（5.25）我们的理论测量数量IEUlog（S，τ，F），表示为通过深入量化从（S，F）传递到停止模型（Sτ，G）时直接影响对数最优投资组合的各种因素，以不同的方式定义（1.8）。其中两个因素是直观已知和理解的，而在本文中，我们使用模型数据以更高的精度对其进行量化，无论模型（s、F、τ）有多普遍，模型数据在F中都是可以观测到的。事实上，我们直觉地知道，拥有流的代理具有看到τ发生的信息优势，这自然会产生一些我们量化并称之为“信息溢价”的现象。同时，由于τ的随机性，我们的代理人可能面临两种类型的风险。Firstrisk来自随机视界的长度，这可能导致提前离开的成本，因为视界T∧ τ通常比正概率下的T短。这一事实在τ是停止时间的情况下也是众所周知的，更重要的是当它是固定/确定的地平线时，这是由于对数效用的宏观特征。我们的G-InvestorRight面临的第二个风险本质上是τ和S之间相关性b的固有风险。我们将该风险称为“相关风险”，并根据不可观测的模型数据对其进行精确量化。这个第三个事实在我们的分析中很自然地出现，与前面的两个因素相比，直觉上并不清楚。第四个因子出现在表达式（5.19）和（5.20）中，表示τ和（S，F）的num’eraire组合之间的相关性。

我们自然地用表达式E【heLF，miFT】量化后一个因素，ASELF是最佳的双随机数字组合的主要随机性来源。通过（5.19）和（5.20）的比较，我们可以明显地推断出thatnum'eraire change premium=（信息溢价）- （关联风险）≥ 0.random horizon 23下的对数相关投资组合这表明“相关风险”负债并没有超过“信息溢价”，因此它在不造成损失的情况下削弱了我们金维存储的信息优势。只有当num'eraire portfolioseλ和eД在某种意义上相等时，“num'eraire change premium”才为空。下文总结了这一事实以及对这些因素的进一步讨论。定理5.6假设定理5.5的假设成立。那么下面的断言就成立了。（a） 当且仅当信息溢价为零，且仅当τ为伪停止时间（即，对于任何有界F鞅，e[Mτ]=e[M]）时，相关风险为零，且（S，F）和（Sτ，G）的num'eraire投资组合在[[0，τ]]上重合。在这种情况下，NP（F）-相关性也为空，并且T（S，τ，F）=- （提前离开的费用）≤ 0。（5.26）（b）假设τ与S不相关。那么（5.26）成立，相关风险与信息溢价一致，且NP（F）-相关性为空。（c） “num'eraire change premium”是指num'eraire投资组合费率seλ和eДG，对于（S，F）和（Sτ，G），分别在]]0，τ]]上重合，即λoSτ=eДGoSτ或在]]0，τ]]P上重合 A. F-a.e.ceλ=c eДG，btreλ=btreДGand xtreλ=xtreДG.（d）如果S是局部鞅，则T（S，τ，F）=变更保费数≥ 0。（5.27）（e）假设S是连续的。

然后，定理5.5中定义的一对（eλ，eД）满足λ+β=eД，并保持以下条件。信息溢价=E“ZTGs-βtrscsβsdAs#+相关风险，（5.28）相关风险=E“ZTGs-dh（E）s（m⊥, F） #，（5.29）提前离开成本=E“ZT1- Gs公司-eλtrscseλsdAs#。（5.30）5.2定理5.1、5.5和5.6以及命题5.3的证明本小节侧重于证明先前子节的结果，并分为四个子小节。24 Tahir Choulli，Sina Yansori5.2.1定理证明5.1为了证明这个定理，我们首先推导（Sτ，G）的可预测特征，我们用（bG，cG，FG，AG）表示，如下所示。bG：=b+cβ+Zh（x）（fm（x）- 1） F（dx），uG：=I]]0，τ]] u，cG：=cdνG：=I]]0，τ]]fmdν，FG（dx）：=I]]0，τ]]fm（x）F（dx），AG：=Aτ。（5.31）因此，通过将定理D.1直接应用于模型（Sτ，G），我们推导了模型的对数最优组合θgf的存在性与ν的存在性之间的等价性∈ L（Sτ，G）满足（θ- ^1）tr（bG- cGИ）+Z(θ - Д）trx1+Дtrx- (θ - ^1）trh（x）FG（dx）≤ 0，（5.32）EVGT+（ДtrcGДoAG）T+（Klog（Дtrx） νG）T< +∞, （5.33）VG：=^1trbG- ^1trcGД+ZДtrx1+Дtrx- ^1trh（x）FG（dx）o任何有界θ的AG（5.34）∈ L（Sτ，G），以及num’eraire投资组合比率的存在（5.32）。此外，eZG=E（EхGoSτ）-1.∈ Dlog（Sτ，G），Д=ДG，（5.35）eZG=E（eKG）E(-eVτ），心电图：=-Sc，G+-eΓGΓtrx1+Γtrx (uτ- νG），（5.36）eΓGt：=1+Z（f（op，G）t（x）- 1） νG（{t}，dx）-1，f（op，G）t（x）：=1+Дtrtx，（5.37）由于引理A.1，我们推断出eД的存在∈ L（S，F）∩ L（S，F）和ДI]]0，τ]]=eДI]]0，τ]]，P A-A.e。。（5.38）因此，通过在（5.34）和（5.37）中插入此和（5.31），我们得出结论，vg=eVτ，eΓGI]]0，τ]]=eΓI]]0，τ]]，f（op，G）I]]0，τ]]=f（op）I]]0，τ]]，（5.39），其中eΓ和f（op）由（5.15）给出。因此，通过在（5.32）和（5.33）中插入（5.38），（5.39）和（5.31），并使用引理A.1-（d），我们推断（5.8）和（5.9）都适用于eД。

