换句话说，随着可交易资产数量N的增加，投资组合的表现也会上升。这并不奇怪，因为更多的可交易资产通常意味着非负漂移过程αF的价值更大，正是这一过程主要决定了长期内的相对投资组合回报，如下所示。第2节的一般理论没有对portfolioreturns的大小做出任何陈述。相反，该理论指出，根据定理2.5，与市场相关的一大类投资组合策略的回报可以分解为非负漂移和资产价格分散的变化。当应用于推论2.6和2.7中的等权重和CES权重投资组合时，这意味着等权重投资组合策略的相对回报可以分解为由价格分散调整的漂移过程，-αG/G≥ 0，以及资产价格分布几何平均值的变化，如（2.29）所示。同样，CES加权投资组合策略的相对回报可以分解为由价格离散度调整的漂移过程，-αU/U≥ 0，以及适用于资产价格分布的CES函数的变化，如（2.32）所示。为了实证研究定理2.5的分解（2.17），在图3中，我们绘制了等权投资组合策略的累积异常回报率（相对于价格加权市场投资组合策略的回报率）以及由价格分散调整的漂移过程的累积价值，-αG/G，1974-2018年。此外，图4绘制了通过减去商品价格分布几何平均数（G）的对数（相对于1974-2018年的平均值进行归一化）来衡量的价格分散度。

除了与价格加权投资组合相关的等权重投资组合的一致性和实质性表现外，这些数据表明，等权重投资组合的短期相对收益率波动密切遵循商品价格离散度的波动，而这些相对收益率的长期行为密切遵循平滑调整后的漂移。事实上，图4中价格分散的高波动性与图3中调整后漂移的近零波动性之间形成了鲜明对比。这是一个重要的观察结果，是定理2.5和推论2.6的直接预测，我们将在下面进一步讨论这一点。除了价格分散和调整漂移的相对波动性外，图3和图4显示，等权投资组合策略的累积异常收益等于调整漂移过程的累积值RT-αG（θ（t））/G（θ（t）），加上商品价格分布的几何平均数log，log G（θ（t））。实际上，图3（累计异常回报）中的实心黑线等于同一图中的红色虚线（调整漂移过程的累积值）减去图4中的线（减去商品价格分布的几何平均值的对数）。这正是推论2.6中（2.29）所描述的关系。然而，我们强调，这种经验关系是非负调整漂移过程，-计算αG/G。

对于我们有数据的每一天-通过从累计异常回报率log Vg中减去商品价格分布几何平均数log G的对数值，计算截至当天的αG/G- 根据推论2.6中的标识（2.29），记录Vm。考虑到图3和图4的经验分解是为了（2.29）必须保持不变而构建的，因此很自然会想知道这种分解的有用性是什么。其中一些有用之处在于预测该分解的一部分，即调整漂移过程的累积值，-αG/G，是非递减的。图3中调整后漂移线累积值的平滑向上斜率明确证实了这一预测，并对等权重和价格权重投资组合策略的长期相对绩效产生了影响，如下所述。然而，分解（2.29）的大部分有用性在于预测调整后漂移过程的累积值是一个有限的变化过程，而另一部分，商品价格分布几何平均值的对数值log G不是。

回顾第2.1节和第2.4节的讨论，有限变化过程具有零二次变化或零瞬时变化。需要明确的是，预测调整后漂移过程的累积值是一个细分过程，并不是预测使用每月离散时间数据计算的调整后漂移过程累积值变化的样本方差将等于零，而是预测这些变化将随时间大致保持不变。换句话说，我们的结果预测，经过调整的漂移过程的累积值将以大致恒定的速率增长，随着时间的推移，变化很小。这种平稳的增长正是图3的红色虚线所示，如上所述，与图4所示的价格分散的高度波动行为形成鲜明对比。可以通过注意变量系数来量化这种对比。注意，使用离散时间数据计算的连续时间有限变量过程的样本方差永远不会完全等于零。调整后漂移过程累积值的变化系数等于3.14，而负价格离散度的变化系数等于124.64。这些结果证实了定理2.5和推论2.6的一个关键预测。调整后漂移的正值和相对恒定值，-αG/G，随着时间的推移，对于等权投资组合策略相对于价格加权市场投资组合策略的长期回报具有重要的影响。由于（2.18）和定理2.5意味着相对收益可以分解为调整后的漂移和资产价格分散的变化，因此，在长期范围内，持续的正调整漂移只能通过持续上升的资产价格分散来平衡。

