是以下数量：o信念和信息：（Pk，A）。我们假设投资者的信念是等价的。

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2022-5-9 04:47:20

所有投资者都有相同的信息过滤功能A.o实用功能：英国：[0，T]×0+∞[→ R和u是[0，T]上的概率度量，其中u（{T}）>0。对于支持u的每一个T，函数Uk（T，·）都会急剧增加。我们也假设limv→+∞英国（T，v）=+∞. 试剂k在每次t时从消耗量tu（dt）中获得的效用≤ T如下所示：Uk（c）=Ek~nZTUk（T，ct）u（dt）^o，（3）其中Ek是关于Pk的期望值。由于u（{T}）>0，在最终消耗cT中，效用严格增加初始财富：vk。给定交易策略x=（x，··，xN），投资者将被要求选择其在现金账户中的初始持有量，以便：vk=x+NXj=1xjSi。（4） o随机捐赠流：商品的kt，t<t。这意味着投资者在时间t收到商品的ktu（dt）单位≤ T以现金账户为单位的k-thinvestor的累计捐赠由以下等式给出：Ekt:=Ztψsksu（ds）。（5）定义9（消费计划和策略）。一对（ckt，xkt）t∈[0，T]称为可容许的，如果（ckt）T∈[0，T]相对于过滤A，（xkt）T可逐渐测量∈[0，T]在通常意义上是可容许的，它生成财富过程Vk=（VKt）T∈[0，T]具有非负终端财富vkT≥ 0.定义10（平衡）。给定一个经济体（{Pk}k=1，…，k，（At）t∈[0，T]，{k}k=1，。。。，K、 {Uk}K=1，。。。，K），消费品价格指数ψ，金融资产S=[S，S，…，SN]+，以及K=1的投资者消费投资计划（^ck，^xk。K、对（ψ，S）是一个平衡iumprice过程，如果对所有t≤ TP-a、 s.满足以下条件：o证券市场明确：KXk=1^xk，jt=αj（j=0，1，…，N），（6），其中αjis是第j种证券的总净供应量。假设每个αjis随时间变化为非随机常数，α=0，αj>0表示j=1。

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2022-5-9 04:47:23

商品市场清晰：KXk=1^ckt=KXk=1kt。（7） o投资者的选择是最优的：（^ck，^xk）解决了第k个投资者的效用最大化问题muk（x）：=sup{Uk（c）| c可接受的消费计划，xk=x}，（8）并且最优值是确定的。定义11（效率）。S给出的市场模型称为[0，T]对（At）T的有效性∈[0，T]，即（e），如果存在消费良好价格指数ψ和经济（{Pk}k=1，…，k，（At）T）∈[0，T]，{k}k=1，。。。，K、 {Uk}K=1，。。。，K），其中（ψ，S）是[0，T]上的均衡价格过程。在[JaLa12]和[Ja12]中，我们找到了以下结果的证明。定理12（资产定价的第三基本定理，效率的表征）。让我们做一个市场。以下陈述相当：（i）（E）：（S，A）在[0，T]中有效；（ii）（S，A）在[0，T]上满足（NFLVR）和（ND）；（iii）（EMM）：存在概率P*相当于P，因此S是a（P*, A） [0，T]上的鞅。2.2市场模型的几何重构：原语我们将介绍第2节中介绍的市场模式l的更一般的表示。1.哪个更适合套利建模任务。定义13。规范是两个A-适应实值半鞅（D，P）的有序对，其中D=（Dt）t≥0: [0, +∞[×Ohm → R被称为一个变量，P=（Pt，s）t，s:t×Ohm → R、它被称为期限结构，被认为是一个关于时间t的随机过程，称为val uationdate，t:={（t，s）∈ [0, +∞[| s≥ t} 。参数s≥ t指到期日。对于所有t，s必须满足以下特性≥ T≥ 0：（i）Pt，s>0；（ii）Pt，t=1。备注14。负债和期限结构可以在固定收入的背景下考虑。