因此，（5.11），断言（a）、（b）和（c）之间的等价性紧随其后。通过在（5.35）中插入（5.38），我们获得了（5.12）中的第一个等式，而其余的证明集中于证明（5.12）的第二个等式。为此，多亏了Theo rem 2.3-（b），我们在插入（5.38）和（5.39）后使用（5.36），并展望∈ M0，loc（F），以便- eхoSc，G+-eΓeΓtrx1+eΓtrx (uτ- νG）=TeKF公司-G-om级. （5.40）随机视界25下的对数相关投资组合，结合两个局部鞅相等的事实，当且仅当其连续鞅部分相等且其跳跃也相等时，T（Sc）=S（c，G）的事实，以及T（X）=G-如十一] ]0，τ]]和eKG=eΓ1+eΓtrS- 1.一] ]0，τ]]，我们推断（5.40）等价于（eKF）c=- eхoSc+G-omc，eΓ1+eΓtrSI]]0，τ]]=G-如eKF+1一] ]0，τ]]。（5.41）通过在上面两侧取F-可选投影，我们得到eKF=eGeΓG-（1+eДtrS）- 1、感谢toeG=G-（fm(S） +总经理(S） ）打开(S 6=0）和m=eG- G-, 上述等式等于eKF=-eΓgm(S） e^1trS1+eИtrS-eΓfm公司(S） e^1trS1+eИtrS+meΓG公司-+eΓ- 1.（5.42）注意，不难检查两个过程eΓgmeΓtrx1+eΓtrx u和-eΓfmeΓtrx1+eΓtrx (u - ν） 是定义良好的F-局部鞅（关于保证其存在的条件，请参见定理m C.1），以及meΓG公司-= eΓG-1.-om级, -eΓgm(S） e^1trS1+eИtrS=-eΓgmeΓtrx1+eΓtrx u!,-eΓfm公司(S） e^1trS1+eИtrS+eΓ- 1 = -eΓfmeΓtrx1+eΓtrx (u - ν)!.因此，通过将这些事实与eΓG-1.-om级c=G-1.-omc，在（5.41）和（5.42）中的第一个等式，我们推导出了（5.13）中给出的thateKFis，并完成了定理的证明。26 Tahir Choulli，Sina Yansori5.2.2命题5.3的证明。注：当且仅当ifcβ=0 dP时，τ与S无关 dA-a.e.fm（t，x）=1 P dA公司 F-a.e。。（5.43）1）这里我们证明资产（a）。

然后根据定理D.1和假设D（S，F）6=, 分别为（Sτ，G）和（S，F）的两个利率为eν和λ的num'eraire投资组合求解以下不等式方程（θ-eθ）tr（b- ceθ）+Z（θ-eθ）tr（x1+eθtrx）- h（x））F（dx）≤ 0, θ ∈ L（S，F）。（5.44）因此，根据下面的引理，引理5.7中最多有一个Eθ∈ L（S，F）满足（5.44）。这里，如果ψ（1+|ψ|），则称ψ和ψ——L（S，F）的元素——相等-1oS=Д（1+|Д）-1oS。我们推断，这两个参数在]]0，τ]]上重合。这就结束了命题（a）的证明。2） 根据命题（5.43）的断言（a）和定理5.1-（c），我们声称（Sτ，G）的对数最优投资组合存在当且仅当num'eraire投资组合率λsatis fiesehg-oeVFT+G-eλtrceλoAT+G-Klog（eλtrx） νTi<+∞,其中EVF给出的EVFI：=eλtrb-eλtrceλoA+eλtrx1+eλtrx-eλtrh！ ν.因此，由于G-≤ 1，上述条件由（S，F）的对数最优投资组合的存在性所暗示，见适用于模型（S，F）的定理D.1。这就结束了断言（b）的证明。3） 假设S是连续的。因此，由（5.8）和（D.1）给出的分别适用于（S，F）r的eν和λ的不等式方程变成（θ- eх）tr（b+c（β- e^1））≤ 0, (θ -eλ）tr（b- ceλ）≤ 0,  θ ∈ L（S，F）。通过将这一点与任何F-可预测过程都属于toL（S，F）这一事实相结合，我们得出结论，eД=β+eλ，并且断言的证明（c.1）已经完成。为了证明断言（c.2），只需指出断言（c.1）暗示EV≡ 0，因此（5.9）成为EhRTGs-eхtrscseхsdAsi<+∞.断言（c.3）紧接着组合断言（c.1）和（c.2）。这就结束了这个命题的证明。