在没有这种上升离散度的情况下，正漂移保证了相对于市场的跑赢大市。因此，图4所示的商品价格分散度相对较小的增长，以及图3所示的调整后漂移的正值，确保了在1974-2018年期间，等权重投资组合的表现优于市场投资组合。以与图3类似的方式，图5绘制了CES加权投资组合策略的累积异常回报以及由价格分散调整的漂移过程的累积值，-αU/U，1974-2018年同期。图6绘出了通过减去应用于资产价格分布的CES函数的对数来测量的价格分散度，U，相对于该时间段内的平均值进行归一化。与等权投资组合一样，图5中调整后漂移过程的累积值使用推论2.7中的等式（2.32）计算。图5和图6中CES加权投资组合的结果与图3和图4中同等加权投资组合的结果紧密一致。事实上，图5和图6显示，CES加权投资组合策略的短期相对回报率波动密切遵循商品价格分散的波动，通过减去CES函数来衡量，而这些相对回报的长期行为密切遵循平稳累积的调整漂移。

与图3非常相似，图5显示了调整后漂移的累积值，根据定理2.5，这是一个有限的变化过程，随着时间的推移，其以大致恒定的速度增长，这与图6所示的稳定增长和价格分散的快速波动形成了鲜明对比。如上所述，调整后的漂移，-αU/U近似为常数，与其累积值是一个有限变化过程的预测一致，从而证实了定理2.5和推论2.7中的一个关键结果。最后，图5证实了CES加权投资组合相对于价格加权市场投资组合的一致性和实质性表现，如表2和表3所示。与等权重投资组合一样，（2.17）和定理2.5预测了这种长期表现，与图5.4讨论中观察到的调整漂移累积值的大幅增加相比，图6中观察到的价格分散变化相对较小。图3-6中显示的经验结果证实了定理2.5和推论2.6和2.7的预测，即分解（2.18）几乎是常数。因此，这种分解及其直观版本（1.1）可以理解为相对回报=常数- 资产价格分散的变化。

（4.1）此外，图3和图5的结果清楚地表明，在商品期货的等权重和CES权重组合中，这种非负恒常裂谷实际上是正的。4.1价格分散资产定价因素综上所述，我们的理论和实证结果表明，资产价格分散的变化是相对于市场的一大类投资组合回报的关键决定因素。因此，相对资产价格的分布（通过这些价格的离散度来衡量）必然是一个资产定价因素。这一事实从（4.1）中可以明显看出，该模型的建立方式与经验资产定价因子回归模型相同（Fama和French，1993）。然而，至关重要的是，建立直观版本（4.1）的定理2.5的理论结果是在基本上与任何资产定价模型一致的最小假设下实现的，这意味着该价格分散系数在不同的经济和金融环境中是普遍存在的。我们在图3-6中的实证结果有助于证实这种普遍性，尤其是当与先前记录美国股市定理2.5分解准确性的研究结合在一起时（Vervourt和Karatzas，2015）。我们结果的普遍性为最近提出的许多关于经验资产定价文献的批评提供了一种新的解决方法。特别是，这篇文献所确定的因素和异常数量之高令人难以置信，且不断增加，遭到了许多指责。例如，Harvey等人（2016年）研究了数百种不同的资产定价因素和异常情况，这些因素和异常情况是使用标准的实证方法发现的，并得出结论，大多数可能无效。他们还为未来的实证分析提出了更高的统计重要性标准。

