投资组合优化与风险分析中解的唯一性

2022-6-11 01:14:20

我们证明了许多这类问题的解可以用凸函数的asub梯度以e x plicit的方式表示f : RN→ R在某个点X ∈ RN, 并且解决方案是唯一的当且仅当f 可在以下位置进行区分：X. 因为每个凸函数f 几乎所有地方都存在差异（Rockafellar，1970，T h eorem 25.5），人们可能会认为这种解决方案在所有“实际”情况下都是独一无二的。虽然在风险的背景下这确实是真的*第一作者（BG）感谢莱斯特大学授予他进行这项研究的学术研究。第二位（AP）和第三位（JP）作者的研究得到了波兰国家科学中心的资助，资助项目为2014/13/B/HS4/00176。+英国莱斯特大学数学系（电子邮件：bg83@leicester.ac.uk)波兰华沙华沙大学数学系，巴纳查2号，02-097（电子邮件：A。Palczewski@mimuw.edu.pl)§英国利兹LS2 9JT利兹大学数学学院（电子邮件：J。Palczewski@leeds.ac.uk)分享，我们证明了这种直觉在其他情况下严重失败。为了解决这个问题，我们提出了一个公理框架，用于从次微分集中选择一个唯一的特殊次梯度，我们称之为扩展梯度 f (X) 每个凸函数的f 在任何时候X. 事实上，我们的扩展梯度与 f (X). 这使我们能够解决各种应用中解的非唯一性问题。资本分配问题是风险管理中的一个基本问题，许多论文对此进行了研究，如Denault（2001）、Kalkbrener（2005）、Dhaene等人（2012），以及其中的参考文献。问题是如何将风险资本分配给n 子公司或业务单位。

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2022-6-11 01:14:24

同样地（见Cherny和Orlov（2011）），问题在于确定每个子公司的风险对总（累积）风险的贡献程度。Kalkbrener（2005）建立了风险衡量的必要和充分条件，以证明资本配置具有两个高度可利用的特性：线性和多样性。不幸的是，线性多元化资本配置可能不是唯一的，在这种情况下，选择哪一种并不清楚。Cherny和Orlov（2011）提出了一个额外的“法律不变性”公理，根据该公理，资本分配对于某些特定的风险度量家族来说是唯一的，但不是一般的。Grechuk（2015）引入了所谓的“质心资本配置”，这是独特的，但缺乏公理基础。本文提出了一种基于子差异集斯坦纳点的资本配置方法，即ich总是唯一的，并遵循一些自然公理。由Bor ch（1962）、Arrow（1963）等提出的最优风险分担是一个经典问题，它要求在n 代理人。如果没有一个代理能够在不增加其他代理风险的情况下降低其风险，那么这种再分配就称为帕累托最优。如果允许代理人进行交易，他们最终会得到某种特殊的最优分配，这被称为均衡分配（Filipovi'c和Kupper，2008）。然而，如果均衡分配不是唯一的，那么应该选择哪一个？我们的斯坦纳点方法也可以应用于这个问题。在合作投资问题上，m 代理人决定，他们可以组成联盟，购买联合投资组合，并以与最优风险分担问题相同的方式分配该联合投资组合的收益，而不是单独投资，参见Xia（2004）和Grechuk et al.（2013）。

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2022-6-11 01:14:27

投资者的效用i 是Ui(Zi), 哪里Ui是一些效用函数和Zi代理人的随机财富i 在投资期。Grechuk和Zabarankin（2017）表明，在一些温和的条件下Ui, 与最优的个人投资策略相比，合作投资对所有代理人来说都是最有利的。在合作投资问题中，联盟的偏好可以用合作效用函数来表示U*. 联盟利用效用解决了一个优化问题U*用终端财富发现非最优投资组合X*. 这种最终财富必须在投资者之间合理分配：必须找到帕累托最优配置(Z, . . . , Zm) 诸如此类X*=mi=1.Zi. 通常有很多帕累托最优财富分配，但格雷楚克和扎巴兰金（2017）定义了一种可被视为“公平”的分配。问题是，正如我们在本文中所证明的那样，这种“公平”分配通常是非唯一的。这个问题至关重要，因为不同的分配方法可能会产生不同的代理。因为这种非唯一性是U*, 该问题通过我们的斯坦纳点方法解决，前提是U*是一个凹函数。在投资组合分析领域，我们考虑的是一个拥有无风险资产的市场n riskyassets。投资组合表示为组合xR(1)+ · · · + xnR(n), 其中vectorrandom变量R = (R(1), . . . , R(n))T表示风险资产的超额回报。目标是找到投资组合配置（我们在风险资产中投资的部分）x = (x, . . . , xn)T这解决了以下优化问题：（1.1）minxρ(RTx) 从属于μTx ≥ Δ，其中ρ 衡量投资组合风险，Δ是目标超额回报μ = (μ, . . . , μn)T= (E[R(1)], . . .

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2022-6-11 01:14:30

, E[R(n)])T.本文研究了pr问题（1.1）解的唯一性和以下反问题的解：给定一个向量x*, 关于R计算能力ρ( RTx) 对于任何x, Δ>0找到平均回报向量μ 因此x*是问题（1.1）的解决方案μ. 请注意，我们感兴趣的反问题只有在风险度量中才有意义ρ 与分布的位置参数无关R, e、例如，标准差、投资组合收益方差或Rockafellar e t al.（2006a）的偏差度量。几位作者研究了不同公式下的投资组合逆优化问题。Bertsimas et al.（2012）认为r s是Arobast优化框架中的逆优化，以投资组合均值为目标函数，风险考虑在约束条件中。那篇文章没有讨论唯一性问题，特别是因为在他们假设资产收益率为正态的情况下，远期问题总是有唯一的解。由于自由度的数量（在平均方差中，从最优投资组合中可以推断出平均值、方差和目标收益率Δ），因此反问题通常有许多解。Grechuk和Zabarankin（2014、2016）试图推断投资者的风险偏好：假设完全了解R 和投资组合x*, 他们寻找风险度量ρ 为此x*是（1.1）的非最优解。他们解决了两类风险度量的反问题ρ: 偏差度量和一致风险度量。分析上述for ward和Reverse optimization问题的唯一性的动机来自Black-Litterman资产配置模型，参见Black和Litterman（1992），其中建立了该模型，Litterman等人。

