自从D 是指投资组合集中再投资的偏差度量x ∈ Rn可表示为最多有限个术语：（4.30）D(^RTx) = 最大值Q∈QeE[-^RTx Q].作为D 是有限的，可以列举：Qe={Q, . . . , QM′}. 定义Di= E[-^RQi], i = 1.M′. 从（4.30）中可以看出Di’sis评估能力D(^RTx) 对于投资组合x:(4.31) D(^RTx) = 最大值i=1.M′~DTix.可能会发生▄Di=~Dj对一些人来说i ≠ j; 例如，^R 在许多基本事件上可能是常数，单位为Ω。也可能发生以下情况：Di不是conv{D, . . . ,~DM′},但是一组▄Di’s形成了该集合Rockafellar（1970，定理IV.19.3）的所有极值点。为了便于将来的论证，我们只选择那些向量▄Di这些都是极限点。定义4.4。conv{D, . . . ,~DM′} 表示为Di, i = 1.M, 并称之为投资组合风险生成器。备注4.5。投资组合风险生成器是多面体集的生成器（在Rockafellar（1970，Section19）的意义上）{E[-^RQ] | Q ∈ Q}, 参见Rockafellar（1970）中定理19.3的证明。根据定义4.4和（4.31），很容易看出任何投资组合x:(4.32) D(^RTx) = 最大值i=1.MDTix.定义4.6。那些Di在（4.32）中实现最大值的被称为投资组合的主动投资组合风险生成器x.下面的引理表明，por-tfolio-risk-generators集足够丰富，可以跨越整个空间Rn.引理4.7。林(D, . . . , DM) = Rn.证据假设相反，取任何非零向量x 在lin的正交补中(D, . . . , DM). 然后D(^RTx) = 0.然而，^RTx 假设（M）为非常数，则soits偏差度量应严格为（D1）的正。矛盾。

投资组合偏差度量的表示（4.32）x 将优化问题（4.25）等效为线性规划：（4.33）最小化A,从属于：A ≥ DTix, i = 1.M,μTx ≥ Δ,(A, x) ∈ R×Rn.解决方案(A*, x*) 与（4.25）相关如下：x*是最佳投资组合A*=D(^RTx*).定理4.8。线性规划（4.33）和优化问题（4.25）具有以下特性：1。最优投资组合集合X*是R的有界多面体子集n. （4.33）的解决方案集的形式如下{A*} ×X个*对一些人来说A*> 0.2. 如果解决方案不是唯一的，则μ 是最多的线性组合n - 1投资组合风险产生者。如果解决方案是唯一的，那么主动投资组合风险生成器集将覆盖整个间隔n, i、 e.有n 线性独立的主动投资组合风险生成器。证据（4.33）是一个线性规划，因此解集是多面体的。映射x →D(^RTx) 是凸的，h也是连续的。表示为d 球面上的最小值{x ∈Rn| kx k=1}。由于假设（M）和（D1），该最小值严格为正。Employing进一步假设（D2）给出{x ∈ Rn| D(^RTx) ≤ A} 对于任何A > 0; 事实上，它包含在半径为的球中A/d. 因此，解集X′到（4.33）是一个有界多面体集。它用其极值点的凸组合表示，目标函数是最优的。在每个这样的外部eme点中，坐标A 相同，soX′={A*} ×X个*对一些人来说A*> 0; 的积极性A*遵循引理4.3。如果X′是单点，则n′是可行集的极值点。自约束之后μTx ≥ Δ是活动的（见引理4.3），（Bertsimas和Tsitsiklis，1997，定理2.2）意味着n 指数i, . . . , in因此A = DTijx, j = 1.

, M, 和矢量(Dij)nj=1是线性相关的，因此生成Rn.断言2的证明使用了问题的对偶（4.33）：（4.34）最大化qΔ，受制于：Mi=1.piDi- qμ = 0,Mi=1.pi= 1.q ≥ 0, pi≥ 0, i = 1.M.由于强大的二元性，qΔ = A*我们知道A*> 0，he n ceq > Bertsimas和Tsitiklis（1997，定理4.5）暗示与非活动约束相对应的对偶变量为零。表示为i, . . . , ik涉及投资组合风险生成器的主动约束。然后，上述对偶问题（4.34）中的第一个约束为：（4.35）μ =qkj=1.pijDij.现在假设解不是唯一的，即X′至少包含两个e X极大点，因此有一条线将它们连接起来。固定该直线的中间点(A*, x*). 自(A*, x*)不是X′的一个外点，由主动投资组合风险生成器跨越的线性空间Dij,j = 1.k, 尺寸n不大于n - 1（至少有一个投资组合风险生成器在X′外部点活跃，不属于lin{Di, . . . , Dik}). 这证明了定理的第2条。推论4.9。有一定数量的超平面（尺寸从1到n - 1） 以便：μ当且仅当（4.25）的解不是唯一的时，才属于其中之一。因此μ 投资组合优化问题有一个唯一的解决方案，它有一个完整的Lebesgue测度。证据根据定理4.8，解的非唯一性与μ 最多是n - 1投资组合风险生成器，即属于atmost跨越的线性空间n - R中的1个向量n. 这最多是一个维度的超平面n - 1，因此它有一个lebesguemeasure0。有多种方式可供选择，最多n - 1组向量中的向量M 向量，所以这种超平面的数量是有限的。Lebesguemeasure零集合的有限和具有零测度。