同样，Bryzgalova（2016）表明，在linearasset定价模型中，应用于不适当风险因素的标准经验方法可能产生虚假的高显著性。Novy Marx（2014）提出了不同的批评，证明许多所谓的不同异常可能是由一个或两个共同的风险因素驱动的。所有这些研究表明，文献中提出的大量因素和异常夸大了真实数字。定理2.5确定的资产价格分散系数不是使用特定的经济模型或特定的回归框架推导出来的，而是使用一般的数学方法，将资产价格表示为与基本模型和经验规范一致的连续半鞅。因此，我们所描述的价格分散资产定价因子不受本文献的批评。4.2价格分散、价值和原始多样化定理2.5和推论2.6和2.7的结果对Asness et al.（2013）发现的商品价值异常和DeMiguel et al.（2009）描述的原始1/N多样化的惊人效果提供了新的解释。Asness et al.（2013）的商品价值异常是通过对商品期货价格与其五年前的平均价格进行排名，然后比较低等级、高价值商品组合的回报与高等级、低价值商品组合的回报来构建的。这种价格排名系统类似于我们根据1969年开始日期的商品期货价格实施的价格正常化。

由于等额加权商品期货组合比价格加权市场组合更重视标准化价格较低的商品，因此我们在表2和表3中报告的可预测超额收益与Asness等人（2013）的商品价值效应相似。然而，这些结果与我们的结果之间的一个关键差异在于，我们将等额和CES加权投资组合策略的可预测超额收益与商品价格离散度的近似稳定性联系起来，后者通过减去几何平均值和CES函数来衡量。这种联系对于理解这些超额回报背后的经济和金融机制至关重要。我们的结果表明，这种超额回报随着资产价格分散度的上升而下降，只有当资产价格分散度没有随时间大幅上升时，才能确保正超额回报。因此，任何解释表2和表3的可预测超额收益以及商品期货的相关价值异常的尝试，都必须解释图4和图6所示的商品价格分散的波动，因为这些波动推动了超额收益的波动。这一结论表明，深入理解资产价格分散波动背后的经济和金融机制非常重要。DeMiguel等人（2009年）利用几个不同的数据集考虑了许多不同的投资组合多元化策略，并表明对每个资产进行同等加权的简单策略始终优于几乎所有更复杂的策略。一种基于CAPM的价值加权市场投资组合策略优于单纯的1/N多元化策略。该策略相当于第2.2节中定义的市场组合，因为我们的价格权重相当于其价值权重。

因此，推论2.6的结果可以应用于与DeMiguel等人（2009年）发现的价值加权市场投资组合相关的等权重投资组合的超额回报。特别是，推论表明，这种超额回报是由非负升幅和资产价格分散度的变化决定的，而资产价格分散度的变化是通过减去相对价格的几何平均值来衡量的。推论2.6的分解为Demiguel et al.（2009）的结果提供了一种新的解释，即这些作者考虑的各种不同经验数据集分布的稳定性。与大宗商品的价值异常情况一样，我们的理论分解表明，随着资产价格分散度的上升，单纯的1/N多元化战略的超额收益会下降，只有当分散度没有随时间大幅上升时，才是正的。因此，我们的结果强烈表明，DeMiguel et al.（2009）考虑的各种不同资产的价值相对稳定，这与我们在图4和图6中观察到的商品期货价格类似。在没有这种稳定性的情况下，没有理由像作者所观察到的那样，期望等权投资组合的表现超过价值加权市场投资组合。这些结论再次强调了深入理解资产价格分散波动背后的经济和金融机制的重要性。4.3价格分散和有效市场定理2.5的相对收益分解揭示了一种新的市场二分法，即股息和资产进入/退出随时间的推移所起的作用很小。一方面，随着时间的推移，资产价格的分布可能大致稳定，在这种情况下（4.1）意味着一大类投资组合策略存在可预测的超额回报。