随机视界下的对数相关投资组合275.2.3定理5.5直接计算的证明，有关类似的详细信息，请参见[1 7]，对于任何H-局部鞅X>-1、我们有- ln（E（X））=-X+H（0）（X，H）。（5.45）第1部分。这里我们证明了等式（5.20）。为此，应用TheoremD。1到模式l（S，F），并使用位置B.2，我们导出ut（S，F）=Ehln（ET（eλoS））i=Eh- ln（ET(-eVF）i+Eh- ln（ET（eLF））i=EeVFT+X0<s≤T型(-eVFs公司- ln（1- eVFs））+H（0）T（eLF，F）= EheHT（F）i=Eh（例如oEh（F））Ti+Eh（（1-eG）oeH（F））Ti。（5.46）=Eeλtr（b-ceλ）oAT+ln（1+eλtrx）-eλtrh νT. （5.47）由于定理5.1和命题B.2的对偶性（5.12），我们推导出（Sτ，G）=E[ln（ET（EoSτ））]=Eh- ln（eZGT）i=Eh- ln（Eτ∧T型(-eV）i+Eh- ln（ET（eKG））i=EeVτ∧T+X0<s≤T∧τ(-电动汽车- ln（1- eVs））+H（0）T（eKG，G）（5.48）注意，根据（5.14）和（5.15），我们得到eKG=eΓ1+eΓtrS- 1.一] ]0，τ]]，因此，通过将其与定义4.1相结合，我们得出（0）（eKG，G）=eИtrc eΓoAτ+XeΓ1+eΓtrS- 1.- lneΓ1+eΓtrS一] ]0，τ]]=eхtrc eхoAτ+XeΓ- 1.- ln（eΓ）一] ]0，τ]]+-eΓeΓtrx1+eΓtrx+ln（1+eΓtrx）！ uτ.通过将其插入（5.48）并随后使用（5.15），1- eV=1/eΓ并偏离（1-eΓ）eΓtrx（1+eΓtrx）-1毫米 ν = -P（1）-eΓ）/eΓ，我们得到（Sτ，G）28 Tahir Choulli，Sina Yansori=eG-oeV+X0<s≤·(-电动汽车- ln（1- eVs））+X0<s≤·（eΓs- 1.- ln（eΓs））T+EG-eхtrc eхoAT+ E“G--eΓeΓtrx1+eΓtrx+ln（1+eΓtrx）！fm公司 νT#=E（G）-oeV）T+G-eхtrc eхoAT+G-- eхtrx1+eхtrx+ln（1+eхtrx）fm公司 νT= EG-eхtr（b+c（β-eх））o在+G-fmln（1+eИtrx）- eхtrh νT（5.49）最后一个等式在fr om之后使用（5.10）。

用Φ表示函数定义L（S，F）×L（S，F），如下所示。eΦ（λ，Д）：=（Д）- λ） trb+（Д）- λ） trcβ-ДtrcД+λtrcλ（5.50）+Zfm（x）ln1+Дtrx1+λtrx- (φ - λ） trh（x）F（dx）。然后通过使用两个函数的凸性- ln（1+Дtrx）和（5.8），我们推导出处理器的非负性，即eR=eΦ（eД，eλ）≥ 0，（5.51），根据（5.49），（5.4 6）和（5.47），我们得到T（S，τ，F）=uT（Sτ，G）- uT（S，F）=-Eh（1-eG）oeH（F）Ti+EhG-eΦ（eД，eλ）oATi+e“G-（fm- 1） （eλtrx）1+eλtrx νT+G-eλtrcβo在#。因此，通过将后一个等式与EHHELF相结合，miFTi=-E“G-（fm- 1） （eλtrx）1+eλtrx νT+G-eλtrcβo在#处，根据直接计算，我们推断（5.20）成立。第2部分。这里我们证明了等式（5.19）。为此，我们将（5.45）应用于（eKF，F）和（G-1.-om、 F），然后我们使用符号（5.22）得到- 自然对数E类(-eVτ）- 自然对数E（eKF）τ+ 自然对数E（G-1.-om） τ=eVτ+X-eVτ- ln（1- eVτ）- （eKF）τ+H（0）（eKF，F）τ+G-omτ- H（0）G-om、 F级τ=eH（G）τ- （eKF）τ+G-omτ- H（0）G-om、 F级τ. （5.52）随机视界下的对数相关投资组合29因此，通过取s两边的期望值，并使用（5.12），我们得出（sτ，G）=E[ln（ET（EΓosτ））]=Eh- ln（ET∧τ(-eV）i+Eh- ln（ET（eKG））i=E（eGoeH（G））T- heKF，miFT+G-omτ∧T- H（0）G-om、 F级T∧τ.（5.53）因此，通过使用（4.12）并在（5.53）中插入（4.14），我们得到（Sτ，G）=Eh（eGoEh（G））T- heKF、miFTi+HGPeQT因此，通过将其与（5.46）相结合，紧接着是（5.19）。因此，在（5.51）中，只要我们证明（F，G）：=例如：eH（F）-eH（G）p、 F+heKF-eLF、miF∈ A+（F）。