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2022-5-9 04:47:27

任意金融工具被映射到具有以下经济解释的计量器（D，P）：o定义：dt是时间t时金融工具的价值，以兆头表示。如果我们选择现金账户，即第0项资产，作为num\'eraire，那么我们可以设置Djt:=^Sjt=SjtSt（j=1，…N）。o期限结构：Pt，sis指到期日为s的合成z ero息票债券在t时的价值（以t时的贴现单位表示），在s时交付一个单位的金融工具。它表示所选债券的远期价格的期限结构。我们指出，描述资产模型的定义和术语结构没有唯一的选择。例如，如果一组定义是合格的，那么我们可以将每个定义乘以同一正半鞅，得到另一组合适的定义。当然，期限结构也必须相应调整。“偏差”一词显然受到精算数学的启发。在当前上下文中，它指的是名义资产价值除以严格正半鞅（如果存在，可以是状态价格偏差，并将其设为数值）。没有必要假设一个偏差是一个积极的过程。然而，如果我们想让一项资产成为我们的资产，那么我们必须确保相应的偏差是一个严格的正随机过程。2.3市场模型的几何重构：Portfolios我们现在想引入变量和期限结构的转换，以获得包含相同（或更少）随机信息的计量。在这方面，我们将考虑由同一标准建模的资产的确定性线性组合（例如，相同信用质量、不同期限的零债券）。定义15。设π：[0+∞[-→ R是一个确定的现金流强度（可能是广义的）函数。

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2022-5-9 04:47:30

它诱导了规范变换（D，P）7→ π（D，P）：=（D，P）π：=（Dπ，Pπ）通过以下公式：Dπt:=DtZ+∞dhπhPt，t+hPπt，s:=R+∞dhπhPt，s+hR+∞dhπhPt，t+h.（9）命题16。现金流向量引起的规范变换具有以下性质：（（D，P）π）ν=（（D，P）ν）π=（D，P）π=（D，P）π*ν、（10）在哪里* 分别表示两个现金流向量或强度的卷积积：（π）* ν） t:=Ztdhπhνt-h、（11）两个不可逆规范变换的卷积是不可逆的。可逆规范变换与非可逆规范变换的卷积是不可逆的。定义17。如果期限结构与到期日不同，则可将其作为瞬时远期利率的函数写入，定义如下：ft，s:=-斯劳格角，s，Pt，s=expA-Zstdhft，h~a，（12）和rt:=lims→t+ft，s（13）被称为短期利率。备注18。消失利率r的特殊选择≡ 0或浮动期限结构P≡ 1对于allassets，对应于经典模型，其中只有资产价格及其动态相关。2.4不同几何框架中的套利理论现在，我们可以重新表述第2节中提出的sset模型。1就自然地理语言而言。给定N个基本资产，我们想要构建一个投资组合理论并研究套利，因此我们不能先验地假设存在风险中性度量或状态价格偏差。在微分几何方面，我们将采用数学家的方法，而不是物理学家的方法。市场模型被视为（价格、期限结构）对的主要组合，将贴现和外汇视为平行运输，将数值视为计量组合的全球部分，将轨道视为曲率。

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2022-5-9 04:47:34

证明了具有消失风险条件的无免费午餐等价于azero曲率条件。2.4.1 Princi-pal Fibre Bundleet us考虑的市场模型，在连续时间内，一个市场有N个资产和一个数字。一般的投资组合是由名词x的向量描述的∈ 十、对于开集X 注册护士。通过名词x，xNwe是指我们在投资组合中持有的资产数量。在定义13之后，通过以下标准描述了由N个合成零债券组成的资产模型：（Dj，Pj）=（Djt）t∈[0,+∞[，（Pjt，s）s≥t），（14）式中，dj表示债务，pj表示期限结构。可以这样写：Pjt，s=expA-Zstfjt，udu~a，（15），其中fjis是第j项资产的瞬时远期利率过程，相应的短期利率由rjt给出：=limu→0+fjt，u.对于名义值为x的投资组合∈ 十、 RN，我们定义：Dxt:=NXj=1xjDjtfxt，u:=NXj=1xjDjtPNj=1xjDjtfjt，uPxt，s:=expA-Zstfxt，udu~a。（16）简短的rate写如下：rxt:=limu→0+fxt，u=NXj=1xjDjtPNj=1xjDjtrjt。（17）所有可能策略的图像空间如下：M:={（t，x）∈ [0, +∞[×X}.（18）在第2.3节中，引入了现金流强度和相应的规范变换。它们具有阿贝尔半群的结构：H:=E′（[0+∞[，R）={F∈ D′（[0+∞[）|补充（F） [0, +∞[is compact}，（19）其中具有c compact支持的分布上的半群运算是卷积（见[Ho03]，第四章），它扩展了正则函数的卷积，如公式（11）所定义。定义19。市场纤维束定义为以下规格的纤维束：B:={（Dxt，Pxt，·）π|（t，x）∈ M、 π∈ G} 。（20）定义可逆变换的现金流强度构成一个阿贝尔群：G:={π∈ H |它存在于ν∈ H等于π* ν = δ} E′（[0+∞（21）从命题n16，我们得到以下定理。定理20。