因此，它的补语有一个完整的量度。上述定理和推论的一个实际结果是，（4.25）中存在唯一最优投资组合，除非μ 特别选择，以匹配收益分配^R 以及风险度量。在下一节中，我们将说明解决方案的唯一性，这意味着多个主动组合风险生成器，导致了最优合作投资的问题。我们还将介绍当μ正好在coro llary中提到的一个超平面上。现在考虑一个没有风险资产卖空的投资组合优化问题。这与带有附加约束的线性规划（4.33）相对应xi≥ 0, i = 1.n. 下面的引理表明，投资组合风险生成器的非唯一性在这里也成立。引理4.10。如果解决方案x*对于不存在风险资产卖空的投资组合优化问题是唯一的，那么至少有k 主动投资组合风险生成器，其中k 是的非零坐标数x*.证据在引理4.3中，我们展示了μTx*= Δ. 这一论断源于以下事实：x*是可行集的一个极值点。5合作投资5.1理论框架合作投资的一般问题可表述如下，se e Grechuk和Zabarankin（2017）。允许F  L（Ω）是一个可行集，代表在没有无风险资产的市场上可行投资机会的回报率：F =XX =ni=1.R(i)xi,ni=1.xi= 1..agent的个人投资组合优化问题i, i = 1.m, 最大值为（5.36）X∈FUi(X),哪里Ui: L(Ω) → [-∞, ∞ ) 是agent的效用函数i.

如果投资的是资本单位，则回报率X ∈ F 也可以解释为投资的货币收益。而不是单独投资，m 代理人可以投资m 购买联合投资组合的资本单位X ∈ mF := {mX |X ∈ F } 然后分发给特工i 收到股份Yi具有Yi= X. 分配Y=(Y, . . . Ym) 如果Yi∈ mF , 如果没有可行的分配Z=(Z, . . . Zm) 因此Ui(Yi) ≤ Ui(Zi) 至少有一个不等式是严格的。效用函数U 称为现金不变，如果U(X + C) = U(X) + C 对于所有人X ∈ L（Ω）和C ∈ R、 Grechuk和Zabarankin（2017）中的命题2暗示，如果所有Ui, i = 1.m, arecash不变性，Y=(Y, . . . Ym) 那么，帕累托最优吗X*=Yi解决优化问题（5.37）supX∈mFU*(X),式中（5.38）U*(X) ≡ supZ公司∈A(X)mi=1.Ui(Zi)具有A(X) =Z=(Z, . . . , Zm) :mi=1.Zi= X, Zi∈ L(Ω). 如果Y=(Y, . . . Ym)是任何帕累托最优分配，则所有帕累托最优分配由（5.39）给出(Y+ C, . . . , Ym+ Cm),哪里C, . . . Cm是常量mi=1.Ci= 因此，联盟应（i）解决投资组合优化问题（5.37），以找到最佳投资组合X*整个团队；（ii）找到任何帕累托最优方法Y=(Y, . . . Ym) 分发X 集团成员之间，并最终（iii）就常数达成一致C, . . . Cm在（5.39）中，在可用资源中选择特定的帕累托最优配置。我们考虑投资者使用以下效用函数：（5.40）Ui(X) = E[X] - Di(X),对于一些偏差测量Di, i = 1.m. 这些效用函数是现金不变的，上述理论适用。U*在（5.38）中，给出了U*(X) = E[X] - D*(X), 式中（5.41）D*(X) ≡ infZ公司∈A(X)mi=1.Di(Zi).备注5.1。通常，投资者的优化标准如下所示：Ui(X) = E[X] - γiDi(X),哪里γi> 0是投资者的风险平均值。

然而γiDi是一种偏差度量Di表达式（5.40）涵盖了该示例。在这个模型中，（iii）的一个可能方法是选择常数Ci在（5.39）中，使（5.42）E[Q*(Y+ C)] = · · · = E[Q*(Ym+ Cm)]哪里Q*是投资组合优化问题（5.37）中的极端风险识别者U*(X) =E[X] - D*(X). 直觉是元素Q 风险包络线表示概率情景，Q*代表联盟的“关键”最坏情况，并且（5.42）指出投资者应在关键情况下获得相同的利益。请参见Grechuk和Zabarankin（2017年，第3节），了解无风险资产模式l中（5.42）的进一步调整。因为凹函数几乎在任何地方都是可微分的，所以人们可能会认为U*(X*) 是“典型的”独生子女，在这种情况下，极端风险识别者Q*isunique，这种方法导致了“公平”帕累托最优分配的唯一选择（5.39）。然而，下面我们表明，这种直觉可能是错误的。引理5.2。允许Dibe带有风险信封的偏差度量Qi, i = 1.m. 然后D*是风险包络的偏差度量Q*= Q∩ · · · ∩ Qm. 特别是，如果全部Di是完全生成的，那么也是D*.证据Rockafellar等人（2006a）中的命题3暗示Q, . . . , Qm是闭超平面的闭凸子集H = {Q |EQ = 1} 在中L（Ω）使得常数1在其准内部相对于H. 因为Q, . . . , QmRockafellar（1970，推论16.4.1）暗示，他们在相对内部有一个共同点D*可以用以下形式（4.26）表示：Q*= Q∩· · ·∩Qm. 因为Q*也是H 在准内部相对于H, 这意味着D*是一种偏差度量。因为多边形的相交是一个多边形，D*如果所有Di是定理5.3。