（5.54）一方面，将（5.52）中的类似计算和公式应用于zg：=E（eLF）τE(-eVF）τ/E（G-1.-om） τ，（5.55）导致- ln（ZG）=eH（F）τ- （eLF）τ+G-omτ- H（0）G-om、 F级τ.然后通过将该等式与（5.52）相结合，我们得到- 自然对数eZG/ZG=eH（G）τ-eH（F）τ- （eKF）τ+（eLF）τ。另一方面，通过使用Jenson不等式和1/eZG=E（EИosτ），ZG∈ D（Sτ，G）和两个过程seh（G）和h（F）都是F-可选的，我们推断- 自然对数eZG/ZG是G-子鞅，因此W（F，G）是非减量的，F-可预测的，这就结束了theo-rem的证明。5.2.4定理5.6的证明该证明分为四个部分，分别证明这四个断言。1） 这里我们证明断言（a）。很明显，只有当且仅当（5.54）中定义的过程W（F，G）为空，或（5.55）中定义的两个定义相同时，“相关风险”才为空。由于G中Doob-Meyer分解的唯一性，这显然等价于（eVF）τ=eVτ和E（eKF）τ=E（eLF）τ。因此，由于假设G>0，上述等式等于vf=eV和kf=eLF。（5.56）30 Tahir Choulli，Sina YansoriThen，根据定理C.1的Jacod分解的唯一性，我们得出结论，当且仅当ifc（β- e^1）=-ceλ，m⊥≡ 0，gm=0，fm1+eДtrx=1+eλtrxMPu- a、 e.（5.57）因此，根据后一种等效性，我们推断“相关风险”为零，而eД=eλ等效于tocβ≡ 0，m⊥≡ 0，gm=0，fm=1 MPu- a、 e.这相当于m≡ m、 即τ是一个伪停止时间。这证明了断言（a）中的第一句话。此外，由于m≡ m、 我们找到了，miF≡ 0，因此NP（F）-相关因子为空。因此，通过在（5.19）中插入所有这些，我们得到（5.26），并且完成了断言（a）的证明。2） 本部分论述了断言（b）。

假设τ与S无关，这相当于cβ=0 P A-A.e.和fm=1 P A. F-a.e。。然后，由于引理5.7，我们推导出eλ=eν，因此我们导出了helf，miF≡ 0安德≡ 这意味着“NP（F）-相关性”和“num'eraire changepremium”因子均为空，因此“信息溢价”与“相关性风险”一致。通过在（5.19）中插入所有这些，我们再次获得（5.26），并且完成了对（b）项的证明。3） 这里我们证明断言（c）和（d）。一方面，当λ与eД重合时，则≡ 0从（5.21）开始。另一方面，使用Taylor\'sexpansion和（5.8）对于θ=eλ，我们推导出≥ （eλ- eД）trc（eλ- eД）+Z（（eλ）- eД）trx）最大（（1+eλtrx），（1+eДtrx））F（dx）。因此，我们推断出，Theer为null i fficeλ=ceДP A-A.e.andeλtrx=eДtrxP A. F-a.e。。因此，断言（c）是将后一项索赔与以下事实相结合得出的，即由于G>0且根据（5.20），“num'eraire change premium”为空≡ 0页 A-。一e（5.58）本部分的其余部分证明了评估（d）。假设S∈ Mloc（F）。然后我们得到λ≡ 0和自身≡ 因此，我们推断uT（S，F）=0T（S，τ，F）=uT（Sτ，G）≥ 这结束了断言（d）的证明。4） 假设S是连续的。然后，根据命题5.3-（c），我们推导出以下等式ekf=（β- eх）oSc+m⊥=eLF+m⊥,eVF=eV=0。（5.59）随机视界下的对数相关投资组合31因此，直接计算Hellinger过程，另请参见[15,16,17]有关这一事实的更多详细信息，我们推导出H（0）（eKF，P）=H（0）（eLF，P）+H（0）（m⊥, P），eG=G-(1 + m级⊥),-eGoH（0）（m⊥, P）=G-oH（E）（m）⊥, P）- G-o[米⊥, m级⊥]h（E）（G）-1.-om、 P）=βtrcβoA+h（E）（m⊥, P）因此，通过将这些等式与（5.19）和（5.59）相结合，断言（e）立即出现，定理的证明完成。

5.3当（S，F）为跳跃扩散模型时，本小节说明了第3节和第4小节关于初始模型（S，F）为一维跳跃扩散模型的主要结果。准确地说，我们假设概率空间上定义了标准布朗运动W和强度λ>0的泊松过程N(Ohm, F、 P），过滤F是byW和N评级的完整且正确的连续过滤线。考虑固定的地平线T∈ (0, +∞), 假设S满足度t：=SE（X）t，Xt：=（σoW）t+（ζoNF）t+Ztusds，NtF：=Nt- λt，（5.60），存在常数δ∈ (0, +∞) 使得u、σ和ζ是满足ζ>-1，最小值（σ，|ζ|）≥ δ、 P dt-a.e。。（5.61）既然m是F-鞅，那么就存在两个F-可预测过程ν（m）和ψ（m），使得rt（ψ（m）s）+ψ（m）s|ds<+∞ P-a.s.和G-1.-om=Д（m）oW+（ψ（m）- 1） oNF。（5.62）定理5.8假设G>0，S由（5.60）-（5.61）给出，并考虑θ：=ξ+符号（ζ）pξ+4λψ（m）2σ-ζ、 式中ξ：=u- λζσ+Д（m）+σζ，（5.63）Theneθ∈ L（S，F）∩ L（S，F）是（Sτ，G）的num'eraire port fi olio rate，以下断言是等效的。（a） 随机时间τ，在F中参数化为（Д（m），ψ（m），G-), 满足“ZTGs”-h（ψ（m）s）+λψ（m）sln（ψ（m）s）- λψ（m）s+λidt#<+∞. （5.64）（b）存在（4.1）的解，由Ezg：=E（eKG），eKG：=-σeθoT（W）-ψ（m）ζeθ1+eθζoT（NF）。（5.65）32 Tahir Choulli，Sina Yansori（c）eθ是模型的对数最优投资组合利率（ST∧τ、 G）。通过对模型（5.60）-（5.61）的证明，可以得出如下Se c tion 3的可预测特征。设δa（dx）为点a处的狄拉克质量。

