Schmidt根据（4.2）和（4.5），我们可以计算^Lpt，T，δqP pt，T `δqXt˙“P pt'，T `δqXt'¨dLpt，T，δq ` Lpt'，T，δqdMtpT'，0q'd“Lp¨，T，δq，MpT'δ，0q‰T˙，“P pt'，T `δqXt'MtpT，δq'jtpT，δqdt'dJp1qtpT，δq˙，（4.6）其中，MpT，δq“pMtpT，δqq0dTd是由MtpT给出的局部鞅，δq：“ztLps'，T，δqdMspT'，0q'tbLps，T，δqdWs'TzEgLps，x，T，δq'upds，dxq'νpds，dxq'，jpT，δq“pjtpT，δqq0dtd是由jtpt给出的一个自适应实值过程，δq”aLpt，t，δq'bLpt，t，δqJ'Ht'bpt，t'δ，0q'bpt，Jp1qpT，δq“pjp1qtp，δq0dtd是由jp1qtp给出的纯跳变过程，δq”t'EgLps，x，t，δq'e'gps，x，t'δ，0q1'Lps，xq”\'1,upds、dxq和Jp2qpT、δq“pJp2qtpT，δqq0dtd是一个纯跳变过程，由jp2qtpt，δq”nPNtTndtu给出LpTn，T，δq1 `BTne'spTn，T'δsV pTn，u，0qηpduq\'fpTn\'，Tn，0q。如果Lp¨，T，δqP p¨，T `δq{Xis是一个局部鞅，对于每个δP D和T P Tδ，则（4.6）意味着过程Jp1qpT，δq和Jp2qpT，δq是局部可积变分的。与定理3.7的证明类似，这意味着条件（4.3）和（4.4）的有效性，这是由于He等人（1992）的定理5.29. 让我们用pjpiqpt，δq表示jpiqpt的补偿器，δq，对于i P t1，2u，δP D和T P Tδ。我们有PJP1QPT，δq“z¨EgLps，x，T，δqe'gps，x，T'δ，0q1'Lps，xq'1'λspdxqds，pJp2qpT，δq“nPN'EQ'LpTn，T，δq1 `BTne'spTn，T'δsV pTn，u，0qηpduqˇFTn'efpTn'，Tn，0qrrTn，`8rr˙。Lp¨，T，δqP¨，T'δq{x与方程（4.6）一起的局部鞅性质表明，对于每个δp D和T p Tδ，可预测的有限变化过程¨jspT，δqds'pJp1qpT，δq'pJp2qpT，δq（4.7）为空（直至消失集）。

分别考虑绝对连续和不连续部分，这意味着定理陈述中条件（i）、（ii）的有效性。相反，根据定理3.7，如果条件（3.9），（3.10）以及定理3.7的条件（i）–（iv）对于δ“0和所有的T P T都满足，那么P¨，T q{Xis a Qlocal鞅，对于所有的T P T。此外，如果条件（4.3），（4.4）满足，并且定理的条件（i），（ii）成立，那么（4.7）中给出的过程为空。反过来，具有多条曲线和随机不连续性的副项结构21方程（4.6）这意味着对于每个δp D和T p Tδ，Lp¨，T，δqP¨，T'δq{Xis是一个q-局部鞅，从而证明了q是关于X的风险中性测度。备注4.2。在市场模型中，num'eraire通常被选为OIS零耦合债券，最长可用期限为T（终端债券）。此外，参考概率测度Q是相关的T正向测度，参见第12.4节inMusiela和Rutkowski（1997）。利用流程X的通用性，可以在我们的框架内轻松适应此设置。事实上，如果sTE'E gps，x，T，0q'1'gps，x，T，0q'λspdxqds'8 a.s.，推论3.6表明，只要（3.1）和（3.2）中出现的过程是特定的，x“P'，Tq{P p0，Tq就成立”\'gpt，x，T，0q\'1，BTn“e'spTn，TsV pTn，u，0qηpduq ` fpTn\'，Tn，0q'1，rt“f pt，t，0q'apt，t，0q `}bpt，t，0q'E'gpt，x，t，0q'1'gpt，x，t，0q'λtpdxq。在本规范下，直接应用定理4.1可产生Q成为风险中性度量的必要条件和充分条件到终端OIS bond asnum'eraire。4.1。鞅建模。

通常，市场模型直接从以下假设开始：每个Ibor利率Lp¨，T，δq是与数量P¨，T¨δq相关的pT¨δq-远期测度QT¨δ下的鞅。在我们的上下文中，只要后期定义明确，该假设就被推广为pT¨δq-远期测度下的局部鞅要求。更具体地说，假设P¨，T `δq{Xis为真鞅，通过dQT `δFT `δ定义pT `δq-正向测度：“pP p0，T `δqXT `δq'1dQ'FT'。根据Girsanov定理（见（Jacod and Shiryaev，2003，定理III.3.24））和方程（4.5），在测度QT'δLpt，T，δq“Lp0，T，δq'taL，T'，T，δps qds"ynPNLpTn，T，δq1tTndtuztbLps，T，δqdWT `δs ` TzEgLps，x，T，δq `upds，dxq'νT `δpds，dxq，（4.8）对于某些自适应实值过程aL，T'p¨，T，δq，其中，过程WT`δ是由WT`δ定义的QT`δ布朗运动：“W`s¨pHs` bps，T`δ，0qds和补偿器νT`δpds，QT`δ下随机测度upds的dxq，dxq由νT`δpds，dxq给出“e'”gps，x，T'δ，0q1'Lps，xqλspdxqds。在这种情况下，定理4.1得出了以下命题，它提供了远期措施下远期Ibor利率的局部鞅性质的特征。命题4.3。假设假设假设3.3适用于δ“0”和所有T P T。此外，假设P¨，T q{Xis是一个真正的Q-鞅，对于每个T P T。那么以下是等价的：（i）Q是一个风险中性度量；22 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&T.SCHMIDT（ii）Lp¨，T，δQ是QT′δ下的局部鞅，对于每个δP D和T P Tδ；（iii）对于每个δP D和T P Tδ，它认为Al，T′pt，T，δQ“0，在Ohm pQ b dtq的^r0，T s测量零，对于每个n P n和TδQ TěTn，随机变量LpTn、T、δq满足度qt `δrLpTn，T，δq | FTn’s“0 a.s.证明。