这是我们在图3-6中观察到的商品期货场景。在此类市场中，固定价格分散的波动通过定理2.5中的会计恒等式（2.18）与超额回报相关联。在资产定价的标准均衡模型中，只有当这些可预测的超额回报是对风险的补偿时，它们才可能存在。反过来，这种风险由一个内生随机贴现因子来定义，该因子与经济体的边际效用相关。然而，目前尚不清楚边际效用如何与资产价格的分散相联系。同样不清楚的是，当资产价格变得更加分散时，为什么边际效用应该更高，然而，根据我们的结果，这是任何标准资产定价模型的必要含义，其中价格分散是渐近稳定的。另一方面，随着时间的推移，资产价格的分散可能并不稳定。在这种情况下，资产价格分散持续快速上升，分解（4.1）不再预测超额回报。相反，这种分解预测了价格离散度的上升，从而抵消了（4.1）随时间的平均非负漂移分量。定理2.5的相对回报分解没有预测资产价格分散的稳定性，因此我们的理论结果没有排除这种可能性。尽管如此，值得注意的是，我们对商品期货的实证结果以及Vervuurt和Karatzas（2015）对美国股票的实证结果都与这种不稳定、无超额回报的市场结构不一致。

根据这些结果，未来研究不同资产市场中价格分散的长期特性，并试图区分这种二分法的两面——具有可预测超额收益的渐近稳定市场与没有可预测超额收益的渐近不稳定市场——可能会产生有趣的新见解。这种新颖的二分法有几个含义。首先，它从对横截面资产价格动态的约束和相对资产价格的分散性方面对市场效率进行了新的解释。要么资产价格离散度随着时间的推移持续快速上升，与此约束一致，要么存在基于分解的市场效率或风险因素（2.18）。其次，它提出了一种可能性，即众所周知的资产定价风险因素，如价值、动量和规模（Banz，1981；Fama和French，1993；Asness等人，2013），可以根据资产价格分散的动态来解释。在定理（2.5）的分解具有普遍性的情况下，这些风险因素背后的可预测超额回报可能与违反横截面资产价格动态约束和上述相对资产价格分散有关。换言之，传统的资产定价风险因素意味着资产价格随时间分散的特定行为，因此可以根据特定行为进行解释。5结论我们将资产价格表示为一般连续半鞅，并表明一大类投资组合策略相对于市场的回报可以分解为非负漂移和资产价格离散的变化。

由于对这一结果的最小假设，我们的分解只不过是一个会计恒等式，基本上与任何资产定价模型都是一致的。我们表明，我们分解的漂移成分随着时间的推移近似恒定，因此意味着资产价格离散度的变化决定了相对回报率波动。这一结论揭示了一个资产定价因素——资产价格分散的变化——这在不同的经济和金融环境中是普遍存在的。我们使用商品期货证实了我们的理论预测，并表明替代加权投资组合的等弹性和恒定弹性在1974-2018年间持续且显著优于价格加权市场投资组合。ReferencesAlquist，R.和O.Coibion（2014年3月）。商品价格联动与全球经济活动。NBER工作文件20003。Asness、C.S.、T.J.Moskowitz和L.H.Pedersen（2013年）。价值和动力无处不在。《金融杂志》68（3），929–985。Banz，R.W.（1981年3月）。普通股票的回报与市场价值之间的关系。《金融经济学杂志》9（1），3–18。Brennan，M.J.（1958年3月）。存储的供应。《美国经济评论》48（1），50–72。Bryzgalova，S.（2016年2月）。线性资产定价模型中的虚假因素。mimeo，斯塔夫诺德大学。Chinn，M.D.和O.Coibion（2014年7月）。商品期货的预测内容。《期货市场杂志》34（7），607–636。Cochrane，J.H.（2005年）。资产定价（修订版）。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社。DeBondt、W.F.M.和R.H.Thaler（1989年，冬季）。华尔街上一次卑鄙的回头路。《经济展望杂志》3（1），189–202。DeMiguel，V.、L.Garlappi和R.Uppal（2009年5月）。最优与朴素的多元化：1/n投资组合策略的效率如何？金融研究回顾22（5），1915-1953年。Fama，E.F。