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2022-5-9 04:47:37

市场纤维束B的结构类似于动作B×G给出的G-主纤维束-→ B（（D，P），π）7→ （D，P）π=（Dπ，Pπ）（22）群G自由地、不同地作用于右边的B。2.4.2 Nelson D弱差异市场模型我们继续重新制定第2节中介绍的经典资产模型。1.随机微分几何。定义21。N资产的Nelson D弱可微市场模型由Ngauges描述，该模型对于时间变量是Nelson D弱可微的。更确切地说，无论如何∈ [0, +∞[和s≥ t、我有一个开放的时间间隔因此，对于变量Dt:=[Dt，…，DNt]+和术语结构Pt，s:=[Pt，s，…，PNt，s]+，后者被视为t和参数s中的过程，存在D弱t导数（见附录a）。短期利率由rt:=lims定义→T-苦干。策略就是曲线γ：I→ 以时间参数化的公文包空间中的X。这意味着时间t的分配由名词xt:=γ（t）的向量给出。我们将γ原子的升力表示为γ，即γ（t）：=（γ（t），t）。如果一个策略由一条闭合曲线表示，则称其为闭合的。弱可接受策略是可预测的，D-弱可区分的。备注22。我们需要弱的D-可微性，而不是强的D-可微性，因为对交易策略施加先验规律性属性对应于限制与Delbaen和Schachermayer的经典概念相关的可容许策略类别。每一个（无）套利考虑都关键取决于所选择的可采性定义。因此，限制可接受策略的类别可能会导致自动排除潜在的套利机会，从而导致对类似FTAP的结果的空洞陈述。

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2022-5-9 04:47:40

经典sen s e（见第2节）中的可采性策略是弱D-可区分的。一般来说，分配取决于自然状态，即对于ω，xt=xt（ω）∈ Ohm.23号提案。弱D-容许策略是自融资的当且仅当：D（xt·Dt）=xt·DDt-D*hx，Ditor Dxt·Dt=-D*hx，Ditor Dxt·Dt=0，（23）几乎可以肯定。括号h·，·i表示二次协变量的连续部分。在本文的其余部分中，除非另有说明，否则我们将只讨论弱D可微分市场模型、弱D可微分策略，以及在必要时讨论弱D可微分州价格波动。所有的It^o过程都是弱可区分的，考虑的可采策略的类别非常大。2.4.3曲率套利G的李代数是[0+∞[表示为：g=R[0+∞[（24）因此是可交换的。遵循Ilinski的想法[Il01]，我们通过允许我们将投资组合再平衡（或外汇交易）和贴现编码为平行运输的事实，来激励对特定价值连接1-形式的选择。定理24。选择连接χ（x，t，g）。（δx，δt）：=chdδxtDxt- rxtδtag，（25）B中的随机平行传输具有以下财务解释：o沿标称方向（x线）的平行传输对应于交换率的乘法；o沿时间方向（t线）的平行传输对应于随机折扣因子的除法。证据我们参考[Fa15]中的定理28。回想一下，在Stratonovich看来，定义沿时间线平行传输所需的时间导数必须小于od。我们看到捆绑包是微不足道的，因为它有一个全球化的特权，但连接并不是微不足道的。

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2022-5-9 04:47:43

连接χ表示为基本微分形式的线性组合：χ（x，t，g）=~nDxtNXj=1Djtdxj- rxtdtég.（26）g值曲率2-形式定义如下：R:=dχ+[χ，χ]，（27），这意味着通过这一点，对于所有（x，t，g）∈ B和所有ξ，η∈ T（x，T）M，R（x，T，g）（ξ，η）：=dχ（x，T，g）（ξ，η）+[χ（x，T，g）（ξ），χ（x，T，g）（η）]。（28）注意李代数是可交换的，李括号[·，·]消失。经过一些计算，我们得到如下结果：R（x，t，g）=gDxtNXj=1Djt"Arxt+D log（Dxt）- rjt- D Log（Djt）"adxj∧ dt，（29）总结为以下命题。命题25（曲率公式）。设R为曲率。然后，以下性质成立：R（t，x，g）=gdt∧ dx[D log（Dxt）+rxt]。（30）以下结果将s套利描述为曲率。定理26（无套利）。以下断言是等价的：（i）市场模型（基础资产和期货的贴现价格为D和P）满足了风险消失条件下的非免费午餐；（ii）存在正鞅β=（βt）t≥0使贴现率和短期利率在所有投资组合名义和任何时候都满足以下条件：-D对数（βtDxt）；（31）（iii）存在正鞅β=（βt）t≥0这样，对于所有投资组合名义和任何时候，负债和期限结构都满足条件pxt，s=Et[βsDxs]βtDxt。（32）这推动了以下定义。定义27。市场模型满足零曲率（ZC）当且仅当曲率为a.s.因此，我们根据无套利的两个不同定义得出以下结论：推论28。（NF LV R）=> （ZC）。（33）正如[FaTa21]中所证明的，套利的两个较弱的概念——零曲率和无无界有界风险——是满足的。定理29。（NUP BR）=> （ZC）。