在这些假设下，Q是风险中性度量，当且仅当Lp¨，T，δqP p0，对于每个δP D和T P Tδ，T`δq{Xis是q下的局部鞅。然后，等价性piiq^opiiq遵循贝叶斯规则的条件版本（参见（Jacod和Shiryaev，2003，命题III.3.8）），而等价性piiq^opiiq是等式（4.8）和（He等人，1992，定理5.29）的直接结果。仿射规范术语结构建模中最成功的一类过程是of of ne过程。这门课结合了捕捉利率市场重要特征的灵活性和卓越的分析可操作性，如Duffee和Kan（1996），Duffee等人（2003），以及Filipovi\'c（2009）的教科书账户。在文献中，通过定义，一个过程是随机连续的，因此不允许在预定日期跳跃。鉴于我们的建模目标，我们需要对流程的概念进行适当的概括。为此，Keller-Restel等人（2018）最近通过放弃随机连续性的要求引入了一个半鞅。Gehmlich和Schmidt（2018）给出了具有随机不连续性怀疑风险的有效过程的相关结果。在本节中，我们旨在展示一类半鞅如何导致具有随机不连续性的灵活且可处理的多曲线模型。我们考虑不连续日期的可数集T“tTn:n P Nu，对于每个n P n，Tn\'1aTn，limn~n\'8Tn”`8。我们假设过滤概率空间POhm, F，F，Qq支持一个d维特殊半鞅X“pXtqtě0，进一步假设它是Keller-Restel等人意义上的一个半鞅。

（2018）并引用规范分解X“X ` BX ` Xc ` X`uX'νX，其中BXis是有限变化可预测过程，Xc是具有二次变化cx和uX'νXis的连续局部鞅X的补偿跳跃测度。LetBX，cbe是BX和νX的连续部分，ct是随机测度νX的连续部分，在某种意义上（Jacod和Shiryaev，2003，§II.1.23）. 鉴于（Keller Ressel et al.，具有多条曲线和随机不连续性的期限结构232018，定理3.2），在弱附加假设下，它认为Bx，ctpωq“zt'βpsq'd"yi”1Xis'pωqβipsq'ds，CXtpωq“zt'αpsq'd"yi”1Xis'pωqαipsq'ds，νX，cpω，dt，dxq'd"yi”1Xit'pωipt，dxq'dt，Rd'exu，xy 1νXpω，ttpωu，dxq“~exp'γpt，uq\'d"yi”1xXit'pωq，γipt，uqy'1,。（5.1）在（5.1）中，我们有βi:R'Rd和αi:R'Rd'd，对于i“0，1，…，d，γ：R'Cd~nC\'，γi:R'Cd'Cd，对于i“1，…，d.uipt，dxq是针对ALI的Rdzt0u的Borel度量“0，1，…，d，这样，对于所有的t P R`，Rdzt0up1`，x | quipt，dxqa\'8。最后，我们假设νXpttu^Rdq在随机不连续集pTnqnPN之外消失。我们使用a ffine半鞅x作为多曲线模型的驱动过程，如第3节所示。特别是，我们在这里重点建模δ-期债券价格P pt，t，δq和乘法s以这样的方式预测Sδtin，从而得出的模型在以下定义的意义上是有效的，这扩展了的方法（Keller Ressel et al.，2018，第5.3节）。定义5.1。对于所有δP D，多曲线模型称为有效的iffpt，T，δq“fp0，T，δq′Tzps，T，δqdXs，（5.2）SδT”Sδexp^TψδsdXs，对于所有δP D，（5.3）对于所有0dTa8，其中：Ohm ^R`^D~nRdandψδ：Ohm ^R`^D~nR是可预测的过程，因此，对于每个i“1。

，d和T P R\'，ψδP LpXq和zT |ψδT | | dBX，ct |a8 a.s.，对于所有δP d，以及对于所有δP和T P R\'，ρT |νip¨，u，δq |ηpduq˙1{2P LpXiq和zTzT |νpt，u，δq |ηpduq | dBX，ct |a\'8 a.s.，其中LpXq表示在半鞅意义下可积的Rd值可预测过程集，类似于LpXiq。度量η如等式（3.6）所示。对于所有0dTdTa\'8和δP D，让我们也定义？pt，T，δq：“rt，T sνpt，u，δqηpduq.24 C.FONTANA，Z.GRBAC，s.G¨UMBEL&T.Schmidt我们进一步假设sTepψδtqJxtpψδtqJxa1uνX，cpdt，dxqa\'8 a.s.，对于所有T P R\'，确保sδ是一个特殊的半鞅（参见（Jacod和Shiryaev，2003，命题II.8.26））。为了完成模型的规范，我们假设theformXt“exp'trsds'nPNψJTnXTntTndtu\'，对于所有的tě0，（5.4），其中prtqtě0是一个适应的实值过程，对于所有的t P R\'，满足st | rt | dta` 8 a.s.，对于所有的n P n，ψtn是一个d维的FTn'可测量的随机向量。我们旨在描述Q是一个有效多重曲线模型的风险中性度量时的特征。根据备注3.8，我们看到一个必要条件是RT“f pt，t，0q，对于a.e.tě0。（5.5）在目前的假设和定理3.7的精神下，下面的命题为Q提供了充分的条件，使其成为上述asne多曲线模型的风险中性度量。为了便于记法，我们让ψt：“0表示所有t P R`和S：”1，因此S：“Sexpps¨sdXsq”1、提案5.2。考虑定义5.1中的一个完整的多曲线模型，并满足（5.5）的要求。此外，对于每个δP和T P R\'，假设zTzRdzt0uˇepψδsqJx'e'νps，T，δqJx'1'''''''ps，T，δqJxˇνX，cpds，dxqa\'8 a.s.（5.6）。那么Q是（5.4）中关于Xgivenas的风险中性度量，如果以下三个条件对每个δP D都保持a.s.：（i）对于a.e。