假设投资者的效用函数为Ui(X) = E[X] - Di(X) 有偏差措施Di完全生成的且无投资组合风险生成器D*i对于D*等于μ = E[R] 或(D*i- μ) 与1平行：=（1，…，1）T. 然后是任何解决方案X*= RTx*to（5.37）至少有两个极端风险识别者。证据我们遵循定理4.8的证明。表示为(D*i)Mi=1偏差度量的投资组合r ISK生成器D*让我们D*i= D*i- E[R]. 那么（5.37）等价于下面的线性问题（5.43）最小化A,从属于：A ≥ xT^D*i, i = 1.M,xT1 = 1, (A, x) ∈ R×Rn.自从x*是这个程序的一个解决方案（不一定是非唯一的），它的对偶也有一个解决方案（Bertsimas和Tsitiklis，1997，定理4.4）：（5.44）最大化q,从属于：Mk=1.pk^D*k- q1 = 0,Mk=1.pk= 1.pk≥ 0, k = 1.M, q ∈ R、 如果最优解q ≠ 0，然后中间方程加上假设D*j’s与1平行意味着必须至少有两个pk’绝对是肯定的。Bertsimas和Tsitiklis（1997，定理4.5）指出，主要p r问题中的相应约束是有效的，即他们各自的投资组合风险生成器在以下方面是有效的X*.什么时候q = 0，假设无D*j’s是零，这意味着至少有两个pk’s必须为非零。定理5.3意味着至少有两个线性独立的主动po r t folio RiskGenerator，并且合作投资问题存在多个公平的帕累托最优解。备注5.4。具有效用函数（5.40）的投资组合优化问题（5.37）可能没有解决方案，即，可以在分散的投资组合序列上渐近获得最优值。

例如，当x 因此xT1=0和μTx -D*(xTR) > 0，即μ 在1上⊥:= {y ∈ Rd: yT1=0}不包含在投资组合风险生成器预测的凸包络中(D*i)Mi=1开1⊥.备注5.5。本节（5.45）中优化问题的解不存在的问题补充x: xT1=1xTμ - D(xTR)扩展到通过一致的风险度量来度量风险的优化ρ （文献中流行的另一个标准）supx: xT1=1xTμ - γρ(xTR)风险厌恶γ > 实际上，使用ρ(X) = D(X) - E[X] 对于某些偏差测量D, 上述问题相当于上x: xT1=1xTμ - γ*D(xTR)具有γ*= γ/(1 + γ), 根据备注5.1，其形式为（5.45）。5.2明确示例Cash or nothing二进制选项O ret urns的固定金额现金C(O) 如果它在钱里过期，但没有别的。假设有两个这样的选项A 和B 如果P > C和P > C, 分别，其中P 是（相同）标的资产的（随机）价格，以及C< C是常量。假设以相同的价格提供选项p 智慧hC(A) = 2.p 和C(B) = 8.p. 每个代理可以投资一个单位的资本A和B, 正是1- t 进入A 和t 进入B, 获得利益-(1 - t) - t = -1.(1 - t) - t = 1.- 2.t; 或（1- t) + 7.t = 1 + 6t 取决于价格关系P 重新检查至C和C. 我们假设两个代理人认为这三个机会的可能性相等。对于具有的代理1U(X) = E[X] - CVaRΔ(X) = -CV aR(X), 可以从线性规划max中找到最优的个人投资a,ta, s、 t。X = (-1, 1 - 2.t, 1 + 6t), E[Q X] ≥ a,  Q ∈ Q,哪里Q=,, 0,, 0,,0,,=烫发,, 0, 产生最佳结果t = 0,X = (-1，1，1），以及最佳值u*= 0。类似地，对于具有U(X) = E[X] -MAD(X), 线性规划Maxa,ta, s、 t。

X = (-1, 1 - 2.t, 1 + 6t), E[Q X] ≥ a,  Q ∈ Q,哪里Q=烫发,,, 烫发,,, 退货t =, 具有最佳值u*=.合作投资对应于线性规划maxa,a,Y,Y,ta+ a, s、 t。Y+ Y= 2(-1, 1 - 2.t, 1 + 6t), E[QYj] ≥ aj,  Q ∈ Qj, j = 1、2，也就是说，我们同时在寻找最佳投资组合(t), 以及分享它的最佳方式(Y, Y) 最大化代理实用程序的总和。最优t 是t =, 具有Y+Y=-2.,最佳值为u*=> u*+u*. 单纯形met h od返回一个解Y= (,,),Y= (-,,), 具有u(Y) =和u(Y) = 0，这显然是不公平的。因为这些资产是现金不变的，所以Y′= Y+ C, Y′= Y- C 帕累托最优，问题是如何选择“公平”C.为此，我们计算联盟的效用U*(X) 同于（5.46）U*(X) = 最小值Q∈Q*E[QX],哪里Q*可以找到的顶点是Q和Q. 在我们的情况下，Q*=烫发, 1., 烫发,,. 最优投资组合X*=-2.是优化p r问题（5.47）最大值的解决方案U*(X), s、 t。X = 2(-1, 1- 2.t, 1 + 6t).现在，让我们Q*是（5.46）中的最小值X*. 根据第（5.42）节，展会C 应选择（5.48）E[Q*(Y+ C)] = E[Q*(Y- C)].直觉告诉我们，在关键情景下，投资者应该获得同样的利益Q*.问题是X*=-2., 最小值Q*in（5.46）in不唯一！的确E[QX*] =对于Q =, 1., 以及Q =,,. 正如定理5.3所示，这不是巧合。而随机变量集X 使用非唯一风险识别工具hasmeasure 0，可以保证（5.47）中的最优投资组合属于此集合。因此，在完全生成偏差措施的情况下，合作投资没有唯一的解决方案。在我们的示例中，（5.46）中的最小值集是具有端点的整个线段, 1.和,,.