和K.R.French（1987年1月）。商品期货价格：预测能力、溢价和存储理论的一些证据。《商业杂志》60（1），55–73。Fama、E.F.和K.R.French（1993年2月）。股票和债券收益中的常见风险因素。《金融经济学杂志》33（1），3–56。Fernholz，E.R.（2002年）。随机投资组合理论。纽约州纽约市：Springer Verlag。Fernholz，R.和I.Karatzas（2005年11月）。波动率稳定市场中的相对套利。《金融年鉴》1（2），149–177。Fernholz，R.T.（2017）。动态幂律分布的非参数方法和基于当地时间的估计。《应用计量经济学杂志》32（7），1244–1260。Fernholz，R.T.和R.Fernholz（2018年5月）。基于时间相关秩系统的齐普夫定律的普适性。arXiv:1707.04285v3【q-fin.EC】。Harvey，C.R.、Y.Liu和C.Zhu（2016年1月）。。。以及预期回转体的横截面。财务研究回顾29（1），5–68。Karatzas，I.和J.Ruf（2017年7月）。由lyapunov函数生成的交易策略。金融与随机21（3），753–787。Karatzas，I.和S.E.Shreve（1991年）。布朗运动与随机微积分。纽约州纽约市：Springer Verlag。小卢卡斯，R.E.（1978年11月）。交换经济中的资产价格。《计量经济学》46（6），1429–1445。尼尔森，L.T.（1999）。衍生证券的定价和对冲。纽约：牛津大学出版社。Novy Marx，R.（2014年5月）。预测政治、天气、全球变暖、太阳黑子和恒星的异常表现。《金融经济学杂志》112（2），137–146。Pal，S.和T.-K.L.Wong（2016年6月）。相对套利的几何学。《数学与金融经济学》10（3），263–293。Sharpe，W.F.（1964年9月）。资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论。《金融杂志》19（3），425–442。Shiller，R.J.（1981年6月）。

股价是否波动过大，以至于无法通过随后的股息变化来调整？《美国经济评论》71（3），421–436。Vervuurt，A.和I.Karatzas（2015年11月）。具有负参数的多样性加权投资组合。《金融年鉴》11（3），411–432。证明本附录给出了引理2.2和2.4以及定理2.5的证明。引理2.2的证明。设F为价格离散度的度量。假设θ，θ∈ ,其中max（θ）=max（θ，…，θN）>max（θ，…，θN）=max（θ），对于{1，…，N}的某个子集中包含N的所有i，θi=θi-2个要素。在不丧失一般性的情况下，我们假设max（θ）=θ，max（θ）=θ，θ6=θ。注意，这意味着θ- θ= θ- θ> 0，因为θ和θ必须相加为1。设θ=（θ，θ，θ，…，θN）为通过交换θ的前两个元素得到的相对价格向量。由于价格离散度的度量对于定义的θ置换是不变的，因此F（θ）=F（|θ）。设β=θ- θθ- θ、 注意0<β<1和βθ+（1- β)~θ = θ.因为F在定义上是凸的，所以F（θ）=βF（θ）+（1- β） F（|θ）≥ F（βθ+（1- β） θ）=F（θ）。（A.1）如果F是严格凸的，则（A.1）中的不等式成为严格不等式。引理2.4的证明。对于任意带z（t）的连续半鞅向量z∈ Rn对于所有t，让d Var（z）表示协方差矩阵（dhzi，zji）1≤i、 j≤N、 通过定义，价格分散度f的任何度量都是凸的，因此Hessian矩阵HF是正半定义。对于给定的t，这意味着HF具有特征值λ，λN≥ 0，对应的特征向量ek=（ek1，…，ekN），k=1，N、 使得fij（θ（t））=NXk=1λkekiekj，（A.2）对于i，j=1，N