t P R `，它认为rt'f pt，t，δq“pψδtqJβptq\'d"yi”1Xit'βiptq,` pψδtqJαptq\'d"yi”1Xit'αiptq,ψδt'Rdzt0u'epψtqJx'1'pψtqJx'upt，dxq\'d"yi“1Xit'uipt，dxq,；（ii）对于每个t p R\'，a.e.t p r0，t s对于每一个i“0，1，…，d，它都会保持(R)pt，t，δqJβiptq“(R)pt，T，δqJαiptq^，νpt，T，δq'ψδT˙'Rdzt0u'epψδtqJx'e'''pt，T，δqJx'1'''''pt，T，δqJx'uipt ipt，dxq；（5.7）（iii）对于每n P n和TěTn，它认为'Tn，Tn，δfpq'γ'Tn，δTnψsДpTn，u，δqηpduq‘\'d"yi“1axin'，γi'Tn，ψδTn'ψTn'zpTn，ts k pTn，u，δqηpduq'E.证明。对于所有δpd，目前的可积性假设确保ψδ¨X和sδ是特殊的半鞅。因此，（Jacod和Shiryaev，2003，定理II.8.10）意味着具有多条曲线和随机间断的项结构25Sδ允许形式（3.3），（3.4）的随机指数表示，与αδt“pψδtqJβptq\'d"yi”1Xit'βiptq'pψδtqJαptq\'d"yi”1Xit'αiptq'ψδt'Rdzt0u'epψδtqJx'1'pψδtqJx'upt，dxq\'d"yi“1Xit'uipt，dxq''，AδTn“epψδTnqJXTn'1，对于所有n P n和Lδpt，xq“pepψδtqJx'1q1Jcptq，对于所有pt，xq P R'Rdzt0u，其中我们定义了setJc：“R'zT。由于（5.4），定理3.7的条件（i）减少为aδt”f pt，t，0q'f pt，t，δq，对于a.e.t P R'和δP D（另见备注3.8中的等式（3.12），其中条件（i）直接跟随。定义5.1中出现的可积性条件使我们能够在Protter（2004）的定理IV.65版本中应用随机Fubini定理，并且确保对于每个δp和δp R\'，φp¨，T，δq¨X是一个特殊的半鞅。

这允许获得引理3.5中的P pt，T，δq的表示，即P pt，T，δq“exp^''Tfp0，u，δqηpduq'T'νps，T，δqdBX，cs'nPN'pTn，T，δqJXTntTndtu't'νps，t，δqdXcs't'Rdzt0u'νps，t，δqJx1Jcpsq'uXpds，dxq'νXpds，dxq'tfpu，u，δqηpduq'。鉴于a ffine结构（5.1）并与（3.8）进行比较，认为“apt，T，δq“(R)pt，T，δqJ'βptq'd"yi”1Xit'βiptq'，}bpt，T，δq'φpt，T，δqJ'αptq'd"yi”1Xit'αiptq''pt，T，δbpt，T，δqJHδT'φpt，T，δqJ'αptq'd"yi”1Xit'αiptq对于所有0dTdTa\'8、δP和x P Rdzt0u，以及“gpt、x、T、δq”(R)pt、T、δqJx1Jcptq。在定理3.7的当前设置条件（ii）中，采用形式“pt、T、δqJ^βptq\'d"yi“1Xit'βiptq'pt，T，δqJ'αptq'd'i”1Xit'αiptq'd'i，T，δq'ψδT'Rdzt0u'epδtqJx'e'cfcf pt，T，δqJx'1'pt，T，δqJx'upt，dxq'd'i”1Xit（5.8）很明显，命题的条件（ii）对于（5.8）而言，对于当前设置中的每个T P R`和a.e.T P r0，T s，条件（iii），（iv）是足够的对于每个δP D，n P n和TěTn，e'fpTn'，Tn，δq“EQ<<1 `AδTn1 `BTne'spTn，T sИpTn，u，δqJXTnηpduqˇFTn'fff“EQ<<exp▄ψδTn'ψTn'pTn，T sДpTn，u，δqηpduq'JXTn,uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu181。最后，在目前的设置中，定理3.7中出现的可积条件（3.9）减少为条件（5.6）。根据定理3.7，我们可以得出结论，Q是相对于X的风险中性。备注5.3。条件（ii）仅适用于必要条件（5.8）。只有当夏尔坐标线性无关时，才需要这个条件。以下示例说明了命题5.2的条件。示例5.4（单曲线Vasiˇcek规范）。

作为第一个例子，我们研究了由一维GaussianOrnstein-Uhlenbeck过程驱动的无跳跃的经典单曲线（即D“H）模型。设ξ为Dξt”κpθ'ξtqdt'σdWt的解，其中W为布朗运动，κ、θ、σ为正常数。作为（5.2）中的驱动过程，我们选择三维a ffine过程xt“t，tξsds，ξt˙J，tě0。半鞅表示（5.1）中的系数是时间齐次的，即αiptq”α和βiptq“βi，i”0，…，3，由β“，”κθ“，”β“，”β“，”β“，”β“，”α“，”给出0 0 0 0 0 0 0 0 0σ和α“α”α“0。漂移条件（5.7）意味着“pt，t，0q“σ`\'(R)pt，T，0q'κθ'pt，T，0q，'νpt，T，0q”κ'pt，T，0q。我们可以自由指定Дpt，T，0q并选择'pt，T，0q“κ'1'e'κpt'tq。这反过来意味着'pt，T，0q“σκ'e'κpt'tq'e'2κpt'tq'κθe'κpt'tq，Дpt，T，0q“κe'κpt'tq，Дpt，T，0q“e'κpT'tq。可以很容易地验证这与Vasiˇcek模型相对应，请参见Filipovi'c（2009）第10.3.2.1节。注意，这也意味着fpt，t，0q”ξt。选择rt“fpt，t，0qleads to the num'eraire X“expps¨fps，s，0qdsq。因此，命题5.2具有多条曲线和随机不连续性的术语结构27中的所有条件都是满足的，并且模型没有套利。示例5.6.5（具有不连续性的单曲线Vasiˇcek规范）中给出了对多条曲线设置的扩展. 作为下一步，我们通过在时间1引入不连续性来扩展前面的示例。我们的目标是提供一个简单的示例，说明跳跃大小取决于驱动过程ξ，因此我们仍然停留在单曲线框架中。我们假设根据exppaξ`q、 其中P R和 " N p0，bq是方差为b的独立正态分布随机变量。