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2022-6-11 01:14:33

（2004），以获得更详细的介绍。在经典的Black-Litterman模型中，风险是由方差引导的模式。用于建立平衡分布的反向优化具有唯一的解决方案。然而，对于非高斯分布来说，方差是一个很差的风险度量。Rockafellar等人（2006a）提出了偏差度量s，该度量s植根于一致的风险度量，但与分布的位置参数（作为方差）无关。优化问题（1.1）在x, 但是，对于正演和反演问题的解的唯一性尚未进行研究。凸优化的一般理论表明，它们依赖于R 和风险度量ρ. OurSteiner点方法也可用于确定该问题的独特“特殊”解决方案。在资产管理的背景下，许多论文都假设未来超额收益的情景数量有限（但可能很大）R （例如，资产收益的历史时间序列），这就是我们在本文中研究的情况。读者可参考Krokhmal等人（2002）；Fabozzi等人（2010年）；Lim等人（2011年）；Grechuk和Zabarankin（2018）的理论和金融中心贡献以及Gaivoronski和P flug（2004）；Lim等人（2010年）；Lwin et al.（2017），数值方法；在专著Conejo e t al.（2010）和其中的参考文献中可以找到金融以外的应用。尽管最优解的存在性问题已经得到解决，但对大量场景h的唯一性问题的分析还不够仔细。

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2022-6-11 01:14:36

我们对任意离散场景和一类偏差度量进行了详细分析，我们称之为“完全生成的风险度量”，其中包括条件风险值（CVaR）、混合CVaR和平均绝对偏差。在我们的方法中，我们利用Rockafellar等人（2006b）介绍的风险包络来描述偏差度量。我们的贡献基于最优投资组合的唯一性之间的新联系x*（1.1）和偏差度量的风险识别者数量ρ(RTx*). 这有三个后果。首先，投资组合优化问题对于任何μ ∈ Rn不属于有限数量的超平面；因此，对于实际应用，可以安全地评估唯一性。其次，一个独特的最优投资组合对应于许多风险识别者，因此，合作投资中存在许多帕累托最优分享安排，这在实践中极为不便。同样令人惊讶的是，这种可能性只是从一般凸性理论中推断出来的，并被视为不太可能和不方便的情况，不具有首要意义，见Grechuk和Zabarankin（2017）。第三个结果与Black Litterman模型扩展到任意分布和偏差度量有关（Palczewski和Palczewski，2019）。与经典模型类似，扩展模型的第一步是解决逆投资组合问题，其中针对市场（或基准）投资组合x*一是建立均衡平均收益率μeq这就产生了x*作为最佳解决方案，参见Palczewski和Palczewski（2019年，第4节）。我们证明，如果x*是特定μ*然后反问题有多个解。因此，黑人垃圾处理方法得出的最终投资建议并非唯一。

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2022-6-11 01:14:39

然后使用我们的斯坦纳点方法选择一个独特的建议。论文的其余部分组织如下。第2节提出了一种在R上为每个凸函数指定唯一“扩展梯度”的St-einer点方法N在每一点上。第3节应用此方法选择资本配置和风险分担问题的唯一解决方案。第4节在偏差度量的框架内阐述了投资组合优化问题，定义了投资组合风险生成器，并从投资组合风险生成器的角度讨论了投资组合唯一性问题。第5节阐述了合作投资问题，并解决了n在其解的唯一性上的问题。第6节讨论了正向和反向优化问题解的唯一性之间的二分法。第7节考虑了非高斯分布的Black-Litterman模型的非唯一性后果。第8节总结了工作。2凸函数的扩展梯度2.1定义和公理化刻画letf : Rn→ R是任意（有限值）凸函数。已知Rockafellar（1970，定理23.1）的单侧极限（2.2）φf ,Y(X) = lim公司ε→0+f (Y + εX) - f (Y)ε存在于每个X, Y ∈ Rn. 限度φf ,Y(X) 被称为的方向导数f 在Y 关于X. 我们这么说f （G–teaux）在Y ∈ Rn如果（双面）limitlimε→0f (Y+εX)- f (Y)ε存在于每个X ∈ Rn. 在这种情况下，φf ,Y(X) 是中的线性泛函X,可以表示为φf ,Y(X) = QTX 对一些人来说Q ∈ Rn, 通常表示为Q = f (Y) 称为梯度f 在Y.

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2022-6-11 01:14:42

众所周知，Rockafellar（1970，定理25.5）认为，任何有限值凸函数f 在R上n几乎在任何地方都是不同的。本节为“扩展”开发了一个公理化框架。梯度的概念是这样定义的，即每个凸函数的“扩展梯度”f : Rn→ Rat每个点Y ∈ Rn. 在下一节中，我们将证明这种“扩展梯度”在金融应用中很有用，包括资本分配、风险分担和合作投资。允许F 是所有凸函数的集合f : Rn→ R、正式地，我们将扩展梯度定义为地图G : F ×Rn→ Rn, 分配给每个f ∈ F 和Y ∈ Rn向量GY( f ) ∈ Rn,使以下性质成立：（G1）可加性：GY( f + g) = GY( f ) + GY(g) 对于所有人f , g ∈ F 以及所有Y ∈ Rn;（G2）旋转不变性：Letf ∈ F 和g(Y) = f (AY), Y ∈ Rn, 哪里A 是一个n × n 旋转矩阵，也就是矩阵AT= A-1和det(A) = 1、Th enGY(g) = A-1.GAY( f ), Y ∈ Rn.（G3）连续性：LetY ∈ Rn, f ∈ F , 和f, f, . . . 是中函数的集合F 这样的limm→∞φfm,Y(X) = φf ,Y(X) 对于所有人X ∈ Rn. Thenlim公司m→∞GY( fm) = GY( f ).（G4）线性差异：Le tQ ∈ Rn, 然后让f (Y) = QTY, Y ∈ Rn是线性函数。然后GY( f ) = Q, Y ∈ Rn.性质（G1）-（G4）是“导数”或“梯度”概念的任何扩展所需要的性质。（G1）表示和的导数/梯度是和的导数/梯度之和，（G2）是坐标系旋转下的不变性，（G3）表示导数/梯度是函数的局部属性，并且在任何y方向上“局部看起来几乎相同”的两个函数应具有“几乎相同”的梯度。最后，（G4）指出线性函数的导数/梯度是常数。