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2022-5-9 04:47:47

（34）对于资产价值和期限结构的It^o动力学的特殊情况，情况正好相反（见[FaTa21]）。备注30。让我们考虑一下定理的一些特殊情况。1.r的分量相等：例如，在经典m模型中，没有术语结构（即r）≡ 0），（a）D和r随时间保持不变：NFLVR满足；（b） D和r是确定性的，随着时间的推移不是恒定的：NFLVR永远不会令人满意。r的组成部分并不相等：（a）D和r随时间而恒定：NFLVR永远不会满足；（b） D和r是确定性的，并且随着时间的推移不是恒定的：如果（ii）或（iii）成立，NFLVR可以满足。2.4.4预期效用最大化和CAPM公式定义31（EUM）。给定效用函数u在[0，t]期间内最终财富的预期效用最大化问题如下：max（xu）u∈[0，t]（xu）uis自筹资金和可采性x·D=1E[u（xt·Dt）]。（35）我们将（35）的解的存在性及其唯一性表示为（EUM）。正如[FaTa21]中所证明的，e。g、一个期望效用最大化问题的解的存在性和风险有界的无无界利润是满足的。定理32。（NUP BR）=> （EU M）（36）资产回报和市场投资组合回报通过敏感性在预期价值水平上相关。这种关系是以下平衡结果。定理33（CAPM）。LetR[0，t]：=DtD- 1 RM[0，t]：=DxMttDxM- 1（37）是贴现资产总回报和贴现市场投资组合总回报。如果我们假设每个投资组合的最终财富的预期效用最大化，则E[R[0，t]=Cov"AR[0，t]，RM[0，t]Var"ARM[0，t]E[RM[0，t]]。（38）证据。

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2022-5-9 04:47:51

如果我们选择二次效用函数u（v）：=v-λv，（39）其中λ表示风险规避参数，并且我们假设在区间[0，t]内仅在{0，t}再平衡时允许，那么预期效用最大化问题变为comesmaxxx·D=1E"i（xt·Dt）-λ（xt·Dt）ò，（40），相当于XXX·D=1E"i（xt·Dt）-λ（xt·Dt）- E[xt·Dt]ò，（41）和tomaxww·e=1w+e[R[0，t]]-λw+VCM（R[0，t]）w，（42），其中w:=xDx·d组合权重。解决方案是市场组合wM=^wM>>（^wM）+^wM，其中^wM:=λVCM（R[0，t]）-1E[R[0，t]]。（43）因此，我们有（43）个（43）我们有（43）个（43）所以，我们有（43）我们有（43）个（43）我们的（43）E[R[0，t[0，t[0，t]的[0，t[0，t]]的（43）E[R[0，t[0，t[0，t[0，t]的）我们有（43）的（43）E[3）E（43）E[3）E[3）E[0，wM=1）wM=λ=λ\\124\\124，124，124）的，我们的，我们的（3）和（3，我们的）的（3）和（3）wM）wM）的（3）wM）的（3）和（3）wM）的，我们的（3）wM=方方方方（R（R（1）和（10）和（10）的）的）的|wM|=E[RM[0，t]]Var"ARM[0，t]"a，（46）插入到（45）中，导致toE[R[0，t]=Cov"AR[0，t]，RM[0，t]"aVar"ARM[0，t]"aE[R[0，t]，（47）证明已完成。备注34。向量β：=Cov"AR[0，t]，RM[0，t]"aVar"ARM[0，t]"a（48）包含预期资产收益相对于预期市场投资组合收益的敏感性。我们可以用经典形式计算资产收益率的CAPM，如下所示：r[0，t]：=StS- 1 =1+R[0，t]expC+Ztdu rua- 1（49）获得[r[0，t]]- rf[0，t]=Cov"Ar[0，t]，rM[0，t]"aVar"ArM[0，t]"aE[r[0，t]]- rf[0，t]"a，（50），其中rf[0，t]：=exp"A+Rtdu ru"a- 1是无风险回报。评论35。不同的套利概念和资本资产定价模型在以下逻辑表示中相关：（EMM）<=> （E）<=>（NFLVR）<=>（NUPBR）=>（EUM）（ZC）=> （CAPM）（NA）（ND）（51）3光谱理论3。1现金流作为相关向量捆绑定义36（现金流捆绑）的一部分。