通常，有很多“公平”的选择C.6逆投资组合问题继Palczewski和Palczewski（2019）之后，让我们将问题逆为（4.25），如下所示。假设我们知道一个解决方案xM= (xM, . . . , xMn) ≠ 0至（4.25），以及集中收益率^R, 偏差测量D, 和ΔM> 0投资组合预期超额收益xM. 然后我们能“恢复”吗μi, 单个工具的预期超额收益？它们是唯一确定的吗？我们将对第一个问题给出一个肯定的答案，并讨论第二个问题所面临的二分法：如果反问题的解是唯一的，那么正问题与已计算的μ 有多个解决方案，而如果向前的问题有唯一的解决方案，则有许多μ’s求解反问题。6.1使用风险生成器的显式公式假设ΔM> 0、必要时，xM≠ Rockafellar等人（2006b）中的orem 4指出xM当且仅当存在风险识别器时，才是（4.25）的解决方案Q*对于随机变量^RTxM这样（6.49）μ =ΔMD(^RTxM)E[-^RQ*] =ΔM(xM)TE[-^RQ*]E[-^RQ*].c.f.Rockafellar et al.（2006b，第518页），这是因为离散概率空间上的每个有限偏差度量都是连续的。允许Dij, j = 1.k, 成为主动投资组合风险生成器的集合xM. 那么（6.49）等于权重的存在β, . . . , βk≥ 0，因此kj=1.βj= 1和（6.50）μ =ΔMkj=1.βjDTijxMkj=1.βjDij.从上述公式中，我们立即得到向量的以下特征μ 为此xM是（4.25）的解决方案。引理6.1。逆优化问题的解集是凸的，且由点跨越δDij, 哪里Dij, j = 1.k, 是否为xM和δ = Δ/D(^RTxM):M =δkj=1.βjDijβ ∈ [0, 1]k和kj=1.βj= 1..备注6.2。

上述引理的结论可以立即从投资组合优化问题的对偶表示（4.34）中推导出来。的确，我们有μ =qMi=1.pijDij,哪里q > 0, pij≥ 0，总和为1。将两个IDE乘以xM产量q = 1/δ.利用集合的这种特征，我们可以确定逆优化问题和正优化问题的解集之间的联系。定理6.3.1。如果xM是（4.25）的唯一解决方案μ, 那么逆优化问题的所有解的集合至少有n + 1极端点。此外，所有的极值点都是δDij, 哪里δ > 0和Dij是积极的投资组合风险创造者xM.2、是否有唯一的主动投资组合风险生成器xM, 然后逆优化问题有一个唯一的解μ*（集合M由e点上的组成）。然而，Δ=Δ的优化问题（4.25）M和μ = μ*有多个解决方案：解决方案集X*是维度的多面体n - 1且至少有n 极端点5。证明上述定理需要以下简单的技术结果。引理6.4。鉴于vi∈ Rn, i = 1.k, let^n = 等级(vi, i = 1.k) = dim（lin(v, . . . , vk)).然后N = conv公司(v, . . . , vk) 至少有^n + 1个极值点，所有极值点均来自集合{v, . . . , vk}.证据从Rockafellar（1970，推论18.3.1）可以看出N 都在{v, . . . , vk}. 必须证明至少有n+1极端点。假设oppo站点：只有n′<^n+1个极端订单vi, . . . , vin′属于N. 然后N  A := 林(vi, . . . , vin′)和暗淡(A) ≤ n′+ 1、然而，A 是包含所有点的线性空间v, . . . , vk所以它也包含了lin(v, . . . , vk). latte r空间具有维数^n + 1根据假设，因此是连续的。定理6.3的证明。

从定理4.8来看，（4.25）的解的唯一性意味着主动投资组合风险生成器集Di, . . . , Dik跨越整个空间Rn, i、 例如，由这些向量生成的线性空间的维数为n. 结论来自引理6.4。现在假设存在唯一的主动投资组合风险生成器。从m公式（6.50）中可以清楚地看出逆优化问题解的唯一性。考虑正向优化问题的等效形式（4.33）。回想一下，这样一个线性问题的所有解集是一个凸边界多面体集，是由约束生成的多面体集的面。投资组合xM这是一个有两个有效约束的解决方案：一个具有唯一的投资组合风险生成器，另一个对最小预期回报进行编码。这意味着解的集合是维数多面体n - 根据引理6.4，它必须至少有n 特别的分数。5多面体的维数P 是中包含的每个独立点的最大数量P减1。推论6.5。在定理6.3的情况1中，如果μ ∈ riM(μ 则正向优化问题（4.25）具有Δ=Δ的唯一解M.证据这意味着（4.25）的解不是唯一的==> μ  riM。这直接源于定理m 4.8和Rockafellar（1970，定理6.4）的断言2。无卖空约束的反问题允许更多的解，如下面的引理所示。引理6.6。允许xM是投资组合优化问题（4.25）的一个解决方案，具有不卖空风险资产的额外约束。逆优化问题的解集由M′={给出μ ∈ Rn:  m ∈ Ms.t。μi≤ mi, 和mi{xMi≠0}= μi{xMi≠0}, i = 1.n}尤其是M M′.证据