作为（5.2）中的驱动过程，我们考虑五维a ffine processXt“^ztηpdsq，ztξsds，ξt，1ttě1uξ，1ttě1u˙J，其中ηpdsq“ds `δpdsq。ψJt指定的Xis中的跳跃大小Xt“1tt”1PAξ`q这可以通过ψJ“p0，0，0，a，1q来实现。αi，βi，i”0，…，3的半鞅表示（5.1）中的系数如例5.4所示，在额外的行和列中有零。此外，我们还有β“β”0和α“α”0。此外，zexu，xyνXpttu，dxq“1tt”1exp^u\'uX\'ub˙，u P R。最后，我们选择tdpt，t，0q t的“$”&“%0“1dT，ae'κp1'tqfor Ta1”T，e'κpT'tq否则，可以通过漂移条件（5.7）从上一示例中的ДpT，T，T，0q p1'aq1tt“T”1u和ДpT，T，0q“0”。条件（三）是这个例子的有趣条件。该条件相当于x'b“f p1'，1，0q，（5.9），可通过选择fp0，1，0q”'b{2来满足。方程式（5.9）以及i“1，…，5的ipt，T，0q的规定确保f pt，T，0q”ξT。选择rt“fpt，t，0q我们得出，该模型没有套利，期限结构完全特定：事实上，我们为1dtdt和0dtdta1恢复了上一个示例P pt，t，0q”exp''ApT't，0q BpT't，0qXt'中的债券定价公式，而为0dta1dt，P pt，t，0q“exp''ApT'1，0q'A'1't，'BpT'1，0q'A'B'1't，'BpT'1，0q'A'Xt'B'。28 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G'UMBEL&t.Schmidt系数Apτ，uq和Bpτ，uq是Riccati方程的众所周知的解，因此等式“e'τξξsds''uξτ'”e'Apτ，uq'Bpτ，uqξ，对于τě0，参见Filipovi'C（2009）第10.3.2.1节和推论10.2详细信息和明确公式。此处给出的示例扩展了Keller-Ressel等人的示例6.15。

（2018）至一个完整的特定期限结构模型。示例5.6（简单的多曲线Vasiˇcek规范）。我们将示例5.4扩展到多曲线设置，并考虑D“tδu。为简单起见，我们选择二维高斯Ornstein-Uhlenbeck过程作为驱动变量：Dξit”κipθi'ξitqdt'σidWit，i”1，2，其中pW，WqJis是具有相关ρ的二维布朗运动。驱动过程X在（5.2）中被指定为xt“^t，ztξsds，ξt，ztξsds，ξt˙J.系数αi和βi，i”0，…，5是时间均匀的，与（5.1）中的样本5.4类似。请注意，α“0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ρσ0媫媫è。系数νpt，t，0q，…，νpt，t，0q如例5.4所示选择，而“0。我们注意到，fpt，t，0q”ξtand设置rt”fpt，t，0q。此外，我们选择了Дpt，t，δq“Дpt，t，δq”0和？Дpt，t，δq“κ'1'e'κpt'tq”。现在，选择pψδtqJ“p0，1，0，'1，0q，以便可以通过漂移条件（5）从？pt，t，δq计算出？pt，t，δq和？pt，t，δq.7）. 在这一阶段，该模型是完全特定的。我们不难验证我们是否处于Brigo和Mercurio（2001）第4.2节中详细计算的框架内，其中可以找到债券价格的明确表达式。此外，我们得到了fpt，t，命题5.2中的δq“ξt”x和条件（ii）（和（iii）都是满足的。条件（i）也成立：在这方面，请注意pψδtqJβ\'255; i”1Xitβi,，“pψδtqJXtκθ'κXtXtκθ'κxt1xit媫”“f pt，t，0q'fpt，t，δq。既然命题5.2的所有条件现在都满足了，我们可以得出结论，该模型没有套利。具有多条曲线和随机不连续性的期限结构29例5.7（具有不连续性的多曲线Vasiˇcek规范）。

我们通过考虑I型和II型（见第1.2节）的不连续性来扩展前一个示例，并对OIS和Ibor曲线产生不同的影响。如例5.6所示，我们考虑二维高斯Ornstein-Uhlenbeck过程：dξit“κipθi'ξitqdt'σidWit，i”1，2。将（5.2）中的驱动过程X放大如下：Xt“^ztηpdsq，ztξsds，ξt，ztξsds，ξt，ztJsds，Jt˙J，其中过程J定义为Jt“"yTidtie'κpt'Tiq，tě0，对于一些κ0。κ的大值对应于J中的高速均值回复，并产生尖峰行为，对应于II型不连续（回忆图3）。相反，κ的小值会产生持久的跳跃，这与I型不连续性一致。为简单起见，随机变量piqiě1为i.i.d.标准正常，与ξ和ξ无关。随机不连续集由时间点ptnqnp描述，度量ηpduq定义如（3.6）所示。系数αi和βi为时间均匀系数和β“，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，β23232323232323232323211，β“β”β“β”0，α“0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0σ0ρσ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ρσ0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0媫媫媫媫媫，和αi“0 for i”1，…，7。此外，zRexu，xyνXpttu，dxq“nPNtt”Tnuexp^u˙，u P R，以便γpTn，uq“u `，u u P RandγjpTn，所有j的u Q“0“1、…、7和n P n。我们假设X和排列中的跳跃发生在随机不连续点ptnqnp处，并由ψJt指定Xt“"ynPNtt”Tnucn、 pψδtqJXt“"ynPNtt”Tnuan、 30 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G–UMBEL&T。

Schmidt可通过选择ψJt“p0，0，0，0，0，0，0，cq和pψδtqJ”p0，0，0，1，0，0，aq来实现。从该规范中，可以得出由δt“Sδexp^tξsds\'aJt˙给出的扩散。根据备注3.2，参数c和a控制了随机不连续性对数量（以及因此对OIS曲线）和扩散的不同影响（因此，在Ibor曲线上）。职能部门：ipt、T、0q、，对于i“1，…、7和tdt，选择为φpt、t、0q“$”&“%\'”θκe'κpt'tq'σκpe'2κpt'tq'κpt'tq，对于t、t R t、ce'κpt'tq'κpe'2κpt'tq'κpt'e'κpt'tqq，对于t t S t，c，对于t“t”t，0，否则，选择φpt、t、0q”pt，t，δq“#e'κpt'tq，对于t，t R t，0，否则，Дpt，t，0q”#κe'κpt'tq，对于t，t R t，0，否则，Дpt，t，0q“#e'κpT'tq，对于T R T，0，否则，ДpT，T，0q”ДpT，T，δq“κpT，T，0q和ДpT，T，0q”ДpT，T，T，0q”0。对于ДpT，T，δq，选择ДpT，T，δq“$\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'\'σκ'''κe'κpT'tq'κe'κpT'tq'pκqe'pκQT'pκqpT'tq'，对于t，t R t，p1'aκqκ'p1'cκqe''κpT'tq'\'p1\'aκqe\'2κpT\'tq\'，对于t P t S t，pa\'cq，对于t“t P t，0，否则，φpt，t，δq”#'e'κpt'tq，对于t，t R t，0，否则，具有多条曲线和随机不连续性的项结构，对于t，t，δq”#κp1\'aκqe'κpt'tq，对于t，t R t，0，否则，φpt，t，t，δq”#p1\'aκqe'κpt'tq，对于t，0，否则，以及，δq“κνpt，t，δq。根据该规范，可以检查条件（ii）此外，可以验证fpt，t，0q“ξt\'Jt”和fpt，t，δq“ξt\'ξt\'p1\'aκqJt。因此，通过设置rt“ξt\'Jt”，可以满足命题5.2的条件（i）。