在这种情况下，我们有d=1和u（dt，dx）=ΔζtSt-（dx）dNt，ν（dt，dx）=ΔζtSt-（dx）λdt，Ft（dx）=λΔζtSt-（dx），At=t，c=（S-σ） ，b=（u- λζI{|ζ| S->1} ）S-, （β，gm，m⊥) = （^1（m）S-σ, 0, 0).因此，setL（ω，t）（S，F）：={Д∈ R^1x>-1 F（ω，t）（dx）- a、 e.}={Д∈ R^1S-ζ > -1}=-1/（秒）-ζ） +，1/（S）-ζ)-是R中的开放se t（使用约定1/0+=+∞). 然后，条件（5.8）描述了最优投资组合eД，b，其方程如下。0 = u - λζI{|ζ|>1/S-}+ S-σ（Д（m）S-σ- θ） +λψ（m）ζ1+S-θζ- λζI{|ζ|≤1/秒-}= u - λζ+σД（m）- S-σθ+ψ（m）λζ1+θS-ζ. （5.66）通过将φ：=1+θS-ζ>0，上述方程等于0=-σζφ+ [u - λζ+σИ（m）+σζ]Д+ψ（m）λζ，它总是（因为ψ（m）>0）一个唯一的正解，由以下等式给出：=Γζ+|ζ| pΓ+4σλψ（m）2σ，Γ：=u- λζ+σД（m）+σζ。因此，我们推导出eλ：=eθ/S-, 式中，eθ由（5.63）给出，与（eД）一致-1） /（S-ζ） ，满足1+ζeθ>0，因此它是（5.66）的唯一解。根据（5.61）-（5.62）中的假设，也很清楚eθ是S-可积的（或等价的λ是S-可积的）。因此，利用上述分析和定理5.1，最优财富过程isE（eλoSτ）=e（eθoXτ）以及断言（a）和（b）紧随其后。附录随机视界33A下与日志相关的投资组合一些G-属性与FSome中的G-属性相比，我们得出了以下新的引理。引理A.1设A是非减量且F可预测的，假设G>0。那么下面的断言就成立了。（a） 对于任何G-可预测过程ДG，存在一个F-可预测过程ДFsuch，该过程ДG=ДFon]]0，τ]]。此外，如果ДG>0（分别为ДG≤ 1） ，则φF>0（分别为φF≤ 1).（b） 对于任何θ∈ L（Sτ，G），存在∈ L（S，F），使得Д=θon]]0，τ]]。（c） 对于任何θ∈ L（Sτ，G），存在∈ L（S，F），使得Д=θon]]0，τ]]。（d） 设v为F-可预测过程。然后vI]]0，τ]]≤ 0页 A-A.e。

如果且仅当v≤ 0页 A-A.e。。（e） 设И为非负且F-可预测的过程。然后Д<+∞ PA-A.e.on]]0，τ]]当且仅当Д<+∞ P A-A.e.（f）设V为f-可预测且不递减的过程，取[0+∞]. 如果Vτ是G-局部可积的，则V是F-局部可积的。证明断言（a）是[1，引理B.1]的一种特殊形式，断言n（B）可以在[8，引理a.1]中找到，而断言（e）和（f）直接从[1，引理B.2-（c）-（f）]开始。因此，此证明的其余部分将重点放在提供组件（c）和（d）上。（c） Letθ∈ L（Sτ，G）。一方面，由于[45，定理1.16，或标记2.2-（h）]，这相当于setXG：=支持≥0 |（HθI{|θ|≤noSτ）t|H G公司- 可预测| H |≤ 1，n≥ 1.概率有界的概率有界的。另一方面，作为评估（a）的直接应用，我们推断存在一个F-可预测过程，例如θ=ДOn]]0，τ]]，xgc中的G-可预测也可以替换为Fpredictable。此外，对于任何T∈ (0, +∞), 任意c>0，任意F可预测H以1为界，通过放置Q：=（GT/E[GT]）·P~ P和X*t： =sup0≤s≤t | Xs |对于左极限过程X的右连续，我们有（HθI{|θ|≤noSτ）*T> c类≥ Q（HИI{|Д）|≤noS）*T> c类E[燃气轮机]。（A.1）这允许我们根据【45，定理1.16，或备注2.2-（h）】再次得出结论，即∈ L（ST，F），对于任何T∈ (0, +∞). 因此，断言（d）是结合后一个事实和[？，定理4]得出的。（d） 设v为F-pr可预测过程，使得vI]]0，τ]]≤ 0页 A-A.e.这等于0=e[v+oAτ∧T] =E[v+G-oAT]，或等效v+=0 PA-A.e。。这显然相当于v≤ 0页Aa。e、 ，并证明了断言（d）。这就结束了勒玛的证明。