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2022-5-9 04:47:54

通过选择纤维V:=R[0+∞[和表示ρ：G]→ GL（V）由规范变换定义引起，因此满足同态关系ρ（g* g） =ρ（g）ρ（g），我们获得了相关的向量束V。其部分代表现金流，用基础资产组合产生的贴现率表示。如果v=（vxt）（t，x）∈如果确定的现金流量不一致，则其在时间t时的值等于：o确定量vxt，如果该值是根据流量Dxt测量的；o随机量y vxtxt，如果该值是根据数值（例如，选择Djt:=^sjt的现金账户，对于所有j=1，…，N）来测量的。时间名义空间M=[0，T]×X上的捆绑V称为现金流捆绑。在主丛的一般理论中，规范变换是丛自同构，表示群作用，等于基空间上的恒等式。B的规范变换与束B的截面自然同构（见[Bl81]中的定理3.2.2]）。因为G是阿贝尔的，所以右乘法是规范变换。因此，ga uge转换和现金流强度之间存在双射对应关系，允许反向。这就是定义15中引入的术语。3.2与市场模型相关的拉普拉斯连接定理24中定义的市场主体束B上的连接χ会导致协方差差异Von相关向量束V，对相应的平行传输的解释与理论24中对主要向量束的解释相同，即，在资产的非最终维度上进行投资组合再平衡，并在时间维度上进行贴现。更确切地说，我们有以下建议。提案37。让我们以坐标向量x为端点∈ Rn的第0个分量由timet给出。

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2022-5-9 04:47:57

设X=PNj=0Xjxjbe是现金流束V的M和f=（fs）sa部分上的向量场。然后VXft=NXj=0A英尺xj+Kjft~axj，（52）其中k（x）=-rxtKj（x）=DjtDxt（1）≤ J≤ N）。（53）证据。从主纤维束上的连接开始，在相关向量束上构造协变微分是微分几何中的一个通用过程。联系χisa李代数g=R[0+∞[valued 1-form on B，我们可以将连接分解为χ（x，g）=gK（x），其中K（x）：=PNj=0Kj（x）dxj。微分映射Teρ：g→ L（R[0+∞[）表示ρ：G→ GL（R[0+∞[）将李代数的元素映射到丛V的自同态上。给定局部现金流截面ft=R+∞ds fsδs-t、在V | U和t M | U中的位置向量场X中，连接VHA作为以下当地代表：VXft=Z+∞ds（dfs（X）。vs+fsω（X）。其中vs:=δs-tandω是T的一个元素*U | UNL（V | U），即值为1的自同态-形式定义如下：ω（x）（x）：=（Teρ.χ（x，e））。X=ddεε=0ρ（exp）（εχ（x，e）。十） e）。（55）因为指数映射的导数是恒等式，ρ（π）=π* · ∈ GL（Vx）=> Teρ。t=t* · ∈ 因此ω（x）=χ（x，e）* · = K（x） δ * ·, （57）因此，VXft=Z+∞ds[dfs（X）vs+fsK.Xδ* vs]=Z+∞ds[dfs（X）+fsK.X]vs=dft（X）+ftK。X=NXj=0A英尺xj+Kjft~axj。（58）38号提案。连接的曲率VisRV（X，Y）：=VXVY- VYVX- V[X，Y]=[p]o （R（X）*, Y*, （e）* ·) o [p]-1，（59）其中R是主纤维束B，X上的曲率*, Y*∈ TpB X，Y的水平升降∈T（T，x）M和[p]：V=R[0+∞[-→ V（t，x）：=B（t，x）×gV7-→ [p] （v）=[p，v]（60）是B和v之间的函数同构。特别是，当且仅当相关向量束上的曲率消失时，主函数束上的曲率消失。证据