通过选择FP0、Tn、，0q“'c{2和fp0，Tn，δq”'pa'cqand计算zpTn，T sИpTn，u，0qηpduq”'cκ'e'κpT'Tnq'1'2κ'e'κpT'Tnq'1，zpTn，T sИpTn，u，0qηpduq'e'κpT'Tnq'1，zpTn，T sνpTn，u，δqηpduq“pa'cqp1'aκqκe'κpT'Tnq'1'''''p1'aκq2κe'κpT'Tnq'1'''pTn，T sДpTn，u，δqηpduq''p1 aκqκe'κpT'Tnq''1'''我们可以看到这种情况（iii）fpTn，Tn，0q“'zpTn，T szpTn，u，0qηpduq ` 'c'pTn，T szpTn，u，0qηpduq,，'fpTn'，Tn，δq“\'zpTn，T sИpTn，u，δqηpduq `▄a'c'pTn，T sИpTn，u，δqηpduq▄满足所有n P n和TěTn。我们可以得出结论，期限结构是完全特定的，并且根据命题5.2，模型是无套利的。6.多曲线金融市场的FTAP在本节中，我们描述了多曲线金融市场中无套利的特征。在目前的ge水平一般而言，这是首次对危机后固定收益市场中无风险的情况进行严格分析。如定义2.2所述，多曲线金融市场是一个包含无数证券的大型金融市场。Cuchiero、Klein和Teichmann（2016）提出了一个在经济上令人信服的大型金融市场无套利的概念，其名称为无渐进免费午餐和消失风险（NAFLVR），概括了NFLVR对有限维市场的经典要求（见Delbaenand Schachermayer（1994）和Cuchiero和Teichmann（2014））。在本节中，我们将Cuchiero、Klein和Teichmann（2016）的主要结果扩展到有限的时间范围，并将其应用到一般的多曲线金融市场。32 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&T.SCHMIDTLet pOhm, F，F，Pq是一个过滤概率空间，满足右连续性和P-完备性的通常条件，F：“Zt2830ft。

让我们回顾一下，如果存在一个过程Z“pZtqtPr0,1满足Zt”Zt{p1'tq，对于所有ta1，并且Z是关于“由FT定义的pFtqtPr0,1”的过滤的半鞅，对于ta1，F，对于t”1，参见Cherny和Shiryaev（2005）中的定义2.1. 我们用S表示实值半鞅的空间，直到完全配备了Emery拓扑，参见Stricker（1981）。对于集合CAS，我们用关于Emery拓扑的CSits闭包表示。我们用I表示：“R′D′R定义2.2中包含的表征交易资产的参数空间。我们进一步假设存在具有严格正适应价格过程X的可交易num′eraire。为了便于注释，我们通过设置∏FRApt，T，0，Kq来表示零息票债券：“P pt，T，T q，对于所有pt，T q P R′和k P R。我们还设置∏FRApt，T，δ，Kq对于所有δP D、K P R和TěTδ，我们用包含n个元素的所有子集AAI族中的表示。对于每个A“ppT，δ，Kq，…，pTn，δn，Knqq P In，我们定义了X折扣价格SA”pS，…，Snq bySi的集合：“pXq'1∏FRAp¨，Ti，δI，Kiq，for I“1，…，n。对于每个A P In，n P n，我们假设sai是P上的半鞅Ohm, F、 Pq，我们用LpSAq表示所有R | A |值的集合，可预测过程θ“pθ，…，θ| A | q，在Cherny and Shiryaev（2005）定义4.1的意义上，可积到与SA相关的完整性。我们假设交易以自我融资的方式发生，如果θ“0”和pθ¨SAqtě1 A.s.对于所有tě0，我们说过程θp LpSAq是1-可容许的交易策略。

由1-容许交易策略生成的财富过程集XA根据SAI定义为：“θ–SA：θP LpSAq和θ为1-容许（AS）。由最多n个任意资产交易生成的财富过程集由Xn给出“TAPInXA。通过允许交易任意数量的资产，并让资产数量增加到整数，我们得出了广义投资组合财富过程。相应的1-容许财富过程集由X给出：“TnPNXnS，因此，多曲线金融市场中所有容许的广义投资组合财富过程最终由X给出：“dλa0λX.备注6.1.集合X可以等效地描述为所有可容许的广义投资组合财富过程的集合，这些过程可以在金融市场中构建，由以下两个资产子集组成：（i）OIS零息票债券，适用于所有到期日T P R`，（ii）FRA，对于所有期限δP D、所有结算日期T P R`和走向K，对于某些固定的任意走向KP R。这源于我们对FRA线性化的长期假设以及随机积分的关联性。具有多条曲线和随机不连续性的项结构33由于每个元素X P X是一个半鞅，直到不完整，极限X存在于路径且是有限的。因此，我们可以定义K：“tX:X P X u和C：”pK'L'qSL，有界债权的凸锥在初始资本为零的情况下超级可复制。定义6.2。我们说，多重曲线金融市场不满足无渐近线的零风险午餐（NAFLVR）ifCSL`“t0u，其中C表示集合C中的范数闭包。以下结果提供了多曲线金融市场资产定价基本定理的一般公式。定理6.3。