以下是在τ处停止的F-可选过程的G-补偿器。34 Tahir Choulli，Sina YansoriLemma A.2 Let V∈ Aloc（F），那么我们有（Vτ）p，G=I]]0，τ]]G-1.-o（eGoV）p，F.对于这个引理和其他相关结果的证明，我们参考了[1,2]。一些有用的鞅可积性这一节的结果是新的、非常有用的，而且根本不是技术性的。引理B.1考虑K∈ M0，loc（H），带1+K>0，并由定义4.1给出H（0）（K，P）。如果E[H（0）T（K，P）]<+∞, 然后E[p[K，K]T]<+∞或相当于E[sup0≤t型≤T | Kt |]<+∞.校对Let K∈ M0，loc（H），使1+K＞0，E[H（0）T（K，P）]<+∞.然后注意，对于任何δ∈ （0，1），我们总是K- ln（1+K）≥δ|K |最大值（2（1- δ） ，1+δ）I{|K |>δ}+(K） 1+δI{|K级|≤δ}.通过将其与（4.2）相结合，一方面，我们推断hKciT+X0<t≤T型|Kt | I{|Kt |>δ}+X0<t≤T型(Kt）I{|千吨级|≤δ}≤ CδEhKciT+X0<s≤T型(堪萨斯州- ln（1+Ks））≤ 2CδE[H（0）T（K，P）]<+∞,式中，Cδ：=δ-1+最大值δ-1.- 2, δ. 另一方面，[K，K]1/2T≤pHKIT+X0<t≤T型|Kt | I{|Kt |>δ}+sX0<t≤T型(Kt）I{|千吨级|≤δ}.这就结束了引理的证明。命题B.2设Z为正上鞅，使Z=1。然后，以下断言成立。（a） 存在K∈ Mloc（H）和一个非减量且H可预测的过程V，使得K=V=0，K>-1，Z=E（K）exp(-V）。（b）- ln（Z）是一致可积子鞅当且仅当存在局部鞅N和非减量可预测过程V，使得N>-1，Z=E（N）exp(-V）和HVT+H（0）T（N，P）i<+∞. （B.1）随机视野下的对数相关投资组合35（c）假设存在一个正超鞅（Z（i））i=1的有限序列，。。。，假设乘积Z：=nYi=1Z（i）是s超鞅。

然后- ln（Z）是一致可积子鞅当且仅当- ln（Z（i）），i=1。。。，n、 一致可积子鞅。很明显，断言（a）是显而易见的。因此，这个证明的其余部分将分两部分给出，其中我们分别证明断言（b）和断言（c）。第1部分。很明显，存在唯一的局部鞅N和一个非减量且可预测的过程V，使得N=V=0，N>-1，Z=E（N）exp(- V）。因此，我们得出- ln（Z）=- ln（E（N））+V=-N+H（0）（N，P）+V，（B.2），其中过程V和H（0）（N，P）均为非减量过程。假设- ln（Z）是一致可积的子鞅，且（τn）nbe是一个停止时间序列，该序列增加到不完整，nτ是鞅。然后，一方面，通过用τn停止（B.2），然后进行期望，我们得到[- ln（Zτn∧T） ]=超高压τn∧T+H（0）τn∧另一方面，由于{- ln（Zτn∧T） ，n≥ 0}是一致可积的，上述等式的RHS项是递增的，通过让n来定义这个等式，（B.1）紧随其后。现在假设（B.1）成立。Asa结果E[H（0）T（N，P）]<+∞, 通过将其与引理B.1和（B.2）相结合，我们推导出- ln（Z）是一致可积的子鞅。第2部分。我们证明断言（b）。将断言（A）直接应用于each Z（i）（i=1，…，n），我们得到了n（i）的存在性∈ Mloc（H）和非减量且可预测的V（i），以便N（i）>-1，Z（i）=E（N（i））exp(-V（i）），i=1。。。，n、 此外，我们还需要- ln（Z）=-nXi=1N（i）+nXi=1H（0）（N（i），P）+nXi=1V（i）。因此- ln（Z）是一致可积子鞅，当且仅当“nXi=1H（0）T（N（i），P）+nXi=1V（i）T#<+∞,或等效EhH（0）T（N（i），P）+V（i）Ti<+∞ 对于所有i=1。。，n、 因此，由于断言（b）-应用于i=1的每个Z（i）。。。，下面是断言（c）的证明。这就是这个命题的证明。

36 Tahir Choulli，Sina YansoriC鞅通过可预测特征的参数化考虑任意一般模型（X，H），并回顾第4节第一段至（5.3）中给出的相应符号。下面，我们参考[29，定理3.75]和[30，引理4.24]。定理C.1 Let N∈ M0，位置。然后，存在φ∈ Lloc（Xc），N′∈ Mlocwith[N′，X]=0，N′=0，fu nctionals f∈eP和g∈eO，以便保持以下状态。（a） p（f- 1) u和P（bf- a） （1）- （a）-2I{a<1}I{X=0}1/2至A+位置。（b） （g） u)1/2∈ A+loc，MPu（g | eP）=0，P u-a.e.{a=1} {bf=1}，and n=φ·Xc+f- 1+高炉- a1级- aI{a<1}！ (u - ν） +克 u+N′。（C.1）在本文中，q uadruplet（φ，f，g，N′）由Jacod的N分量（P下）调用。D关于对数最优投资组合的结果：Choulli和Yanso ri（2020年）。在此，我们考虑一般设置及其符号，如第5节第一段所述，e（X，H）是任意的一般模型。定理D.1设X是具有可预测特征（b，c，F，A）的H-半鞅=bX、cX、FX、AX, 和Klogbe（5.7）给出的函数。那么以下断言是等效的。（a） 由（2.8）给出的集合Dlog（X，H）不是空的（即Dlog（X，H）6=).（b） 存在H-可预测过程ψ∈ L（X，H），因此，对于属于L（X，H）的任何Д，以下保持-eψ）tr（b- ceψ）+Z（Д）-eψ）trx1+eψtrx- (φ -eψ）trh（x）！F（dx）≤ 0，（D.1）EeVXT+（eψtrceψoA）T+（Klog（eψtrx） ν） T型< +∞, （D.2）eVX：=“eψtr（b- ceψ）+Z“eψtrx1+eψtrx-eψtrh（x）#F（dx）#A（D.3）（c）存在唯一性∈ Dlog（X，H）使得infz∈D（X，H）E[- ln（ZT）]=E[- ln（eZT）]。（D.4）（D）存在唯一θ∈ Θ（X，H）su ch thatsupθ∈Θ（X，H）E[ln（1+（θoX）T）]=E[ln（1+（EθoX）T）]<+∞.