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2022-5-9 04:48:00

等式（59）源自向量束上曲率的定义，并利用Satz3。21 in[Baum（2014）]，ρ（π）=π* · .现在我们在适当的希尔伯特空间上引入拉普拉斯连接。定义39。现金流束截面的空间可以通过引入，对于s，快速截面f=f（t，x，ω）=（fs（t，x，ω））s，转化为标量乘积空间∈[0,+∞[g=g（t，x，ω）=（gs（t，x，ω））s∈[0,+∞[，如下：（f，g）：=ZOhmdPZXdNxZ+∞dt hf，gi（t，x，ω）=E^i（f，g）L（M，R[0+∞[）ó=（f，g）L(Ohm,五、其中hf，gi（x，t，ω）：=Z+∞dsfs（t，x，ω）gs（t，x，ω）。可积截面的希尔伯特空间如下：H:=L(Ohm, 五、 A，dP）=f=f（t，x，ω）=（fs（t，x，ω））s∈[0,+∞[（f，f）L(Ohm,五、 A，dP）<+∞. （62）在考虑拉普拉斯连接时，对于保证自伴性的局部椭圆边界条件，有两种标准选择：oDirichlet bo-u-ndary条件：BD（f）：=f|M.（63）o诺依曼边界条件：BN（f）：=(Vνf）|M、（64）式中，ν表示法向单位向量场M通过考虑ωa参数依赖性，我们可以应用标准结果泛函分析来获得以下命题。40号提案。拉普拉斯的联系V:=五、*V由Neumann边界条件dom给出的域定义VBN:=^f∈ H | f（ω，·，·）∈ H（M，R[0+∞[），BN（f（ω，·，·））=0 ω ∈ Ohm（）（65）是H上的自伴算子。其谱由[0]中的离散谱（特征值）和连续谱（近似特征值）的不相交并组成+∞[：规格(VBN）=specd(VBN）˙∪特种部队(VBN）。（66）如果M是紧凑的，例如，通过设置M:=[0，T]×X，X RNcompact和T<+∞, 然后连续谱是空的，特征值可以按单调递增序列排序，收敛到+∞.备注41。

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2022-5-9 04:48:03

当我们选择M=[0，T]×X时，T<+∞, 我们必须相应地调整主纤维束和相关向量束的结构。注意，B的结构群及其李代数仍然是G和R[0+∞[，V的纤维仍然是R[0+∞[.只在基本空间M的时间维度上进行积分，直到T.备注42.对于固定ω∈ Ohm, 定义域VBNis是Sobolev空间h（M，R[0+∞[）。如果M是紧的，那么C语言中的VBNlie∞（M，R[0+∞[）和s满足纽曼边界条件。命题40通过积分的方式遵循标准椭圆谱理论Ohm .Neumann边界条件下的连接拉普拉斯谱包含市场中任意年龄可能性的信息。定理43。当且仅当0时，市场模型满足NFLVR条件∈ 规格VBN.调和截面参数化了Radon–Nikodym导数，用于将测量值从统计测量值更改为风险中性测量值。证据在Neumann边界条件下，Laplacia n的谱包含0，当且仅当存在一段f，使得Vf=0。（67）根据命题37，这相当于英尺xj+Kjft=0，（68）对于所有j=0，1，N这意味着对于j=0D对数（ft（x））- rxt=0，（69）对于j=1，N 对数（英尺（x））xj=-DjtDxt，（70）适用于所有x∈ X.方程式（70）变为对数（英尺（x））xj=- 日志（Dxt）xj 对数（ft（x））Dxtxj=0log（ft（x））Dxt）≡ Ctft（x）Dxt≡ exp（Ct），（71）表示一个过程（Ct）t∈[0,+∞因此，正过程β=（βt）t∈[0,+∞[：=（exp(-Ct）t∈[0,+∞[satis fieft（x）=βtDxt，（72），当插入方程（69）时，对于所有t和x，导致toD log（βtDxt）+rxt=0，（73）。对于固定ω∈ Ohm, 拉普拉斯算子有一个椭圆符号，根据Weyl定理，任何调和函数f=f（ω，t，x）都是（t，x）的光滑函数。