当且仅当存在一个等价的分离度量Q，即概率度量Q“P对P”时，多重曲线金融市场满足NAFLVROhm, F qsuch，即所有X P X的EQrXsd0。证据我们将证明分为几个步骤，目的是将我们的一般多用途金融市场减少到Cuchiero、Klein和Teichmann（2016）所考虑的情况。1） 鉴于备注6.1，对于所有期限δP D和结算日期T P R\'，必须考虑具有固定罢工K“0”的远期利率协议合同。因此，参数空间I“R^D^R可以减少为I：“R^t0，1，…，mu，可以通过IQ pT，IQTh~nI ` T{p1 ` T q P r0，m ` 1q进一步转换为R`的子集“：J.2）在不丧失一般性的情况下，我们可以假设pXq'1∏FRAp¨，T，δ，0q对于每个T P R'和δP D是一个到整数的半鞅。事实上，在（Cherny和Shiryaev，2005，定理5.5）的证明中，对于每个i”1，…，n，存在一个确定性函数Kia0，使得pKiq'1P LpSiq和Yi：“pKiq'1'SiP S.设置“pY，…，Ynq，随机积分的关联性与（Cherny和Shiryaev，2005，定理4.2）允许证明xa”φ¨YA：φP LpYAq，φ”0和Pφ¨YAqtě\'1 a.s.对于所有tě0（此后，我们将假设SAP s，对于所有a P jn和n P n.3）对于t P r0，1q和u P r0，\'8q，让αptq：“t{p1'tq和βpuq：”u{p1 ` uq。函数α和β是r0，1q和r0，` 8q之间的两个逆同构，可以扩展到r0，1s和r0，` 8s。对于P Jn，n P n，让我们定义过程SA“pSAtqtPr0,1sby SAt：”SAαptq，对于所有的t P r0，1s。由于SAP S，过程是半鞅onpOhm, F、 Pq。设θP LpSAq。我们定义了过程θ“pθtqtPr0,1sbyθt：”θαptq，对于所有ta1和θ：“0。正如在（Cherny和Shiryaev，2005，定理4.2）的证明中，它支持θp LpSAq。

此外可以看出，对于所有的tpr0，1s，pθ¨SAqt“pθ¨SAqαptq，（6.1）。相反，如果θp LpSAq，则θt定义的过程θ“pθtqtě0：”θβptq，对于tě0，属于LpSAq，并且对于所有的tě0，pθ¨SAqt“pθ¨SAqβptq”。此外，如果θ“0.4）考虑到第3步），我们可以考虑在过滤F中指数超过r0，1的等效金融市场。为此，对于每个A P Jn，n P n，让我们定义如下：“θ–SA：θP LpSAq，θ”θ“0和Pθ–SAqtě1 A.s.@t P r0，1s（34 C.FONTANA，Z.GRBAC，s.G–UMBEL&t.Schmidt和setsXn：“dAPInXA，X:”nPNXnS，X：“dλa0λX和K：“tX:X P X u，其中在过滤F上的半鞅拓扑中对Xis的定义中的闭包。让pXkqkPNDnPNXnbe是一个序列，在S的拓扑中收敛到X（在过滤F上）。通过定义，对于每个k P N，都存在一个AK集，使得Xk”θk¨sak对于一些1-容许策略θkP¨sakp。鉴于（6.1），它认为Xkαptq”Pθk¨SAkqt“：Xkt，对于所有的t P r0，1s。由于S的拓扑相对于时间的变化是稳定的（Stricker（1981）中的Proposition 1.3），序列pxkqpnconverge在半鞅拓扑中（在过滤F上）到X”XαP¨qP X。这意味着KDK。分析参数允许显示相反的包含，从而证明K“K.从定义6.2来看，这意味着NAFLVR适用于原始金融市场，前提是它适用于指数超过r0、1s的金融市场。5）仍需证明，对于每一个A P Jn、n P n，集合x满足要求（Cuchiero、Klein和Teichman，2016，定义2.1）. 首先，xa是凸的，根据定义，每个元素X P xa从0开始，从下到下一致有界为'1。其次，设X，XP-xa和两个有界F-可预测过程H，Hě0使得hh“0”。

根据定义，存在过程θ和θ，使得Xi“θi¨SA，for i”1，2。如果Z：“H¨X¨X¨1，thenZ”pHθ'Hθq¨SAP XA，因此所需的串联属性成立。此外，XAAXAif AAA。理论最终源自（Cuchiero、Klein和Teichman，2016，定理3.2）。备注6.4。等效局部鞅测度（ELMM）是一种概率测度“P对P”Ohm, F q使得pXq'1∏FRAp¨，T，δ，Kq是q-局部鞅，对于所有的T P R`，δP和K P R。在附加条件下（即局部有界贴现价格过程，参见（Cuchiero，Klein和Teichmann，2016，第3.3节）），可以证明NAFLVR等价于ELMM的存在。一般来说，不能用ELMM代替OREM 6.3中的分离度量，如Cuchiero、Klein和Teichmann（2016）中明确的反例所示。然而，作为Fatou引理的结果，ELMM的存在总是表示NAFLVR的一个有效条件。假设num'eraire Xis是可交易的，则ELMM对应于风险中性度量（见第3节），该度量在本文前面的章节中已经得到了精确描述。备注6.5。卡巴诺夫（Kabanov）和克拉姆科夫（Kramkov）（1998）也从第一类无渐近套利（NAA1）的意义上研究了大型金融市场中无套利的情况，这是比NAFLVR更弱的要求，参见（Cuchiero、Klein和Teichman，2016年，第4节）。与Kabanov和Kramkov（1998）不同，我们研究的是固定过滤概率空间pOhm, F，F，Pq，而不是概率空间序列上的。另一方面，我们考虑了无数交易资产（见定义2.2）。具有多条曲线和随机不连续的期限结构357。结论本文的目的是在多曲线设置中，将随机不连续引入术语结构建模。