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可人4

2022-6-11 01:14:45

下面的定理2.2指出，令人惊讶的是，这些自然属性对于G.方向导数φf ,Y(X) 可在表格（2.3）中表示φf ,Y(X) = 啜饮Q∈ f (Y)QTX见Rockafellar（1970年，Th eorem 23.4），其中 f (Y) 被称为f 在Y, 并被定义为所有Q ∈ Rn因此f (X) ≥ f (Y) + QT(X - Y), X ∈ Rn. 设置 f (Y) isalways非空、凸和紧，参见Rockafellar（1970，定理23.4）。允许K 是R的所有非空凸紧子集的族n.具有f= f= · · · = fm= · · · = g, 属性（G3）意味着GY( f ) = GY(g) 无论何时φf ,Y(X) = φg,Y(X) 对于所有人X ∈ Rn. 同等地，GY( f ) = GY(g) 无论何时 f (Y) = g(Y).因此GY( f ) 可表示为（2.4）GY( f ) = S( f (Y)),哪里S 是每一组的地图K ∈ K 向量S(K) ∈ Rn.特性（G1）-（G4）GY( f ) 可以等效地写入地图的属性S. Forany公司K, K Rn, 集合K+ K= {Q+ Q| Q∈ K, Q∈ K} 被称为（Minkowski）sumofK和K. Rockafellar（1970）中的定理23.8暗示(( f + g)(Y)) = f (Y) + g(Y)对于所有人f , g ∈ F 以及所有Y ∈ Rn. 因此，特性（G1）等效于（S1）S(K+ K) = S(K) + S(K) 对于所有人K∈ K , K∈ K.属性（G4）等效于S({Q}) = Q. 将其代入（S1），我们得到S(K + Q) =S(K) + Q. 换句话说，如果K 由向量转换Q ∈ Rn, S(K) 被相同的向量转换。允许A, f , 和g 如（G2）所述。Rockafellar（1970）中的定理23.9暗示(g(Y)) = A-1. f (AY). 因此，属性（G2）等效于S(AK) = AS(K), K ∈ K . 这意味着S(AK + Q) = AS(K) + Q 对于所有人Q ∈ Rn, 或者，等效地，（S2）S(TK) = TS(K) 对于所有人K ∈ K 以及所有转换T : Rn→ Rn在表单中T(X) = AX + Q, 哪里A 是旋转矩阵，并且Q ∈ Rn.

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2022-6-11 01:14:48

这样的转换T 称为刚体运动。对于每个非空闭凸集K 在R中n, 其支持功能由fK(X) =sup公司{QTX, | Q ∈ K}. 尤其是，（2.3）意味着方向导数φf ,Y(X) 是次微分的支持函数 f (Y). 对于集合K, K, K, . . . 在里面K, 推论P4的组合。Salinetti和Wets（1979）中的A和推论3A表明Km支持的功能K 等于tolimm→∞h(Km, K) = 0，其中h 表示集合之间的Hausdorff距离1。这意味着对财产（G3）进行以下重新表述。引理2.1。允许S : K → Rn, 然后让GY由（2.4）给出。然后GY满意度（G3）当且仅当S满意度（S3）图S 对于Hausdor ff度量是连续的。就是limm→∞S(Km) = S(K)无论何时设置K, K, K, . . . ∈ K 是这样的limm→∞h(Km, K) = 0.证明。首先，假设（S3）ho lds，Y ∈ Rn, f ∈ F , 和fm是（G3）中的一系列函数。允许K = f (Y), Km= fm(Y). 然后φf ,Y(X) 和φfm,Y(X) 是的支持功能K 和Km, 分别和条件limm→∞φfm,Y(X) = φf ,Y(X) 意味着limm→∞h(Km, K) = 0。然后，通过（S3），limm→∞S(Km) = S(K), 根据（2.4）将其转换为limm→∞GY( fm) = GY( f )并证明（G3）。1豪斯道夫距离h(K, L) 在任何子集之间K 和L 共Rn定义为h(K, L) =最大{supX∈Kinf公司Y∈Ld(X, Y), 啜饮Y∈Linf公司X∈Kd(X, Y)}, 哪里d(., .) 在通常的欧几里德距离i n R中n.相反，假设（G3）保持并让K, K, K, . . . ∈ K 在lim是这样的m→∞h(Km, K) =0.L etf, f, f, . . . 是这些集合的支持功能。然后limm→∞fm= f点式。因为每个fm是正齐次的，其方向导数为Y = 0是φm(X) = lim公司ε→0+fm(0 + εX) - fm(0)ε= fm(X).因此，limm→∞φm= φ点方向，和（G3）带Y = 0表示limm→∞G( fm) =G( f ).

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2022-6-11 01:14:51

对于（2.4），这将转换为limm→∞S(Km) = S(K) 并证明（S3）。总之，GY( f ) 满足性属性（G1）-（G4）如果可以用形式（2.4）表示，并且可以用地图表示S : K → Rn满足（S1）-（S3）。然而，Schneider（1971）中的T h eorem 1指出，T h在任何维度n ≥ 2、有一张独特的地图S 满足（S1）-（S3），由（2.5）给出S(K) =n|Sn-1|Sn-1.X fK(X)dX,哪里Sn-1= {X ∈ Rn| ||X || = 1}表示R中的单位球面n, |Sn-1 |是其表面积，以及fK(X) 是的支持功能K. S(K) 被称为集合的斯坦纳点K. 等效（见Den tcheva（1998）），（2.6）S(K) =|B|B fK(X)dX,哪里B= {X ∈ Rn| ||X || ≤ 1} 表示单位球，是梯度，积分定义得很好，因为任何K ∈ K 几乎在任何地方都是不同的。如果K = f (Y), 其支持功能是φf ,Y(X), 我们得到（2.7）GY( f ) = S( f (Y)) =|B|Bφf ,Y(X)dX.我们将在下面的定理m中总结上述讨论。定理2.2。在任何维度中n ≥ 2、延伸梯度GY( f ) 其唯一特征是性质（G1）-（G4），由（2.7）给出，其中φf ,Y(X) 定义见（2.2）。下一个定理提供了扩展梯度的另一个公式GY( f ).定理2.3。对于每个凸函数f : Rn→ R、而且每Y ∈ Rn, 延伸梯度GY( f ) 由（2.8）给出GY( f ) = lim公司ε→0+|Bε(Y)|Bε(Y) f (X) 1{X∈D}dX,哪里Bε(Y) = {X ∈ Rn| ||X - Y|| ≤ ε} 球的中心是否在Y 带半径ε, 是（几乎在哪里定义）的梯度f , D = {X : f (X) = { f (x)}} 并且保证存在限制。证据允许S Sn-1be此类Z 即（a）Y + εZ ∈ D 几乎所有人ε,（b）φf ,Y(Z) 是单身汉。我们会证明S 属于σn-全尺寸，其中σn球面测量是否打开Sn-陈述（a）源于以下事实：D 有一个完整的Lebesgue measu r e。