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2022-5-9 04:48:06

特别地，f的任何路径都是有界变化的c`adl`ag，因此（ft）是一个半马丁酒。根据方程（72），（Dt）t是半鞅，因此（βt）也是半鞅。根据定理26，这相当于NFLVR条件。备注44。注意，如果f=f（ω，t，x）≡ f（ω），并且r或D的至少一个分量不消失，那么f=0，0/∈ 规格VBN, 确认并扩展备注30。备注45。任何谐波f=ft（x）通过氡-尼科迪导数dP定义一个风险中性度量*dP=βtβ=DxDxtf（x）ft（x），（74），它不依赖于x。从公式（74），我们推导出以下推论。推论46。当且仅当0时，市场模型是完整的∈ 规格(五） bn是一个具有简单多重性的特征值。备注47。Dirichlet边界条件的情况类似。与命题40和备注42类似的命题和标记成立。但由于椭圆算子的唯一延拓性质，0永远不在specd中VBDNFLVR财产是否满足要求。3.3套利泡沫定义48（频谱下限）。现金流束V上连接拉普拉斯函数的最高光谱下界由以下公式给出：λ：=inf~n∈C∞（M，V）~n6=0BN（~n）=0(V，V k）H（k，k）H，（75），并且在子空间λ上假设：=φφ ∈ C∞（M，V）∩ H、 BN（~n）=0(V，V~n）H≥ λ（ν，ν）H. （76）空间kλ：={~n∈ Eλ|~n≥ 0，E[~n]=1}（77）包含Radon–Nikodym衍生EDP的所有候选项*对于概率度量P，dP=а（78）*关于统计测度P是绝对连续的。通过重新表述定理43和推论46，我们得到以下陈述。第49号提案。当且仅当λ=0时，市场模型满足NFLVR条件。

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2022-5-9 04:48:10

因此，存在由（78）定义的风险中性概率度量，以及相应的φ∈ Kλ使得（Dt）t∈[0，T]是关于P的向量值鞅*, i、 e，e*t[Ds]=所有的DTS≥ [0，t]中的t。（79）当且仅当λ=0且dim E=1时，市场是完整的。对于套利市场，我们的λ>0，并且不存在风险中性概率度量。尽管如此，仍有可能确定基本价值，尽管不是以独特的方式。定义50（基本资产套利基本价格和泡沫）。让（Ct）t∈[0，T]bethe Rn现金流随机过程与市场模型的N个资产相关，具有agiven谱下界λ和Radon–Nikodym子空间Kλ。对于给定的选择∈ Kλ，具有随机RN值价格过程（St）t的资产的近似基本价值∈[0，T]定义如下：*,ηt:=Et"iAZτtdCuexpA-Zutrsds~a+SτexpA-Zτtrsds~a{τ<+∞}ò{t<τ}，（80）式中τ表示市场模型中所有风险资产的到期时间，近似泡泡定义如下：B"at:=St- s*,~nt.（81）资产的基本价格向量及其资产泡沫价格定义为：*t:=S*,~ntBt:=B k tа：=arg minа∈KλE~nZTds |B|s |。（82）概率测度P*用氡-Nikodym衍生*dP=~n（83）被称为最小套利度量。51号提案。资产的基本价值可以用以下公式表示为关于最小套利测度的条件预期：S*t:=E*t"iZτtdCuexpA-Zutrsds~a+SτexpA-Zτtrsds~a{τ<+∞}ò{t<τ}。（84）定义52（标量曲率）。portfoliox在时间t的市场积分标量曲率定义如下：K（t，x）：=D log Dxt+rxt。

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2022-5-9 04:48:14

（85）策略x=（xt）t∈[0，T]是一种免费午餐/无套利/套利策略，当且仅当ifK（T，xt）> 0（免费午餐）=0（无套利）<0（套利）∈ [0，T]。（86）投资组合的向量值积分曲率定义为投资组合单一资产组成部分的积分比例曲线向量：-→K（t，x）：=NXj=1D对数Dxjejt+rxjejtej。（87）备注53。（29）中定义的曲率R可以写成：R（t，x，g）=gdt∧ 因此，dxK（t，x），（88）证明了积分标量曲率K的命名法的合理性。我们现在可以将[JPS10]中的Jar row–Protter–Shimbo的结果扩展到以下气泡分解定理。定理54（气泡分解）。让τ表示市场模型中所有风险资产的到期时间。STA将一个唯一的（直到P-消失集）分解为一个有趣的damentaland泡泡值之和：St=S*t+Bt，（89）其中（Bt）t∈[0，T]是一个满足BT=St的c`adl`ag过程+- Et"issZτtdCuexpA-Zutdsr~a++StexpAZτtds(-→K（s，e）- rs）~a{τ<+∞}TMò{t<τ}，（90）式中，e=[1，…，1]+或等效地，对于所有j=1，NBjt=Sjt- E*t"iZτtdCjuexpA-Zutds rs~a+expA-Zτtds rs~aSjτ{τ<+∞}ò{t<τ}。（91）如果所有资产到期日都是有限的，即τ=T<+∞, 然后-→K·>r·，C·>0==> 英国电信↑ 0-（t）→ T-)-→K·<r·，C·<0==> 英国电信↓ 0+（t→ T-)-→K·=r·，C·=0==> 英国电信≡ 0，（92），其中不等式和极限是指分量。证据