风险资产投资组合权重具有非负约束的对偶优化问题（4.33）由（6.51）maximize给出qΔM,从属于：kj=1.pjDij- qμ ≥ 0,kj=1.pj= 1.q ≥ 0, pj≥ 0, j = 1.k,哪里Dij, j = 1.k, 是积极的政策风险识别者。由于强大的二元性，qΔM= D(^RTxM) > 0，高度q = D(^RTxM)/ΔM> 0、通过互补松弛条件，Ber tsimas和Ts itsiklis（1997，定理4.5），第一个约束上移中的不等式对于以下坐标变得相等：xM为非零。告诉我们μTxM= ΔM产生M′的形式。强烈的二元性意味着μ ∈ M′，投资组合xM是最佳的。众所周知，具有卖空约束的最优投资组合往往缺乏多样性，即有许多空的投资组合权重。然后，从集合M′的定义可以看出μ 与这些零权重相对应的是下面的u n bo undedfrom。备注6.7。如果没有沙皇的投资组合xM完全分散，即所有坐标均为严格正，则定理6.3的断言适用于风险资产无卖空约束的问题。6.2逆优化问题单一解的选择根据推论4.9，po r tfolio优化问题（4.25）的解是唯一的，除非μ 属于勒贝格测度零的集合（有限个超平面的并集）。因此，逆优化问题通常有多个解（定理6.3）。如何从逆优化问题的解集中选择唯一点？鉴于（6.49），这相当于选择一个独特的风险识别器Q*或rathera地图fD: L(Ω) → L（Ω）对于偏差测量D, 分配给随机变量X ∈ L（Ω）其风险识别者之一。

我们称之为这样的地图fD与偏差度量相对应的选择器D. 我们这么说fD如果它是（i）选择器和（ii）定义2.4意义上的aLebesgue连续映射，则为稳健选择器。引理6.8。对于任何有限偏差度量D 存在唯一的健壮选择器fD.证据Rockafellar等人（2006b，命题1）提出D( X) = 1.- Q(X). 因此，存在性和唯一性源自第2.3节。示例5。平均绝对偏差MAD(X) = E[|X - EX |], 唯一的鲁棒选择器由fD(X) = 1 + EZ - Z, 何处Z(ω) = 1.Z(ω) = 0，和Z(ω) = -1，用于X(ω) > E[X],X(ω) = E[X], 和X(ω) < E[X], 分别地附录中讨论了选择唯一s选民的替代方法。它基于法律不变性原则。虽然法律不变性选择器通常不是唯一的，但从财务和概率的角度来看，它是自然的，并且对于一些重要的偏差度量（如CVaR和混合CVaR）是不唯一的。6.3明确示例letΩ={ω, . . . , ωN} 带P(ωj) = wj, j = 1.N, 和^Rj=^R(ωj). 考虑一个给定的文件夹xM并表示X*=^RTxM和x*j= X*(ωj). 在不丧失一般性的情况下，我们假设{ω, . . . , ωN} 订购方式如下：x*≤ x*≤ · · · ≤ x*N. 自从E[^R] = 0，我们有E[X*] = 0和ex= · · · = xN= 0或x< 0 < xN. 前一种情况对于非零投资组合是不可能的xM因此，在假设（M）下，我们将集中讨论非零回报的非平凡后一种情况X*. 我们将研究由MAD和偏差CVaR度量的风险的逆投资组合问题。6.3.1平均绝对偏差letk 是最大索引，以便x*k< 0和m 是指x*m≤ 0。根据以上讨论，1≤ k ≤ m. 投资组合逆问题的形式解μ =ΔMMAD(X*)E[-Q*^R],哪里Q*是风险识别者X*.

回顾表格Q = 1 + E[Z] - Z MAD的风险生成器，参见示例5，以及E[^R] = 我们得到0E[-Q*^R] = E[Z^R]. 如果k = m, 有一个由给定的唯一性标识Z(ωj) = 11{j>k}- 11{j≤k}, j = 1.N. Oth erwise，r e为2(m - k)极端风险识别器对应于Z’表格的sZ(ωj) = 11{j>m}- 11{j≤k}+ z11{j=j*},j = 1.N, 对一些人来说k < j*≤ m 和z ∈ {-1, 1}. 因此，逆问题的解集由Nj=m+1.wj^Rj-kj=1.wj^Rj+mj=k+1.λjwj^Rjλk+1.λm∈ [-1, 1].ro胸围选择器对应于λ = 0（参见示例5）。示例6。允许N = 3和P(ωj) =, j = 1, 2, 3. r e是两种风险资产，收益率为R= (-1.-2)T,^R= (-1, 1)T和^R= (2, 1)T. 前向优化问题的解决方法μ = （0.4、0.6）和ΔM= 0.5 isxM= (0.5, 0.5). 然后X*=(-1.5、0、1.5）和MAD(X*) = 1、风险识别器集合X*由给出Z = (-1.z, 1） 使用任意数字z ∈ [-1，1]，即。，Q*=2 +z, 1.-z,z. 相应的解决方案μ 反问题的形式如下：μ =0.5(-1)^R+z^R+^R=0.5- z/60.5 + z/6., z ∈ [-1, 1].示例5中建议的唯一鲁棒选择器对应于z = 0，导致μ =(0.5, 0.5)T. 6.3.2偏差CVaR let的条件风险值k 是最大索引，以便x*k< -风险值α(X*) （套k = 0不存在此类索引）和m 是最大索引，以便x*m≤ -风险值α(X*). 然后是任何风险识别者Q*= (q, . . . , qN) 属于X*satis，c.f.Rockafellar等人（2006b），（6.52）0≤ qj≤ 1/α,Nj=1.wjqj= 1.q= q= · · · = qk= 1/α,qm+1= · · · = qN= 因此，（6.53）μ =ΔMCVaRΔα(X*)αkj=1.wj(-^Rj) +mj=k+1.wjqj(-^Rj),哪里qk+1.qm满足线性约束的任意数mj=k+1.wjqj= 1.-αkj=1.wj, 和0≤ qj≤ 1/α, j = k + 1.m.如果m = k + （6.52）中的风险识别器，以及μ 在（6.53）中有唯一定义。