让Xt表示向量x的转置∈ RN，如下所示：nxi，j=1Fij（θ（t））dhθi，θji（t）=NXk=1λkNXi，j=1ekiekjdhθi，θji（t）=NXk=1λkekd Var（θ）（t）eTk≥ 0，对于所有t，因为协方差矩阵d Var（θ）是正半定义。当然，这意味着αF≥ 也为0。现在假设秩（F）>1，对于所有t，d Var（p）（t）为正定义。注意，对于所有t，d Var（log p）（t）=p（t）d Var（p）（t）pT（t），因此如果d Var（p）为正定义，d Var（log p）为正定义。此外，Fernholz（2002）表明，如果d Var（log p）为正定义，则d Var（logθ）为正定义，由θ生成零空间。根据（A.2），NXi，j=1Fij（θ（t））dhθi，θji（t）=NXk=1λkNXi，j=1ekiekjθi（t）θj（t）dhlogθi，logθji（t）=NXk=1λkekθ（t）d Var（logθ）（t）θt（t）eTk，对于所有t，我们知道至少两个特征值λ，λNare为正，因为秩（F）>1，HFis为正半定义，所以我们假设，在不损失一般性的情况下，λ，λ>0。因此，对于所有t，j=1Fij（θ（t））dhθi，θji（t）=NXk=1λkekθ（t）d Var（logθ）（t）θt（t）eTk>0，对于所有t，k=1或k=2，sinceekθ（t）d Var（logθ）（t）θt（t）eTk>0。这意味着αF>0。定理2.5的证明。定理2.5源自Karatzas和Ruf（2017）命题4.8中更一般的结果。要了解这一点，让▄F=-F，注意，通过定义α▄F（θ（t））=-αF（θ（t）），对于所有t。根据Karatzas和Ruf（2017）的定义3.1，函数F是正则的，因为它是连续的和凹的，我们假设价格总是正的。此外，由于F是连续可区分的两倍，因此，Karatzas和Ruf（2017）的（3.2）中定义的有限变量过程F（t）=-αИF（θ（t））=αF（θ（t）），对于所有t。

命题4.8则得出定理2.5的结果（2.17）。除了这个证明，我们希望非正式地推导（2.21），它在第2.5节定理2.5的证明草图中起着重要作用。这个方程表明，对于所有的t，dvs（t）Vm（t）=NXi=1si（t）dθi（t）。为了符号的简单性，我们在这个非正式的推导中去掉所有的时间依赖关系，并简单地为f（t）写f，为f的任何函数写f。对于所有i=1，N、 由d logθi给出的logθiis的二阶泰勒近似≈dθiθi-dθiθi，（A.3），这意味着nxi=1sidθi≈NXi=1siθid logθi+dθiθi=NXi=1VsVmwsid logθi+NXi=1Vs2Vmwsidθiθi，（A.4），其中最后一个等式来自组合策略权重的定义（2.4）。根据（A.3），对于所有i，j=1，N、 dθidθjθiθj≈d对数θi+dθiθid logθj+dθjθj= d logθid logθj+dθid logθjθi+dθjd logθiθi+dθidθjθiθj≈ d logθid logθj.（A.5）以与我们在该证明草图中使用二阶泰勒近似一致的方式，底部近似（A.5）通过假设所有三阶或更高的项（即微分算子d的幂次大于或等于三的项）近似等于零。当然，在连续时间里，^o的引理保证这些高阶项实际上等于零。如果我们将（A.5）代入（A.4），那么我们有nxi=1sidθi≈NXi=1VsVmwsid logθi+NXi=1Vs2Vmwsidlogθi.（A.6）Vs/vm的二阶泰勒近似由DVSVM给出≈VsVmd日志（Vs/Vm）+d（Vs/Vm）Vs/Vm，相当于tod（Vs/Vm）Vs/Vm≈ d日志（Vs/Vm）+d日志（Vs/Vm）（Vs/Vm）。（A.7）根据（2.4）和（2.5），dVsVs≈NXi=1sidpiVs=NXi=1wsidpipi，这意味着log-Vs的二阶泰勒近似可以写成d-log-Vs≈dVsVs-dVsVs≈NXi=1wsidpipi-NXi，j=1wsiwsjdpidpjpipj≈NXi=1wsid日志pi+NXi=1wsidpipi-NXi，j=1wsiwsjdpidpjpipj，其中最后一个等式来自（A.3）。