（D.5）随机视野下的对数相关投资组合37（e）存在num'eraire投资组合，其投资组合“利率”eψ满足率（D.2）。此外，eθ（1+（eθoX）-)-1与ψ重合P A-A.e.，安第斯∈ L（Xc，H）∩ L（X，H），p（（1+eДtrx）-1.- 1) u ∈ A+loc（H），（D.6）eZ=E（EψoX），eZ：=E（KX）E(-VX），KX：=-eψoXc+-eΓXeψtrx1+eψtrx (u - ν). （D.7）eΓX：=1.- a+[f（op）-1，f（op）（t，x）：=1+eψtrtx-1.（D.8）引理5.7Letθ和θ的证明∈ L（S，F），我们有（θ- θ） tr（b- cθ）+Z(θ - θ） trx1+θtrx- (θ - θ） trh（x）F（dx）≤ 0,(θ - θ） tr（b- cθ）+Z(θ - θ） trx1+θtrx- (θ - θ） trh（x）F（dx）≤ 通过考虑第一个不等式的θ=θ和第二个不等式的θ=θ，然后将得到的两个不等式相加，我们得到（θ- θ） trc（θ- θ） +Z1+θtrx1+θtrx+1+θtrx1+θtrx- 2.F（dx）≤ 0。然后注意，对于任何x>0，x+x-1.- 2始终为非负，当且仅当x=1时为null。因此，通过将这一事实与上述不等式相结合，我们推断cθ=cθPA-A.e。。θtrx=θtrx PA.F-a.e。。这就结束了引理的证明。感谢加拿大自然科学与工程研究委员会通过G121210818拨款，全力支持本研究。作者感谢Safa Alsheyab、Ferdoos Alharbi、Jun Deng、Youri Kabanovand Mich\'ele Vanmalele对该主题的几点评论、富有成效的讨论和/或提供了重要和有用的参考。参考文献1。Aksamit，A.、Choulli，T.、Deng，J.、Jeanblanc，M.：准左连续模型的随机水平无套利，《金融随机》21:1103-1139，（2017）。2.Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.，Jeanblanc，M.《薄半鞅模型、随机过程及其应用的附加信息下的无套利》，129，pp:3080-3115（2019）。3、Aksamit，A.和Choulli，T.和Jeanblanc，M。

：关于一个可选的半鞅分解和扩大过滤中的偏差的存在，保险：SpringerInternational Publishing，187-218，（2015）。Amendinger，J.、Imkeller，P.和Schweizer，M.：《随机过程及其应用》，第75卷，第2期，第263-286页，（1998年）。38 Tahir Choulli，Sina Yansori5。Ankirchner，S.、Dereich，S.和Imkeller，P.《Shannon过滤信息和内部人员的附加对数效用》，Ann。概率。，34(2): 743-778, (2006).6.S.Ankirchner，P.Imkeller对具有不对称信息和价格动态结构特性的金融市场的有限效用。安。Probab Henri Poincar\'e研究所。Stat.41，No.3，479-503，（2005年）。Becherer，D.：无界半鞅的num'eraire组合。《金融与随机》5（3）：327-341，（2001）。8、Choulli，T.和Sina Yansori：明确描述随机期下市场的所有定义，并应用于NFLVR，版本可在Arxiv（2018）上获得，目前提交给Finance and Randomic。9、Choulli，T.和Sina Yansori：《无NFLVR的对数最优投资组合：存在性、完全特征化和对偶性》，第i版可在Arxiv（2018）上获得，该版本目前已提交给Applied probability trust。10、Choulli，T.、Daveloose，C.和Vanmaele，M.：《鞅表示定理与可违约证券的估值》，见《数学金融》，DOI:10.1111/ma。12244 (2020).11、Choulli，T.，Deng，J.：《信息离散时间市场模型的无套利》，《随机学》，第89卷，第3-4期，第628-653页，（2017年）。12、Choulli，T.、Deng，J.和Ma，J.：《无套利、生存能力和投资组合数量如何相关》，金融随机19:719-741，（2015）。13、Choulli，T.，M a，J。