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nandehutu2022

2022-6-11 01:14:55

对于（b），函数g(Z) := φf ,Y(Z) 是凸的，正齐次的（作为 f (Y)) 和φf ,Y(Z) = g(Z). Rockafellar（1970，定理25.5），g(Z) 几乎每个人都是单身Z ∈ Rn. 因为g 是正同质的，对于σn-几乎每个Z 在…上Sn-1，这完成了以下证明：S 是全方位的。我们有（2.9）|Bε(Y)|Bε(Y)( f (X) - φf ,Y(X - Y)) 1{X-Y||X-Y||∈S}dX=Sn-1{Z∈S}nεnε( f (Y + αZ) - φf ,Y(αZ))αn-1{Y+αZ∈D}dα σn(dZ).Rockafellar（1970，推论23.5.3）指出φf ,Y(Z)) = 参数最大值Q∈ f (Y)QTZ,i、 e.这些是 f (Y) 在那里Z 是正常的。上述公式还意味着（2.10）φf ,Y(Z) = φf ,Y(λZ) 对于λ > Rockafellar（1970年，定理24.6）提出Z ∈ S 我们有Limε→0+Y+εZ∈D f (Y + εZ) = φf ,Y(Z).自设置以来X∈B(Y) f (X) 由Rockafellar（1970，定理24.7）限定，支配收敛定理暗示了limitlimε→0+nεnε( f (Y + αZ) - φf ,Y(Z))αn-1{Y+αZ∈D}dα= lim公司ε→0+nεε( f (Y + αZ) - φf ,Y(Z))αn-1.εn-1{Y+αZ∈D}dα = 使用（2.10）和支配收敛定理，这进一步意味着ε→0+Sn-1{Z∈S}nεnε( f (Y + αZ) - φf ,Y(αZ))αn-1{Y+αZ∈D}dα σn(dZ) = 0、回顾（2.9）和S 属于σn-全面衡量，这将导致GY( f ) =|Bε(Y)|Bε(Y)φf ,Y(X - Y) 1{X-Y||X-Y||∈S}dX.再次调用（2.10），上面表达式的右侧等于|B(Y)|B(Y)φf ,Y(X - Y) 1{X-Y||X-Y||∈S}dX =|B|Bφf ,Y(X)1{X||X | |∈S}dX.这就完成了（2.7）中的证明B{X||X | |∈S}dX = 0定理2.3 g对GY( f ): 平均坡度为f 在以Y 当球的半径变为0时。而定理2.2适用于量纲n ≥ 2、公式（2.7）-（2.8）定义的扩展梯度在尺寸上定义良好n = 1以及。

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2022-6-11 01:14:58

对于凸函数f : R→ R、而且每y ∈ RGy( f ) 在（2.7）-（2.8）中，给出了Gy( f ) =f′+(y) + f′-(y),哪里f′+(y) 和f′-(y) 是的右导数和左导数f 在y, 分别地因为任何集合的Steiner点K ∈ K 属于K, （2.7）意味着GY( f ) ∈ f (Y),或者，换句话说，扩展梯度总是属于次微分集。特别地，GY( f ) = f (Y), 当后者存在时。这正是扩展梯度的名称GY( f ).2.2讨论让我们从不同的角度讨论趋势梯度（2.7）-（2.8）。Be cause everyconvex函数f : Rn→ R几乎是可微分的。然而，我们的首要问题是取函数g(Y) = f (Y), 几乎在所有地方都进行了定义，并在剩下的几点中以某种“规范的方式”进行了定义。定义函数最明显的方法g 在某一点上Y 是“通过连续性”：如果g 未定义于Y 但极限（2.11）limX→Yg(X)存在，我们可以定义g(Y) := lim公司X→Yg(X), 生成函数g 连续atY.为了明确限制（2.11），我们需要g 在某个街区的所有点（与几乎所有点相反）进行定义Y. 例如，如果g 在使用有理坐标的所有点未定义的情况下，并非所有点的极限（2.11）都定义得很好Y. 对于几乎处处定义的函数，可以使用近似连续性的概念来代替连续性。

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能者818

2022-6-11 01:15:01

可测量的函数g : E → Rm定义日期E Rn称为近似连续Y 如果有可测量的集合F E 密度为1的Y 并且（2.12）g(Y) = lim公司X∈F,X→Yg(X).（2.12）右侧的限制可能存在，即使g 在未定义的某些度量值0中，在Y.如果g 本质上是在Y, 然后g 大约连续Y 当且仅当Y L ebesgue po int为g, 即，（2.13）limε→0+|Bε(Y)|Bε(Y)|g(X) - g(Y)|dX = 0，见Evans和Gariepy（2015）第1.7.2节。对于任何可积函数，Lebesgue微分定理的状态g : Rn→ Rm, 几乎每个Y ∈ Rn是Lebesgue点g,见Evans和Gariepy（2015）第1.7.1节。尤其是，（2.13）意味着（2.14）g(Y) = lim公司ε→0+|Bε(Y)|Bε(Y)g(X) dX这推动了以下定义2.4。我们说这个函数g : Rn→ RmLebesgue连续Y ∈ Rn如果限值（2.15）limε→0+|Bε(Y)|Bε(Y)g(X)dX存在且等于g(Y).如果g 持续时间为Y, 那么它在Y, Y 是Lebesguepoint的g, 反过来，g Lebesgu e是否连续Y. Lebesgue连续性Y,然而，这并不意味着Y 是一个L ebesgue点。例如，t aken = m = 1和功能g( x) = s标志(x) （即，g(x) = 1.g(x) = 0和g(x) = -1用于x > 0, x = 0，和x < 分别为0）。T h eng 在0处不是连续的，不是近似连续的，并且0不是的aLebesgue点g, 因为利姆ε→0+2εε-ε|g(X) - g(0)|dX = 1.≠ 0.然而，g Lebesgue是否在0处连续，因为ε→0+2εε-εg(X)dX = 0 = g(0).勒贝格连续性也有以下概率解释。我们“测量”的数量Y 随机误差εZ, w h此处Z 在一个单位球中均匀分布。则限值（2.15）为limε→0+E[g(Y + εZ)], 哪里E[·]表示期望值。