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2022-5-9 04:48:17

通过开发气泡值的表达式，并利用所有≥ 0Dt=expC-Ztds rsaSt，（93）由于曲率是瞬时资产组合对数回报（见[FaTa21]）Dτ=DtexpAZτtds（D log Ds+rs）~a，（94）我们得到τ=StexpAZτtdsD日志Ds+rs- rs~a，（95）因此，Bt=St- Et"issZτtdCuexpA-Zutds rs~a++SτexpA-Zτtds r~a{τ<+∞}TMò{t<τ}==St- Et"issZτtdCuexpA-Zutds rs~a++StexpAZτtds(-→K（s，e）- rs）~a{τ<+∞}TMò{t<τ}，（96）也就是（90），最后t变成了comesbt=St- Et~nkCZTtdCuexpA-Zutds rs~a++StexpcZTtds(-→K（s，e）- rs）aa^o=圣- StEt~nk expCZTtds(-→K（s，e）- rs）a|{z}=：A（t，t）+- Et~nkCZTtdCuexpA-Zutds rsa||{z}=：A（t，t）。（97）现在，由于E[~n]=1，我们观察到-→K·- r·>0，C·>0==>A（t，t）>0，A（t，t）>0，A（t，t）↓ 1+，A（t，t）↓ 0+（t→ T-)-→K·- r·<0，C·<0==>A（t，t）>0，A（t，t）<0，A（t，t）↑ 1+，A（t，t）↑ 0+（t→ T-),（98）根据（97）我们得出结论-→Kt- t的rt>0∈ [0，T]，C·>0==> 英国电信↑ 0-（t）→ T-)-→Kt- t的rt<0∈ [0，T]，C·<0==> 英国电信↓ 0+（t→ T-),（99）因此，-→Kt- rt≡ 0和C=0==> 英国电信≡ 0.（100）插入定义（87）-→K到（90）导致（91）。公关工作现在已经完成。我们现在可以扩展Jarrow–Protter–Shimbo在[JPS10]中的结果，以获得以下气泡分类定理。定理55（气泡类型）。设T=+∞, 用τ表示市场模型中所有风险资产的到期时间。如果j=1的资产价格存在一个非平凡的泡沫。

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2022-5-9 04:48:20

，N，则至少存在一个概率测度P*等价于P，对于P，我们只有三种可能性：o类型1：关于P和P的Bjtis局部超鞅或次鞅*, 如果P[τ=+∞] > 0;o 类型2：关于P和P的Bjtis局部超鞅或次鞅*, 但如果bjis无界但有P[τ<+∞] = 1;o 类型3：Bjtis a str ict本地超级或次级P-和P*-鞅，如果τ是有界停止时间。证据该定理是方程（97）局部应用的直接结果，应用于[0，T]的时间间隔，K（T，ej）+r的符号和Ctremain常数。在具有非负K（t，ej）和Ct的子区间上，泡沫价格bj是both P和P的子鞅*, 因为堡垒≤ 这就足够了，Bt≤ 这是真的；因此，英国电信≤ Et[Bs]和Bt≤ E*t[Bs]。（101）在具有非正K（t，ej）和Ct的子区间上，P和P的泡沫价格bj都是超鞅*, 因为对于t≤ 这就足够了，Bt≥ 这是真的；因此，英国电信≥ Et[Bs]和Bt≥ E*t[Bs]。（102）在类型1的情况下，存在一组基本事件，对于这些事件，资产的到期时间是不确定的，没有进一步的信息，我们不知道直到到期的随机积分是否收敛。在类型2的情况下，资产的自然时间τ不是有限的基本事件集是a.s.的，但如果bjis无界，我们不知道[t，τ]上的托卡斯蒂克积分是否一致地在τ中收敛。对于类型3，随机积分收敛。证据已经完成。备注56。

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