和Morlais，M.：《金融启示录：Musiela Festschrift、Y.Kabanov、M.Rutkowski和Th》中关于指数对冲的三天，退出时间可变。Zariphopoulou编辑，Springer，Berli n，第117-158页（2011年）。Choulli，T.和Ma，J.：《HARA forward utilities及其最优组合的明确描述》，理论Probab。应用程序。，第61卷第1期，第57-93页（2017年）。Choulli，T.和Stricker，C.《不完全市场中的最小熵Hellinger鞅测度》，数学金融，3465-490，（2005）。Choulli，T.和Stricker，C.：关于最小熵Hellinger鞅测度的更多信息。数学《金融学》16（1），1-19，（2006年）。Choulli，T.、Stricker，C.和Li，J.：《q阶的最小Hellinger鞅测度》。金融Stoch。11(3), 399-427, (2007).Christensen，M.和Larsen，K.：《无套利与增长最优投资组合，随机分析与应用》，25:1255-280，（2007）。Clark，S.A.：《具有有限选择空间的随机效用模型》，经济理论，7（1），179-189，（1996）。20、Cohen，M.A.：《随机效用系统——最终案例》，数学心理学杂志，22（1），1-23，（1980）。21、Corcuera，J.M.、Imkeller，P.、Kohatsu Higa，A.和Nualart，D。。具有不完全动态信息的投资者的额外效用。金融斯托克。8（2004），第3437-450.22号。Cvitanic，J.、Schachermayer，W.和Wang，H.：随机捐赠的不完全市场中的效用最大化。《金融与随机》5.2259-272，（2001）。Dellacherie，C.和Meyer，P-A.：TheeoriedesMartingles。第五章至第八章。赫尔曼（1980）。Fisher，I.：兴趣的不耐烦理论。阿尔（1931年）。25、戈尔、托马斯和扬·卡尔森：对数最优投资组合问题的完全显式解。《应用概率年鉴》13.2774-799，（2003年）。Grorud，A.，Pontier，M。

：连续时间市场模型中的内幕交易，《国际理论与应用金融杂志》，第1卷，第3期，第331-347页，（1998年）。Hakanson，N.H.（1969）：风险、不确定寿命和保险下的最优投资和消费策略。内部经济。修订版。文本BF10，443–466.28。Hulley，H.，Schweizer，M.：关于最小市场模型和最小鞅测度的M6。《当代定量金融：纪念埃克哈德·普莱坦的论文》，35-51（2010）。Jacod，J.：《计算随机性与鞅问题》。数学课堂讲稿第714号。柏林斯普林格（1979）。Jacod，J.和Shiryaev，A.：《随机过程的极限定理》，第二版edn。斯普林格（2002）。31、Jeulin，T.：半鞅与粗滤。斯普林格（1980）。随机视野下的日志相关投资组合3932。Karatzas，I.和Kardaras，C.：半鞅金融模型中的num’eraire投资组合。金融斯托赫（2007）11:447-493，（2007）。33.Karatzas，I.，Pikovsky，I.：《预期投资组合优化，应用可能性进展》，第28卷，第4期，pp:1095-1122，（1996）。34、Karatzas，I.和Wang，H.：具有任意停止的效用最大化。暹罗J.控制优化。39(1), 306–329, (2000).卡拉扎斯、约安尼斯和兹特科维奇、戈尔丹：不完全半鞅市场中投资和随机捐赠的最优消费。《概率年鉴》31.41821-1858，（2003）。36.Kohatsu Higa，A.，Sulem，A.《内幕影响市场中的效用最大化》，《数学金融》，第16卷，第1期，第153-179页，（2006年）。Kramkov，D.，Schachermayer，W.：《不完全市场中效用函数的渐近弹性和最优投资》，《应用概率年鉴》，9（3），904-950，（1999）。Long，J.B.：num’eraire投资组合。J、 财务。经济。26, 29-69, (1990).39、Ma，J。

：最小Hellinger贴现率和HARA远期效用与应用：可变期限套期保值，博士论文，（2013年）。可获得的onhttps://doi.org/10.7939/R3CT29library.ualberta.ca.40.McFadden，D.，Richter，M.K.：《随机理性与揭示的随机偏好、偏好、不确定性和最优性》，纪念利奥·赫维奇的论文，161-186，（1990）。默顿，R.C.：《连续时间模型中的最优消费和投资组合规则》，《经济理论杂志》，Elsevier，3（4），373-413，（1971）。42、加拿大默顿：《理性期权理论》，贝尔经济学和管理科学杂志，141-183，（1973）。Musiela，M.和Zariphopoulou，T.：动态投资绩效标准下的投资组合选择。数量。财务9（2），161-170（2009）。44、Nikeghbali，A.和Yor，M.《伪停车时间的定义和一些特征》，《概率年鉴》，33，51804-1824，（2005）。Stricker，Ch.：Quelques remarques sur la topology des semim artingales：Applicationsaux int'egrales stochastiques，S'eminaire de Probabilit'es XV 1979/80，LNM 850，pp:499522（1981）。Suppes，P.、Krantz，D.H.、Luce，R.D.、Tversky，A.：《测量基础》，第二卷。纽约：学术出版社：（1989年）。47、Takaoka，K.和Schweizer，M.：关于有界ris无无界利润条件的注记K.《金融与随机》18（2），pp:393-405（2014）。48、Yaari，M.：不确定寿命、人寿保险和消费者理论。《经济学研究评论》32（2）：137-150，（1965年）。Yansori，S.：De flators，log optimal portfolio and num'eraire portfolio for markets underrandom horizon。艾伯塔大学博士论文（2018年）。Zitkovic，G.：s el f-generation和log-A ffne forward性能的双重表征。安。应用程序。问题。19(6), 2176–2270, 2009.