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2022-6-11 01:15:03

因此g isLebesgue连续atY 当且仅当g(Y + εZ) 收敛到g(Y)当震级ε o f（旋转不变）错误εZ 转到0。这使我们能够估计g(Y) 通过计算g 在表单的各个点Y + εZ, 取平均值。定理2.3暗示g(X) = f (X) 具有f : Rn→ R凸面，极限（2.15）全部存在Y ∈ Rn. 因此，在不存在梯度的点上，通过ebesgue连续性确定梯度是非常必要的。这正是我们所做的。实际上，扩展梯度GY( f ), 视为功能Y 对于固定f , 是来自R的唯一映射n至Rn, 其中（i）与 f (Y)当后者存在时，以及（ii）对于所有Y ∈ Rn.将（2.8）的两侧乘以ZT对于任何Z ∈ Rn, 我们得到（2.16）ZTGY( f ) = lim公司ε→0+|Bε(Y)|Bε(Y)ZT f (X)dX = lim公司ε→0+|Bε(Y)|Bε(Y)φf ,X(Z)dX,也就是说，ZTGY( f ) 是的方向导数的平均值f 在方向上Z 在一个小球周围Y. 这一事实提供了GY( f ).接下来我们比较GY( f ) 利用文献中已有的广义导数概念。实际上，次微分集 f (Y) 其本身可以被视为一种广义的阿格拉度，在可微点上与之相吻合，但对于所有凸函数都有很好的定义f 在所有点上Y. 与GY( f ) 是吗 f (Y) 通常是2事实上的错误Z 可等效为正态分布，前提是E[|g(Y + εZ)|] 对某些人来说是有限的ε > 这源于多元标准正态分布的旋转不变性。集值。对于梯度的其他推广，如Clarke的广义梯度Clarke et al.（2008）或molli fied gradient Ermoliev et al.（2008）也是如此。

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2022-6-11 01:15:07

（1995）：这些梯度可能存在于一些非凸甚至不连续的函数中，但它们通常是集值函数。相反GY( f ) 是R中的单个向量n对于任何固定f 和Y.对于一些不可微函数，另一种广义导数是弱导数，它的定义是由部分公式的积分推动的。如果u ∈[a, b] → R是一个不一定可微分但已知可积的函数，那么它的弱导数就是一个可积函数v ∈ [a, b] → R等于bau(t)φ′(t)dt = -bav(t)φ(t)dt适用于所有完全不同的函数φ 这样吧φ(a) = φ(b) = 定义可以推广到更高的维度。弱导数已知是唯一的，即如果v和v都是u 然后v(x) = v(x) 几乎所有人x.然而，弱导数对确定u 在任何特定点y. 例如，让u(t) = |t| 在上[-1、1]和v(t) 是这样的v(t) = -1和v(t) = 1开[-分别为1，0）和（0，1）。T h env(t) 是的弱导数u(t) 对于任何值v(0).相反，公式（2.8）允许我们唯一地确定|t| 在t = 0必须为0。另一个广义导数是与近似连续性概念相关的近似导数（2.12）。可测量的函数g : E → Rm定义在一个可测量集上E RnLebesgue密度为1时，称为近似可微分Y ∈ E 如果有可测量的集合F E 密度为1的Y 因此g 仅限于F在Y. 许多重要的函数类，如有界变差函数，几乎在所有点上都是可区分的，见Evans和Gariepy（2015）中的定理6.4。

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能者818

2022-6-11 01:15:10

然而，没有已知的规范化方法来确定所有点的eapproximate导数，即使对于简单的函数，如u(t) = |t|.根据（2.4），定义扩展梯度相当于从次微分集中选择一个点 f (Y), 它是R中的非空凸紧集n. 扩展ed梯度（2.7）-（2.8）对应于 f (Y). 有人可能会问，如果我们从 f (Y), 例如，重心（质心）。对于任何可测量集T Rn, 其质心由（2.17）给出c(T) =RnxIT(x)dxRnIT(x)dx,哪里IT(x) 是的特征函数T. 然后，我们可以将质心基线梯度定义为（2.18）GcY( f ) = c( f (Y)).然而，众所周知，通常情况下，在固定附加项下，重心不是预先设定的：我们可能有c(T) + c(T) ≠ c(T+ T) 对于可测量集T, T Rn. 因此，基于质心的扩展梯度GcY( f ) 不是添加提示。此外，考虑一个顶点坐标为（0，1）的等腰三角形(-ε, 0），以及(ε, 0），其中ε > 0很小。该三角形的质心（0，1/3），对于任何ε > 0.H欧文，wh enε 收敛到0，三角形退化到端点（0，1）和（0，0）的中间，质心跳到（0，1/2）。现在考虑函数族fε谁的 fε(Y) 在某个时候Y 这个三角形是一个函数f谁的 f(Y) 是限制间隔。对于小型ε, 功能fε看起来几乎与相同f本地位于Y, 但基于质心的扩展梯度（2.18）fε和f在Y 完全不同。相比之下，同一三角形的Steiner点有坐标（0，1/2+h(ε)), wherelim公司ε→0h(ε) = 0，因此Steiner点收敛到（0，1/2）为ε → 0平滑，无跳跃。因此，扩展ed梯度（2.7）-（2.8）fε平滑收敛到延伸的渐变f.