随机不连续性是利率市场的一个关键特征，我们介绍了两种类型的跳跃分类。为此，我们在最小假设下对危机后多曲线市场进行了一般性分析。我们的工作取得了三个关键结果：首先，我们提供了在扩展的HJM环境中没有套利的特征。其次，我们为市场模型提供了类似的特征。这两个结果都依赖于多曲线金融市场的资产定价基本定理。第三，我们基于半鞅提供了一类灵活的多曲线模型，这是一种允许随机不连续性的设置。虽然我们分析的重点是对多曲线市场定价的基本处理，但值得强调的是，该框架对于风险管理等许多其他应用具有巨大潜力，需要进一步研究。特别是对于后者，正确的市场风险价格建模和考虑宏观经济变量同样重要。附录A.技术结果关于随机指数的比率和乘积的以下技术结果很容易遵循约尔公式，见（Jacod和Shiryaev，2003，§II.8.19）。推论A.1。对于任意半鞅X，Y和Z它认为，EPXQEPY qEpZq“EX'Y'Z'xXc，Ycy'xYc，Zcy'xXc，Zcy'xZc，Zcy'0's'¨Zsp'Xs'Ys`Zsq`Xs型Ys1`Zs˙,。证据引理3.5中，由于假设3.3，可以通过Minkowski的整体不等式和H¨older不等式验证，（3.8）中出现的随机积分对于每个T P R′和δP D都得到了很好的定义。设F pt，T，δq：“spt，T sfpt，u，δqηpduq，对于所有0dTa\'8。

对于tat，方程式（3.7）表示f pt，t，δq“zpt，T s^fp0，u，δq `ztaps，u，δqds ` V pt，u，δq ` tbps，u，δqdWs ` TzEgps，x，u，δq `upds，dxq'νpds，dxq'ηpduq“zTfp0，u，δqηpduq′Tztaps，u，δqdsηpduq′TV pt，u，δqηpduq′Tztbps，u，δqdWsηpduq′TzTzEgps，x，u，δq′upds，dxq′νpds，dxq′pduq′Tfp0，u，δqηpduq′Tzuaps，u，δqdsηpduq'TV pu，u，δqηpduq'Tzubps，u，δqdWsηpduq'TzuzEgps，x，u，δq'upds，dxq'νpds，dxq'ηpduq。根据假设3.3，我们可以在Veraar（2012）中关于W36 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&T.Schmidt的随机积分的定理2.2版本，以及Bj¨ork et al.（1997）中关于补偿随机测度u'ν的随机积分的命题A.2版本。因此，我们得到了pt，T，δq“zTfp0，u，δqηpduq'ztfpu，u，δqηpduq'tzrs，t saps，u，δqηpduqds'TV pt，u，δqηpduq'tzrs，t sbps，u，δqηpduqdWs'tzEzrs，t sgps，x，u，δqηpduq'upds，dxq'νpds，dxq''“zTfp0，u，δqηpduq ` t'aps，t，δqds'nPN'V pTn，t，δq1tTn'tu't'bps，t，δqdWs't'E'gps，x，t，δq'upds，dxq'νpds，dxq'tfpu，u，δqηpduq”：Gpt，t，δq.（A.1）In（A.1），s¨fpu，u，δqηpduq的完整性遵循假设3.3以及普通和随机Fubini定理的分析应用。为了完成证明，还需要为t“t P R”建立（3.8）。为此，需要证明GpT，T，δq“F pT，T，δq表示所有T P R\'，其中GpT，T，δq：“GpT，T，δq'GpT'，T，δq，以及类似的F pT，T，δq.By（Jacod和Shiryaev，2003，命题II.1.17），νptT u^Eq“0意味着，对于每个T P R”，QruptT u^Eq‰0s”0。因此，它认为QrGpT，T，δq‰0sa0仅当T“Tn时，对于某些氮磷氮。

方程式（A.1）和（3.7）共同表明GpT，T，δq“’V pT，T，δq'fpT，T，δq“'fpT'，T，δq“'F pT'，T，δq”F pT，T，δq，其中最后一个等式遵循F pT，T，δq“0的约定。通过对n的归纳，同样的推理得出GpTn，Tn，δq“F pTn，Tn，δq，对于所有n P n。最后，δ-期限债券价格pP pt，T，δqq0dTdT的半鞅性质来自（A.1）。附录B.将市场模型嵌入HJM框架第4节中考虑的一般市场模型，如等式（4.2）所述，可嵌入第3节的扩展HJM框架中。为便于演示，让我们考虑一个单一期限（即D“tδu）的市场模型，并假设未来Ibor利率Lp¨，t，δq由（4.2）给出，对于所有的t P tδ”tT，…，TNu，所有的i“1，…，N'1都是Ti'1'Ti'δ。为了简单起见，让我们假设有一个固定的数字N'1不连续日期，与一组日期t一致：“tΔTtTN'1u，with tn'1：“TN`δ。我们说，如果在R`上存在一个σ-有限度量η，一个扩展过程Sδ和一系列正向速率tfp¨，T，δq:tP Tδu，那么tLp¨，T，δq:tP Tδu可以嵌入到扩展的HJMmodel中，对于所有0dTdP Tδ，lpt，T，δq”ΔSδtP pt，T，δqP pt，T'δq'1'，（B.1）具有多条曲线和随机不连续性的项结构37，其中，对于所有0dTdT P Tδ，P pt，T，δq由（3.5）给出。换言之，根据公式（2.2），HJM模型为每个日期T P Tδ生成与原始市场模型相同的远期Ibor利率。我们注意到，由于市场模型仅涉及到期日为T“tT，…，TN\'1u的OIS债券，因此将（3.5）中的度量η作为形式为ηpduq“N\'1"yi”1δTipduq的纯原子度量并没有失去普遍性。

（B.2）更具体地说，如果通过（3.6）形式的一般度量从（3.5）中定义到期OIS债券，则始终存在（B.2）中的度量η，生成相同的债券价格，直至远期利率过程的适当规范。以下命题明确说明了如何将一般市场模型嵌入HJM模型。对于t P r0，TNs，我们定义了ptq：“mintj P t1，…，N u:Tjětu，因此Tiptqis是最小的T P Tδ，因此TěT.命题B.1。假设满足定理4.1中关于（B.2）中给出的度量η的所有条件，并进一步假设Lpt，T，δqa\'1{δa.s.对于所有的t P r0、t s和t P tδ。然后，在上述假设下，市场模型TLP¨、t、δq:t P tδu可以嵌入HJM模型中，方法是选择（i）一系列远期利率tf P¨、t、δq:t P tδu，其初始值为p0、Ti、δq“fp0、Ti\'1、0q'log^1'δLp0、Ti、Ti'1、δq'N，并满足方程（3.7），其中，对于所有我“ 1, . . .