对于m > k + 1，即：。，x*k+1= · · · = x*m= -风险值α(X*), 反问题有很多解。选挡杆对应于qk+1= · · · = qm, 也就是说，μ =ΔMCVaRΔα(X*)αkj=1.wj(-^Rj) +qmj=k+1.wj(-^Rj), 哪里q =1.-αkj=1.wj/mj=k+1.wj.示例7。LetΩ={ω, ω, ω} 具有均匀概率P的w(ωj) = 1/3. 有两个风险集合，收益集中R= (-1, 0)T,^R= (0, -1),^R= (1, 1). 修理α = 0.05. 远期投资组合优化问题的求解μ = （1/3、2/3）和ΔM= 0.5 isxM= (0.5, 0.5). 然后X*= (-0.5, -0.5, 1), -风险值α(X*) = -0.5，和k = 0, m = 2、风险识别者集合X*包括Q = (q, q, 0），其中0≤ q, q≤ 20和q+ q= 3、参数化q= q 和q= 3.- q 对于q ∈ [0，3]，我们获得μ =0.5q(-^R) +(3 - q)(-^R)=q/3(3 - q)/3., q ∈ [0, 3].鲁棒选择器由以下公式给出q = 1.5，导致μ= μ= 0.5. 7对黑人散户投资组合框架的应用在本节中，我们将第6节的发现应用于具有离散回报分布的市场上的黑人散户投资组合优化模型的扩展。在实际的金融应用中，资产回报分布通常与一定数量的情景近似，参见Krokhmal等人（2002）；Gaivoronski和P flug（2004）；Lim等人（2010年）；Lwin e t al.（2017）。我们首先简要介绍了Meucci（2005）基于市场的BlackLitterman模型对一般离散分布和偏差度量的扩展。6我们证明，逆优化问题（第4.2节）的解的非唯一性在该理论中普遍存在，这意味着回报的后验分布不是唯一的。

法律不变性原则恢复了该投资组合理论的完整性。原始Black-Litterman模型（Black和Litterman，1992）的基本假设是，市场处于平衡状态，共同基金定理成立，即所有投资者持有相同比例的风险资产。在偏差度量的一般设置中，Rockafellar et al.（2007）发展了一个类似的理论，并将风险资产的共同投资组合称为母基金。对于Δ=Δ的特定选择，可通过求解（4.25）来恢复M. 正如在最初的框架中一样，我们认为市场处于均衡状态，因此主基金对应于股票的相对市场资本化：我们将其称为市场投资组合xM. 此外，根据Black和Litterman（1992）的精神，我们假设中心均衡分布是已知的，例如，它等于资产回报的中心经验分布。唯一未知的分布参数是其位置。为了重新讨论后者，我们解决了一个反向优化问题：了解解决方案xM对于问题（4.25），我们找到了平均超额回报向量μeq对于给定的预期市场回报率Δ=ΔM. 分发μeq+^R 然后被称为平衡分布或先验分布。投资者的观点由m × n ‘拾取矩阵\'P 和一个向量v ∈ Rm. 每行P 资产的具体组合和相应的分录v 提供ForecastedAccess返回。预测中的不确定性（缺乏可信度）由azero平均随机变量表示ε 连续分布，完全支持Rm, 例如，正态分布N(0, Q).

由此产生的贝叶斯模型isprior：R ~ μeq+^R,观察结果：V |[R = r] ~ Pr + ε.未来回报的海报ior分布R 鉴于V = v 集中在与先验分布相同的点上，但概率不同。它可以用Ω上的新概率度量Q来描述，即资产超额收益的后验分布是μeq+^R 在Q7下。按照Bayes公式，我们设置后分布的非标准化“密度”：X(ω) = fεv - Pμeq- P^R(ω),哪里fε是的密度ε. 然后Q(ω)/P(ω) = X(ω)/EP[X]. 资产回报的后验分布随后被输入到优化问题中（4.25）。6读者可参考Palczewski和Palczewski（2019）对连续分布的并行扩展进行详细讨论。7后验分布的位置向量很少等于μeq由于Q中p概率相对于PAssume的重新加权，现在偏差度量D 完全生成。根据推论4.9，可以预期市场组合是（4.25）的唯一解决方案。因此，确定均衡分布的逆优化问题有许多解决方案（定理6.3和示例7），导致大量后验分布，并最终导致大量的黑人同窝狗最优投资组合。这在金融领域显然是不可接受的。这种非唯一性ss是由于存在许多主动风险生成器（偏差度量的主动风险标识符），引理6.1。选择法律不变主动风险识别器（见第6.2节和示例7）可恢复逆优化问题解的唯一性，进而恢复整个投资组合优化工作的唯一性。在实践中，投资者通常根据资产的市值推断市场投资组合。

这种投资组合不太可能有一个以上的主动投资组合风险生成器，因为至少有两个主动投资组合风险生成器的最优投资组合位于Rn（他们的勒贝格测度为零）。因此，marketportfolio解决了一个不太可能的投资组合优化问题，该问题的解决方案集具有维度n - 1，见定理6.3。然而，逆优化问题有一个唯一的解决方案。例8。考虑示例7的设置。CVaRΔ5%的极端风险识别值为Qe= {Perm（3，0，0）}。投资组合风险生成器集由3个可变因素组成：D= (1, 0)T, D= (0, 1)T, D= (-1.-1)T.确定市场投资组合xM= (0.2, 0.8)T及其返回值ΔM= 0.4. 投资组合风险生成器xM是D. 根据引理6.1，逆优化问题有唯一的解μ*= (0, 0.5). 现在考虑预期超额回报Δ的正向优化问题M和平均超额收益μ*:最小值x,x最大值x; x; -x- x, 受制于：0.5x≥ 0.4.解决方案集为X*=(x, 0.8) : x∈ [-1.6, 0.8]. X中的每个解决方案*CVaRΔ5%等于0。8和预期超额收益ΔM. 8结论我们深入分析了当资产收益率遵循一定数量的情景且偏差度量已生成时的正向和反向投资组合优化问题（包括常用的偏差度量：CVaR、混合CVaR和MAD）。我们发现，这两个问题的解的唯一性都存在偏差：正问题和逆问题不能同时唯一解决（对于相同的数据）。然而，非唯一性所适用的参数集的测度为零。虽然看起来唯一性问题实际上可以忽略不计，但我们已经证明，在许多应用中，如资本分配、合作投资和广义Black-Litterman模型，这都是不正确的。