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2022-6-11 01:15:12

属性（G3）确保这在总体上是正确的。当然，我们可以从 f (Y) 而不是ce n troid，但定理2.2表明，Steiner点是唯一的选择，相应的延伸梯度满足自然属性（G1）-（G4）。我们能在有限维Banach空间中定义凸函数的扩展梯度吗B? 根据（2.4），这相当于开发一种从次微分集中选择点的方法 f (Y), 它是B.这种方法是在Lim（1981）中发展起来的，可以用来构造凸函数的扩展梯度B 这满足了一些有用的属性，包括（G2），（G4）和（G3）的较弱版本，参见Grechuk（2015）。然而，可加性（G1）失败了，事实上，这是不可避免的：众所周知，在有限维空间中，凸体的斯坦纳点没有类似物，见Vitale（1985）。这意味着任何将扩展梯度概念扩展到有限维空间的尝试都将导致至少一个属性（G1）-（G4）失效。除了缺乏可加性和公理基础外，Lim（1981）中的构造使用了序数和反式归纳法，由此产生的e x趋势梯度通常很难计算。本文中的显式公式（2.8）不直接适用于有限维空间，因为其中的积分与Lebesguemeasure有关，并且在有限维Albanach空间上没有Lebesgue测度的有用类似物。具体而言，每一个非相同零的平移不变度量都会将有限度量赋给此类空间的所有o pen子集，参见Hunt等人。

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可人4

2022-6-11 01:15:15

(1992).3资本分配和风险分担的应用（Ω，∑，P）是一个概率s步，其中Ω表示未来状态的指定空间ω, ∑是一个σ-Ω中的集合代数，P是（Ω，∑）上的概率测度。随机变量（r.v.）是从Ω到r.Let的任何可测函数L（Ω）是Ω上所有随机变量的向量空间，且V 是的子空间L(Ω).3.1资本分配Let r.v。Y ∈ V r代表一些港口对账单的（随机）利润，包括m 子投资组合，即，Y =mi=1.Xi. Le t公司ρ : V → R是这样一个函数ρ (X) 表示与任何X ∈ V. 资本配置问题就是风险资本的分配问题ρ(Y)在子投资组合中，t h at is，分配给子投资组合i 其风险贡献ki因此mi=1.ki= ρ(Y).资本分配问题的一个解决方案是分配给每个子港口对账单i 风险贡献（3.19）ki= lim公司h→0ρ(Y + hXi) - ρ(Y)h,如果存在极限。（3.19）的右侧称为的Gateaux导数ρ在Y 在方向上Xi. 如果ρ Fréchet在Y, 那么Gateaux导数在Xi, 和mi=1.ki= lim公司h→0ρ(Y + hmi=1.Xi) - ρ(Y)h= lim公司h→0ρ(Y + hY) - ρ(Y)h.因此，我们有mi=1.ki= ρ(Y) 如果风险度量ρ 满足以下特性：(ρ1）（正同质性）：ρ(λX) = λρ(X) 对于所有人λ ≥ 0和X ∈ V.在这种情况下，（3.19）中定义的风险贡献称为欧拉贡献，相应的分配方法称为欧拉原理或梯度原理。在Bauer和Zanjani（2013）的研究中，不同的作者从不同的角度研究了资本分配问题，但如果我们忽略符号和表示上的差异，其中许多人最终会采用相同的分配方法——Euler原则。

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2022-6-11 01:15:18

许多作者，包括Denault（2001）、Kalkbrener（2005）和Tasche（2007）提出了一组公理分析方法应该满足，然后推断，如果存在满足公理的分配方法，它是唯一的，事实上符合Euler原理。例如，Kalkbrener（2005）假设风险贡献ki应仅依赖于Xi和Y, 但不是关于Y - Xi在众多子投资组合中。在这种情况下，资本分配是一个函数∧ρ: V × V → R使得∧ρ(Y, Y) = ρ(Y), Y ∈ V.Kalkbrener（2005）还假设∧ρ应满足以下特性（i）X → Λρ(X , Y) 是一个线性函数；（ii）∧ρ(X , Y) ≤ ρ (X) 对于所有人X , Y ∈ V, 和（iii）∧ρ(X , Y) 在中连续Y, 在某种意义上，limε→0Λρ(X , Y + εX) = Λρ(X , Y) 对于所有人X ∈ V.条件（i）保证mi=1.ki= ρ(Y), 哪里ki= Λρ(Xi, Y). 条件（ii）称为衍生：单一资产的贡献永远不会超过总风险。条件（iii）保证Y 不能显著改变风险贡献。有关这些公理的进一步讨论和论证，请参见Kalkbrener（2005）。Kalkbrener（2005）的m 4.2理论表明，对于资本分配∧ρ为了满足（i）和（ii），风险度量ρ 必须满足(ρ1）以及(ρ2）（次可加性）：ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y) 对于所有人X, Y ∈ V.Kalkbrener（2005）中的定理4.3保证了对于任何正齐次和次加性ρ, a资本分配∧ρ满足（i）-（iii）当且仅当ρ 可在以下位置进行区分：Y, 在这种情况下，它是唯一的，由（3.19）给出。条件(ρ1）以及(ρ2）共同确保ρ 是凸的，因此全局Lipschitz连续。因此，它几乎在世界各地都是不同的V.

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2022-6-11 01:15:22

基于此，人们可能希望Euler原理（3.19）适用于所有实际重要的场合，而失效的（measurezero）情况只有理论意义，没有实际价值。然而，Grechuk（2015）中的示例3表明，如果初始投资组合Y 不是“武断的”，而是风险最小化政策的结果，可能会发生以下情况Y 是“强制”到精确的（测量零）设置，其中ρ 不可区分。因此，确定一个对所有人都有效的独特资本分配方案的问题Y 不仅具有理论意义，而且具有实践意义。为了至少部分地解决这个问题，Cherny和Orlov（2011）通过法律不变性的性质，即∧，重新放置了连续性属性y（iii）ρ(X , Y) 只应遵守X 和Y. 他们证明，满足（i）、（ii）的资本配置及其新公理对于一类他们称之为加权VaR的风险度量是唯一的。然而，对于这类风险度量之外的风险度量，这种资本配置可能不存在或不唯一。Grechuk（2015）提出了一种将Euler原理扩展为任意风险度量的方法(ρ1）以及(ρ2）和武断Xi和Y, 但该结构涉及序数和反式归纳，因此通常是不切实际的。此外，它缺乏公理化基础。现在，我们将展示如何使用第2节中开发的技术来开发一个定义独特资本分配方案的系统mof自然公理。我们假设这个空间V 为有限尺寸，并用R标识n对一些人来说n. 这一假设（至少）适用于两种重要的特殊情况。第一种情况是基本概率空间（Ω，∑，P）是有限的。在许多应用中，潜在分布是未知的，并根据历史数据的有限样本进行估计。