，N，波动过程bp¨，Ti，δq，跳跃函数gp¨，Ti，δq和pV pTn，Ti，δqqn“1，…，分别由bpt、Ti、δq“$&%bpt、Ti、0q ` bpt、Ti ` 1、0q `δbLpt、Ti、δq1 `δLpt'、Ti、δq、if i”iptq、bpt、Ti'1、0q'δbLpt、Ti、δq1'δLpt'、Ti'、Ti'1、δq'、if iaiptq、gpt、x、Ti、δq“$\'\'\'\'\'如果i“iptq，gpt，x，Ti\'1，0q'log'1'δgLpt，x，Ti，δq1'δLpt'，Ti，δq1'δgLpt，x，Ti\'1，δq1'δLpt'，Ti\'1，δq'，如果iaiptq，V pTn，Ti，δq“V pTn，Ti\'1，0q'log'1'δLpTn，Ti，δq1'δLpTn'，Ti，δq1'δLpTn，Ti'1，δq1'δLpTn'，对于iěn\'1，过程ap'，Ti，δq由定理3.7的条件（ii）确定；（ii）初始值为Sδ“`1`δLp0，0，δqP p0，δq且满足（3.3），（3.4）的扩展过程Sδ，其中过程αδ，Hδ，函数Lδ和随机变量spAδTnqn“1，…，Nare分别由αδt“0，Hδt”0，Lδpt，xq“0,38 C.FONTANA，Z.GRBAC，S.G¨UMBEL&t.SCHMIDT给出AδTn“^1`δLpTn，Tn，δq1`δLpTn'，Tn，δq'efpTn'，Tn，0q'fpTn'，Tn，δq'V pTn，Tn\'1,0q\'1。此外，得到的HJM模型满足定理3.7的所有条件。证据由于证明涉及相当长的计算，我们只提供一个草图。对于T P Tδ，根据定理4.1和假设Lpt，T，δq′1{δa.s.对于所有T P r0，T s，过程p1′δLp¨，T，δqqP¨，T′δq{Xis是一个严格正的q-局部鞅，因此对于所有T P r0，T s和T P Tδ，Lpt′，T，δq′1{δa.s.让我们定义过程pT，δq“pYtpT，δq0dTdTby YtpT，δq：“sδtP pT，T，δq{{P pT，T `δq.推论a.1与方程（3.3）的应用推论3.6给出了过程Y pTδq的随机指数表示和半鞅分解。对于（3.3）中给出的扩散过程Sδ，我们从施加Hδ“0”和Lδ“0”开始。

然后继续确定描述远期利率tfp¨，T，δq的过程：T p Tδ使用化（3.7）。根据（B.1），对于每个T P Tδ，我们通过匹配Y pT的布朗部分，δq与δLp¨，T，δq的布朗部分来确定过程bp¨，T，δq，而跳跃函数gp¨，T，δq是通过匹配Y pT的完全不可访问的跳跃，δq与δLp¨，T，δq的完全不可访问的跳跃来获得的，然后，通过定理3.7的施加条件（ii）单向确定δq。作为下一步，对于每个n“1，…，n，随机变量（3.3）、（3.4）中出现的δtn通过要求YTnpTn，δq“δLpTn，Tn，δq.（B.3）然后，对于每个n“1，…，n'1和T P tTn'1，…，TNu，随机变量V pTn，T，δqis通过要求YTnpT，δq“δLpTn，T，δq，（B.4），而V pTn，T，δq：“TdTn为0。注意V pTn，TN\'1，δq“0表示δ‰0和n”1，…，n`1。在这个阶段，远期利率tfp¨，T，δq:T P Tδu是完全规定的。根据这个规定，可以验证条件（4.3）和（4.4）分别意味着定理3.7的条件（3.9）和（3.10）是满足的，使用假设3.3以及条件（3.9），（3.10）是满足δ的“0和T P T b假设。此外，可以检查，如果满足定理4.1的条件（ii），则随机变量AδTnandV pTn，T，δq，由定理3.7的（B.3）、（B.4）满足条件（iii）、（iv）得出，对于每个n P n和T P Tδ。仍需指定（3.4）中出现的过程αδ。为此，对引理3.5和推论3.6的检查表明，由于度量η是纯原子的，因此定理3.7的条件（i）和条件（3.11）中分别没有出现术语f pt、t、δq和fpt、t、0q。

由于（3.11）假设成立，αδ“0遵循定理3.7的条件（i）。因此，我们得到了两个过程\'1`δLp¨，T，δqP¨，T`δqx和δP¨，T，δqx是两个从相同初始值开始的局部鞅，具有相同的连续局部鞅部分和相同的跳跃。通过（Jacod和Shiryaev，2003，定理i.4.18和推论i.4.19），我们得出结论（B.1）适用于所有0dtdt PTδ。我们想指出的是，命题B.1中描述的规格并不是唯一的HJM模型，该模型允许嵌入给定的市场模型tLp¨，T，δq:T P Tδu。具有多条曲线和随机不连续性的长期结构39的确，bpt，Tiptq，δq和HδT可以任意规格，只要它们满足PT，Tiptq，δq'Hδt“bpt，Tiptq，0q'bpt，Tiptq'1，0q'δbLpt，Tiptq，δq1'δLpt'，Tiptq，δq，以及适当的可积性要求。存在类似的自由度，涉及函数gpt，x，Tiptq，δq和Lδpt，xq的规格。还请注意，随机变量命题B.1中给出的Aδtn可等效表示为AδTn“1 `δLpTn，Tn，δq1 `δLpTn'1，Tn'1，δqP pTn，tn1qp pTn'1，Tnq'1，对于n”1，…，n.ReferencesBeirne，J.（2012），“2007-2009年危机之前和期间的EONIA价差：流动性和信用风险的作用”，J.Int.Money Finance 31（3），534–551.Bianchetti，M.（2010），“两条曲线，一个价格”，risk Magazine（8月），74–80.Bianchetti，M.和Morini，M.，eds（2013），金融危机后的利率建模，风险账簿，伦敦。Bj¨ork，T.、Di Masi，G.B.、Kabanov，Y.和Runggaldier，W.（1997），《走向债券市场的一般理论》，金融斯托克。1(2), 141–174.Brace，A.、Gatarek，D.和Musiela，M.（1997），“利率动态的市场模型”，数学。财务7127–155。Brigo，D.，Buescu，C.，Francischello，M.，Pallavicini，A。

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