它遵循该日志（Vs/Vm）≈NXi=1wsid logθi+NXi=1wsidpipi-NXi，j=1wsiwsjdpidpjpipj（A.8）≈NXi=1wsid logθi+NXi=1wsidlog pi-NXi，j=1wsiwsjd log pid log pj，（A.9），其中最后一个等式从（A.5）开始。由于Vm=p+···+pNby（2.7），我们得到了NXi，j=1wsiwsjd logθid logθj=NXi，j=1wsiwsj（d log pi- d log Vm（p））（d log pj- d log Vm）=NXi，j=1wsiwsjd log pid log pj- 2NXi=1wsid log pid log Vm+dlog Vm。（A.10）与上述论点类似的论点证明NXi=1wsidlogθi=NXi=1wsidlog pi- 2NXi=1wsid log pid log Vm+dlog Vm。（A.11）将（A.10）和（A.11）替换为（A.9）yieldsd log（Vs/Vm）≈NXi=1wsid logθi+NXi=1wsidlogθi-NXi，j=1wsiwsjd logθid logθj，（A.12），因为（A.10）和（A.11）的最后两项相互抵消。假设（2.21）成立。在这种情况下，我们得到了（Vs/Vm）Vs/Vm=NXi=1siVmVsdθi=NXi=1wsidθiθi，（A.13），因此也得到了（Vs/Vm）（Vs/Vm）=NXi=1wsidθiθi！NXi=1wsidθiθi=NXi，j=1wsiwsjdθidθjθiθj≈NXi，j=1wsiwsjd logθid logθj.（A.14）如果我们将（A.12）和（A.14）替换为（A.7），我们就得到了（Vs/Vm）Vs/Vm≈NXi=1wsid logθi+NXi=1wsidlogθi，（A.15），因为（A.12）右侧的最后一项取消（A.14）。当然，（A.15）等同于（A.6），这证明了（2.21）。B补充材料定理2.5中收益率的对数分解是方便且易于处理的，但不是必需的。特别是，可以将收益分解为相同的价格离散度和漂移分量，这是一种纯粹的相加方式，不依赖于对数。定理B.1。设F为价格离散度的度量。然后，组合策略s=（s，…，sN）与i（t）=NXj=1θj（t）Fj（θ（t））- Fi（θ（t））+Vs（t）/Vm（t），（B.1）对于每个i=1，N、 有一个满足Vs（T）Vm（T）=ZTαF（θ（T））的值过程Vs- F（θ（T）），（B.2）表示所有T。证据与定理2.5一样，定理B.1源自Karatzas和Ruf（2017）命题4.4中更一般的结果。

要了解这一点，让▄F=-F，注意，通过定义α▄F（θ（t））=-αF（θ（t）），对于所有t。根据Karatzas和Ruf（2017）的定义3.1，函数F是正则的，因为它是连续的和凹的，我们假设价格总是正的。此外，由于F是连续可区分的两倍，因此，Karatzas和Ruf（2017）的（3.2）中定义的有限变量过程F（t）=-αИF（θ（t））=αF（θ（t）），对于所有t。命题4.4然后得出定理B.1的结果（B.2）。与定理2.5的推论2.6和2.7相同，下一个推论直接来自定理B.1。推论B.2。投资组合策略g=（g，…，gN）和GI（t）=g（θ（t））Nθi（t）- 1.+Vg（t）Vm（t），（B.3）对于每个i=1，N、 具有满足Vg（T）Vm（T）=-ZTαG（θ（t））+G（θ（t）），（B.4）表示所有t。投资组合策略u=（u，…，uN）with ui（t）=u（θ（t））U-γ（θ（t））θγ-1i（t）- 1.+Vu（t）Vm（t），（B.5）对于每个i=1，N、 具有满足Vu（T）Vm（T）=-ZTαU（t）+U（θ（t）），（B.6）表示所有t。商品交易所起始平均值和标准差交易日原木价格变化豆粕CBOT 1/1969 0.034（0.303）豆油CBOT 1/1969 0.027（0.289）大豆CBOT 1/1969 0.027（0.261）小麦CBOT 1/1969 0.027（0.292）玉米CBOT 1/1970 0.025（0.260）生猪CME 1/1970 0.022（0.330）活牛CME 1/1971 0.028（0.201）棉花NYBOT 1/1973 0.018（0.288）橙色果汁CEC 1/1973 0.029（0.305）铂金NYMEX 1/1973 0.041（0.278）银COMEX 1/1973 0.046（0.320）Co-ffee CSC 1/1974 0.013（0.360）木材CME 1/1974 0.035（0.326）金COMEX 1/1975 0.045（0.204）燕麦CBOT 1/1975 0.009（0.345）糖CSC 1/1975-0.032（0.408）小麦，K.C.KCBT 1/1977 0.016（0.251）饲养牛CME 1/1978 0.028（0.169）加热油NYMEX 1/1980 0.024（0.328）可可CSC 1/1981 0.008（0.301）小麦，明尼苏达州。