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2022-6-11 01:15:25

在这些情况下，在有限概率空间上定义的离散随机变量可能是合适的模型。如果Ω=(ω, . . . , ωn) 最后，在随机变量之间有一个明显的区别X : Ω → R和向量u = (u, . . . , un) ∈ Rn: 允许u(X) = (X(ω), . . . , X(ωn)) 是由以下所有值组成的向量X. 相反，对于u ∈ Rn标志Xu随机变量，使得Xu(ωi) = ui, i = 1.n. 风险度量ρ 然后可以作为函数处理r : Rn→ 定义人r(u) = ρ(Xu).第二种情况是概率空间（Ω，∑，P）是任意的，并且V 是所有随机变量的空间X 可在表格中陈述X =ni=1.uiXi, 哪里Xi表示子投资组合，以及u = u(X) = (u, . . . , un) 是实系数s的向量。在这种情况下，我们可以定义函数r : Rn→ R组件r(u) = ρni=1.uiXi,而规则贡献（3.19）可等效为（3.20）ki=rui（1，…，1），前提是r(u) 在（1，…，1）处可区分。包括Denault（2001）和Tasche（2007）在内的许多作者都考虑过这种设置。现在，我们建议将Kalkbrener（2005）的连续性属性（iii）放宽到较弱的版本（iv）Y → Λρ(X , Y) 上的Lebesgue连续函数V,其中，定义2.4中定义了L ebesgue连续性。然后我们得到以下结果。定理3.1。允许ρ 是一个满足（ρ1）以及(ρ2). 然后，存在一个满足性质（i）、（ii）和（iv）的唯一资本分配方案。该方案由（3.21）∧给出*ρ(X , Y) = Gu(Y)(r) · u(X),哪里Gu(Y)(r) 是的扩展梯度r 在u(Y) 定义于（2.7）-（2.8）和·在Rn. 因此，风险贡献为（3.22）ki= Λ*ρXi,Xi= Gu(Xi)(r) · u(Xi).证据Let∧ρ(X , Y) 是满足（i）、（ii）和（iv）的资本分配方案。通过线性（i），我们得到∧ρ(X , Y) = fr(Y) · u(X),对于某些向量fr(Y) ∈ Rn这取决于r 和Y.

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2022-6-11 01:15:28

如果r 可在以下位置进行区分：u(Y) 带渐变r(u(Y)), 然后，根据Kalkbrener（2005）中的定理4.3，∧ρ(X , Y) = lim公司h→0ρ(Y + hX) - ρ(Y)h= lim公司h→0r(u(Y) + hu(X)) - r(u(Y))h= r(u(Y)) · u(X) = Gu(Y)(r) · u(X) = Λ*ρ(X , Y).通过Lebesgue连续性（iv），等式∧ρ(X , Y) = Λ*ρ(X , Y) ex适用于所有人Y ∈ V. 在这一节的结尾，我们讲几句关于财产的话（四）。线性（i）表示∧ρ(X , Y) 在中连续X, 这意味着子订单或tfolio的变化很小Xi影响有限ki= Λρ(Xi, Y), 在总投资组合中提供Y 是固定的。还需要连续性Y （p r property（iii）），这意味着Y 对其子投资组合的风险资本也有有限的影响。然而，满足（i）、（ii）和（iii）的资本配置可能不存在。（iii）的失败意味着我们可能有∧ρ(Xi, Y + Z) 与∧显著不同ρ(Xi, Y) 即使Z 是一个很小的波动。想象一个（有点极端的）情景Z, 我们会有∧ρ(Xi, Y + Z) ≥ a > b > Λρ(Xi, Y) 对一些人来说a > b. 这种分配方案看起来奇怪且不公平：如果子投资组合的风险贡献i 至少是a 对于Y, 为什么不到b 在Y? 在这种情况下，直觉是ki= Λρ(Xi, Y) 是“不公平的比赛”。属性（iv）是连续性（iii）的自然松弛，排除了这种情况和类似情况。它保证∧ρ(X , Y) 等于∧的平均值ρ(X , Z) 什么时候Z 在具有中心的小球中获取值Y. 因此ki= Λρ(Xi, Y) 不是“不公平的小”也不是“不公平的大”，而是恰到好处的。3.2风险分担资本分配问题出现在不同的情况下，例如，在使用现金不变风险度量进行风险分担的情况下。

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能者818

2022-6-11 01:15:31

当然，我们对资本配置问题的解决方案也自动意味着这个问题的解决方案。我们没有回顾关于风险分担的现有文献，而是让读者阅读Surveyase（2002），然后继续问题的表述。假设有m 代理，indexedbyI = {1, 2, . . . , m}. 每个代理i ∈ I 拥有初始捐赠Yi∈ V, 以及相关的风险度量ρi: V → R、代理人的目标是重新分配全部捐赠Y =mi=1.Yi在这些精灵中减少他们的风险。代理人i ∈ I 接收部件Xi∈ V 总捐赠的mi=1.Xi= Y; 向量X=（X, X, . . . , Xm) 被称为风险分配。如果没有风险分配Z=（）Z, Z, . . . , Zm) 具有ρi(Zi) ≤ ρi(Xi), i ∈ I, 至少有一个不等式是严格的。如果向量Y=(Y, Y, . . . , Ym)在所有初始捐赠中，不是帕累托最优的，所有代理都可以切换到帕累托最优。然而，通常有许多帕累托最优配置，那么如何在其中选择一个“公平”的呢？If风险措施ρi是现金不变的，也就是说，ρi(X + C) = ρi(X) - C 对于每个X ∈ V andevery常数C, 那么风险分配X=(X, X, . . . , Xm) 帕累托最优当且仅当其最小化总风险mi=1.ρi(Xi) 所有可能的风险分配。此外，如果所有ρi面积也是正均一和次加性的，那么函数也是正均一和次加性的（3.23）ρ*(Y) = infX：mi=1.Xi=Ymi=1.ρi(Xi),绘制捐赠总额图Y 相应的总风险。在这种情况下，如果风险分配X=(X, X, . . . , Xm) 是帕累托最优的，则所有分配X′=(X+ C, X+C, . . . , Xm+ Cm), 哪里Ci常数是这样的mi=1.Ci= 0，也是帕累托最优的。此外，很容易看出，事实上，所有帕累托最优分配，直到e q UIValue3，都可以通过这种方式获得。