在合作投资中，非唯一性影响了在参与投资者之间分配联合投资收益的“公平”方式：对于偏好由从完全生成的偏差度量衍生的ut函数描述的投资者，当联盟的正向优化问题具有唯一解时（这发生在完全度量的模型参数集上），最佳财富有许多风险识别者，这阻碍了投资者之间对财富进行独特的“公平”分配。对于广义Black-Litterman模型，逆优化问题具有多个解，导致多个后验分布和最优投资组合。这一结果与经典的Black-Litterman模型形成对比，后者对于正向和反向问题都具有唯一性。上述非唯一性问题已被证明与以下事实有关：凸函数（此处为风险或偏差度量）可能不是所有可微函数，并且在非可微点上具有非唯一的次梯度。通过引入公理集解决了这个问题，这样，对于任何凸函数，在每个点上，都有一个满足这些公理的唯一次梯度。该次梯度与次微分集的斯坦纳点重合。在正向优化问题中，如果解不是唯一的，我们可以根据次要目标在这些解之间进行优化。例如，如果有许多最优投资组合，我们可以选择与当前投资组合“最接近”的一个，以最小化平衡，c.f.Palczewski（2018）。在逆优化中，我们试图确定参数值，以便给定的特定解决方案是最优的。如果这可以通过几种方式来实现，那么很明显，上述多目标原则如何有助于确定唯一的解决方案。

此外，在su应用中选择什么次要目标可能还不清楚。第2节没有引入次要目标，而是建议se-tof最优解只包含一个特殊解，满足一些非常理想的性质，如Lebesgue连续性，并建议选择此解。我们进一步证明，在某些条件下，鲁棒选择器可以描述为唯一的法律不变解，这在分布是模型唯一可观察特征的应用中是很自然的。我们已经展示了我们的理论结果，如定理4.8和定理2.2，在风险分析和投资组合优化中的各种问题的应用。当考虑的应用程序在其假设中是特定的，例如允许卖空、涉及的特定措施、特定的约束结构等，理论本身是非常普遍的。定理4.8和6.3可以推广到一大类（参数化）线性规划，并解释了为什么在正、逆线性优化中没有n唯一性问题是“常见的”。定理2.2提供了一种在任何点为任何凸函数指定唯一梯度的方法，当它是凸函数不可微的结果时，它在所有情况下都重新解决了非唯一性问题。参考AASE，K.K.（2002）。风险分担的观点。斯堪的纳维亚精算杂志，2002（2）：73–128。Arrow，K.J.（1963年）。不确定性与医疗福利经济学。《美国经济评论》，53:941–973。Bauer，D.和Zanjani，G.H.（2013）。资本配置及其不满。《保险手册》第863-880页。斯普林格。Bertsimas，D.、Gupta，V.和Paschalidis，I.C.（2012）。逆优化：Black-Litterman模型的新视角。运筹学，60（6）：1389–1403。Bertsimas，D.和Tsitiklis，J.（1997年）。

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对于非均匀有限概率空间，上述定义的定律不变性概念对于定义唯一选择器几乎没有用处，因为例如，onΩ={ω, ω} withP公司[ω] ≠ 0.5，r.v.sX 和Y 具有相同的分布当且仅当X = Y, 而且，根据定义，每个偏差度量，包括（A.54），都是法律不变性的。出于类似的原因，每个选择器fD在这样的概率空间上是定律不变的。下面的结果将法律不变性的概念适当扩展到非均匀概率空间。r.v。X 主导r.v。Y 在二阶随机优势中，表示为X Y, 如果t-∞FX(x)dx ≤t-∞FY(x)dx, t ∈ R、 R.v。X 主导r.v。Y 在con cave顺序中，表示为X cY, 如果E[X] = E[Y] 和X Y.偏差度量D 与凹阶一致，如果D(X) ≤ D(Y) wh enever公司X cY.引理A.3。如果偏差测量D 与凹阶一致，它是定律不变的。如果Ω是一致的，则相反的说法也成立。证据第一种说法微不足道，第二种说法众所周知，但证明通常针对无原子概率空间，见Dana（2005，定理4.1）。对于离散形式Ω，设r.v.sX 和Y 获取值x≤ · · · ≤ xN和y≤ · · · ≤ yN, 分别地然后X cY 相当于（A.55）ki=1.xi≥ki=1.yi, k = 1.N,具有相等的k = N. 让我们证明在这种情况下Y 可从以下地址获得X 按操作顺序（a.56）(z, z, . . . , zN) → (z, . . . , zi-1.zi- d, zi+1.zj-1.zj+ d, zj+1.zN),d > 0, 1 ≤ i < j ≤ N.这句话对于N = 2和案例N > 2可通过归纳法进行验证。如果ki=1.xi=ki=1.yi对一些人来说k < N, 我们可以将归纳假设应用于一对r.v.sX= (x, . . . , xk)和Y= (y, . . . , yk), 单独配对X= (xk+1.xN) 和Y= (yk+1.