MGE 1/1981 0.007（0.233）钯NYMEX 1/1983 0.065（0.326）原油NYMEX 1/1984 0.026（0.354）RBOB汽油NYMEX 1/1985 0.034（0.348）糙米CBOT 1/1987 0.035（0.277）铜COMEX 1/1989 0.027（0.256）天然气NYMEX 1/1991 0.014（0.515）牛奶CME 9/1997 0.016（0.277）布伦特原油ICE 8/2008-0.042（0.332）布伦特汽油ICE 2008年8月-0.047（0.287）表1：商品期货合约清单以及每种商品交易的交易所、每种商品开始交易的日期以及每种商品每日原木价格变化的年平均值和标准差（括号内）。价格加权（市场）等权CES加权投资组合投资组合1974-2018 3.58%（15.15）6.35%（13.60）7.93%（13.75）1974-1980 10.94%（20.81）11.97%（19.54）12.55%（19.52）1980-1990-2.68%（15.00）1.92%（12.62）4.62%（13.40）1990-2000 0.43%（7.76）2.61%（7.24）3.62%（7.34）2000-2010 7.79%（16.21）11.99%（14.25）14.18%（13.18 98）2010-2018年1.76%（12.97）3.81%（12.65）5.01%（13.05）表2：1974-2018年价格加权（市场）投资组合和同等和CES加权投资组合的月度回报的年化平均值和标准差（括号内）。等权CES加权投资组合组合平均值（st.dev.）夏普比率平均值（st。

dev.）Sharpe比率1974-2018 2.77%（4.99）0.55 4.34%（7.01）0.621974-1980 1.03%（4.03）0.26 1.61%（5.96）0.271980-1990 4.60%（5.81）0.79 7.30%（8.60）0.851990-2000 2.18%（2.77）0.79 3.19%（4.34）0.732000-2010 4.20%（6.11）0.69 6.39%（8.10）0.792010-2018 2.06%（4.22）0.49 3.25（5.85）0.56表3：年平均值、标准偏差（括号内），1974-2018年，与价格加权（市场）投资组合相比，同等和CES加权投资组合的月度收益夏普比率-3-2-1012年1970年1975年1980年1990年1995年2000年2005年2015年相对于平均值的原木价格图1：相对于平均值的商品价格，1969-2018.0.00.51.01.52.02.53.0年份1975 1980 1985 1990 2000 2005 2010 2015对数累计收益率加权（市场）投资组合加权投资组合加权投资组合加权投资组合图2：价格加权（市场）投资组合和等额和等额加权投资组合的累计收益率，1974-2018.0.00.51.01.5年1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015对数累积异常回报图3：1974-2018年等权投资组合的累积异常回报（实心黑线）和调整漂移（红色虚线）-0.10.00.10.2年1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015相对于平均值的对数值图4：等权重投资组合的价格离散度，通过减去几何平均值来衡量，1974-2018.0.00.51.01.52.02.5年1975 1980 1985 1990 1995 2005 2010 2015对数累积异常回报图5：1974-2018年CES加权投资组合的累积异常回报（实心黑线）和调整漂移（红色虚线）-0.2-0.10.00.10.2年1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015相对于平均值的对数值图6：CES加权投资组合的价格离散度，通过减去CES函数来衡量，1974-2018年。