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nandehutu2022

2022-6-11 01:15:33

因此，从帕累托最优分配集合中选择“公平”分配的问题简化为常数的“公平”选择Ci.现在，每个代理i 从初始捐赠开始Yi最终获得最终捐赠Xi. 因此，代理人承担的额外风险为Xi- Yi. 风险代理人同意承担的风险越多，风险回报率越高Ci她应该得到。因此，决策问题Ci这就是确定风险贡献的问题Xi- Yi到Y, 总风险度量为ρ*. 如果，与前一节类似，我们假设Ci应仅取决于Xi- Yi和Y, 写Ci= Λρ*(Xi- Yi, Y), 假设性质（i）、（ii）和（iv），然后是常数Ci由定理3.1唯一确定。具体而言，Ci= Λ*ρ*(Xi- Yi, Y), i = 1.m,其中∧*定义见（3.21）。4平均偏差投资组合优化4.1有限生成偏差度量假设概率空间Ω是有限的N = |Ω|和P(ω) > 0表示任何ω ∈ Ω. 如果P[ω] = · · · = P[ωN] =N.允许R(i), i = 1.n, 是表示金融工具回报率的随机变量。我们假设还存在一种无风险的工具，其回报率为常数R(0)=: r. 继Rockafellar等人（2006b）之后，我们还假设（M）任何港口对账单X =ni=1.xiR(i)是任何非零的非常数随机变量x = (x, . . . , xn) ∈ Rn.3分配X=(X, . . . , Xm) 和Z=(Z, . . . , Zm) 如果ρi(Xi) = ρi(Zi) 对于所有人i = 1.mRockafellar等人。

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2022-6-11 01:15:37

（2006b）将投资组合优化问题表述为（4.24）min(x,x,...,xn)Dni=0xiR(i), s、 t。ni=0xi= 1.ni=0xiE[R(i)] ≥ r+ Δ，其中Δ>0和D 是一般偏差度量，即函数D : L(Ω) → [0; ∞]满意：（D1）D(X) = 0表示常量X, 但是D(X) > 否则为0（非负），（D2）D(λX) = λD(X) 对于所有人X 以及所有λ > 0（正均一性），（D3）D(X + Y) ≤ D(X) + D(Y) 对于所有人X 和Y （次加性），（D4）se t{X ∈ L(Ω)D(X) ≤ C} 全部关闭C < ∞ （下半连续性）。中心收益率^R(i)= R(i)-E[R(i)], i = 1.n, 和μi= E[R(i)]-r, i = 1.n,问题（4.24）可重新表述为（4.25）minx∈ RnD(^RTx), s、 t。μTx ≥ Δ，式中^R = (^R(1), . . . ,^R(n))T, x = (x, . . . , xn)T, 和μ = (μ, . . . , μn)T. 我们选择了使用一个方向符号D 表明风险度量的这种特殊选择ρ 在（1.1）中，这将是纸张其余部分的默认设置。Rockafellar等人（2006a，定理1），每个偏差度量D 可在表格（4.26）中表示D(X) = EX + s向上Q∈QE[-XQ],哪里Q L（Ω）称为风险包线，可从D 根据（4.27）Q =Q ∈ L(Ω)E[X(1 - Q)] ≤ D(X) X ∈ L(Ω).此外Q 在中是闭合的和凸的L(Ω). 元素Q ∈ Q （4.26）中的supr emum被称为X. 所有风险识别器的集合X 表示为Q(X).偏差度量D 是有限的，也就是说，D(X) < ∞, X 当且仅当Q 在这种情况下，Q(X) 对于每个X ∈ L（Ω），以及，由于Q 和线性Q → E[-XQ], 每套Q(X) 必须包含至少一个Q. 前，辅助Q∈QE[-XQ] = 最大值Q∈QeE[-XQ], 哪里Qe是Q. 实际上，有界闭凸Q 是的闭凸包Qe,参见菲尔普斯（1974）4中的定理2。

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2022-6-11 01:15:40

对于本文来说，特别重要的是这些风险度量的集合Qe定义：定义4.1。有限偏差度量D 如果集合Qe的所有极端点Q 是有限的。我们将此集合的元素称为极端风险生成器。4因为L（Ω）是一个反射B anach空间，它具有Radon-Nikodym性质，Phelps（1974）中的定理2适用。换句话说，D 当且仅当Q 是有限个点的凸包。示例1。对于标准偏差，σ(X) = ||X - E[X]||, Rockafellar等人给出了风险范围。（2006b，示例1）Q =QE[Q] = 1.σ(Q) ≤ 1.,以及，对于N > 2，有很多极端点，因此σ 未明确生成。示例2。对于平均绝对偏差，MAD(X) = E[|X - E[ X]|], 风险范围由Rockafellar等人给出。（2006b，示例2）Q =QE[Q] = 1，supQ - inf公司Q ≤ 2.,这是R中的凸多边形N具有有限数量的顶点。因此，MAD最终生成。事实上，极端点Qe可以显式编写为Qe=Q = 1 + E[Z] - ZS {1, 2, . . . , N} : Zi= 1.i ∈ S; Zi= -1.i S,对于Ω简单上的均匀概率Qe=x ∈ RNS { 1, 2, . . . , N} : xi=2|S|N- 1.i ∈ S; xi=2|S|N+ 1.i S,其中子集S 取n为空且正确。因此|Qe| = 2.N- 2.示例3。对于CVaR偏差（4.28），CVaRΔα(X) ≡ E[X] -ααqX(β) dβ,Rockafellar等人给出了风险范围。（2006b，示例4）Qα=QE[Q] = 1, 0 ≤ Q ≤ α-1..约束的线性意味着CVaRΔα完全生成。特别是，如果概率在Ω和α =kN对于某些整数1≤ k < N, 极值点Qe是Qe=x ∈ RNS { 1, 2, . . . , N} : |S| = k, xi=Nk, i ∈ S; xi= 0, i S.这意味着|Qe| =N!k!(N-k)!. 引理4.2。允许D, D, . . . , Dm完全生成的偏差度量。

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