, yN), 得出结论，存在一系列操作（a.56）转换X到Y和X到Y, 因此X 到Y. 否则，将操作（A.56）应用于X 具有i = 1.j = N, 和d =最小值kki=1(xi-yi) > 0，获取X = (x, x, . . . , xN) → (x-d, x, . . . , xN+d) = (z, . . . , zN) = Z.则条件（A.55）适用于z, z, . . . , zN代替x, x, . . . , xN, 有些人是平等的k < N, 因此Z 可以转换为Y 根据上述论点。因为运算（A.56）只能增加定律不变的偏差量D, D(X) ≤D(Y) 跟随。引理A.4。如果适用于任何r.v。X ∈ L（Ω）选择器fD满足条件（A.57）Q(ωi) = Q(ωj) 无论何时X(ωi) = X(ωj),哪里Q = fD(X), 那么它就是定律不变的。如果Ω是一致的，则相反的说法也成立。证据条件（A.57）意味着Q = g(X) 对于某些功能g : R→ R、 那么E[YQ] =E[Yg(X)] = E[Yg(X)] = E[YQ] 无论何时成对的r.v.s(Y, X) 以及(Y, X) 具有相同的联合法则。相反，设Ω为u形，且X(ωi) = X(ωj). 然后是成对的r.v.s(Ii, X) 以及(Ij, X)具有相同的共同法律，其中Ii和Ij是指示器功能ωi和ωj, 分别地如果fD这意味着法律是不变的Q( ωi) = N · E[IiQ] = N · E[IjQ] = Q(ωj), 哪里N = |Ω|，和（A.57）如下。引理A.3和A.4意味着凹序的一致性和（A.57）分别是偏差测度和选择器的非均匀概率空间的定律不变性概念的适当扩展。引理A.5。对于每个偏差测量D, 与凹面排序一致，存在选择器fD令人满意（A.57）。证据安装r.v。X, 选择任何风险识别器Q 对于X, 然后让fD(X) := E[ Q |X].

那么对于所有人来说Y ∈ L(Ω),E[(1 - fD(X))Y] = E[(1 - E[Q|X])Y] = E[(1 - Q)(E[Y|X])] ≤ D(E[Y|X]) ≤ D(Y),其中第一个不平等来自Q ∈ Q 和（4.26），而第二个来自D 具有凹序，并且E[Y|X] cY, 见F"ollmer和Schied（2011，推论2.61）。因此fD(X) ∈ Q 通过（4.27）。因为也E[(1 - fD(X))X] = E[(1 -E[Q|X] )X] = E[(1 - Q)X] = D(X), fD(X) 实际上是风险识别者X, 条件（A.57）基本成立。示例9。CVaR偏差D = CVaRΔα, 存在一个满足（a.57）的un-IQE选择器，它由（见Cherny（2006））（a.58）给出fD(X) = Qα=0, X > -VaRα(X),cX, X = -VaRα(X),1/α, X < -VaRα(X),其中常量cX∈ [0, 1/α] 是这样的E[Q] = 1.示例10。对于混合CVaR偏差（4.29），存在唯一的选择器（a.57），其形式如下fD(X) = Qμ=Qαμ(dα), 哪里Qα由（A.58）给出（见Cherny（2006））。示例11。平均绝对偏差MAD(X) = kX - EX k（c.f.示例2），如果P(X =EX) > 0，有很多选择者满意（A.57）。示例11表明，施加条件（A.57）可能不足以指定唯一解，在这种情况下，需要另一种方法。下面的引理证明了鲁棒和法律不变选择器概念的一致性。引理A.6。设Ω为均匀。然后，对于每个定律不变的偏差度量D, 相应的鲁棒选择器fD是定律不变的。证据允许X ∈ L（Ω）和1≤ i < j ≤ N 是这样的X(ωi) = X(ωj). 允许T : L(Ω) → L（Ω）是地图交换索引i 和j, 也就是说Y = (y, . . . , yN),T(Y) = (y, . . . , yi-1.yj, yi+1.yj-1.yi, yj+1.yN).然后T(X) = X. 允许AD RN是其上的集合D : RN→ R是可区分的。由于D.

根据法律不变性，D(T(Y)) = D(Y),  Y.因此Y ∈ AD因此T(Y) ∈ AD, 我们有T( fD(Y)) = fD(T(Y)). 等式。（2.15）意味着Y ∈ L(Ω) ≡ RN,T( fD(Y)) = Tlim公司ε→0E[ fD(Y + eε)]= lim公司ε→0E[T( fD(Y + eε))]= lim公司ε→0E[( fD(T(Y + eε))] = fD(T(Y)),哪里eε均匀分布在球上Bε(0)  RN期望运算将eε. 因为T(X) = X, 这意味着T( fD(X)) = fD(X). 因此，（A.57）成立，并且fD引理A.4表示定律不变。综上所述，本文提出了选择唯一选择器的两个原则，并在集合M有多个点时给出了逆优化问题的唯一解。一条原则指出，如果D 是法律不变的，我们应该μi= μj在（6.49）中，Whenverpairs（^）r(i),^RTxM) 和（^）r(j),^RTxM) 具有相同的共同法律。这一原则已能有效解决CVaR偏差问题，更一般地说，也能解决混合CVaR偏差问题，但通常情况下，可能无法返回唯一的解决方案。另一个原则假设，正如第2节所定义的那样，Selector的Th应该是“健壮的”，并且它的优点是它总是返回唯一的解决方案。然而，其经济解释/公正性不如法律不变性原则那么明确。